ARITMETICA 1 ejercicios de aplicacion(1).docx

ARITMÉTICA
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
ADUNI SCHOOL
COMPENDIO ACADÉMICO DE:
SECUNDARIA
1
ADUffiI
School
Ea4cqc¡óy qp 5ás qp4o y¡vep
PUCALLPA

5
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
TEMA
1 Teoría de conjuntos
2 Operaciones con conjuntos
3 Problemas con conjuntos
4 Números naturales ( )
Adición y sustracción ( )
6 Multiplicación y división ( )
7 Potenciación y Radicación en
8 Progresión aritmética
9 Múltiplos y divisores de un número
10 Criterio de divisibilidad
11 Números primos y compuestos
12 Números enteros ( )
13 Adición y sustracción en
14 Multiplicación y división en
15 Potenciación y radicación en
16 Operaciones combinadas en
17 Fracciones y su clasificación
5
13
21
29
35
43
50
58
65
72
79
86
93
100
107
115
122
ÍNDICE ARITMÉTICA 1 AÑO

TEMA 18 Adición y sustracción de fracciones 130
TEMA 19 Multiplicación y división de fracciones 138
TEMA 20 Números decimales 146
TEMA
TEMA
21 Fracción generatriz de un número decimal 154
22 Adición y sustracción de decimales 161
TEMA 23 Multiplicación y división de decimales 169
TEMA 24 Potenciación y radicación con decimales 176
TEMA 25 Razones 184
TEMA 26 Proporciones 191
TEMA 27 Magnitudes proporcionales 199
TEMA 28 Regla de tres simple 207
ÍNDICE ARITMÉTICA 1 AÑO

5
TEMA 01
Teoría de conjuntos
ADUNI SCHOOL
¿EN CUÁNTAS REDES SOCIALES TIENES PERFIL ACTIVO?
Las redes sociales han sido para esta generación más que un medio de comunicación, un medio para
relacionarse con amigos, conocidos y familiares lejanos. Se realizó una encuesta a 100 jóvenes para saber cuáles
son las redes sociales en las que los estudiantes mantienen perfiles activos. 85 de los estudiantes tienen perfil
en Facebook, 70 en Instagram, 80 en Tik Tok y 75 en WhatsApp.
VALORESYACTITUDES
Valoramos la importancia
del uso correcto de las redes
sociales
Reflexiona sobre el uso
correcto de las redes
sociales y los peligros a los
que estás expuesto por su
uso incorrecto.
RAZONANDO...
 ¿Podrías determinar cuántas personas
usan más de dos redes sociales?
 ¿Podrías determinar cuántas personas
usan solos dos redes sociales?
 Con respecto a la pregunta anterior, ¿po-
drías determinar el número de personas
que usan todas las redes sociales?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
¿Qué
aprenderemos
hoy?
Representar
gráficamente un
conjunto y su
clasificación a
través de ejemplos
cotidianos.

6
CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos si
no tienen ningún elemento en
común.
Ejemplo
M = {x/x es un número par}
N = {x/x es un número impar}
Los conjuntos A y B son
disjuntos.
RECUERDA QUE…
1
5
3 7
A
B = {5; 6; 7; 8; 9}
B = {x/x  ; 5  x < 10
Ejemplo 1
Representa por extensión el siguiente conjunto:
E = {vocales de la palabra eucalipto}
Solución
E = {e, u, a, i, o}
Ejemplo 2
Representa por comprensión el siguiente conjunto:
A = {1; 4; 9; 16; 25; 36; 49}
Solución
A = {x2
/x  ; 1  x  7}
ADUNI SCHOOL
NOCIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto es una reunión, agrupación o colección de objetos bien
definidos que pueden ser personas, animales, números, letras, etc.
Dichos objetos reciben el nombre de elementos del conjunto.
REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO
Podemos representar los conjuntos de dos maneras:
I. Simbólicamente (Entre llaves)
II. Gráficamente (diagrama de Venn)
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Para determinar un conjunto, debemos indicar con precisión todos sus
elementos. Un conjunto se puede determinar de dos formas:
 Por extensión: se debe nombrar todos y cada uno de sus elementos .
 Por comprensión: se debe nombrar todos y cada uno de sus ele-
mentos.
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
A = {1; 3; 5; 7}

7
INCLUSIÓNDECONJUNTOS
Se dice que un conjunto A está
incluido en un conjunto B, si
todos los elementos de A per-
tenecen a B.
Se denota como A  B y se lee
«A está incluido en B» o tam-
bién A es un subconjunto deB.
Ejemplo
A = {b; c; d; e}
B = {x/x es una letra del abe-
cedario}
Todos los elementos de A per-
tenecen al conjunto B, entonces:
A  B
TEN EN CUENTA QUE…
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Un elemento pertenece a un conjunto si es parte del conjunto.
Si: A = {2; 5; 9; 11}
Observamos que:
 2 pertenece a A: 2  A
 5 pertenece a A: 5  A
 4 no pertenece a A: 4  A
CLASIFICACIÓN DE UN CONJUNTO
I. Conjunto Finito
Tiene un número limitado de elementos
A = {x/x es un estudiante del Colegio Ciencias}
II. Conjunto Infinito
Tiene un número ilimitado de elementos, es decir, que no tiene fin.
B = {x/x es un numero natural}
III. Conjunto Vacío
No tiene elementos. Se le conoce también como conjunto nulo. Se
representa simbólicamente así: { } o 
C = {x/x es impar, 5 < x < 7} = { }
IV. Conjunto Unitario
Es el conjunto que tiene un solo elemento
C = {x/x es par, 11 < x < 13} = {12 }
ADUNI SCHOOL
Aritmética / 1ER.
Año
Ejemplo 3
Clasifica cada uno de los siguientes conjuntos:
I. B = {8; 8; 8; 8; 8}
II. M = {x/x  , 10 < x < 11}
III. A = {x/x  , 15 < x < 20}
IV. P = {4; 8; 12; 16; ….}
Solución
Representamos cada conjunto por extensión:
I. B = {8; 8; 8; 8; 8} = {8}
(conjunto unitario)
II. M = {x/x  , 1 0 < x < 11} = { }
(conjunto vacío)
III. A = {x/x  , 15 < x < 20} = {16, 17, 18, 19}
(conjunto finito)
IV. P = {4; 8; 12; 16; ….}
(conjunto infinito)
«La Matemática no es un reco-
rrido prudente por una auto-
pista despejada, sino un viaje
a un terreno salvaje y extraño,
en el cual los exploradores se
pierden a menudo.»
(W. S. ANGLIN)
SaBíDURIA
ADUffiI
School
PUCALLPA

8
Verificando el aprendizaje
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico Resolución
1. Si A = {x – 1 / 
posición incorrecta:
I. A tiene 5 elementos
II.10  A
III.5  A
a) Solo I
b) Solo II
Resolución
c) Solo I y II
d) Solo II y III
-
4. Determina por comprensión el conjunto:
A = {7; 11; 15; 19; 23; 27}
a) {4x + 3 / x  , 1 ≤ x ≤ 6}
b) {4x + 3 / x  ,1 ≤ x < 6}
c) {4x + 3 / x  , 1 < x < 6}
d) {8x – 1 / x  , 1 ≤ x < 6}
Resolución
2. Calcula la suma de elementos del siguiente con-
junto:
a) 12
b) 13
Resolución
B = {(x + 2)/ x  , 3 < x ≤ 5}
c) 10
d) 9
Nivel Intermedio
5. Determina por extensión el siguiente conjunto:
M = {x² / x  , 1 ≤ x ≤ 4}
3. Si el conjunto A es unitario, calcula el valor de a²,
sabiendo que:
a) {1; 4; 9}
b) {1; 16}
c) {1; 4; 9; 16}
d) {1; 4; 9; 16; 25}
Resolución
a) 1
b) 9
A = {2a + 7; 15}
c) 16
d) 25
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

9
6. Si D = {x / x  , 5x + 3 = 48}, entonces D es un
conjunto:
a) Infinito
b) Vacío
ADUNI SCHOOL
Nivel Avanzado
9. Si E es un conjunto unitario, calcula xy
.
E = {10; x + 7 : 12 – y}
c) Unitario
d) Finito
a) 4
b) 9
c) 16
d) 25
Resolución
Resolución
7. Si el conjunto M es vacío, ¿cuál es el valor de m?
M = {x2
/ x  , 5 < x < m}
10. Si b3
 y M es conjunto vacío, encuentra el va-
lor de b.
a) 2
b) 3
Resolución
c) 1
d) 6
a) 4
b) 9
Resolución
M = {x / x  , 7 < x < b3
}
c) 6
d) 2
8. Si R = {2x / x  , x ≥ 9, x es par}, entonces R es
un conjunto:
a) Infinito
b) Vacío
c) Unitario
d) Finito
Resolución
11. Conociendo que n[P(A)] =64 y n[P(B)] =128
Calcule n(A) + n(B) + 2
5
a) 3 b) 4 c) 2
d) 5 e) 7
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

10
ADUNI SCHOOL
12. Siendo
A={2; 3; 4; 7; 8}
n[P(B)] = 16
Hallen n[P(A)] + n(B)
a) 4 b) 16 c) 20
d) 32 e) 36
Resolución
15. La suma del número de subconjuntos unitarios
con el número de subconjuntos binarios de A es
igual a 55. Halle n(A).
a) 5 b) 8 c) 10
d) 12 e) 15
Resolución
13. Si n(A) – n(B)=2, además, el número de subcon-
juntos de A excede al número de subconjuntos de
B en 768. Halle n(A).
a) 10 b) 20 c) 40
d) 50 e) 59
Resolución
14. Sabiendo que el conjunto
A={a+b; a+2b – 2; 10}
es un conjunto unitario. Dé el valor de a2
+b2
.
a) 16 b) 80 c) 68
d) 58 e) 52
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

11
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. Si A = {x / x  -
ción incorrecta:
I. A tiene 2 elementos
II.9  A
III.7  A
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo I y II
d) Solo II y III
Resolución
Resolución
4. Determina por comprensión el conjunto:
A = {8; 13; 18; 23; 28; 33}
a) {5x + 3 / x  , 1 ≤ x ≤ 6}
b) {5x + 3 / x  , 1 ≤ x < 6}
c) {5x + 3 / x  , 1 < x < 6}
d) {5x – 1 / x  , 1 ≤ x < 6}
Resolución
2. Calcula la suma de elementos del siguiente con-
junto:
a) 32
b) 36
Resolución
B = {2x / x  , 5 ≤ x ≤ 7}
c) 40
d) 39
3. Si el conjunto A es unitario, calcula el valor de a²,
sabiendo que:
5. Determina por extensión el siguiente conjunto:
M = {x3
/ x  , 2 ≤ x ≤ 4}
a) {8; 27; 64; 125}
b) {8; 27}
c) {27; 64}
d) {8; 27; 64}
Resolución
a) 1
b) 9
A = {a3
– 7; 20}
c) 16
d) 25
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

12
Tarea
ADUNI SCHOOL
1. Si D = {2x / x  , 6x – 3 = 50}, entonces D es un
conjunto:
4. Si E es un conjunto unitario, calcula xy
.
E = {14; x + 2 : 14 – y}
a) Infinito
b) Vacío
c) Unitario
d) Finito
Resolución
a) 4
b) 9
Resolución
c) 1
d) 5
2. Si el conjunto M es vacío, ¿cuál es el valor de m?
5. Si b6
 y M es conjunto vacío, encuentra el va-
lor de b².
M = {x / x  , 63 < x < b6
}
a) 2
b) 3
Resolución
M = {x2
/ x  , m < x < 7}
c) 1
d) 6
a) 4
b) 9
Resolución
c) 6
d) 2
3. Si R = {3x / x  , x ≥ 10, x es impar}, entonces R
es un conjunto:
a) Infinito
b) Vacío
c) Unitario
d) Finito
Resolución
Aritmética / 1ER.
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ADUffiI
School
PUCALLPA

13
TEMA
Operaciones con conjuntos
02
ADUNI SCHOOL
HACER EJERCICIOS ES BUENO PARA LA SALUD
Hacer ejercicios constituye una actividad que debemos practicar a cualquier edad. Ayuda a mantenernos
activos, nuestro cuerpo se siente mejor y nuestra mente se distrae de la rutina diaria. Es una práctica que
debemos realizar a lo largo de nuestras vidas, pues ello constituye un buen hábito. Por ello, el profesor les ha
preguntado a cincuenta estudiantes cuál es su actividad física favorita. 10 estudiantes respondieron que solo les
gusta el fútbol y 5 respondieron que solo les gusta correr, a 20 niños no les gusta ni correr ni el futbol.
VALORESYACTITUDES
Valoramos la actividad físi-
ca como un buen hábito
¿Consideras importante
en tu vida la práctica de
actividades físicas? ¿Por
qué?
RAZONANDO...
 Según el planteamiento anterior, ¿a cuán-
tos estudiantes les gusta el futbol?
 Con respecto al planteamiento anterior,
¿a cuántos estudiantes les gusta correr?
 ¿A cuántos estudiantes les gustan ambas
actividades?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
¿Qué
aprenderemos
hoy?
Planteamos
situaciones de la
vida diaria que nos
permitan realizar
operaciones con
conjuntos.

