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Índice
UNIDAD 1 Conviviendo con las cuatro operaciones
Capítulo 1
Adición de números naturales........................... 5
Capítulo 2
Sustracción de números naturales.................... 12
Capítulo 3
Aplicación de adición y sustracción.................. 20
Capítulo 4
Multiplicación de números naturales................ 24
Capítulo 5
Complemento.................................................... 31
Capítulo 6
División de números naturales.......................... 34
Capítulo 7
Aplicación de la multiplicación y división de
números naturales....................................... 41
Capítulo 8
Operaciones combinadas................................... 45
Capítulo 9
Repaso............................................................... 50
UNIDAD 2 Conociendo la antigua Aritmética: La teoría de los números
Capítulo 1
Divisibilidad y multiplicidad.............................. 54
Capítulo 2
Criterios de divisibilidad.................................... 61
Capítulo 3
Números primos................................................ 66
Capítulo 4
Cantidad de divisores de un número................. 73
Capítulo 5
Máximo común divisor y Mínimo
común múltiplo............................................ 78
Capítulo 6
Complemento.................................................... 85
UNIDAD 3 Los números racionales en nuestra vida cotidiana
Capítulo 1
Números fraccionarios...................................... 89
Capítulo 2
Operaciones con números fraccionarios I......... 99
Capítulo 3
Repaso............................................................... 107
Capítulo 4
Operaciones con números fraccionarios II........ 110
Capítulo 5
Aplicaciones de los números fraccionarios....... 117
Capítulo 6
Números decimales........................................... 123
Capítulo 7
Operaciones con números decimales................. 131
Capítulo 8
Complemento.................................................... 136
Capítulo 9
Aproximaciones decimales................................ 139

TRILCE
Aritmética
UNIDAD 4 La necesidad de saber las unidades de medida
Capítulo 1
Conversión......................................................... 145
Capítulo 2
Repaso............................................................... 151
Capítulo 3
Razones............................................................. 154
Capítulo 4
Regla de tres simple.......................................... 159
Capítulo 5
Porcentaje......................................................... 164
Capítulo 6
Complemento.................................................... 169
Capítulo 7
Estadística I...................................................... 172
Capítulo 8
Estadística II..................................................... 179
Capítulo 9
Repaso............................................................... 185

UNIDAD 1
La primera calculadora, aún en uso y con varios miles de años
de antigüedad fue el ábaco. Luego de eso y a partir de épocas re-
lativamente recientes, se han desarrollado innúmeras máquinas
capaces de realizar las cuatro operaciones. En esta imagen ve-
mos una máquina de diferencias de Babbage, primera máquina
programable, permitía calcular logaritmos.
Conviviendo con las cuatro operaciones
E
n cada actividad humana sea técnica, científica o cotidiana los números han jugado un papel muy
importante... los números siempre están presentes y gobiernan el universo del hombre.
Aún en las tareas más simples como son la preparación de una comida, hacer compras, medir el
tiempo de un juego, comprar el pan, colocar los platos y cubiertos sobre la mesa, mirar la talla
de la franela que nos gusta para que mamá la compre, en fin, en todas y cada una de las acciones
del ser humano se encuentran presente los números.
• Según la lectura: ¿los números siempre están presentes en nuestra vida cotidiana?, ¿y las operaciones
básicas también lo están? ¿Por qué? Da algunos ejemplos.
AprendiZajes esperados
Razonamiento y demostración
• Definir las cuatro operaciones e identificar sus
propiedades.
• Elaborar modelos de la vida real donde se apli-
que las cuatro operaciones: adición, sustrac-
ción, multiplicación y división.
Comunicación matemática
• Identificar y utilizar diferentes formas de repre-
sentación de enunciados de las operaciones
básicas.
• Identificar palabras en los enunciados relacio-
nándolos con las operaciones básicas.
Resolución de problemas
• Elaborar estrategias para la resolución de pro-
blemas de cuatro operaciones.
• Resolver problemas que involucren adición,
sustracción, multiplicación y división.
• Resolver problemas de contexto real y mate-
mático que implican utilizar las operaciones
básicas.
• Identificar algoritmos que se puedan utilizar
para resolver problemas.

1
Adición de números naturales
UNIDAD 1
Central: 619-8100 5
En este capítulo aprenderemos:
• A reconocer, identificar e interpretar los elementos y propiedades de la "Adición".
• A elaborar estrategias para la resolución de los problemas propuestos.
¿Cómo sumaban los egipcios?
L
a suma es la primera operación cuya necesidad siente el
hombre; los dedos de las manos y las piedrecillas le basta-
ron en un comienzo, pero cuando irrumpe en el campo del
comercio necesita fijar sus compras y sus ventas.
¿Cómo sumaban los egipcios y los caldeo–asirios?
Los egipcios y los caldeo–asirios efectuaron la suma haciendo
huellas en la arena, donde colocaban unas bolitas; cada una de
esas bolitas en la huella de la derecha representaba un objeto;
cada bolita en la siguiente huella (hacia la izquierda) representa-
ba diez objetos; en la siguiente huella representaba cien objetos;
en la cuarta, mil objetos, etc.
En el esquema que se da a continuación están los cuatro momen-
tos de la suma de 647 + 285:
Primer paso
El número 647
Segundo paso
Se le añade 285
Tercer paso
Se dejan dos en la
primera columna
Cuarto paso
Se dejan 3 bolitas en la segun-
da columna
• Si tú fueras un egipcio, ¿cómo sumarías: 378 + 482?
Saberes previos
1. ¿Cuántas unidades hay en dos decenas?
2. ¿Cuántas unidades hace una docena?
3. ¿Cuántas decenas hay en una centena?
4. Entre 5 docenas y 6 decenas, ¿quién es mayor?
¿Porqué?
5. ¿Cuáles son los números naturales?

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6
Conceptos básicos
Definición
La adición es la operación matemática que consiste en agregar, agrupar o añadir dos números o más para
obtener una cantidad final o total.
Elementos de la adición:
signo
15 + 26 + 108 = 149 →suma
sumandos
Propiedades de la adición de números naturales
Propiedad de clausura o cerradura
Al considerar la adición de dos números naturales, es indudable que siempre se obtiene un número
natural. En general, si "a" y "b" son dos números naturales y su suma es "c", "c" siempre es un número
natural.
Es decir:
Si: a ∈ y b ∈ entonces: a + b = c y c ∈
Ejemplo:
Si: 9 ∈ y 5 ∈ , entonces: 9 + 5 = 14 ∈
Los números naturales ( ) son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; ... ; ∞
Recuerda que...
Propiedad conmutativa
"El cambio del orden de los sumandos no altera la suma".
Es decir:
Si: a ∈ y b ∈ , entonces: a + b = b + a
Ejemplo:
Si: 4 ∈ y 7 ∈ , entonces: 4 + 7 = 7 + 4
11 = 11
Propiedad asociativa
"La forma como se asocien los números no altera la suma".
Es decir:
Si: a ∈ ; b ∈ y c ∈ , entonces: (a + b) + c = a + (b + c)
Ejemplo:
Si: 6 ∈ ; 2 ∈ y 8 ∈ , entonces: (6 + 2) + 8 = 6 + (2 + 8)
8 + 8 = 6 + 10
16 = 16

