Actividad 1 iv sistemas de ecuaciones y gauss-jordan

I. Define los siguientes conceptos:
a) Ecuación lineal:
Una ecuación lineal es una igualdad matemática entre dos expresiones
algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen elemetos conocidos y
desconocidos, denominados variables, y que involucra solamente sumas y restas
de una variable a la primera potencia.
Se denomina ecuación lineal o ecuación de primer grado, con exactamente una
variable, si y solo si puede llevarse, por transformaciones equivalentes, a la forma
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, con 𝑎 ≠ 0; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
b) Concepto de solución (de una ecuación lineal):
Una solución de una ecuación es una asignación de valores a las incógnitas de
forma que se verifique la igualdad. Es costumbre denotar las soluciones como
colecciones o vectores. Así, las soluciones anteriores las denotaremos como
parejas de pares ordenados.
A un conjunto de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas cada uno, lo llamaremos
un sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas.
𝑎11𝑥1 + ⋯+ 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑥1 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Llamaremos solución del sistema a cada asignación de valores a las incógnitas,
digamos 𝑥1 = 𝑘1, …, 𝑥𝑛 = 𝑘𝑛 que sea solución de todas las ecuaciones del sistema.
Esto es, que haga verificarse todas las igualdades simultáneamente.
Se dice tambien que (𝑘1,… , 𝑘𝑛) es solución del sistema. Se llama solución general
del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema.
Dos sistemas se dice que son sistemas equivalentes si tienen igual solución
general. Esto es, si tienen exactamente las mismas soluciones.
c) Ecuación inconsistente:
Cuando se trata de sistemas de ecuaciones, el sistema tiene una solución o no la
tiene. Cuando un sistema no tiene solución, se llama inconsistente. Para
determinar si un sistema de ecuaciones es inconsistente, deberías resolverlo
como lo harías con cualquier sistema de ecuaciones. Si el sistema es
inconsistente, en algún momento, se encontrará con una declaración que no tiene
sentido, como 0 = 3. Si esto sucede, tiene ecuaciones inconsistentes.
d) Ecuación homogénea:
Son aquellas ecuaciones lineales que tienen constantes iguales a cero. Un
sistema de ecuaciones lineales homogéneas es un sistema de la forma 𝐴𝑥 = 0,
esto es, con columna de constantes nula. Todo sistema de ecuaciones lineales

Licenciatura en Economía
Cálculo Diferencial Multivariado y Álgebra Lineal
Unidad IV. Sistema de ecuaciones
Prof. Jorge Mendoza Alvarez
Actividad 1. Sistemas lineales de orden n*n y n*m y Gauss-Jordan
homogéneas es compatible, porque el vector cero es una de sus soluciones,
llamada solución trivial.
e) Sistema de ecuaciones lineales:
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de
primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.
En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con
los cuales al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas
ecuaciones.Las incógnitas establecidas en un sistema representan el punto donde
se intersectan las rectas en un plano cartesiano (x,y).
A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o
condiciones.
f) Tamaño, orden o dimensión de un sistema:
El tamaño de un sistema de ecuaciones está determinado por el número de
ecuaciones y el número de variables. Al igual que las matrices, en los sistemas de
ecuaciones se denota n incógnitas y m ecuaciones n x m.
g) Sistema de orden nxm y sistema de orden nxn:
 nxm: Se llama matriz de orden mxn a un conjunto de mxn números, o letras
que representan números, dispuestos en m filas y n columnas y encerrado
entre paréntesis o corchetes.
 nxn: Se dice que una matriz es cuadrada si y sólo si tiene el mismo número
de filas que de columnas. Así una matriz cuadrada de orden n tiene n filas y
n columnas
h) Sistema consistente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen al menos una solución. Esto
significa que las rectas intersectan al menos una vez. Existen tres casos de
sistemas consistentes:
 Una intersección, como generalmente se hace en las secciones de
sistemas lineales.
 Dos o más intersecciones, como se puede ver cuando una ecuación de
segundo grado interseca una ecuación lineal.
 Muchas intersecciones infinitas, como ocurre con las rectas coincidentes.
i) Sistema inconsistente:
Son sistemas que o bien, no tienen soluciones o sistemas con una cantidad infinita
de soluciones. Un sistema con rectas paralelas no tendrá soluciones. Hay que
recordar que las rectas paralelas tienen la misma pendiente; al ser graficadas, las
rectas tendrán la misma inclinación con diferentes interceptos en 𝑦, por lo tanto,
las rectas paralelas nunca se intersecarán, así que no tendrá solución.

