Este documento introduce las series de Fourier. 1) Estas surgieron históricamente al resolver problemas de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de separación de variables. 2) Aunque inicialmente se pensó que no era posible expresar funciones generales como suma de senos y cosenos, Fourier demostró esta posibilidad mediante la recopilación de datos. 3) El documento procede a definir las series de Fourier y establecer sus propiedades de convergencia, diferenciación e integración.

1. Tema 7
Series de Fourier
´
Nuestro principal objetivo es introducir las series de Fourier. Estas surgieron hist´ricamente
o
al resolver por el m´todo de separaci´n de variables un problema de contorno de ecuaciones
e o
en derivadas parciales.
Cuando estas f´rmulas fueron propuestas por Daniel Bernouilli en 1.753, muchos
o
matem´ticos pensaron que era imposible expresar una funci´n f (x) cualquiera como suma
a o
de senos y cosenos. Fue un ingeniero, Joseph Fourier, el que se encarg´ de recopilar datos
o
para convencer al mundo cient´ıfico de tal posibilidad.
7.1 Series de Fourier
Definici´n 7.1 (Serie de Fourier)
o
Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [−π, π] a:
o
∞
a0
f (x) = + (an cos nx + bn sen nx) (∗)
2 n=1
A los coeficientes a0 , a1 , · · · , an , b0 , b1 , · · · , bn se les llama coeficientes de Fourier de
f(x) en [−π, π].
Debido a que
π 0 si n = m π π
sen mx sen nx dx = cos nx dx = 0 sen nx dx = 0
−π =0 si n = m −π −π
1

2. 2 Tema 7. Series de Fourier
π 0 si n = m π
cos mx cos nx dx = sen mx cos nx dx = 0
−π =0 si n = m −π
e integrando t´rmino a t´rmino en la igualdad (∗) obtenemos:
e e
π π 1 π
f (x) cos nx dx = an cos2 x dx = an π ⇒ an = f (x) cos nx dx
−π −π π −π
π a0 1 π
f (x) dx = 2π ⇒ a0 = f (x) dx
−π 2 π −π
π π 1 π
f (x) sen nx dx = bn sen2 x dx = bn π ⇒ bn = f (x) sen nx dx
−π −π π −π
Las anteriores propiedades de las funciones sen nx, cos mx se pueden resumir en que
el sistema
{1, sen x, sen 2x, · · · , cos x, cos 2x · · ·}
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
π
(f (x), g(x)) = f (x)g(x) dx y la serie de Fourier no es mas que la expresi´n de un
o
−π
vector f (x) como combinaci´n lineal de los vectores de la anterior base ortogonal.
o
Definici´n 7.2 Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [−L, L]
o o
a: ∞
a0 nπ nπ
f (x) ∼ + an cos x + bn sen x
2 n=1 L L
1 L 1 L nπ
donde a0 = f (x) dx an = f (x) cos x dx
L −L L −L L
1 L nπ
bn = f (x) sen x dx
L −L L
Este hecho se basa en que el sistema de vectores
πx 2πx πx 2πx
1, sen
, sen , · · · , cos , cos ,···
L L L L
es un sistema ortogonal de funciones respecto del producto escalar
L
(f (x), g(x)) = f (x)g(x) dx
−L
An´logamente se puede definir la serie de Fourier de una funci´n f (x) definida en un
a o
a+b
intervalo [a, b] haciendo una traslaci´n del punto medio
o al origen.
2

3. 7.1. Series de Fourier 3
a+b b−a a+b a−b
Tomo L = b − = −L=a− =
2 2 2 2
Definici´n 7.3 Se llama serie de Fourier de una funci´n f(x) en el intervalo [a, b] a
o o
∞
a0 nπ nπ
f (x) = + an cos b−a x + bn sen b−a x
2 n=1 2 2
2 b 2 b 2nπ
donde a0 = f (x) dx an = f (x) cos x dx
b−a a b−a a b−a
2 b 2nπ
bn = f (x) sen x dx
b−a a b−a
Las series anteriores tambi´n se podr´ haber escrito de la forma:
e ıan
∞
f (x) ∼ C0 + Cn cos(nω0 t − θn )
n=1
an
donde Cn = a2 + b2 ,
n n cos θn =
a2 + b2
n n
bn bn
sen θn = θn = arctang
a2 + b2
n n
an
π 2π
siendo ω0 = 1, , seg´n hayamos utilizado una de las tres f´rmulas anteriores.
u o
L b−a
La componente sinusoidal de frecuencia ωn = nω0 se denomina la en´sima arm´nica
e o
de la funci´n peri´dica. La primera arm´nica se conoce comunmente con el nombre de
o o o
2π
fundamental porque tiene el mismo periodo que la funci´n y ω0 =
o se conoce con
T
el nombre de frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ´ngulos θn se
a
conocen como amplitudes arm´nicas y ´ngulos de fase, respectivamente. En M´sica, a la
o a u
primera arm´nica, segunda arm´nica, etc. se le suele llamar fundamental, primer tono,
o o
segundo tono, etc.
Quedan muchas cuestiones por resolver:
• ¿ Qu´ debe cumplir f (x) para que su serie de Fourier converja?
e
• Si converge, ¿ lo hace a f (x)?
• ¿ Es posible integrar t´rmino a t´rmino?. ¿ Y derivar?
e e
Estas preguntas las responderemos con los siguientes teoremas.

