1. El documento describe diferentes tipos de argumentos lógicos como silogismos disyuntivos, hipotéticos y modus ponens. También describe conexiones lógicas como negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
2. Explica qué son expresiones lógicas, literales, reglas de prioridad y cómo evaluar expresiones usando tablas de verdad.
3. Define tautologías, contradicciones y contingencias, y explica cómo identificar cada una usando tablas de verdad
Este documento presenta diferentes conceptos lógicos como silogismos, conexiones lógicas, proposiciones compuestas, expresiones lógicas, tautologías y contradicciones. Explica que una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todas las asignaciones posibles, mientras que una contradicción es falsa para todas las asignaciones. También introduce la noción de equivalencia lógica y cómo se pueden utilizar las tautologías y equivalencias lógicas en el razonamiento deductivo.
1) El documento habla sobre equivalencias lógicas y cómo se pueden demostrar usando tablas de verdad. 2) Explica algunos esquemas lógicos como A Λ ~A ≡ F y cómo se pueden usar para simplificar expresiones. 3) Describe formas normales disyuntivas y conjuntivas y cómo convertir una expresión a estas formas.
1) El documento habla sobre equivalencias lógicas y cómo se pueden demostrar usando tablas de verdad. 2) Explica algunos esquemas lógicos como A Λ ~A ≡ F y cómo se pueden usar para simplificar expresiones. 3) Describe formas normales disyuntivas y conjuntivas y cómo convertir una expresión a estas formas.
Este documento describe los conceptos básicos del cálculo proposicional. Explica que las proposiciones son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos, y que se representan con letras. Describe los operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, y sus tablas de verdad. Finalmente, menciona que los circuitos combinatorios pueden representar expresiones proposicionales relacionando sus entradas y salida.
Este documento presenta una introducción al cálculo proposicional. Explica que el cálculo proposicional estudia las relaciones lógicas entre proposiciones, que pueden interpretarse como afirmaciones con un valor de verdad de verdadero o falso. Define los conceptos básicos de proposición, valor lógico, operaciones veritativas y conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Finalmente, introduce los conceptos de circuitos combinatorios y tablas de ver
Este documento presenta un resumen del curso de Matemática Aplicada a la Medicina impartido en 2010. Incluye contenidos como lógica y conjuntos, análisis combinatorio y probabilidades, sistemas de números reales y relaciones y funciones. También explica conceptos de lógica proposicional como enunciados, proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y cuantificadores.
Este documento trata sobre las proposiciones compuestas, la semántica de las conectivas lógicas como conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. También explica qué son las tautologías, contradicciones y contingencias en lógica proposicional y provee ejemplos.
Este documento explica el concepto y uso de las tablas de verdad para determinar el valor de verdad de fórmulas proposicionales. Indica que las tablas de verdad muestran todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las variables proposicionales para hallar la matriz principal que define la fórmula. Esta matriz puede ser tautológica, contradictoria o consistente dependiendo de su distribución de valores verdaderos y falsos. También explica cómo construir tablas de verdad para las funciones proposicionales básicas como
Este documento presenta diferentes conceptos lógicos como silogismos, conexiones lógicas, proposiciones compuestas, expresiones lógicas, tautologías y contradicciones. Explica que una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todas las asignaciones posibles, mientras que una contradicción es falsa para todas las asignaciones. También introduce la noción de equivalencia lógica y cómo se pueden utilizar las tautologías y equivalencias lógicas en el razonamiento deductivo.
1) El documento habla sobre equivalencias lógicas y cómo se pueden demostrar usando tablas de verdad. 2) Explica algunos esquemas lógicos como A Λ ~A ≡ F y cómo se pueden usar para simplificar expresiones. 3) Describe formas normales disyuntivas y conjuntivas y cómo convertir una expresión a estas formas.
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Este documento describe los conceptos básicos del cálculo proposicional. Explica que las proposiciones son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos, y que se representan con letras. Describe los operadores lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional, y sus tablas de verdad. Finalmente, menciona que los circuitos combinatorios pueden representar expresiones proposicionales relacionando sus entradas y salida.
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Este documento introduce los conceptos básicos de la lógica. Explica que la lógica estudia las formas del pensamiento humano y las proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Describe las proposiciones atómicas y compuestas, y las conectivas lógicas como la conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. También presenta las tablas de verdad y las leyes del álgebra de proposiciones.
