Este documento describe los procedimientos para realizar abatimientos en el sistema diédrico. Explica cómo abatir puntos, rectas y planos contenidos en otros planos sobre los planos de proyección o planos auxiliares. También cubre cómo aplicar la afinidad homológica entre proyecciones y abatimientos, y cómo utilizar abatimientos para resolver problemas como el giro de puntos alrededor de ejes o encontrar las proyecciones de figuras dadas.

1. Sistema Diédrico: Abatimientos JSQ, 2000
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SISTEMA DIÉDRICO: ABATIMIENTOS
q Introducción
q Facilitan las operaciones necesarias para obtener la verdadera magnitud de las entidades
del dibujo, especialmente la de formas planas contenidas en planos oblicuos con respecto a
los planos de proyección (muy útil en el cálculo de secciones).
q Abatir un plano sobre otro, que se entiende de proyección, es hacer coincidir el primer plano
sobre el segundo, girándole alrededor de la recta de intersección de ambos.
q Abatimiento de un punto contenido en un plano
q Consideración: En realidad nunca se abaten solos los puntos ó las rectas, sino que se abate
siempre el plano que las contiene. Por tanto, la expresión abatir un punto es técnicamente
incorrecta.
q En el espacio, imaginemos el plano α oblicuo a los de proyección y el punto A del mismo
referenciado mediante una horizontal de plano h. Vamos a abatir el plano α sobre el PH y
con él el punto A.
q El eje de giro del plano será la intersección de ambos planos α y PH, en este caso la traza
horizontal α1, que se denomina eje del abatimiento o charnela.
q Al girar, el punto A describe una circunferencia obteniendo A0 sobre el PH.
q Centro: El punto C donde la perpendicular desde A’ a la charnela corta a ésta.
q Radio: La distancia AC´, es decir, la distancia real que separa A de C.
q Se forma un triángulo rectángulo de vértices AA’C
q Cateto AA’: Es la distancia que separa el punto del plano sobre el que se está abatiendo,
en este caso el PH, luego será la cota de A.
q Cateto A’C: Es la proyección horizontal de la distancia AC.
q Hipotenusa AC: Es la distancia real entre A y C.
q Dicho triángulo podemos abatirlo a su vez sobre el PH obteniendo (A0)1
q Cateto AA’: Será paralelo a la charnela.
q Cateto A’C: No varía.
q Es decir, el abatimiento puede ser calculado tomando centro en C y radio hasta (A0)1
trazando el arco que corte a la perpendicular a la charnela por A’: Ahí obtenemos A0.
Obviamente, existirán dos posibles soluciones al no haber sentidos de giro privilegiados.
Abatimiento sobre el PH de un punto A contenido en un plano α

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q Si el abatimiento se produce sobre el plano vertical PV, la distancia del punto al plano sobre
el que se abate en este caso el alejamiento. Las operaciones son duales de las descritas.
Abatimiento de un punto contenido en un plano sobre PV
q El abatimiento podemos tomarlo siempre sobre otro plano distinto a los de proyección,
debido a que por algún problema no podamos usar éstos (por ejemplo, que el punto abatido
salga de los límites del dibujo). En este caso se suelen emplear planos paralelos a los de
proyección, con dos consideraciones:
q Es necesario obtener la charnela o recta de intersección entre ambos.
q Hay que calcular la distancia desde el punto hasta el plano sobre el que se abate.
q Ejemplo: Empleamos el plano horizontal β como plano auxiliar de abatimiento. La
charnela es la horizontal i (recta intersección de los planos α y β), y la nueva distancia a
llevar es la que separa A’’ del plano beta (h1).
Abatimiento sobre un plano β paralelo al PH
q Abatimiento de una recta situada sobre un plano
q Se procede abatiendo dos puntos de la recta dada. Si por ejemplo se realiza un abatimiento
sobre el PH, un punto puede ser la traza horizontal de la recta, porque pertenece a la traza
horizontal del plano (eje de abatimiento) y no sufre variación. El otro puede ser un punto
cualquiera. El ángulo & que forma la recta abatida con la charnela es el ángulo que forma en
la realidad la recta con la traza horizontal del plano.

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Abatimiento de una recta t incluida en un plano α
q Abatimiento de un plano
q En este caso, el punto C donde se cortan las trazas es un punto doble de la operación, pues
permanece inalterable y por él pasará la traza abatida del plano. Podemos también abatir un
punto cualquiera de la traza vertical, suponiendo que estamos abatiendo sobre el H, con lo
que podemos tener ya dibujada la traza α2 abatida. El ángulo & que forma ésta con la
charnela es la denominada amplitud del plano, es decir, el ángulo real que forman las trazas
en el espacio.
q De la figura se observa que el triángulo rectángulo A’’NM y el A0NM son iguales, ya que
tienen un cateto coincidente (el NM), el otro cateto es idéntico (la distancia NA’’ es igual a la
distancia NA0) por lo que las hipotenusas han de ser iguales, es decir, MA’’ = MA0. Según
esto, podemos facilitar la operación de búsqueda de la traza vertical abatida calculando A0
sin más que tomar centro en N y radio hasta A’’ de modo que el arco corte a la recta
perpendicular a la charnela que pasa por A’.
Abatimiento de un plano sobre el PH