4. 4 Tema 7. Series de Fourier
7.1.1 Convergencia de las series de Fourier
Teorema 7.1 (Teorema de convergencia puntual para series de Fourier)
Si f(x) y f ’(x) son continuas a trozos en [−L, L], entonces ∀x ∈ (−L, L) se verifica:
∞
a0 nπ nπ 1
+ an cos x + bn sen x = f (x+ ) + f (x− )
2 n=1 L L 2
1
Para x = ±L la serie de Fourier converge a f (−L+ ) + f (L− ) .
2
Teorema 7.2 (Teorema de convergencia uniforme de series de Fourier)
Sea f(x) una funci´n continua en (−∞, ∞) y con periodo 2L. Si f ’(x) es continua a
o
trozos en [−L, L], entonces la serie de Fourier de f(x) converge uniformemente a f(x) en
[−L, L] y por consiguiente en cualquier intervalo.
7.1.2 Diferenciaci´n de series de Fourier
o
Teorema 7.3 Sea f(x) una funci´n continua en (−∞, ∞) y con periodo 2L. Sean f ’(x),
o
f ”(x) continuas por segmentos en [−L, L]. Entonces la serie de Fourier de f ’(x) se puede
obtener de la serie de Fourier de f(x) mediante diferenciaci´n t´rmino a t´rmino. En
o e e
particular, si
∞
a0 nπ nπ
f (x) = + an cos x + bn sen x
2 n=1 L L
entonces ∞
nπ nπ nπ
f (x) = −an sen x + bn cos x
n=1 L L L
7.1.3 Integraci´n de series de Fourier
o
Teorema 7.4 Sea f(x) continua a trozos en [−L, L] con serie de Fourier
∞
a0 nπ nπ
f (x) ∼ + an cos x + bn sen x
2 n=1 L L
entonces ∀x ∈ [−L, L] se verifica:
∞
x x a0 x nπ nπ
f (t) dt = + an cos t + bn sen t dt
−L −L 2 n+1 −L L L

5. 7.2. F´rmula de Parseval
o 5
7.2 F´rmula de Parseval
o
Los tres resultados te´ricos m´s importantes para el manejo de las series de Fourier
o a
son: el teorema de convergencia, el teorema de unicidad, seg´n el cual todo desarrollo en
u
serie trigonom´trica, de una funci´n, es su desarrollo de Fourier, y la f´rmula de Parseval.
e o o
Teorema 7.5 (F´rmula de Parseval)
o
Sea f una funci´n continua a trozos en el intervalo [−π, π]. Sean a0 , an y bn los
o
coeficientes del desarrollo de Fourier de f. Entonces se verifica:
∞
1 π 1
[f (x)]2 dx = a2 + a2 + b2
π −π 2 0 n=1 n n
Demostraci´n Aunque esta f´rmula es v´lida para todas las funciones continuas a
o o a
trozos, nos limitaremos, por comodidad, a probarla en el caso en que la serie de Fourier
converge uniformemente a f en el intervalo [−π, π].
∞
a0
Partiendo de la relaci´n:
o f (x) = + (an cos nx + bn sen nx) −π <x<π
2 n=1
uniformemente. Multiplicando por f (x) se obtiene:
∞
a0
[f (x)]2 = f (x) + (an f (x) cos nx + bn f (x) sen nx) −π <x<π
2 n=1
uniformemente. Por tanto, al integrar t´rmino a t´rmino, se obtiene:
e e
∞
π 1
[f (x)]2 dx = a2 π + a 2 π + b2 π
−π 2 0 n=1
n n
de donde, dividiendo por π, obtenemos el resultado deseado.
7.3 Funciones pares e impares
Definici´n 7.4 (Funci´n par, funci´n impar)
o o o
Decimos que una funci´n f(x) es par si f(-x) = f(x).
o
Decimos que una funci´n f(x) es impar si f(-x) = - f(x).
o

