Este documento describe series de potencias y sus propiedades. Introduce la definición de una serie de potencias y discute su convergencia y radio de convergencia. Presenta ejemplos de series de potencias comunes y teoremas sobre las propiedades de las funciones representadas por series de potencias.

1. Cap´
ıtulo 9
Series de potencias. Desarrollos en
serie de Taylor
En la representaci´n (e incluso en la construcci´n) de funciones, desempe˜an un papel especial-
o o n
mente destacado cierto tipo de series, denominadas series de potencias. Los aspectos profundos de
su estudio corresponden a la teor´ de funciones de variable compleja m´s que a la teor´ de funcio-
ıa a ıa
nes de variable real, por lo que aqu´ damos simplemente algunas propiedades sencillas, suficientes
ı
para nuestros prop´sitos. Como referencia utilizamos [Apostol1].
o
9.1. Series de potencias
9.1.1. Convergencia de las series de potencias
Definici´n 9.1.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma
o
∞
an (x − c)n .
n=0
El n´mero real an se denomina coeficiente n-´simo de la serie de potencias (obs´rvese que el
u e e
t´rmino n-´simo es an (x − c)
e e n ). Si los coeficientes a , a , a
0 1 m−1 son nulos, la serie suele escribirse
∞
an (x − c)n .
n=m
En cierto modo, se trata de una especie de “polinomio con infinitos t´rminos”. Veremos que, a
e
la hora de operar con ellas, las funciones definidas como suma de una serie de potencias comparten
muchas propiedades con los polinomios.
¿Para qu´ valores de x converge una tal serie? Obviamente, es segura la convergencia para
e
x = c, con suma a0 , y puede suceder que ´ste sea el unico punto en el que la serie converge. Fuera
e ´
de este caso extremo, la situaci´n es bastante satisfactoria: veamos algunos ejemplos.
o
Ejemplos. (1) La serie geom´trica
e
∞
xn
n=0
converge (absolutamente) si y solo si x ∈ (−1, 1) (con suma 1/(1 − x), como sabemos).
(2) La serie
∞
xn
n
n=1
converge si y solo si x ∈ [−1, 1). Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente.
161

2. 162 CAP´
ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
(3) La serie
∞
1 n
x
n2
n=1
converge (absolutamente) si y solo si x ∈ [−1, 1].
(4) La serie
∞
(−1)n x2n
n
n=1
converge si y solo si x ∈ [−1, 1]. Si x ∈ (−1, 1), converge absolutamente.
(5) La serie
∞
xn
n!
n=0
converge (absolutamente) para todo x ∈ R (y la suma es ex ).
(6) La serie
∞
n! xn
n=0
converge solamente para x = 0.
Lema 9.1.2. Si para alg´n r ∈ (0, +∞) la sucesi´n (an rn ) est´ acotada, entonces para cada x ∈ R
u o a
∞
tal que |x − c| < r la serie an (x − c)n es absolutamente convergente.
n=0
Demostraci´n. Sea M tal que para todo n ≥ 0 se tenga |an rn | ≤ M . Entonces
o
n n
|x − c| |x − c|
0 ≤ |an (x − c)n | = |an |rn ≤M
r r
y como la serie geom´trica
e
∞ n
|x − c|
r
n=0
∞
converge, se deduce que la serie |an (x − c)n | tambi´n converge.
e
n=0
∞
Definici´n 9.1.3. Dada una serie de potencias
o an (x − c)n , su radio de convergencia es el
n=0
valor (finito o infinito) dado por
∞
R = sup{|x − c| : an (x − c)n converge}.
n=0
Si R > 0, el intervalo (c − R, c + R) se denomina intervalo de convergencia de la serie de
potencias.
∞
Teorema 9.1.4. Dada una serie de potencias an (x−c)n con radio de convergencia R, se tiene:
n=0
∞
a) Si |x − c| < R, la serie an (x − c)n converge absolutamente.
n=0