Formulario de lógica que presenta sus más importantes reglas. Es de utilidad para los estudiantes del área en los niveles bachillerato y universidad. Asimismo, para aquellos estudiantes que ingresarán al nivel superior.
Las proposiciones son afirmaciones o negaciones que se les asigna un valor de verdad de 1 si son verdaderas o 0 si son falsas. Los conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional permiten realizar operaciones lógicas entre proposiciones. Las tablas de verdad muestran el valor de verdad de proposiciones compuestas para cada combinación posible de valores de las proposiciones simples.
El documento describe diferentes tipos de proposiciones lógicas y conectivos. Define proposiciones atómicas, moleculares, tablas de verdad, y describe los conectivos de negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional junto con sus símbolos y valores de verdad. También explica demostraciones lógicas, reglas de inferencia y la lógica proposicional.
El documento presenta una guía sobre tablas de verdad y lógica de predicados. Explica cómo construir tablas de verdad para fórmulas lógicas con diferentes números de proposiciones simples y define conceptos como tautología, contradicción y contingencia. También introduce conceptos de la lógica de predicados como cuantificadores universal y existencial y cómo traducir funciones proposicionales a proposiciones mediante sustitución o cuantificación.
El documento trata sobre nociones básicas de lógica. Explica que la lógica permite resolver problemas utilizando el razonamiento y conocimientos acumulados. Luego define conceptos como proposiciones, valores de verdad, operaciones lógicas como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Finalmente, presenta ejemplos y tablas de verdad para ilustrar el uso de estas operaciones lógicas.
La lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lógicos:
1. La SINTAXIS de lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos interpretables construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de axiomas.
2. La SEMÁNTICA de las lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.
3. Los ASPECTOS METALÓGICOS de las lenguas formales, como por ejemplo la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o la existencia de modelos de cierto tipo, etc.
INFORMATE MÁS, formate mejor, en La Academia programas oficiales, además, para completar tus estudios, Inefop, Cecap, Plan Rescate a ni-nis y Uruguay Estudia, todo presencial o a distancia.
EDUCACIÓN TÉCNICA A DISTANCIA: los DVD que preparamos son de nivel técnico profesional, superintensivos con fines de salida laboral inmediata, editados de modo accesible a quienes no han estudiado. Están editados para ser visualizados desde un DVD común, ideal para quien no cuenta con PC.
PROGRAMAS OFICIALES: Y si querés terminar tus estudios, a distancia podés con nuestros videotutoriales, cualquiera sea tu edad o nivel alcanzado. Diseñados para mantener un progreso PERMANENTE sostenido con calibraciones periódicas.
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Este documento presenta los conceptos básicos de las proposiciones lógicas, incluyendo los conectivos lógicos (conjunción, disyunción, implicación, bicondicional), formas proposicionales, leyes del álgebra de proposiciones y métodos de demostración (directo, reducción al absurdo, contrario positivo). También introduce los conceptos de circuitos lógicos y su representación mediante conexiones en serie y paralelo.
Este documento presenta los conceptos básicos de las proposiciones lógicas, incluyendo los conectivos lógicos (conjunción, disyunción, implicación, bicondicional), formas proposicionales, leyes del álgebra de proposiciones y métodos de demostración (directo, reducción al absurdo, contrario positivo). También introduce brevemente los circuitos lógicos y sus conexiones en serie y paralelo.
Este documento introduce algunos conceptos básicos de lógica. Explica que la lógica estudia la validez de los razonamientos y define términos como proposición, valor de verdad, negación, disyunción, conjunción e implicación. Además, presenta tablas de verdad para ilustrar cómo funcionan estas operaciones lógicas.
Este documento presenta información sobre lógica proposicional. Explica conceptos como proposiciones, enunciados, conectivos lógicos y operaciones lógicas. Incluye tablas de verdad para las operaciones lógicas de conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. También asigna tareas que involucran evaluar proposiciones compuestas usando tablas de verdad.
