1. Evaluación de IMAGEN<br />La imagen pertenece:<br />Al conjunto de salida<br />Al conjunto de llegada<br />La imagen pertenece al conjunto de llegada<br />La imagen es un:<br />Espacios vectoriales<br />Subespacio vectorial<br />Una matriz<br />La imagen es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial W ósea al conjunto de llegada.<br />¿Los vectores que conforman la imagen son combinación lineal unos de otros?<br />si b) no<br />No necesariamente esto ocurre si y solo si los vectores del conjunto de salida son combinación lineal unos de otros<br />¿La imagen es el conjunto formado por una restricción al espacio vectorial W? <br /> a) Si b) no<br />Si ya que el Teorema dice que La imagen está dada por una restricción al espacio vectorial W<br />¿Pertenece el cero vector a la imagen? a) si b) no<br />No necesariamente ya que la imagen del cualquier conjunto de salida depende de una restricción en la cual puede o no incluirse al cero vector<br />Ejercicios propuestos DE IMAGEN<br />1.- Calcular la imagen de la aplicación lineal f: R4 -> P2(x) definida por<br /> f(a1; a2; a3; a4) = (a2 + a4)x + (a1 − a3)x2.<br />2.- Se considera la aplicación lineal f : M3×2(R) -> P3(R) definida por <br />f(aij) = (a11 + a22) + (a31 + 2a32)x − (a21 + a12)x3.<br />Calcular la imagen de f.<br /> 4.- Dada la aplicacion lineal f: ℜ3 -> M2x2(ℜ) <br /> ( x, y, z )<br />f( x, y, z ) = x-y y <br /> y y-z <br /> <br />Hallar el núcleo e imágen de f <br />5.- Sean A = 0 1 B = 1 0 C = 4 1 D= 5 0 <br /> 3 1 2 0 3 2 2 1<br />S = L{A, B, C} y g:S-> P2(ℜ) tal que g(A) = x, g(B) = x2 + 1, g(C) = x2 + x + 1<br />Calcular bases de img<br />6.- Sea f: R4 -> R3<br /> f (x, y, z, t) = (x – y + z + t, x + 2z – t, x + y + 3z – 3t)<br />Determinar la imagen.<br />7.- Sea f: R2 -> R4<br />f (2, –1) = (1, 0, –1, 3), f (4, 1) = (2, –2, 3, 1).<br />Hallar su Imagen<br />8.- En R3 se considera la base {e1, e2, e3}<br />f (x1e1 + x2e2 + x3e3) = (x2 + x3) e1 + (x1 +x3) e2 + (x2 – x1) e3. <br />Hallar: la Imagen<br />9.- Sea B = {e1, e2, e3} base de V , f (e1) = e1 + e2, f (e2) = e2 + e3, f (e3) = 0. <br />Hallar: la Imagen<br />EVALUCION DE INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD<br />¿el núcleo describe una función inyectiva? a) si b) no<br />Si ya que según el teorema dice que una transformación lineal es inyectiva si y solo si el núcleo de esta transformación es cero.<br />¿el núcleo describe una función sobreyectiva? a) si b) no<br />No ya que para que sea sobreyectiva debe cumplir que Img (f)=W y dimImg (f)=dimW<br />¿Puede haber función biyectiva si V tiene un único vector que pertenece a todos los vectores de W? a) si b) no<br />No porque la función no seria inyectiva<br />Ejercicios propuestos DE INYECTIVIDAD, SOBREYECTIVIDAD Y BIYECTIVIDAD<br />1.- Sean V y W dos espacios vectoriales ambos con dimensión infinita n.<br />f: V -> W lineal. Demostrar que si f es sobreyectiva, entonces f es biyectiva.<br />4.- Sea la aplicación lineal f de R4 en R3 dada por f (x, y, z, t) = (x + z, y, y). Se pide:<br />Razonar si f es inyectiva, sobreyectiva o si se trata de un isomorfismo<br />5.- Consideremos el espacio<br />V = [f1, f2, f3], donde<br />f1 (t) = sen2 (t), f2 (t) = cos2 (t), f3 (t) = 1, t Є R, y la transformación lineal T: R3->V tal que <br />T(a, b, c) = af1 + bf2 + cf3.<br />Hallar N (T) e Im (T), y probar que T no es inyectiva, pero si sobreyectiva<br />6.- Dado Є R se considera la aplicación lineal f: R3-> R3 dada por<br /> f (x,y, z) = (2x−y, x−y+z, (x+y+z)<br />Hallar razonadamente los valores de 2 R para los que f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.<br />7.- Justifica que existe una aplicación lineal f : R3->R4, y sólo una, verificando que <br />f(2, 1, 0) = (−1, 2, 1, 3), (0, 0, 1) Є f−1(1, 2,−1, 1) f(1, 1, 0) = (−1, 1, 1, 2).<br />Calcula bases del núcleo y de la imagen de f ¿Es f inyectiva? ¿Y sobreyectiva?<br />8.- Sea f:(R4->R2) definida por f(x; y; z; t) = (x - z; y + t)<br /> Investigar si f es inyectiva y/o sobreyectiva. <br />9.- Sea: f a R 4 ->R 3 <br /> f(x, y, z, t)->(ax+y, x+az, y+t)<br />Calcule los valores de a para los que fa es una aplicación lineal inyectiva<br />10.- sea B= {u1, u2, u3} base de R 3 , donde<br />U1 Є N (f), v2=f (u2)= (0, -1, 1), v3=f (u3)= (1, 1, -1)<br />L es inyectiva, sobre, biyectiva?<br />