Este documento describe cómo resolver el noveno problema de Apolonio para encontrar las circunferencias tangentes interiores a una circunferencia dada y a una recta, que también pasan por un punto dado. Se utiliza el concepto de inversión negativa para transformar el problema en uno de autoinversión. Trazando varias circunferencias auxiliares, se determinan los puntos de tangencia en la recta original para luego hallar los centros de las dos circunferencias solución.

1. TANGENCIAS: NOVENO PROBLEMA DE
APOLONIO (Interiores).
Circunferencias tangentes a una
circunferencia y a una recta.

2. Dada una recta r, una circunferencia C y un punto P, dibujar las
circunferencias, tangentes interiores a la circunferencia propuesta, que
pasan por el punto P y son tangentes a la recta r.

3. Utilizamos el concepto de inversión negativa. La recta r es la figura inversa de la
circunferencia C. El centro de inversión O se sitúa en la recta perpendicular a r
por C entre A y A´, donde la recta que une estos puntos corta a la
circunferencia.

4. Trazamos la circunferencia de autoinversión que pasa por A, A´ y P para
obtener P´. Para ello dibujamos la circunferencia que pasa por tres puntos
C aux.
Mediatriz de
AP.
Mediatriz de
A´P.

5. Unimos el punto P con el centro de inversión O para obtener P´, Q y Q´. Como
se puede observar P´ está en la circunferencia de autoinversión en tanto que Q
y Q´ están en la circunferencia que pasa por O y en la recta r respectivamente.

6. Hallamos T en la circunferencia de autoinversión, resolviendo el problema
básico de tangencias: rectas tangentes exteriores desde un punto a una
circunferencia.
Punto medio
Q´ C aux.

7. Con radio Q´T trazamos un arco que nos da los puntos de tangencia T1 y T2 en
la recta r.
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8. Por T1 trazamos una recta perpendicular a la recta r. Después unimos T1 con el
centro de inversión O y obtenemos T en la circunferencia propuesta. Unido T
con C nos da C1(centro de la primera solución) en la perpendicular a r.
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9. Por T2 repetimos ambas acciones para obtener el centro c2 de la segunda
solución y el punto de tangencia en la circunferencia.
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T

10. Por T2 repetimos ambas acciones para obtener el centro c2 de la segunda
solución y el punto de tangencia en la circunferencia.
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T