3. 9.1. SERIES DE POTENCIAS 163
b) Si |x − c| > R, la serie no converge y la sucesi´n (an (x − c)n ) no est´ acotada.
o a
Nota. Seg´n los ejemplos previos, cuando R es finito, nada puede decirse sobre la convergencia en
u
los puntos c + R, c − R.
Demostraci´n. a) De la definici´n de R se deduce que si |x − c| < R, debe existir un punto x1 tal
o o
∞ ∞
n
que |x − c| < |x1 − c| y an (x1 − c) converge. Aplicando el lema anterior, an (x − c)n debe
n=0 n=0
converger absolutamente.
b) Consecuencia directa de la definici´n de R.
o
∞
Ejemplos. (1) La serie xn tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para
n=1
x = −1 es oscilante.
∞
xn
(2) La serie tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 diverge a +∞ y para x = −1 es
n
n=1
convergente (pero no absolutamente).
∞
xn
(3) La serie tiene radio de convergencia 1. Para x = 1 y para x = −1 es convergente
n2
n=1
(absolutamente).
Observaci´n. Existe una f´rmula que permite expresar el radio de convergencia de una serie
o o
∞
de potencias an (x − c)n en funci´n de sus coeficientes. Se trata de la f´rmula de Cauchy-
o o
n=0
Hadamard:
1
R= n
.
l´ sup
ım |an |
Sin embargo, en los ejemplos que manejaremos en el curso, es m´s c´modo realizar directamente
a o
el estudio de la convergencia de las series para los distintos valores de x (generalmente con ayuda
del criterio del cociente o del criterio de la ra´
ız).
En la f´rmula de Cauchy-Hadamard, an es exactamente el coeficiente de (x − c)n , de modo
o
∞
que si se quiere utilizar por ejemplo para hallar el radio de convergencia de la serie x2n , hay
n=0
que calcular (l´ sup n |an |)−1 donde an = 1 si n es par y an = 0 si n es impar (¿sabr´ hacerlo?);
ım ıas
por suerte, en este y en casi todos los ejemplos usuales podemos evitar este c´lculo si recurrimos a
a
la definici´n de radio de convergencia y al estudio directo de la convergencia de las series.
o
Este ejemplo muestra tambi´n por qu´ hay que usar obligadamente l´
e e ımite superior en la f´rmula:
o
el l´
ımite no tiene por qu´ existir.
e
9.1.2. Propiedades de las funciones representadas por series de potencias
La suma de una serie de potencias de radio no nulo define en su intervalo de convergencia una
funci´n
o
∞
f (x) = an (x − c)n .
n=0
Se dice entonces que la serie representa a la funci´n f en el intervalo de convergencia y que es el
o
desarrollo en serie de potencias de la funci´n f en el punto c.
o
Se plantean entonces de manera natural dos problemas (ver [Apostol1, p´gs. 528–529]):
a
(1) dada la serie, hallar propiedades de la funci´n suma;
o
(2) dada una funci´n, averiguar si se puede representar por una serie de potencias (suele decirse
o
entonces que la funci´n es desarrollable en serie de potencias).
o

4. 164 CAP´
ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
∞
Lema 9.1.5. Sea an (x − c)n una serie de potencias con radio de convergencia R. Entonces la
n=0
∞
serie n an (x − c)n−1 tiene tambi´n radio de convergencia R.
e
n=1
∞
Demostraci´n. Se trata de probar que la serie
o n an (x − c)n−1 converge (absolutamente) si
n=1
|x − c| < R y que no converge si |x − c| > R. Sea |x − c| < R. Entonces podemos elegir alg´n y ∈ R
u
tal que |x − c| < |y − c| < R.
n(x − c)n−1
|nan (x − c)n−1 | = |an (y − c)n | · .
(y − c)n
Como
n−1
n(x − c)n−1 n x−c
l´
ım n
= l´
ım = 0,
n (y − c) n |y − c| y − c
esta sucesi´n est´ acotada, es decir, hay alguna constante M > 0 tal que para todo n
o a
n(x − c)n−1
≤ M.
(y − c)n
Por lo tanto, para todo n
|nan (x − c)n−1 | ≤ M |an (y − c)n |.
∞ ∞
n
Seg´n el teorema 9.1.4, la serie
u |an (y −c) | converge, as´ que la serie
ı n an (x−c)n−1 converge
n=1 n=1
absolutamente.
Si, por el contrario, |x − c| > R, entonces la sucesi´n (an (x − c)n ) no est´ acotada, luego la
o a
sucesi´n (nan (x − c)n ) tampoco lo est´ y la serie
o a
∞
n an (x − c)n−1
n=1
no converge.
∞
Teorema 9.1.6. Sea an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea
n=0
∞
f (x) = an (x − c)n ,
n=0
definida si |x − c| < R. Entonces la funci´n f es derivable y si |x − c| < R se tiene
o
∞
f (x) = n an (x − c)n−1 .
n=1
Demostraci´n. Supongamos, para simplificar la notaci´n, que c = 0. Es decir,
o o
∞
f (x) = an xn ,
n=0

