Este artículo muestra soluciones poco frecuentes a problemas de combinatoria por parte de estudiantes de secundaria. Se aplicaron cuestionarios con problemas de combinatoria a estudiantes seleccionados y entrenados en olimpiadas de matemáticas, quienes demostraron la capacidad de generalizar principios básicos como permutaciones, combinaciones y conteo de soluciones de ecuaciones lineales. Algunos estudiantes pudieron deducir fórmulas sin conocerlas previamente, mostrando habilidades destacables para el razonamiento mate

1. ESTUDIANTES DE SECUNDARIA EN EL DESCUBRIMIENTO DE
PROPIEDADES DE LA TEORIA COMBINATORIA
HIGH SCHOOL STUDENTS IN THE DISCOVERY OFCOMBINATORIAL
THEORY PROPERTIES
Orlando García Hurtado
Universidad Distrital
ogarciah@udistrital.edu.co
ABSTRACT
This article will show some common solutions to combinatorial problems, by some high
school students. The research wants to show how a student may discover mathematical
theorems or properties, in this case combinatorics questionnaires were used for a number
of issues that guided the student to the objective, these were applied to selected and
trained students in solving mathematical problems of first and second levels of the
Colombian Olympiads in Mathematics, who were in training for international
competition. The subjects were studied: permutations and combinations with and without
repetition, as well as the principle of inclusion and exclusion, and disarray among
others. You can find many solutions truly remarkable by their students, which generalize
some principles.
Key words:
Solutions, combinatorial, problems.

2. RESUMEN
En este artículo se van a mostrar soluciones poco frecuentes a problemas de combinatoria,
por parte de algunos estudiantes de secundaria. La investigación realizada quiere mostrar
como un estudiante puede llegar a descubrir teoremas o propiedades de matemáticas, en
este caso de combinatoria; Para ello se utilizaron cuestionarios con una serie de
problemas que guiaban al estudiante al objetivo propuesto, estos se aplicaron a
estudiantes seleccionados y entrenados en la resolución de problemas matemáticos de
primero y segundo nivel de las Olimpiadas Colombianas de Matemáticas, que se
encontraban en un entrenamiento para una competencia internacional. Los temas que
fueron objeto de estudio: permutaciones y combinaciones con y sin repetición, así como
principio de inclusión y exclusión, y desarreglos entre otros. Además se encuentran
muchas soluciones realmente destacables por parte de éstos estudiantes, donde se
generalizan algunos principios.
Palabras claves:
Soluciones, problemas, Combinatoria
INTRODUCCIÓN
La enseñanza de las matemáticas a través de la resolución de problemas, la cual se viene
aplicando con mucho éxito durante ya bastante tiempo y la cual en Colombia tiene su
mayor representación en las Olimpiadas Colombianas de Matemáticas, es la herramienta a
utilizar durante ésta tesis.

3. El presente trabajo pretende comprobar que algunos estudiantes pueden generalizar algunos
principios de conteo; para lo cual se diseñó unos cuestionarios con problemas que
llamaremos pruebas, las cuales deben guiar o llevar a estos estudiantes a construir y
generalizar algunos principios básicos de conteo, tales principios son: el de la
multiplicación, permutaciones, variaciones también llamado permutaciones tomando no
todos los elementos del conjunto, con y sin repetición, combinaciones, con y sin repetición,
combinaciones que llevan a la serie de Fibonacci, combinaciones que lleven a los
estudiantes a poder contar el número de soluciones de una ecuación lineal con múltiples
variables, lo que se constituye en el objetivo de este trabajo.
METODOLOGIA APLICADA PARA INVESTIGACIÓN
El primer paso que se realizó fue la búsqueda de la bibliografía y el estado del arte del
problema en cuestión, en el cual se encontró entre otros un trabajo hecho por los doctores
españoles Batanero, Navarro y Pelayo en la cual ellos investigaron sobre el pensamiento
combinatorio en los estudiantes de secundaria y licenciatura en matemáticas, otro fue el
realizado por Fischbein y Gazit los cuales estudiaron el papel de la instrucción en el
desarrollo de las capacidades combinatorias en niños de 11 a 14 años; luego se empezaron a
clasificar los principios de conteo adecuados. Una cuestión que se tuvo en cuenta fue la
notación, pues para poder desarrollar una teoría, como por ejemplo funciones generatrices,
que era lo que en principio se tenía por objetivo general, se temía no poder llegar a la
generalización por no tener de antemano una notación adecuada como por ejemplo los
combinatorios. Es por ello que se pensó comenzar con el principio de la multiplicación para
tener la seguridad que no habría ningún inconveniente, por lo tanto se eligieron primero

4. únicamente el principio de la multiplicación, permutaciones y combinaciones, después se
adicionaron otros principios un poco más complejos.
El siguiente paso fue el diseño de los cuestionarios de una buena cantidad de problemas de
cada tipo, algunos tomados de libros, otros de la Internet y otros creados por el autor; de
esta gran selección se eligieron y se mejoraron los que creímos eran los más adecuados y
suficientes para llegar a nuestro objetivo. Por lo tanto los cuestionarios quedaron divididos
en tres partes; cada uno involucra un principio de conteo diferente, y el problema final en
cada una de éstas familias de problemas es la demostración o generalización del principio
de conteo.
El cuarto paso fue diseñar una encuesta que nos daba la siguiente información acerca de los
estudiantes: nombre, edad, colegio, grado, ciudad, número de entrenamientos en
Olimpiadas Colombianas de Matemáticas, y los temas o fórmulas de combinatoria que
habían visto.
El quinto paso fue la aplicación de la prueba, está se llevo a cabo primero a los estudiantes
de segundo nivel. Como los resultados y las encuestas demostraron que ya algunos
estudiantes habían visto algunos de estos principios se decidió aplicarla a estudiantes de
primer nivel. Al siguiente año se aplico una segunda prueba a estudiantes de nivel superior.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
A continuación se mostrarán algunos problemas y sus soluciones:

5. 1. En una bolsa hay 3 pelotas rojas y 2 azules. Se quiere una fila con todas ellas. ¿Dé
cuántas maneras distintas puede quedar la fila?
Con este problema se pretende que el estudiante realice un conteo sistemático y que vaya
observando una manera general de resolver el problema.
2. Un jugador de ajedrez quiere colocar en fila dos peones blancos, cuatro peones negros
y las dos torres negras ¿De cuántas maneras puede hacerlo?
El objetivo de este problema es que el estudiante vaya pasando del tanteo al procedimiento
algorítmico, Pues ya le va a ser difícil realizar un conteo sistemático y por lo tanto busque
un procedimiento sistemático en la formación de las permutaciones con repetición
3. Se tienen n objetos partidos en k clases tales que hay 1n objetos son de una clase, 2n
objetos son de una segunda clase,…, kn objetos son de una k-ésima clase, donde
nnnn k =+++ ...21 . Hallar el número de arreglos de estos n objetos en una fila.
Aquí se pretende que el estudiante generalice el principio de las permutaciones con
repetición.
Veamos la solución a estos problemas por un estudiante
Edad 15 Años, grado décimo
Colegio: Corazonista
Un año en entrenamientos
Contesto la prueba en 60 minutos

6. El estudiante manifiesta que ya había visto algo de combinatoria en los entrenamientos
únicamente, que las fórmulas de permutación no las recordaba y que el otro tipo de
problemas nunca los había visto.
Soluciones una dos y tres
Vemos que el estudiante es tan bueno y tiene una capacidad tan grande para contar que ni si
quiera utilizó conteo sistemático, sino que de una vez da el paso para encontrar un
procedimiento sistemático y algorítmico adecuado para resolver los problemas y
consecuentemente generaliza el resultado utilizando las variables y la notación adecuada
para este tipo de problemas. Hay que tener en cuenta que el estudiante no sabía la fórmula
la cual dedujo brillantemente.
4. ¿De cuántas maneras pueden alinearse seis signos más “+” y tres signos menos “-”
en una fila de modo tal que no haya dos signos menos contiguos?
Esta es otra familia o tipo de problemas y por lo tanto el ejercicio pretende que el estudiante
realice el conteo sistemático correspondiente.
5. ¿De cuántas maneras se pueden alinear diez letras A, seis letras B y cinco letras C en
una fila de modo tal que no haya dos letras B contiguas?

7. El objetivo es el mismo que el del problema dos, es decir que el estudiante pase del conteo
sistemático al procedimiento algorítmico y descubra un procedimiento sistemático en la
formación de combinaciones que le ayuden a resolver acertadamente el problema.
6. ¿Cuántas maneras hay de escribir k signos más “+” y r menos “–” en una fila de
modo tal que no haya dos signos menos “–” consecutivos?
Aquí se pretende que el estudiante generalice el principio de conteo correspondiente.
Miremos las soluciones realizadas por otro estudiante
Edad 16 Años, grado once
Colegio: Quinta del puente de Bucaramanga
Tres años asistiendo a entrenamientos
Contesto la prueba en 55 minutos
El alumno manifiesta que aunque ya conoce algunos principios no los recuerda y el mismo
problema los lleva a generalizarlos:

8. Se observa la buena interpretación del problema, utiliza espacios entre las letras y en este
caso aplica correctamente la combinación correcta.
Solución seis
Generaliza perfectamente la solución a este tipo de problemas, para esto fija acertadamente
la variable k que es el número total de signos más y el r que representa los menos, y lo
explica de una manera muy coherentemente.

9. 10. ¿Cuántas soluciones a la ecuación x + y = 6 en enteros positivos (recuerde que los
enteros positivos son 1, 2, 3, 4,…), existen?
Aquí se pretenden dos cosas primero que el estudiante realice enumeración sistemática y
segundo que si realizó correctamente los problemas de los signos aplique ese mismo
procedimiento para resolver este tipo de problemas.
11. ¿Cuántas soluciones a la ecuación x + y + z = 8 en enteros positivos existen?
El objetivo de este problema igual que los segundos de cada familia es el paso del conteo
sistemático al de buscar un procedimiento algorítmico.
12. ¿Cuántas soluciones a la ecuación x + y + z + w = 10 dadas por enteros positivos x,
y, z, w hay?
El Objetivo es casi el del ejercicio anterior solamente que en este caso se quiere que el
estudiante vaya comprobando su procedimiento algorítmico que ya debió de haber
encontrado.
13. Sean k y m números enteros positivos con k ≤ m ¿Cuántas soluciones formadas por
enteros positivos, de la ecuación:
mxxxx k =++++ ...321 Existen?
Se pretende generalizar el principio, fijando una o más variables y dando una notación
apropiada.

10. Vemos que en el problema Nº 10, el estudiante ni siquiera tuvo que hacer conteo
sistemático, simplemente observa el rango de cada variable.
Para el ejercicio once y doce vemos que tampoco realiza conteo sistemático, él utiliza el
resultado anterior y de una vez utiliza un procedimiento algorítmico para intentar buscar el
procedimiento sistemático en la búsqueda de la solución; algo curioso entre todo lo
brillante que el estudiante realiza es que no utiliza la notación de combinaciones, pues casi
no la conoce y el resultado a que llega es ∑=





 −
=




 n
i
in
3 2
1
3
, que es equivalente a:
∑=






−
−
=




 n
i k
i
k
n
4 1
1
, es una solución diferente a todas las demás y ala ves es una deducción
brillante de esta propiedad muy poco conocida .
La generalización la tiene y la enuncia sin fórmula, pues no sabe la notación de
combinaciones, algo todavía más brillante.
CONCLUSIONES

11. En la solución de los problemas por parte de los estudiantes se determina como algunos de
los estudiantes pueden resolver problemas de conteo sin la necesidad de utilizar diagramas
de árbol, celdas o casillas espaciadoras, otros sin utilizar ninguna notación de combinatoria
diferente a la del factorial solamente utilizando elementos constantes y realizando
estrategias algorítmicas completas, identificando perfectamente el modelo implícito del
enunciado, utilizando particiones en subconjuntos, fijando una o más variable, y soluciones
sin utilizar siquiera la notación de combinación, algo verdaderamente sorprendente. La
generalización de las soluciones se hace completa y por lo tanto se llega al objetivo
previsto.
RECOMENDACIONES
Desde primaria se debe empezar a trabajar con los niños en problemas de conteo, pues
estos ayudan a desarrollar un mejor pensamiento hipotético deductivo mejorando el
rendimiento en matemáticas. Los profesores de primaria y secundaria deben seleccionar
problemas en los cuales el estudiante pueda generalizar principios matemáticos. Se debe
siempre incentivar al estudiante con problemas interesantes, que lo lleven a pensar un poco
más de lo acostumbrado y que lo conduzcan a generalizar. Los docentes deben pensar
todo el tiempo que muchos de los estudiantes tienen un potencial inmenso, en nuestro caso
matemáticas, donde se deben analizar con cuidado sus respuestas, ya que allí
encontraremos grandes satisfacciones.
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