1. El documento describe la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que la velocidad de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente. Se presentan ecuaciones diferenciales de primer orden para modelar problemas de enfriamiento.
2. Se resuelven tres ejemplos numéricos de problemas de enfriamiento utilizando estas ecuaciones. En el primero se calcula el tiempo para que el café alcance los 150°F. En el segundo se resuelve el mismo problema con otro método. En el tercero se
Clase 06 aplicaciones de ecuaciones diferencialesJimena Rodriguez
El documento presenta varios temas relacionados con un curso o clase. Incluye una discusión sobre el crecimiento o decrecimiento de poblaciones usando el modelo de Malthus, un circuito eléctrico LR en serie, y la ley de enfriamiento de Newton. También presenta ejemplos y problemas resueltos relacionados con estos temas.
1. El documento describe la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que la velocidad de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente. Se presentan ecuaciones diferenciales de primer orden para modelar problemas de enfriamiento.
2. Se resuelven tres ejemplos numéricos de problemas de enfriamiento utilizando estas ecuaciones. En el primero se calcula el tiempo para que el café alcance los 150°F. En el segundo se resuelve el mismo problema con otro método. En el tercero se
1. El documento describe la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que la velocidad de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente. Se presentan ecuaciones diferenciales de primer orden para modelar problemas de enfriamiento.
2. Se resuelven tres ejemplos numéricos de problemas de enfriamiento utilizando estas ecuaciones. En el primero se calcula el tiempo para que el café alcance los 150°F. En el segundo se resuelve el mismo problema con otro método. En el tercero se
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Este documento describe los métodos numéricos de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales. Explica cómo aproximar derivadas con expresiones algebraicas más simples y cómo aplicar esto para resolver la ecuación de calor. También compara tres métodos: explícito, implícito y Crank-Nicolson, discutiendo sus ventajas y desventajas para este problema.
Este documento presenta tres problemas relacionados con la física fotoeléctrica. El primer problema pregunta cuál de tres metales (litio, berilio o mercurio) exhibirá el efecto fotoeléctrico bajo luz de 400 nm y calcula la energía cinética máxima de los fotoelectrones para cada metal. El segundo problema calcula la energía cinética máxima, la función de trabajo y la longitud de onda de corte para un metal bajo luz de 300 nm. El tercer problema calcula los ángulos de dispersión, la energía y
Este documento explica las funciones periódicas y la serie de Fourier. Define una función periódica como aquella que cumple f(t)=f(t+T) para algún periodo T. Explica que la suma de dos funciones periódicas no siempre es periódica. También describe cómo Fourier y otros matemáticos resolvieron la ecuación del calor mediante series trigonométricas, llegando a la conclusión de que cualquier función puede expresarse como una serie de este tipo.
1) La transformada de Laplace se utiliza para analizar ecuaciones diferenciales y calcula la integral de una función multiplicada por un exponencial complejo. 2) Existen propiedades como el teorema de traslación, linealidad, derivadas, integrales y cambio de escala que permiten manipular transformadas. 3) La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes u variables.
Clase 06 aplicaciones de ecuaciones diferencialesJimena Rodriguez
El documento presenta varios temas relacionados con un curso o clase. Incluye una discusión sobre el crecimiento o decrecimiento de poblaciones usando el modelo de Malthus, un circuito eléctrico LR en serie, y la ley de enfriamiento de Newton. También presenta ejemplos y problemas resueltos relacionados con estos temas.
1. El documento describe la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que la velocidad de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente. Se presentan ecuaciones diferenciales de primer orden para modelar problemas de enfriamiento.
2. Se resuelven tres ejemplos numéricos de problemas de enfriamiento utilizando estas ecuaciones. En el primero se calcula el tiempo para que el café alcance los 150°F. En el segundo se resuelve el mismo problema con otro método. En el tercero se
1. El documento describe la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que la velocidad de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente. Se presentan ecuaciones diferenciales de primer orden para modelar problemas de enfriamiento.
2. Se resuelven tres ejemplos numéricos de problemas de enfriamiento utilizando estas ecuaciones. En el primero se calcula el tiempo para que el café alcance los 150°F. En el segundo se resuelve el mismo problema con otro método. En el tercero se
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Este documento describe los métodos numéricos de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales. Explica cómo aproximar derivadas con expresiones algebraicas más simples y cómo aplicar esto para resolver la ecuación de calor. También compara tres métodos: explícito, implícito y Crank-Nicolson, discutiendo sus ventajas y desventajas para este problema.
Este documento presenta tres problemas relacionados con la física fotoeléctrica. El primer problema pregunta cuál de tres metales (litio, berilio o mercurio) exhibirá el efecto fotoeléctrico bajo luz de 400 nm y calcula la energía cinética máxima de los fotoelectrones para cada metal. El segundo problema calcula la energía cinética máxima, la función de trabajo y la longitud de onda de corte para un metal bajo luz de 300 nm. El tercer problema calcula los ángulos de dispersión, la energía y
Este documento explica las funciones periódicas y la serie de Fourier. Define una función periódica como aquella que cumple f(t)=f(t+T) para algún periodo T. Explica que la suma de dos funciones periódicas no siempre es periódica. También describe cómo Fourier y otros matemáticos resolvieron la ecuación del calor mediante series trigonométricas, llegando a la conclusión de que cualquier función puede expresarse como una serie de este tipo.
1) La transformada de Laplace se utiliza para analizar ecuaciones diferenciales y calcula la integral de una función multiplicada por un exponencial complejo. 2) Existen propiedades como el teorema de traslación, linealidad, derivadas, integrales y cambio de escala que permiten manipular transformadas. 3) La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes u variables.
Ley de enfriamiento o Calentamiento /Cambio de TemperaturaRonald Sisalima
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos, llevando a cabo procesos como: vaporización, cristalización, reacciones químicas, entre otras. En donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus propias peculiaridades.
Aplicación de la ley de la viscosidad de NewtonAdalberto C
Este documento presenta tres problemas resueltos sobre aplicaciones de la ley de viscosidad de Newton. El primer problema calcula el esfuerzo cortante y la velocidad entre dos placas paralelas en movimiento. El segundo problema determina la fuerza necesaria para mover una placa sobre un lubricante. El tercer problema calcula la viscosidad de un fluido usando la fuerza y velocidad de un eje cilíndrico deslizándose.
Este diagrama ilustra las relaciones entre el calor (Q), trabajo (W) y cambios en la energía interna (ΔU) durante procesos termodinámicos isobáricos, isocóricos, isotérmicos, adiabáticos y ciclos para gases mono y diatómicos. Muestra las ecuaciones de estado que definen cada proceso y cómo el área encerrada por un ciclo representa el trabajo neto realizado.
Dos corredores parten en direcciones opuestas de una pista circular de 200m. Uno corre a 6.20 m/s y el otro a 5.50 m/s. Cuando se encuentran, habrán corrido durante 17.1 segundos y uno habrá cubierto 106m y el otro 94m.
1) La tensión inicial en la barra es de 500 kgf.
2) La presión final en el cilindro es de 2 kgf/cm2.
3) El peso específico del líquido es el doble que el del agua.
Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre vectores tangente, normal y binormal para curvas en el espacio. Explica que el vector tangente apunta en la dirección de la tangente a la curva, el vector normal apunta en la dirección de la normal principal y el vector binormal es perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. Incluye ejemplos para calcular estos vectores para curvas dadas por funciones parametrizadas.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que convierte funciones de tiempo en funciones de una nueva variable llamada s. Se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales y integrales lineales, especialmente aquellas con coeficientes constantes. La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral impropia. Existen condiciones para que la transformada exista, como que la función sea continua por tramos y de orden exponencial.
Este documento presenta un experimento para comprobar la Ley de Enfriamiento de Newton aplicando cálculo diferencial. Se midió la temperatura de agua calentada cada 2 minutos durante 20 minutos para obtener datos que se usaron para calcular la constante de enfriamiento. Los resultados apoyan la Ley de Enfriamiento de Newton de que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente.
Este documento presenta los resultados de varias pruebas de hipótesis realizadas sobre diferentes conjuntos de datos. En la prueba 13, se comparan las desviaciones estándar de los pesos de paquetes en el pasado (0.25 onzas) y en una muestra actual (0.32 onzas) para determinar si la variabilidad ha aumentado de manera significativa a niveles de significancia del 0.05 y 0.005. Los resultados muestran que la hipótesis nula de que no hay un aumento significativo en la variabilidad no puede ser rechazada
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Este documento explica la distribución de Poisson. Presenta 5 ejercicios numéricos que ilustran cómo calcular probabilidades para variables aleatorias con distribución de Poisson. Los ejercicios cubren cálculos como la probabilidad de que ocurran cierto número de eventos, la media y varianza esperadas, y comparaciones entre distribuciones de Poisson y binomial.
Este documento presenta problemas resueltos relacionados con continuidad, diferenciabilidad, regla de la cadena y derivación implícita de funciones de varias variables. En el primer problema se verifica la continuidad y se calculan las derivadas parciales de una función. En el segundo problema se prueba que una función es diferenciable en un punto y continua. Los problemas subsiguientes tratan sobre aplicaciones de la regla de la cadena y cálculo de derivadas implícitas.
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1Bertha Vega
Este documento presenta 8 ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden. El primer ejercicio establece una ecuación diferencial basada en la pendiente de una familia de curvas y encuentra la curva particular que pasa por el punto (0,0). El segundo ejercicio repite el primero pero con una pendiente diferente. El tercer ejercicio modela el crecimiento exponencial de la población de una ciudad. Los ejercicios restantes aplican modelos de crecimiento exponencial o decaimiento exponencial a diversos problemas biológicos y
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
El documento describe varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo el método del punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. El método del punto fijo genera una sucesión convergente a partir de una función iteradora. El método de Newton-Raphson encuentra raíces aproximadas de manera más eficiente usando la derivada de la función. El método de la secante evita calcular la derivada y aproxima las raíces usando dos puntos previos.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
Este documento describe el método de reducción de orden para encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. El método involucra sustituir una segunda solución y2 en términos de una solución conocida y1, reduciendo así la ecuación a una de primer orden. Se presenta la fórmula para hallar y2 y se resuelven ejemplos para ilustrar el método.