6. 6 Tema 7. Series de Fourier
Propiedades
• El producto de dos funciones pares es par.
• El producto de dos funciones impares es par.
• El producto de una funci´n par por una impar es impar.
o
a a
• Si f(x) es par ⇒ f (x) dx = 2 f (x) dx
−a 0
a
• Si f(x) es impar ⇒ f (x) dx = 0
−a
Desarrollo en serie de Fourier de una funci´n par
o
Sea f (x) una funci´n par. Vamos a calcularle su serie de Fourier en el intervalo [−L, L].
o
1 L 2 L
a0 = f (x) dx = [por ser f par] = f (x) dx
L −L L 0
1 L nπ 2 L nπ
an = f (x) cos x dx = f (x) cos x dx por ser f (x) y cos x fun-
L −L L L 0 L
ciones pares con lo que su producto es tambi´n una funci´n par.
e o
1 L nπ
bn = f (x) sen x dx = 0 por ser el producto de una funci´n par (f (x)) por
o
L −L L
una impar (sen x) una funci´n impar.
o
Luego
∞
a0 nπ
f (x) ∼ + an cos
2 n=1 L
Es decir, la serie de Fourier de una funci´n par en el intervalo [−L, L] es una serie en
o
la que s´lo aparecen cosenos.
o
Desarrollo en serie de Fourier de una funci´n impar
o
Haciendo c´lculos an´logos se obtiene a0 = an = 0
a a
Es decir, la serie de Fourier de una funci´n impar en el intervalo [−L, L] es una serie
o
en la que s´lo aparecen senos.
o
∞
nπ
f (x) ∼ an sen
n=1 L

7. 7.4. Desarrollos para funciones definidas en medio intervalo 7
7.4 Desarrollos para funciones definidas en medio in-
tervalo
Supongamos que tenemos una funci´n definida en el intervalo [0, L]. Para hallar su
o
desarrollo en serie de Fourier podemos optar por definirla en el intervalo [−L, 0] de las
siguientes tres formas y obtener distintos desarrollos de Fourier.
Caso I
Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funci´n par.
o
Obtenemos as´ un desarrollo en serie de cosenos.
ı
Caso II
Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funci´n impar.
o
Obtenemos as´ un desarrollo en serie de senos.
ı
Caso III
Extendemos f(x) al intervalo [−L, 0] de forma que obtenga una funci´n peri´dica de
o o
periodo L.
Obtenemos as´ un desarrollo en serie de cosenos y senos.
ı
7.5 Forma compleja de la Serie de Fourier
En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas series
en t´rminos de los exponenciales complejos e±jnω0 t .
e
Si se considera la serie de Fourier de una funci´n peri´dica f (t),como
o o
∞
1
f (t) = a0 + (an cos nω0 t + bn sen ω0 t)
2 n=1
2π
donde ω0 = .
T

8. 8 Tema 7. Series de Fourier
Sabemos que :
1 jnω0 t
cos nω0 t = e + e−jnω0 t
2
1 jnω0 t
sen nω0 t = e − e−jnω0 t
2j
Sustituyendo estas expresiones en la anterior de la serie de Fourier:
∞
1 1 j
f (t) = a0 + an ejnω0 t + e−jnω0 t − bn ejnω0 t − e−jnω0 t
2 n=1 2 2
1
Como = −j , podemos expresar f (t) como
j
∞
1 1 1
f (t) = a0 + (an − jbn ) ejnω0 t + (an + jbn ) e−jnω0 t
2 n=1 2 2
1 1 1
LLamando c0 = a0 , cn = (an − jbn ) , c−n = (an + jbn ) , entonces:
2 2 2
∞
f (t)=c0 + cn ejnω0 t + c−n e−jnω0 t =
n=1
∞ −∞ ∞
=c0 + cn ejnω0 t + cn e−jnω0 t = cn ejnω0 t
n=1 n=−1 n=−∞
Esta ultima ecuaci´n se denomina serie compleja de Fourier de f (t).
´ o
Los coeficientes de Fourier se pueden evaluar f´cilmente en t´rminos de an y bn , los
a e
cuales ya los conocemos:
1 1 T /2
c0 = a0 = f (t) dt
2 T −T /2
1 1 T /2
cn = (an − jbn ) = [desarrollando] = f (t)e−jnω0 t dt
2 T −T /2
1 1 T /2
c−n = (an + jbn ) = [desarrollando] = f (t)ejnω0 t dt
2 T −T /2
1 2
donde |cn | = a + b2
2 n n

