1. El documento presenta ejercicios sobre series de Fourier de funciones periódicas. 2. En la Parte I, se demuestran propiedades de funciones periódicas y su representación mediante series de Fourier. 3. En la Parte II, se grafican funciones periódicas y se calculan sus coeficientes de Fourier.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
CATEDRA DE ANALISIS DE SEÑALES
SERIES DE FOURIER
INTEGRANTE
Bryan Hinojosa
19170086
Eligheor cohil
19170084
CABUDARE 06 DE DICIEMBRE DE 2013

2. EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER
PARTE I
PARTE I
1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a ≠ 0 es una función periódica con período T/a
2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de
∗ Una señal 𝑓(𝑡) es periódica si y solo si 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 ± 𝑇) para todos los valores
período T para cualquier valor positivo de T
de 𝑇 . En otras palabras, una señal periódica tiene la propiedad de que no
3. Si para una función periódica de t con T e integrable, demostrar que
cambia f(t) esun corrimiento en el tiempo.
Por teoría sabemos que para 𝑓(𝑎𝑡) si a esta 0 < 𝑎 < 1 la función se ensancha
𝒕 𝒂
𝟏
f (t) = ∫ 𝒂 si 𝑎 > la función periódica con periodo T
enasu periodo 𝒕pero𝒇(𝝉)𝒅𝝉1también es se comprime dependiendo del numero que
𝟐𝒂
tenga 𝑎 .
Como la señal es periódica con periodo 𝑡 y tomando el teorema ∗ podemos decir
PARTE II
que:
𝑓(𝑎𝑡) = 𝑓(𝑎𝑡 − 𝑇)
1. Dada la función la función = 0 ∧ 𝑎𝑡 − f(t) =01 para
𝑎𝑡 f(t) definida por 𝑇 =
– π < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < π y f (t + 2π) = f (t). Grafique y encuentre
EJERCICIOS DE SERIE DE𝑡 FOURIER = 𝑇
= 0 ∧ 𝑎𝑡
la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).
𝑇
PARTE I
𝑡 = 0 ∧ 𝑡 =
𝑎
!
1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
Acá podemos observar que la señal se repite cada ! (Periodo.)
a ≠ 0 es una función periódica con período T/a
2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de
período T para cualquier valor positivo de T
3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que
Sabemos que 𝑓(𝑡) = 𝑐 , donde c es ctte.
fa(t) =
𝟏
∫
𝟐𝒂 𝒕
𝒕
𝒂
𝒂
𝒇(𝝉)𝒅𝝉 también es periódica con periodo T
PARTE II
2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π, π) y
f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)
1. (Ver figura 2). la función f(t) definida por f(t) = 1 para
Dada la función
– π < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < π y f (t + 2π) = f (t). Grafique y encuentre
la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).

3. PARTE I
1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para
a ≠ 0 es una función periódica con período T/a
Por teorema conocemos que una función es periódica si y solo si 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇)
este Demostrar que la para una función ctte ya que para cualquier valor de T la
2. caso se cumple función f(t) = constante, es una función periódica de
función 𝑓(𝑡 + 𝑇) valdrá el mismo valor.
período T para cualquier valor positivo de T
3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que
fa(t) =
𝟏
∫
𝟐𝒂 𝒕
𝒕
𝒂
𝒂
𝒇(𝝉)𝒅𝝉 también es periódica con periodo T
Esta integral tiene un parecido al valor promedio de una señal 𝑓(𝑡) la cual es la
componente DC de una señal 𝑓(𝑡) y viene expresada por:
PARTE II
EJERCICIOS DE SERIE DE FOURIER
1
𝐴! =
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇 !
PARTE I la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para
1. Dada
Solo– π < t < 0, f yfunción periódica de t con(t + 2π) = f demostrar𝑎. y encuentre
que = 2𝑎 el intervalo de integración va de − 𝑎 𝑎 𝑡 + que
1. Si f(t) 𝑇es una (t) = 0, para 0< t < π y f periodo 𝑡T, (t). Grafique f(at) para
la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).
a ≠ 0 es una función periódica con período T/a
1 !!!
𝑓! (𝑡) =
𝑓(𝜏)𝑑𝜏 ; 𝑠𝑒𝑎 𝑓(𝜏)
2. Demostrar que la función2𝑎 !!!
f(t) = constante, es una función periódica de
período T para cualquier valor positivo de T
!!!
!!!
!!!
1
1
𝑓! (𝑡) =
𝑑𝜏
3. Si f(t) es una función periódica𝑓(𝜏)𝑑𝜏 =T e integrable, − 𝑎
de t con 2𝑎 𝑡 + 𝑎 − 𝑡 demostrar 𝑑𝜏
que
2𝑎 !!!
!!!
!!!
𝒕 𝒂
𝟏
!!!
!!!
fa(t) = = 1 𝒕 𝑡𝒂 +𝒇(𝝉)𝒅𝝉 también 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 = 1 2𝑎 periodo T =
es periódica con
𝑓! (𝑡) 𝟐𝒂 ∫
𝑎− 𝑡+ 𝑎
𝑓(𝜏)𝑑𝜏
2𝑎
!!!
2𝑎
!!!
!!!
𝑓(𝜏)𝑑𝜏
!!!
Claramente podemos observar que también tiene período T.
PARTE II
PARTE II
1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para
– π < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < π y f (t + 2π) = f (t). Grafique y encuentre
2. Dada la de Fourier función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π, π) y
la serie función la de la función f (t) (Ver figura 1).
f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)
(Ver figura 2).