Oscilaciones amortiguadas, forzadas y resonanciaYuri Milachay
Este documento trata sobre vibraciones libres amortiguadas y vibraciones forzadas. Explica los conceptos de oscilaciones amortiguadas, vibración libre viscosa amortiguada, análisis de la solución, gráfica del proceso, y resonancia. Incluye ejemplos y ecuaciones para describir el movimiento de sistemas masa-resorte con amortiguación.
Este documento presenta tres modelos matemáticos expresados como ecuaciones diferenciales: 1) la propagación de una enfermedad, 2) la mezcla de soluciones salinas de diferentes concentraciones, y 3) un circuito eléctrico en serie con un inductor, resistor y capacitor. Se explica brevemente cada modelo y se proporciona un ejercicio de aplicación para cada uno.
Los indicadores educativos son instrumentos que permiten medir y conocer las tendencias y desviaciones de las acciones educativas con respecto a las metas esperadas, así como prever la evolución futura de los fenómenos educativos. En México, entidades como el Programa Nacional de Educación, el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación, el Sistema Educativo Nacional y la Dirección General de Planeación y Programación establecen indicadores educativos para medir conceptos como la percepción, los procesos educativos, el rendimiento y los resultados
El documento presenta información sobre diferentes teorías del comercio internacional. Expone brevemente el mercantilismo, que promovía el desarrollo industrial para lograr una balanza comercial positiva. También describe la teoría de la ventaja absoluta de Adam Smith, según la cual cada país debe especializarse en lo que produce a menor costo, y la teoría de la ventaja comparativa de David Ricardo, la cual establece que el comercio es beneficioso aunque un país no tenga ventaja absoluta en nada.
Ley de enfriamiento o Calentamiento /Cambio de TemperaturaRonald Sisalima
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos, llevando a cabo procesos como: vaporización, cristalización, reacciones químicas, entre otras. En donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus propias peculiaridades.
Aplicación de la ley de la viscosidad de NewtonAdalberto C
Este documento presenta tres problemas resueltos sobre aplicaciones de la ley de viscosidad de Newton. El primer problema calcula el esfuerzo cortante y la velocidad entre dos placas paralelas en movimiento. El segundo problema determina la fuerza necesaria para mover una placa sobre un lubricante. El tercer problema calcula la viscosidad de un fluido usando la fuerza y velocidad de un eje cilíndrico deslizándose.
Este diagrama ilustra las relaciones entre el calor (Q), trabajo (W) y cambios en la energía interna (ΔU) durante procesos termodinámicos isobáricos, isocóricos, isotérmicos, adiabáticos y ciclos para gases mono y diatómicos. Muestra las ecuaciones de estado que definen cada proceso y cómo el área encerrada por un ciclo representa el trabajo neto realizado.
Dos corredores parten en direcciones opuestas de una pista circular de 200m. Uno corre a 6.20 m/s y el otro a 5.50 m/s. Cuando se encuentran, habrán corrido durante 17.1 segundos y uno habrá cubierto 106m y el otro 94m.
1) La tensión inicial en la barra es de 500 kgf.
2) La presión final en el cilindro es de 2 kgf/cm2.
3) El peso específico del líquido es el doble que el del agua.
Este documento presenta definiciones y ejemplos sobre vectores tangente, normal y binormal para curvas en el espacio. Explica que el vector tangente apunta en la dirección de la tangente a la curva, el vector normal apunta en la dirección de la normal principal y el vector binormal es perpendicular al plano formado por los otros dos vectores. Incluye ejemplos para calcular estos vectores para curvas dadas por funciones parametrizadas.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que convierte funciones de tiempo en funciones de una nueva variable llamada s. Se puede usar para resolver ecuaciones diferenciales y integrales lineales, especialmente aquellas con coeficientes constantes. La transformada de Laplace de una función f(t) se define como una integral impropia. Existen condiciones para que la transformada exista, como que la función sea continua por tramos y de orden exponencial.
Este documento presenta un experimento para comprobar la Ley de Enfriamiento de Newton aplicando cálculo diferencial. Se midió la temperatura de agua calentada cada 2 minutos durante 20 minutos para obtener datos que se usaron para calcular la constante de enfriamiento. Los resultados apoyan la Ley de Enfriamiento de Newton de que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente.
Este documento presenta los resultados de varias pruebas de hipótesis realizadas sobre diferentes conjuntos de datos. En la prueba 13, se comparan las desviaciones estándar de los pesos de paquetes en el pasado (0.25 onzas) y en una muestra actual (0.32 onzas) para determinar si la variabilidad ha aumentado de manera significativa a niveles de significancia del 0.05 y 0.005. Los resultados muestran que la hipótesis nula de que no hay un aumento significativo en la variabilidad no puede ser rechazada
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Este documento explica la distribución de Poisson. Presenta 5 ejercicios numéricos que ilustran cómo calcular probabilidades para variables aleatorias con distribución de Poisson. Los ejercicios cubren cálculos como la probabilidad de que ocurran cierto número de eventos, la media y varianza esperadas, y comparaciones entre distribuciones de Poisson y binomial.
Este documento presenta problemas resueltos relacionados con continuidad, diferenciabilidad, regla de la cadena y derivación implícita de funciones de varias variables. En el primer problema se verifica la continuidad y se calculan las derivadas parciales de una función. En el segundo problema se prueba que una función es diferenciable en un punto y continua. Los problemas subsiguientes tratan sobre aplicaciones de la regla de la cadena y cálculo de derivadas implícitas.
ED Ejercicios complementarios cap 1 aplicaciones de las ed orden uno parte 1Bertha Vega
Este documento presenta 8 ejercicios de ecuaciones diferenciales de primer orden. El primer ejercicio establece una ecuación diferencial basada en la pendiente de una familia de curvas y encuentra la curva particular que pasa por el punto (0,0). El segundo ejercicio repite el primero pero con una pendiente diferente. El tercer ejercicio modela el crecimiento exponencial de la población de una ciudad. Los ejercicios restantes aplican modelos de crecimiento exponencial o decaimiento exponencial a diversos problemas biológicos y
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
El documento describe varios métodos para encontrar las raíces de una ecuación, incluyendo el método del punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. El método del punto fijo genera una sucesión convergente a partir de una función iteradora. El método de Newton-Raphson encuentra raíces aproximadas de manera más eficiente usando la derivada de la función. El método de la secante evita calcular la derivada y aproxima las raíces usando dos puntos previos.
Solución de Sistemas de Ecuaciones por Eliminaciónoswaldoalvarado
Este documento presenta el método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. El método implica reescribir el sistema en términos del operador diferencial, eliminar una variable mediante multiplicación de ecuaciones, obtener la solución de la ecuación característica y sustituir en el sistema original para encontrar la solución general. Se ilustra el método con un ejemplo de sistema de dos ecuaciones de primer orden.
Este documento describe el método de reducción de orden para encontrar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden. El método involucra sustituir una segunda solución y2 en términos de una solución conocida y1, reduciendo así la ecuación a una de primer orden. Se presenta la fórmula para hallar y2 y se resuelven ejemplos para ilustrar el método.
Oscilaciones amortiguadas, forzadas y resonanciaYuri Milachay
Este documento trata sobre vibraciones libres amortiguadas y vibraciones forzadas. Explica los conceptos de oscilaciones amortiguadas, vibración libre viscosa amortiguada, análisis de la solución, gráfica del proceso, y resonancia. Incluye ejemplos y ecuaciones para describir el movimiento de sistemas masa-resorte con amortiguación.
Este documento presenta tres modelos matemáticos expresados como ecuaciones diferenciales: 1) la propagación de una enfermedad, 2) la mezcla de soluciones salinas de diferentes concentraciones, y 3) un circuito eléctrico en serie con un inductor, resistor y capacitor. Se explica brevemente cada modelo y se proporciona un ejercicio de aplicación para cada uno.
Los indicadores educativos son instrumentos que permiten medir y conocer las tendencias y desviaciones de las acciones educativas con respecto a las metas esperadas, así como prever la evolución futura de los fenómenos educativos. En México, entidades como el Programa Nacional de Educación, el Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación, el Sistema Educativo Nacional y la Dirección General de Planeación y Programación establecen indicadores educativos para medir conceptos como la percepción, los procesos educativos, el rendimiento y los resultados
El documento presenta información sobre diferentes teorías del comercio internacional. Expone brevemente el mercantilismo, que promovía el desarrollo industrial para lograr una balanza comercial positiva. También describe la teoría de la ventaja absoluta de Adam Smith, según la cual cada país debe especializarse en lo que produce a menor costo, y la teoría de la ventaja comparativa de David Ricardo, la cual establece que el comercio es beneficioso aunque un país no tenga ventaja absoluta en nada.
Este documento trata sobre la conducta como primer elemento del delito en derecho penal. Define la conducta como una acción u omisión humana consciente y voluntaria dirigida a producir un resultado antijurídico. Explica que la conducta puede ser activa a través de una acción, o pasiva a través de una omisión. También analiza los elementos de la acción como la voluntad, actividad, resultado y nexo causal, así como las teorías sobre este último. Finalmente, aborda los supuestos en los que no hay conducta, como la ause
La ley deroga leyes anteriores sobre deporte y establece la Secretaría Nacional de Cultura Física, Deportes y Recreación como la entidad responsable de coordinar la cultura física y el deporte en el país. La ley también crea varias federaciones deportivas para organizar el deporte a nivel estudiantil, universitario, militar, de discapacitados y otros niveles, y define sus funciones y estructuras de gobierno.
