Este documento describe diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, incluyendo la ecuación vectorial, paramétrica, continua, general e implícita y explícita. También explica cómo calcular la proyección ortogonal de un punto sobre una recta, encontrar el punto simétrico con respecto a una recta, y derivar la ecuación de la bisectriz de los ángulos formados por dos rectas.

1. Ecuaciones de la recta
Laura Bernal CT2
Jenifer López CT2

2. La ecuación de la recta es una relación entre las coordenadas (x , y ) de todos y cada uno de sus
puntos. Las diferentes formas de expresar una ecuación de la recta son:
• Ecuación Vectorial: Consideramos un punto conocido , un vector no nulo
que nos indica la dirección y un punto genérico que representa cualquier punto de la
recta. Obtenemos que : ,
constante
- Con esta ecuación podemos hallar un punto y un vector de la recta
• Ecuación paramétrica: Si realizamos las operaciones entre vectores, indicadas en la ecuación
vectorial, obtendremos que:
- Con esta ecuación también podemos hallar un punto y un vector
• Ecuación contínua: Si aislamos k de cada una de las ecuaciones paramétricas
obtendremos la ecuación contínua:
- Es necesario añadir, que es posible hallar la ecuación contínua solamente aplicando la
fórmula sin necesidad de pasar por la ecuación vectorial y paramétrica previamente.
Aquí también podemos encontrar un punto y un vector.

3. Ecuación general o implícita: Podemos deducir esta recta, multiplicando en cruz las fracciones
de la ecuación continua y juntando los términos iguales hasta obtener
donde A i B son los coeficientes de x i y respectivamente i C es el término independiente:
Ecuación explícita: Si aislamos la y de la ecuación general de la recta, obtenemos que:
No hay que confundirse, el
pendiente en este caso seria
no , aquí podemos
verlo más claramente:
ordenada en el origen
Este término nos indica
el pendiente de la recta

4. Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
Consideramos una recta r y un punto P exterior a la recta. El punto P’,
pie de la perpendicular a r trazada desde P, es la proyección ortogonal
P
P’ r de P sobre r.
Las coordenadas de P’ son la solución del sistema determinado por:
S • La ecuación de la recta r.
• La ecuación de la recta perpendicular a r por el punto P.
Punto simétrico respecto a una recta
Consideramos una recta r y un punto P exterior a la recta. El
punto S es el punto simétrico de P respecto a r, P’ es el punto
medio entre P y S, siendo P’ la proyección ortogonal de P sobre r.

5. Ejemplo: Dada la recta y el punto , determina el punto proyectado de P
sobre r y el punto simétrico de P respecto de r.
Primero se tiene que determinar la recta s perpendicular a r que pasa por el punto P.
El punto donde se cortan las rectas r y s es el punto proyectado P’.
La solución del sistema es
Para encontrar el punto simétrico usaremos la expresión del punto medio de un segmento,
ya que P’ es el punto medio del segmento PS.
Recordamos que las coordenadas del punto medio M del segmento de extremos y son:
es el simétrico de P respecto de r.

6. Bisectriz de los ángulos que forman dos rectas
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales. Los puntos de la bisectriz
equidistan de cada una de las rectas que determinan el ángulo.
Para encontrar la ecuación de la recta bisectriz de uno de los ángulos que forman las rectas que
Formas r y s, consideramos un punto genérico de esta bisectriz y imponemos la condición
.
Si y se verifica:
Como que X es un punto de la bisectriz se verifica que son iguales, y la ecuación se puede expresar:
Ejemplo: Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos determinados por las rectas
y
y
y
Multiplicando por cada miembro de
cada una de las igualdades, tenemos: y
Las dos bisectrices son rectas perpendiculares.