4. 1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para
– π < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < π y f (t + 2π) = f (t). Grafique y encuentre
la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).
Estamos en presencia de una señal periódica.
2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π, π) y
Por la ecuación de análisis tenemos que:
f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)
1
1
!!
(Ver figura 2).
! ! 𝑑𝑡
𝐴! =
𝑥(𝑡)𝑒 !!"!! ! 𝑑𝑡 =
𝑥(𝑡)𝑒 !!"
𝑇 !
𝑇 !
Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:
1
𝐴! =
2𝜋
𝑢=
!
𝑥(𝑡)
!!
! !
𝑒 !!"
!!
1
1
𝑑𝑡 =
𝑒 !!"#
2𝜋
2𝜋 −𝑗𝑘
2𝜋
!
!!
−𝑗𝑘2𝜋
−𝑗𝑘2𝜋
𝑑𝑢
𝑡 , 𝑐𝑜𝑛 𝑇 = 2𝜋 ∴ 𝑢 =
𝑡 ;
= 𝑑𝑡
𝑇
2𝜋
−𝑗𝑘
𝐴! =
𝐴! =
1 1
𝑒 !!"
2𝜋 −𝑗𝑘
!
− 𝑒 !!"
!!
1
𝑗
1 − 𝑒 !"# =
1 − cos 𝑘𝜋 + 𝑗 sin 𝑘𝜋
−𝑗2𝜋𝑘
2𝜋𝑘
Por propiedad 𝑒 !"# = cos 𝑘𝜋 + 𝑗 sin 𝑘𝜋
Para el valor medio de la señal
𝐴! =
1
𝑇
𝑥(𝑡)𝑑𝑡
!

5. 1
𝐴! =
2𝜋
!
1
𝑡
2𝜋
!!
!
!!
=
𝐴! =
(1)𝑑𝑡 =
1
0 − −𝜋
2𝜋
1
2
Para k = 1
𝐴! =
𝑗
1 − cos 𝜋 + 𝑗 sin 𝜋
2𝜋
𝐴! =
𝑗
𝑗
2 = ; 𝐴!! = −𝐴!
2𝜋
𝜋
Para k = 2
𝐴! =
𝑗
1 − cos 2𝜋 + 𝑗 sin 2𝜋
4𝜋
𝐴! =
𝑗
0 = 0 ⇒ 𝐴! = 0
4𝜋
Para k = 3
𝐴! =
𝑗
1 − cos 3𝜋 + 𝑗 sin 3𝜋
6𝜋
𝐴! =
𝑗
𝑗
2 =
; 𝐴!! = −𝐴!
6𝜋
3𝜋
Para k = 4
𝐴! = 0 = 𝐴!!
Para k = 5
𝐴! =
𝑗
1 − cos 5𝜋 + 𝑗 sin 5𝜋
10𝜋
𝐴! =
𝑗
𝑗
2 =
; 𝐴! = −𝐴!
10𝜋
5𝜋
=
𝜋
1
=
2𝜋 2