Este documento presenta una introducción a los conceptos fundamentales de epidemiología y salud pública. Explica que la epidemiología estudia las epidemias y cómo afectan a las personas. Detalla los objetivos de aplicar estadísticas en salud pública como comprender diagnósticos, interpretar pruebas de laboratorio y asesorar a pacientes. También cubre las etapas de análisis epidemiológico como comprobar y procesar datos. Finalmente, discute los determinantes de la salud de una población y la importancia de la epidemiolog
Proyecto de mejoramiento de convivencia escolar entre pares danialejandra16
Este documento presenta un proyecto de convivencia escolar llamado "Convivencia sana, corazón contento" que tiene como objetivo crear lazos de confianza y aceptación entre los estudiantes, profesores y directora de un colegio. El proyecto se implementará en tres módulos que abordan la información sobre el proyecto, el análisis de fortalezas y debilidades en las relaciones, y la resolución de conflictos. El proyecto busca mejorar las relaciones interpersonales en la escuela mediante el diálogo, el
Este documento analiza la relación entre la balanza comercial y la variabilidad del tipo de cambio en Perú entre 2008 y 2013. Presenta el marco teórico sobre cómo se espera que una depreciación del tipo de cambio aumente las exportaciones e importaciones, mientras que un superávit comercial debería apreciar la moneda. Analiza estudios previos y las bases teóricas de estas relaciones. El objetivo es determinar si las fluctuaciones del tipo de cambio influyeron en los niveles de exportaciones e importaciones en Perú, o viceversa.
Baja California a través del Censo INEGI 2009Gastón Luken
El documento presenta estadísticas sobre la agricultura, ganadería, silvicultura y educación en Baja California, México. Reporta cifras como la superficie sembrada y cosechada de diversos cultivos, el volumen de producción agropecuaria y forestal, así como datos educativos como la población escolarizada, el número de escuelas y maestros. La mayoría de los indicadores muestran que Baja California representa entre un 1-3% de los totales nacionales.
El documento explica los pasos para calcular las frecuencias de datos agrupados. Primero se determinan las marcas de clase y los intervalos de cada clase. Luego se cuentan las frecuencias absolutas de cada clase. Después se calculan las frecuencias acumuladas sumando las frecuencias absolutas. Finalmente, se dividen las frecuencias absolutas entre el número total de datos para obtener las frecuencias relativas.
This document provides a summary of Heba Saleh's results from CareerLeader assessments in interests, motivators, and skills. For interests, she scored highest in coaching/mentoring, application of technology, and theory development/research. Her top motivators were positioning, prestige, and intellectual challenge. She rated herself highly in interpersonal effectiveness, power/influence, and analysis/decision making skills compared to other professionals. The report provides details on how Heba's interests, motivators and skills can inform her career choices and satisfaction.
Este documento presenta el Programa de Acción Específico 2007-2012 para Entornos y Comunidades Saludables. El programa busca promover políticas públicas que creen entornos favorables para la salud e involucren a las autoridades y comunidades municipales en el desarrollo de acciones de promoción de la salud. Su objetivo principal es impulsar la participación comunitaria para modificar los determinantes de salud, generar conductas saludables y construir una cultura de salud sustentada en información accesible. El programa contribuirá a reducir
1) The document summarizes 14 chapters from the book "My Brother Sam is Dead" by James Lincoln Collier and Christopher Collier.
2) It describes the Meeker family during the American Revolutionary War, focusing on brothers Tim and Sam Meeker. Sam wants to join the Patriot militia against their father's wishes.
3) Over the course of the war, Sam faces imprisonment and execution for allegedly stealing cattle, causing great distress for Tim and their mother as they try unsuccessfully to save him.
Este documento explora la posibilidad de una moral subjetiva sin referentes objetivos frente a la necesidad de principios morales absolutos. Discute si el subjetivismo ético conduce a la anarquía moral o si es posible crear una fuente de obligación moral sin apelar a un dios. Finalmente, analiza las implicaciones para la educación moral.
This document discusses Scilab, an open-source alternative to Matlab for scientific computing. It begins with an introduction to Scilab, noting its similarities to Matlab as well as its advantages such as being free to use. However, it also discusses some disadvantages like lacking robust documentation and tutorials. The document then discusses problems the author has encountered using Scilab like crashes and issues with new releases. It provides an overview of embedded help features in Scilab as well as information resources available online and in books. Overall, the document provides context around Scilab while also being candid about issues and limitations the author has faced in using the program.
This document discusses a strategic analysis of Ice-Fili, the largest domestic ice cream producer in Russia. It analyzes Ice-Fili's industry and competitive environment using Porter's Five Forces model. It finds that buyer power and threat of substitutes are high for Ice-Fili due to many choices for customers and competition from other foods. The document also segments the Russian ice cream market and recommends that Ice-Fili focus on strengthening its distribution channel and brand recognition to regain market share from foreign and regional competitors that have eroded Ice-Fili's leadership position.
Este documento presenta una iniciativa para reformar la Ley del Impuesto sobre la Renta en México con el objetivo de simplificar el sistema tributario, fortalecer los ingresos públicos y hacer más equitativa la estructura impositiva. La iniciativa propone eliminar el Impuesto Empresarial a Tasa Única y el Impuesto a los Depósitos en Efectivo, dejando solo el Impuesto sobre la Renta. También incluye modificaciones para ampliar la base gravable del ISR y eliminar tratamientos preferenciales.
This document introduces the seven new quality tools: affinity diagrams, interrelationship diagrams, tree diagrams, matrix diagrams, matrix data analysis, process decision program charts, and arrow diagrams. These tools organize and display information visually to structure group work, explore relationships between ideas, plan projects, and facilitate non-linear thinking. Examples of each tool are provided and explained.
This document discusses response analysis for structures subjected to specified ground motions. It begins by introducing time history analysis and the different methods that can be used, including direct integration and Fourier transform techniques. It then reviews concepts for modeling single-degree-of-freedom (SDOF) and multi-degree-of-freedom (MDOF) systems subjected to ground motions. Examples are provided to demonstrate how to derive the mass, stiffness and forcing vectors/matrices for different structural models. Methods for specifying multi-support excitation and deriving transformation matrices (r-matrices) relating responses at different supports are also described through examples.
Este documento presenta información sobre el método de la cadena crítica para la programación y gestión de proyectos. Explica que la cadena crítica es la secuencia de actividades que determinan la duración mínima de un proyecto. También incluye biografías de Eliyahu Goldratt, autor del método, e índice de contenidos del documento que analiza la aplicación del método a una vivienda económica.
El documento presenta una introducción a la estadística descriptiva y la estadística inferencial. Explica que la estadística descriptiva se utiliza para resumir y visualizar datos, usando tablas, gráficos y parámetros como la media y la desviación estándar. La estadística inferencial permite inferir conclusiones sobre una población a partir de una muestra. También describe las aplicaciones de la estadística en salud pública, como la evaluación de programas y estudios epidemiológicos.
La policía encontró el cadáver de un millonario asesinado a las 11:00 P.M. con una temperatura de 31°C. Una hora después la temperatura era de 30°C con una temperatura ambiental de 22°C. Usando la ley de enfriamiento de Newton, se estimó que el asesinato ocurrió aproximadamente 4 horas y 20 minutos antes, alrededor de las 6:40 P.M.
Un pedazo de hielo a 0°C y 100g de agua a 100°C se colocan en un recipiente aislado. Al establecerse el equilibrio térmico, la temperatura final es de 10,15°C. El cambio en la entropía del universo en este proceso es de 22,2 J/K.
Este documento presenta dos aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden: problemas de mezclas y la ley de enfriamiento de Newton. Explica cómo modelar matemáticamente cada situación y resuelve un ejemplo numérico para cada una.
La ecuación diferencial describe la relación entre las variables y sus derivadas en un sistema. El documento explica que una ecuación diferencial puede ser de primer orden, segundo orden, etc. dependiendo del orden de la derivada más alta contenida. También puede ser lineal o no lineal dependiendo de si cumple ciertas propiedades. Finalmente, el documento presenta ejemplos de ecuaciones diferenciales que modelan diversos sistemas físicos como la dinámica de poblaciones, el enfriamiento de cuerpos y circuitos eléctricos.
Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con ecuaciones diferenciales. En el primer problema, se determina el orden y tipo de varias ecuaciones diferenciales. En el segundo, se verifica que ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas. El tercer problema determina valores de r para que funciones de la forma y=ert sean soluciones. El cuarto problema resuelve un caso similar. El quinto problema modela el movimiento de un péndulo usando la conservación de la energía. El sexto problema analiza la des
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden: Problemas ResueltosJoe Arroyo Suárez
Este documento presenta problemas resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Incluye problemas de variables separadas, homogéneas, lineales y diferenciales exactas, así como aplicaciones a problemas de desintegración radiactiva, mezclas y temperatura. Resuelve cada problema paso a paso, encontrando las soluciones generales y particulares de las ecuaciones diferenciales que modelizan cada situación.
Este documento presenta el método de separación de variables para resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales homogéneas. Se ilustra el método con el problema de la conducción del calor en una varilla, resolviendo la ecuación de calor mediante separación de variables y encontrando las soluciones en forma de serie de Fourier.
Este documento presenta varios modelos matemáticos de sistemas físicos, incluyendo la ley de enfriamiento de Newton y modelos de circuitos eléctricos. Explica cómo estos modelos involucran variables como el tiempo y describen el comportamiento de los sistemas. También muestra un ejemplo de cómo aplicar la ley de enfriamiento de Newton para calcular el tiempo que tardará un pastel en enfriarse de 300°F a 70°F.
MODELOS MATEMÁTICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Presentación dise...JAVIER SOLIS NOYOLA
Presentación diseñada por el Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA. Tema: MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS FÍSICOS (Caso de Modelos Matemáticos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias)
Este documento trata sobre la temperatura y la dilatación. Explica que la temperatura es una medida de la energía cinética promedio por molécula y que la dilatación está relacionada con los cambios de energía potencial de las sustancias. Presenta las escalas de temperatura Celsius, Kelvin y Fahrenheit y las fórmulas para calcular la dilatación lineal, de área y de volumen cuando un objeto cambia de temperatura. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar estas fórmulas.
Este documento trata sobre la temperatura y la dilatación. Explica que la temperatura es una medida de la energía cinética promedio por molécula y que la dilatación se relaciona con los cambios de energía potencial de las sustancias. Describe las escalas de temperatura Celsius, Kelvin y Fahrenheit y cómo se relacionan. También explica los conceptos de dilatación lineal, de área y de volumen, y cómo se aplican en diferentes materiales y situaciones.