5. 9.1. SERIES DE POTENCIAS 165
definida si |x| < R, y se trata de probar que f es derivable y que
∞
f (x) = nan xn−1 ,
n=1
si |x| < R. Sea |x| < s < R y sea y ∈ (−s, s), y = x. Entonces,
∞ ∞
f (y) − f (x) y n − xn y n − xn
= an = an .
y−x y−x y−x
n=0 n=1
∞
Seg´n el lema 9.1.5, la serie
u nan xn−1 converge.
n=1
∞ ∞ ∞
f (y) − f (x) y n − xn y n − xn
− nan xn−1 = an − nxn−1 = an − nxn−1 .
y−x y−x y−x
n=1 n=1 n=2
Ahora bien, para cada n ≥ 2,
y n − xn
− nxn−1 = y n−1 + y n−2 x + y n−3 x2 + · · · + yxn−2 + xn−1 − nxn−1
y−x
= (y − x) y n−2 + 2y n−3 x + 3y n−4 x2 + · · · + (n − 2)yxn−3 + (n − 1)xn−2 .
Tomando valores absolutos y teniendo en cuenta que |x| < s, |y| < s, se deduce que
y n − xn n(n − 1) n−2
− nxn−1 ≤ |y − x| (1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1)) sn−2 = |y − x| s .
y−x 2
∞
Seg´n el lema 9.1.5, aplicado dos veces, y el teorema 9.1.4, la serie
u n(n − 1)an sn−2 converge
n=2
∞
absolutamente. Sea M = n(n − 1)|an |sn−2 . Hemos demostrado que
n=2
∞ ∞
f (y) − f (x) n(n − 1) n−2 M |y − x|
− nan xn−1 ≤ |an | |y − x| s = .
y−x 2 2
n=1 n=2
Por consiguiente,
∞
f (y) − f (x)
l´
ım − nan xn−1 = 0,
y→x y−x
n=1
que es lo que ten´
ıamos que demostrar.
La aplicaci´n reiterada de este resultado permite afirmar:
o
∞
Corolario 9.1.7. Sea an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea
n=0
∞
f (x) = an (x − c)n
n=0
si |x − c| < R. Entonces f tiene derivadas de todos los ´rdenes en (c − R, c + R), y se cumple
o
∞
(k)
f (x) = n(n − 1) · · · (n − k + 1) an (x − c)n−k .
n=k

6. 166 CAP´
ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
En consecuencia
f (n) (c)
,an =
n!
de manera que las sumas parciales de la serie son los correspondientes polinomios de Taylor de f
en el punto c.
Demostraci´n. La primera parte se prueba por inducci´n sobre k. Para la segunda, tomando en
o o
particular x = c, se sigue que f (n) (c) = n! an .
∞ ∞
Corolario 9.1.8. Si dos series de potencias an (x−c)n y bn (x−c)n tienen la misma funci´n
o
n=0 n=0
suma f en un cierto entorno del punto c, entonces las dos series tienen los mismos coeficientes:
en realidad, para todo n ≥ 0 se cumple
f (n) (c)
.
an = bn =
n!
El teorema muestra que “la derivaci´n de una serie de potencias se hace derivando cada uno
o
de sus t´rminos, como si fuese un polinomio”; esto permite sumar f´cilmente determinadas series
e a
a partir de otras de sumas conocidas.
∞ ∞
1 1
Ejemplo. Puesto que xn = , |x| < 1, para tales x se tiene n xn−1 = y, en
1−x (1 − x)2
n=0 n=1
∞
n−k −k−1
general, n(n − 1) · · · (n − k + 1) x = k!(1 − x) .
n=k
Tambi´n es util comprobar que se puede “integrar t´rmino a t´rmino”.
e ´ e e
∞
Teorema 9.1.9. Sea an (x − c)n una serie de potencias de radio R > 0 y sea
n=0
∞
f (x) = an (x − c)n , x ∈ (c − R, c + R).
n=0
Entonces la serie
∞
an
(x − c)n+1
n+1
n=0
tiene radio R, y si F es una primitiva de f en (c − R, c + R), para cada x ∈ (c − R, c + R) se verifica
∞
an
F (x) = F (c) + (x − c)n+1 .
n+1
n=0
Demostraci´n. Ya sabemos, por el lema 9.1.5, que las series
o
∞ ∞
an
(x − c)n+1 , an (x − c)n
n+1
n=0 n=0
tienen el mismo radio de convergencia. Sea
∞
an
g(x) = (x − c)n+1 , x ∈ (c − R, c + R).
n+1
n=0
El teorema anterior prueba que g tiene derivada en (c − R, c + R) igual a f , es decir, que g es una
primitiva de f en (c − R, c + R), por lo que F y g difieren en una constante. Como g(c) = 0, se
sigue que
F (x) − g(x) = F (c).

