Este documento presenta información sobre la línea recta y sus ecuaciones. Explica las diferentes formas de representar la ecuación de una recta incluyendo la forma punto-pendiente, dos puntos, pendiente y ordenada al origen, simétrica y general. También describe cómo convertir entre estas formas y calcular distancias a una recta. Finalmente, introduce ecuaciones de rectas notables en un triángulo como la bisectriz.

1. COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE QUINTANA ROO CENTRO DE SERVICIOS NO. 16 EMSAD BLANCA FLOR MATEMATICAS III UNIDAD II. LA LINEA RECTA ING. FELIPE DE JESÚS TOX PEREYRA RUBRO 1.3.1.10 CLAVE: PE08-B/34-01-02 PERIODO DE APLICACIÓN: 2009-B

2. UNIDAD II La línea recta Objetivo: El estudiante resolverá problemas teóricos o prácticos que involucren de la línea recta, aplicando e integrando de manera crítica y reflexiva, los conceptos, técnicas y procedimientos básicos de la Geometría analítica, mediante el empleo de distintas formas de la ecuación de la recta y sus transformaciones, gráficas, ecuaciones y propiedades de la recta, así como las ecuaciones de rectas notables en un triángulo; que apliquen en distintos ámbitos del entorno físico en el que se desenvuelve; colaborando a generar un ambiente escolar que favorezca el desarrollo de actitudes de iniciativa, responsabilidad e interés científico.

4. Si de una recta se conocen las coordenadas de un punto P1(x1,y1) y el valor de su pendiente m, entonces la ecuación de la recta puede determinarse mediante la expresión: que se conoce como forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. Ejemplo: Si m=2 y la recta pasa por el punto P(-1,2), entonces: Esta expresión es la ecuación de la recta con las condiciones dadas.

5. Ecuación de una recta conocidos dos de sus puntos Si la recta pasa por dos puntos conocidos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), que pertenecen a una misma recta, entonces la ecuación de dicha recta puede determinarse a partir de la siguiente expresión: Ejemplo: Si una recta pasa por los puntos A (5,-2) y B (-3,1), su ecuación se determina de la siguiente manera: Esta expresión es la ecuación de la recta con las condiciones dadas.

6. El caso especial de la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, en que se conoce el valor de la pendiente m y la ordenada al origen (intersección de la rectacon el eje Y), determinado por el punto P1(0,b), está dado por la expresión: a esta expresión se le conoce también como la forma Ordinaria o Común de la ecuación de la recta. Gráficamente: 2.1.2 Forma pendiente ordenada al origen Y Ejemplo: Si la pendiente de una recta es m=-2 y su ordenada al origen es el punto A(0,-3), entonces la ecuación de dicha recta es: P1(0,b) P(x ,y ) X

7. 2.1.3. FORMA SIMÉTRICA Y Si los puntos conocidos de una recta son las intersecciones de la misma con los ejes coordenado, entonces su ecuación puede determinarse a partir de la siguiente expresión: A esta expresión también se le conoce como forma Canónica de la ecuación de la recta. B(0,b) A(a ,0 ) X Ejemplo: si las intersecciones de una recta con los ejes coordenados son los puntos A(-3,0) y B(0,5), su ecuación tiene la forma:

9. El valor de A o B no puede ser cero.

10. El valor de C puede o no ser cero.

12. 2.2 CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA A LA FORMA GENERAL Y VICEVERSA. Cada una de las formas de representar la ecuación de una recta proporciona información sobre las características de dicha recta en particular, así tenemos que:

16. La Intersección con el eje X es:

17. La intersección con el eje Y es: Sustituyendo, se obtiene:

18. Ejemplo: Transformar la ecuación general de la recta 4x+5y+20=0 a su forma ordinaria y simétrica.

19. Gráficamente:

21. Ax+By=0 Pasa por el origen

22. Ax+C=0 Recta vertical

23. By+C=0 Recta horizontal En cada caso los coeficientes escritos son distintos de cero y los que no están son cero.

26. Si C≠0, el radical es de signo contrario a C.

27. Si C=0 y B≠0, el radical y B tienen el mismo signo.

28. Si C y B son cero y A≠0, el radical y A tienen el mismo signo.Ejemplo: Transformar la recta 3x+4y+2=0 a la forma normal. De la ecuación general se sabe que A=3, B=4 y C=2, además C≠0 y positivo, por lo tanto el signo del radical r es negativo, según el primer criterio. Entonces: Por lo tanto la ecuación de la recta en su forma normal es:

29. Normal a una recta y distancia al Origen La distancia de un punto P(x1,y1) a una recta L, se define como la longitud perpendicular trazada desde dicho punto hasta la recta. Si la esta distancia d se considera absoluta, entonces, ésta puede determinarse sustituyendo las coordenadas de dicho punto en la ecuación de la recta en su forma normal; es decir: 2. Si la esta distancia d se considera dirigida, entonces, ésta puede determinarse sustituyendo las coordenadas del punto dado en la siguiente expresión:

