1) El documento introduce las series de Fourier, que surgieron al resolver problemas de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de separación de variables. 2) Joseph Fourier demostró que cualquier función puede expresarse como suma de senos y cosenos, convenciendo a la comunidad científica. 3) Se definen las series de Fourier y los coeficientes de Fourier de una función en un intervalo, expresándola como combinación lineal de funciones ortogonales senos y cosenos.

1. Tema 7
Series de Fourier
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. ¶Estas surgieron hist¶oricamente
al resolver por el m¶etodo de separaci¶on de variables un problema de contorno de ecuaciones
en derivadas parciales.
Cuando estas f¶ormulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos
matem¶aticos pensaron que era imposible expresar una funci¶on f(x) cualquiera como suma
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg¶o de recopilar datos
para convencer al mundo cient¶³¯co de tal posibilidad.
7.1 Series de Fourier
De¯nici¶on 7.1 (Serie de Fourier)
Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [¡¼; ¼] a:
f(x) =
a0
2
+
1X
(an cos nx + bn sen nx) (¤)
n=1
A los coe¯cientes a0; a1; ¢ ¢ ¢ ; an; b0; b1; ¢ ¢ ¢ ; bn se les llama coe¯cientes de Fourier de
f(x) en [¡¼; ¼].
Debido a que
Z ¼
¡¼
senmxsen nx dx =
(
0 si n6= m
6= 0 si n = m
Z ¼
¡¼
cos nx dx = 0
Z ¼
¡¼
sen nx dx = 0
1

2. 2 Tema 7. Series de Fourier
Z ¼
¡¼
cosmxcos nx dx =
(
0 si n6= m
6= 0 si n = m
Z ¼
¡¼
senmxcos nx dx = 0
e integrando t¶ermino a t¶ermino en la igualdad (¤) obtenemos:
Z ¼
¡¼
f(x) cos nx dx = an
Z ¼
¡¼
cos2 x dx = an¼ ) an =
1
¼
Z ¼
¡¼
f(x) cos nx dx
Z ¼
¡¼
f(x) dx =
a0
2
2¼ ) a0 =
1
¼
Z ¼
¡¼
f(x) dx
Z ¼
¡¼
f(x) sen nx dx = bn
Z ¼
¡¼
sen2 x dx = bn¼ ) bn =
1
¼
Z ¼
¡¼
f(x) sen nx dx
Las anteriores propiedades de las funciones sen nx; cosmx se pueden resumir en que
el sistema
f1; sen x; sen 2x; ¢ ¢ ¢ ; cos x; cos 2x ¢ ¢ ¢g
es un sistema Z ortogonal de funciones respecto del producto escalar
¼
(f(x); g(x)) =
¡¼
f(x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi¶on de un
vector f(x) como combinaci¶on lineal de los vectores de la anterior base ortogonal.
De¯nici¶on 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [¡L;L]
a:
f(x) »
a0
2
+
1X
n=1
µ
an cos
n¼
L
x + bn sen
n¼
L
x
¶
donde a0 =
1
L
Z L
¡L
f(x) dx an =
1
L
Z L
¡L
f(x) cos
n¼
L
x dx
bn =
1
L
Z L
¡L
f(x) sen
n¼
L
x dx
Este hecho se basa en que el sistema de vectores
½
1; sen
¼x
L
; sen
2¼x
L
; ¢ ¢ ¢ ; cos
¼x
L
; cos
2¼x
L
; ¢ ¢ ¢
¾
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
(f(x); g(x)) =
Z L
¡L
f(x)g(x) dx
An¶alogamente se puede de¯nir la serie de Fourier de una funci¶on f(x) de¯nida en un
intervalo [a; b] haciendo una traslaci¶on del punto medio
a + b
2
al origen.