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que las proposiciones son frases que son verdaderas o falsas, y que se pueden componer usando conectores lógicos como "y", "o", "no", "implica", y "equivalente". Luego define las tablas de verdad de cada conector lógico y presenta equivalencias lógicas importantes entre expresiones. Finalmente, muestra cómo simplificar expresiones lógicas complejas usando reglas como las leyes de De Morgan y la absor
Este documento describe diferentes operadores lógicos como la conjunción, disyunción inclusiva, disyunción exclusiva y condicional. Define cada operador lógico, ofrece ejemplos en lenguaje natural, y explica cómo evaluar proposiciones utilizando estos operadores asignando valores de verdad a los átomos proposicionales. El documento también incluye actividades para practicar la evaluación de proposiciones utilizando estos operadores lógicos.
Logica matematica 3 rodrigo andres hoyos perdomorockyhoyos1
El documento presenta conceptos básicos de lógica matemática, incluyendo definiciones de proposiciones lógicas, tipos de proposiciones (simples y compuestas), conectivos lógicos y tablas de verdad. Explica que las proposiciones simples no contienen negaciones u otros conectivos entre oraciones, mientras que las proposiciones compuestas sí los contienen. También define implicación, conjunción, disyunción y bicondicional con ejemplos.
Proposiciones, Leyes del Algebra de ProposicionesMancast1
Este documento trata sobre lógica proposicional. Define proposiciones y su valor de verdad. Explica los diferentes conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional junto con sus símbolos y traducciones. También describe formas proposicionales, tautologías, contradicciones y falacias. Finalmente, presenta ejemplos de circuitos lógicos para representar la conjunción y disyunción.
El documento presenta conceptos básicos de lógica proposicional. Explica que una proposición puede ser atómica o molecular, y describe los conectivos lógicos como la conjunción, disyunción y negación. También introduce las tablas de verdad y las leyes de las proposiciones, como la equivalencia, identidad y dominancia.
El documento explica los conceptos de equivalencia lógica y bicondicional. La equivalencia lógica existe cuando las tablas de verdad de dos proposiciones son iguales, mientras que la bicondicional es una proposición compuesta por la conjunción de una implicación en un sentido y otra en el sentido opuesto. También señala que la equivalencia lógica no puede expresarse como una proposición, a diferencia de la bicondicional.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
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2. La SEMÁNTICA de las lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las proposiciones. En general las expresiones de un sistema formal interpretadas en un modelo son ciertas o falsas, por lo que un conjunto de proposiciones que admite un modelo es siempre consistente.
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SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
3. Negación
Negación
P -P
V F
F V
Sea 𝑃 una proposición compuesta, −𝑃 es la
proposición que es falsa si P es verdadera,
caso contrario si – 𝑃 es verdadero, 𝑃 es
falsa
4. Conjunción
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ∧ 𝑄 es verdadera, si
tanto P como 𝑄 son verdaderas
Conjunción
P Q 𝑃⋀𝑄
V V V
V F F
F V F
F F V
5. Disyunción
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ∨ 𝑄 es Falso, si tanto P
como Q son falsos, Si ∨ 𝑃 ó ∨
𝑄 entonces 𝑃 ∨ 𝑄 es verdadera.
Disyunción
P Q 𝑃 ∨ 𝑄
V V V
V F V
F V V
F F F
6. Condicional
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 → 𝑄 es Falso si 𝑃 es
verdadero y 𝑄es falso, y 𝑃 𝑦 𝑄 en
otro caso.
Condicional
P Q 𝑃 → 𝑄
V V V
V F f
F V V
F F V
7. Bicondicional
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ↔ 𝑄 es verdadera si y
solo si 𝑃 𝑦 𝑄 tienen los mismos
valores de verdad.
Bicondicional
P Q 𝑃 ↔ 𝑄
V V V
V F F
F V F
F F V
9. Expresiones lógicas
Cualquier proposición debe expresarse de algún modo, bien sea verbalmente, gráficamente o
mediante una cadena de caracteres . Una cadena de caracteres se le denomina expresión lógica.
1. Sea 𝑃 𝑦 𝑄 una expresión lógica y también lo es 𝑄 , siempre y cuando 𝑃 𝑦 𝑄 sean variables
lógicas.