La ley cero de la termodinámica establece que dos objetos están en equilibrio térmico si tienen la misma temperatura. Existen varias escalas de temperatura como Celsius, Kelvin y Fahrenheit. La dilatación térmica se produce cuando un objeto se calienta y su longitud, área o volumen aumentan. La dilatación depende del material y la variación de temperatura.
Tratamiento conservas en alimentos y la insduria alimentariaAlexaMaciel1
Este documento revisa los fundamentos de la evaluación y el diseño de tratamientos térmicos utilizados en conservas vegetales. Describe los parámetros D y Z que caracterizan la cinética de destrucción térmica de microorganismos, y la letalidad (Fo) que permite comparar tratamientos. Explica métodos como la curva de penetración de calor y el modelo de Ball para determinar la eficiencia de tratamientos y predecir temperaturas en el interior del envase.
El método Pinch se utiliza para rediseñar redes de intercambiadores de calor con el objetivo de ahorrar costos y energía. El método se enfoca en integrar el calor de las corrientes calientes en las frías para minimizar el uso de vapor y agua de enfriamiento. Incluye construir curvas compuestas de temperatura vs entalpía para identificar puntos Pinch y cuantificar el calor que puede integrarse entre las corrientes.
Este documento presenta 8 problemas relacionados con el régimen transitorio de transferencia de calor. El primer problema involucra el cálculo del tiempo necesario para que el plano medio de una placa alcance una temperatura de 60°C. El segundo problema determina la temperatura a 15 cm debajo de un calentador después de 2 horas y la cantidad de calor conducido a la tierra. El tercer problema calcula el tiempo necesario para que un punto a 5 cm de la superficie de una placa de hormigón se enfríe a 320°K.
La energía térmica es la suma de la energía cinética y potencial molecular de un objeto. La ley cero de la termodinámica establece que dos objetos están en equilibrio térmico si tienen la misma temperatura. Existen varias escalas de temperatura como Celsius, Kelvin y Fahrenheit, y el cero absoluto es -273°C. La dilatación lineal, de área y volumen ocurren cuando un objeto se calienta o enfría, y pueden calcularse usando las fórmulas apropiadas.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre física de fluidos y termodinámica. Incluye conceptos como calor, calorimetría, flujo de calor, conducción, convección y radiación. También presenta 5 ejercicios resueltos como ejemplos para aplicar estos conceptos, resolviendo problemas relacionados con el cálculo de temperaturas de equilibrio, cambios de estado, dilatación térmica y tasas de transferencia de calor. Finalmente, invita al estudiante a resolver ejercicios adicional
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos teóricos sobre este tipo de ecuaciones y presenta varios problemas resueltos como aplicaciones en áreas como desintegración radiactiva, mezclas y transferencia de calor, resolviendo cada uno paso a paso.
Este documento presenta información sobre conceptos de física como temperatura, energía térmica, dilatación y escalas de temperatura. Explica que la temperatura se relaciona con la actividad cinética molecular mientras que la energía térmica incluye energía cinética y potencial. También describe las escalas Celsius y Fahrenheit, el cero absoluto de temperatura y la comparación entre diferentes escalas térmicas.
Este documento presenta información sobre conceptos de física como temperatura, energía térmica, dilatación y escalas de temperatura. Explica que la temperatura se relaciona con la actividad cinética molecular mientras que la energía térmica incluye energía cinética y potencial. También introduce el cero absoluto de temperatura y compara las escalas Celsius, Kelvin, Fahrenheit y Rankine.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Examen de Lengua Castellana y Literatura de la EBAU en Castilla-La Mancha 2024.
Aplicaciones de temperatura
1. 184
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
PRIMER ORDEN A
PROBLEMAS DE ENFRIAMIENTO
Se sabe de observaciones experimentales que, con una exactitud satisfactoria, en
muchas circunstancias, la temperatura superficial de un objeto cambia a una velocidad
proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la de sus alrededores. Esto se
conoce como la Ley de Enfriamiento de Newton.
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
Si T(t) es la temperatura de un objeto en un instante de tiempo t, Ta es la
temperatura del ambiente constante y β la constante de proporcionalidad entonces la
ecuación diferencial asociada a los problemas de enfriamiento (calentamiento) es:
dt
)t(dT
= β [T(t) – Ta]
Se necesita conocer la lectura de la temperatura del objeto en dos instantes
diferentes, ya que hay dos constantes por determinar: la constante de proporcionalidad β y la
constante de integración.
Se tendrá entonces un problema de valor de frontera
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
β
11
0
T)t(T
T)0(T
Ta]-[T(t)=
dt
dT(t)
La solución del problema de valor de frontera permite obtener la Ley de Variación de la
temperatura en función del tiempo ( esto es, una ecuación para T(t))
2. 185
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE
ENFRIAMIENTO
1. La temperatura de una taza de café acabada de servir es de 200º F. Un minuto
después se ha enfriado a 190º F en un cuarto que está a 70º F ¿Qué tan grande debe
ser el período que debe transcurrir antes de que el café alcance una temperatura de
150º F?
SOLUCIÓN:
Lo primero que debe hacerse es establecer los datos que se conocen y los que se
deben determinar.
La temperatura del café acabado de servir, representa la temperatura inicial del café,
es decir, para el tiempo to = 0 min, la temperatura es T0 = 200 º F.
De acuerdo con el enunciado del problema, para el tiempo t1 = 1 minuto, la
temperatura es T1 = 190º F.
También se dice en el enunciado, que la temperatura del cuarto, en el cual se está
enfriando el café, es de 70º F. Esto representa la temperatura del ambiente: Ta = 70º F.
Puesto que la ecuación diferencial asociada a los problemas de enfriamiento, de
acuerdo con la Ley de enfriamiento de Newton, es
)70T(
dt
dT
−β= (1)
lo que queda planteado es resolver el problema de valor de frontera
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
190)1(T
200)0(T
70T
dt
dT
Ya que, la diferencial de la temperatura es dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dt
dT
dt, al sustituir
dt
dT
, dado por la
ecuación (1)
dT = β ( T – 70) dt (2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (1) por el factor
70T
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 70T
1
dT = β dt
integrando
3. 186
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 70T
1
dT =
∫β dt (3)
Ambas integrales son inmediatas
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 70T
1
dT = ln l T – 70 l + C1
∫β dt = β t + C2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (3)
ln l T – 70 l = β t + C (4)
Los valores de la constante de proporcionalidad β y de la constante de integración C,
deben determinarse. Para ello, se utilizan las condiciones de frontera.
El valor de la constante C de integración se obtiene utilizando la condición T(0) = 200,
es decir, se sustituye en la ecuación (2) t = 0 y T = 200, obteniéndose C = ln 130. Este
valor de C se sustituye en la ecuación (4)
ln l T – 70 l = β t + ln 130 (5)
El valor de la constante β de proporcionalidad se obtiene utilizando la condición
T(1) = 190, es decir, se sustituye en la ecuación (5) t = 1 y T = 190, obteniéndose
ln 120 = β + ln 130 β = ln 120 – ln 130⇒
por propiedades de logaritmo, β = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
ln .
Este valor de β se sustituye en la ecuación (5)
ln l T – 70 l = t ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
ln + ln 130
aplicando propiedades de logaritmo
ln l T – 70 l = ln
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
13
12
130
aplicando e
T – 70 =
t
13
12
130 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
despejando T
T(t) =
t
13
12
130 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 70 (6)
La ecuación (6) representa la ley de variación de la temperatura del café en cualquier
instante t. Para determinar el tiempo t2 que debe transcurrir para que la temperatura del café
llegue a 150º F, se sustituyen en la ecuación (6) t = t2 y T = 150
4. 187
150 =
2t
13
12
130 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 70
efectuando
2t
13
12
130
70150
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
aplicando logaritmo a ambos lados
2t
13
12
ln
13
8
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
aplicando propiedades de logaritmo
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
lnt
13
8
ln 2
despejando t2
t2 =
( )
( ) 125,6
08,0
49,0
ln
ln
13
12
13
8
=
−
−
=
Deben transcurrir 6,125 minutos, lo que equivale a 6 min y 7 seg, para que la
temperatura del café llegue a 150º F.
2. Resolver el mismo problema anterior, utilizando otro procedimiento
SOLUCIÓN:
Según se había establecido en el problema anterior, lo que se debe resolver es el
problema de valor de frontera
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
190)1(T
200)0(T
)1(70T
dt
dT
Ya que, la diferencial de la temperatura es dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dt
dT
dt, al sustituir
dt
dT
dado en la
ecuación (1)
dT = β ( T – 70) dt (2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (2) por el factor
70T
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 70T
1
dT = β dt (3)
5. 188
La ecuación (3) se integra definidamente; el tiempo varía de 0 a 1 y la temperatura de
200 a 190
∫ −
190
200
dT
70T
1
= (4)
∫β
1
0
dt
Resolviendo las integrales definidas
∫ −
190
200
dT
70T
1
=
∫ −
−
200
190
dT
70T
1
= 70Tln −−
/
200
190
= – ln 130 + ln 120 = ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
∫β
1
0
dt = β = βtdt
1
0
=
∫ /
1
0
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4)
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
= β
(observe que este es, exactamente, el mismo valor obtenido para β en el problema 1) este
valor de β, se sustituye en la ecuación (3)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− 70T
1
dT = ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
dt (5)
Para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura del café llegue
a 150º F, se integra de forma definida la ecuación (5); el tiempo varía entre 0 y el tiempo t2 a
determinar y la temperatura varía entre 200 y 150
∫ −
150
200
dT
70T
1
=
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2t
0
dt
13
12
ln (6)
Resolviendo las integrales definidas
∫ −
150
200
dT
70T
1
=
∫ −
−
200
150
dT
70T
1
= 70Tln −−
/
200
150
= – ln 130 + ln 80 = ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
8
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2t
0
dt
13
12
ln = ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
= tt
/
2t
0
2 ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
6. 189
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
8
= t2 ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
13
12
despejando t2
t2 =
( )
( ) 125,6
08,0
49,0
ln
ln
13
12
13
8
=
−
−
=
(observe que este es, exactamente, el mismo valor obtenido para t2 en el problema 1)
Deben transcurrir 6,125 minutos, lo que equivale a 6 min y 7 seg, para que la
temperatura del café llegue a 150º F.