1
UNIDAD 1
Central: 619-8100 7
Sabías que...?
Elemento neutro de la adición
"El cero es el elemento neutro de la adición".
Es decir:
Si: a ∈ entonces: a + 0 = a
Ejemplo:
Si: 17 ∈ , entonces: 17 + 0 = 17
• Completa el siguiente cuadrado mágico, sabiendo que toda suma en cualquier dirección es la
misma; además los números deben ser diferentes del 1 al 16.
3
7 4
16
12 15 2 5
Síntesis teórica
Ejemplo
Adición de
números
naturales
• Sumandos
• Signo "+"
• Suma
Acción de
Agregar, agrupar o añadir
Ejemplo Ejemplo Ejemplo
Asociativa
"La forma como
agrupamos los su-
mandos no altera la
suma".
Conmutativa
"El orden de los
sumandos no altera
la suma".
Clausura
"Si sumamos dos o
más números natura-
les, el resultado tam-
bién es otro número
natural".
Elemento neutro
"Si sumamos cual-
quier número natural
con el cero, el re-
sultado sigue siendo
el mismo número
natural".
(5 + 7) + 9 = 5 + (7 + 9)
12 + 13 = 13 + 12
8 + 9 = 17 27 + 0 = 0 + 27 = 27
sus propiedades son
elementos

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8
Aplica lo comprendido
10 x
5
50
1. Relacionar:
a) 12 + 19 = 31 ( )Elemento neutro
b) 28 + 46 = 46 + 28 ( )Propiedad con-
mutativa
c) 65 + 0 = 65 ( )Propiedad de
clausura
2. Efectúa las siguientes sumas:
• 57 892 + 3 872
• 25 763 + 9 564 + 6 785
• 8 562 + 3 548 + 1 564
• 10 890 + 5 684 + 8 910
3. En las siguientes operaciones, halle lo indicado.
• Dar como respuesta el producto de la ma-
yor y la menor cifra encontrada.
6 .… 4 3 8 +
3 .… 2 ….
__________________
.… 3 5 …. 1
• Dar como respuesta la suma de la mayor y
menor cifra encontrada.
…. 8 6 …. 2 +
3 9 9 ….
__________________
4 … … 9 6
• Dar como respuesta la mayor cifra hallada.
3 …. 9 2 3 7 +
… 2 …. 4 …. 2
----------------------------------------
... 1 3 4 …. 8 ….
4. Si "A" representa a un número de tres cifras im-
pares y "B" a un número de cuatro cifras, hallar:
• El mayor valor que pueda tomar "A + B".
• El mínimo valor que puede tomar "A + B".
5. Compara el valor de las columnas "A" y "B" en
cada fila coloca ">" ; "<" ó "=" según corres-
ponda:
"A" "B"
35 + 60 + 27 ... 46 + 34 + 50
9 decenas +
27 unidades
...
53 unidades +
6 decenas
15 decenas +
19 unidades
...
19 decenas +
15 unidades
La suma de los 7
primeros números
impares
...
4 decenas +
9 unidades
25 decenas + 30
unidades
...
2 centenas +7 decenas
+ 10 unidades
6. Indicar las dos últimas cifras de la siguiente
suma:

7

7 7

7 7 7

... ... ...

7 7 ... ... ... 7 7
+
6 sumandos

6. Completar según corresponda cada propiedad
de la adición:
• 23 + …. = 15 + ….. Propiedad
conmutativa
• 0 + ….. = 29 Propiedad del elemento
neutro
• (7 + 15) + …… = ….. + (….. + 9)
• 46 + ….. = 70 Propiedad de clausura
7. La propiedad ……………………. nos dice que la
"forma como ………………….. los sumandos no
altera la…………………."
8. El …………………………. de la adición es el cero.
• Completar las cifras que faltan:
4.

6 .... 7 +
3 9 ....
1 .... 2 5
5.

8 1 5 7 +
.... 2 ....
.... 2 .... 0
Aprende más

1
UNIDAD 1
Central: 619-8100 9
7. Indicar la suma de las dos últimas cifras de la
siguiente suma:

1

1 1

1 1 1

... ... ...

1 1 ... ... ... 1 1
+
12 sumandos

8. Efectúa:
4 + 44 + 444 + ... (9 sumandos)
9. Calcule la suma de las tres últimas cifras de la
siguiente adición:
2 + 28 + 282 + 2828 + ... + 28282828282
10. Hallar la suma de cifras del resultado de sumar:
333338 + 333383 + ... + 833333
11. Si: a + b = 7
calcule: a5b + 2ba + ba3
12. Si: u42q + mqu3 + qe68 = aeuq4
calcule: q + u + e + m + a
13. Daniel tiene a56 soles y desea comprar una
computadora que cuesta d194 soles para lo
cual necesita bab soles. Calcule "a + b + d".
14. Si: CHINA + IH1H = NIN62
hallar: C + H + I + N + A (H ≠ 0)
15. La Sra. María, nació en el año 1979 y vivió 6a
años, muriendo en el año 20ab. Diga usted el
valor de "a + b".
Aplicación cotidiana
En el siguiente esquema se muestra la población
proyectada en forma anual en la provincia de Sa-
tipo.
16. ¿Cuál fue la población de dicha provincia en los
años pares?
17. Indicar la población total en los cuatro primeros
años de dicho gráfico
18. Si para el año 2007, la población se incrementó
en 7 458 personas a comparación del año 2005,
entonces, ¿cuál es la población en el año 2007?
Prov. Satipo. Población proyectada en forma anual
1993–2005
94 250
125 580 130 451 135 612 141 085 146 832
1993 2001 2002 2003 2004 2005
¡Tú puedes!
1. Si: VV + VV + AA = UVA, calcular: U + V + A.
a) 10 b) 12 c) 18 d) 19 e) 21
2. Si: 19ab + 18ab + 17ab + ... + 1ab = mxy77, determinar "a + x + y"
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
3. Si: (a + b + c)2
= 484, hallar: abc + cab + bca + 111
a) 2 468 b) 25 553 c) 2 553 d) 12 567 e) 2 335
4. Hallar "a + b + c + d", si: 24abcd + 442 639 = abcd34
a) 28 b) 29 c) 30 d) 27 e) 26

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10
5. Determinar la suma de todos los números ab que existen, tal que: a – b = 5
a) 360 b) 380 c) 320 d) 400 e) 480
Practica en casa
18:10:45
1. Completa las siguientes expresiones con algu-
nas de las palabras del recuadro:
asociativa uno cero
conmutativa suma sumandos
suma asociemos distributiva
resultado sumandos ordenemos
• Los términos de una adición son
......................... y .........................
• La propiedad .................................. nos dice
que "el orden de los ....................... no altera
la ............................."
• El elemento neutro de la adición es el ............
• La propiedad ........................... nos dice que
la "forma como ...................... los sumandos
no altera el .........................."
2. Relaciona los ejemplos de la columna superior
con las propiedades de la columna inferior:
( ) 17 + 0 = 17
( ) 28 + 39 = 67
( ) 205 + 160 = 160 + 205
( ) 0 + 38 = 38
( ) (56 + 34) + 29 = 56 + (34 + 29)
( ) 1 256 + 467 = 467 + 1 256
A. Propiedad del elemento neutro
B. Propiedad conmutativa
C. Propiedad de clausura
D. Propiedad asociativa
3. Efectuar las siguientes adiciones:
• 768 + 6 716
• 468 926 + 546 472
• 1 563 + 896 402 + 3 456
• 79 503 + 4 658 + 21 789
4. En el siguiente cuadro completa los espacios en
blanco para que la suma en las filas, columnas y
diagonales se verifiquen. Indica el mayor de los
números faltantes.
71
18 9 46
11 32 106
8 20 58
15 28 102
77 68 88 79 89
5. Indicar la menor cifra encontrada en:
* * 4 6 +
3 *
3 1 7 0
7 8 * 2
6. Calcular la suma de las dos últimas cifras del
resultado en:
4 + 41 + 414 + 4141 + ... + 41414141
7. ¿Cuál es la cifra de centenas del resultado?
8 + 88 + 888 + ... (12 sumandos)
8. Hallar "a + b + c", si:
ab4 + bba + 1c96 = 2 964
9. Si: a + b + c = 18
hallar: abc + bca + cab
10. Calcular "a + b"
si: aaa + 381 + bb6 = pq69
11. Carlos Rivera nació en el año 19a6 y luego de
vivir 6b años muere en el año 20b7. Calcular
"a + b".
12. Tengo S/. ab9 y si recibiera S/. m43 de propina
tendría S/. 93m. ¿Cuánto recibí?
A
C
B
A
D
B