14
CARDINAL DE UN
CONJUNTO
Indica la cantidad de elemen-
tos que tiene el conjunto. Se
denota por n(A) y se lee: «car-
dinal de A».
Ejemplo
A = {0; 2; 7; 6; 11}
n(A) = 5
RECUERDA QUE…
CONJUNTO UNIVERSAL
(U)
Es un conjunto de referencia
que contiene a otros conjun-
tos. Por ejemplo, si nos re-
ferimos a los estudiantes del
colegio Ciencias, el conjunto
universal (U) es el conjunto de
todos los estudiantes de nues-
tra institución.
TEN EN CUENTA
INTERSECCIÓN ()
El conjunto (A  B) está formado por todos los elementos comunes de ambos conjuntos.
Gráficamente, tenemos lo siguiente:
A B A B A
B
A  B A  B = { } A  B = B
A  B = {x / x  A  x  B}
DIFERENCIA (–)
El conjunto (A – B) está formado por todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B.
A – B = {x / x  A  x  B}
ADUNI SCHOOL
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
UNIÓN O REUNIÓN ()
El conjunto (A  B) son todos los elementos de A y todos los
elementos de B.
A  B = {x / x  A  x  B}
A B A B
A  B A  B
A
B
A  B = A

15
U
AC
A’ = AC
= {x / x  U  x  A}
A B A B A A
B B
A – B A – B = A A – B B – A = 
conjunto A  B.
DIFERENCIA SIMÉTRICA ()
El conjunto (A  B) está formado por todos los elementos del conjunto A  B que no pertenecen al
A  B = {x / x  (A  B)  x  (A  B)}
A B A B A
B
A  B A  B = A – B
A  B = A  B
ADUNI SCHOOL
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
(A’ o AC
)
El conjunto (A’ o AC
) está formado por todos los
elementos del conjunto universal (U) que no
pertenecen al conjunto A.
A
Ejemplo
De acuerdo a los conjuntos:
U = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
P = {4; 5; 6; 7; 8} y A = {6; 7; 8; 9; 10}
determina (P  A)’.
Solución
Graficamos.
U
P A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Del gráfico: P  A = {4; 5}  {9; 10} = {4; 5; 9; 10}
Luego: (P  A)’ = {2; 3; 6; 7; 8; 11}
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

16
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico
1. Dados los conjuntos;
A = {2; 4; 8; 9}
B = {3; 4; 6; 7; 9}
halla A  B.
a) {2; 4; 8; 9}
b) {2; 6; 8; 9}
c) {2; 6; 7; 8}
d) {2; 3; 6; 7; 8}
Resolución
Resolución
4. Dados:
A = {3x – 1 / x  , 1 ≤ x < 4}
B = {2; 3; 5; 7; 9}
Elige la expresión correcta:
a) A  B = {2; 5; 6}
b) A  B = {2; 5}
c) A  B = {2; 5; 6; 9}
d) A B = {2; 5; 8}
Resolución
2. Si A = {2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8} y B = {2x / x , 1 < x < 8},
determina por extensión A U B.
a) {2; 3;4; 5; 6; 7; 8}
b) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10}
c) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 12}
d) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 12; 14}
Resolución
Nivel Intermedio
5. Dados:
M = {x / x  es un divisor de 24}
N = {x / x  es un divisor de 12}
Determina el valor de n(M – N).
3. Siendo P = {x/x es un dígito del número 5843} y
A = {x + 2 / x  ;3 < x < 8}, encuentra A  P.
a) {6; 8}
b) {8}
c) {5; 6; 8}
d) {6; 7; 8}
a) 3
b) 2
Resolución
c) 4
d) 5
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

17
6.Dados:
R = {2x /x  ; 4 < x < 8} y
E = {x2
/ x  ; 2 < x < 6}.
Halla la suma de todos los elementos de R  E.
Resolución
ADUNI SCHOOL
a) 93
b) 82
Resolución
c) 84
d) 86
Nivel Avanzado
7. Dados los conjuntos:
9. Sean los conjuntos:
P = {3x + 5 /x  ; 0 < x < 4}
R = {5x /x  ; 1 ≤ x ≤ 3}
M = {4; 5; 8; 9; 11}
Calcula n[(M  P) – R].
U = {x /x  ; 2 < x < 15}
R = {2x /x  ; 1 < x < 6}
P = {4; 5; 6; 7; 8}
Calcula (R  P)’.
a) {3; 9; 11; 12; 13}
b) {3; 9; 11; 12; 13; 14}
c) {3; 9; 11; 12; 14}
d) {11; 12; 13; 14}
Resolución
a) 3
b) 2
Resolución
c) 4
d) 1
10. Si n(B) = 20; n(C) = 26 y n(B  C) = 16
Calcula n(B – C) + n(C – B).
8. Si n(A) = 28, n(B) = 36 y n(A  B) = 46,
calcula n(A – B):
a) 12
b) 14
Resolución
c) 10
d) 13
a) 12
b) 14
c) 10
d) 13
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

18
ADUNI SCHOOL
11. Sean A y B dos conjuntos tales que
n(A)=5
n(B)=6
n(A  B) = 2
Halle n[P(AB)].
a) 4 b) 8 c) 16
d) 32 e) 512
Resolución
Resolución
12. Siendo A y B dos conjuntos tales que
n(AB)=24
n(A-B)=10
n(B-A)=6
¿Cuál es el valor de 2.n(A)-n(B)?
a) 18 b) 21 c) 22
d) 20 e) 19
Resolución
14. Para dos conjuntos A y B de U(universo) tal que
n(A)=12
n(AB)=3
n(B)=11
n(U)=20
Calcule n(AB).
a) 10 b) 15 c) 17
d) 12 e) 13
Resolución
13. Siendo A y B dos conjuntos tales que
n(AB)=57
n(AB)=29
n(B-A)=16
Halle n(B)-n(A).
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
15. A={1; 2; 3}
B={2; x; 4}
A  B={2; x}
Calcule la suma de los cuadrados de los valores
que puede tomar x
a) 4 b) 6 c) 9
d) 10 e) 14
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

19
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. Dados los conjuntos;
A = {5; 6; 9; 11}
B = {3; 5; 9; 12}
halla A  B.
a) {3; 5; 8; 9}
b) {3; 6; 8; 9}
c) {3; 6; 11; 12}
d) {3; 6; 7; 9; 11}
Resolución
Resolución
2. Si:
A = {4; 5; 6 ; 7; 8; 9; 10} y B = {3x / x  , 3 < x < 6},
determina por extensión A  B.
a) {4; 5; 6; 7; 8}
b) {4; 5; 6; 7; 8; 10}
c) {4; 5; 6; 7; 8; 10; 12}
d) {4; 5; 6; 7; 8; 10; 12; 15}
Resolución
4. Dados:
A = {2x + 1 / x  , 2 ≤ x ≤ 4}
B = {5; 7; 9; 10; 12}
Elige la expresión correcta.
a) A  B = {5; 6}
b) A  B = {5; 7}
c) A  B = {5; 6; 9}
d) A B = {5; 7; 9}
Resolución
5. Dados:
M = {x / x  es un divisor de 30}
N = {x / x  es un divisor de 15}
Determina el valor de n(M – N).
3. Siendo P = {x/x es un digito del número 49852 } y
A ={x – 2/x  ; 4 < x ≤ 9}, encuentra A  P.
a) {4; 8}
b) {4; 5}
c) {4; 5; 6; 8}
d) {4; 6; 7; 8}
a) 3
b) 2
Resolución
c) 4
d) 5
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

20
Tarea
ADUNI SCHOOL
1. Dados:
R = {3x /x  ; 1 < x < 5} y E = {x² / x  ; 1 ≤ x < 5}.
Halla la suma de todos los elementos de R  E.
Resolución
a) 30
b) 39
Resolución
c) 40
d) 36
4. Sean los conjuntos:
P = {2x + 3 /x  ; 0 < x < 4}
R = {3x /x  ; 1 < x ≤ 4}
M = {5; 8; 9; 11; 13}
Calcula n[(M  P) – R].
2. Dados los conjuntos:
U = {x /x  ; 3 < x < 15}
R = {3x – 1 /x  ; 2 < x ≤ 5}
P = {6; 7; 8; 11; 12}
Calcula (R  P)’.
a) {4; 5; 9; 10; 13}
b) {4; 9; 11; 12; 13; 14}
c) {4; 9; 11; 12; 14}
d) {11; 12; 13; 14}
Resolución
a) 3
b) 2
Resolución
c) 4
d) 1
5. Si n(B) = 30; n(C) = 46 y n(B  C) = 20
Calcula n(B – C) + n(C – B).
a) 32
b) 34
Resolución
c) 30
d) 36
3. Si n(A) = 30, n(B) = 38 y n(A  B) = 56,
calcula n (A – B).
a) 12
b) 14
c) 10
d) 18
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

21
TEMA 03
Problemas con conjuntos
ADUNI SCHOOL
LA 5° MARAVILLA DEL MUNDO
Machu Picchu es considerada la 5° maravilla del mundo antiguo desde el 2007, tras un concurso internacional
patrocinado por New Open Word Corporation. Su belleza arquitectónica, su indudable valor histórico y una
atmósfera mágica, hacen de Machu Picchu el mejor lugar de Perú para ser visitado por los turistas. Se dice
que dicho monumento recibe al día un promedio de 4000 personas. Algunas visitan en temporada seca, otras
prefieren hacerlo en la temporada de lluvias, para otras personas es indiferente la época del año, solo quieren
ir a conocer el lugar.
VALORESYACTITUDES
Valoramos la belleza históri-
ca del Perú
¿Consideras importante
conocer sobre la historia
del Perú?
RAZONANDO...
 Representa gráficamente y con un dia-
grama de Venn los turistas que prefieren
visitar Machu Pichu en época de lluvias.
visitar Machu Pichu en época seca.
visitar Machu Pichu en cualquier época.
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
¿Qué
aprenderemos
hoy?
Resolveremos
problemas de
tres conjuntos
comparables,
empleando
situaciones de la vida
diaria.

22
Un diagrama de Lewis Carroll es
un diagrama usado para agru-
par cosas de una manera sí/no.
Son llamados así en alusión a
Lewis Carroll, el seudónimo
de Charles Lutwidge Dodg-
son, el famoso autor de Alicia
en el País de las Maravillas,
quien también era matemático.
SaBías QUE…
Ejemplo 1
De un total de 60 deportistas que practican futbol o vóley, se sabe que 38 practican futbol y 32 practican
vóley. ¿Cuántos practican ambos deportes?
Solución
Graficamos:
F N
a b c
Del dato:
 Practican futbol o vóley: a + b + c = 60…… (1)
 Practican futbol: a + b = 38 ……… (2)
 Practican vóley: b + c = 32……(3)
 Practican futbol y vóley: b = ?
Sumamos (2) y (3), entonces:
a + b + b + c = 38 + 32 = 70….............(4)
Reemplazamos (1) en (4)
60 + b = 70  b = 10
Luego, 10 deportistas practican ambos deportes.
ADUNI SCHOOL
Analizamos los siguientes casos:
PARA DOS CONJUNTOS
Dados:
A = {estudiantes que les gusta matemática}
B = {estudiantes que les gusta lenguaje}
U
A B
a b c d
Se cumple que:
 a: estudiantes que solo les gusta matemática
 c: estudiantes que solo le gusta lenguaje
 b: estudiantes que les gusta matemática y lenguaje
 d: estudiantes que no les gusta matemática ni lenguaje
 a + b: estudiantes que les gusta matemática
 b + c: estudiantes que les gusta lenguaje
 b + c: estudiantes que les gusta lenguaje
 a + b + c: estudiantes que les gusta matemática o lenguaje
 a + c: estudiantes que solo les gusta un curso
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
El Teorema de Carroll tam-
bién puede ser empleado en
conjuntos disjuntos.
REcUERDa QUE…

23
Ejemplo 2
En un grupo de 80 estudiantes del Colegio Ciencias, se sabe que 72 estud-
ian diversas lenguas: 25 estudian solo alemán; 12 estudian solo inglés:
15 estudian francés, pero no alemán ni inglés; 10 estudian alemán y francés;
8 estudian alemán e inglés; además los que estudian inglés y francés eran la
décima parte del total de estudiantes. ¿Cuántos estudiaban los 3 idiomas?
Solución
Graficamos:
De los datos: 25 + 10 – x + x + 8 – x + 15 + 8 – x + 12 = 72  x = 3
Luego, los que estudiaban los tres idiomas eran 3 estudiantes.
La relación de inclusión se da
entre conjuntos y subconjun-
tos. Es correcto decir que un
subconjunto está incluido en
un conjunto mayor, pero no es
correcto decir que un subcon-
junto pertenece a un conjunto
mayor.
La relación de inclusión tiene
un símbolo específico para el
conector «está incluido»  y
para el conector «no está in-
cluido» .
TEN EN CUENTA…
PARA TRES CONJUNTOS
Dados:
A = {personas que cantan}
B = {personas que recitan}
C = {personas que bailan}
U
A B
a
b
c
d
y
f
e g
C
Se cumple:
 a: personas que solo cantan
 c: personas que solo recitan
 e: personas que solo bailan
 b: personas que solo cantan y recitan
 d: personas que solo cantan y bailan
 f: personas que solo recitan y bailan
 y: personas que hacen las tres actividades a la
vez
ADUNI SCHOOL
 b + d + f: personas que solo hacen dos actividades
 b + d + f + y: personas que al menos hacen dos
actividades
 a + c + e: personas que solo hacen una actividad
 g: personas que no hacen ninguna actividad
 d + y: personas que cantan y bailan
 y + f: personas que recitan y bailan
 b + y: personas que cantan y recitan
Aritmética / 1ER.
Año
SaBías QUE…
Comprender la teoría
de conjuntos nos per-
mite utilizar los conjun-
tos como herramienta
para analizar, clasificar
y ordenar los conoci-
mientos adquiridos de-
sarrollando la compleja
red conceptual en que
almacenamos nuestro
aprendizaje.
10 U = 80
A F
25
10 – x 15
x
8 – x 8 – x
8
12
8
I
ADUffiI
School
PUCALLPA