7. 9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR 167
Ejercicios. (1) Probar que si |x| < 1, se tiene
∞
(−1)n−1 n
log(1 + x) = x .
n
n=1
(2) Probar que si |x| < 1, se tiene
∞
(−1)n−1 2n−1
arc tg x = x .
2n − 1
n=1
Hemos visto que en los extremos del intervalo de convergencia la serie puede no converger; si
lo hace, es interesante disponer de alg´n resultado que, bajo ciertas condiciones, garantice que la
u
funci´n definida por la serie sea cuando menos continua, como el siguiente lema (su demostraci´n
o o
puede verse en [Ross, Teor. 26.6, p´gs. 147–148]).
a
∞
Lema 9.1.10 (de Abel). Sea an (x − c)n una serie de potencias de radio de convergencia R
n=0
∞
positivo y finito, y supongamos que la serie an Rn es convergente. Entonces
n=0
∞ ∞
an Rn = l´
ım an (x − c)n .
x→(c+R)−
n=0 n=0
Ejemplo. Demostrar mediante el lema de Abel que
∞ ∞
(−1)n−1 (−1)n π
= log 2 ; = .
n 2n + 1 4
n=1 n=0
9.2. Desarrollos en serie de Taylor
La f´rmula de Taylor y el teorema de la secci´n anterior pueden inducir a pensar que si una
o o
funci´n f tiene derivadas de todos los ´rdenes, es representable como suma de su serie de Taylor
o o
∞
f (n) (c)
f (x) = (x − c)n
n!
n=0
(como una especie de “f´rmula de Taylor llevada al l´
o ımite”) en la parte del dominio de f donde tal
serie converja. Sin embargo, la situaci´n real no es tan satisfactoria. Por ejemplo, la funci´n
o o
2
e−1/x si x > 0;
f (x) =
0 si x ≤ 0,
tiene derivadas de todos los ´rdenes en cada punto de R, y en 0 es f (n) (0) = 0 para cada n ∈ N.
o
∞
f (n) (0) n
Por consiguiente, la f´rmula f (x) =
o x solo se cumple para x = 0.
n!
n=0
Se puede demostrar que para que una funci´n f coincida con la suma de su serie de Taylor
o
es necesario que sus derivadas sucesivas no tengan un tama˜o “desmesurado”. En aplicaciones
n
concretas es suficiente comprobar que las derivadas est´n acotadas por potencias sucesivas de una
a
constante, como vamos a ver ahora.

8. 168 CAP´
ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
Proposici´n 9.2.1. Sea f una funci´n con derivadas de todos los ´rdenes en un intervalo (c −
o o o
R, c + R). Supongamos que existan n´meros reales no negativos A y B tales que
u
|f (n) (x)| ≤ B · An siempre que |x − c| < R .
Entonces, para todo x ∈ (c − R, c + R) se verifica
∞
f (n) (c)
f (x) = (x − c)n .
n!
n=1
Demostraci´n. Sea |x − c| < R. Si x = c, dado m ∈ N, aplicando la f´rmula de Taylor podremos
o o
escribir, para alg´n tm comprendido entre x y c
u
m
f (n) (c) f (m+1) (tm ) Am+1
f (x) − (x − c)n = |x − c|m+1 ≤ B |x − c|m+1 .
n! (m + 1)! (m + 1)!
n=0
Entonces la diferencia anterior tiende a 0 cuando m → ∞. En consecuencia, la serie es convergente
con suma f (x).
Ejercicios. Obtener los desarrollos siguientes (ver [Apostol1, p´gs. 533–535]):
a
∞
(−1)n
a) sen x = x2n+1 , x ∈ R.
(2n + 1)!
n=0
∞
(−1)n 2n
b) cos x = x , x ∈ R.
(2n)!
n=0
∞
1 n
c) ex = x , x ∈ R.
n!
n=0
Nota. Si reflexionamos un momento, tenemos ante nosotros una manera rigurosa de construir las
funciones seno, coseno, exponencial. Las series que hemos escrito son series de potencias de radio
+∞, que definen sendas funciones en R; otra cuesti´n es que resulte f´cil o complicado demostrar
o a
que estas funciones gozan de las propiedades que venimos utilizando en relaci´n con el seno, el
o
coseno y la exponencial. Dedicaremos a su estudio el ultimo cap´
´ ıtulo, para que sirva a su vez de
muestra de la enorme potencia de los conocimientos que hemos ido adquiriendo a lo largo del curso.
Para comprobar la validez de ciertos desarrollos es a veces m´s conveniente usar otros recursos,
a
en vez de la f´rmula de Taylor.
o
Ejemplo (serie bin´mica). Veamos que para cada α ∈ R es
o
∞
α n
(1 + x)α = x , siempre que |x| < 1 .
n
n=0
Para α ∈ N ∪ {0}, la f´rmula anterior se reduce a la del binomio y es v´lida para todo x ∈ R.
o a
Suponemos, pues, α ∈ N ∪ {0}.
/
Entonces, el criterio del cociente nos da que el radio de convergencia de la serie es 1, luego
podemos definir una funci´no
∞
α n
f (x) = x , x ∈ (−1, 1),
n
n=0