1
UNIDAD 1
Central: 619-8100 11
13. En una lista de números, cada número después
del primero se obtiene sumando todos los nú-
meros que le preceden. ¿Cuál es el octavo nú-
mero de la lista, si el tercero es 4?
14. Teresita eligió tres dígitos distintos que sumados
dan 6 y escribió todos los números de tres cifras
que se pueden formar con ellos (sin repeticio-
nes), luego sumó todos los números que obtu-
vo. ¿Cuál fue su resultado?
15. Hallar el valor de "C + E" en:
1CABLE + 1CABLE + 1CABLE = CABLE1
Si a letras iguales le corresponde la misma cifra,
letras diferentes representan cifras diferentes.
Links de apoyo:
• http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/zonaalumnos/tkPop
Up?pgseed=1180249174513&idContent=31510&locale
=es_ES&textOnly=false (calculo mental de adición)
• http://www.genmagic.net/mates4/ser3c.swf (juego de adi-
ción)

12
2 Aritmética
TRILCE
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Sustracción de números naturales
• A identificar e interpretar los elementos de la "Sustracción" en problemas diversos
El método complementario de los hindúes
E
ste método fue usado ya por BHASKARA en su "Lilavati"
(1 150 d.C.), aunque es casi seguro que su origen sea más
antiguo.
El procedimiento es el siguiente:
1. Se halla el complemento aritmético del sustraendo (para lo cual
se resta cada una de sus cifras de 9, excepto la última significa-
tiva, que se resta de diez).
2. Se suma el minuendo con el complemento aritmético hallado.
3. Del resultado se resta la unidad seguida de tantos ceros como
cifras tenga el sustraendo. Esta diferencia es el resultado final.
Esta es una página del manuscrito del Li-
lavati de Bhaskara II. Este manuscrito data
de 1650, sin embargo la obra es mucho
más antigua
a) 85 – 30 = (85 + 70) – 100 = 155 – 100 = 55
b) 574 – 234 = (574 + 766) – 1 000 = 1 340 – 1 000 = 340
c) 72 152 – 853 = (72 152 + 147) – 1 000 = 72 299 – 1 000 = 71 299
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60
Sistema de numeración hindú
Lilavati.
• Con el método complementario de los hindúes, ¿cómo hallarías: 2 545 – 1 056?

2
UNIDAD 1
Central: 619-8100 13
Saberes previos
1. Resolver: 58 – 37
2. Resolver: 423 – 289
3. ¿Cuánto le falta a 67 para ser igual a 100?
4. ¿Cuánto le falta a 824 para ser igual a 1 000?
5. ¿Se puede resolver: 46 – 50? ¿Por qué?
Conceptos básicos
Definición
A la acción de extraer, sacar o quitar le llamamos sustracción, que es la operación inversa a la adición.
Elementos de la sustracción:
78 – 21 = 57
↓ ↓ ↓
Minuendo Sustraendo Diferencia
(M) (S) (D)
Es decir:
M – S = D
Para que la sustracción se pueda dar en
el conjunto de los números naturales es
necesario que el MINUENDO sea ma-
yor o igualL que el SUSTRAENDO.
Importante:
Observaciones:
a) Si tanto al minuendo como al sustraendo se le suma o resta un mismo número, entonces la
diferencia no se altera.
Ejemplo:
45 – 17 = 28
Sumemos 6 a cada término de la sustracción:
(45 + 6) – (17 + 6)
51 – 23 = 28 ¡La diferencia no se alteró!
b) Si solo al minuendo le sumamos o restamos un número natural, la diferencia queda aumen-
tada o disminuida en esa cantidad.
Ejemplo:
47 – 25 = 22
Aumentemos 8 solo al minuendo:
(47 + 8) – 25
55 – 25 = 30 ¡La diferencia quedó aumentada en 8!
c) Si solo al sustraendo le sumamos o restamos un número natural, la diferencia queda afectada
de forma contraria en esa misma cantidad.
Ejemplo:
28 – 12 = 16
Aumentemos 5 solo al sustraendo:
28 – (12 + 5)
28 – 17 = 11 ¡La diferencia quedó disminuida en 5!

Aritmética
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14
Propiedad: "La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo".
M + S + D = 2M
• La suma de los tres términos de una sustracción es 1 056, hallar el mayor de los
tres términos.
Resolución:
Sabemos que el mayor término de una sustracción es el minuendo.
Del dato: M + S + D = 1 056
Es decir: 2 M = 1 056
M = 528
Respuesta: 528
Ejemplo
Ejemplo
Complemento aritmético
Es la cantidad de unidades que le falta a un número para ser el menor número de orden inmediato superior.
Es decir, si el número es de dos cifras, su complemento aritmético es la cantidad de unidades que le falta
para ser el menor número de tres cifras.
• CA(6) → Lo que le falta a 6 para 10: CA (6) = 10 – 6 = 4
• CA(64) → Lo que le falta a 64 para 100: CA (64) = 100 – 64 = 36
• CA(728) → Lo que le falta a 728 para 1 000: CA (728) = 1 000 – 728 = 272
Ejemplos
Método práctico para calcular el complemento aritmético
Tomando de derecha a izquierda la primera cifra significativa del número al que se le está calculando su
complemento aritmético, se le resta de 10 y a los demás de 9. Si hay ceros al final, estos permanecen en
el complemento.
• CA(4 568) = (9 – 4)(9 – 5)(9 – 6)(10 – 8) = 5 432
• CA(7 520) = (9 – 7)(9 – 5)(10 – 2)0 = 2 480
Ejemplos
¡Ahora hazlo tú!
Halla el complemento aritmético de:
• 7 590 =
• 52 700 =
El Minuendo es mayor o igual que el Sustraendo
m + s + d = 2m
No olvidar...