3. Agua a temperatura de 100º C se enfría en 10 minutos a 80º C, en un cuarto cuya
temperatura es de 25º C. Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos.
¿Cuándo la temperatura será de 40º C y 26º C?
SOLUCIÓN:
De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada a
problemas de enfriamiento es
)TT(
dt
dT
a−β= (1)
Esta ecuación diferencial debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera
condición es que para el tiempo t0 = 0 min, la temperatura del agua es T0 = 100º C; la
segunda condición es que para el tiempo t1 = 10 min, la temperatura del agua es T1 = 80º C.
Además, la temperatura del ambiente donde debe enfriarse el agua es Ta = 25º C.
De aquí que debe resolverse el problema de valor de frontera
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
80)10(T
100)0(T
)2(25T
dt
dT
Ya que la diferencial de la temperatura es dT = dt
dt
dT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, sustituyendo
dt
dT
dado por la
ecuación (2)
dT = β ( T – 25) dt (3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (3) por el factor
25T
1
−
25T
1
−
dT = β dt (4)
integrando de forma definida; el tiempo varía entre 0 min y 10 min; la temperatura varía entre
100ºC y 80º C
7. 190
∫ −
80
100
dT
25T
1
= (5)
∫β
10
0
dt
Resolviendo las integrales definidas
∫ −
80
100
dT
25T
1
=
∫ −
−
100
80
dT
25T
1
= 25Tln −−
/
100
80
= – ln 75 + ln 55 = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln
75
55
ln
∫β
10
0
dt = β = 10 βt
/
10
0
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln = 10 β
de donde β = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln
10
1
. Este valor conseguido para β se sustituye en la ecuación (4)
25T
1
−
dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln
10
1
dt (6)
Para determinar la temperatura al cabo de 20 minutos, bastará con integrar en forma
definida la ecuación (6); el tiempo varía entre t0 = 0 min y t2 = 20 min; la temperatura
varía entre T0 = 100º C y T2 < 100º C ( T2 es la temperatura a buscar)
∫ −
2T
100
25T
1
dT =
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
20
0
dt
15
11
ln
10
1
(7)
Resolviendo las integrales definidas
∫ −
2T
100
25T
1
dT =
∫ −
−
100
2T
25T
1
dT = 25Tln −−
/
100
2T
= 25Tln75ln 2 −+− =
75
25T
ln 2 −
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
20
0
dt
15
11
ln
10
1
= t
15
11
ln
10
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
/
20
0
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln
10
20
= 2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln =
2
15
11
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
sustituyendo los resultados de las integrales es la ecuación (7)
8. 191
75
25T
ln 2 −
=
2
15
11
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
aplicando e
75
25T2 −
=
2
15
11
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
despejando T2
T2 = 75
2
15
11
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 25 = 65,33
Por lo tanto, la temperatura del agua luego de 20 minutos de iniciado el proceso de
enfriamiento, es de 65,33º C.
A fin de determinar cuanto tiempo debe transcurrir para el agua alcance una
temperatura de 40ºC, se integra en forma definida la ecuación (6); el tiempo varía entre t0 = 0
min y t = t3; la temperatura varía entre T0 = 100º C y T3 = 40º C
∫ −
40
100
25T
1
dT =
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3t
0
dt
15
11
ln
10
1
(8)
Resolviendo las integrales definidas
∫ −
40
100
25T
1
dT =
∫ −
−
100
40
25T
1
dT = 25Tln −−
/
100
40
= 15ln75ln +− = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
75
15
ln = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5
1
ln
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3t
0
dt
15
11
ln
10
1
= t
15
11
ln
10
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
/
3t
0
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln
10
t3
Sustituyendo los resultados de las integrales es la ecuación (8)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5
1
ln = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln
10
t3
despejando t3
t3 =
( )
( ) 94,51
31,0
61,1
10
ln
ln10
15
11
5
1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
de aquí que, el agua demora 51,94 min, es decir 51 min y 56 seg, en enfriarse de 100º C a
40º C.
9. 192
Para determinar cuanto tiempo debe transcurrir para el agua alcance una temperatura
de 26ºC, se integra en forma definida la ecuación (6); el tiempo varía entre t0 = 0 min y t = t4;
la temperatura varía entre T0 = 100º C y T4 = 26º C
∫ −
26
100
25T
1
dT =
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4t
0
dt
15
11
ln
10
1
(9)
Resolviendo las integrales definidas
∫ −
26
100
25T
1
dT =
∫ −
−
100
26
25T
1
dT = 25Tln −−
/
100
26
= 1ln75ln +− = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
75
1
ln
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4t
0
dt
15
11
ln
10
1
= t
15
11
ln
10
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
/
4t
0
= ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln
10
t4
Sustituyendo los resultados de las integrales es la ecuación (9)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
75
1
ln = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
15
11
ln
10
t4
despejando t4
t4 =
( )
( ) 139
31,0
31,4
10
ln
ln10
15
11
75
1
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
de aquí que, el agua demora 139 min, es decir 1 hora y 19 min, en enfriarse de 100º C a
26º C.
4. Agua a una temperatura de 10º C demora cinco minutos en calentarse a 20º C en un
cuarto cuya temperatura es de 40º C.
a) Encuentre la temperatura después de 20 minutos y después de 30 min
b) ¿Cuándo la temperatura será de 25º C?
SOLUCIÓN:
a) De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada
a problemas de calentamiento es
)TT(
dt
dT
a−β= (Ta > T) (1)
La ecuación diferencial (1) debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera
condición es que para el tiempo t0 = 0 min, la temperatura del agua es T0 = 10º C; la segunda
condición es que para el tiempo t1 = 5 min, la temperatura del agua es T1 = 20º C. Además, la
temperatura del ambiente donde se calienta el agua es Ta = 40º C.
10. 193
De aquí que debe resolverse el problema de valor de frontera
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
20)5(T
10)0(T
)2(40T
dt
dT
Ya que la diferencial de la temperatura es dT = dt
dt
dT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, sustituyendo
dt
dT
dada en la
ecuación (2)
dT = β ( T - 40) dt (T < 40) (3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (3) por el factor
40T
1
−
40T
1
−
dT = β dt
integrando
∫∫ β=
−
dtdT
40T
1
(4)
Ambas integrales son inmediatas
=
−
−
∫ dT
T40
1
ln l T - 40 l + C1
tdt β=β
∫ + C2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4)
ln l 40 – T l = β t + C (5)
Para determinar el valor de la constante de integración C, se utiliza la condición
T (0) = 10, es decir, se sustituye en la ecuación (5) t = 0 y T = 10 , obteniendo C = ln 30;
este valor de C se sustituye en la ecuación (5)
ln l 40 – T l = β t + ln 30 (6)
Para determinar el valor de la constante de proporcionalidad β, se utiliza la condición
T(5) = 20, es decir, se sustituye en la ecuación (6) t = 5 y T = 20, obteniendo
Ln 20 = 5 β + ln 30
despejando β
β = ( )30ln20ln
5
1
−
por propiedades de logaritmo
11. 194
β = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
2
ln
5
1
30
20
ln
5
1
este valor de β se sustituye en la ecuación (5)
ln l 40 – T l = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
2
ln
5
t
+ ln 30
aplicando propiedades de logaritmo
ln l 40 – T l =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
t
3
2
30ln
aplicando e
40 – T =
5
t
3
2
30 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
despejando T
T(t) = 40 – 30
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
t
3
2
(7)
La ecuación (7) representa la ley de variación de la temperatura del agua en cualquier
instante t
Para obtener la temperatura al cabo de 20 minutos, se sustituye t = 20 en la ecuación
(7)
T(20) = 40 – 30
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
20
3
2
= 40 – 30
4
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 40 – 30 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
81
16
= 40 – 34
27
920
27
160
==
de aquí resulta que al cabo de 20 min la temperatura del agua es de 34º C
Para obtener la temperatura al cabo de 30 minutos, se sustituye t = 30 en la ecuación
(7)
T(20) = 40 – 30
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
30
3
2
= 40 – 30
6
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 40 – 30 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
729
64
= 40 – 4,37
243
9080
243
640
==
de aquí resulta que al cabo de 30 min la temperatura del agua es de 37,4º C.
b) Para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura del agua se
caliente hasta 25º C, se sustituye T = 25 en la ecuación (7) y se busca el valor de t
25 = 40 – 30
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
t
3
2
esto es
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
t
3
2
=
2
1
30
2540
=
−
12. 195
aplicando logaritmo
ln
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
t
3
2
= ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
por propiedades de logaritmo
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
ln
3
2
ln
5
t
despejando t
t = 5
( )
( )3
2
2
1
ln
ln
= 5 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
41,0
69,0
= 5 (1,68) = 8,4
Por lo tanto, deben transcurrir 8,4 min, esto es 8 min y 24 seg, para que el agua se
caliente hasta 25º C.
5. La temperatura máxima que puede leerse en cierto termómetro es de 110º F.
Cuando el termómetro marca 36º F se coloca en un horno. Después de 1 y 2 minutos,
la temperatura que marca el termómetro es de 60º F y 82º F respectivamente. ¿Cuál es
la temperatura del horno?
SOLUCIÓN:
El problema planteado es un problema de calentamiento. La ecuación diferencial
asociada, de acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton es
( aTT
dt
dT
−β= ) (1)
El ambiente en donde el termómetro se va a calentar es el horno, y su temperatura se
desconoce. Por lo tanto, Ta debe determinarse
La ecuación diferencial (1) debe resolverse sujeta a tres condiciones; la primera
condición es que la temperatura del termómetro, justo antes de llevarlo al horno es 36 º F, es
decir, que para el tiempo t0 = 0 min, la temperatura es T0 = 36º F; la segunda condición es
que al cabo de 1 min de llevar el termómetro en el horno, este marca 60º F, es decir, para el
tiempo t1 = 1 min la temperatura es T1 = 60º F; y la tercera condición es que transcurridos
2 min de haber llevado el termómetro al horno este marca 82º F, es decir, para el tiempo
t2 = 2 min, la temperatura es T2 = 82º F.
