El documento habla sobre cálculo numérico y manejo de errores. Explica que los métodos numéricos son importantes para realizar cálculos complejos en ingeniería y tecnología. También describe los diferentes tipos de errores que surgen al realizar cálculos numéricos en una computadora, como el error de truncamiento y el error de redondeo. Finalmente, analiza cómo estos errores se acumulan al sumar y restar números de forma repetida.

1. Calculo de Numérico y
Manejo de Errores.
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LUIS ROJASCI: 23868537

2. En el mundo de la actualidad, la tecnología está avanzada la cual casi todo lo que es diseñado y
calculado tiene que ver con los números, y los métodos numéricos que proporcionan una
alternativa para cálculos complicados. También al usar la computadora para obtener soluciones
directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de
simplificación o a técnicas lentas.
Análisis Numérico, Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos
puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de
cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones
del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de
erroresenloscálculos.Los métodosNuméricohanjugado un papel fundamental en el desarrollo
tecnológico actual,enanálisisnuméricose hablade tantotemasmatemáticosque comenzare con
uno de ellosque sonNumerode maquina;esunsistemanumérico que consta de dos dígitos que
son Ceros (0) y Uno (1) de base 2, el termino representación máquina o representación binaria
significa que es de base 2, la más pequeña posible, este tipo de representación requiere de menos
dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.
Otros de los sistemas es el de Numero de maquina decimal son aquellos números cuya
representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9
para cada i=2, 3, 4, ..., k"; de lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM
(mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
Los erroresabsolutosyrelativosnonospodemosolvidarde ellosyaque tambiénforman parte de
loscálculos,bueno hasta ahora hemos estudiado alguna teoría básica de los métodos numéricos
que se implementaránmásadelante,suponiendocondicionesidealesparasuimplementación. En
otras palabras, no hemos tenido en cuenta que al realizar estos procedimientos de forma
numérica en una computadora se generan situaciones de error. Tales situaciones de error se
denominanerroresnuméricosylapresente secciónse encargaunpocode su estudioysusefectos
enloscálculosnuméricos.Loserroresasociadosconloscálculosy medidasse pueden caracterizar
observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor
individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo
suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en
particular. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las
operaciones y cantidades matemáticas.
Las cotas de loserroresabsolutosyrelativos,Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco
se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se
pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Cuantas más pequeñas sean esas cotas
superiores, mejor. Sea f una función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación
f(x)=0 y Pn una aproximación a P. Supongamos |f '(x)| ³ m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î [a, b].
Entonces:
Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de la solución exacta, conociendo una
cota inferior del valor absoluto de la derivada. Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una

3. raíz aproximadaPnse estimaenfunciónde cómosatisfagaf(Pn) = 0; es decir si el número |f(Pn)|
es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P; pero si |f(Pn)| es grande,
entonces Pn no se considera como una buena aproximación de la solución exacta P.
Las fuentesbásicasde errores,existendos causasprincipalesde erroresenloscálculosnuméricos:
Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número
limitadode dígitosconque se representanlosnúmerosenunaPC(para comprenderla naturaleza
de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se
llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las
aproximacionesutilizadasenlafórmulamatemática del modelo(laserie de Tayloresel mediomás
importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de
truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso
infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos
matemáticosyse puedendividirendosclasesfundamentalmente: errores de truncamiento, que
resultande representaraproximadamenteunprocedimientomatemático exacto, y los errores de
redondeo,que resultande representaraproximadamente números exactos. En cualquier caso, la
relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor
aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev = valor
verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error.
A) Error De Redondeo
El error de redondeose debe alanaturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto
flotante,el cual asu vezse debe asu longitudde palabra finita. Cada número (real) se reemplaza
por el númerode máquinamáscercano. Estosignificaque todoslosnúmerosenunintervalolocal
están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante.
"Cualquiernúmeroreal positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x
10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar para que resulte un
número de la forma: fl (y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega
uno (1) a d k para obtener a fl(y); esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1< 5, simplemente
truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo.
B) Error de Truncamiento, Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2
d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se
representará por fl (y), se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras decimales. Existen dos

4. formasde llevara cabo la terminación.Unmétodoessimplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2,
. . . para obtener: fl (y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipode error ocurre cuandoun procesoque requiere unnúmeroinfinito de pasos se detiene
enun númerofinitode pasos.Generalmentese refiere al errorinvolucradoal usar sumas finitas o
truncadaspara aproximarlasumade una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del
error de redondeo no depende directamente del sistema numérico que se emplee.
C) Errores de una suma y una resta, en esta sección estudiamos el problema de sumar y restar
muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional a la
épsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El
análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales
que más bitsque losnúmerosde máquinasusuales.Estosbitsextrasse llamanbitsde proteccióny
permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar
situacionesenlasque laexactitudse puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o
la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como
consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.
Errores de una Sumay Una Resta, enestasecciónestudiamosel problemade sumaryrestar
muchosnúmerosenla computadora.Comocada sumaintroduce unerror, proporcional ala
épsilonde lamáquina,queremosvercomoestoserroresse acumulandurante el proceso.El
análisisque presentamosgeneralizaal problemadel cálculode productosinteriores.Enlapráctica
muchascomputadorasrealizaránoperacionesaritméticasenregistrosespecialesque másbitsque
losnúmerosde máquinasusuales.Estosbitsextrasse llamanbitsde protecciónypermitenque los
númerosexistantemporalmenteconunaprecisiónadicional.Se debenevitarsituacionesenlas
que la exactitudse puede vercomprometidaal restarcantidadescasi igualesoladivisiónde un
númeromuygrande entre unnúmeromuypequeño,locual trae como consecuenciasvaloresde
erroresrelativosyabsolutospocorelevantes.