j) Solución trivial:
Es el conjunto de soluciones que puede tomar un sistema de ecuaciones y cuyo
único elemento es el cero.
k) Operaciones elementales del método de Gauss-Jordan:
El método de eliminación de Gauss-Jordan nos permiten obtener las soluciones de
un sistema de ecuaciones lineales. El método se basa en la idea de que las
soluciones del sistema de ecuaciones lineales que se obtiene al realizar
operaciones elementales fila o columna son las mismas que las del sistema de
ecuaciones lineales original.
El método consiste en aplicar operaciones elementales fila, es decir, cualquier fila
se puede multiplicar por cualquier número (distinto de cero) o se le puede sumar o
restar cualquier otra fila multiplicada o no por cualquier número. No se puede
restar una fila a ella misma. También puede intercambiarse el orden de las filas
(por ejemplo, intercambiar las dos primera filas). El proceso debe aplicarse hasta
que se obtenga la matriz en forma escalonada (método de Gauss) o en forma
escalonada reducida (método Gauss-Jordan) de la matriz ampliada.
1)
𝒙 − 𝒚 = 𝟎
−𝒙 + 𝒚 = −𝟓
La ecuación de la recta está determinada por la fórmula:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde 𝑚 es la pendiente y 𝑏 es la ordenada al origen; es decir, el valor donde la
recta corta al eje 𝑦.
Para la ecuación 𝑥 − 𝑦 = 0, reescribimos en forma general de la recta:
−𝑦 = −𝑥
−
𝑦
−1
=
−𝑥
−1
𝑦 =
−𝑥
−1
𝑦 = 𝑥
Por tanto, la pendiente es: 1

Y la intersección en el eje y:
(0,0)
Para la ecuación −𝑥 + 𝑦 = −5, reescribimos en forma general de la recta:
𝑦 = 𝑥 − 5
𝑚 = 1
𝑏 = −5
Por tanto, la pendiente es: 𝑚 = 1
(0, −5)
Sistema Inconsistente: Dado que el sistema no tiene solución, la ecucación y las
gráficas son paralelas y no se cruzan por tanto, el sistema es incompatible.
2)
𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟎
−𝟗𝒙 + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟎

Para la ecuación 3𝑥 − 5𝑦 = 0, reescribimos en forma general de la recta:
−5𝑦 = −3𝑥
−
5𝑦
−5
=
−3𝑥
−5
𝑦 =
−3
−5
𝑥
𝑦 =
3
5
𝑥
Por tanto, la pendiente es:
3
5
(0,0)
Para la ecuación −9𝑥 + 15𝑦 = 0, reescribimos en forma general de la recta:
15𝑦 = 9𝑥
𝑦 =
9
15
𝑥
Simplificamos:
𝑦 =
3
5
𝑥
𝑚 =
3
5
𝑏 = 0
Por tanto, la pendiente es: 𝑚 =
3
5
(0,0)

Sistema Consistente dependiente o con soluciones infinitas: Dado que el
sistema es siempre verdadero, las ecuaciones son iguales y las gráficas son la
misma recta, el sistema es dependiente.
3)
𝟔𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟐
Para la ecuación 6𝑥 + 3𝑦 = 6, reescribimos en forma general de la recta:
3𝑦 = −6𝑥 + 6
𝑦 =
−6
3
𝑥 +
6
3
𝑦 = −2𝑥 + 2

Por tanto, la pendiente es:
−2
(0,2)
Para la ecuación 2𝑥 + 𝑦 = 2, reescribimos en forma general de la recta:
𝑦 = −2𝑥 + 2
𝑚 = −2
𝑏 = 2
Por tanto, la pendiente es: 𝑚 = −2
(0,2)
Sistema Consistente dependiente o con soluciones infinitas: Dado que el
sistema es siempre verdadero, las ecuaciones son iguales y las gráficas son la
misma recta, el sistema es dependiente.

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