Por lo tanto, lo que se va a resolver es el problema de valor de frontera
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
−β=
82)2(T
60)1(T
36)0(T
TT
dt
dT
a
13. 196
Ya que la diferencial de la temperatura es dT = dt
dt
dT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, sustituyendo
dt
dT
, dado en la
ecuación (1)
dT = β ( T – Ta ) dt (2)
La ecuación (2) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (2) por el factor
aTT
1
−
aTT
1
−
dT = β dt
integrando
∫∫ β=
−
dtdT
TT
1
a
(3)
Ambas integrales son inmediatas. Ya que es un problema de calentamiento Ta > T,
entonces
1a
aa
CTTlndT
TT
1
dT
TT
1
+−=
−
−
=
− ∫∫
2Ctdt +β=β
∫sustituyendo las resultados de las integrales en la ecuación (3)
ln l Ta – T l = β t + C (4)
Para poder obtener Ta se debe evaluar la ecuación (4) en cada una de las
condiciones de frontera.
Para T(0) = 36, se sustituye en la ecuación (4) t = o min y T = 36º F
ln l Ta – 36 l = C (5)
Para T(1) = 60, se sustituye en la ecuación (4) t = 1 min y T = 60º F
ln l Ta – 60 l = β + C (6)
Para T(2) = 82, se sustituye en la ecuación (4) t = 2 min y T = 82º F
ln l Ta – 82 l = 2β + C (7)
Con las ecuaciones (5), (6) y (7) se plantea un sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas: la constante de integración C, la constante de proporcionalidad β y la
temperatura del horno Ta
Sustituyendo la ecuación (5) en las ecuaciones (6) y (7)
ln l Ta – 60 l = β + ln l Ta – 36 l (8)
ln l Ta – 82 l = 2β + ln l Ta – 36 l (9)
14. 197
Multiplicando la ecuación (8) por 2 y restando con la ecuación (9)
2 ln l Ta – 60 l - ln l Ta – 82 l = 2 ln l Ta – 36 l - ln l Ta – 36 l
esto es
2 ln l Ta – 60 l = ln l Ta – 36 l + ln l Ta – 82 l
aplicando propiedades de logaritmo
ln l Ta – 60 l 2
= ln )82-T()36-T( aa
aplicando e
( Ta – 60 )2
= )82-T()36-T( aa
desarrollando
Ta
2
- 120 Ta + 3600 = Ta
2
– 118 Ta + 2952
simplificando
2 Ta = 648
despejando Ta
Ta = 324º F
De aquí que, la temperatura del horno, ambiente donde se calienta el termómetro, es
de 324º F.
6. A las nueve de la mañana un pastel a 70º F es sacado del horno y llevado a una
habitación donde la temperatura es de 15º F. Cinco minutos después la temperatura
del pastel es de 45º F. A la 9:10 am se regresa al interior del horno, donde la
temperatura es fija e igual a 70º F. ¿Cuál es la temperatura del pastel a las 9:20 am?
SOLUCIÓN:
Según puede deducirse del enunciado este problema es primero de enfriamiento y
luego de calentamiento.
De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada es
)TT(
dt
dT
a−β= (1)
Se debe resolver primero la ecuación (1) para el lapso de tiempo en que el pastel se
saca del horno y se pone a enfriar, es decir, la ecuación (1) debe resolverse sujeta a dos
condiciones: para el tiempo t0 = 0 min (esto es, a las 9am) la temperatura del pastel es 70º F;
para el tiempo t1 = 5 min (esto es, a las 9:05 am) la temperatura del pastel es 45º F; la
temperatura del ambiente donde se está enfriando el pastel es 15º F. De aquí que se debe
resolver el problema de valor de frontera
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
45)5(T
70)0(T
)2(15T
dt
dT
15. 198
Ya que la diferencial de la temperatura es dT = dt
dt
dT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, sustituyendo
dt
dT
dado en la
ecuación (2)
dT = β ( T – 15) dt (3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (2) por el factor
15T
1
−
15T
1
−
dT = β dt (4)
integrando la ecuación (4) definidamente: la temperatura varía de 70º a 45º; el tiempo varía
de 0 min a 5 min
∫∫ β=
−
5
0
45
70
dtdT
15T
1
(5)
Resolviendo las integrales definidas
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+−=−−=
−
−=
− ∫∫ 11
6
ln
55
30
ln30ln55ln15TlndT
15T
1
dT
15T
1
/
70
45
70
45
45
70
∫β
5
0
dt = β t = 5 β
/
5
0
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
β=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5
11
6
ln
despejando β
β = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
1
sustituyendo este valor de β en la ecuación (4)
15T
1
−
dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
1
dt
integrando
∫ −15T
1
dT =
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dt
11
6
ln
5
1
(6)
Ambas integrales son inmediatas
16. 199
∫ −15T
1
dT = ln l T – 15 l + C1
∫dt = t + C2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
ln l T – 15 l = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
t
+ C (7)
El valor de la constante C de integración, se determina usando la condición T(0) = 70,
es decir, se sustituye en la ecuación (7) t = 0 min y T = 70º F, obteniéndose C = ln 55. Este
valor de C se sustituye en la ecuación (7)
ln l T – 15 l = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
t
+ ln 55
por propiedades de logaritmo
ln l T – 15 l =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
t
11
6
55ln
aplicando e
T – 15 =
5
t
11
6
55 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
despejando T
T(t) = 15 +
5
t
11
6
55 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(8)
La ecuación (8) representa la ley de variación de la temperatura del pastel en función
del tiempo, cuando es sacado del horno para que se enfríe (esto es en el intervalo de tiempo
comprendido entre las 9 am y las 9:10 am).
Para determinar la temperatura del pastel a las 9:10 am, justo antes de ser llevado
nuevamente al horno, se puede determinar, sustituyendo en la ecuación (8) t = 10 min
(tiempo transcurrido desde que se sacó el pastel del horno)
T(10) = 15 +
5
10
11
6
55 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 15 +
2
11
6
55 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 15 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
121
36
55 = 15 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
36
5 =
11
345
= 31,36º
Por lo tanto, a las 9:10 am la temperatura del pastel es 31,36º F,
A partir de las 9:10 am el pastel es llevado nuevamente al horno; por lo tanto se
plantea un problema de calentamiento. En este caso, la temperatura del ambiente a donde
se lleva a calentar el pastel, es la temperatura del horno, esto es 70º F y la temperatura inicial
es la temperatura que tiene el pastel a las 9:10 am. De aquí que deberá resolverse la
ecuación diferencial
17. 200
=
dt
dT
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
1
( T – 70 ) (9)
con la condición T(0) = 31,36 ( T < 70)
Puesto que la diferencial de la temperatura es dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dt
dT
dt, sustituyendo
dt
dT
dado
en la ecuación (9)
dT = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
1
( T – 70 ) dt (10)
La ecuación (10) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (10) por el factor
70T
1
−
70T
1
−
dT = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
1
dt
integrando
∫ − 70T
1
dT = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
1
∫dt (11)
Ambas integrales son inmediatas
∫ − 70T
1
dT =
∫ −
−
T70
1
dT = ln l 70 – T l + C3
∫dt = t + C4
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (11)
ln l 70 – T l = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
t
+ K
(12)
Para determinar el valor de K, recuerde que para el momento en que el pastel se lleva
nuevamente al horno, esto es para el tiempo t = 0 min (9:10 am) en que se inicia el proceso
de calentamiento, la temperatura del pastel es T = 31,36º F; sustituyendo en la ecuación (12)
resulta K = ln (38,64). Este valor de K se sustituye en la ecuación (12)
ln l 70 – T l = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
ln
5
t
+ ln (38,64)
por propiedades de logaritmo
ln l 70 – T l = ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 5
t
11
6
64,38ln
aplicando e
18. 201
70 – T = ( )
5
t
11
6
64,38 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
despejando T
T(t) = 70 – ( )
5
t
11
6
64,38 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(13)
La ecuación (13) representa la ley de variación de la temperatura del pastel en
cualquier instante t luego de ser llevado al horno ( a partir de las 9:10 am en adelante).
Observe que de las 9:10 am, hora en que el pastel se lleva al horno, a las 9:20 am,
han transcurrido 10 min. Así, para determinar la temperatura del pastel a las 9:20 am, se
sustituye t = 10 en la ecuación (13)
T(10) = 70 – ( )
5
10
11
6
64,38 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 70 – ( )
2
11
6
64,38 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 70 – ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
121
36
64,38 = 58,5
De aquí que la temperatura del pastel a las 9:20 am es de 58,5º F.
7. Un termómetro que marca 15º F se lleva al interior de una habitación donde la
temperatura es 81º F. Un minuto más tarde la lectura del termómetro es 30ºF.
a) Determine la lectura del termómetro como una función del tiempo
b) Encuentre cuánto marcará el termómetro 5 min después de haber sido llevado a la
habitación
c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que le termómetro marque 45º F?
SOLUCIÓN:
a) De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada
a los problemas de enfriamiento (o calentamiento) es
)TT(
dt
dT
a−β= (1)
Esta ecuación diferencial debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera
condición es que para el tiempo t = 0 min, la temperatura que marca el termómetro es
T = 15º F; la segunda condición es que par el tiempo t = 1 min, la temperatura del termómetro
es T = 30º; además la temperatura de la habitación a donde se lleva el termómetro
(temperatura del ambiente) es Ta = 81º F. Estamos pues en presencia de un problema de
calentamiento.
Por lo tanto, debe resolverse el problema de valor de frontera
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
30)1(T
15)0(T
)2()81T(
dt
dT
19. 202
con T < 81
Ya que la diferencial de la temperatura es dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dt
dT
dt, sustituyendo
dt
dT
dada en l
ecuación (2)
dT = )81T( −β dt (3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (3) por el factor
81T
1
−
81T
1
−
dT = β dt
integrando
∫ − 81T
1
dT = β
∫dt (4)
Ambas integrales son inmediatas
∫ − 81T
1
dT =
∫ −
−
T81
1
dT = ln l81 – T l + C1
∫dt = t + C2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4)
ln l81 – T l = β t + C (5)
Para determinar el valor de la constante C de integración, se utiliza la condición
T(0) = 15, es decir, se sustituye en la ecuación (5) t = 0 min y T = 15º F, obteniéndose
C = ln 66. Este valor obtenido para C se sustituye en la ecuación (5)
ln l81 – T l = β t + ln 66 (6)
Para determinar el valor de la constante β de proporcionalidad, se utiliza la condición
T(1) = 30, es decir, se sustituye en la ecuación (6) t = 1 min y T = 30º F, obteniéndose
ln 51 = β + ln 66
despejando β
β = ln 51 – ln 66 = ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
66
51
= ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
22
17
este valor de β se sustituye en la ecuación (6)
ln l81 – T l = t ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
22
17
+ ln 66
aplicando propiedades de logaritmo
ln l81 – T l = ln
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
22
17
66
aplicando e
20. 203
81 – T =
t
22
17
66 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
despejando T
T(t) = 81 –
t
22
17
66 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(7)
La ecuación (7) permite obtener las lecturas del termómetro en función del tiempo.
b) Para determinar cuanto marcará el termómetro luego de 5 min de haber sido
llevado a la habitación, se sustituye en la ecuación (7) t = 5 min
T(5) = 81–
5
22
17
66 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 81–
( )
( )4
5
22
17
3 = 81– ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
234256
1419857
3 = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
234256
425957118974736
= 62,82
Así, al cabo de cinco minutos en el interior de la habitación, el termómetro marca
62,82º F.
c) A fin de establecer el tiempo que ha transcurrido cunado el termómetro marca 45º F,
se sustituyer T = 45º F en la ecuación (7) y despejar el tiempo t
45 = 81 –
t
22
17
66 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
realizando operaciones
11
6
66
36
66
4581
22
17
t
==
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
aplicando logaritmo
ln
t
22
17
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
por propiedades de logaritmo
t ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
22
17
= ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
6
despejando t
t =
( )
( )22
17
11
6
ln
ln
= 35,2
26,0
61,0
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
Por lo tanto, deben transcurrir 2,35 min, esto es 2 min y 2 seg, de haber llevado el
termómetro a la habitación para marque 45º F.
21. 204
8. Un termómetro que marca 75º F es llevado al exterior de una habitación, donde la
temperatura es de 20º F, 4 min después la lectura del termómetro indica 55º F.
a) Encuentre la temperatura que marca el termómetro 7 min después de haberlo
sacado
b) Determine el tiempo que debe transcurrir para que la lectura descienda desde 55º F
a 21º F
SOLUCIÓN:
a) De acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada
a problemas de enfriamiento es
)TT(
dt
dT
a−β= (1)
Esta ecuación diferencial debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera
condición es que para el tiempo t = 0 min la temperatura es T = 75º F; la segunda condición
es que para el tiempo t = 4 min la temperatura es T = 55º F; además la temperatura del
ambiente es Ta = 20º F.
Por lo tanto, se debe resolver el problema de valor de frontera
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
55)4(T
75)0(T
)2(20T
dt
dT
donde T > 20º.
Ya que la diferencial de la temperatura es dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dt
dT
dt, sustituyendo
dt
dT
dado en la
ecuación (2)
dT = β ( T – 20 ) dt (3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables basta con multiplicar la ecuación (3) por el factor
20T
1
−
20T
1
−
dT = β dt (4)
La ecuación (4) se integra de forma definida; el tiempo varía de t = 0 min a t = 4 min; la
temperatura varía de T = 75º F a T = 55º F
∫∫ β=
−
4
0
55
75
dtdT
20T
1
(5)
22. 205
Resolviendo las integrales definidas
∫∫ −−=
−
−=
−
75
55
75
55
55
75
/20Tlndt
20T
1
dT
20T
1
= – ln 55 + ln 35 = ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
55
35
= ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
∫
4
0
dt = t = 4
/
4
0
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
= 4β
despejando β
β =
4
1
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
este valor obtenido para β, se sustituye en la ecuación (4)
20T
1
−
dT =
4
1
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
dt (6)
A fin de determinar la temperatura que marcará el termómetro después de 7 min de
haberlo sacado de la habitación, se debe resolver el problema de valor de frontera
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
1T)7(T
75)0(T
dt
11
7
ln
4
1
dT
20T
1
Para resolver el problema de valor de frontera, se integra definidamente la ecuación
diferencial (6); el tiempo varía de t = 0 min a t = 7 min; la temperatura varía de T = 75º F a
T = T1º F, siendo 20 < T1 < 75º la temperatura a determinar
∫ −
1T
75
dT
20T
1
= ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
ln
4
1
(7)
∫
7
0
dt
Resolviendo las integrales definidas
20Tln55ln20TlndT
20T
1
dT
20T
1
1
75
1T
1T
75
75
1T
/ −+−=−−=
−
−=
−∫ ∫
23. 206
7tdt
/
7
0
7
0
==
∫
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)
20Tln55ln 1 −+− =
4
7
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
equivalentemente
20Tln 1 − =
4
7
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
+ 55ln
aplicando propiedades de logaritmo
20Tln 1 − = ln
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 4
7
11
7
55
aplicando e
T1 – 20 =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 4
7
11
7
55
despejando T1
T1 = 20 +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 4
7
11
7
55 = 45º
b) Un método para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la temperatura
descienda de 55º F a 21ºF es, a partir de la ecuación (6) obtener la ecuación de la
temperatura en función del tiempo y con esa ecuación establecer el tiempo que demora en
llegar la temperatura a 21º. Luego efectuar la diferencia entre el tiempo que demora el
termómetro en alcanzar 21º, menos el tiempo que demora el termómetro en alcanzar 55º
La ecuación (6) es
20T
1
−
dT =
4
1
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
dt
integrando
dT
20T
1
∫ −
=
4
1
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
∫dt (7)
Ambas integrales son inmediatas
dT
20T
1
∫ −
= ln l T – 20 l + C1
∫dt = t + C2
24. 207
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)
ln l T – 20 l =
4
t
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
+ C (8)
Para determinar el valor de la constante C de integración se utiliza la condición
T(0) = 75, esto es, se sustituye en la ecuación (8) t = 0 min y T = 75º F, obteniéndose
C = ln55. Este valor de C se sustituye en la ecuación (8)
ln l T – 20 l =
4
t
ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
11
7
+ ln55
despejando el tiempo t
t =
( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −−
11
7ln
55ln20Tln
4 =
( ) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
11
7ln
55
20T
ln
4 (9)
Ahora se sustituye T = 21º F en la ecuación (9)
t =
( )
( )
( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ −
11
7
55
1
11
7 ln
ln
4
ln
55
2021
ln
4 = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
452,0
007,4
4 = 35,5 min
Por lo tanto, deben transcurrir 35,5 min para que la lectura del termómetro sea 21º F;
además, se sabe que deben transcurrir 4 min para que la lectura del termómetro se 55º F.
Luego, para que la lectura del termómetro descienda de 55º F a 21º F, debe restarse 4 a
35,5, obteniéndose 31,5.
Se tiene entonces que, deben transcurrir 31,5 min, esto es 31 min y 30 seg, para que
la temperatura descienda de 55º F a 21º F
9. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20º C, se deja caer en un
recipiente de agua hirviendo.
a) Calcule el tiempo que dicha barra demorará en alcanzar los 90º C si se sabe que su
temperatura aumenta 2º en 1 seg
b) ¿Cuál será la temperatura de la barra al cabo de 45 seg?
c) ¿Cuánto demorará la barra en alcanzar los 98ºC?
SOLUCIÓN:
a) Del enunciado se deduce que se trata de un problema de calentamiento. De
acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada a problemas
de enfriamiento o calentamiento es
( aTT
dt
dT
−β= ) (1)
25. 208
Esta ecuación debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condición es que
para el tiempo t = 0 seg, la temperatura de la barra metálica es T = 20º C; la segunda
condición es que transcurrido t = 1 seg, la temperatura de la barra aumenta 2º, es decir,
T = 22º, además, para que la barra se caliente se deja caer en un recipiente de agua
hirviendo; esto significa que la temperatura del ambientes donde la barra se caliente, es la
del agua hirviendo, es decir, Ta = 100º C
Por lo tanto, se debe resolver el problema de valor de frontera
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
º22)1(T
º20)0(T
)2()100T(
dt
dT
siendo, 20 < T < 100
Ya que la diferencial de la temperatura es dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
dt
dT
dt, sustituyendo
dt
dT
dado en la
ecuación (2)
dT = β ( T – 100 ) dt (3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables se multiplica por el factor
100T
1
−
100T
1
−
dT = β dt
integrando
∫ −
dT
100T
1
= β
∫dt (4)
Ambas integrales son inmediatas
∫ −
dT
100T
1
= T100lndT
T100
1
−=
−
−
∫ + C1
∫dt = t + C2
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (4)
ln l 100 – T l = β t + C (5)
Para determinar el valor de la constante C de integración se utiliza la condición
T(0) = 20, esto es, se sustituye en la ecuación (5) t = 0 seg y T = 20º C, obteniéndose
C = ln 80. Este valor que se obtuvo para C se sustituye en la ecuación (5)
ln l 100 – T l = β t + ln 80 (6)
26. 209
Para determinar el valor de la constante β de proporcionalidad se utiliza la condición
T(1) = 22, esto es, se sustituye en la ecuación (6) t = 1 seg y T = 22º C, obteniéndose
ln 78 = β + ln 80
despejando β
β = ln 78 – ln 80
por propiedades de logaritmo
β = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
80
78
ln = ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
40
39
El valor conseguido para β se sustituye en la ecuación (6)
ln l 100 – T l = t ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
40
39
+ ln 80 (7)
aplicando propiedades de logaritmo
ln l 100 – T l = ln
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
40
39
80
aplicando e
100 – T =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
40
39
80
despejando T
T(t) = 100 –
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
t
40
39
80 (8)
La ecuación (8) representa la ley de variación de la temperatura de la barra de metal
en cualquier instante t
A fin de establecer cuanto tiempo demora la barra en alcanzar los 90º C, se sustituye
T = 90 en la ecuación (7) y determinar el tiempo t
ln l 100 – 90 l = t ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
40
39
+ ln 80
despejando t
t =
( )40
39ln
80ln10ln −
=
( )
( )40
39
8
1
ln
ln
=
025,0
079.2
−
−
= 83,16
De aquí que, la barra de metal demora 83,16 seg, es decir 1min y 23 seg, en alcanzar
los 90º C de temperatura.