2
UNIDAD 1
Central: 619-8100 15
Síntesis teórica
Es la cantidad de unidades que le falta
a un número para ser el menor núme-
ro de orden inmediato superior.
Complemento
aritmético
Sus términos son
S + M + D = 2M
Es
Sustraendo
Es la cantidad menor
que se va a restar.
Diferencia
Es el resultado de la
operación.
Minuendo
Es la cantidad mayor
a quien se le realizará
la resta.
La operación inversa
a la adición.
Propiedad
La sustracción de
números naturales
M – S = D
10 x
5
50
1. Con los siguientes números: 468; 875 y 407
completar el siguiente esquema e indicar los
elementos de la sustracción:
.............. – → ( )
.............. → ( )
__________
( ) ← ..............
2. El doble del minuendo es igual a la suma de los
......................................... de una sustracción.
3. Lo que le falta a un número para ser igual al nú-
mero de orden inmediato superior se le conoce
como:
.........................................................................
4. Completar:
• CA(489) → Lo que le falta a 489 para
................................ ⇒ CA(489) =
• CA(8210) → Lo que le falta a 8 210 para
................................ ⇒ CA(8 210) =
5. En el siguiente ejercicio, escribir las cifras que
faltan:
9 …. 5 –
4 6 …
___________
… 2 7

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16
Aprende más
1. Efectúa:
• 12 596 – 5 946
• 78 090 – 21 564
• 53 701 – 45 088
• 489 520 – 298 354
• 600 864 – 428 523
2. Completa las siguientes sustracciones:
• 7 * 5 2 –
4 * 6
* 2 6 *
• 9 * * 5 –
* 7 6 *
3 5 8 6
• 4 0 8 * 6 –
* 5 9 *
* 5 * 7 2
• * * 5 9 –
6 4 * *
1 2 7 6
• 4 8 * * 6 –
3 5 9
* * 4 8 *
3. En las siguientes operaciones, halle lo que se
indique:
• Dar como respuesta la suma de las cifras que
faltan de la diferencia.
2 * 2 * 7 * –
5 3 4 * 9
* 6 * 6 5 2
• Dar como respuesta la suma de las cifras que
faltan del minuendo.
* * 4 4 –
3 7 *
1 9 * 7
• Dar como respuesta la mayor cifra hallada
del minuendo.
* 2 * * * –
1 * 3 4 6
6 1 9 1 8
4. Calcule:
• CA (8) • CA (6)
• CA (57) • CA (679)
• CA (782) • CA (6 846 824)
• CA (67 258 000) • CA (1 000 589 472)
5. Si: CA(tio) = 124, calcule: t + i + o
6. De 598 resta 295.
7. Resta 930 de 1 386.
cada fila coloca ">" ; "<" ó "=" según corres-
ponda:
"A" "B"
La diferencia entre cente-
nas consecutivas
…….
120 disminuido en
19
El exceso de 6 decenas
sobre 18 unidades
…….
La diferencia de 169
y 127
La diferencia entre núme-
ros pares consecutivos
…….
La diferencia de dos
días consecutivos
El número que falta a 8
para completar 29
……
2 decenas disminui-
do en 8 unidades
12 sustraído de 35 …… 40 menos 2 docenas
9. Completa en los espacios en blanco especi-
ficando lo que sucede con la diferencia, si
aumenta o disminuye y en cuántas unidades:
• Si el minuendo aumenta en 24 unidades, la
diferencia ....................................................
...............................................................
• Si el sustraendo aumenta en 4 unidades, la
diferencia ....................................................
...............................................................
• Si el minuendo disminuye en 8 unidades, la
diferencia ....................................................
................................................................
• Si el sustraendo disminuye en 37 unidades,
la diferencia ................................................
.................................................................
• Si el minuendo disminuye en 7 unidades
y el sustraendo aumenta en 9 unidades, la
diferencia ..................................................
• Si el minuendo aumenta en 8 unidades y el
sustraendo aumenta también en 8 unidades,
la diferencia ..............................................
10. En una sustracción la suma de sus términos es
1 926. Si el sustraendo es la tercera parte del
minuendo, hallar el sustraendo.
124-20=104
Aumenta 24 unidades
100-24=76
Disminuye 4 unidades
Rpta: 321

2
UNIDAD 1
Central: 619-8100 17
11. La diferencia de dos números es 149. Si al ma-
yor se le disminuye 18 unidades y al menor se
le aumenta en 25 unidades, ¿cuál será la nueva
diferencia?
12. Hallar el complemento aritmético del mayor
número de tres cifras diferentes. Dar como res-
puesta la suma de sus cifras.
13. Carmen decide ir de viaje a Cajamarca para lo
cual cuenta con una bolsa de viaje de S/. abc, al
llegar a dicha ciudad decidió quedarse 3 días y
solo gastó S/. bc8, quedándole S/. 204. Calcule
"a + b + c".
14. Si: CA(aa) = 9a, calcular "a".
15. Si: CA(asu) = 13, calcular "a + s + u"
En el 2009 se desarrolló el Campeonato de Bowling en el cual cada club quedó al final con las siguientes
puntuaciones:
Asociación Deportiva Metropolitana de Bowling – Campeonato Clubes 2009
Club II Camp. Individual I Camp. Tríos I Camp. Individual Total acumulado
1° Bolicheros 253 137 283 673
2° Apoquindo 193 117 163 473
3° Pumas 221 54 166 441
4° Pin Motion 143 114 132 389
5° Skorpio 90 7 68 165
16. Hallar la diferencia entre el I campeonato individual y el I campeonato de tríos.
17. ¿Cuántos puntos le falta al I campeonato individual para que tenga la misma puntuación del II cam-
peonato individual?
18. Hallar la diferencia de los clubes Bolicheros y Pin Motion en el I campeonato de tríos.
¡Tú puedes!
1. Calcular abc, si: abc – cba = 2xy
abc + cba = 1 535
a) 597 b) 792 c) 854 d) 619 e) 916
2. Determinar la suma de cifras de bab, sabiendo que su complemento aritmético es: c(a + 3)(a + 2)
a) 10 b) 8 c) 11 d) 13 e) 15
3. Si: abc – cba = xyz ; calcular: E =
x + z
y
+
y
x + z
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Se cumple: mup – emt = pum; además: e – t = 3; CA(u) = t. Hallar la suma de las cifras de: muppet
a) 27 b) 29 c) 31 d) 25 e) 23
5. La suma de los términos de una sustracción es 570. Además el sustraendo es 2/5 del minuendo. Deter-
minar la suma de cifras de la diferencia.
a) 17 b) 15 c) 9 d) 8 e) 10

