nociones de logica

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Esp. Colodro Rosana Mabel
Nociones de Lógica
La lógica es muy importante; ya que permite resolver problemas a los que nunca se ha
enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos
conocimientos acumulados.
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un
nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido
un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar
teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los
programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos;
y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas.
Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier
actividad.
La lógica simbólica, en matemática, tiene como finalidad reducir procedimientos
verbales complicados a simples dispositivos de letras y símbolos.
Exactamente lo mismo que los números son los elementos básicos de un conjunto
numérico, las proposiciones simples son los elementos de la lógica.
En lógica comenzamos con las proposiciones simples, las cuales usaremos para formar
proposiciones más complicadas.
El tema que nos ocupa es el de la lógica usada en matemática. Aquí trabajamos con
elementos básicos llamados proposiciones.
Proposiciones
Definición: Una proposición es toda oración respecto de la cual puede decirse si es
verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.
Ejemplo 1:
4 es múltiplo de 2.
Los números pares son divisibles por 2.
Son las cuatro de la tarde con cuarenta y cinco minutos.
El 12 es el duplo de 6.
(5). (9) = 59
Dada una proposición, cabe preguntar entonces si es verdadera o falsa. La veracidad o
falsedad de una proposición es lo que se llama su valor de verdad. Llamaremos 𝑉
(verdadero) o 𝐹(falso) a los valores de verdad de las proposiciones.

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Esp. Colodro Rosana Mabel
Si la proposición es verdadera, diremos que su valor de verdad es 𝑉 y si es falsa,
diremos que su valor de verdad es 𝐹. Así, por ejemplo, el valor de verdad de es 𝑉 y
el valor de verdad de es 𝐹.
Por otro lado, expresiones que no cumplen esta propiedad no son proposiciones lógicas.
Ejemplo 2:
1) Ven a verme.
2) ¡Viva la libertad!
3) ¿Está lloviendo?
4) Él está triste.
La primera y segunda frase tampoco son proposiciones lógicas porque no están
afirmando nada y no podemos asignarles un valor de cierto o falso. La tercera es una
pregunta y aunque se pueda responder con un cierto o falso, la pregunta en si no tiene
un valor de verdad por lo que tampoco cuenta como proposición lógica. La cuarta podría
ser una proposición lógica, pero "él está" es una afirmación muy ambigua y cualquier
persona podría ocupar la posición de "él", por lo que la proposición tendría el valor de
cierto o falso dependiendo de la persona a la que se aplicara, debido a esto no puede
tener un valor de verdad absoluto y no puede ser una proposición lógica.
Notación: Se suelen representar las proposiciones mediante las letras minúsculas
𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, …
Si 𝑝 es una proposición, su valor de verdad se denotara con 𝑣(𝑝). Si queremos expresar
que 𝑝 es verdadera, escribiremos 𝑣(𝑝) = 𝑉 y si es falsa 𝑣(𝑝) = 𝐹.
Ejemplo 3: Sea la proposición: 𝑝: “𝐿𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 25 𝑒𝑠 5, 𝑜 − 5”
Su valor de verdad es falso, es decir 𝑣൫𝑝൯ = 𝐹.
Operaciones con proposiciones
Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica
se estudian operaciones entre proposiciones. Definiremos las operaciones entre
proposiciones en el sentido siguiente: dadas una o dos proposiciones, cuyos valores de
verdad se conocen, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor
de verdad. Para ello se ha de tener en cuenta el “buen sentido”. Es decir, se puede
operar entre proposiciones y para ello se utilizan ciertos símbolos, llamados conectivos
lógicos.