6. Graficando 𝐴! obtenemos que:
Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier
tenemos:
!!
!
!!
! !
𝐴! 𝑒 !!"
𝑥 𝑡 =
!!!!
𝐴! 𝑒 !!"#
=
!!!!
𝑥 𝑡 = 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!" + 𝐴! + 𝐴! 𝑒 !"
+ 𝐴! 𝑒 !!! + 𝐴! 𝑒 !!! + 𝐴! 𝑒 !!! + 𝐴! 𝑒 !!!
𝑥 𝑡 =
−𝑗 !!!!
𝑗 !!!!
𝑗
1 𝑗
𝑗 !!!
𝑗 !!!
𝑒
−
𝑒
− 𝑒 !!" + + 𝑒 !" +
𝑒 +
𝑒
5𝜋
3𝜋
𝜋
2 𝜋
3𝜋
5𝜋
𝑥 𝑡 =
1 𝑗 !"
𝑗
𝑗
+
𝑒 − 𝑒 !!" +
𝑒 !!! − 𝑒 !!!! +
𝑒 !!! − 𝑒 !!!!
2 𝜋
3𝜋
5𝜋
!
Por propiedad sin 𝑤𝑡 = !! 𝑒 !"# − 𝑒 !!"#
𝑥 𝑡 =
1 2
− sin 𝑡
2 𝜋
−
2
sin 3𝑡
3𝜋
−
2
sin 5𝑡
5𝜋

7. 2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π, π) y
f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t)
(Ver figura 2).
3. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo (- π, π) y
Estamos en presencia de encuentre la serie de Fourier de la función f (t)
f(t + 2π) = f(t). Grafique y una señal periódica.
(Ver figura 3).
Por la ecuación de análisis tenemos que:
𝐴! =
1
𝑇
𝑥(𝑡)𝑒 !!"!! ! 𝑑𝑡 =
!
1
𝑇
𝑓(𝑡)𝑒 !!"
!!
! !
𝑑𝑡 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑡) = 𝑡
!
Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:
𝐴! =
1
2𝜋
!
𝑡 𝑒 !!"
!!
! !
𝑑𝑡
!!
Resolviendo la integral
𝑡 𝑒 !" 𝑑𝑡 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 =
−𝑗𝑘2𝜋
= −𝑗𝑘
2𝜋
𝑢 = 𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒 !" 𝑑𝑡
𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑣 =
1 !"
𝑒
𝑎

8. 𝑡 𝑒 !" 𝑑𝑡 =
𝑡 !" 1
𝑒 −
𝑎
𝑎
𝑒 !" 𝑑𝑡 =
1 !" 1 !"
𝑡𝑒 − ! 𝑒 + 𝑐
𝑎
𝑎
Así sustituyendo el valor de a tenemos que:
1
𝑡 !!"#
𝐴! =
𝑒
2𝜋 −𝑗𝑘
𝐴! =
1 𝑗
𝜋𝑒 !!"
2𝜋 𝑘
𝐴! =
!
− −𝜋𝑒 !!"
1 𝑗𝜋 !!"
𝑒
2𝜋 𝑘
!
!
!
1
−
−𝑗𝑘
!!
!!
+ 𝑒 !"
−
!
−
!
𝑒
!!"#
!!
1 !!"
𝑒
−𝑘
1 !"
𝑒
𝑘
!
!
− 𝑒 !!"
− 𝑒 !!"
!
!!
!
!
Por propiedad cos 𝑤𝑡 = ! 𝑒 !"# + 𝑒 !!"# ; sin 𝑤𝑡 = !! 𝑒 !"# − 𝑒 !!"#
𝐴! =
𝐴! =
1 𝑗𝜋
1
2 cos 𝑘𝜋 − 2 𝑗 sin 𝑘𝜋
2𝜋 𝑘
𝑘
𝑗
2𝑗
cos 𝑘𝜋 − sin 𝑘𝜋 ; sin 𝑘𝜋 = 0 ∀ 𝑘 ∈ ℤ!
𝑘
𝑘
𝐴! =
𝑗
cos 𝑘𝜋
𝑘
Para el valor medio de la señal
𝐴! =
𝐴! =
1
2𝜋
!
(𝑡)𝑑𝑡 =
!!
1
𝑇
1 !
𝑡
4𝜋
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
!
!
!!
=
1 !
𝜋 − −𝜋
4𝜋
𝐴! = 0
Para k = 1
𝐴! =
𝑗
cos 1 𝜋
1
𝐴! = −𝑗
!
=0