Aritmética
TRILCE
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18
Practica en casa
18:10:45
1. Hallar las cifras que debemos escribir en cada
casillero e indicar lo que se pide:
• La suma de las dos mayores cifras halladas.
3 9 –
2 2
2 2 1 5
• La menor cifra encontrada.
1 4 4 –
2
2 1 6
• Suma de cifras halladas.
7 3 4 –
8
1 3 9 4 7
2. Efectuar:
• 78 560 – 5 946 • 21 059 – 4 987
• 76 548 – 9 564 • 23 232 – 1 313
• 77 777 – 8 888 • 156 156 – 3 443
3. Calcular el complemento aritmético de los si-
guientes números:
• 8 • 23 567 298 • 59
• 8 986 269 • 346 • 29 385 297
• 509 • 60 900 500 • 7 891
4. Cambia las letras por cifras que completen co-
rrectamente las siguientes sustracciones e indi-
car lo que se pide:
• Suma de cifras diferentes halladas.
b 5 4 6 a
4 c 6 b 8
–
a c b 8 5
• Hallar la suma de las cifras del sustraendo.
c 4 a 6 –
1 c 5 b
b 1 b 4
• Indicar "b – a".
b 5 2 1 a
a a 5 b 5
–
1 a c 2 2
• Hallar "a + b + c".
8 a 5 c 4
4 b c 7 5
–
a 4 c 4 b
5. Si la suma de los términos de una sustracción es
460, hallar el minuendo.
6. Si el sustraendo es la quinta parte del minuendo
y la suma de los tres términos de una sustrac-
ción es 780, hallar la diferencia.
7. Hallar la diferencia entre el menor número im-
par de cinco cifras diferentes y el mayor número
impar de cuatro cifras diferentes.
8. La suma de los términos de una sustracción es
520. ¿Cuál es el complemento aritmético del
minuendo?
9. Al minuendo se le suma 120 y al sustraendo
40, ¿qué resultado se obtiene sabiendo que la
diferencia original era 120?
10. La diferencia de dos números es 276. Si dismi-
nuimos 35 unidades al minuendo y aumenta-
mos el sustraendo en 18 unidades, ¿cuál será la
nueva diferencia?
cada fila y escribe: ">" ; "<" ; "=" o si "no se
puede determinar", según corresponda:
"A" "B"
54 disminuido en
3 docenas ......
39 disminuido en
una decena
El número que
le falta a 46 para
completar 59 ......
5 docenas menos 4
decenas
73 sustraído de
una centena ......
La diferencia entre
56 y 41
Complemento
aritmético de 12 ......
Complemento arit-
mético de 999912
CA (99999157) ...... CA (156)
4
3
1
4
7„
8
4
2
1
1„
5
9
3
3
1
21„
2
1013731
491
654
41
2109
76432702
39099500
70614703
³
5
7
7
7
3
147

2
UNIDAD 1
Central: 619-8100 19
12. ¿Cuál es la diferencia entre el complemento
aritmético de 3 888 y el complemento aritméti-
co de 8 883?
13. Si "P" representa a un número de tres cifras y
"Q" representa a un número de dos cifras, ¿cuál
es el máximo valor que puede tomar "P – Q"?
14. Isaac recibe S/. 67ca16 por la venta de su casa
pero tuvo que pagar una deuda de S/. d5ab4 y
le quedó S/. 6aa97a. Calcular "a + b + c + d".
15. De 45mnn personas que asistieron al estadio
para ver el partido de Universitario vs. Alianza
Lima, se retiran 1m964 personas antes que aca-
be el partido por medida de seguridad. Los que
se quedaron hasta el final del partido fueron
p7758 personas. ¿Cuántos se retiraron?
Links de apoyo:
http://redes.agrega.indra.es/visualizar/es/
es_20080613_3_9162400/false# (Relaciones entre suma y
resta)
http://genmagic.net/repositorio/displayimage.php?pos=–220
(juegos con adición y sustracción)

20
3 Aritmética
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Aplicación de adición y
sustracción
• A interpretar enunciados y expresarlos mediante las operaciones de la adición y la sus-
tracción.
Nuestros actuales signos operatorios
Los signos "+" y "–"
• Posiblemente estos dos signos fueron utili-
zados por los comerciantes, como simples
marcas indicativas del exceso (+) o falta (–)
de peso en las mercaderías que recibían.
• También pudiera ser que, como en los paí-
ses latinos las palabras MÁS y MENOS,
como indicativos de la adición y de la sus-
tracción, están dados por las palabras PLUS
y MINUS (de las que generalmente solo se
usaban sus iniciales P y M) los signos "+"
y "–" bien podrían provenir de la deforma-
ción de dichas letras:
¡Cómo pasa
el tiempo!
, , ,
Para el signo más.
, , ,
Para el signo menos.
• En la actualidad se sigue usando las palabras "más" o "menos" para indicar "exceso" o "falta".

3
Aplicación de adición y sustracción
UNIDAD 1
Central: 619-8100 21
Saberes previos
1. Resolver: 450 + 782
2. Resolver: 5 482 + 3 278
3. Resolver: 750 – 468
4. Resolver: 8 701 – 6 789
5. Calcular la suma de 64 con su doble.
1. Carmen compra una cocina en S/. 700 y lo quie-
re vender ganando S/. 150. ¿En cuánto debe
vender la cocina?
2. Ana se pone a dieta, el primer mes bajo 900 g,
el segundo mes bajo 200 g menos que el mes
anterior, el tercer mes subió 250 g y el cuar-
to mes subió 300 g más que el mes anterior.
¿Cuántos gramos bajó Ana al finalizar el cuarto
mes?
3. Julio abre una cuenta de ahorro en el banco con
S/. 550, deposita S/. 100, luego retira S/. 150;
posteriormente retira S/. 200 por el cajero auto-
mático y finalmente hace un retiro en caja del
banco por un monto de S/. 170. ¿Cuánto le que-
da en el banco?
4. Un automovilista se desplaza por la Paname-
ricana a una velocidad de 70 km/h, luego au-
menta su velocidad en 40 km/h, posteriormente
vuelve a aumentar su velocidad en 30 km/h y
luego disminuye su velocidad en 50 km/h. ¿A
qué velocidad se desplaza el automovilista?
5. Javier se encuentra en la cima del Huascarán,
cuya altura es de 6 746 m y desciende 429 m.
Mario se encuentra a 280 m de la cima y luego
asciende 115 m. ¿Cuál es la diferencia entre las
alturas en las que se encuentran Javier y Mario?
6. Simón mira un documental de tres capítulos.
El primer capítulo duró 1 hora con 25 minutos,
el segundo 1 hora con 35 minutos y el tercero
1 hora con 30 minutos. ¿Qué tiempo estuvo Si-
món viendo el documental?
7. La suma de dos números es 35 y su diferencia es
7. Hallar los números.
Aprende más
8. Al sumar dos números se obtiene 60. Si el ma-
yor excede al menor en 22, ¿cuál es el número
mayor?
9. Juan y Olga tienen entre los dos S/. 106. Si Juan
le diera S/. 46 a Olga, los dos tendrían igual can-
tidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
10. Dos depósitos tienen juntos 76 litros de vino.
Si uno de ellos tiene 24 litros más que el otro,
¿cuántos litros se deben pasar del mayor al me-
nor para que ambos tengan igual cantidad de
vino?
11. A una quinceañera acudieron 145 personas y se
observó que al momento de bailar en parejas,
se quedaron 27 mujeres sentadas. ¿Cuántos va-
rones asistieron a la quinceañera?
12. Unos amigos se reúnen para cenar. Si cada uno
come 8 rosquitas sobran 7, pero si cada uno
come 9 rosquitas faltarían 10. ¿Cuántas perso-
nas se reunieron?
13. Si compro 6 polos me sobrarían S/. 4 y si com-
pro 7 polos me faltarían S/. 4. ¿Cuánto cuesta
cada polo?
14. Cuatro amigos: Alberto, Julio, Nélida y Victoria
recibieron un premio de S/.11 400. Según las
labores que cada uno realizó, Nélida recibiría
S/. 100 más que Victoria, Alberto S/. 100 más
que Nélida y Julio S/. 100 más que Alberto.
¿Cuánto recibió Victoria?
15. Un comerciante se percata de que en la venta
del día ha obtenido S/. 800 en solo billetes de
S/. 20 y S/. 10. Contó los billetes y halló 57.
¿Cuántos billetes hay de cada clase?