24
10.
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico
1. En la Av. Abancay se observa que 35 personas
pintan y 28 dibujan. Si 10 personas dibujan y pin-
tan a la vez, ¿cuántas personas solamente pintan?
Resolución
a) 25
b) 20
Resolución
c) 30
d) 14
4. De 110 personas, 60 no leen y 50 no escriben. Si
se sabe que 20 solo leen, ¿cuántas personas leen y
escriben?
a) 30
b) 20
Resolución
c) 15
d) 25
2. En un salón de 50 alumnos se conoce que 30 de
ellos prefieren arroz con pollo, 25 prefieren ce-
viche y 13 prefieren ambos platillos. ¿Cuántos
alumnos no prefieren ninguno de estos platillos?
a) 5
b) 9
Resolución
c) 8
d) 11
Nivel Intermedio
5. Durante el mes de julio, Luisa juega 19 días vóley
y 15 días tenis. Si descansa 4 días, ¿cuántos días
practica los dos deportes en un mismo día?
3. Una encuesta realizada entre 82 madres de fami-
lia arrojó el siguiente resultado: 43 saben costu-
ra, 47 saben repostería, 58 saben tejido, 19 saben
costura y repostería, 28 saben costura y tejido, 30
saben repostería y tejido, 11 saben las tres ocupa-
ciones. ¿Cuántas amas de casa saben solo una de
las tres especialidades?
a) 3
b) 2
Resolución
c) 5
d) 7
a) 15
b) 16
c) 27
d) 19
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

25
3.
6. De 120 amistades que tengo, 90 juegan Playsta-
tion5 y 70 juegan Nintendo Switch. ¿Cuántos jue-
gan ambos juegos, si cada uno juega por lo menos
alguno de estos entretenimientos?
Resolución
ADUNI SCHOOL
a) 50
b) 30
Resolución
c) 20
d) 40
Nivel Avanzado
7. De 60 deportistas, se observa que 24 de ellos prac-
tican futbol, 26 practican básquet y 25 practican
tenis; 13 practican futbol y básquet; 10 practican
básquet y tenis, 9 practican futbol y tenis. Si 6
9. De 400 alumnos, se sabe con certeza que: 110 es-
tudian Matemática, 240 estudian Geografía, 190
estudian Literatura, 80 estudian Matemática y
Geografía, 100 estudian Geografía y Literatura,
50 estudian Matemática y Literatura, 40 estudian
los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian por lo
menos dos de los cursos mencionados?
practican los tres deportes, ¿cuántos no practican
ninguno de estos deportes?
a) 175
b) 160
c) 150
d) 190
a) 15
b) 11
Resolución
c) 12
d) 10
Resolución
8. De un grupo de estudiantes que llevan por lo me-
nos uno de los tres cursos que se indican, se sabe
10. A una reunión asisten 50 personas: 26 de ellas
prefieren refrescos de naranja; 24 de piña; y 12 no
prefieren ninguno de estos sabores. ¿Cuántos pre-
fieren solo un tipo de refresco?
que: 70 estudian Lenguaje, 40 estudian Química,
40 estudian Matemática, 15 estudian Matemática
y Química, 20 estudian Matemática y Lenguaje,
25 estudian Lenguaje y Química; 5 estudian los
tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en total?
a) 14
b) 12
Resolución
c) 26
d) 10
a) 75
b) 60
c) 95
d) 90
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

26
ADUNI SCHOOL
11. De un grupo de 100 encuestados se sabe que 42
no beben y 62 no fuman. Si 16 beben y fuman.
¿Cuántos ni fuman ni beben?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 24 e) 35
Resolución
Resolución
12. De un grupo de 55 personas, 25 hablan español,
32 quechua, 33 inglés y 5 los tres idiomas. ¿Cuán-
tas personas hablan sólo 2 de estos idiomas?
a) 15 b) 20 c) 25
d) 30 e) 28
Resolución
14. De 32 personas se sabe que 13 hablan inglés, 15
francés y 26 alemán. También se sabe que 9 per-
sonas sólo hablan un idioma, mientras que hay 12
que hablan exactamente 2 idiomas. ¿Cuántas per-
sonas no hablan estos idiomas?
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 5
Resolución
13. En una aula de 65 alumnos 46 aprueban Mate-
máticas, 30 aprueban Castellano, 35 Matemáticas
y Física, 18 Física y Castellano, 19 Matemáticas y
Castellano, 20 y 10 alumnos aprueban los 3 cur-
sos. ¿Cuántos no aprueban ninguno de los 3 cur-
sos, si 3 aprobaron sólo Física?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. En un grupo de 120 señoritas 48 son rubias, 44
son morenas y el resto son pelirrojas, 62 tienen
ojos azules, las otras los tienen cafés. Hay 15 ru-
bias de ojos azules, 16 pelirrojas de ojos azules,
¿cuántas morenas de ojos cafés hay en el grupo?
a) 13 b) 12 c) 11
d) 14 e) 15
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

27
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. De 150 amistades que tengo, 100 juegan Playsta-
tion4 y 80 juegan Monopolio. ¿Cuántos juegan
ambos juegos si cada uno juega por lo menos al-
gunos de estos entretenimientos?
a) 50 c) 20
b) 30 d) 40
Resolución
Resolución
4. De 150 personas, 80 no leen y 75 no escriben. Si
se sabe que 30 solo escriben, ¿cuántas personas
leen y escriben?
2. De 90 deportistas, se observa que 50 de ellos prac-
tican futbol, 40 practican básquet y 35 practican
tenis; 20 practican futbol y básquet; 15 practican
básquet y tenis, 25 practican futbol y tenis. Si 10
practican los tres deportes, ¿cuántos no practican
ningún de estos deportes?
a) 15 c) 12
b) 11 d) 10
Resolución
a) 30
b) 20
Resolución
c) 45
d) 25
5. Una encuesta realizada entre 100 padres de fami-
lia arrojó el siguiente resultado: 55 son ingenie-
ros, 70 son profesores, 80 son arquitectos, 30 son
ingenieros y profesores, 40 son ingenieros y ar-
quitectos, 50 son profesores y arquitectos, 20 tie-
nen las tres carreras. ¿Cuántos padres de familia
tienen solo una de las tres carreras?
3. Un grupo de estudiantes del Colegio Angel lleva
por lo menos uno de los tres cursos que se indi-
can, se sabe que: 80 estudian Lenguaje, 60 estu-
dian Física, 50 estudian Matemática, 20 estudian
Matemática y Física, 25 estudian Matemática y
Lenguaje; 30 estudian Lenguaje y Física; 15 estu-
dian los tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en
total?
a) 25
b) 36
Resolución
c) 27
d) 19
a) 75
b) 130
c) 95
d) 90
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

28
Tarea
ADUNI SCHOOL
1. En la Av. Javier Prado se observa que 50 personas
pintan y 40 dibujan. Si 20 personas dibujan y pin-
tan a la vez, ¿cuántas personas solamente dibu-
jan?
Resolución
a) 25
b) 20
Resolución
c) 30
d) 14
2. En un salón de 40 alumnos se conoce que 20 de
4. De un grupo de alumnos, se sabe con certeza que:
150 estudian Matemática, 200 estudian Geografía,
250 estudian Literatura, 100 estudian Matemática
y Geografía, 120 estudian Geografía y Literatura,
80 estudian Matemática y Literatura, 60 estudian
los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian por lo
menos dos de los cursos mencionados?
ellos prefieren aguadito, 30 prefieren causa y 15
prefieren ambos platillos. ¿Cuántos alumnos no
prefieren ninguno de estos platillos?
a) 175
b) 160
Resolución
c) 180
d) 190
a) 5
b) 9
Resolución
c) 8
d) 11
5. Durante el mes de marzo, Claudia juega 21 días
natación y 17 días tenis. Si descansa 6 días, ¿cuán-
tos días practica los dos deportes en un mismo
día?
3. A una reunión asisten 100 personas: 70 de ellas
prefieren refrescos, 60 prefieren gaseosa y 20 no
prefieren ninguna de estas dos bebidas. ¿Cuántos
prefieren solo un tipo de refresco?
a) 13
b) 12
Resolución
c) 15
d) 17
a) 24
b) 30
c) 26
d) 10
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

29
TEMA 04
Números naturales ( )
ADUNI SCHOOL
CONOCIENDO MÁS MUSEOS
Pablo quiere conocer los diferentes museos de la ciudad, para ello imprime un mapa del Centro de Lima con
las señales de ubicación de ellos, ¿podrá recorrer todos los museos en un día?
VALORESYACTITUDES
Valoración de lo nuestro.
¿Consideras importantes a
nuestros antepasados?
RAZONANDO...
 ¿Cuántos museos puede identificar
Pablo?
 ¿Cuántas parroquias se puede identifi-
car en el plano?
 Si solo se consideran los museos de arte
y museos arqueológicos, ¿Cuántos mu-
seos hay en total?
 ¿Cuántas estaciones se pueden identifi-
car en el plano?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
¿Qué
aprenderemos en
esta unidad?
Aprenderemos a
resolver problemas
expresando de forma
gráfica y simbólica
las relaciones de
orden entre números
naturales empleando
la recta numérica.

30
• Número
Es una idea que refiere a
cantidad.
• Numeral
Es la representación sim-
bólica del número.
IMpoRTANTE
EJEMPLO 1
 ¿Qué forman diez decenas, diez centenas de millar y diez millones?
100 + 1 000 000 + 10 000 000 = 11 000 100
 ¿Qué forman cien decenas de millar; mil centenas de millar, diez mil millones y un millón de
millones?
1000 000 000 + 100 000 000 + 10 000 000 000 + 1 000 000 000 000
= 10 111 000 000 000 000
 ¿Qué forman mil millares; diez millares, diez mil centenas, cien mil decenas?
1000 000 000 + 10 000 000 + 1000 000 + 1000 000 = 1012000000
ADUNI SCHOOL
El conjunto de los números naturales está formado por
infinitos números que se utilizan para contar y ordenar
cantidades. Estos números hicieron su aparición en
diferentes tiempos y en distintas culturas.
I. ¿QUÉ ES EL NÚMERO?
Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza, el cual nos da la idea de
cantidad.
II. SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es el conjunto de principios, reglas y acuerdos que rigen la formación y representación de números.
El sistema de numeración decimal o décuplo es un sistema posicional porque el valor de una cifra en un
número depende del lugar o posición que ocupa dicha cifra.
… C mil D mil U mil CM DM UM C D U
… 100000000 10000000 1000000 100000 10000 1000 100 10 1
… 108
107
106
105
104
103
102
101
10
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
RECUERDA
Representación de los números
naturales
= {0; 1; 2; 3; ...}
1u
0 1 2 3

31
Ejemplo 2
 ¿Cuántas unidades tiene una unidad de tercer orden?
Tiene 100 unidades
 ¿Cuántas unidades tiene una unidad de cuarto orden?
Tiene 1000 unidades
 ¿Cuántas unidades tiene una unidad de quinto orden?
Tiene 10 000 unidades
Ejemplo 3
Escribir los números:
 Trescientos cuatro mil seis
304 006
 Ciento dieciséis millones, trescientos ochenta y seis mil, qui-
nientos catorce
116 386 514
Ejemplo 4
Patricia, Walter, Kito y Lucero se encontraron en un restaurante,
y, mientras charlaban, se contaron que cada uno de ellos había
escalado diversos nevados, queriendo comparar quién había llegado
más alto. Patricia escaló el Huascarán a 6768 m; Walter el Yerupajá a
6617 m; Lucero el Huandoy a 6395 m y Kito el Huantsan a 6370 m,
¿quién llegó más alto?
Resolución
Comparando:
6370 < 6395 < 6617 < 6768
 Huantsan < Huandoy < Yerupajá < Huascarán
 Kito < Lucero < Walter < Patricia
III.RELACIÓN DE ORDEN
ADUNI SCHOOL
Toda cifra que conforma un numeral tiene asociado un orden, el cual se cuenta de derecha a izquierda a
partir de cero, así como también un lugar contado de izquierda a derecha.
ORDEN
… 6° 5° 4° 3° 2° 1° 0°
… 1 5 6 2 3 8 3
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

32
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico Escribe qué número forman los siguientes enunciados.
1. La distancia de la Tierra a la Luna es de tres-
cientos ochenta y cuatro mil cuatrocientos ki-
lómetros:
a) 384 000 km
b) 308 440 km
c) 384 400 km
d) 300 840 440 km
2. La población de China aproximadamente es de
mil trescientos noventa y cinco mil millones tres-
cientos ochenta mil personas
a) 1 359 380 000
b) 1 395 380 000
c) 1 396 038 000
d) 1 395 000 380
3. 4 CM + 2 UM + 4D + 7U sumado tenemos:
a) 4247
b) 40 247
c) 402 047
d) 400 247
4. El número que forma diez millones, tres centenas
de millar es:
a) 100 000 300
b) 10 300 000
c) 13 000 000
d) 1 300 000
Nivel Intermedio
5. Escribe V o F según corresponda
I. El número 2412 es menor que
4CM + 5C + 2U .......................................... ( )
II. Diez centenas de millar equivalen a 106
.... ( )
III.24centenasdemillarequivalena2400000.... ( )
6. Completa los siguientes espacios en blanco:
I. El mayor número de tres cifras es .
II. Para el número 25986, la cifra de 3er
orden es
.
III.Una unidad de octavo orden equivale a:
.
IV.El número 305 982 se escribe:
.
7. Cuatro centenas de millar, ocho mil centenas de
millar y seis millones.
8. Mil millares, siete millares, diez mil centenas y
cien mil decenas de millar.
Nivel Avanzado
9. M es menor que N, P es igual a Q, P es mayor que
N y Q es menor que S. ¿Cómo es M con relación
a S?
Resolución
10. En un examen, Rosa obtuvo menos puntos que
María, Laura menos que Edelmira, Noemí igual
que Sara, Rosa más que Carmelina, Laura igual
que María y Noemí más que Edelmira. ¿Quién
obtuvo más puntos de todas y quién menos?
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

33
11. El número posterior al posterior de:
7CM + 62UM + 11C + 59U es
Resolución
Resolución
ADUNI SCHOOL
12. El número mayor a setenta y nueve mil trescientos
cuarenta y cinco es:
Resolución
15. Aproxima 7CM + 62UM + 11C + 54U a la unidad
de millar más cercana.
Resolución
13. A Omar le dictan el número cincuenta y tres mil
doscientos sesenta y uno, pero al escribirlo cambia
el 3 por un 5 y el 2 por un 8. ¿En cuántas unidades
aumenta o disminuye el número que debió escribir?
Resolución
14. Aproxima 9CM + 87UM + 6C + 54U a la decena
de millar más cercana.
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

34
Autoevaluación
Tarea
ADUNI SCHOOL
I. El número 1253 es mayor que
I. Una unidad de séptimo orden equivale a:
.
II. Para el número 4569873, el número de 5to or-
den es: .
III. decenas son 7 unidades
de millar.
IV. El número 8965234 se escribe:
.
Escribe que número forman los siguientes enunciados:
2. Nueve centenas de millar, cinco mil decenas de
millar y tres millones.
3. Veinte mil millares, doce mil millares, dos mil
centenas y cuarenta y tres mil decenas de millar.
4. A es mayor que B, D es mayor que E, H es igual a
I, H es menor que F, F es igual a E, C es menor que
B y D es igual a C. ¿Cómo es A con relación a I?
Resolución
5. Carlos le dice a un amigo: Yo soy mayor que tú,
tú eres mayor que Enrique, Pedro y Juan son ge-
melos, Sofía es más joven que Juan y Pedro es más
joven que Enrique. ¿Cuál es el mayor?
Resolución
ADUffiI
School
PUCALLPA
1. Escribir el número 3DM + 8 UM + 5C + 2 D + 1 U. 4. El número que forma doce mil millones, seis de-
a) 308 521 cenas de centenas de millar.
b) 305 821 a) 12 060 000 000
c) 35 812 b) 12 000 006 000
d) 38 521 c) 12 006 000 000
d) 12 000 000 600
2. Al efectuar la suma de 500 000 + 32 000 + 850 + 8.
a) 532 858
b) 532 588
5. Escribe V o F según corresponda:
c) 50 032 858 3CM + 2C + 2U...................................... ( )
d) 823 588 II. Cinco centenas de millar equivale a
3. Trescientos mil setecientos cincuenta y cuatro.
a) 3 754
5 × 104
........................................................... (
III.Tres decenas de millar equivale a 30 000 .......(
)
)
b) 300 754
c) 30 754
d) 375 004

36
TEMA 05
Adición y sustracción ( )
ADUNI SCHOOL
CONSTRUYENDO TU PROPIA CASA
Alexander decide construir su propia casa, para ello decide pedir un préstamo al banco para comprar los
materiales que necesita y así empezar la construcción de su casa. Uno de sus primos se compromete a ayudarlo,
para acabar el trabajo a fin de año.
VALORESYACTITUDES
Valoración de tu propio
trabajo
¿Consideras más
importante el trabajo hecho
por ti mismo?
RAZONANDO...
 ¿Cuántos ladrillos puedes contar en la
imagen?
 Si Alexander compró 500 ladrillos y solo
utilizó 150 ladrillos para la pared mostra-
da, ¿cuántos le sobran?
 Si por cada pared utiliza 150 ladrillos,
y contando todas las paredes son 10,
¿cuántos ladrillo necesitará en total?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
¿Qué
aprenderemos en
esta unidad?
Emplea
procedimientos
y recursos
para realizar
operaciones con
números naturales

37
M - S = D
a + b = b + a
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c
 n  : n + 0 = 0 + n = n
ADUNI SCHOOL
La calculadora más sencilla y antigua que existe es el ábaco, una especie
de bastidor de madera para realizar operaciones matemáticas simples,
como sumar, restar, multiplicar o dividir. El aparato, que tiene su origen
en China hace más de tres mil años, tiene cuentas móviles ensartadas
en alambres horizontales que representan las unidades, las decenas, las
centenas, etc.
I. LEYES FORMALES DE LA ADICIÓN
❖ De clausura o cerradura; la suma de dos o más números natura-
les es otro número natural.
Si;
❖ Conmutativa; el orden de los sumandos no altera la suma total.
❖ Asociativa; dadas ciertas cantidades de sumandos, la suma total
también resulta al hacer grupos de sumandos.
❖ Elemento neutro; existe uno y sólo un elemento llamado Módu-
lo de la Adición o también Elemento Neutro Aditivo, que denota
por 0 (cero), tal que, para todo número “n” se cumple que:
Donde: 0 — Módulo de la Adición o Elemento Neutro Aditivo
II. SUSTRACCIÓN
Es una operación inversa a la adición, tal que dados dos números llamados minuendo y sustraendo hace
corresponder un tercer número llamado diferencia, tal que sumando con el sustraendo dé como resultado
el minuendo.
Es decir, .
Donde M: minuendo
S: sustraendo
D: diferencia
Ejemplo:
PROPIEDADES:
❖ M = S + D
❖ M + S + D = 2 M
7862 – 2975 = 4887
diferencia
raendo
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
TEN EN cUENTa…
Cuando hay signos de
agrupación, se suprimen en
orden del más interno al más
externo.
{ [ ( … ) ] }
1°
2°
3°
{a; b}  N  (a + b) 
sust
minuendo

38
Ejemplo 2
El siguiente cuadro contiene los datos de 3 salones y la cantidad de alumnos en cada uno de estos. Completa
los recuadros vacíos y luego responde:
a) ¿Cuántos aprobados hay en los tres grados? 32 + 40 + 59 = 131
b) ¿Cuántos desaprobados hay en los tres años? 5 + 79 + 7 = 31
c) ¿Cuántos alumnos estudiaron en total en los tres años? 38 + 62 + 72 = 172
d) ¿Cuántos alumnos terminaron el año escolar? 32 + 5 + 40 + 19 + 59 + 7 = 162
Ejemplo 1
Resuelve lo siguiente: 98 – [175 – (92 + 45)] – 11
Efectuamos desde adentro hacia fuera; luego, de izquierda a derecha.
98 – [175 – (92 + 45)] – 11 
98 – [175 – 137] – 11 
98 – 38 – 11 = 60 – 11 = 49 
1° Paréntesis.
2° Corchetes.
3° Sustracciones en el orden que aparecen
Ejemplo 3
La suma de los términos de una sustracción es 700. Hallar el sustraendo si es la quinta parte del minuendo.
Por teoría sabemos que: M + S + D = 2M
Pero por dato: M + S + D = 700
De todo lo anterior, se deduce que: 2M = 700
 M = 350
Ejemplo 4
Rodolfo tiene 7000 soles en efectivo, gasta 4500 soles en la compra de una laptop el fin de semana, luego
saca de su cuenta corriente 6000 soles y comprar una refrigeradora por un valor de 5000 soles. ¿Cuánto
le quedó al final?
Al inicio tiene 7000
Gasta en una laptop 4500
Luego saca 6000
Compra una refrigeradora de 5000
 7000 – 4500 + 6000 – 5000 = 3500
Al final de sus compras le quedan 3500 soles.
ADUNI SCHOOL
1° 2° 5°
32 40 59 Aprobados
5 19 7 Desaprobados
1 3 6 Retirados
38 62 72 Total
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

39
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico 4. 150 – [18 + (5 – 3) + (6 – 2)]
Al efectuar las operaciones:
1. (9 + 4) + 3 + (6 + 1) + (7 + 5)
a) 40
b) 38
c) 35
d) 300 840 440 km
Resolución
a) 58
b) 126
Resolución
c) 139
d) 256
Nivel Intermedio
2. (12 + 15) + (3 + 2 + 1) + 4 + (5 + 3 + 2 + 8)
5. Escribe V o F según corresponda
I. Si asociamos 12 + (5 + 6) es igual a
(12 + 5) + 6 ............................................... ( )
II. Si 5 + a + 9 = 20, el valor de a es 6 ........... ( )
a) 55
b) 85
Resolución
3. 15 + [9 – (3 + 2)]
c) 32
d) 45
III. Si el sustraendo se suma con la diferencia, se
obtiene el minuendo .................................... ( )
I. Si se suma el minuendo con el sustraendo y la
diferencia, se obtiene .
II. a – x = 36 y a = 85, ¿qué número es x?
.
III.Sielminuendo es342yelresto156,elsustraen-
do es _.
IV.Restando del minuendo la suma del sustraendo
y la diferencia, se obtiene .
a) 18 c) 22
b) 24
Resolución
d) 19
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

40
Resuelve los siguientes problemas:
7. Hallar la diferencia entre 4 millones, 17 decenas
de millar, 34 decenas y 6 centenas de decenas, 8
decenas de decena, 14 unidades.
Resolución
ADUNI SCHOOL
10. Roberto Hernández acabó el bachillerato a los 15
años; se graduó de abogado 6 años después; se
casó 5 años después; se embarcó para México 7
años después y 12 años después obtuvo una cáte-
dra. Si Roberto tuviera 12 años más habría nacido
en 1949. ¿En qué año obtuvo su cátedra?
Resolución
8. Hallar la diferencia entre dos números formados
de este modo: el primero 9 unidades de séptimo
orden, 6 de cuarto orden y 8 de tercero y el se-
gundo, 14 unidades de quinto orden, 6 de cuarto
orden, 5 de tercer orden y 8 de primero.
Resolución
11. Un padre de familia gasta S/ 124 en la compra de
los útiles escolares. Si aún le queda S/ 124, ¿qué
cantidad de dinero tenía inicialmente?
Resolución
Nivel Avanzado
9. Un comerciante pide 3000 kg de mercancías. Pri-
mero le mandan 854 kg más tarde 123 kg menos
que la primera vez y después 156 kg más que la
primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?
Resolución
12. Si a la suma de 35 números impares consecutivos
se le resta 42, entonces la cifra de la unidad del
resultado final es:
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

41
ADUNI SCHOOL
13. Determina el valor de “a + b + c”, si:
a1a + a2a + a3a + ... + a9a = bcd4
Resolución
14. Ángel tiene cierta cantidad de dinero y observa
que si tuviera S/ 124 más, podría comprar una li-
cuadora que cuesta S/ 245 y le sobraría S/ 24. ¿Qué
cantidad de dinero tiene Ángel?
Resolución
15. Si a + b + c = 23, calcula el valor de la siguiente
expresión:
Resolución
M = abc + bca + cab.
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
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42
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
Al efectuar las operaciones:
1. 59 – 42 + 108 – 104 + 315 – 136 – 48
a) 121
b) 152
c) 325
d) 214
Resolución
Resolución
2. (13 – 5 + 6) – (21 + 2 – 18) + (7 – 5) – (8 – 2 + 1)
a) 8
b) 5
c) 4
d) 9
Resolución
4. 250–[(6+4)–(3–1)+2]+{16–[(8+3)–(12–10)]}
a) 85
b) 256
c) 126
d) 247
Resolución
3. 520 + [8 – 3 + {9 – (4 + 2 – 1)}]
a) 529
b) 300
c) 354
d) 527
5. Escribe V o F según corresponda:
I. Al efectuar (14 + 5) – (6 – 4 + 3) + (6 – 4 + 2)
es 18 ............................................................. ( )
II. Si el sustraendo es 36 815 y el resto 9815; por
lo tanto, el minuendo es 46 630 ............... ( )
III.a – b = 14 y a – 14 = 36, entonces b = 36 ..... ( )
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
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PUCALLPA

43
Tarea
ADUNI SCHOOL
I. Si a – m = 5 y a + m + 5 = 12, el valor de m es:
.
II. Después de gastar 319 soles, me quedaron 615
soles, al principio tenía: .
III.La suma de dos números es 51 y el mayor es
312, el menor es: .
IV.La suma de dos números es 150 y la mitad del
mayor 46. El menor es: .
Resuelve los siguientes problemas:
2. ¿En cuánto excede la suma de 756 y 8134 a la di-
ferencia entre 5234 y 1514?
5. Andrés tiene cuatro hijos: el menor tiene 3 años;
el tercero, un año más que el cuarto; el segundo,
cuatro años más que el tercero, y el primero, tan-
tos años como sus tres hermanos juntos. Además,
se sabe que Andrés tiene 18 años más que la suma
de las edades de sus cuatro hijos.
a) ¿Qué edades tienen los hijos de Andrés?
b) ¿Qué edad tiene Andrés?
c) ¿Cuántos años tenía Andrés cuando nació su
primer hijo?
Resolución
3. Si pedro tuviera 12 años menos tendría 48 años,
y si Juan tuviera 13 años más tendría 23 años.
¿Cuánto más joven es Juan que Pedro?
4. Si me sacara 2 500 000 soles en la lotería tendría
5 634 000 soles. Si mi hermano tiene 936 000 me-
nos que yo, y mi prima 893 000 menos que mi
hermano y yo juntos, ¿cuánto tenemos entre los
tres?
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
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PUCALLPA

44
TEMA
Multiplicación y división ( )
06
ADUNI SCHOOL
EMPRENDIENDO EN TU PROPIO NEGOCIO
Miriam estudia en la universidad privada; por la aparición de un nuevo virus a nivel mundial, se suspendieron
las clases, trabajos, negocios, etc. Gracias a la era digital, se pudieron recuperar algunas de estas actividades,
pero por no poder ir a trabajar formalmente y por la reducción de personal, Miriam no sabía cómo pagar la
universidad, así que decidió emprender su propio negocio.
VALORESYACTITUDES
Valoración de tu propio
trabajo
¿Consideras más
importante el trabajo hecho
por ti mismo?
RAZONANDO...
 Si Miriam desea emprender su negocio
en el rubro de ropa para dama, si empie-
za con 0 prendas y por cada día aumenta
6 unidades, ¿cuántas prendas tendrá el
cuarto día?
 Si vende el total de ropa a 168 soles y cada
blusa le ha costado por confección 12 so-
les, ¿cuántas blusas vendió?
 Si ella por día está ganando 200 soles y
hasta ahora tiene solo dos meses y medio
de haber empezado, ¿cuánto ha recolec-
tado hasta ahora?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
¿Qué
aprenderemos
esta semana?
Emplea
procedimientos
y recursos
para realizar
operaciones con
números naturales.

45
Ejemplo 3
Al efectuar una división, se obtiene 4 de cociente
y 3 de residuo; al agregar 4 unidades al dividendo,
el cociente aumenta en 1 y no queda residuo. Halla
el dividendo.
Solución
Del enunciado:
D d  D = 4d + 3
3 4
D + 4 d 
5
 7 = d
El dividendo es: D = 7 × 4 + 3 = 31
D + 4 = 5d
4d + 3 + 4 = 5d
7 = 5d – 4d
Ejemplo 4
Para una reunión, se compraron 14 packs de
jugo de una docena de botellas cada uno. Si
se consumieron 132 botellas, ¿cuántos packs
completos sobraron?
Solución
Planteamos el problema mediante una operación
combinada:
[(14 · 12) – 132] ÷ 12
[ 168 – 132] ÷ 12 = 36 ÷ 12 = 3
Sobraron 3 packs completos.
ADUNI SCHOOL
I. MULTIPLICACIÓN
Es una operación de adición, en donde todos los sumandos son igua-
les, tal como la siguiente, así:
M + M + M... + M = P
«m» veces
P = M × m
Producto
Multiplicando
Multiplicador
Factores
II. DIVISIÓN
Es una operación inversa a la multiplicación, que consiste en que, dados dos números enteros llamados
dividendo y divisor, se obtiene un tercer número llamado cociente, teniéndose como consecuencia que
sobren o falten unidades, a lo cual se denomina residuo.
D: dividendo
D d d: divisor
r q q: cociente
r: residuo
Aritmética / 1ER.
Año
Ejemplo 2
Daniela y Joaquín se propusieron comprar una
laptop y para ello ahorraron durante un año.
Mensualmente, Daniela ahorró S/ 50, y Joaquín,
el triple que Daniela. Si la laptop cuesta S/ 2300,
¿podrán comprarla?
Solución
12 · [50 + (3 · 50)]
12 · [50 + 150] = 12 · 50 + 12 · 150
= 600 + 1800 = 2400
Sí podrán comprar la laptop porque lo que
ahorraron sobrepasa el precio.
Ejemplo 1
Calcula 15 · 99.
Solución
Resolvemos aplicando estrategias:
15·99= 15 · (100 − 1)
 Descomponemos 99 = 100 − 1.
= 15 · 100 − 15 · 1
 Propiedad distributiva.
= 1400 − 14 = 1386
ADUffiI
School
PUCALLPA
 a, b, c 
Clausura: a · b 
Conmutativa: a · b = b · a
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
Elemento neutro:
a · 1 = 1 · a = a
RECUERDA…
D = dq + r

46
6 6 4 0
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico 4. ¿Cuál es la cifra dela decena al efectuar 25 198 43?
1. Analiza cada enunciado y marca la alternativa.
correcta.
I. El doble de 21 es 43 .................................... ( )
II. El triple de 103 es 206 ................................ ( )
III.El doble de 28 es 44 .................................... ( )
IV.El triple de 53 es 159 .................................. ( )
a) 5
b) 6
Resolución
c) 7
d) 8
a) FVFV
b) FFFV
c) FVFF
d) VVFV
2. En la multiplicación, calcula el valor de B × A.
3 A 2 4 ×
B
1 4 8 9 6
Nivel Intermedio
a) 37
b) 25
Resolución
c) 28
d) 38
5. Calcula la suma de los dígitos que faltan en la si-
guiente multiplicación:
6 8 5 ×
2 0
2 9 4 8 0
0
7
Resolución
3. ¿Cuál es el valor de A y B?
8 348 62
B A
a) 144; 42
b) 134; 40
Resolución
c) 144; 40
d) 134; 42
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

47
ADUNI SCHOOL
6. ¿Cuál es la suma de los términos que faltan?
520 : 13 × = 160
: 2 × 12 = 96
667 : (23 × ) = 29
Nivel Avanzado
9. Juan compró 120 polos a S/ 20 cada uno. Si regaló
28 polos y el resto los vendió a S/ 25 cada uno,
¿ganó o perdió? ¿Cuánto?
Resolución
Resolución
7. Ordena los resultados obtenidos de las operacio-
nes propuestas de mayor a menor.
R = 621  3 + 17
S = (3 418 – 2 922) × 2
T = 42 × 17 – 205
Resolución
10. Viviana compró el mismo número de pelotas de
fútbol y de vóley por S/ 162. Si cada pelota de
vóley costó S/ 13, y cada pelota de futbol, S/ 14,
¿cuántas pelotas de cada tipo compró?
Resolución
8. Encuentra la relación y completa:
11. Determina el valor de “a + b + c”, si se cumple que
abc × 4 = 1460; a, b y c  0
Resolución
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
5
8 9
?
10
7 12
94
2
5 4
22
ADUffiI
School
PUCALLPA

48
12. Patty paga un préstamo con 12 billetes de S/ 100,
15 billetes de S/ 50 y 40 monedas de S/ 5. ¿A cuán-
to asciende la deuda de Patty?
Resolución
ADUNI SCHOOL
15. Determina el producto de a, b y c, si se sabe que:
a a a ×
bb
c b b 4
c b b 4
a c b 3 4
Resolución
13. En la urbanización los rosales viven 2700 per-
sonas y ellos han decidido sembrar un árbol por
cada 60 personas. ¿Cuántos árboles más se tendrá
que sembrar, si se desea tener un árbol por cada 36
personas?
Resolución
14. Julio debe multiplicar un número por 40, pero co-
metió un error y lo multiplicó por 4, por lo que su
resultado difiere del valor correcto en 7740. Cal-
cula dicho número.
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
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PUCALLPA

49
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. Encuentra la relación y calcula A + B. Resolución
a) 17
b) 22
Resolución
c) 19
d) 24
4. ¿Cuál es la cifra de la centena al resolver 561 × 23?
a) 2
b) 8
Resolución
c) 9
d) 0
2. Resuelve las siguientes operaciones y ordena los
resultados de menor a mayor:
P = 720 – 24 × 6
Q = 1214 – 820  5
R = 200 × 6 + 360  8
a) R < Q < P
b) P < Q < R
Resolución
c) Q < R < P
d) R < P < Q
5. Calcula la suma de A + B + C.
= A
22
155 = 31 × 5 6 = B
12
= C
Resolución
3. En cada cuadrado va la misma cifra. ¿De qué cifra
se trata?
a) 1
b) 2
7
6 2
9
c) 3
d) 4
Aritmética / 1ER.
Año
3 8
3
96
8 B
105
A 21
48
4 12
ADUffiI
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PUCALLPA
3
2

50
Tarea
ADUNI SCHOOL
1. Resuelve la pirámide mágica de división y calcula
el valor de «A + B».
3
A 1
B 2 2
48 8 4 2
Resolución
4. Lorena hace un pedido de 60 docenas de vasos
para un evento. Si el proveedor tiene 180 unida-
des en tienda y 200 en el depósito, ¿podrá com-
pletar el pedido? ¿Por qué?
Resolución
2. Resuelve:
Resolución
65 + 136 ÷ 17 – 244 ÷ 61 + 16
5. Fabiola repartió los chocolates de una caja entre
24 niños. Después de dar 4 chocolates a cada uno,
le sobraron dos. ¿Cuántos chocolates había en la
caja?
Resolución
3. Resuelve:
[361 – (3 · 7 + 6)] + (82 · 9 − 4 · 13) – 2(3 + 9)
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

51
ADUNI SCHOOL
¿CÓMO SE REALIZA LA DIVISIÓN CELULAR?
Durante las primeras 12 horas después de la concepción, el óvulo fertilizado sigue siendo una sola célula.
Después de 30 horas aproximadamente, se divide de una célula a dos. 15 horas después, las dos células se
dividen para convertirse en cuatro. Al final del día 3, la célula del óvulo fertilizado se ha convertido en una
estructura parecida a una mora integrada por 16 células. Esta estructura se conoce como mórula, que es el
término en latín para mora.
VALORESYACTITUDES
Valoración de la vida
¿Qué importancia tiene
cada una de las etapas de la
vida?
RAZONANDO...
 Luego de la tercera división, ¿cuántas cé-
lulas hay?
 ¿Qué relación guarda el número de célu-
las (2; 4; 8; 16) que se han ido formando
al final de cada división?
 Luego de la quinta división, ¿cuántas cé-
lulas habrán?
 Si hay 64 células, ¿cuántas divisiones han
ocurrido?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
TEMA
Potenciación y Radicación en
07
¿Qué
aprenderemos
hoy?
Aprenderemos
a emplear
procedimientos
para realizar
operaciones de
radicación y
potenciación con
números naturales.

52
25
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
 2 es la base
 5 es el exponente
 32 es la quinta potencia de 2
132
= 13 × 13 = 169
 13 es la base
 2 es el exponente
 169 es la segunda potencia
de 13
EJEMpLos
Ejemplo 1
Reduce: A =
35
× 37
× 39
× 311
× 313
(34)10
solución
A =
35 × 37 × 39 × 311 × 313
=
35 + 7 + 9 + 11 + 13
=
345
= 345 – 40
= 35
= 243
(34)10 34 × 10 340
n R = k
ADUNI SCHOOL
Nuestras actividades diarias, comerciales, laborales y educativas están relacionadas a las cantidades y por
ende a los números, sus operaciones y métodos para realizar ciertos cálculos. En dicho cálculo, se considera
también determinar el valor de un número elevado a un exponente dado, el cual en la actualidad lo pueden
realizar las calculadoras, así como calcular la raíz cuadrada o raíz cúbica de un número. En este capítulo,
vamos a conocer aspectos básicos de estos cálculos y formas prácticas para resolver problemas.
La potenciación es la representación simplificada de una multiplicación
donde todos los factores son iguales. La potenciación consiste en
multiplicar un número por sí mismo varias veces.
En general:
P = k × k × k × … × k = kn
, k   n 

n veces
Donde:
 k: base
 n: exponente
 P: potencia
Propiedades de la potenciación
Propiedad Fórmula Ejemplo
Multiplicación de
bases iguales
am × an = am + n 22
· 24
= 22 + 4
= 26
= 64
División de bases
iguales
am an = am – n 36
· 33
= x6 – 3
= 33
= 27
Potencia elevada a
un exponente
(am)n = am × n (22
)3
= 22 × 3
= 26
= 64
Potencia de una
multiplicación
(a × b)n
= an
× bn
(3 × 2)2
= 32
· 22
= 36
Potencia de una
fracción
a
b
= a
n n
bn
10
5
= 10 =
2 2
52
100
25
= 4
La radicación es la operación inversa a la potenciación, en la cual dados dos números llamados índice y
radicando, consiste en calcular un tercer número llamado raíz, que, elevado a un exponente igual al índice,
resulte el radicando.
En general:
Donde R: radicando ; n: índice ; k: raíz
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

53
 b0
= 1  20
= 1
 b1
= b  21
= 2
 axy
 (ax
)y
 222
 (22
)2
RECUERDA QUE…
Ejemplo 2
Calcula: M = 32
+ 3 27 – 4 × 50
+ 64
solución
M = 32
+ 3
27 – 4 × 50
+ 64
M = 3 + 3 – 4 × 1 + 8
M = 3 + 3 – 4 + 8
M = 10
Ejemplo 3
Calcula el valor de P · Q en:
4
P =
625 × 2401
; Q =
65
× 243
4
25 × 49 4 16
solución
4
P =
625 × 2401
=
625 ×
4 4
25 × 49 25 ×
2401
= 5 × 7 = 1
49 5 × 7
4
Q =
65
× 243
=
5 5
4
16
65
×
2
243 = 6 × 3 = 9
2
P × Q = 1 × 9 = 9
ADUNI SCHOOL
Propiedades de la radicación
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
 144 = 12  144 = 122
 625 = 25  625 = 52
 4 81 = 3  81 = 34
 3 343 = 7  343 = 73
EJEMpLos
Propiedad Fórmula Ejemplo
Raíz de una
potencia
n
am
= am/n 3 29
= 29/3
= 23
= 8
Raíz de un
producto
n a× b = n a × n b 3 27× 8 = 3 27 = 3 8 = 3 × 2 = 6
Raíz de un
cociente
a =
n
a
; b  0
n
b n
b
100 =
2
100 = 10 = 2
n 25 2
25 5
Raíz de Raíz n m
a = n × m
a 2 3 64 = 6 64 = 2

54
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico 4. Calcula el valor de «F – 1», si se sabe que:
F = 3 × (23
+ 42
+ 18
) – 33
1. Calcula el valor de x2
, si se cumple que: 3x
= 243 a) 46 c) 52
a) 5
b) 12
Resolución
c) 15
d) 25
b) 47
Resolución
d) 42
2. El área de un cuadrado mide 64 cm2
. ¿Cuál es su
perímetro?
Nivel Intermedio
5. Indica el valor que se debe colocar en el recuadro,
para que se cumpla la igualdad.
a) 8 cm
b) 16 cm
Resolución
c) 24 cm
d) 32 cm
Resolución
38
× 312
× 3
36 × 310
= 95
3. Calcula el valor de «2A». 6. Coloca los signos >, < o = según corresponda en
Si: A =
a) 46
b) 28
× 42
+ 32
– 64.
c) 66
d) 69
cada casillero, luego indica la alternativa correcta.
 (–2)3 × (5) 34 – 50
Resolución  8 + (–3)2
+ 12

Resolución
+ 102
25
+ 42
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
25
3
125
4

55
ADUNI SCHOOL
7. Resuelve:
A = 49 × 40
+ 53
– 3
125 × 2
B = (23
+ 42
+ 34
) –
Calcula «A – B».
Resolución
Resolución
10. Dentro de 4 años la edad de Rosa será «23
+ 5 + 32
».
¿Cuántos años tenía Rosita hace 4 años?
Resolución
8. Resuelve los siguientes ejercicios:
Si a = 10; b = 30; c = 12,
calcula el valor correcto de:
(b2
– a2
) +
Resolución
Si m = 20; n = 30,
calcula el valor de n2
+ m2
.
Resolución
11. Se espera que la población P (en miles) de cierta
ciudad crezca de acuerdo a la siguiente expresión,
donde “t” es el tiempo en años.
P = 221 − 3t .
15 − √3t + 4
Calcula el crecimiento de la población de dicha
ciudad para t = 4 años.
Resolución
Nivel Avanzado
9. Hugo tiene diez billetes de S/ 10, cinco monedas
de S/ 5 y dos monedas de S/ 2. Si le dieron seis
monedas de S/ 1, ¿cuánto dinero tiene Hugo en
total?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
144
c × 3

56
12. Una caja en forma cúbica tiene un volumen de
125 000 cm3
. Determina el nuevo volumen, si cada
uno de sus lados se reduce en 20 cm.
Resolución
ADUNI SCHOOL
15. Sean N y M números naturales. Al extraer la raíz
cúbica al número 2N + M y al extraer la raíz cua-
drada al número N − M, tienen como residuo cero
y ambas raíces son iguales. Determina la suma de
las cifras del mayor N menor que cien que satisfa-
ce la propiedad.
Resolución
13. Un terreno de forma cuadrada tiene una superfi-
cie de 1296 m2
y se quiere cercar con una valla que
cuesta S/ 5 cada metro. ¿Cuánto dinero se necesi-
tará para comprar la valla?
Resolución
14. Calcula el menor número por el cual hay que divi-
dir a 108675 para que el cociente sea un cuadrado
perfecto (tenga raíz exacta).
a) 483 c) 486 e) 482
b) 485 d) 484
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

57
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. Calcula el valor de x3
, si se cumple que: 2x
= 32. 4. ¿Cuál es la cifra de la unidad al efectuar:
a) 5
b) 25
Resolución
c) 100
d) 125
810 ÷ 33
–
a) 0
b) 1
Resolución
× 4 – (24
– 32
)?
c) 2
d) 3
2. El volumen de un cubo mide 512 cm3
, ¿cuánto
mide su arista? 5. Si: A =
a) 8 cm
b) 10 cm
c) 15 cm
d) 4 cm B = 321
+ 40
× 24
– 9
Resolución Calcula el valor de «A + B».
Resolución
3. Resuelve: 23
× 5 ÷ 4 + (
a) 15
b) 16
Resolución
– 25)
c) 13
d) 18
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
3
27
3
25
+ 33
+ 5
64

58
Tarea
ADUNI SCHOOL
1. Ordena de mayor a menor los resultados que se
obtienen de las siguientes operaciones:
 A = 63
÷ (23
+ 1)
 B = 20 + 32 × 36
 C = (112
– 1) ÷ 3 +
4. Rebeca compra una docena de polos a S/ 12 cada
uno, media docena de chalinas a S/ 6 cada una
y cuatro gorras a S/ 4 cada una. Si pagó con un
billete de S/ 200, ¿cuánto recibió de vuelto?
Resolución
Resolución
2. Teniendo:
M = 49 + 24
– 42
,
N = 3 27 × 52
 3 125
calcula «3M – N».
Resolución
5. Carlitos tiene (23 – 1) carritos, si en su cumplea-
ños le obsequian (33: 3 + 9 ) carritos. ¿Cuántos
carritos tiene ahora Carlitos?
Resolución
3. Resuelve los siguientes ejercicios:
 Si a = 8; b = 6; c = 3, calcula «(a – b)2 + c3».
 Si a = 5; b = 7; c = 2, calcula «(b + a)2 – (b2 + c3)».
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
81

59
ADUNI SCHOOL
LA IMPORTANCIA DEL AHORRO
Ronald quiere aprender a manejar su propio dinero, para ello su madre le sugiere ahorrar por semana, empezó
con S/ 15 y luego por semana cada S/ 30; al cabo de tres meses, ¿cuánto habrá ahorrado en el banco?
VALORESYACTITUDES
Valoración de tus ahorros
¿Consideras más
importante ahorrar?
RAZONANDO...
 ¿Cuánto habrá ahorrado Ronald al
cabo de un mes?
 Si desea duplicar la cantidad de aho-
rro, ¿cuánto ahorrará en dos meses?
 ¿Cuál sería la fórmula del término ge-
neral para esta situación?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
TEMA 08
Progresión aritmética
¿Qué
aprenderemos
esta semana?
Asocia reglas de
formación de
una progresión
aritmética con
situaciones afines.

60
Cuando
numérica se forma sumando
una sucesión
un valor constante (razón
aritmética), se obtiene una
progresión aritmética.
IMpoRTANTE
Ejemplo 1
Calculamos el lugar del último término.
7; 11; 15; 19; ...; 91
Solución
Aplicamos fórmula general
an = a1 + (n – 1) · d
91 = 7 + (n – 1) · 4
84 = (n – 1) · 4
21 = (n – 1)  n = 22
El lugar del último término es 22.
Ejemplo 2
¿Cuántos palitos tendrá la figura 5? ¿Cuál es la
razón aritmética?
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3 Fig. 4
Solución
Expresamos la cantidad de palitos mediante una
sucesión:
Términos  3; 5; 7; 9
+2 +2 +2  Razón: «Sumar 2»
La figura 5 tendrá 11 palitos. La razón es d = +2.
Las progresiones aritméticas son útiles para determinar
ciertos patrones. Por ejemplo: el monto de las cuotas
establecidas para pagar un préstamo, los tiempos que
invierte un corredor en dar vueltas en un circuito, etc.
ADUNI SCHOOL
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término (menos
el primero) se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo d
llamado diferencia de la progresión.
a , a , a , a , a , a , ... , a
1 2 3 4 5 6 n
Fórmula general
+d +d +d +d +d
Elementos de la fórmula del término general
an = término general
a1 = valor del primer término
n = número de términos
d = diferencia razón
Aritmética / 1ER.
Año
an = a1 + (n – 1) · d
ADUffiI
School
PUCALLPA

61
Ejemplo 3
Diego tiene S/ 5 ahorrados y decide ahorrar cada semana S/ 15 más de lo que ahorró la semana anterior.
¿Cuánto habrá ahorrado en la quinta semana? Halla la regla de formación.
Solución
Expresamos los datos en una tabla.
+15 +15 +15 +15
a2 = 15(2) − 10 = 20
Hallamos la regla de formación:
a1 = 15(1) − 10 = 5
a = 15(n) − 10; n es el número de semana.
n
Diego habrá ahorrado S/ 65. La regla de formación es an = 15n − 10.
Ejemplo 4
Halla la fórmula general de la progresión aritmética 3; 7; 11; 15; … Luego, calcula el término 20.
Solución
3; 7; 11; 15; …
+4 +4 +4
 Analizamos la sucesión y escribimos la fórmula:
a1 = 3 = 4(1) – 1
a2 = 7 = 4(2) – 1
Para n términos: a = 4n – 1
n
 Calculamos el término 20: a20 = 4(20) – 1 = 79
ADUNI SCHOOL
Semana 1 2 3 4 5
Dinero ahorrado 5 20 35 50 65
Nivel Básico 2. Calcula el término 12 en la siguiente progresión:
2; 5; 8; …
1. Calcula el vigésimo segundo término de la si-
guiente progresión: 2, 4, 6, 8, 10, …
a) 46
b) 22
c) 36
d) 35
a) 22
b) 44
Resolución
c) 20
d) 48
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

62
3. En una progresión aritmética el primer término
es 7 y la razón es 3. Calcula el término que ocupa
el lugar 100.
ADUNI SCHOOL
6. En una progresión aritmética de cuarenta y dos
términos, el primer término es 29 y el último 316,
calcula la suma de las cifras del vigésimo término.
a) 304
b) 314
Resolución
c) 305
d) 340
Resolución
4. La diferencia entre el último y el primer término
de un P.A. de 7 términos es 36. ¿Cuál es el valor de
la razón?
7. Determina el primer término de una progresión
aritmética, si el término de lugar 12 es –7 y la ra-
zón es –2.
Resolución
a) 5
b) 6
Resolución
c) 7
d) 8
Nivel Intermedio
5. En una progresión aritmética, el sexto término es
6 y el noveno 12. ¿Cuál es el primer término?
Resolución
8. ¿Cuántos términos tiene una P.A. cuyo primer
término es 8 y el último es 36, si se sabe que la
razón es 2?
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

63
ADUNI SCHOOL
Nivel Avanzado
9. Una persona tiene un capital inicial de S/ 2500. Si
su ganancia mensual es de S/ 300, ¿cuánto dinero
tendrá al finalizar el octavo mes?
Resolución
12. Un niño compra 7 canicas y cada día que sigue
compra 5 canicas más. ¿Después de cuántos días
habrá comprado 57 canicas?
Resolución
10. Juana entrena todos los días para una maratón y
comienza corriendo 200 m la primera semana e
incrementa su recorrido en 50 metros cada sema-
na. Si logró recorrer en total 3000 metros, ¿cuán-
tas semanas corrió?
Resolución
13. Una deuda de S/ 1250 debe ser cancelada en cuo-
tas diarias de modo que el primer día se abone S/
80, el segundo S/ 90, el tercer día S/ 100 y así en
formas sucesiva. Calcula la cantidad de días que
transcurre para cancelar la deuda
Resolución
11. En una progresión aritmética de 40 términos, se
sabe que el último término es 200. Determina el
primer término, si se sabe que este es igual a la
razón.
Resolución
14. Calcula la suma de los diecisiete primeros térmi-
nos de una progresión aritmética, si el primer tér-
mino es 18 y el sexto término es 33.
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

64
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. Calcula el término de lugar 15 en la siguiente pro-
gresión aritmética: 4; 7; 10; 13; …
4. Calcula el término 20 de la siguiente progresión
aritmética: 1; 6; 11; 16; 21…
a) 39 c) 42
b) 41 d) 46
Resolución
a) 84
b) 72
Resolución
c) 108
d) 96
2. Determina el vigésimo término de la siguiente
progresión aritmética: 8; 14; 20; 26; …
5. Calcula el término 12 de la siguiente progresión
aritmética: 4; 0; 4; 8; 12…
a) 108
b) 110
Resolución
c) 115
d) 118
Resolución
3. Dada la siguiente P.A.: 16; 23; 30; … ¿Cuál es la
forma del término general?
a) 3n + 6
b) 4n + 2
c) 6n + 3
d) 7n + 9
Resolución
6. Los términos de una progresión aritmética son 3a;
51; b4; 7(b+1). Calcula el tercer término de la pro-
gresión aritmética ba; ab; ...
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

65
Tarea
ADUNI SCHOOL
Identifica el patrón y escribe los tres números que
siguen en cada progresión.
1. 1; 8; 15; 22; 29; 36; …
Resolución
Resolución
5. ¿Cuántos cuadraditos se necesitan para formar la
figura 6? Halla la regla de formación.
2. 3; 10; 17; 24; 31; …
Resolución
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Resolución
3. 5; 14; 23; 32; …
Resolución
4. Lucía practica atletismo 5 días a la semana. Si co-
mienza con 1000 m y cada día corre 500 m más
que el día anterior, ¿cuántos metros recorrerá el
quinto día de práctica?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

66
TEMA
Múltiplos y divisores de un número
09
ADUNI SCHOOL
¡TRABAJAMOS EN GRUPOS EN CLASE!
La profesora quiere agrupar a los estudiantes de forma que ninguno se quede sin grupo. Se sabe que si los
agrupa de 4 o 6, quedan dos sin grupo…
VALORESYACTITUDES
Valoración de tu entorno
social
¿Consideras que trabajando
en grupo se aprende más?
RAZONANDO...
 Si en el aula hay 36 estudiantes, ¿la profe-
sora los puede agrupar de 4?
 Si en el aula hay 48, ¿la profesora puede
agruparlos de 8?
 Si en total tienes 24 estudiantes, ¿en gru-
pos de cuánto los podrías agrupar? Men-
ciona todas las posibilidades.
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
¿Qué
aprenderemos
esta semana?
Realiza
procedimientos de
descomposición
polinómica con
múltiplos de
números naturales
al resolver
problemas.

67
Ejemplo 1
¿Cuántos múltiplos de 5 hay del 18 al 300?
Solución
 Calculamos los múltiplos de 5 que hay del 1 al 300  300  5 = 60
 Los múltiplos de 5 que hay del 1 al 18 son 3.
 Para saber cuántos múltiplos de 5 hay del 18 al 300, restamos
60 – 3 = 57.
Del 18 al 300 hay 57 múltiplos de 5.
Ejemplo 2
El número de puntos que Paula anotó en un partido de básquet es
el mayor divisor de 80, excepto el propio 80. ¿Cuántos puntos anotó
Paula en ese partido?
Solución
 Calculamos los divisores de 80. Para ello, dividimos 80 entre los
números naturales menores que él y elegimos aquellos que dan
como resultado divisiones exactas.
D (80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80}
 Observamos que el divisor que cumple con lo que se indica es 40.
Paula anotó 40 puntos.
ADUNI SCHOOL
Los conocimientos acerca de los múltiplos y divisores, así como de las propiedades
de los números naturales son útiles para resolver situaciones de la vida cotidiana,
por ejemplo, aquellas relacionadas con el desarrollo de la tecnología.
I. MÚLTIPLO
Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo B, si
A es el resultado de multiplicar a B por una cantidad entera.
Ejemplos:
40 = 8 (5)  40 es múltiplo de 8
–54 = 9 (–6)  –54 es múltiplo de 9
II. DIVISOR
Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo
B, si al dividir A entre B el cociente es entero y el residuo es igual a
cero.
Ejemplos:
40  8 = 5  40 es divisible por 8.
–54  9 = –6  –54 es divisible por 9.
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
TEN EN CUENTA:
1 · 24
2 · 12
24 =
3 · 8
4 · 6
Cada factor es un
divisor de 24.
D(24) = {1; 2; 3; 4; 6;
8; 12; 24}
RECUERDA…
Si A es múltiplo de B, entonces
su notación será:
A = mB ; A = B

68
Ejemplo 3
Los 16 estudiantes de un aula de primer grado visitan un museo. Si la
profesora debe formar grupos con el mismo número de estudiantes
sin que sobre ninguno, ¿por cuántos integrantes pueden estar
formados los grupos?
solución
Dividimos 16 entre los números naturales menores o iguales que 16 y
elegimos aquellos que dan como resultado divisiones exactas:
 16  1 = 16
 16  2 = 8
 16  4 = 4
 16  8 = 2
 16  16 = 1
Representamos los divisores de 16.
D(16) = {1; 2; 4; 8; 16}
Los grupos pueden estar formados por 1; 2; 4; 8 o 16 integrantes.
Propiedades de los múltiplos
y divisores
 Los múltiplos de un nú-
mero forman un conjunto
infinito.
 Los divisores de un nú-
mero forman un conjunto
finito.
 El 0 es múltiplo de todos
los números.
 El 1 es divisor de todos los
números.
 Todo número es múltiplo
de sí mismo.
 Todo número es divisor de
sí mismo.
RECUERDA…
Ejemplo 4
¿Cuántos múltiplos de 3 hay del 25 al 234?
solución
 Calculamos los múltiplos de 3 que hay del 1 al 234: 234  3 = 78
 Los múltiplos de 3 que hay del 1 al 25 son 8
 Para saber cuántos múltiplos hay del 25 al 234, restamos 78 – 8 = 70.
Del 25 al 234, hay 70 múltiplos de 3.
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico
1. Marca el conjunto que contenga solo múltiplos
de 3.
a) {0; 3; 9; 12; 15; 18}
b) {3; 6; 9; 12; 15; 16}
c) {0; 3; 6; 9; 12; 15}
d) {12; 15; 6; 16; 32}
Resolución
2. Observa la tabla y marca con un (X) los números
múltiplos de 8. Indica como respuesta la suma de
los números marcados.
a) 130
b) 128
c) 126
d) 156
Resolución
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
8 3 5 0
16 24 48 32

69
ADUNI SCHOOL
3. Marca la alternativa que contenga los divisores de
42 menores que 14.
6. Calcula los números que faltan en cada secuencia.
 0; 2; 4; 6; ;10
a) {1; 2; 3; 6; 7}
b) {2; 4; 6; 8; 9}
c) {2; 3; 6; 8; 9}
d) {3; 6; 7; 9; 10}
 0; ; 18; 27; 36; 45
 0; 4; ; 12; 16; 20
Resolución Resolución
4. ¿Cuánto suman todos los divisores de 49? 7. Identifica las igualdades falsas. Justifica tus res-
a) 58
b) 49
Resolución
c) 57
d) 67
puestas.
a) 16 = 5 + 1 ( )
b) 29 = 6 + 4 ( )
c) 17 = 5 –1 ( )
Nivel Intermedio
5. Analiza y coloca (V) si es verdadero o (F) si es
falso, según corresponda.
d)52 = 7 + 3 ( )
8. Calcula la suma de los divisores de 75.
I. 40 es múltiplo de 5 y 8.
II. 125 es múltiplo de 3 y 5.
III.120 es múltiplo de 2 y 60.
IV. 147 es múltiplo de 2 y 3.
Resolución
( ) Resolución
( )
( )
( )
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA

70
Nivel Avanzado
ADUNI SCHOOL
12. En una reunión hay 75 personas, de las cuales se
observa que 3 de las mujeres usan reloj y 5 de los
9. La profesora quiere agrupar a sus estudiantes de 5 7
forma que ninguno se quede sin grupo. Se sabe
que si los agrupa de 6 o de 9, quedan dos sin gru-
po. ¿Cuál es el número de estudiantes si son me-
nos de 60, pero más de 40?
Resolución
varones usan lentes. ¿Cuántas mujeres más que
varones asistieron a la reunión?
Resolución
10. De las 120 camisas que tenía Roberto, vendió 18. Si
las que le quedan las debe guardar en cajas que con-
tengan 3 camisas cada una, ¿cuántas cajas necesita?
Resolución
13. Janett invitó a su fiesta de 15 años a 100 personas
entre varones y mujeres; de la cantidad de varones,
la quinta parte son menores de 15 años y de la can-
tidad de mujeres, la doceava parte son mayores de
14 años. ¿A cuántos varones invitó a la fiesta?
Resolución
11. Raúl tiene entre 150 y 200 canicas. Si él las agrupa
de 12 en 12, de 15 en 15 o de 20 en 20 siempre le
sobran 3 canicas. ¿Cuántas canicas tiene Raúl?
Resolución
14. Sea N un número múltiplo de 6 formado por tres
cifras pares. Si N + 1 es múltiplo de 7 y N + 2 es
múltiplo de 8, entonces la suma de las cifras de N
es:
Resolución
Aritmética / 1ER.
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PUCALLPA

71
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. Calcula la suma de los cuatro primeros múltiplos 4. ¿Cuántos divisores comunes tiene 36 y 48?
de 6.
a) 30
b) 36
Resolución
c) 40
d) 45
a) 1
b) 3
Resolución
c) 5
d) 6
2. ¿Cuántos de los siguientes números son múltiplos
de 3?
5. ¿Cuántos divisores tiene 43
+ 62
?
Resolución
a) 1
b) 3
Resolución
84; 29; 81; 104; 96.
c) 5
d) 2
3. Si: R = {x  / 12 < x < 36; «x» es múltiplo de 6},
determina el conjunto por extensión.
a) {18; 24; 30}
b) {12; 18; 24; 30; 36}
c) {12; 18; 20; 24; 30}
d) {12; 18; 24; 28; 30}
Resolución
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72
Tarea
ADUNI SCHOOL
1. Calcula el menor valor de «x» en:
42 = 5 + x
Resolución
Resolución
2. ¿Cuántos múltiplos de 7 existen entre 15 y 96?
Resolución
5. En una división, el dividendo es 2114, el divisor
es 21 y el cociente es 100. ¿Cuál es el residuo?
¿Puedes afirmar que 2114 es múltiplo de 21?
Resolución
3. ¿Cuál es el mayor múltiplo de 18 formado por dos
cifras?
a) 88
b) 90
Resolución
c) 18
d) 100
4. La edad de mi hermana es igual a la suma de los
cuatro primeros divisores de 48. ¿Cuál es dicha
edad?
Aritmética / 1ER.
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73
ADUNI SCHOOL
COMPARTIMOS CON LOS AMIGOS
Joaquín va a repartir, en partes iguales, 876 canicas entre sus 9 amigos. Si desea que no falten, ¿cómo debería
repartirlas?
VALORESYACTITUDES
Valoración de tus objetos
¿Consideras que compartir
o regalar algunas
pertenencias te perjudica?
RAZONANDO...
 Si Joaquín no quiere que le falte ni sobre
ninguna canica, ¿cuál es el menor núme-
ro de canicas que debe agregar a las que
ya tiene?
 Podrías agrupar la cantidad de canicas en
otra cantidad, ¿cuál sería el problema?
Aritmética / 1ER.
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TEMA 10
Criterio de divisibilidad
¿Qué
aprenderemos
esta semana?
Justifica cuándo un
número es divisible
por otro a partir
de criterios de
divisibilidad.

74
Ejemplo 1
Calcula el residuo que se obtiene al dividir 304
entre 7.
Solución
Si hay residuo, el número 30 no es divisible por 7. Resolvemos aplicando propiedades:
304
= (28 + 2)4
= (7 + 2)4
= 7 + 16 = 7 + 7 + 2 = 7 + 2
El residuo de 304
entre 7 es 2.
Muchas veces se necesita saber si una determinada cantidad de elementos se
pueden repartir o distribuir de manera exacta entre un determinado número
de personas, cajas, bolsas, etc. La aplicación de criterios de divisibilidad te
ayudará a saberlo sin tener que desarrollar el proceso de división.
ADUNI SCHOOL
CRITERIO DE DIVISIBILIDAD
Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten reconocer, sin
realizar la división, si un número es divisible por otro.
Un número es Regla de divisibilidad Ejemplos
Divisible por 2
Si la última cifra es cero
o par.
20; 202; 354; 3356; 2468; ...
Divisible por 3
Si la suma de sus cifras
es un múltiplo de 3.
111; 213; 1233; 3321; ...
porque 1 + 1 + 1 = 3;
2 + 1 + 3 = 6 ...
Divisible por 4
Si las dos últimas cifras
son ceros o múltiplo de 4.
4; 8; 12; ... 100; 104; ...
Divisible por 5 Si la última cifra es 0 o 5. 10; 15; 60; 75; 90; 105; ...
Divisible por 6
Si es divisible a la vez por
2 y 3.
6; 12; 18; 24; ...
Divisible por 7
Si la diferencia entre el
número sin la cifra de las
unidades y el doble de la
cifra de las unidades es
un múltiplo de 7.
343 es divisible por 7
porque 34 – 2(3) = 28 y 28
es múltiplo de 7.
Divisible por 9
Si la suma de sus cifras
es múltiplo de 9.
32 090 310; 6 073 002; ...
porque 3 + 2 + 0 + 9 + 0 +
3 + 1 + 0 = 18.
Divisible por 10 Si la última cifra es 0. 10; 20; 30; 400; ...
Divisible por 11
Si la suma de las cifras de
lugar par, menos la suma
de las cifras de lugar
impar (o viceversa) da
un múltiplo de 11.
4 356 781 es divisible por
11 porque (8 + 6 + 3) – (1
+ 7 + 5 + 4) 17 – 17 = 0
Aritmética / 1ER.
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Si a es múltiplo de b,
entonces a es divisible
por b.

75
Ejemplo 2
Daniela debe colocar 480 alfajores en cajas. Para ello, dispone de cajas con capacidad para 2; 3; 4; 5; 6; 7;
9; 10 y 11 alfajores. Se sabe que elegirá un solo tipo de caja y que, además, no debe sobrarle ningún alfajor.
¿Qué caja no podrá escoger?
solución
Verificamos si 480 es divisible por 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10 y 11.
 Es divisible por 2 porque termina en 0.
 Es divisible por 3 porque 4 + 8 + 0 = 12 y 12 es múltiplo de 3.
 Es divisible por 4 porque las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.
 Es divisible por 6 porque es divisible a la vez por 2 y 3.
 No es divisible por 7 porque 48 – (2 ∙ 0) = 48 y 48 no es múltiplo de 7.
 No es divisible por 9 porque 4 + 8 + 0 = 12 y 12 no es múltiplo de 9.
 No es divisible por 11 porque 4 + 0 – 8 = –4 y –4 no es múltiplo de 11.
Daniela no podrá escoger las cajas para 7; 9 y 11 alfajores.
Ejemplo 3
Se sabe que a05 es divisible por 3 y por 5. Halla el mayor valor de a.
solución
 Si a05 = 5
Como el número termina en 5, por lo tanto, es divisible por 5.
 Si a05 = 3
La suma de cifras tiene que ser múltiplo de 3.
a + 0 + 5 = 3

1
4
7
El mayor valor es 7, por lo tanto, a = 7.
ADUNI SCHOOL
Nivel Básico
Resolución
1. Si el número 23a7 es divisible por 7, calcula el
valor de «a».
a) 5
b) 8
c) 16
d) 7
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76
2. Si 9a3a es divisible por 9, calcula el valor de «a».
ADUNI SCHOOL
Nivel Intermedio
a) 3
b) 4
Resolución
c) 2
d) 5
5. Escribe verdadero (V) o falso (F), según corres-
ponda.
I. 197 es 3 ( )
II. 47353 es 7 ( )
III.9449 es 11 ( )
Resolución
3. Si nnn1 es 7, calcula el valor de «n».
a) 5
b) 6
c) 4
d) 7
Resolución
6. Calcula el valor de «a» y coloca >, < o = según
corresponda.
I. 22a = 13 4a2 = 8
II. 3a = 9 423a = 7
III.7a = 13 17a = 11
Resolución
4. Calcula el valor de «n», si 412n5n es 11.
a) 3
b) 5
c) 4
d) 7
Resolución
7. Si a1a53 es 11, calcula a2
+ 2a + 1.
Resolución
Aritmética / 1ER.
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77
ADUNI SCHOOL
8. Calcula el valor de «x» en 23xa = 9.
Resolución
Resolución
Nivel Avanzado
9. Calcula el valor de «x» si 1393x = 6.
Resolución
12. Si n32n1n=7, calcule el valor de n.
Resolución
10. Si: FLOR(n – 8) = 10, AMORne = 4, determina el
menor valor de «n + e + n + e» (n ≠ e)
Resolución
13. Siendo 32x3xx=11
Calcule el valor de x2
.
Resolución
11. Si abc= 9; bac =5; ca=8, halle a+b+c.
14. Si 2x87=9 + 4, halle x.
Resolución
Aritmética / 1ER.
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78
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. Calcula el valor de «a», si el número aaaaa2 es 9.
a) 3
b) 6
c) 4
d) 5
Resolución
4. Si el numeral A651 es divisible por 9, indica el va-
lor de «A».
a) 1
b) 5
c) 6
d) 8
Resolución
2. Calcula el valor de «p», si 1ppppp1 es 7.
a) 2
b) 5
c) 4
d) 6
Resolución
5. Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
I. 789532 es 2. ( )
II. 473259 es 9. ( )
III.73545 es 25. ( )
6. Calcule a.b, si 3a671b=72.
Resolución
3. Si el numeral x732 es divisible por 11, indica el
valor de «x».
a) 2
b) 4
c) 1
d) 6
Resolución
Aritmética / 1ER.
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79
Tarea
ADUNI SCHOOL
1. Relaciona correctamente.
I. 7 a. 1071; 4578; 665
Resolución
II. 8
III.11
Resolución
b. 472; 504; 208
c. 165; 297; 462
5. Calcula «a + b», si a54b2a = 45.
Resolución
2. Si: 3a7a = 7, determina la suma de valores de «a».
Resolución
3. Calcular a2
– b2
; si 4892 = 9  9b7 = 11.
Resolución
4. La edad de Carlitos está dada por «a» y es el ma-
yor número posible, donde: 34a7 = 3. ¿Cuál es la
edad de Carlitos?
Aritmética / 1ER.
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80
TEMA
Números primos y compuestos
11
ADUNI SCHOOL
COMPARTIENDO MOMENTOS
Adriana y Piero quieren elaborar un cuaderno con diferente contenido con fotos de sus vacaciones. Adriana
tiene 5 fotos, y Piero, 6; ¿de cuántas formas podrán hacerlo?
VALORESYACTITUDES
Valoración de los momentos
¿Consideras que captar los
momentos en fotografías te
ayudan a recordarlos?
RAZONANDO...
 ¿Qué respuesta le darías a la primera in-
terrogante de la situación de Adriana y
Piero?
 Si Adriana tuviera 15 fotos, ¿de cuántas
formas podría agruparlas?
 Si Piero tuviera 24 fotos, ¿de cuántas for-
mas podría agruparlas?
Aritmética / 1ER.
Año
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PUCALLPA
¿Qué
aprenderemos
esta semana?
Expresa el
significado de
múltiplo, divisor,
números primos,
compuestos y
divisibles.

81
Ejemplo 1
Calcula la cantidad de divisores, divisores primos, simples y propios que
tiene el número 240.
Solución
 Descomponemos 240 en sus factores primos:
240 = 24
∙ 3 ∙ 5 = 24
∙ 31
∙ 51
 Hallamos la cantidad de divisores de 240:
240 = 24
∙ 31
∙ 51
CDN = (4 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = (5)(2)(2) = 20
 Hallamos la cantidad de divisores Primos de 240: 2, 3 y 5
CDprimosN
= 3
 Hallamos la cantidad de divisores Simples de 240:
CDsimplesN
= CDprimosN
+ 1 = 3 + 1 = 4
 Hallamos la cantidad de divisores Propios de 240:
CDpropiosN
= CDN – 1 = 20 – 1 = 19
ADUNI SCHOOL
Hacia el siglo III (a. C.), los griegos alcanzaron un elevado grado de abstracción en las
ciencias matemáticas. La misma palabra aritmética es de origen griego. Para ellos, esta
ciencia era una rigurosa teoría de los números. Sus investigaciones los llevaron muy pronto
al concepto de un número primo, de donde partió Eratóstenes para descubrir su curioso
método de determinación de los números primos en la serie natural.
I. NÚMERO PRIMO
Es aquel que solo es divisible entre sí mismo y entre la unidad.
Ejemplo:
II. NÚMERO COMPUESTO
5, 7, 11, 29, 37, 97, …
Es aquel que además de ser divisible entre sí mismo y entre la unidad lo es en otro factor.
Ejemplo:
14 es compuesto porque además de ser divisible entre 14 y 1, es divisible entre 2 y 7.
PROPIEDAD
En general:
Dado un número N = a
b
c
, descompuesto canónicamente, se tendrá que:
❖ Cantidad de Divisores: CDN = ( + 1)( + 1)( + 1) = CDsimples + CDcompuestos
❖ Cantidad de Divisores Primos: CDprimosN
= Número de factores de la descomposición canónica
❖ Cantidad de Divisores Simples: CDsimplesN
= CDprimosN
+ 1
❖ Cantidad de divisores propios: CDpropiosN
= CDN – 1
Aritmética / 1ER.
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82
Ejemplo 3
Descompón el número 420 en un producto de factores primos.
solución
Aplicamos los criterios de divisibilidad:
Ejemplo 2
¿Los números 4 y 15 son primos entre sí?
solución
Determinamos los divisores de 4 y de 15:
 D(4) = {1; 2; 4}
 D(15) = {1; 3; 5; 15}
4 y 15 son primos entre sí porque tienen al 1 como único divisor común.
ADUNI SCHOOL
Cocientes Parciales Factores primos
420 es divisible por 2 420  2 = 210 420 = 2 · 210
210 es divisible por 2 210  2 = 105 420 = 2 · 2 · 105
105 es divisible por 3 105  3 = 35 420 = 2 · 2 · 3 · 35
35 es divisible por 5 35  5 = 7 420 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7
Nivel Básico 2. ¿Cuántos números primos hay entre 25 y 35?
1. ¿Cuál es el resultado que se obtiene al sumar
el mayor número primo de dos cifras, con el
menor número primo de una cifra?
a) 0
b) 1
Resolución
c) 2
d) 3
a) 13
b) 86
Resolución
c) 21
d) 99
Aritmética / 1ER.
Año
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PUCALLPA

83
ADUNI SCHOOL
3. Calcula la suma de los números compuestos ma-
yores que 15 y menores que 20.
6. Determina la suma de todos los números primos
comprendidos entre 1 y 30.
a) 69
b) 49
Resolución
c) 31
d) 34
Resolución
4. Si al mayor número compuesto de 2 cifras le res-
tamos 36, ¿qué resultado obtenemos?
7. La descomposición de 240 es: 2c
× 3A
× 5M
. Deter-
mina el valor de «C + A + M».
Resolución
a) 99
b) 97
Resolución
c) 63
d) 64
8. ¿Cuántos divisores de 30 son números primos?
Resolución
Nivel Intermedio
5. Sea:
A = N° de divisores de 125
B = N° de divisores de 625
R = N° de divisores de 1024
Calcula el valor de: «A + R – B».
Resolución
Aritmética / 1ER.
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84
Nivel Avanzado
9. Dados los siguientes números: A = 22
× 34
y B = 34
× 53
, calcula la suma de la cantidad de
divisores de A y B.
Resolución
Resolución
ADUNI SCHOOL
13. ¿Cuántos números de la forma (4a − 3)(3b)(4a − 3)
son primos?
Resolución
10. La edad de María es 2x; además se sabe 2x es el
mayor primo posible. ¿Cuántos años tendrá Ma-
ría dentro de 8 años?
Resolución
14. Si el número N = 4n+3
+ 22n
tiene 72 divisores com-
puestos, calcula el valor de n3
− n2n
.
Resolución
11. La mamá de Marcos le entregará tres caramelos
por cada divisor de 50 que encuentre. ¿Cuántos
caramelos podrá recibir como máximo?
Resolución
15. Sea ab un número primo mayor que 40. Deter-
mina el número de divisores que tiene el número
ababab00.
Resolución
12. La edad de Jaime es igual a la cantidad de divisores
compuestos del número 360. ¿Cuántos años tenía
hace tres años?
Aritmética / 1ER.
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85
Autoevaluación
ADUNI SCHOOL
1. Calcula la suma de los 5 primeros números primos.
a) 28
b) 26
c) 24
d) 22
Resolución
Resolución
2. Calcula la suma de los números primos mayores
que 20 y menores que 40.
a) 100
b) 120
c) 140
d) 160
Resolución
4. Calcula todos los divisores de 60, y determina
cuántos son primos y cuántos son compuestos
respectivamente.
a) 8 y 5
b) 4 y 8
c) 3 y 8
d) 5 y 7
Resolución
5. ¿Cuántos divisores tiene el número 40?
Resolución
3. ¿Cuántos números compuestos hay entre los nú-
meros 32 y 43?
a) 9
b) 10
c) 32
d) 43
Aritmética / 1ER.
Año
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School
PUCALLPA

86
Tarea
ADUNI SCHOOL
1. Determina la suma de los números primos com-
prendidos entre 60 y 75.
Resolución
Resolución
2. Si la descomposición canónica del número 50 es
2x
· 5y
, calcula el valor de «x + y».
Resolución
5. Se tiene el número: N = 25
× 3 × 72
. ¿Cuántos di-
visores, divisores primos, simples y propios tiene
«N»?
Resolución
3. ¿Cuántos divisores más tiene 300 que 24?
Resolución
4. Juan tiene una cantidad de dinero igual a la suma
de todos los números primos menores que 30.
¿Cuánto dinero tiene Juan?
Aritmética / 1ER.
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87
ADUNI SCHOOL
CAMPAÑA DE PREVENCIÓN DEL FRIAJE
La comunidad campesina de Jjapo se encuentra ubicada en la zona alta del distrito de Pomata, a 3900 m s. n. m.,
provincia de Chucuito, región Puno, país Perú. Esta comunidad es parte de las zonas altoandinas de la sierra
peruana, que debido a su altitud y orografía están expuestas a factores climáticos extremos que determinan
de forma precisa los ciclos agropecuarios y por tanto la seguridad alimentaria de sus habitantes. Cada cierto
tiempo se realiza una campaña de prevención del friaje para apoyar a los habitantes de la zona.
VALORESYACTITUDES
Valoración de la solidaridad
a nuestro prójimo
¿Es importante el apoyo
y solidaridad con las
personas que más lo
necesitan?
RAZONANDO...
 Siendo Puno una de las regiones más
frías del Perú, ¿cuánto resulta la varia-
ción de temperatura si a las 6 de la ma-
ñana registra –6 °C y a las 4 de la tarde
registra 7 °C?
 En unas de las noches más frías de la
comunidad de Jjapo se registró una
temperatura de –10 °C, numéricamen-
te, ¿cuánto es el valor absoluto de dicha
temperatura?
 Si la comunidad de Jjapo se encuentra
ubicada a 3900 m s. n. m., ¿cuál es el
opuesto a dicha altura?
Aritmética / 1ER.
Año
ADUffiI
School
PUCALLPA
TEMA 12
Números enteros ( )
¿Qué
aprenderemos
hoy?
Representar números
enteros en la recta
numérica, calcular
su valor absoluto,
identificar el opuesto
de un número, etc.

88
Si queremos expresar cantida-
des positivas o negativas, uti-
lizamos los números naturales
precedidos de los signos + o –
según corresponda.
RECUERDA
Ejemplo 1
Redacta situaciones que se puedan representar con estos números enteros:
 –3 °C  En Puno se reportó una temperatura de 3 grados bajo cero.
 –700 a. C.  La cultura Paracas se desarrolló 700 años antes de nuestra era.
 S/ 200  El saldo de una cuenta bancaria es de S/ 200.
 –60 m  El buzo se sumergió 60 metros bajo el nivel del mar.
El cero no es positivo ni negativo
Z = –
U {0} U +
RECUERDA
Ejemplo 2
Determina cuántos números enteros hay entre –3 y 5.
 Graficamos la recta numérica y ubicamos los números –3 y 5:
– –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +
 Observamos que entre –3 y 5 están los números –2; –1; 0; 1; 2;
3 y 4.
Hay 7 números enteros.
Muchas situaciones de la vida cotidiana se representan
con números enteros. Conocer dichas representaciones te
permitirá, por ejemplo, simbolizar una deuda de S/ 30, un
saldo a favor de S/ 50, una temperatura de 5 °C sobre cero
o bajo cero, etc.
ADUNI SCHOOL
En el conjunto de los números enteros, que simbolizamos con ,
podemos distinguir:
 Números enteros positivos ( +
): +1; +2; +3; +4; …, que son los nú-
meros naturales.
 El número 0.
 Números enteros negativos ( –
): –1; –2; –3; –4; …
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA
– –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +







Aritmética / 1ER.
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Enteros positivos ( +
)
Enteros negativos ( –
)

89
|–5| = 5 |+4| = 4
Ejemplo 4
Los termómetros del margen registran la temperatura de un lugar
de Puno en dos momentos del día: –8 °C y –2 °C. ¿Cuál de las dos
temperaturas es mayor?
 Sabemos que la temperatura –8 °C es más fría que –2 °C. Por lo
tanto, –2 °C es mayor que –8 °C –2 > –8.
 Representamos los números enteros –2 y –8 en la recta numérica:
– –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +

Los números enteros están representados de forma creciente sobre la
recta numérica.
Así verificamos que –8 < –2.
La temperatura –2 °C es mayor que –8 °C.
|+b| = b |–a| = a
Ejemplo 3
Determina el valor absoluto de –5 y +4.
Representamos y hallamos el valor absoluto de –5 y +4:
– –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +
Opuesto de un número
entero
Dos números enteros distintos
son opuestos si están situados
a la misma distancia del cero.
Opuesto (+a) = –a
Opuesto (–a) = +a
RECUERDA
ADUNI SCHOOL
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) que hay entre dicho número y el cero en la
recta numérica. Se escribe entre dos barras.
RELACIÓN DE ORDEN
Dados dos números enteros, el mayor de ellos es el que está situado a la derecha del otro en la recta numérica.
–8 °C
+12
+10
+8
+6
+4
+2
0
–2
–4
–6
–8
–10
–2 °C
+12
+10
+8
+6
+4
+2
0
–2
–4
–6
–8
–10
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