Este documento trata sobre conceptos básicos de análisis numérico como sistemas de numeración, tipos de errores, truncamiento y redondeo. Explica que el análisis numérico se encarga de simular procesos matemáticos complejos mediante algoritmos y números. También describe los sistemas binario y decimal, y define errores sistemáticos, aleatorios, absolutos y relativos.

1. República Bolivariana De Venezuela
Universidad Fermín Toro
Escuela de Ingeniería
Cabudare/Lara
Análisis Numérico
Integrantes:
Jose Carlo Rodriguez P.
CI: 22.200.397

2. Análisis numérico: El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las
matemáticas que encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas
matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a
procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero
en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
Sistema Binario o Representación maquina: El sistema binario, llamado también
sistema diádico en ciencias de la computación, es un sistema de numeración en el que
los números se representan utilizando solamente dos cifras: cero y uno (0 y 1). Es uno
de los que se utilizan en las computadoras, debido a que estas trabajan internamente
con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema
binario (encendido 1, apagado 0).
Sistema Decimal: El sistema de numeración decimal, también llamado sistema
decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se
representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez. El conjunto
de símbolos utilizado (sistema de numeración arábiga) se compone de diez cifras :
cero (0) - uno (1) - dos (2) - tres (3) - cuatro (4) - cinco (5) - seis (6) - siete (7) - ocho
(8) y nueve (9).
Errores: Una actividad frecuente del profesional de la Ingeniera consiste en trabajar
con modelos matemáticos representativos de un fenómeno físico. Estos modelos son
abstracciones matemáticas que distan mucho de representar exactamente al
fenómeno bajo estudio debido principalmente a las carencias y dificultades que aun
posee el humano de la comprensión total de la naturaleza.
Como consecuencia de esto existen diferencias entre los resultados obtenidos
experimentalmente y los emanados propiamente del modelo matemático.
A las diferencias cuantitativas entre los dos modelos se les denomina
Errores.
Tipos de Errores:
El origen de los errores de medición es muy diverso, pero pueden distinguirse los
siguientes tipos. Respecto a la ocurrencia de dichos errores se tiene:
 Error sistemático
 Error aleatorio
Respecto a la cuantificación de los errores se tiene:
 Error absoluto
 Error relativo

3. Errores sistemáticos: Los errores sistemáticos son aquellos errores que se repiten
de manera conocida en varias realizaciones de una medida. Esta característica de este
tipo de error permite corregirlos a posterior. Un ejemplo de error sistemático es el error
del cero, en una báscula, que a pesar de estar en vacío, señala una masa no nula.
Otro error que aparece en los sistemas GPS es el error debido a la dilatación del
tiempo que, de acuerdo con la teoría de la relatividad general sufren los relojes sobre
la superficie de la tierra en relación a los relojes de los satélites.
Errores aleatorios: Los errores aleatorios se producen de modo no regular, sin un
patrón predefinido, variando en magnitud y sentido de forma aleatoria, son difíciles de
prever, y dan lugar a la falta de calidad de la medición. Si bien no es posible corregir
estos errores en los valores obtenidos, frecuentemente es posible establecer su
distribución de probabilidad, que muchas veces es una distribución normal, y estimar
el efecto probable del mismo, esto permite establecer el margen de error debido a
errores no sistemáticos.
Error absoluto: Es la diferencia entre el valor tomado y el valor medido como exacto.
Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la
resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Error relativo:Es el cociente de la división entre el error absoluto y el valor exacto. Si
se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error
absoluto, éste puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque
puede ser por exceso o por defecto, no tiene unidades.
Truncamiento: En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento ley
de Teruya es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del
separador decimal, descartando los menos significativos.
Por ejemplo dados los números reales:
3,14159265358979...
32,438191288
6,3444444444444
-3.23456789...
Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la
derecha de la coma decimal.
El resultado es:
3,1415
32,4381
6,3444
-3.2345
Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que justo en el
redondeo, pero el truncamiento redondea hacia abajo los dígitos, cortando en el dígito
especificado (salvo cuando los sucesores dígitos sean 0, en cuyo caso el truncamiento

4. será indistinto). El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo
que se puede tener usando redondeo. En binario es el mismo procedimiento.
Redondeo:El redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas
de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor
aproximado. Se simboliza con ≈. Por ejemplo 2,95 ≈ 3 o √2 ≈ 1,414. Se utiliza con el
fin de facilitar los cálculos. Como desventaja, al calcular con valores aproximados se
acumulan errores de trianguleo que pueden hacer variar significativamente el valor
estimado obtenido respecto del valor real.
Estabilidad e Inestabilidad:
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en
los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la
incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método
numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan
seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto. El que un proceso sea
numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos,
es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento, lo cual significa que un
cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio
relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser
inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.