Aritmética
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22
Rommel tiene preparado pintar su casa para lo cual ne-
cesita contar con una escalera para poder realizar dicho
trabajo, al llegar a la ferretería se encuentra con dos tipos
de escaleras como se muestran en la figura:
El vendedor le explica que la escalera "A" es más segura
al momento de trabajar pero el costo es mayor, la escale-
ra "B" tiene una mayor altura respecto a la escalera "A" y
el costo es más comodo. Al final el vendedor le dice: "la
escalera "A" vale S/. 40 más que la escalera "B" pero si
llevas las dos escaleras el costo será de S/. 350".
B A
16. ¿Cuál es el precio de cada escalera?
17. Si Rommel cuenta con S/. 110, ¿cuánto le faltará para comprar la escalera "B"?
18. Si decide llevar la escalera "A", ¿cuánto de vuelto recibirá si paga con un billete de S/. 200?
El Señor Molledo está preparando parrilla para sus familiares para lo cual él había
calculado la cantidad de personas que iban a llegar a su casa pero después de unos
minutos se da con la sorpresa que habían más personas de las que se había planificado.
Él menciona: "Si a cada plato le ponemos 4 rodajas de papa como complemento me
sobran 3 rodajas, pero si a cada uno ponemos 5 rodajas de papa como complemento
me faltarían 6 rodajas".
19. ¿Cuántas personas conforman dicha familia?
20. Si al final cada integrante de la familia da S/. 1 más que el anterior, ¿cuánto recau-
dó el señor Molledo si se sabe que el primero dio S/. 3?
¡Tú puedes!
1. Entre polos, chompas y pantalones, una vendedora tiene en total 75 prendas. Si tuviera 12 pantalones
más, 4 chompas más y 7 polos menos, tendría una cantidad igual de cada prenda. Hallar el número
de polos.
a) 24 b) 28 c) 32 d) 31 e) 35
2. Del 1ro "A" pasan al 1ro "B", 15 alumnos, luego del 1ro "B" pasan 20 alumnos al 1ro "A". Si al final "A"
y "B" tienen 65 y 35 alumnos, ¿cuántos alumnos habían inicialmente en cada sección?
a) 65 y 35 b) 55 y 45 c) 50 y 50 d) 60 y 40 e) 56 y 34
3. Un señor quiso dar limosna a un grupo de ancianos, si les daba S/. 5 a cada uno le faltaría S/. 30 y si
les daba S/. 3 a cada uno le sobraría S/. 70. ¿Con cuánto de dinero contaba esa persona?
a) S/. 210 b) 200 c) 220 d) 230 e) 240
4. Un auto debe recorrer 10 km. Si lleva una llanta de repuesto y todas se utilizaron de modo alternado,
¿qué distancia recorrió cada llanta?
a) 2 km b) 2,5 c) 8 d) 10 e) 6

3
Aplicación de adición y sustracción
UNIDAD 1
Central: 619-8100 23
5. La suma de las edades de Patricio y Marisol es 35 años. Si Patricio tuviera 17 años menos y Marisol 8
años más, los dos tendrían la misma edad. ¿Qué edad tiene Patricio?
a) 25 años b) 40 c) 30 d) 45 e) 50
Practica en casa
18:10:45
1. Sandra compra un mini gimnasio en S/. 1 750 y
lo vende a S/. 1 380. ¿Cuánto perdió en la venta?
2. La suma de dos números es 67 y su diferencia es
17. Hallar el mayor de los números.
3. Un depósito con agua tiene un agujero por el
cual se va saliendo el agua. La primera hora salió
43 litros, la segunda hora 16 litros menos que la
hora anterior y la tercera hora 7 litros menos que
la hora anterior. Si aún quedan 80 litros, ¿cuán-
tos litros habían inicialmente en el depósito?
4. La ciudad de Arequipa tiene una altura de
3 300 m sobre el nivel del mar. Un helicóptero
de noticias sobrevolará la ciudad y sube 203 m.
Luego desciende 27 m, baja 13 m y se eleva
49 m. Después de todos estos momentos, ¿qué
altura tiene sobre el nivel del mar?
5. En un aula de 36 alumnos se observa que hay
8 varones más que mujeres. ¿Cuántos varones
hay en el aula?
6. Si compro 7 millares de hojas bond me sobra-
rían S/.5 y si compro 8 millares de hojas bond
me faltarían S/. 3. ¿Cuánto cuesta cada millar de
hojas bond?
7. Beto compra dos televisores, el de 29" le costó
S/. 400 más que el de 14". Si por ambos tele-
visores pagó S/. 1 230, ¿cuánto le costó cada
televisor?
8. Julisa y Fabiola tienen juntas S/. 4 000. Si Julisa
le diera S/. 400 a Fabiola, las dos tendrían la
misma cantidad. ¿Cuánto tiene Fabiola?
9. Una familia se reúne para comer. Si cada miem-
bro de la familia come 6 chorizos sobran 5,
pero si cada uno come 7 chorizos faltarían 8.
¿Cuántos miembros componen la familia?
10. Adolfo apertura una cuenta de ahorro en el ban-
co con S/. 800, deposita S/. 200, luego retira
S/. 450, posteriormente retira S/. 150 por el ca-
jero automático y finalmente hace un retiro en
caja del banco por un monto de S/. 270. ¿Cuán-
to le queda en el banco?
11. Verónica mira una película de tres episodios. El
primer episodio duró 1 hora con 45 minutos,
el segundo 1 hora con 15 minutos y el tercero
1 hora con 50 minutos. ¿Qué tiempo estuvo Ve-
rónica viendo la película?
12. La suma de las propinas de Milagros y Fernanda
es de S/. 82. Si Milagros le diera S/. 14 a Fernan-
da ambas tendrían la misma cantidad de dinero.
¿Cuánta propina tiene Milagros?
13. Camila y Sebastián tienen entre los dos 98 años.
Si Camila es mayor por 14 años, ¿cuál es la edad
de cada uno?
14. Dos depósitos tienen juntos 148 litros de alco-
hol. Si uno de ellos tiene 34 litros más que el
otro, ¿cuántos litros se deben pasar del mayor
al menor para que ambos tengan igual cantidad
de alcohol?
15. Se tienen S/. 152 en dos grupos de monedas, en
una hay monedas de S/. 2 y en el otro de S/. 1.
Si del segundo grupo se pasan al primero 16
monedas, los dos grupos tendrían igual valor,
¿cuántas monedas se tiene en total?
Links de apoyo:
http://genmagic.net/repositorio/displayimage.php?pos=–207
http://www.vedoque.com/juegos/juego.php?j=dados

24
4 Aritmética
TRILCE
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Multiplicación de números
naturales
• A reconocer los elementos de la multiplicación.
• A identificar e interpretar las propiedades de la multiplicación.
• Organizar estrategias para la resolución de problemas.
¿Cómo multiplicaban los hindúes?
E
ntre los métodos utilizados para multiplicar había uno que se conoce con varios nombres distintos:
multiplicación en gelosia o multiplicación en celdillas o en el cuadrilátero.
Observa los siguientes ejemplos:
• En este primer ejemplo el número 538 apare-
ce multiplicado por 47; el multiplicando está
escrito en la parte superior y el multiplicador
en la parte izquierda, y los productos parcia-
les ocupan las celdas cuadradas, de manera
que al sumar los dígitos en diagonal se obtie-
ne el producto 25 286 que aparece en la parte
inferior y derecha del rectángulo.
5 3 8
7
5
3
1
2
6
5
6
4
0
2
2
1
2
3
8
2 5 2
• En este ejemplo se indica que los datos pue-
den estar ubicados también de otras maneras,
aquí se ve el multiplicando 356 situado de
nuevo en la parte superior y el multiplicador
37 en cambio a la derecha, mientras que el
producto 13 172 se lee por la izquierda y la
parte inferior del rectángulo.
3 5 6
1
9
1
5
1
8
3
3
2
1
3
5
4
2
7
1 7 2
• Multiplica: 487 × 56, utilizando el método hindú