2. Las expresiones lógicas también pueden ser ambiguas.
11. Propiedades Definición 1
Si 𝐸 es una expresión compuesta cualquiera, entonces los alcances de la
conexión principal en 𝐸 son subexpresiones. Por ejemplo, si E es de la forma
(𝐴 ∧ 𝐵), entonces tanto 𝐴 como 𝐵 son subexpresiones. Estas subexpresiones
se denominarán subexpresiones inmediatas de 𝐸. Además,𝐴 𝑦 𝐵 pueden ser a
su vez expresiones compuestas, en cuyo caso también tendrán subexpresiones.
Todas las subexpresiones de 𝐴 𝑦 𝐵 son también subexpresiones de 𝐸. Todas
estas expresiones son subexpresiones de la proposición original. Generalmente,
las subexpresiones de una expresión 𝐸 se definen como sigue:
12. Propiedades Definición 1
1. E es una subexpresión de 𝐸.
2. Si E es de la forma (−𝐴), entonces 𝐴 es una subexpresión de 𝐸.
3. Si es de la forma 𝐴 ∧ 𝐵 , 𝐴 ∨ 𝐵 , 𝐴 ⇒ 𝐵 𝑜(𝐴 ⇔ 𝐵), entonces 𝐴 𝑦 𝐵, son ambas
subexpresiones de 𝐸. Esta se denominan subexpresiones inmediatas.
4. Si A es una subexpresión de 𝐸 y si 𝐶 es una subexpresión de A, entonces 𝐶 es una
subexpresión de 𝐸.
5. Ninguna otra expresión es subexpresión de 𝐸.
13. Expresiones
lógicas.
Definición 2: Una proposición se denomina
literal si es de la forma 𝑄 𝑜 − 𝑄, donde 𝑄 es
una variable proposicional. Las dos
expresiones 𝑄 𝑦 − 𝑄 se denominan literales.
14. Reglas de prioridad.
•La conexión − tiene siempre la prioridad mas alta.
−𝑃 ∨ 𝑄 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 −𝑃 ∨ 𝑄, 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 − (𝑃 ∨ 𝑄)
•En el caso que la conexión sea binaria, la prioridad mas alta sería :
• ∧
• ∨
• ⇒
• ⟺
15. Ejemplos Reglas de prioridad
1. En la expresión 𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑅, ∧ tiene prioridad sobre ∨, por tanto resulta
𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑅.
2. En la expresión 𝑃 ⇒ 𝑄 ∨ 𝑅, ∨ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ⇒, por tanto resulta
𝑃 ⇒ (𝑄 ∨ 𝑅)
3. En la expresión 𝑃 ⇒ 𝑄 ⇔ 𝑅, ⇔ al tener la prioridad mas baja resulta (𝑃 ⇒
𝑄) ⇔ 𝑅
16. Expresiones
lógicas.
Definición 3. Un operador binario se denomina
asociativo por la izquierda, si el operador por la
izquierda tiene prioridad sobre el operador de
la derecha, Un operador binario asociativo por
la derecha, si el operador por la derecha tiene
prioridad sobre el operador de la izquierda.
17. Evaluación de expresiones y
tablas de verdad
Ejemplo: si usted tiene un examen de programación, y no entiende el código, usted no aprobará.
Para determinar cuando es verdadera esta afirmación y cuando es falsa, para hacerlo, definimos:
𝑃: Usted tiene un examen de programación.
𝑄: 𝑈𝑠𝑡𝑒𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐ó𝑑𝑖𝑔𝑜.
𝑅: 𝑈𝑠𝑡𝑒𝑑 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟á
El resultado de esta afirmación resulta en:
𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅
18. Identificación de expresiones
Identificación de una expresión mediante un indicador. Sea el indicador 𝐴; esto
es, donde quiera que aparezca 𝐴 nos referimos a : 𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅, 𝐴 es de la
forma 𝐵 ⇒ 𝐶,𝐵 = (𝑃 ∧ −𝑄) y 𝐶 = −𝑅 y 𝐷 = −𝑄 una variable preposicional .
19. P Q R
D C B A
−𝑄 𝑃 ∧ −𝑄 −𝑅 𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅
V V V F F F V
V V F F F V V
V F V V V F F
V F F V V V V
F V V F F F V
F V F F F V V
F F V V F F V
F F F V F V V
Puesto que A contiene
tres variables P, Q, y R, se
utilizará 2𝑛 asignaciones
23
= 8 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Para fomar valores F y V,
23. Contingencia
Definición 6. Una expresión lógica que no sea una
tautología ni una contradicción se denomina
contingencia (casualidad/eventualidad).