3. 7.1. Series de Fourier 3
Tomo L = b ¡
a + b
2
=
b ¡ a
2
¡ L = a ¡
a + b
2
=
a ¡ b
2
De¯nici¶on 7.3 Se llama serie de Fourier de una funci¶on f(x) en el intervalo [a; b] a
f(x) =
a0
2
+
1X
n=1
Ã
an cos
n¼
b¡a
2
x + bn sen
n¼
b¡a
2
x
!
donde a0 =
2
b ¡ a
Z b
a
f(x) dx an =
2
b ¡ a
Z b
a
f(x) cos
2n¼
b ¡ a
x dx
bn =
2
b ¡ a
Z b
a
f(x) sen
2n¼
b ¡ a
x dx
Las series anteriores tambi¶en se podr¶³an haber escrito de la forma:
f(x) » C0 +
1X
n=1
Cn cos(n!0t ¡ µn)
donde Cn =
q
a2
n + b2
n; cos µn =
a q n
a2
n + b2
n
sen µn =
bn q
a2
n + b2
n
µn = arctang
bn
an
siendo !0 = 1;
¼
L
;
2¼
b ¡ a
seg¶un hayamos utilizado una de las tres f¶ormulas anteriores.
La componente sinusoidal de frecuencia !n = n!0 se denomina la en¶esima arm¶onica
de la funci¶on peri¶odica. La primera arm¶onica se conoce comunmente con el nombre de
fundamental porque tiene el mismo periodo que la funci¶on y !0 =
2¼
T
se conoce con
el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coe¯cientes Cn y los ¶angulos µn se
conocen como amplitudes arm¶onicas y ¶angulos de fase, respectivamente. En M¶usica, a la
primera arm¶onica, segunda arm¶onica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono,
segundo tono, etc.
Quedan muchas cuestiones por resolver:
² > Qu¶e debe cumplir f(x) para que su serie de Fourier converja?
² Si converge, > lo hace a f(x)?
² > Es posible integrar t¶ermino a t¶ermino?. > Y derivar?
Estas preguntas las responderemos con los siguientes teoremas.

4. 4 Tema 7. Series de Fourier
7.1.1 Convergencia de las series de Fourier
Teorema 7.1 (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier)
Si f(x) y f '(x) son continuas a trozos en [¡L;L], entonces 8x 2 (¡L;L) se veri¯ca:
a0
2
+
1X
n=1
µ
an cos
n¼
L
x + bn sen
n¼
L
x
¶
=
1
2
h
f(x+) + f(x¡)
i
Para x = §L la serie de Fourier converge a
1
2
h
f(¡L+) + f(L¡)
i
.
Teorema 7.2 (Teorema de convergencia uniforme de series de Fourier)
Sea f(x) una funci¶on continua en (¡1;1) y con periodo 2L. Si f '(x) es continua a
trozos en [¡L;L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge uniformemente a f(x) en
[¡L;L] y por consiguiente en cualquier intervalo.
7.1.2 Diferenciaci¶on de series de Fourier
Teorema 7.3 Sea f(x) una funci¶on continua en (¡1;1) y con periodo 2L. Sean f '(x),
f"(x) continuas por segmentos en [¡L;L]. Entonces la serie de Fourier de f '(x) se puede
obtener de la serie de Fourier de f(x) mediante diferenciaci¶on t¶ermino a t¶ermino. En
particular, si
f(x) =
a0
2
+
1X
n=1
µ
an cos
n¼
L
x + bn sen
n¼
L
x
¶
entonces
f0(x) =
1X
n=1
n¼
L
µ
¡an sen
n¼
L
x + bn cos
n¼
L
x
¶
7.1.3 Integraci¶on de series de Fourier
Teorema 7.4 Sea f(x) continua a trozos en [¡L;L] con serie de Fourier
f(x) »
a0
2
+
1X
n=1
µ
an cos
n¼
L
x + bn sen
n¼
L
x
¶
entonces 8x 2 [¡L;L] se veri¯ca:
Z x
¡L
f(t) dt =
Z x
¡L
a0
2
+
1X
n+1
Z x
¡L
µ
an cos
n¼
L
t + bn sen
n¼
L
¶
dt
t

