Este documento presenta información sobre la línea recta y sus ecuaciones. Explica las diferentes formas de representar la ecuación de una recta incluyendo la forma punto-pendiente, dos puntos, pendiente y ordenada al origen, simétrica y general. También describe cómo convertir entre estas formas y calcular distancias a una recta. Finalmente, introduce ecuaciones de rectas notables en un triángulo como la bisectriz.

1. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADODE QUINTANA ROOCENTRO DE SERVICIOS NO. 16 EMSAD BLANCA FLORMATEMATICAS IIIUNIDAD II. LA LINEA RECTAING. FELIPE DE JESÚS TOX PEREYRARUBRO 1.3.1.10CLAVE: PE08-B/34-01-02PERIODO DE APLICACIÓN: 2009-B

2. UNIDAD IILa línea rectaObjetivo: El estudiante resolverá problemas teóricos o prácticos que involucren de la línea recta, aplicando e integrando de manera crítica y reflexiva, los conceptos, técnicas y procedimientos básicos de la Geometría analítica, mediante el empleo de distintas formas de la ecuación de la recta y sus transformaciones, gráficas, ecuaciones y propiedades de la recta, así como las ecuaciones de rectas notables en un triángulo; que apliquen en distintos ámbitos del entorno físico en el que se desenvuelve; colaborando a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad e interés científico.

3. 2.1 ECUACIONES Y PROPIEDADES DE LA RECTA2.1.1. Forma punto – pendienteLa recta como lugar geométricoSe llama línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(x1,y1) y P2(x2,y2), el valor de la pendiente (m) es siempre la misma y puede calcularse a partir de la siguiente expresión:Geométricamente es la distancia más corta entre dos puntos. Analíticamente es una ecuación de primer grado con dos variables.

4. Si de una recta se conocen las coordenadas de un punto P1(x1,y1) y el valor de su pendiente m, entonces la ecuación de la recta puede determinarse mediante la expresión: que se conoce como forma punto-pendiente de la ecuación de la recta.Ejemplo: Si m=2 y la recta pasa por el punto P(-1,2), entonces: Esta expresión es la ecuación de la recta con las condiciones dadas.

5. Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntosSi la recta pasa por dos puntos conocidos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), que pertenecen a una misma recta, entonces la ecuación de dicha recta puede determinarse a partir de la siguiente expresión:Ejemplo: Si una recta pasa por los puntos A (5,-2) y B (-3,1), su ecuación se determina de la siguiente manera:Esta expresión es la ecuación de la recta con las condiciones dadas.

6. El caso especial de la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, en que se conoce el valor de la pendiente m y la ordenada al origen (intersección de la rectacon el eje Y), determinado por el punto P1(0,b), está dado por la expresión: a esta expresión se le conoce también como la forma Ordinaria o Común de la ecuación de la recta. Gráficamente:2.1.2 Forma pendiente ordenada al origenYEjemplo: Si la pendiente de una recta es m=-2 y su ordenada al origen es el punto A(0,-3), entonces la ecuación de dicha recta es:P1(0,b)P(x ,y )X

7. 2.1.3. FORMA SIMÉTRICAYSi los puntos conocidos de una recta son las intersecciones de la misma con los ejes coordenado, entonces su ecuación puede determinarse a partir de la siguiente expresión:A esta expresión también se le conoce como forma Canónica de la ecuación de la recta.B(0,b)A(a ,0 )XEjemplo: si las intersecciones de una recta con los ejes coordenados son los puntos A(-3,0) y B(0,5), su ecuación tiene la forma:

8. 2.1.4. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTALa forma General de la Ecuación de la Recta es una ecuación lineal en dos variables, generalmente x e y, representada como:Características esenciales :A, B y C son números reales cualesquiera.

9. El valor de A o B no puede ser cero.

10. El valor de C puede o no ser cero.

11. Si se despeja la variable y se llega a la ecuación ordinaria de la recta, por lo que es posible conocer el valor de pendiente y la ordenada al origen.No toda ecuación de la forma : puede representar una recta. Para ello es necesario analizar su comportamiento, estableciendo los posibles casos de relación entre los coeficientes A, B y C, como se muestra a continuación:Conclusiones:De los valores de A y B, por lo menos uno debe ser diferente de cero.La recta queda determinada por dos condiciones: cuando se conocen dos de sus puntos ycuando se conocen un punto y la dirección de ella (pendiente).

12. 2.2 CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA A LA FORMA GENERAL Y VICEVERSA.Cada una de las formas de representar la ecuación de una recta proporciona información sobre las características de dicha recta en particular, así tenemos que:

13. La ecuación de la recta en su forma general puede transformarse a cualquiera de las otras formas: común u ordinaria y simétrica o canónica y viceversa.Conversión de Ax+By+C=0 en y=mx+b

14. Para convertir la ecuación de la recta de la forma general a la ordinaria o común, basta con despejar el valor de y, como sigue:Sustituyendo se obtiene:Que es la forma ordinaria de la ecuación de la recta. De lo anterior se sabe que: El valor de la pendiente es: La ordenada al origen es:

15. Conversión de la forma general a la forma simétrica o canónica.Para transformar la ecuación general de la recta a su forma simétrica, a partir del siguiente procedimiento:Las intersecciones de la recta con los ejes coordenados son:

16. La Intersección con el eje X es:

17. La intersección con el eje Y es: Sustituyendo, se obtiene:

18. Ejemplo: Transformar la ecuación general de la recta 4x+5y+20=0 a su forma ordinaria y simétrica.

19. Gráficamente:

20. La línea recta y la ecuación general de primer gradoLa ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables.Toda ecuación de la forma Ax+By+C=0, donde A y B no son simultáneamente cero, representa una línea recta.Identificación de recta en la ecuación de primer grado:Ax+By+C=0 Con

21. Ax+By=0 Pasa por el origen

22. Ax+C=0 Recta vertical

23. By+C=0 Recta horizontal En cada caso los coeficientes escritos son distintos de cero y los que no están son cero.

24. 2.1.5. FORMA NORMAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTALa forma normal de la ecuación de la recta se expresa en términos de las funciones seno y coseno, como sigue:Donde:p es un número positivo, numéricamente igual a la longitud de la recta normal (perpendicular), trazada desde el origen a la recta.ω es el ángulo positivo menor de 360º medido a partir de la parte positiva del eje X a la recta normal.Ejemplo. En un círculo con centro en el origen y radio igual a 5 hallar la ecuación, en su forma normal, de la recta tangente en el punto (3,4).Solución: De la figura se sabe que p=5; Por lo tanto, la ecuación de la recta en su forma normal, es:

25. Obtención de la forma normal a partir de la forma generalPara transformar una ecuación de la recta dada en su forma general a la forma normal, basta con dividirla entre , es decir:Donde A y B son los coeficientes lineales de la Ecuación de la recta en su forma general.Además el signo del radical se escoge de acuerdo a lo siguiente:

26. Si C≠0, el radical es de signo contrario a C.