9. 9.2. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR 169
que, en principio, no tiene por qu´ coincidir con (1 + x)α en dicho intervalo. Pero como
e
∞
α n−1
f (x) = n x ,
n
n=1
de
α α α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n)
n + (n + 1) =n + (n + 1)
n n+1 n! (n + 1)!
α(α − 1) · · · (α − n + 1) α(α − 1) · · · (α − n + 1)(α − n)
=n +
n! n!
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
= [n + (α − n)]
n!
α
=α ,
n
se deduce que f (x)(1 + x) = α f (x), por lo que f (x)/(1 + x)α tiene derivada nula y por tanto
se mantiene constante en todo el intervalo (−1, 1). Tomando x = 0 se sigue que el valor de tal
constante es 1, es decir, que f (x) = (1 + x)α para todo x ∈ (−1, 1).
De especial inter´s resulta el caso particular α = −1/2. Entonces, operando,
e
−1/2 − 1 · − 3 · − 5 · · · (− 1 − n + 1)
2 2 2 2
=
n n!
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
= (−1)n
2n (n!)
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
= (−1)n ,
2 · 4 · 6 · · · (2n)
con lo cual
∞
1 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) n
√ = (−1)n x , −1 < x < 1.
1 + x n=0 2 · 4 · 6 · · · (2n)
Del criterio de Leibniz y del lema de Abel se sigue que la f´rmula anterior tambi´n es v´lida para
o e a
x = 1.
A veces se escribe abreviadamente
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) = (2n − 1)!!, 2 · 4 · 6 · · · (2n) = (2n)!!.
Aplicaci´n. A partir del desarrollo de su derivada se obtiene
o
∞
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) x2n+1
arc sen x = · , −1 < x < 1,
2 · 4 · 6 · · · (2n) 2n + 1
n=0
v´lido tambi´n para |x| = 1 por el lema de Abel.
a e
Ponemos final a este cap´ıtulo con una tabla de los desarrollos en serie de Taylor-Maclaurin de
las funciones que m´s frecuentemente aparecen en los ejercicios.
a

10. 170 CAP´
ITULO 9. SERIES DE POTENCIAS. DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR
´
FUNCION DESARROLLO EN SERIE CONVERGE
∞
1
xn = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · −1 < x < 1
1−x
n=0
∞
α n α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
(1 + x)α x = 1 + αx + · · · + x + ··· −1 < x < 1
n n!
n=0
∞
(−1)n−1 n 1 1 1
log(1 + x) x = x − x2 + x3 − x4 + · · · −1 < x ≤ 1
n 2 3 4
n=1
∞
1 n 1 1
ex x = 1 + x + x2 + x4 + · · · −∞ < x < +∞
n! 2 3!
n=0
∞
(−1)n 1 3 1 1
sen x x2n+1 = x − x + x5 − x7 + · · · −∞ < x < +∞
(2n + 1)! 3! 5! 7!
n=0
∞
(−1)n 2n 1 1 1
cos x x = 1 − x2 + x4 − x6 + · · · −∞ < x < +∞
(2n)! 2! 4! 6!
n=0
∞
1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1) x2n+1 1 3 5
arc sen x · = x + x3 + x + ··· −1 ≤ x ≤ 1
2 · 4 · 6 · . . . · (2n) 2n + 1 6 40
n=0
∞
(−1)n 2n+1 1 1 1
arc tg x x = x − x3 + x5 − x7 + · · · −1 ≤ x ≤ 1
2n + 1 3 5 7
n=0

11. Bibliograf´
ıa
[Apostol1] Apostol, T. M.: Calculus, vol. I (segunda edici´n). Revert´, Barcelona, 1989. Citado
o e
en la(s) p´gina(s) 161, 163, 168
a
[Ross] Ross, K. A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ 1980.
ın,
Citado en la(s) p´gina(s) 167
a
171