5. 7.2. F¶ormula de Parseval 5
7.2 F¶ormula de Parseval
Los tres resultados te¶oricos m¶as importantes para el manejo de las series de Fourier
son: el teorema de convergencia, el teorema de unicidad, seg¶un el cual todo desarrollo en
serie trigonom¶etrica, de una funci¶on, es su desarrollo de Fourier, y la f¶ormula de Parseval.
Teorema 7.5 (F¶ormula de Parseval)
Sea f una funci¶on continua a trozos en el intervalo [¡¼; ¼]. Sean a0, an y bn los
coe¯cientes del desarrollo de Fourier de f. Entonces se veri¯ca:
1
¼
Z ¼
¡¼
[f(x)]2 dx =
1
2
a20
+
1X
n=1
³
a2
n + b2
n
´
Demostraci¶on Aunque esta f¶ormula es v¶alida para todas las funciones continuas a
trozos, nos limitaremos, por comodidad, a probarla en el caso en que la serie de Fourier
converge uniformemente a f en el intervalo [¡¼; ¼].
Partiendo de la relaci¶on: f(x) =
a0
2
+
1X
(an cos nx + bn sen nx) ¡ ¼ < x < ¼
n=1
uniformemente. Multiplicando por f(x) se obtiene:
[f(x)]2 =
a0
2
f(x) +
1X
(anf(x) cos nx + bnf(x) sen nx) ¡ ¼ < x < ¼
n=1
uniformemente. Por tanto, al integrar t¶ermino a t¶ermino, se obtiene:
Z ¼
¡¼
[f(x)]2 dx =
1
2
a20
¼ +
1X
n=1
³
a2
n¼ + b2
n¼
´
de donde, dividiendo por ¼, obtenemos el resultado deseado.
7.3 Funciones pares e impares
De¯nici¶on 7.4 (Funci¶on par, funci¶on impar)
Decimos que una funci¶on f(x) es par si f(-x) = f(x).
Decimos que una funci¶on f(x) es impar si f(-x) = - f(x).

6. 6 Tema 7. Series de Fourier
Propiedades
² El producto de dos funciones pares es par.
² El producto de dos funciones impares es par.
² El producto de una funci¶on par por una impar es impar.
² Si f(x) es par )
Z a
¡a
f(x) dx = 2
Z a
0
f(x) dx
² Si f(x) es impar )
Z a
¡a
f(x) dx = 0
Desarrollo en serie de Fourier de una funci¶on par
Sea f(x) una funci¶on par. Vamos a calcularle su serie de Fourier en el intervalo [¡L; L].
a0 =
1
L
Z L
¡L
f(x) dx = [por ser f par] =
2
L
Z L
0
f(x) dx
an =
1
L
Z L
¡L
f(x) cos
n¼
L
x dx =
2
L
Z L
0
f(x) cos
n¼
L
x dx por ser f(x) y cos x fun-
ciones pares con lo que su producto es tambi¶en una funci¶on par.
bn =
1
L
Z L
¡L
f(x) sen
n¼
L
x dx = 0 por ser el producto de una funci¶on par (f(x)) por
una impar (sen x) una funci¶on impar.
Luego
f(x) »
a0
2
+
1X
n=1
an cos
n¼
L
Es decir, la serie de Fourier de una funci¶on par en el intervalo [¡L;L] es una serie en
la que s¶olo aparecen cosenos.
Desarrollo en serie de Fourier de una funci¶on impar
Haciendo c¶alculos an¶alogos se obtiene a0 = an = 0
Es decir, la serie de Fourier de una funci¶on impar en el intervalo [¡L;L] es una serie
en la que s¶olo aparecen senos.
f(x) »
1X
n=1
an sen
n¼
L