9. Para k = -1
𝐴!! =
𝑗
cos −1 𝜋
−1
𝐴! = 𝑗
Para k = 2
𝐴! =
𝑗
cos 2 𝜋
2
𝑗
𝐴! = ; 𝐴!! = −𝐴!
2
Para k = 3
𝐴! =
𝐴! =
𝑗
cos 3 𝜋
3
−𝑗
; 𝐴!! = −𝐴!
3
Para k = 4
𝐴! =
𝑗
cos 4 𝜋
4
𝑗
𝐴! = ; 𝐴!! = −𝐴!
4

10. Graficando 𝐴! obtenemos que:
Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier
tenemos:
!!
!
!!
! !
𝐴! 𝑒 !"
𝑥 𝑡 =
!!!!
𝐴! 𝑒 !"#
=
!!!!
𝑥 𝑡 = 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!" + 𝐴! + 𝐴! 𝑒 !" + 𝐴! 𝑒 !!! + 𝐴! 𝑒 !!!
+ 𝐴! 𝑒 !!!
𝑥 𝑡 = −𝑗 𝑒 !" − 𝑒 !!" +
𝑗 !!!
𝑗 !!!
𝑗 !!!
𝑒 − 𝑒 !!!! −
𝑒 − 𝑒 !!!! +
𝑒 − 𝑒 !!!!
2
3
4
!
Por propiedad sin 𝑤𝑡 = !! 𝑒 !"# − 𝑒 !!"#
𝑥 𝑡 = 2 sin 𝑡
− sin 2𝑡
+
2
sin 3𝑡
3
−
1
sin 4𝑡
2

11. 3. Dada la función la función f (t) definida por f(t) =f(t)para el intervalo (- π, π) y
3. Dada la función la función f (t) definida por t = t para el intervalo (- π, π) y
f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serieserie de Fourier la función f (t) (t)
f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la de Fourier de de la función f
(Ver figura 3).
(Ver figura 3).
Estamos en presencia de una señal periódica.
Por la ecuación de análisis tenemos que:
𝐴! =
1
𝑇
𝑥(𝑡)𝑒 !!"!! ! 𝑑𝑡 =
!
1
𝑇
𝑓(𝑡)𝑒 !!"
!!
! !
𝑑𝑡 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑡) = 𝑡 !
!
Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:
𝐴! =
1
2𝜋
!
𝑡 ! 𝑒 !!"
!!
!! !
𝑑𝑡 =
!!
1
2𝜋
!
𝑡 ! 𝑒 !!"# 𝑑𝑡
!!
Resolviendo la integral
𝑡 ! 𝑒 !" 𝑑𝑡 ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 = −𝑗𝑘
𝑢 = 𝑡 ! 𝑑𝑣 = 𝑒 !" 𝑑𝑡
𝑑𝑢 = 2𝑡𝑑𝑡 𝑣 =
1 !"
𝑒
𝑎