9. 7.5. Forma compleja de la Serie de Fourier 9
Definici´n 7.5 (Producto escalar en C)
o l
Dadas dos funciones complejas f(t) y g(t) definimos su producto escalar complejo en
el intervalo [a, b] como
b
(f (t), g(t)) = f (t) · g(t) = f (t)g ∗ (t) dt
a
donde g ∗ (t) representa el conjugado complejo de g(t).
Definici´n 7.6 ( Sistema ortogonal en C)
o l
un conjunto de funciones complejas {f1 (t), f2 (t), · · · , fn (t)} se dicen que es un sistema
ortogonal en el intervalo [a, b] si
b 0 para k = m
∗
fm (t)fk (t) dt =
a rk para k = m
Proposici´n 7.1 El conjunto de funciones complejas de la serie de Fourier {ejnω0 t } ,
o
n = 0, ±1, ±2, · · ·, forman un sistema de funciones ortogonales.
Definici´n 7.7 (Espectros de frecuencia compleja)
o
La gr´fica de la magnitud de los coeficientes complejos cn de la serie de Fourier
a
∞
cn ejnω0 t frente a (versus) la frecuencia ω (frecuencia angular) se denomina es-
n=−∞
pectro de amplitud de la funci´n peri´dica f(t).
o o
La gr´fica del ´ngulo de fase ϕn de cn = |cn |e−jϕn frente a ω se denomina espectro
a a
de fase de f(t).
Como el ´
ıdice n toma solamente valores enteros, los espectros de amplitud y fase no
son curvas continuas sino que aparecen en la variable discreta nω0 ; por consiguiente, se
les denomina espectros de frecuencia discreta o espectros de l´ ıneas.
La representaci´n de los coeficientes complejos cn frente a la variable discreta nω0 ,
o
especifica la funci´n peri´dica f (t) en el diminio de la frecuencia, as´ como f (t) versus t
o o ı
especifica la funci´n en el dominio del tiempo.
o
Proposici´n 7.2 El desplazamiento en el tiempo de una funci´n peri´dica no tiene efecto
o o o
sobre el espectro de amplitud, pero modifica el espectro de fase en una cantidad de −nω0 τ
radianes para la componente de frecuencia nω0 si el desplazamiento en el tiempo es τ .

10. 10 Tema 7. Series de Fourier
7.6 Filtrado de series de Fourier
Supongamos que deseamos obtener la tensi´n (o corriente) de salida de un sistema
o
lineal y sabemos que la entrada es una se˜al peri´dica no lineal. Utilizando la serie
n o
de Fourier para descomponer la se˜al de entrada, en sus componentes senoidales, pode-
n
mos hacer pasar separadamente cada componente a trav´s del sistema. (Se pueden usar
e
m´todos conocidos para operar con entradas senoidales: fasores, impedancias, etc.). Por
e
superposici´n, sabemos que la se˜al de salida total es la suma de todas las salidas de las
o n
componentes senoidales.
Esta onda de salida total es la salida estacionaria debida a la se˜al de entrada no
n
senoidal. Es la respuesta particular del sistema a la se˜al de entrada no senoidal.
n
Es decir, esta entrada ha estado excitando al sistema durante el tiempo suficiente para
que haya desaparecido cualquier respuesta transitoria (respuesta natural debida a las
condiciones iniciales que pudieran haber estado presentes al principio de haber aplicado
la se˜al de entrada).
n
Un filtro pasa-bajos ideal (no realizable) tiene una funci´n de transferencia H(jω)
o
de las siguientes caracter´
ısticas:
1 −ωc < ω < +ωc
/H(jω) = 0 |H(jω)| =
0 otros valores
Esto significa que si una se˜al peri´dica no senoidal se aplica al filtro, la salida es-
n o
tar´ formada por aquellas componentes senoidales de Fourier aplicadas a la entrada cuya
a
frecuencia angular sea inferior a ωc .
Para que una onda peri´dica de forma arbitraria pase sin distorsi´n a trav´s de un
o o e
sistema lineal , llamada transmisi´n sin distorsi´n (por ejemplo, un amplificador de
o o
alta fidelidad), cualquier desplazamiento de fase introducido por el sistema debe ser pro-
porcional al n´mero del arm´nico (a la frecuencia). Es decir, resulta necesario que el
u o
´ngulo de la funci´n de transferencia del sistema /H(jω) , sea una funci´n lineal de la
a o o
frecuencia.
7.7 Series finitas de Fourier
Supongamos que, dada una funci´n peri´dica, intentamos obtener una serie aproxi-
o o
mada utilizando s´lo un n´mero finito n de t´rminos arm´nicos. Designemos esta aprox-
o u e o