30. Criterios para calcular la distancia dirigida, por la posición de la recta dada: Si la recta dada no pasa por el origen del sistema coordenado, entonces la distancia es: Positiva cuando el punto dado P1(x1,y1) y el origen estén en lados opuestos de la recta. Negativa cuando el punto dado P1(x1,y1) y el origen estén del mismo lado de la recta. Si la recta dada pasa por el origen, la distancia es: Positiva si el punto dado P1(x1,y1) por arriba de la recta. Negativa si el punto se encuentra por debajo de la recta (1) (2) (3) (4)

31. Distancia perpendicular desde el origen hacia una recta Para el caso particular en que el punto dado es el origen: P1(x1,y1)=(0,0), la distancia d, se obtiene a partir de: Esta distancia puede también determinarse a partir de la ecuación de la recta en su forma normal: Ejemplo: Determinar la distancia de la recta 2x+3y-4=0 hacia el origen. Como la distancia es absoluta, tenemos que: Nota: Si la distancia fuera dirigida, entonces el signo de la distancia seria negativo, porque el punto se encuentra por debajo de la recta.

32. Distancia entre dos rectas paralelas Para calcular la distancia entre dos recta que son paralelas, se consideran dos casos: Si el origen se encuentra entre las dos rectas como se muestra en la figura, entonces la distancia total es la suma: d= d1+d2 d1 y d2, se calculan aplicando la expresión para la distancia del origen a cada una de la rectas. 2. Si el origen no se encuentra entre la rectas paralelas, se determinan las intersecciones con los ejes coordenados de la recta L1, como se ve en la figura: M(0,y) y N(x,0). La distancia se calcula sustituyendo cualquiera de las intersecciones y los coeficientes de la recta L2, en la expresión que corresponde a la distancia de un punto a una recta. (1) (2)

34. La distancia desde el punto Q hacia cada una de las rectas es la misma: PQ=QR.

35. El signo de la distancia RQ es negativa, puesto que Q se sitúa por debajo de la recta AC. Por lo tanto la ecuación de la bisectriz se determina a partir de: Este planteamiento se repite para cada bisectriz de cada ángulo del triángulo y las relaciones con sus respectivos lados.

36. Ecuación de la Mediatriz La mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento Consideraciones para determinar la ecuación de la mediatriz para el lado BC del triángulo: Se determinan las coordenadas del punto medio Pm(xm,ym) del lado del triángulo a partir de: Se determina la pendiente mBC del lado BC, a partir de la ecuación de dicho lado, es decir: Como el lado AB y la mediatriz son perpendiculares entonces la pendiente de la mediatriz (mM) es recíproca y negativa de mBC , por lo que: La ecuación de la mediatriz se determina a partir de forma punto-pendiente de la recta con las coordenadas del punto medio y la pendiente ya conocida, es decir: Este planteamiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su mediatriz y punto medio.

37. Ecuación de la Altura La altura es el segmento que se traza perpendicularmente desde un lado del triángulo y pasa por el vértice opuesto a éste. Para determinar la ecuación de la altura (perpendicular al lado AB) del triangulo, de la figura, se procede como sigue: Se determina la ecuacióndel lado AB del triangulo: Ax+By+C=0; usando la expresión para la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Se determina la pendiente del lado AB, como: Como el lado AB y la altura son perpendiculares entonces la pendiente de la altura (mh) es recíproca y negativa de mAB , por lo que: La ecuación de la altura se determina a partir de la forma punto-pendiente de la recta, con el valor de la pendiente mh y las coordenadas del vértice por donde pasa la altura, es decir: El procedimiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su respectiva altura y vértice opuesto.

38. Ecuación de la mediana La mediana en un triángulo es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Para determinar la ecuación de la mediana AP del triángulo de la figura, se procede como sigue: Determinarlas coordenadas del punto medio, Pm(xm,ym), del segmento BC. Usar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, usando las coordenadas de A y P, es decir: Realizar las operaciones para obtener la ecuación de la Mediana. El procedimiento se repite para cada uno de los lados del triángulo y su respectivas medianas y puntos medios. Nota: otro procedimiento consiste en calcular la pendiente de la mediana, y usar la forma punto-pendiente de la recta, usando indistintamente el punto A ó Pm .

39. BIBLIOGRAFÍA Salazar Vázquez Pedro, Cuellar M.L. Matemáticas III. México, Ed. Nueva Imagen, 2007. Ortiz Campos Francisco. Matemáticas III, Geometría Analítica. México Ed. Publicaciones Cultural. Primera Edición, 2005. Lehmann, Charles. Geometría Analítica. México. Ed. Limusa. 2006 Garza Olvera, Benjamín. Matemáticas III, Geometría Analítica. México. Colección DGTI.1998.