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Esp. Colodro Rosana Mabel
Conectivos lógicos
Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones compuestas mediante
operaciones lógicas.
Las principales operaciones lógicas son: negación, conjunción, disyunción,
condicional y bicondicional.
Consideremos los siguientes símbolos y sus operaciones asociadas:
Conectivo Operación asociada Significado
~ Negación No 𝑝, no es cierto que 𝑝
˄ Conjunción o producto
lógico
𝑝 y 𝑞
˅ Disyunción o suma lógico 𝑝 o 𝑞
⇒ Implicación o condicional Si 𝑝 entonces 𝑞 o 𝑝 implica 𝑞
⇔ Doble implicación 𝑝 si y solo si 𝑞
A continuación, desarrollaremos cada una de estas operaciones:
Negación
Se llama 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 de la proposición 𝑝 a la que se obtiene colocando la palabra
“𝑛𝑜” antes de la misma. En símbolos: ~𝑝, se lee 𝑛𝑜 𝑝 o 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝.
Si 𝑝 es una proposición , ~𝑝 también lo es y su valor de verdad es 𝑉 si 𝑣(𝑝) = 𝐹
y es 𝐹 si 𝑣(𝑝) = 𝑉
Podemos construir la tabla de valor de verdad siguiente:
𝒑 ~𝒑
𝑽 𝑭
𝑭 𝑽
La negación es una operación unitaria puesto que opera sobre una sola
proposición 𝑝 , a quien le hace corresponder la proposición ~𝑝.
Nota: El arreglo que nos permite tener los posibles valores de verdad de una
proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones
componentes se llama una tabla de verdad.

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Ejemplo 4: Sea la proposición
𝑝: 39 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
Cuyo valor de verdad es 𝑣(𝑝) = 𝐹, entonces su negación es:
~𝑝: 39 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
Cuyo valor de verdad es 𝑣(~𝑝) = 𝑉
Observación: Si bien es cierto que, de acuerdo a la definición, para formar la
negación basta con anteponer la palabra “𝑛𝑜” a la proposición, en el lenguaje
cotidiano la costumbre es colocar la palabra “𝑛𝑜” junto al verbo o si se quiere
tenerla al principio podemos recurrir a giros como “𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒”.
Conjunción
La 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se
relacionan con el conectivo lógico ˄ .
Ejemplo 5: Sean las siguientes proposiciones
𝑝: 39 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
𝑞: 25 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
A partir de estas dos proposiciones, uniéndolas mediante la conjunción
obtenemos una nueva proposición:
𝑝˄𝑞: 39 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑦 25 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
Tiene sentido afirmar que 𝑝˄𝑞 es verdadero o falso, pues es una proposición. En
este caso podemos decir que 𝑝˄𝑞 es una proposición falsa pues para que sea
verdadera la conjunción exige el cumplimiento de ambas proposiciones, entonces
𝑣(𝑝˄𝑞) = 𝐹
La tabla de valores de verdad de la conjunción es la siguiente:
𝒑 𝒒 𝒑˄𝒒
𝑽 𝑽 𝑽
𝑽 𝑭 𝑭
𝑭 𝑽 𝑭
𝑭 𝑭 𝑭

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Disyunción
Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el
conectivo lógico ˅. La disyunción solo es falsa cuando las dos proposiciones
componentes son falsas. En el uso habitual del lenguaje, esta operación
establece una alternativa: alguna de las dos componentes debe cumplirse.
Ejemplo 6: Sean las siguientes proposiciones
𝑝: 39 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜
𝑞: 25 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
A partir de estas dos proposiciones, uniéndolas mediante la disyunción
obtenemos una nueva proposición:
𝑝˅𝑞: 39 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑜 25 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
La tabla de valores de verdad de la disyunción es la siguiente:
𝒑 𝒒 𝒑˅𝒒
𝑽 𝑽 𝑽
𝑽 𝑭 𝑽
𝑭 𝑽 𝑽
𝑭 𝑭 𝑭
Observación: La conjunción y la disyunción son operaciones binarias, en el
sentido de que cada dos proposiciones 𝑝 y 𝑞 le asignan una nueva proposición.
Implicación o Condicional
Dos proposiciones simples 𝑝 y 𝑞 relacionadas por el conectivo lógico ⇒
conforman la proposición compuesta llamada condicional o implicación.
Al relacionar dos proposiciones con este conectivo es muy importante distinguir
lo que queda a la izquierda del signo “⇒” a la cual se llama 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒, de la
que queda a la derecha del signo, a la que se llama 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝑝
ณ
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ 𝑞
ณ
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
El sentido de este conectivo es señalar que, si la proposición 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 es
verdadera, también lo es la proposición 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒; es decir, basta o es