4
Multiplicación de números naturales
UNIDAD 1
Central: 619-8100 25
1. Multiplicar: 8 × 9
5. Multiplicar: 6 docenas por 5 decenas
Conceptos básicos
Definición
La multiplicación es una operación aritmética que consiste en sumar reiteradamente la primera cantidad
tantas veces como indica la segunda.
Ejemplo:
3 × 6 significa 6 veces el 3
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 6 = 18
1444442444443
6 sumandos
Elementos de la multiplicación:
9 × 6 = 54
↓ ↓ ↓
Multiplicando Multiplicador Producto
144444444424444444443

Factores
También: Si efectuamos por ejemplo 486 × 37
486 × → Multiplicando
1
4
2
4
3
Factores
37 → Multiplicador
3402 → Primer producto parcial (486 × 7)
1458 → Segundo producto parcial (486 × 3)
17982 → Producto
Propiedades de la multiplicación
La multiplicación tiene propiedades muy parecidas a las de la adición. Veamos:
Propiedad de clausura
"La multiplicación de dos números es otro número".
Si: a ∈ y b ∈ entonces: a × b ∈ .
Ejemplo:
Si: 35 ∈ y 7 ∈ , entonces: 35 × 7 = 245 ∈
Las siguientes expresiones:
a × b, a.b, a(b) y (a)(b) nos indican
multiplicaciones; donde "a" es el
multiplicando y "b" el multiplicador.
Recuerda que...
Propiedad conmutativa
"El orden de los factores no varía el producto".
Si: a ∈ y b ∈ entonces: a × b = b × a
Saberes previos

Aritmética
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26
Ejemplo:
Si: 16 ∈ y 4 ∈ , entonces: 16 × 4 = 4 × 16
64 = 64
"El modo de agrupar los factores no varía el producto"
Si: a ∈ , b ∈ y c ∈ entonces: (a × b) × c = a × (b × c)
Ejemplo:
Si: 6 ∈ , 3 ∈ y 5 ∈ , entonces: (6 × 3) × 5 = 6 × (3 × 5)
18 × 5 = 6 × 15
90 = 90
Propiedad del elemento neutro
"El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él, da el mismo
número".
Si: a ∈ entonces: a × 1 = a
Ejemplo:
Si: 26 ∈ , entonces: 26 × 1 = 26
Propiedad del elemento absorbente
El cero (0) es el elemento absorbente de la multiplicación, porque todo número multiplicado por cero
es igual a cero.
Si: a ∈ entonces: a × 0 = 0
Ejemplo:
Si: 38 ∈ , entonces: 38 × 0 = 0
Propiedad distributiva
La multiplicación es distributiva con la adición y la sustracción.
Si: a ∈ , b ∈ y c ∈ entonces: a × (b ± c) = a × b ± a × c
Ejemplos:
• 25 x (5 + 3) = 25 × 5 + 25 × 3
25 × 8 = 125 + 75
200 = 200
• 25 × (5 – 3) = 25 x 5 – 25 × 3
25 × 2 = 125 – 75
50 = 50
Al multiplicar la unidad seguida de ceros por un número natural, escribimos este número y le agre-
gamos tantos ceros como haya después de la unidad.
Ejemplos:
a) 257 × 100 = 25 700 b) 28 × 1 000 = 28 000 c) 75 × 10 000 = 750 000
d) 56 × 100 = ……………… e) 105 × 1 000 = ………………….
No olvidar...

4
UNIDAD 1
Central: 619-8100 27
Síntesis teórica
Elemento neutro
Todo número multiplicado por 1
es igual al mismo número.
Clausura
Todas las multiplicaciones tienen
producto
8 x 9 = 72
Distributiva
Es distributiva con la
adición y la sustracción.
Elementos:
• Multiplicando (1er factor)
• Multiplicador (2do factor)
• Producto
6×(4±2)=6×4±6×2
3×(5×2)=(3×5)×2
Asociativa
La forma cómo agru-
pemos los factores no
altera el producto.
12 × 7 = 7 × 12 = 84
Conmutativa
El orden de los factores
no altera el producto.
46 x 1 = 46
Elemento absorbente
Todo número multipli-
cado por cero es igual
a cero.
Suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse varias veces.
23 × 0 = 0
Ejemplo
Son
Son
Son
Sus
es una
Tiene
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Propiedades
Multiplicación de nú-
meros naturales
10 x
5
50
1. Ubicar los siguientes números:
26; 718; 2 154 y 9 334 según corresponda:
3 5 9 × →
←
→
→
←
2. Indicar la propiedad que corresponde a cada
ejemplo:
• 378 × 0 = 0
Propiedad ……………………………………....
• 7 × (10 + 6) = 7 × 10 + 7 × 6
Propiedad ……………………………………....
• 152 × 4 = 608
Propiedad ……………………………………....
• 8 × (6 × 15) = (8 × 6) × 15
Propiedad ……………………………………....
• 12 × 25 = 25 × 12
Propiedad ……………………………………....
• 286 × 1 = 286
Propiedad ……………………………………....

Aritmética
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28
1. Halla las cifras que debemos escribir en los casi-
lleros para que la operación sea correcta:
• ×
9
2 4
• 3 6 ×
0 0 8
• ×
7
5 6 3
• ×
7
5 2 8
• 1 ×
3
5 8
2. Efectúa las siguientes operaciones:
• 46 × 78 • 209 × 56
• 2 057 × 28 • 7 209 × 38
• 186 × 3 009
cada fila y escribe el símbolo ">" ; "<"; "=" o
si "no se puede determinar" según corresponda:
"A" "B"
El producto de los tres
primeros números pares
... 4 docenas
24 por el elemento neu-
tro de la multiplicación
...
68 por el elemento
absorbente de la
multiplicación
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 ... 4 veces 7
Una decena por 11 ... 1 ×2 × 3 × 4 × 5
Primer producto parcial
de 146 × 21
...
Segundo producto
parcial de 73 × 27
4. En el siguiente cuadrado deberás completar los
espacios en blanco para que los productos en
las filas, columnas y diagonales se verifiquen.
72
4 288
6 42
5 30
27 240 56 108
5. Efectuar:
16 + 16 + 16 + ... + 16 – (8 + 8 + 8 + ... + 8)
144424443 1442443
9 veces 17 veces
6. José Luis paga S/. 1 445 por la compra de mnp
pelotas. Si el precio de cada pelota es S/. 5,
¿cuál es la cantidad de pelotas que compró?
7. Si: pq × a = 84

pq × b = 28
calcular: pq × ba
8. Si: abc × 3 = m589
calcular: a + b + c
9. Si: pqr × 9 = a766
calcular: p + q + r
10. Si: M × PAPA = 12 120
A × PAPA = 9 696
hallar: PAPA × MA
Aprende más
3. Efectuar:
1 4 9 ×
• Indicar la suma de cifras
del primer producto parcial
3 4
• Indicar la suma de cifras
del producto
4. Indicar la mayor cifra del multiplicando.
4 ×
7
1 7 1
5. Indicar la mayor cifra hallada.
1 ×
6
7 0
6
3
3
8
7
3
9
0
5
3
4
0
5
3
6
8
5
=
>
<
<
=
3 2
7
1
8
9