7. 7.4. Desarrollos para funciones de¯nidas en medio intervalo 7
7.4 Desarrollos para funciones de¯nidas en medio in-
tervalo
Supongamos que tenemos una funci¶on de¯nida en el intervalo [0;L]. Para hallar su
desarrollo en serie de Fourier podemos optar por de¯nirla en el intervalo [¡L; 0] de las
siguientes tres formas y obtener distintos desarrollos de Fourier.
Caso I
Extendemos f(x) al intervalo [¡L; 0] de forma que obtenga una funci¶on par.
Obtenemos as¶³ un desarrollo en serie de cosenos.
Caso II
Extendemos f(x) al intervalo [¡L; 0] de forma que obtenga una funci¶on impar.
Obtenemos as¶³ un desarrollo en serie de senos.
Caso III
Extendemos f(x) al intervalo [¡L; 0] de forma que obtenga una funci¶on peri¶odica de
periodo L.
Obtenemos as¶³ un desarrollo en serie de cosenos y senos.
7.5 Forma compleja de la Serie de Fourier
En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas series
en t¶erminos de los exponenciales complejos e§jn!0t.
Si se considera la serie de Fourier de una funci¶on peri¶odica f(t),como
f(t) =
1
2
a0 +
1X
(an cos n!0t + bn sen !0t)
n=1
donde !0 =
2¼
T
.

8. 8 Tema 7. Series de Fourier
Sabemos que :
cos n!0t =
1
2
³
ejn!0t + e¡jn!0t
´
sen n!0t =
1
2j
³
ejn!0t ¡ e¡jn!0t
´
Sustituyendo estas expresiones en la anterior de la serie de Fourier:
f(t) =
1
2
a0 +
1X
n=1
·
an
1
2
³
ejn!0t + e¡jn!0t
´
¡ bn
j
2
³
ejn!0t ¡ e¡jn!0t
´¸
Como
1
j
= ¡j , podemos expresar f(t) como
f(t) =
1
2
a0 +
1X
n=1
·
1
2
(an ¡ jbn) ejn!0t +
1
2
(an + jbn) e¡jn!0t
¸
LLamando c0 =
1
2
a0; cn =
1
2
(an ¡ jbn) ; c¡n =
1
2
(an + jbn) , entonces:
f(t)=c0 +
1X
n=1
³
cnejn!0t + c¡ne¡jn!0t
´
=
=c0 +
1X
n=1
cnejn!0t +
¡X1
n=¡1
cne¡jn!0t =
1X
n=¡1
cnejn!0t
Esta ¶ultima ecuaci¶on se denomina serie compleja de Fourier de f(t).
Los coe¯cientes de Fourier se pueden evaluar f¶acilmente en t¶erminos de an y bn, los
cuales ya los conocemos:
c0 =
1
2
a0 =
1
T
Z T=2
¡T=2
f(t) dt
cn =
1
2
(an ¡ jbn) = [desarrollando] =
1
T
Z T=2
¡T=2
f(t)e¡jn!0t dt
c¡n =
1
2
(an + jbn) = [desarrollando] =
1
T
Z T=2
¡T=2
f(t)ejn!0t dt
donde jcnj =
1
2
q
a2
n + b2
n

