Este documento presenta los conceptos básicos de las proposiciones lógicas, incluyendo los conectivos lógicos (conjunción, disyunción, implicación, bicondicional), formas proposicionales, leyes del álgebra de proposiciones y métodos de demostración (directo, reducción al absurdo, contrario positivo). También introduce los conceptos de circuitos lógicos y su representación mediante conexiones en serie y paralelo.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
CATEDRA ESTRUCTURA DISCRETAS I
PROPOSICIONES
ALUMNA:
Andrade Thalía
C.I: 23.595.015
CABUDARE, NOVIEMBRE 2012

2. Proposiciones
Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje, sea éste
un lenguaje común, cuando adopta la forma de oración gramatical, o simbólico, cuando se
expresa por medio de signos o símbolos.
Los conectivos lógicos de una proposición
Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra,
denominada proposición molecular.
1. Conjunción (Se simboliza: " ∧ ", se lee: " y "). Se denota por: p∧q.
P Q p∧q
V V V
V F F
F F F
F F F
El valor de verdad para dos proposiciones p∧q , es verdadero un únicamente cuando
ambas son verdaderas. En todos los demás casos son falsos.
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 4 es menor que 7 (V)
q: 4 es igual a 7 (F)
La conjunción de ambas es:
4 es menor que 7 y 4 es igual a 7
Su valor de verdad según la tabla es V ∧ F = F

3. 2. Disyunción inclusiva o débil (Se simboliza: “ v ”, se lee: “ O ” ). Se denota: p v q.
P q pvq
V V V
V F V
F F V
F F F
El valor de verdad para ambas proposiciones p v q, es falsa únicamente cuando
ambas son falsas. En todos los demás casos es verdadero.
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 5 es menor que 7 (V)
q: 5 es igual a 7 (F)
La disyunción de ambas son:
5 es menor que 7 o 5 es igual a 7
Su valor de verdad según la tabla es V v F= V
3. Disyunción exclusiva o fuerte (Se simboliza: “ ”, se lee: “ O...O... ” ).
Se denota: p q.
P q p q
V V F
V F V
F F V
F F F

4. El valor de verdad para dos proposiciones p q, es falsa cuando ambas son falsas
o ambas son verdaderas. En todos los demás casos es verdadero.
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: Me llevas al cine (V)
q: Me llevas a bailar (F)
La disyunción exclusiva es:
O me llevas al cine o me llevas a bailar
Su valor de verdad según la tabla es V F=V
4. Implicación o Condicional: (Se simboliza “ ” , se lee “si… entonces…”)
P q p q
V V V
V F F
F F V
F F V
El valor de verdad para dos proposiciones p q, es falso únicamente cuando el
antecedente “p” es verdadero y el consecuente “q” es falso. En todos los demás casos es
verdadero.
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 2 es menor que 5 (V)
q:2 es igual a 5 (F)
La implicación es:
Si 2 es menor que 5 entonces, 2 es igual a 5

5. Su valor de verdad según la tabla es V F=F
5. Bicondicional ( Se simboliza: “ ”, se lee: “ Si y sólo si ” ). Se denota “ p q
” y se lee: “ p si y sólo si q ”.
P Q p q
V V V
V F F
F F F
F F V
El valor verdad para dos proposiciones p q, es verdad únicamente cuando “p” y
“q” son ambas verdaderas o ambas falsas. En el resto de los casos es falsa.
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 4 es menor que 7 (V)
q: 4 es igual que 7 (F)
La bicondicional es:
Si 4 es menor que 7, si y solo si, 4 es igual a 7
Formas proposicionales
Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables
proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan.
Estas formas proposicionales se representan con las letras mayúsculas del alfabeto español
A, B, C..
Una de las propiedades de la forma de expresión matemática, es la de representar los
objetos, las imágenes mentales, los vínculos y las relaciones mediante símbolos (signos), y
combinarlos entre sí.
-Una constante es un signo que tiene una determinada significación fija. Es decir; una
constante tiene, en todo el desarrollo de una investigación o en la solución de una tarea,

6. siempre la misma significación.
-Una variable es un signo que representa cualquier elemento de un dominio básico
previamente establecido. Esto quiere decir que una variable se puede sustituir por el signo
de cualquier elemento del dominio básico. Entonces se habla de la sustitución de la
variable, o de la interpretación de la variable.
Por término entendemos las constantes, las variables y sus combinaciones mediante los
signos de operación y los signos técnicos. Los términos son, por tanto, las denominaciones
de los objetos matemáticos o las combinaciones de signos donde se presentan variables,
constantes y signos de operaciones, y que mediante la interpretación de las variables se
omiten en las designaciones de los objetos matemáticos. El objeto matemático, identificado
como un término, y en cuya denominación se omite este calificativo después de la
interpretación de las variables, se conoce como valor del término.
Leyes de Algebra
Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden
demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del algebra
de proposiciones son las siguientes:
1. EQUIVALENCIA
P⇔P
2. INDEPOTENCIA
P∧P ⇔P
P∨ P ⇔P
3. ASOCIATIVA
P∨Q ∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q∨R)
P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R ⇔ P∧(Q∧R)
4. CONMUTATIVA
P∧Q⇔ Q∧P
P∨Q⇔ Q∨P
5. DISTRIBUTIVAS
P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R)