b) Para determinar la temperatura de la barra al cabo de 45 seg, basta con sustituir en
la ecuación (8) t = 45 seg y determinar el valor de la temperatura T
27. 210
T(45) = 100 –
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
45
40
39
80 = 74,4
Así, a los 45 seg de iniciado el proceso de calentamiento, la barra alcanza una
temperatura de 74,4º C.
c) A fin de establecer cuanto tiempo demora la barra en alcanzar los 98º C, se
sustituye T = 98 en la ecuación (7) y determinar el tiempo t
ln l 100 – 98 l = t ln ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
40
39
+ ln 80
despejando t
t =
( )40
39ln
80ln2ln −
=
( )
( )40
39
40
1
ln
ln
=
025,0
689.3
−
−
= 147,56
De aquí que, la barra de metal demora 147,56 seg, es decir 2min y 28 seg, en
alcanzar los 98º C de temperatura.
10. Una taza de chocolate se retira de la cocina cuando alcanza 70º C de temperatura y
se pone a reposar en la mesa de una habitación, donde la temperatura del aire es de
10º C. Transcurrido 1 min, la temperatura del chocolate es de 60º C
a) ¿Cuál será la temperatura del chocolate, luego de 3 min?
b) ¿Cuánto tiempo demorará el chocolate en enfriarse a 12º C?
SOLUCIÓN:
a) El problema planteado es un problema de enfriamiento. De acuerdo con la Ley de
Enfriamiento de Newton, la ecuación diferencial asociada a este tipo de problemas es
)TT(
dt
dT
a−β= (1)
Esta ecuación debe resolverse sujeta a dos condiciones: la primera condición es que
para el tiempo t = 0 min la temperatura es T = 70º C; la segunda condición es que para el
tiempo t = 1 min la temperatura es T = 60º C; además la temperatura de la habitación, es
decir la temperatura del ambiente Ta, donde se pone a enfriar el chocolate es Ta = 10ºC.
De aquí que, debe resolverse el problema de valor de frontera
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
−β=
60)1(T
70)0(T
)2(10T
dt
dT
siendo T > 10
28. 211
Ya que, la diferencial de la temperatura es dT = dt
dt
dT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, sustituyendo
dt
dT
dada en la
ecuación (2)
dT = ( )10T −β dt (3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (3) por el factor
10T
1
−
10T
1
−
dT = β dt (4)
Integrando definidamente la ecuación (4); el tiempo varía de t = 0 min a t = 1 min; la
temperatura varía de T = 70º C a T = 60º C
∫ −
60
70
10T
1
dT = β (5)
∫
1
0
dt
Resolviendo las integrales definidas
∫ −
60
70
10T
1
dT =
∫ −
−
70
60
10T
1
=
/
70
60
10Tln −− = 60ln− + ln 50 = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
ln
∫
1
0
dt = t
/= 1
1
0
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
ln = β
Este valor de obtenido para β se sustituye en la ecuación (4)
10T
1
−
dT = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
ln dt
Para determinar la temperatura del chocolate luego de transcurridos 3 min, se plantea
el problema de valor de frontera
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
3T)3(T
70)0(T
dt
6
5
lndT
10T
1
29. 212
donde T3 es la temperatura a determinar
La ecuación diferencial se integra definidamente: el tiempo varía entre t = 0 min
y t = 3 min; la temperatura varía entre T = 70º C y T = T3º C. Puesto que el chocolate se esta
enfriando, entonces 10 < T3 < 70
∫ −
3T
70
10T
1
dT =
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
0
dt
6
5
ln (6)
Resolviendo las integrales definidas
10Tln60ln10TlndT
10T
1
dT
10T
1
3
70
3T
70
3T
3T
70
/ −+−=−−=
−
−=
− ∫∫
∫ ==
3
0
3
0
3tdt
/
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (6)
10Tln60ln 3 −+− = 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
ln
equivalentemente
10Tln 3 − = 3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
ln + 60ln
aplicando propiedades de logaritmo
10Tln 3 − =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
6
5
60ln
aplicando e
T3 – 10 =
3
6
5
60 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
despejando T3
T3 = 10 +
3
6
5
60 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= 10 + ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
216
125
60 = 10 + 5 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
18
125
=
18
625180 +
=
18
805
= 44,72
De aquí que, la temperatura del chocolate, luego de 3 min de haberse retirado de la
cocina, es T3 = 44,72º C
b) A fin de establecer el tiempo que demorará el chocolate en alcanzar 12º C, se
plantea el problema de valor de frontera
30. 213
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
12)t(T
70)0(T
dt
6
5
lndT
10T
1
4
donde t4 es el tiempo a determinar
La ecuación diferencial se integra definidamente: el tiempo varía entre t = 0 min
y t = t4 min (t4 > 0) ; la temperatura varía entre T = 70º C y T = 12º C.
∫ −
12
70
10T
1
dT =
∫⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4t
0
dt
6
5
ln (7)
Resolviendo las integrales definidas
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+−=−−=
−
−=
− ∫∫ 30
1
ln2ln60ln10TlndT
10T
1
dT
10T
1
/
12
70
70
12
12
70
∫ ==
4t
0
4
4t
0
ttdt
/
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
30
1
ln = t4 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
ln
despejando t4
t4 =
( )
( )6
5
30
1
ln
ln
= 9,18
18,0
40,3
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
De aquí que, el chocolate alcanza de 12º C transcurridos 18,9 min, es decir 18 min y
54 seg, de haberlo retirado de la cocina.
31. 214
11. Justamente antes del mediodía el cuerpo de una victima aparente de un homicidio
se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante e igual a 70º F. A
mediodía, la temperatura del cuerpo es de 80º F y a la una de la tarde es de 75º F.
Considere que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era de 98,6º F y
que el cuerpo se ha enfriado de acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton. ¿Cuál
fue la hora de la muerte?
SOLUCIÓN:
En este problema lo que se enfría es el cuerpo de una persona y lo hace de acuerdo
con la Ley de Enfriamiento de Newton, por lo tanto la ecuación diferencial asociada al
problema es
)TT(
dt
dT
a−β= (1)
La temperatura al momento de la muerte, esto es para el tiempo t0 = 0 min es
T0 = 98,6º F. Sea h el lapso de tiempo transcurrido entre la hora de la muerte y el momento
en que el cuerpo es encontrado; así para el tiempo t1 = h min (a las 12 m) la temperatura del
cuerpo es T1 = 80º F; para el tiempo t2 = (h + 60) min (a la 1 pm) la temperatura del cuerpo es
T2 = 75º F; además, la habitación donde se encuentra el cadáver tiene una temperatura
constante de 70º F, es decir, la temperatura del ambiente a donde el cuerpo se enfría, es
decir, Ta = 70.
De aquí que se debe resolver el problema de valor de frontera
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+
=
=
−β=
75)60h(T
80)h(T
6,98)0(T
)2()70T(
dt
dT
donde h, es el valor a determinar
Ya que la diferencial de la temperatura es dT = dt
dt
dT
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
, sustituyendo
dt
dT
dado en la
ecuación (2)
dT = β ( T – 70 ) dt (3)
La ecuación (3) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las
variables, se multiplica la ecuación (3) por el factor
70T
1
−
70T
1
−
dT = β dt (4)
Integrando la ecuación (4) definidamente: el tiempo varía de t0 = 0 min a t1 = h min; la
temperatura varía de T0 = 98,6º F a T1 = 80º F
32. 215
dT
70T
1
80
6,98
∫ −
= β (5)
∫
h
0
dt
Resolviendo las integrales definidas
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+−=−−=
−
−=
− ∫∫ 3,14
5
ln10ln6,28ln/70TlndT
70T
1
dT
70T
1 6,98
80
6,98
80
80
6,98
∫
h
0
dt = t = h
h
0
/
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3,14
5
ln = β h
despejando β
β =
h
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3,14
5
ln (6)
Este valor obtenido para β se sustituye en la ecuación (4)
70T
1
−
dT =
h
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3,14
5
ln dt
Integrando definidamente: el tiempo varía de t1 = h min a t2 = h+60 min; la temperatura varía
de T1 = 80º F a T2 = 75º F
dT
70T
1
75
80
∫ −
= β (7)
∫
+60h
h
dt
Resolviendo las integrales definidas
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+−=−−=
−
−=
− ∫∫ 2
1
ln5ln10ln70TlndT
70T
1
dT
70T
1
/
80
75
80
75
75
80
∫
+60h
h
dt = t = 60
/
60h
h
+
33. 216
sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (7)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
ln = 60 β
despejando β
β = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
ln
60
1
(8)
Comparando las ecuaciones (6) y (8)
h
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3,14
5
ln = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
ln
60
1
despejando h
h = 60
( )
( ) 3,91
69,0
05,1
60
ln
ln
2
1
3,14
5
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
De aquí resulta que h = 91,3 min = 1hora 31 min 18 seg. Este es el tiempo que
transcurrió desde la hora de la muerte hasta las 12 del mediodía. Esto quiere decir que, hay
que restar 1h 31 min 18 seg a las 12 m, obteniendo 10 h 28 min 42 seg. Por lo tanto, la
hora de la muerte fue a las 10 h 28 min 42 seg de la mañana.