9. 7.5. Forma compleja de la Serie de Fourier 9
De¯nici¶on 7.5 (Producto escalar en lC)
Dadas dos funciones complejas f(t) y g(t) de¯nimos su producto escalar complejo en
el intervalo [a; b] como
(f(t); g(t)) = f(t) ¢ g(t) =
Z b
a
f(t)g¤(t) dt
donde g¤(t) representa el conjugado complejo de g(t).
De¯nici¶on 7.6 ( Sistema ortogonal en lC)
un conjunto de funciones complejas ff1(t); f2(t); ¢ ¢ ¢ ; fn(t)g se dicen que es un sistema
ortogonal en el intervalo [a; b] si
Z b
a
fm(t)f¤
k (t) dt =
(
0 para k6= m
rk para k = m
Proposici¶on 7.1 El conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier fejn!0tg ;
n = 0;§1;§2; ¢ ¢ ¢, forman un sistema de funciones ortogonales.
De¯nici¶on 7.7 (Espectros de frecuencia compleja)
La gr¶a¯ca de la magnitud de los coe¯cientes complejos cn de la serie de Fourier
1X
n=¡1
cnejn!0t frente a (versus) la frecuencia ! (frecuencia angular) se denomina es-
pectro de amplitud de la funci¶on peri¶odica f(t).
La gr¶a¯ca del ¶angulo de fase 'n de cn = jcnje¡j'n frente a ! se denomina espectro
de fase de f(t).
Como el ¶³dice n toma solamente valores enteros, los espectros de amplitud y fase no
son curvas continuas sino que aparecen en la variable discreta n!0; por consiguiente, se
les denomina espectros de frecuencia discreta o espectros de l¶³neas.
La representaci¶on de los coe¯cientes complejos cn frente a la variable discreta n!0,
especi¯ca la funci¶on peri¶odica f(t) en el diminio de la frecuencia, as¶³ como f(t) versus t
especi¯ca la funci¶on en el dominio del tiempo.
Proposici¶on 7.2 El desplazamiento en el tiempo de una funci¶on peri¶odica no tiene efecto
sobre el espectro de amplitud, pero modi¯ca el espectro de fase en una cantidad de ¡n!0¿
radianes para la componente de frecuencia n!0 si el desplazamiento en el tiempo es ¿ .

10. 10 Tema 7. Series de Fourier
7.6 Filtrado de series de Fourier
Supongamos que deseamos obtener la tensi¶on (o corriente) de salida de un sistema
lineal y sabemos que la entrada es una se~nal peri¶odica no lineal. Utilizando la serie
de Fourier para descomponer la se~nal de entrada, en sus componentes senoidales, pode-
mos hacer pasar separadamente cada componente a trav¶es del sistema. (Se pueden usar
m¶etodos conocidos para operar con entradas senoidales: fasores, impedancias, etc.). Por
superposici¶on, sabemos que la se~nal de salida total es la suma de todas las salidas de las
componentes senoidales.
Esta onda de salida total es la salida estacionaria debida a la se~nal de entrada no
senoidal. Es la respuesta particular del sistema a la se~nal de entrada no senoidal.
Es decir, esta entrada ha estado excitando al sistema durante el tiempo su¯ciente para
que haya desaparecido cualquier respuesta transitoria (respuesta natural debida a las
condiciones iniciales que pudieran haber estado presentes al principio de haber aplicado
la se~nal de entrada).
Un ¯ltro pasa-bajos ideal (no realizable) tiene una funci¶on de transferencia H(j!)
de las siguientes caracter¶³sticas:
=H(j!) = 0 jH(j!)j =
(
1 ¡!c < ! < +!c
0 otros valores
)
Esto signi¯ca que si una se~nal peri¶odica no senoidal se aplica al ¯ltro, la salida es-
tar¶a formada por aquellas componentes senoidales de Fourier aplicadas a la entrada cuya
frecuencia angular sea inferior a !c.
Para que una onda peri¶odica de forma arbitraria pase sin distorsi¶on a trav¶es de un
sistema lineal , llamada transmisi¶on sin distorsi¶on (por ejemplo, un ampli¯cador de
alta ¯delidad), cualquier desplazamiento de fase introducido por el sistema debe ser pro-
porcional al n¶umero del arm¶onico (a la frecuencia). Es decir, resulta necesario que el
¶angulo de la funci¶on de transferencia del sistema =H(j!) , sea una funci¶on lineal de la
frecuencia.
7.7 Series ¯nitas de Fourier
Supongamos que, dada una funci¶on peri¶odica, intentamos obtener una serie aproxi-
mada utilizando s¶olo un n¶umero ¯nito n de t¶erminos arm¶onicos. Designemos esta aprox-