24. Tautología
Sea − 𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑄, una proposición verdadera. Demostrar que es una tautología.
𝑃 𝑄 𝑃 ∧ 𝑄 −(𝑃 ∧ 𝑄) −(𝑃 ∧ 𝑄) ∨ 𝑄
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
Debido a que las tautologías son tan
importantes, se ha creado una simbología
para denotar que una expresión es una
tautología
⊨ − 𝑷 ∧ 𝑸 ∨ 𝑸
25. Tautología.
Ley del medio excluido.
𝑃 ∨ −𝑃, es una tautología. En otras palabras 𝑃 es
verdadera o falsa, y todo lo demás se excluye.
𝑃 −𝑃 𝑃 ∨ −𝑃
V F V
F V V
26. Tautología.
Teorema 1.1. Sea 𝐴 una expresión
tautológica, sean 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 las
variables proposicionales de 𝐴. Suponga
Suponga que 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 , son
expresiones lógicas arbitrarias. En este
caso, la expresión obtenida al
reemplazar
𝑃1𝑝𝑜𝑟𝐵1, 𝑃2 𝑝𝑜𝑟𝐵2, … , 𝑃𝑛𝑝𝑜𝑟𝐵𝑛 es un
esquema y toda particularización de
este esquema es una tautología.
27. Tautología y razonamiento lógico
A partir del silogismo disyuntivo que indica que 𝑃 ∧ 𝑄 𝑦 − 𝑃 sean ambas verdaderas entonces Q es
verdadera. Si tenemos ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃) ⇒ 𝑄, entonces también es una tautología.
P Q (𝑃 ∨ 𝑄) -P (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃) ⇒ 𝑄
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F V F V
28. Contradicción
Ley del medio excluido.
Una expresión es una contradicción si esta produce F
para todas las asignaciones. Considerando la expresión
𝑃 ∧ −𝑃, es una contradicción. Como se demuestra en la
tabla de verdad:
𝑃 −𝑃 𝑃 ∧ −𝑃
V F F
F V F
29. Tautología y razonamiento lógico
A partir del silogismo disyuntivo que indica que 𝑃 ∧ 𝑄 𝑦 − 𝑃 sean ambas verdaderas entonces Q es
verdadera. Si tenemos 𝑃 ∨ 𝑄 ∧ −𝑃 ∧ −𝑄, una contradicción, se dice que todas las asignaciones deben
ser falsas.
P Q (𝑃 ∨ 𝑄) -P (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃 −𝑄 𝑃 ∨ 𝑄 ∧ −𝑃 ∧ −𝑄
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V V V F F
F F F V F V F
30. Tipos
importantes
de tautologías
Definición 7. Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos expresiones lógicas y
si 𝐴 ⇒ 𝐵 es una tautología, decimos que
𝐴 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝐵 , y escribimos 𝐴 ⇛
𝐵.
Definición 8. Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos expresiones
lógicas y si 𝐴 𝑦 𝐵 siempre tienen el mismo valor
de verdad, entonces se dice que
𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 , y
escribimos 𝐴 ≡ 𝐵, si y solo si 𝐴 ⇔ 𝐵 es una
tautología .
31. Consideraciones especiales
Para distinguir entre 𝐴 ≡ 𝐵 y 𝐴 ⇔ 𝐵 , se utiliza
frecuentemente el término equivalencia material para la
equivalencia 𝐴 ⇔ 𝐵, como opuesto a la 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎,
denotada por ≡. De la misma manera, se dice que 𝐴 implica
materialmente a 𝐵 para 𝐴 ⇒ 𝐵 y que 𝐴 implica lógicamente a
𝐵 para 𝐴 ⇛ 𝐵.
32. Consideraciones especiales
𝐴 es una tautología si 𝐴 ≡ 𝑉, y es una contradicción si 𝐴 ≡ 𝐹. Se puede
también mostrar con claridad que si 𝐴 es una tautología entonces 𝑉 ⇛ 𝐴,
y si 𝐴 es una contradicción, 𝐴 ⇛ 𝐹. Finalmente, a partir de 𝐴 ≡ 𝐵 se
puede concluir 𝐴 ⇛ 𝐵𝑦 𝐵 ⇛ 𝐴. Por lo tanto, toda equivalencia lógica
puede utilizarse para derivar dos implicaciones lógicas. En el caso inverso,
sí 𝐴 ⇛ 𝐵𝑦 𝐵 ⇛ 𝐴, siempre se puede concluir 𝐴 ≡ 𝐵.