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suficiente que el antecedente sea verdadero, para que el consecuente también
sea verdadero.
De aquí que una proposición compuesta en la que el conectivo es el condicional,
será falsa si siendo verdadero el antecedente, es falso el consecuente. La
proposición será verdadera en los demás casos, en los que no ocurre que el
antecedente es verdadero y el consecuente falso.
La tabla de verdad de la implicación es, entonces:
𝒑 𝒒 𝒑 ⇒ 𝒒
𝑽 𝑽 𝑽
𝑽 𝑭 𝑭
𝑭 𝑽 𝑽
𝑭 𝑭 𝑽
Nota: la implicación tiene una importancia relevante en matemática pues muchas
de sus propiedades o teoremas están enunciadas en función de la misma. Y es
por ello que los métodos de demostración están basados en ella.
Distintas formas de leer una implicación:
Existen diferentes maneras de enunciar una implicación. Todas las afirmaciones
siguientes significan lo mismo:
𝑝 ⇒ 𝑞
Si 𝑝 entonces 𝑞
𝑝 es suficiente para 𝑞
𝑞 es necesario para 𝑝
𝑞 si 𝑝
𝑝 solo si 𝑞
Ejemplo 7: Sean las siguientes proposiciones
𝑝: 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 426 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3
𝑞: 426 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 3
La proposición compuesta condicional es:
𝒑 ⇒ 𝒒: "𝑆𝑖 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 426 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 3"

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Ejemplo 8: Sea la proposición:
𝑆𝑖 28 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 2
Donde:
antecedente → 𝑝: "28 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟"
consecuente → 𝑞: "28 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 2"
La misma proposición también puede leerse:
1. 28 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 28 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 2
2. 28 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 2
3. 28 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 2 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
4. 𝐸𝑠 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 28 𝑠𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 2
5. 𝐸𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 28 𝑠𝑒𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑟
Doble implicación o bicondicional o equivalencia
Dadas dos proposiciones cualesquiera 𝑝 y 𝑞 la doble implicación bicondicional o
equivalencia es la proposición 𝑝 ⇔ 𝑞 que se lee “𝑝 si y solo sí 𝑞”. Esta
proposición significa que si 𝑝 es verdadera, entonces 𝑞 también es verdadera y
si 𝑞 es verdadera, entonces 𝑝 también es verdadera.
A continuación, definimos la tabla de valores de verdad de la doble implicación y
además construimos la tabla de valores de verdad de la conjunción de dos
implicaciones:
𝒑 𝒒 𝒑 ⇔ 𝒒
𝑽 𝑽 𝑽
𝑽 𝑭 𝑭
𝑭 𝑽 𝑭
𝑭 𝑭 𝑽
𝒑 𝒒 𝒑 ⇒ 𝒒 𝒒 ⇒ 𝒑 (𝒑 ⇒ 𝒒)˄(𝒒 ⇒ 𝒑)
𝑽 𝑽 𝑽 𝑽 𝑽
𝑽 𝑭 𝑭 𝑽 𝑭
𝑭 𝑽 𝑽 𝑭 𝑭
𝑭 𝑭 𝑽 𝑽 𝑽
Observemos que los valores de la última columna de ambas tablas son
exactamente los mismos, como era de esperarse, ya que definimos la doble
implicación como la conjunción de dos implicaciones que, según veremos en
seguida, llamaremos directa y recíproca, la una de la otra.
Cuando dos expresiones tienen la misma tabla de verdad, para los distintos
valores asignados a sus letras, se dice que son lógicamente equivalentes.