7. P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)
6. IDENTIDAD
P∧F ⇔ F
P∧V⇔ P
P∨F⇔ P
P∨V⇔V
7. COMPLEMENTO
P∧¬P⇔F
P∨¬P⇔V
¬(¬P)⇔P
¬F⇔V
¬V⇔F
8. DE MORGAN
¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q
¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q
9. ABSORCION
P∧(P∨Q)⇔P
P∨(P∧Q)⇔p
Métodos de demostración en Matemática e Ingeniería
Un método de demostración es un esquema argumentativo válido con fundamento lógico
no perteneciente en si a la matemática sino como elemento propio de una metateoría. La
validez de la argumentación radica en la veracidad de las hipótesis consideradas para
deducir una conclusión.
Método directo de demostración
En el método de demostración directa se tiene como hipótesis verdaderas las proposiciones
H1 y H2 y… y Hn procediendo a la deducción de que la conclusión Q es verdadera a

8. través de un proceso lógico deductivo, es decir como una cadena de implicaciones lógicas.
El esquema de demostración en el método directo es de la forma:
Si H1 y H2 y … y Hn entonces Q
en forma simbólica:
H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn → Q
El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de inferencia
clásica o esquema argumentativo válido llamado: Modus Ponens
[ P∧ (P→Q) ] →Q Modus Ponens
que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la conclusión Q
entonces la conclusión Q es verdadera.
Métodos de demostración indirectos:
El método de demostración directa no siempre es aplicable debido a la naturaleza de las
proposiciones a demostrar, por lo que es necesario realizar una demostración indirecta las
cuales son ampliamente usadas en matemáticas.
Método de demostración por reducción al absurdo
Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la invención del
método de reducción al absurdo que utilizaba en sus argumentos y en sus famosas
paradojas, desde entonces es un método ampliamente aplicado en matemáticas.
El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo una
proposición de la forma (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn )↔ Q consiste en:
1) Negar la conclusión Q utilizando las leyes de la lógica, la negación de Q es denota por
¬Q que se lee “no Q”
2) El conjunto de hipótesis ahora es de la forma H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ∧¬Q, es decir que ¬Q
se añade como una hipótesis
3) Del conjunto de hipótesis enunciadas en H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ∧ ¬¬¬Q →→→ C, es
decir que el conjunto de hipótesis
4) obtener una contradicción evidente, una contradicción es una proposición que siempre
es falsa y es denotada por C, en forma simbólica:
{H1, H2, … ,Hn,¬Q} es inconsistente o contradictorio.

9. R4) entonces Q es verdadera por la obtención de una contradicción al suponer verdadera
la negación de Q
Aristóteles fundamento lógicamente la demostración por reducción al absurdo en dos
principios: principio de no contradicción ¬(p∧ ¬q) considerada ley suprema de la lógica
según Kant y Aristóteles, que significa que una proposición no es verdadera y falsa
simultáneamente y el principio del tercero excluido (p∨ ¬p) que significa que una
proposición es verdadera o falsa. Si no son aceptados los principios anteriores, el método
de reducción al absurdo carece de fundamento lógico.
El fundamento lógico del método de reducción al absurdo es la equivalencia lógica
llamada precisamente reducción al absurdo:
(P→Q)↔[(P ∧ ¬Q)→C]
Método de demostración por el contrario positiva
El método de demostración por el contrario positiva es un método indirecto que tiene como
fundamento la equivalencia lógica
(P→Q)↔(¬Q→¬P)
Para realizar una demostración por el contrario positiva se toma como hipótesis la negación
de la conclusión escrita como ¬Q para obtener como conclusión la negación de la hipótesis
escrita como ¬P. El esquema argumentativo de la deducción por el contrario positiva es de
la forma:
¬Q
_¬Q→¬P_
¬P
Circuitos lógicos
Un circuito es un sistema físico compuesto por varios cables conductores
conectados entre si por conectores (o circuito lógico elemental o atómico) de diferente tipo.

10. Conexión en serie, la cual se representa como p ∧ q
Conexión en paralelo se representa como p v q