12. 𝑡
!
𝑒
𝑡 ! !" 2
𝑑𝑡 =
𝑒 −
𝑎
𝑎
!"
𝑡𝑒 !" 𝑑𝑡
𝑡 𝑒 !" 𝑑𝑡
𝑢 = 𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒 !" 𝑑𝑡
𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑣 =
𝑡 𝑒 !" 𝑑𝑡 =
𝑡 !" 1
𝑒 −
𝑎
𝑎
1 !"
𝑒
𝑎
𝑒 !" 𝑑𝑡 =
1 !" 1 !"
𝑡𝑒 − ! 𝑒 + 𝑐
𝑎
𝑎
Obtenemos así la solución total de la integral:
𝑡 ! 𝑒 !" 𝑑𝑡 =
𝑡 ! !" 2 𝑡 !" 1 !"
𝑒 −
𝑒 − ! 𝑒
+ 𝑐
𝑎
𝑎 𝑎
𝑎
𝑡 ! 𝑒 !" 𝑑𝑡 =
1
𝑡 ! !!"#
𝐴! =
𝑒
2𝜋 −𝑗𝑘
𝐴! =
𝑡 ! !" 2𝑡 !" 2 !"
𝑒 − ! 𝑒 + ! 𝑒 + 𝑐
𝑎
𝑎
𝑎
!
2𝑡
−
−𝑗𝑘
!!
!
!
!
𝑒
!!"#
2
+
−𝑗𝑘
!!
1 𝑗 ! !!" !
2
𝜋 𝑒
− 𝜋 ! 𝑒 !" ! + ! 𝜋𝑒 !!"
2𝜋 𝑘
𝑘
2
+
𝑒 !!" ! − 𝑒 !" !
𝑗𝑘 !
!
!
!
𝑒
!!"#
!!
+ 𝜋𝑒 !"
!
!
Por propiedad cos 𝑤𝑡 = ! 𝑒 !"# + 𝑒 !!"# ; sin 𝑤𝑡 = !! 𝑒 !"# − 𝑒 !!"#
1 −𝑗𝜋 !
2𝜋
2
𝐴! =
2 𝑗 sin 𝑘𝜋 − ! 2 cos 𝑘𝜋 − ! 2 𝑗 sin 𝑘𝜋
2𝜋
𝑘
𝑘
𝑗𝑘
𝐴! =
𝜋
4𝜋
4
sin 𝑘𝜋 − ! cos 𝑘𝜋 − ! sin 𝑘𝜋 ; sin 𝑘𝜋 = 0 ∀ 𝑘 ∈ ℤ!
𝑘
𝑘
𝑘
𝐴! = −
4𝜋
cos 𝑘𝜋
𝑘!

13. Para el valor medio de la señal
𝐴! =
1
𝐴! =
2𝜋
!
1
𝑇
1 1 !
(𝑡 )𝑑𝑡 =
𝑡
2𝜋 3
!!
𝑓(𝑡)𝑑𝑡
!
!
!
!!
1 !
=
𝜋 − −𝜋
6𝜋
Para k = 1
𝐴! = −
4𝜋
cos 1 𝜋
1 !
𝐴! = 4𝜋
Para k = -1
𝐴!! = −
4𝜋
cos −1 𝜋
−1 !
𝐴!! = 4𝜋
Para k = 2
𝐴! = −
4𝜋
cos 2 𝜋
2 !
𝐴! = −𝜋
Para k = -2
𝐴!! = −
4𝜋
cos −2 𝜋
−2 !
𝐴!! = −𝜋
Para k = 3
!
2𝜋 !
𝜋!
=
=
6𝜋
3

14. 𝐴! = −
4𝜋
cos 3 𝜋
3 !
𝐴! =
4
𝜋
9
Para k = -3
𝐴!! = −
4𝜋
cos −3 𝜋
−3 !
𝐴!! =
4
𝜋
9
Graficando 𝐴! obtenemos que:
Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier
tenemos:
!!
!
!!
! !
𝐴! 𝑒 !"
𝑥 𝑡 =
!!!!
𝐴! 𝑒 !"#
=
!!!!
𝑥 𝑡 = 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!!! + 𝐴!! 𝑒 !!" + 𝐴! + 𝐴! 𝑒 !" + 𝐴! 𝑒 !!! + 𝐴! 𝑒 !!!
4
𝜋!
!!!
!!!!
!!!
!!!!
!"
!!"
𝑥 𝑡 = 𝜋 𝑒 + 𝑒
− 𝜋 𝑒 + 𝑒
+ 4𝜋 𝑒 + 𝑒
+
9
3
!
Por propiedad cos 𝑤𝑡 = ! 𝑒 !"# + 𝑒 !!"#

15. 𝑥 𝑡 =
𝜋!
+ 8𝜋 cos 𝑡
3
− 2𝜋 cos 2𝑡
+
8
𝜋 cos 3𝑡
9