33. Equivalencias lógicas y su
utilización.
𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑦 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜.
𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜.
Si 𝑃 ="el programa está bien escrito" y 𝑄 ="el programa está bien documentado",
entonces la primera de las dos afirmaciones se traduce en 𝑃 ∧ 𝑄, mientras que la
segunda se traduce en 𝑄 ∧ 𝑃. Al verificar la tabla de verdad para la conjunción, resulta
que: (𝑄 ∧ 𝑃) ⇔ ( 𝑃 ∧ 𝑄) es una tautología.
35. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
◦ É𝑙 𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑜 é𝑙 𝑛𝑜 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑜.
◦ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 é𝑙 𝑒𝑠𝑡é 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑠𝑒𝑎 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑜.
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 las afirmaciones de que él es honesto y de que él está bien
informado, respectivamente. La primera afirmación representa −𝑃 ∨ −𝑄 ,
mientras que la segunda se traduce como −(𝑃 ∧ 𝑄). Nuestra afirmación es que
las dos expresiones son lógicamente equivalentes; esto es,
−( 𝑃 ∧ 𝑄) ⇔ (−𝑃 ∨ −𝑄) es una tautología.
36. Tautología y razonamiento lógico
La última columna muestra que la expresión en cuestión es una tautología, lo que
significa que las dos afirmaciones en cuestión son lógicamente equivalentes. La
equivalencia lógica demostrada en la Tabla de verdad es importante y se denomina Ley
de De Morgan
𝑃 𝑄 −𝑃 −𝑄 (𝑃 ∧ 𝑄) −(𝑃 ∧ 𝑄) −𝑃 ∨ −𝑄 −(𝑃 ∧ 𝑄) ⇔ (−𝑃 ∨ −𝑄)
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V
37. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
◦ Si las mercancías no fueron entregadas, el cliente no puede haber pagado.
◦ Si el cliente ha pagado, las mercancías deben de haber sido entregadas.
Si 𝑄 𝑦 𝑃 representan "las mercancías fueron entregadas" y "el cliente
pagó", respectivamente, entonces estas dos afirmaciones se traducen en:
−𝑄 ⇒ − 𝑃 𝑦 𝑃 ⇒ 𝑄. 𝑃 ⇒ 𝑄 𝑦 − 𝑄 ⇒ − 𝑃 ,son contrarrecíproco
cada uno del otro.
38. Tautología y razonamiento lógico
La Tabla de verdad muestra que los contrarrecíprocos son lógicamente
equivalentes; esto es, −𝑄 ⇒ −𝑃 ≡ 𝑃 ⇒ 𝑄 La equivalencia lógica es establecida
mediante las dos últimas columnas de la tabla, las cuales son idénticas.
𝑃 𝑄 −𝑃 −𝑄 −𝑄 ⇒ −𝑃 𝑃 ⇒ 𝑄
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
39. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
◦ 𝑃 𝑦 𝑄 tienen el mismo valor de verdad.
◦ Si 𝑃, entonces 𝑄, y si 𝑄, entonces 𝑃.
La segunda afirmación se puede reformular como "𝑃 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑄". La
conversión de las dos afirmaciones a la lógica es directa. La primera
afirmación se convierte en 𝑃 ⇔ 𝑄 y la segunda ( 𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ ( 𝑄 ⇒ 𝑃).
40. Tautología y razonamiento lógico
La Tabla de verdad muestra que estas dos expresiones son lógicamente
equivalentes.
𝑃 𝑄 𝑃 ⇔ 𝑄 𝑃 ⇒ 𝑄 𝑄 ⇒ 𝑃 (𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ (𝑄 ⇒ 𝑃)
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V
Sean las expresiones (𝑃 ⇔ 𝑄 = y ( 𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ ( 𝑄 ⇒ 𝑃).
41. Algebra
Declarativa
En el álgebra declarativa se manipulan
expresiones lógicas, esto es, expresiones
donde las variables y las constantes
representan valores de verdad.
Analizar la expresión
𝑎 + 𝑏 − 𝑏, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑎