Junio 2015 - Trabajo de la Maestría de la Enseñanza de las Matemáticas de la PUCP realizado en el 6to grado Rojo de la I.E. 7089 Romeo Luna Victoria de las Torres de Limatambo, San Borja, Lima, Perú.

1. ENSAYO
ENSEÑANDO LOS GRAFOS EN 6TO GRADO DE PRIMARIA
Curso : Cambio y Relaciones
Maestría : Enseñanza de las Matemáticas con mención en
Educación Primaria.
Integrantes : Pedro Manuel Vidal Chavarría
Jorge Fernando Cárdenas Canchanya
Profesores : Uldarico Malaspina Jurado
Hernán Neciosup Puicán
Flor Isabel Carrillo Lara
2015

2. ENSEÑANDO LOS GRAFOS EN LA 6TO GRADO DE
PRIMARIA
INTRODUCCIÓN
¿Qué es la matemática? es una ciencia, producto del espíritu creador humano, que nos brinda la
posibilidad de utilizar varios caminos diferentes para dar forma a la actividad de crear y hacer
matemática. Esta realidad es contraria a lo que ocurre en nuestras aulas, donde el conocimiento se
presenta como algo jerarquizado y acabado, sin dar la posibilidad a razonar, opinar, o preguntar, ya
que las respuestas están dadas y presentadas con anterioridad. Muchas veces lo que prima es
probablemente un modelo cultural que busca reproducir el conocimiento más que producirlo.
Al respecto Moisés Coriat (2004) afirma que “No es tan importante saber muchas cosas como saber
cómo aprender las cosas. Esto es algo que tiene que ver con actitudes, expectativas y vivencias, con
los que los alumnos aprenden más allá de la intencionalidad del docente o de lo que
metodológicamente se ha planteado en forma explícita. Hay una razón oculta de que, una gran cantidad
de alumnos de tantas generaciones hayan sido acostumbrados a recibir el conocimiento y a interpretar
que lo importante no es el proceso de razonamiento y búsqueda, sino el de lograr reproducir lo que el
profesor desea escuchar.
Por otro lado nos encontramos que la matemática no es del agrado de todos los estudiantes. Para
revertir esta situación una posibilidad, sería plantear y generar situaciones agradables donde el alumno
tenga la posibilidad de razonar, explorar, descubrir, crear, probar, modelizar, hacer preguntas, generar
hipótesis y conjeturas. Donde aprender matemática permita jugar, divertirse, explorar y equivocarse,
dando oportunidad a los chicos de convertirse en investigadores y generadores de conocimientos Para
lo cual es necesario crear estrategias que familiaricen al estudiante en el aprendizaje de la matemática.

3. “DE LO PARTICULAR A LO GENERAL, USANDO GRAFOS”
El artículo seleccionado para este ensayo es “De lo particular a lo general, usando grafos” escrito por
el doctor Uldarico Malaspina y extraído de la sección El rincón de los problemas del número 21 de la
revista Unión publicado en marzo de 2010, en él se expone un problema presentado en el V Coloquio
de Enseñanza de las Matemáticas, que regularmente organizan el IREM y la PUCP.
El artículo se basa en un problema matemático que demandaba la solución mediante el uso de
esquemas conocidos como grafos, dicho problema fue presentado en un taller dirigido a profesores de
matemáticas y en él se demostró que no todos los docentes participantes aplicaban bien los grafos en la
resolución de estas situaciones particulares y les costaba más aún generalizar sus resultados cuando la
cantidad ya no permitía operar con grafos.
Al final, el autor menciona las soluciones a los problemas y propone realizar este tipo de actividades
en la educación básica regular, graduando el nivel de dificultad de acuerdo al nivel donde se presente.
Esta situación fue presentada a los participantes –casi todos profesores de secundaria- de la siguiente
manera:
Figura 1. Conocidos y desconocidos, actividades individuales. Fuente: Malaspina (2010)
Se observa que no se les pide que el desarrollo se realice mediante el uso de grafos pero el autor
menciona que un 70% de participantes los utilizó, mientras que el porcentaje restante utilizó otros tipos
de esquema que no les dieron claridad para sus resoluciones.

4. ¿QUÉ ES UN GRAFO?
“Llamaremos grafo, G, al par ordenado formado por un conjunto finito no vacío, V, y un conjunto, A,
de pares no ordenados de elementos del mismo.” (Gonzáles, 2004, p. 396) hacemos notar que cuando
se dice V está refiriéndose al conjunto de los vértices o también llamados nodos del grafo. Se le llama
A al conjunto de las aristas, líneas o lados de un grafo. La notación que se utiliza para designar al grafo
es G = (V, A)
En lenguaje menos complejo podremos decir que un grafo es una estructura de datos dinámica que nos
permite representar diferentes tipos de relaciones entre objetos de manera gráfica. Consta de dos
partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos y el conjunto de aristas, líneas o lados.
También podríamos decir que la Teoría de Grafos es una rama de la matemática discreta que usa
diferentes conceptos de otras áreas como el análisis combinatorio, el Álgebra, la Probabilidad, la
Geometría de polígonos, la Aritmética y la Topología, y que estudia las propiedades de los grafos.
La paternidad de esta teoría es señalada hacia Leonard Euler que en 1736 publicó un artículo donde
resuelve el denominado problema de “Los puentes de la ciudad de Königsberg” (actualmente
Kaliningrado - Rusia). Este problema consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes
del río Pregel de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de
ellos, la resolución del problema, propuesta por Euler fue que no existe dicho camino. Este es
considerado el primer resultado de la Teoría de Grafos y uno de los primeros resultados topológicos.
Lo que ilustra la profunda relación que existe entre la Teoría de Grafos y la Topología.

5. REGRESEMOS AL ARTÍCULO
Volviendo al artículo que es motivo del presente ensayo, el autor presenta los casos de dos personas a
las que llama participante 1 y participante 2 y compara los procesos de cada uno para llegar a sus
respuestas, haciendo notar que el participante 1 presenta un esquema que no podría ser considerado
como un grafo y el participante 2 sí, como podemos observar en la figura 2.
Figura 2. Resoluciones del participante 1 y del participante 2 Fuente: Malaspina (2010)
Se observa que el participante 1 encuentra la solución correcta al primer caso, mientras que el
participante 2, a pesar de hacer un grafo, olvida la condición de que cada persona del problema debe
desconocer al menos a una de las demás.

6. En el segundo caso el participante 1 erra al darle más de tres conocidos a dos de las personas, mientras
que el participante 2 hace una ingeniosa salida de hacer dos grafos de 4 puntos cada uno para poder
cumplir la condición de que las personas no conozcan a más de tres.
Para el tercer caso los dos participantes erran porque presentan casos particulares y no pueden hacer
una generalización.
Más adelante, se forman grupos de trabajo y se les presenta un nuevo desafío, esta vez ya no era
posible trabajarlo todo con los grafos, como se puede ver en la figura 3.
Figura 3. Actividades grupales Fuente: Malaspina (2010)
Malaspina (2010) menciona que en esta segunda parte del taller, se les hizo fácil las dos primeras
actividades a los grupos que estaban integrados por personas que habían desarrollado con grafos el
trabajo individual, ya que sólo multiplicaron los grafos de 4 puntos por la cantidad necesaria para
llegar a 40 y a 2010, en este segundo caso notaron que 2010 no contiene exactamente a 4, por lo que
hicieron un grafo de 6 puntos para incluir a los residuos; otros exploraron haciendo 201 bloques de 10,
dichos bloques conformados por grafos de 4 y 6 puntos.
En el tercer caso, todos coincidieron en que era imposible cumplir las dos condiciones con los 5
participantes, pero no hicieron una demostración de su respuesta.
Con el cuarto caso también surgieron dificultades, ya que la presencia del número impar (situación
similar al caso anterior) les hizo manifestar la imposibilidad de que se puedan cumplir las condiciones,
en algunos casos hicieron conjeturas como: “En la reunión sólo puede haber personas que sean en
cantidad un múltiplo de 4”, “En la reunión puede haber un número par de personas” o “En la reunión
no puede haber un número impar de personas”.
Ante tal situación, el autor presenta la demostración de Jorge Tipe, uno de los expositores del taller:

7. Figura 4. Demostración Fuente: Malaspina (2010)
Ante esta generalización y tomando en consideración que todo número natural puede ser representado
de una de estas formas:
 Como múltiplo de 4
 Como múltiplo de 4 más 1
 Como múltiplo de 4 más 2
 Como múltiplo de 4 más 3
Los casos 1 y 3 de la anterior clasificación serán números pares y los casos 2 y 4 serán impares y con
los casos de los pares mayores que 4 se procede a hacer bloques no conectados de 4 ó 6 puntos.
Malaspina (2010) concluye diciendo que como en el caso de este problema que lleva de manera natural
a su resolución mediante la teoría de los grafos, se puede sugerir otros a los docentes en actividad, a
los estudiantes de nivel superior e incluso de educación primaria y secundaria. Lo importante no es
sólo quedarse en el problema particular sino llegar a justificaciones y generalizaciones como las
sucedidas en esta situación.

8. APLICANDO LOS GRAFOS CON ESCOLARES DEL 6TO GRADO DE PRIMARIA
Tomando en cuenta el artículo de Malaspina (2010) y en especial sus sugerencias de “Introducir los
grafos en los niveles educativos básicos.”(p.171) utilizamos el problema sugerido, graduándolo de tal
manera que pueda ser aplicado a estudiantes del sexto grado de primaria, manteniendo la situación del
saludo pero cambiando las condiciones.
A continuación presentamos la experiencia realizada con 33 estudiantes de sexto grado (11 y 12 años
de edad) de la I.E. 7089 “Romeo Luna Victoria” de San Borja, hecha para evidenciar que sí se puede
trabajar con grafos desde los primeros niveles de la educación básica regular.
Se planteó a los estudiantes una situación problemática que debía ser desarrollada libremente por ellos,
dicha situación era la siguiente:
Y se les presentaba casos donde se saluden dos, tres, cuatro, cinco y finalmente seis personas.
Inicialmente, muchos estudiantes manifestaron no comprender bien la situación y esto obligó a que el
profesor leyese en voz alta la situación problemática e hiciera un ejemplo práctico dándose la mano
con otra persona.
A partir de esta acción, los estudiantes empezaron a trabajar con más seguridad, graficando, dibujando,
contando, animando la situación, etc. como se puede observar en la figura 5.

9. Figura 5. Desarrollo de la ficha sobre grafos.
Al cabo de 30 minutos se les solicitó la devolución de las fichas de trabajo, antes de ese lapso, más de
la mitad del total de estudiantes ya había culminado su trabajo.
Observamos que 2 de ellos habían utilizado un sistema de grafos, 2 más habían hecho un sistema
similar a los grafos, uno había trabajado con un patrón numérico, 4 habían utilizado pares ordenados y
24 realizaron otras técnicas basadas en dibujos de personas.
Al consultársele a los dos estudiantes acerca de la razón del por qué habían elegido esa técnica, la
estudiante 1 manifestó que ella comenzó haciendo dibujos de personas pero luego se dio cuenta que
estaba demorando mucho, así que lo borró y empezó a representar las personas por puntos de colores y
los saludos por líneas también de diferentes colores, tal como lo apreciamos en la figura 6.

10. Figura 6. Estudiante 1
El estudiante 2 manifestó que él si utilizó los puntos y las líneas porque recordó que hace unas
semanas trabajó en clase los vértices y puntos de las figuras poligonales y notó algún parecido con
estas situaciones, por esta razón desarrolló su trabajo como aparece en la figura 7.
Figura 7. Estudiante 2

11. Hacemos notar dos casos exitosos más en esta experiencia, el del estudiante 3 que utilizó imágenes
para representar a los puntos, a los cuales distribuyó de forma horizontal y fue relacionando con líneas,
consideramos que el esquema utilizado por el estudiante 3 tiene cierto acercamiento a los grafos, que
no siéndolo, le permitió conseguir las respuestas correctas como podemos ver en la figura 8.
Figura 8. Estudiante 3
El segundo caso es exitoso y a la vez nos llamó mucho la atención, fue el del estudiante 4, quien
comenzó haciendo las representaciones similares al estudiante 3 pero luego se percató que había un
patrón que sucedía que cada vez que “aumentaba a una persona más al saludo”, tenía que saludar al
resto, por lo tanto, ya no estableció líneas de relaciones sino que simplemente sumó el total anterior de
saludos con el número de personas que aparecían en esta nueva situación, menos uno; esto lo podemos
apreciar en la figura 9.