11. 7.7. Series finitas de Fourier 11
imaci´n de n t´rminos por fn (t):
o e
n
fn (t) = αk ejkω0 t (7.1)
k=−n
donde el valor num´rico αk tiene que ser calculado. Si para evaluar los t´rminos de la
e e
ecuaci´n ( 7.1), tomamos espec´ficamente
o ı
1 t0 +T
αk = f (t)e−jkω0 t dt
T t0
podemos llamar a nuestra aproximaci´n serie de Fourier truncada.
o
En cualquier instante de tiempo, la diferencia entre una aproximaci´n fn (t) y la onda
o
real f (t) es el error en (t)
en (t) = f (t) − fn (t)
Este error puede ser positivo o negativo. Para dar una medida de mayor calidad en la
aproximaci´n vamos a elegir el error cuadr´tico medio, definido por
o a
1 t0 +T
e2 (t) =
n e2 (t) dt
n
T t0
Desarrollando
 2
n
1 t0 +T
2 1 t0 +T
f (t) − jkω0 t 
e2 (t) =
n [f (t) − fn (t)] dt = αk e dt
T t0 T t0 k=−n
Buscamos el conjunto de coeficientes αk que minimizan este error cuadr´tico medio.
a
∂e2 (t)
n
Para ello, se debe verificar = 0 ∀k
∂αk
Consideremos el coeficiente m-´simo:
e
  2 

1 n 

∂e2 (t)
n ∂ t0 +T
= f (t) − αk ejkω0 t  dt =0
∂αm ∂αm  T
 t0 k=−n


Es decir
 
n
1 t0 +T
2 f (t) − αk ejkω0 t  [−ejmω0 t ] dt = 0
T t0 k=−n

12. 12 Tema 7. Series de Fourier
o n
2 t0 +T 2 t0 +T
− f (t)ejmω0 t dt + αk ej(k+m)ω0 t dt = 0 (7.2)
T t0 T t0 k=−n
La integral del segundo t´rmino es suma de integrales particulares. Teniendo en cuenta
e
la propiedad de ortogonalidad, todas son nulas excepto en la que k = −m.
Para k = −m la ecuaci´n ( 7.2) se puede expresar como
o
t0 +T t0 +T t0 +T
− f (t)ejmω0 t dt + α−m dt = − f (t)ejmω0 t dt + α−m (t0 + T − t0 ) = 0
t0 t0 t0
de donde
1 t0 +T
α−m = f (t)ejmω0 t dt
T t0
o
1 t0 +T
αk = f (t)e−jkω0 t dt
T t0
que es la definici´n de los coeficientes de Fourier.
o
En consecuencia, los coeficientes de Fourier minimizan el error cuadr´tico medio entre
a
la funci´n real f (t) y cualquier serie arm´nica aproximada de longitud finita.
o o
Evidentemente, cuantos m´s arm´nicos tomemos en la serie, mayor ser´ la aproxi-
a o a
maci´n y, en consecuencia, menor ser´ el error cuadr´tico medio. Sin embargo, a´n
o a a u
utilizando un n´mero infinito de t´rminos, si la funci´n tiene alguna discontinuidad (por
u e o
ejemplo la funci´n de onda cuadrada), nunca podremos lograr una r´plica perfecta de la
o e
original f (t). Cualquier discontinuidad producir´ un transitorio que sobrepasa la onda
a
por la parte superior e inferior de cada discontinuidad. Cada uno de estos transitorios
tiene una elongaci´n m´xima de aproximadamente el 9% de la altura de la respectiva
o a
discontinuidad. Este efecto, observado por J. W. Gibbs, se llama efecto Gibbs.
Adema´, cualquier aproximaci´n de t´rminos finitos de Fourier corta a cada discon-
s o e
tinuidad por su valor medio (mitad entre el valor superior e inferior).