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Ejemplo 9: Sea la proposición:
𝑇 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑇 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
Es la doble implicación de las proposiciones:
𝑝: 𝑇 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜
𝑞: 𝑇 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
En símbolos: 𝑝 ⇔ 𝑞
Las proposiciones compuestas pueden combinarse o conectarse con otras para formar
proposiciones aún más complejas. Es claro que el valor de verdad de una proposición,
por compleja que sea, depende de los valores de verdad de las proposiciones que las
componen en sus formas más simples.
Para hacer la tabla de verdad de una proposición asignamos una columna a cada
proposición que interviene, sea ésta simple o compuesta, normalmente comenzando
con las más simples y progresando en el orden de complejidad de las proposiciones
componentes.
El número de filas de la tabla queda dado por la potencia 𝟐𝒏
, donde 𝒏 es el número
de proposiciones en la forma más simple que constituyen la proposición dada.
Para asignar los valores de verdad a dichas proposiciones se procede de esta forma: la
primera columna se llena asignando valores 𝑉 a la mitad de las filas y valores 𝐹 a la
segunda mitad. La segunda columna se llena asignando valores 𝑉 a un cuarto de las
filas, valores 𝐹 al segundo cuarto, valores 𝑉 al tercer cuarto y valores 𝐹 al último cuarto.
La tercera columna se llena asignando valores 𝑉 a un octavo de las filas, valores 𝐹 al
segundo octavo, valores 𝑉 al tercer octavo, etcétera. Así, se continúa hasta que
terminen las columnas de las proposiciones más simples. Las columnas de las otras
proposiciones se llenan a partir de las columnas de las proposiciones más simples que
éstas.
Tautología, contradicción y contingencia
Las fórmulas cuyo valor de verdad es siempre verdadero cualquiera sea el conjunto de
valores de sus proposiciones componentes, se llaman tautologías. Las fórmulas cuyo
valor de verdad es siempre falso, se llaman contradicciones. Aquellas fórmulas que
no son tautologías ni contradicciones se denominan contingencias.
Ejemplo 10: Determina si las siguientes formulas son tautologías, contradicciones o
contingencias:
a) 𝒑˅~𝒑 b) 𝒒˄~𝒒 c) ~(~𝒑)

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Solución: Para determinar lo solicitado se debe construir las correspondientes tablas de
valores de verdad
a) .
𝑝 ~𝑝 𝒑˅~𝒑
𝑉 𝐹 𝑽
𝐹 𝑉 𝑽
b) .
𝑞 ~𝑞 𝒒˄~𝒒
𝑉 𝐹 𝑭
𝐹 𝑉 𝑭
c) .
𝑝 ~𝑝 ~(~𝒑)
𝑉 𝐹 𝑽
𝐹 𝑉 𝑭
Observamos que la primera fórmula es una tautología, la segunda es una
contradicción y la tercera es una contingencia.
Implicaciones asociadas
Dada la implicación 𝑝 ⇒ 𝑞, que llamaremos directa, se definen las siguientes
implicaciones asociadas a la dada:
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒂: ~𝑝 ⇒ ~𝑞
𝑹𝒆𝒄í𝒑𝒓𝒐𝒄𝒂: 𝑞 ⇒ 𝑝
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒆𝒄í𝒑𝒓𝒐𝒄𝒂: ~𝑞 ⇒ ~𝑝
Mostraremos a continuación que la directa y la contrarecíproca son lógicamente
equivalentes, para ello se construye la tabla de valores de verdad respectiva:
𝒑 𝒒 𝒑 ⇒ 𝒒
𝑽 𝑽 𝑽
𝑽 𝑭 𝑭
𝑭 𝑽 𝑽
𝑭 𝑭 𝑽
𝒑 𝒒 ~𝒒 ~𝒑 ~𝒒 ⇒ ~𝒑
𝑽 𝑽 𝑭 𝑭 𝑽
𝑽 𝑭 𝑽 𝑭 𝑭
𝑭 𝑽 𝑭 𝑽 𝑽
𝑭 𝑭 𝑽 𝑽 𝑽
Vemos que, para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de 𝑝 y 𝑞, las
implicaciones directa y contrarecíproca tienen exactamente los mismos valores de
verdad. Lo mismo ocurre si se realizan las tablas de verdad de la contraria y de la
reciproca: ambas resultan equivalentes.
Tarea: mostrar esta última afirmación.
Ejemplo 11: Escribe las implicaciones asociadas a la dada y analice su valor de verdad
“𝑆𝑖 2 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 0 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟”