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q Aplicaciones de la afinidad homológica a los abatimientos
q Recordatorio: Existe una afinidad homológica entre las dos proyecciones de una figura
incluida en un plano:
q Eje de afinidad: Recta de intersección del plano dado con el 2º bisector
q Dirección de afinidad: Perpendicular a la LT
q Un par de puntos afines: Las dos proyecciones de un punto del plano.
q Consideración: Análogamente, existe una afinidad homológica entre la proyección de una
figura plana y su abatimiento sobre el mismo plano de proyección, cuyos elementos son:
q Eje de afinidad: La recta de intersección entre ambos planos, es decir, la charnela
q Dirección de afinidad: Perpendicular a la charnela.
q Un par de puntos afines: La proyección horizontal de un punto y su abatimiento.
Caso inverso del abatimiento

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q Ejemplo de aplicación: Elevación ó desabatimiento de una figura plana abatida
q Sea el plano α sobre el que hay una circunferencia de radio R y centro en el punto O. El
problema consiste en hallar las proyecciones horizontal y vertical de dicha circa a partir
de la circa en su verdadera forma.
q Abatimos el plano α sobre el PH, abatiendo también el centro de la circa, obteniendo O0.
Con centro en él y radio R se traza la circa abatida.
q Las proyecciones de esta circa son, por afinidad, dos elipses. Trazamos los diámetros
de la circa paralelos y perpendicular a la charnela ó eje de afinidad, para conseguir los
dos ejes de la elipse en proyección horizontal.
q El diámetro paralelo a la charnela pasará por O’, afín de O0. Trazamos los afines A’ y B’
de los extremos, conocida la dirección de afinidad y obtenemos el eje afín A’B’ paralelo a
la charnela.
q El otro eje lo localizamos uniendo los extremos de los dos diámetros de la circa y
calculando la recta afín, que también será perpendicular. Ya podemos dibujar la elipse
en proyección horizontal.
q Los puntos de la elipse de la proyección vertical los obtengo referenciando las
proyecciones horizontales de los extremos de los ejes mediante horizontales de plano (ó
bien mediante otra nueva afinidad).
q En la proyección vertical tendré otra elipse, ya que se establece otra afinidad. El par de
diámetros conjugados (y ejes) de la proyección horizontal me da otro par de diámetros
conjugados (que no son ejes) en la proyección vertical. Si quiero calcular de nuevo los
ejes en la proyección vertical es posible la aplicación de dos métodos:
q Abatimiento del plano α, pero ahora sobre el PV.
q Dibujar en el abatimiento sobre el PH dos diámetros, paralelo y perpendicular
respectivamente, a la traza vertical abatida. Sus proyecciones verticales serán los
ejes de la elipse en proyección vertical.
q Podemos calcular las proyecciones diédricas de los extremos de los diámetros de la
circa sin recurrir a la relación de afinidad. El diámetro paralelo a la charnela podemos
incluirlo en una recta que es en definitiva una horizontal de plano abatida h0. El punto de
corte P0 con la traza abatida es un punto P de α2, cuya proyección horizontal P’ se
encontrará en la LT, y por aquí pasará la proyección horizontal h’ de esa horizontal de
plano h. Basta referir los puntos sobre la citada recta sabiendo que han de encontrarse
en la misma perpendicular.
q Se ha trazado la tangente t0 a la circunferencia en un punto T0 de ella. Por afinidad
tendremos sus proyecciones horizontal y vertical t’ y t’’.
q Ejemplos
q Giro de un punto Q alrededor de un eje e oblicuo
q Calculamos en primer lugar el plano que incluye a la circa de giro, y que será
perpendicular al eje y pasará por el punto Q. Para ello nos valemos de la horizontal h. Se
determina a continuación el punto de corte del eje con dicho plano, es decir, el centro de
la circunferencia, punto O, apoyándonos en el plano auxiliar β.
q Construimos la circa en verdadera magnitud realizando un abatimiento del plano α sobre
el PH, usando como charnela la traza horizontal α1, y abatiendo los puntos Q y O.
Obtenemos el nuevo punto girado un ángulo & en verdadera magnitud y desabatimos
para obtener sus proyecciones diédricas.

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Giro de un punto Q alrededor de un eje e oblicuo cualquiera
q Proyecciones de un cuadrado de 40 mm. de lado situado en un plano de amplitud tg α = 3/2
y tal que la tangente del ángulo que forman β1 y LT es 2/3. Uno de los lados del cuadrado es
perpendicular a la bisectriz del ángulo α y sus extremos están en β1 y (β2)0.
q Resolución: Dibujamos la traza β1 y la traza abatida (β2)0 con los ángulos que nos dan.
Trazamos la bisectriz de la amplitud del plano y sobre ella llevamos perpendicularmente
la distancia de 40 mm, sabiendo que dos de sus vértices están sobre las trazas que
hemos dibujado. Se completa el cuadrado en el abatimiento y se desabaten los puntos,
obteniendo las dos proyecciones del polígono.
Proyecciones del cuadrado resultante