12. Figura 9. Estudiante 4
Posteriormente les explicamos a los estudiantes cómo podrían haber desarrollado estas situaciones
utilizando la técnica de los grafos, (como se observa en la figura 10) para lo cual ellos manifestaron
amplia receptividad, luego se les hizo algunas demostraciones prácticas y también establecimos una
generalización para todos estos casos de saludos que fue:
n (n-1) /2
Siendo n un número natural mayor que 1 que represente a la cantidad de personas que participan del
saludo.

13. Figura 10. Explicando cómo trabajar con grafos.
A partir de entonces, los estudiantes respondieron oralmente muchas situaciones creadas en el aula con
cantidades que no fueron las de la ficha de trabajo y que les demandó el uso de la fórmula de
generalización enseñada para su desarrollo.

14. CONCLUSIONES
Con esto, creemos demostrar que es posible trabajar con grafos en el sexto grado de primaria y
proponemos que se pueda ir graduando la dificultad para aplicarse en grados inferiores de primaria e
incluso en educación inicial como lo proponen Cognigni, Braicovich y Reyes (2008)
La Teoría de Grafos no se encuentra en el DCN, además no es conocido por los docentes de ninguno
de los niveles, es un tema relativamente nuevo, que es necesario introducir dentro del sistema
educativo nacional.
Según Rosenstein, J., Franzblau, D., Roberts, F. 1997 (Citados en Braicovich, 2010) los argumentos
que pueden esgrimirse para introducir algunos temas de la teoría de los grafos en los programas
curriculares de los distintos niveles de educación básica y superior están referidos a:
 La aplicabilidad: en los años recientes varios temas de esta teoría han sido utilizados creando
distintos modelos en distintas áreas.
 La accesibilidad: para entender las aplicaciones del tema en muchas situaciones es suficiente
tener conocimientos de aritmética y en otras solamente de álgebra elemental.
 La atracción: existen algunas situaciones sencillas de resolver y también otras que hacen que
los estudiantes deban explorar para poder llegar a los resultados.
 La adecuación: a aquellos estudiantes que no tengan problemas en matemática les dará mayor
preparación para las carreras que elijan y para los que no les va bien en esta disciplina es
apropiada porque les da la posibilidad de un nuevo comienzo.
En este sentido, creemos que los grafos constituyen una buena herramienta para conceptualizar
situaciones, para extraer pautas y entender esquemas y lograr transferirlos a situaciones nuevas. Como
no hay necesidad de ser un experto en el tema para usarlos con cierta soltura, vemos que el introducir
algunos conceptos de grafos resulta útil para despertar el interés por la matemática, para ayudar al
desarrollo lógico y a la visión espacial, también actúa como formador de la intuición y sostén del
razonamiento abstracto.

15. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Braicovich, T. (2010). La geometría de los grafos o los grafos en los poliedros. V Coloquio
Internacional de Enseñanza de las Matemáticas, Departamento de Ciencias Sección
Matemáticas - IREM, Pontificia Universidad Católica del Perú, Actas 2010; pp. 49-59. Lima.
Cognigni, N., Braicovich, T. y Reyes, C. (2008). Recorriendo grafos a lo largo de la Educación
General Básica. Revista de Educación Matemática UNC, Número especial. Recuperado de
http://www.revistas.unc.edu.ar/index.php/REM/article/view/10460/11150
Coriat, M. (2004). Algunos usos escolares de los grafos. UNO Revista de didáctica de la matemática,
(36) pp. 8-21. Universidad Complutense de Madrid.
Gonzáles, F. (2004). Grafos. Apuntes de matemática discreta, pp. 395-463. Recuperado de
http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/2005-2006/ESI/1711003/Apuntes/Leccion14.pdf
Malaspina, U. (2010). De lo particular a lo general, usando grafos. Revista Iberoamericana de
Educación Matemática UNIÓN, (21), pp. 165-172. Recuperado de
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2010/21/Union_021_017.pdf