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𝑎𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑝: 2 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 → 𝑞: 0 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
Solución:
𝑅𝑒𝑐í (
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑞 ⇒ 𝑝): 𝑆𝑖 0 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
(
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎 ~𝑝 ⇒ ~𝑞): 𝑆𝑖 2 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒𝑐í (
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑎 ~𝑞 ⇒ ~𝑝): 𝑆𝑖 0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 2 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
𝑣൫𝑝 ⇒ 𝑞൯ = 𝑉
𝑣൫𝑞 ⇒ 𝑝൯ = 𝑉
𝑣൫~𝑝 ⇒ ~𝑞൯ = 𝑉
𝑣൫~𝑞 ⇒ ~𝑝൯ = 𝑉
Negación de una implicación
Se observa, a través de la tabla que se mostrará a continuación, que las proposiciones
~(𝒑 ⇒ 𝒒) y 𝒑˄~𝒒 son lógicamente equivalentes
𝒑 𝒒 𝒑 ⇒ 𝒒 ~(𝒑 ⇒ 𝒒) ~𝒒 𝒑˄~𝒒
𝑽 𝑽 𝑽 𝑭 𝑭 𝑭
𝑽 𝑭 𝑭 𝑽 𝑽 𝑽
𝑭 𝑽 𝑽 𝑭 𝑭 𝑭
𝑭 𝑭 𝑽 𝑭 𝑽 𝑭
Observamos que la negación de una implicación no es una implicación sino la
conjunción entre el antecedente y la negación del consecuente.
Formas proposicionales y cuantificadores
Una forma proposicional en una variable o indeterminada 𝑥 es toda oración en la que
figura 𝑥 como sujeto u objeto directo, es decir es un enunciado abierto, que tiene la
propiedad de convertirse en proposición al ser sustituida la variable 𝑥 por una constante
especifica.
Se denota así: 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥), 𝑒𝑡𝑐

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Ejemplo 12: Sea 𝑝(𝑥): 𝑥 + 5 = 12
Donde:
o si reemplazamos 𝑥 por 3 la proposición es falsa
o si reemplazamos 𝑥 por 7 la proposición es verdadera
𝑝(3): 3 + 5 = 12 es falsa
𝑝(7): 7 + 5 = 12 es verdadera
Es decir, una forma proposicional se convierte en un proposición verdadera para
algunos valores de 𝑥 y en una propocision falsa para otros valores de 𝑥.
Cuantificadores
Son expresiones “PARA TODO” o “ALGUNOS”, etc que se anteponen a una forma
proposicional para transformarla en proposición.
El cuantificador universal PARA TODO se denota por el símbolo: ∀
 Si utilizamos el cuantificador universal podemos escribir la proposición de la
siguiente manera: ∀𝑥 ∶ 𝑝 (𝑥) o bien ∀𝑥 , 𝑝 (𝑥) y se puede leer de las siguientes
formas:
 Para todo 𝑥, 𝑝 (𝑥)
 Todo 𝑥, 𝑝 (𝑥)
 Ningún 𝑥 cumple 𝑝 (𝑥)
Ejemplo 13: ∀𝒙 ∈ 𝑹: 𝒙𝟐
≥ 𝟎
Se lee: “Para todo 𝑥 perteneciente a los reales, 𝑥 al cuadrado es mayor o igual a cero”
El cuantificador existencial ALGUNOS se denota por: ∃
 Si utilizamos el cuantificador existencial podemos escribir ∃𝑥 ∶ 𝑝 (𝑥) o
∃𝑥 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝 (𝑥) y se puede leer de las siguientes maneras:
 Existe 𝑥, tal que 𝑝 (𝑥)
 Hay un 𝑥, tal que 𝑝 (𝑥)
 Algún 𝑥, tal que 𝑝 (𝑥)
 Algunos 𝑥 cumplen con 𝑝 (𝑥)
Ejemplo 14: ∃𝒙 ∈ 𝑹: 𝟐𝒙𝟐
− 𝟖 = 𝟎
Se lee: “Existe algún 𝑥 perteneciente a los reales tal que 2 por 𝑥 al cuadrado menos 8
es igual a cero”

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Negación de los cuantificadores
Veremos ahora la negación de proposiciones que contienen cuantificadores, la
negación de dichas proposiciones se realiza negando la proposición 𝑝(𝑥) y cambiando
el cuantificador universal por el cuantificador existencial, o viceversa. Así:
~ ቀ∀𝑥 ∶ 𝑝 (𝑥)ቁ ⇔ ∃𝑥 ∶ ~𝑝 (𝑥)
~ ቀ∃𝑥 ∶ 𝑝 (𝑥)ቁ ⇔ ∀𝑥 ∶ ~𝑝 (𝑥)
Observación: cuando hablamos de negar un cuantificador, cometemos un abuso de
lenguaje, porque lo que se niega es la proposición obtenida cuando a la forma
proposicional le anteponemos un cuantificador.
Métodos de demostración
En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se construye
su demostración formal, aunque la proposición sea válida para un número finito de
casos no significa que sea válida para todo el universo.
El problema de la construcción de una demostración consiste en preparar una serie de
pasos que conduzcan a la proposición deseada. No hay caminos automáticos para
hacerlo, es algo que se adquiere con la práctica. Es decir, a demostrar se aprende
demostrando, no hay algoritmos de demostración, solo métodos generales, cuyo
conocimiento nos puede servir para realizar una demostración. Como los teoremas
matemáticos tienen generalmente formas de implicaciones, vamos a ver los métodos
de demostrar implicaciones.
Los métodos de demostración que vamos a estudiar aquí son los siguientes:
Método directo de demostración
Métodos indirectos de demostración:
 por reducción al absurdo
 por contrarecíproca
Método del contraejemplo
Detallaremos a continuación cada uno de ellos:
Método directo(𝑝 ⇒ 𝑞)
Este método es aplicado cuando se desea mostrar la veracidad del consecuente
𝑞, a partir de una proposición que es considerada como verdadera. La tabla de
verdad de la implicación muestra que, si queremos demostrar la veracidad de

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𝑝 ⇒ 𝑞, es suficiente con demostrar que 𝑞 es verdadera siempre que 𝑝 lo sea, pues
se ve que 𝑝 ⇒ 𝑞 siempre es verdadera cuando 𝑝 es falsa.
Ejemplo 15: Demuestra por el método directo la siguiente implicación:
“𝑆𝑖 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟”
Demostración:
𝑎 y 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 por hipótesis
𝑎 = 2𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 por def.de número par
𝑏 = 2𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 por def.de número par
𝑎 + 𝑏 = 2𝑛 + 2𝑘 ley uniforme de la suma
𝑎 + 𝑏 = 2(𝑛 + 𝑘), 𝑛 + 𝑘 ∈ 𝑍 prop. distributiva del producto
𝑎 + 𝑏 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 por def. de número par
𝑐. 𝑞. 𝑑
Método Indirecto
 Por contrarecíproca
La siguiente equivalencia (𝒑 ⇒ 𝒒) ⇔ (~𝒒 ⇒ ~𝒑) da lugar a una variante del
método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como
método del contrarecíproco.
Este método puede resumirse así: supongamos que se quiere demostrar que
una proposición específica es teorema o propiedad y al intentar su
demostración por el método directo no logramos obtener la conclusión
deseada. Se procede entonces a demostrar por el método directo su
contrarecíproca, si se consigue este objetivo entonces queda establecida la
validez de 𝑝 ⇒ 𝑞 al hacer sustitución por equivalencia.
Ejemplo 16: Demuestra el siguiente teorema:
“𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
⏟
𝑥2
𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜
⏟
𝑥
𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟”
Solución:
Si se emplea el método directo, se tiene:
𝑥2
es impar por hipótesis
𝑥2
= 2𝑛 + 1, 𝑛 ∈ 𝑍 por def. de número par
𝑥 = √2𝑛 + 1
Pero, ¿qué podemos decir de √2𝑛 + 1?
No podemos decir que este número es par ni tampoco que es impar. Esta
imposibilidad de obtener la conclusión buscada nos lleva a cambiar la estrategia.

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Procedamos ahora a demostrar su contrarrecíproco por el método directo. El
enunciado del contrarecíproco corresponde a:
𝑆𝑖 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥2
𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
Demostración:
𝑥 es un número par por hipótesis
𝑥 = 2𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 por def. de numero par
𝑥2
= (2𝑛)2
= 4𝑛2
= 2(2𝑛2), 𝑘 = 2𝑛2
∈ 𝑍 por prop. uniforme y Asociatividad del
producto
𝑥2
= 2𝑘 por def. de número par
Por tanto 𝑥2
es par
𝑐. 𝑞. 𝑑.
Como se ha demostrado la contrarecíproca de la proposición dada, entonces se
concluye que la misma es verdadera.
 Método por reducción al absurdo
Para demostrar una proposición de la forma 𝑝 ⇒ 𝑞 mediante la técnica por
reducción al absurdo, es necesario poder construir una contradicción en el
cuerpo de la demostración. Recordemos que una contradicción es una
proposición que resulta siempre falsa, independientemente del valor de verdad de
las proposiciones que la componen. Esta contradicción puede lograrse de varias
formas. Por ejemplo:
 Un número que sea positivo y negativo a la vez
 Un número real que sea la raíz cuadrada de un número negativo
Este método consiste en negar la implicación dada, es decir suponer la verdad de
𝑝˄~𝑞 (negación de 𝑝 ⇒ 𝑞) y analizar las consecuencias de dicha negación. Si
llegamos a obtener una contradicción es decir si mostramos que 𝑝˄~𝑞 es falsa,
diremos 𝑝 ⇒ 𝑞 es verdadera.
Este método también se enuncia del siguiente modo:
“Para demostrar que 𝑝 ⇒ 𝑞 es verdadera, se construye un absurdo suponiendo
que la tesis 𝑞 es falsa y usando la veracidad de la hipótesis 𝑝”
Ejemplo 17: Demostrar que
“𝑆𝑖 √2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 √2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙”

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Solución:
Supongamos por reducción al absurdo que √2 es un número racional(negación
de la tesis), entonces escribimos:
√2 =
𝑎
𝑏
𝑐𝑜𝑛 𝑎 𝑦 𝑏 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖
Elevando al cuadrado a ambos miembros
2 =
𝑎2
𝑏2
Entonces
2𝑏2
= 𝑎2
Sabemos que 𝑎2
es par, por definición de número par. Luego 𝑎 también es par,
es decir: 𝑎 = 2𝑐
Sustituimos en la formula anterior, tenemos:
2𝑏2
= 𝑎2
= (2𝑐)2
= 4𝑐2
2𝑏2
= 4𝑐2
Simplificando
𝑏2
= 2𝑐2
De esta última igualdad concluimos que 𝑏2
es un número par, es decir 𝑏 es par
al igual que 𝑎 lo cual CONTRADICE que 𝑎 y 𝑏 son primos entre si
Con lo cual la hipótesis de partida: √2 es un número racional es FALSA , es
decir √2 es un número irracional
𝑐. 𝑞. 𝑑.
Método del contraejemplo
Este método se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de
proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un “cuantificador
universal”. Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición que
tenga una conclusión referida para “todos los elementos de un cierto conjunto”.
Ejemplo 18:
𝑇𝑜𝑑𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟.
Demostración: Para demostrar que esta generalización es falsa; debe presentarse
un número que sea primo y no sea impar.
Contraejemplo: 2 es un número primo y no es impar

16. 16
Esp. Colodro Rosana Mabel
Bibliografía
1. Rojo Armando. (2006). Álgebra I. Editorial El Ateneo.
2. Zill D., Dewar J. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Editorial Mc
Graw Hill.
3. Diaz E., Zapata L., Puga C. (2008). Notas de Introducción a la Matemática. UNSa.