11. 7.7. Series ¯nitas de Fourier 11
imaci¶on de n t¶erminos por fn(t):
fn(t) =
Xn
k=¡n
®kejk!0t (7.1)
donde el valor num¶erico ®k tiene que ser calculado. Si para evaluar los t¶erminos de la
ecuaci¶on ( 7.1), tomamos espec¶³¯camente
®k =
1
T
Z t0+T
t0
f(t)e¡jk!0t dt
podemos llamar a nuestra aproximaci¶on serie de Fourier truncada.
En cualquier instante de tiempo, la diferencia entre una aproximaci¶on fn(t) y la onda
real f(t) es el error en(t)
en(t) = f(t) ¡ fn(t)
Este error puede ser positivo o negativo. Para dar una medida de mayor calidad en la
aproximaci¶on vamos a elegir el error cuadr¶atico medio, de¯nido por
e2
n(t) =
1
T
Z t0+T
t0
e2
n(t) dt
Desarrollando
e2
n(t) =
1
T
Z t0+T
t0
[f(t) ¡ fn(t)]2 dt =
1
T
Z t0+T
t0
2
4f(t) ¡
Xn
k=¡n
®kejk!0t
3
5
2
dt
Buscamos el conjunto de coe¯cientes ®k que minimizan este error cuadr¶atico medio.
Para ello, se debe veri¯car
@e2
n(t)
@®k
= 0 8k
Consideremos el coe¯ciente m-¶esimo:
@e2
n(t)
@®m
=
@
@®m
8>< >:
1
T
Z t0+T
t0
2
4f(t) ¡
Xn
k=¡n
®kejk!0t
3
5
9>=
>;
2
dt
= 0
Es decir
1
T
Z t0+T
t0
2
2
4f(t) ¡
Xn
k=¡n
®kejk!0t
3
5 [¡ejm!0t] dt = 0

12. 12 Tema 7. Series de Fourier
o
¡
2
T
Z t0+T
t0
f(t)ejm!0t dt +
2
T
Z t0+T
t0
Xn
k=¡n
®kej(k+m)!0t dt = 0 (7.2)
La integral del segundo t¶ermino es suma de integrales particulares. Teniendo en cuenta
la propiedad de ortogonalidad, todas son nulas excepto en la que k = ¡m.
Para k = ¡m la ecuaci¶on ( 7.2) se puede expresar como
¡
Z t0+T
t0
f(t)ejm!0t dt +
Z t0+T
t0
®¡m dt = ¡
Z t0+T
t0
f(t)ejm!0t dt + ®¡m(t0 + T ¡ t0) = 0
de donde
®¡m=
1
T
Z t0+T
t0
f(t)ejm!0t dt
o
®k=
1
T
Z t0+T
t0
f(t)e¡jk!0t dt
que es la de¯nici¶on de los coe¯cientes de Fourier.
En consecuencia, los coe¯cientes de Fourier minimizan el error cuadr¶atico medio entre
la funci¶on real f(t) y cualquier serie arm¶onica aproximada de longitud ¯nita.
Evidentemente, cuantos m¶as arm¶onicos tomemos en la serie, mayor ser¶a la aproxi-
maci¶on y, en consecuencia, menor ser¶a el error cuadr¶atico medio. Sin embargo, a¶un
utilizando un n¶umero in¯nito de t¶erminos, si la funci¶on tiene alguna discontinuidad (por
ejemplo la funci¶on de onda cuadrada), nunca podremos lograr una r¶eplica perfecta de la
original f(t). Cualquier discontinuidad producir¶a un transitorio que sobrepasa la onda
por la parte superior e inferior de cada discontinuidad. Cada uno de estos transitorios
tiene una elongaci¶on m¶axima de aproximadamente el 9% de la altura de la respectiva
discontinuidad. Este efecto, observado por J. W. Gibbs, se llama efecto Gibbs.
Adema¶s, cualquier aproximaci¶on de t¶erminos ¯nitos de Fourier corta a cada discon-
tinuidad por su valor medio (mitad entre el valor superior e inferior).