4
UNIDAD 1
Central: 619-8100 29
11. Si: a × abc = 1 044
b × abc = 1 392
c × abc = 2 784
hallar: abc × cba
12. Si: pqr × p = 208

pqr × q =1 346

pqr × r = 154
hallar: (pqr)2
13. a) ¿En qué cifra termina el siguiente producto:
A = 2 × 4 × 6 × 8 × 10 × ... × 486?
b) ¿En qué cifra termina el siguiente producto:
B = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 × ... × 52 467?
14. Calcular "a + b + c + d", sabiendo que:
abcd × 9 = ... 1879
15. Si: PARE × 99 = ... 1403, hallar: P + R + E
La siguiente figura muestra las huellas de Mariana
sobre la arena de la playa. La longitud de cada paso
es de 45 cm.
16. Si Mariana da 68 pasos, ¿cuál es la longitud que
recorrió?
17. Si Mariana recorre 5 670 cm, ¿cuántos pasos dio Mariana en dicho recorrido?
18. El fin de semana Mariana sale a trotar por lo cual la longitud de cada paso aumentó en 55 cm. Si en
total dio 854 pasos, dar como respuesta la longitud que recorrió (en metros).
¡Tú puedes!
1. Si: 3 × 1edcba = edcba1, entonces "a + b + c + d + e" es:
a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 26
2. Reconstruir la siguiente multiplicación e indicar la suma de cifras desconocidas.
• • 7 ×
• •
1 • • •
• • 6 1
• • 5 • 8
a) 55 b) 56 c) 57 d) 58 e) 59
3. Si: ERICA × 4 = ACIRE, hallar: E + R + I + C + A
a) 24 b) 36 c) 28 d) 39 e) 27
4. Si la suma de los productos parciales de abcd × 42 es 19 290, calcular "a + b + c + d".
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
5. Si: 53AB ×
8
A2BB6 hallar: A × B
a) 32 b) 56 c) 24 d) 28 e) 42

Aritmética
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30
Practica en casa
18:10:45
1. Halla las cifras que debemos escribir en los casi-
lleros para que la operación sea correcta:
• ×
8
7 9 2
• 2 9 ×
4 9 4
• ×
7
6 6
• ×
8
9 9 2
• 2 ×
3
5 9
2. Efectúa las siguientes operaciones:
• 76 × 18 • 852 × 26 • 5 008 × 37
• 1 897 × 59 • 289 × 1 052
cada fila y escribe el símbolo ">" ; "<"; "=" o
si "no se puede determinar" según corresponda:
"A" "B"
El producto de los cuatro
primeros números impares
9 docenas
El elemento neutro de la
adición
El elemento neutro
de la multiplicación
7 + 7 + 7 + 7 3 decenas
2 docenas por 3 3 × 4 × 5
Segundo producto parcial
de 465 × 12
Tercer producto
parcial de
273 × 217
4. En el siguiente cuadrado deberás completar los
espacios en blanco para que los productos en
las filas, columnas y diagonales se verifiquen.
35
7 378
5 60
2 16
24 90 168 240
5. Efectuar:
25 + 25 + 25 + ... + 25 – (7 + 7 + 7 + ... + 7)
144424443 1442443
18 veces 62 veces
6. Un club conformado por 1a7a socios recaudó
S/. pqrm6 en la venta de entradas. Si cada socio
pagó S/. 8 por su entrada, ¿cuál es la cantidad
recaudada?
7. Si: ab × m = 92

ab × n = 230
calcular: ab × mn
8. Si: pqr × 9 = m916
calcular: p + q + r
9. Si: abc × 7 = p976
calcular: a + b + c
10. Calcula la suma de cifras del producto en:
627 × a = mnpa
11. Si: abc × 17 = p018, calcula "a × b × c".
12. Si:
t × tia = 254
i × tia = 1 582
a × tia = 3 046
hallar: ati × tia
13. Si:
mio × e = 862
mio × a = 476
mio × f = 1 254 (o ≠ cero)
hallar: fea × mio
14. Si:
PITA × 99 = ... 1116
hallar: P + I + A
15. Si:
besa × 33 = ... 4611
hallar "e + s + a"

5
Complemento
UNIDAD 1
Central: 619-8100 31
Complemento
• A resolver de manera adecuada los problemas propuestos, elaborando estrategias para
cada proceso.
Síntesis teórica
Asociar, agrupar, añadir canti-
dades homogéneas.
La suma abreviada, donde los
sumandos pueden repetirse va-
rias veces.
a + a + a + a + ... = a×n
144424443
"n" veces "a"
La operación inversa a la
adición.
a: Sumandos
b: Signo
c: Suma
Ejem: 5 + 4 = 9
↓ ↓ ↓ ↓
a b a c
a: Minuendo (M)
b: Sustraendo (S)
c: Diferencia (D)
Ejem: 5 – 4 = 1
↓ ↓ ↓
a b c
a: Multiplicando
b: Multiplicador
c: Producto
Ejem: 5 × 4 = 20
↓ ↓ ↓
a b c
Clausura:
8 + 9 = 17
Conmutativa:
8 + 9 = 9 + 8
Asociativa:
(8 + 9) + 1 = 8 + (9 + 1)
Elemento neutro:
8 + 0 = 0 + 8
Clausura:
8 × 9 = 72
Conmutativa:
8×9=9×8
Asociativa:
(8×9)×2=8×(9×2)
Elemento neutro:
8×1=8
Elemento absorbente:
8×0 =0
Distributiva:
8×(9±1)=8×9±8×1
M+S+D=2M
a + b = s M – S = D M × m = p
La multiplicación
La adición La sustracción
Las operaciones aritméticas
Son
Es Es
Es
Es decir Es decir
Es decir
Sus elementos son
Sus propiedades
Sus elementos son
Su propiedad
Sus elementos son
Sus propiedades
• Complemento Aritmético: C.A
CA (ab) = 100 – ab
Ejem: CA(62)= 100 – 62 = 38

Aritmética
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32
Saberes previos
1. Hallar el complemento aritmético de 479
2. Restar 45 de 78
3. Hallar la suma de los cinco primeros números
naturales
4. Hallar la suma de las cifras de la diferencia:
789 – 482
5. Compré un televisor a 360 dólares y lo vendí en
650 dólares. ¿Cuánto gané?
1. Hallar "a + b – c"
2 a b 5 +
b 4 6
c 2 9 2
4 b a b
2. Efectúa: 3 + 33 + 333 + ... (9 sumandos)
3. Hallar "a + b + c"
a b 0 4 –
5 c 2 b
1 b a 8
4. La suma de los términos de una sustracción es
1 240. Si el sustraendo es 540, hallar la diferen-
cia.
5. Si: CA(aba) = c27, hallar: a × b – c
6. Tres amigos: Sergio, Antonio y Robert deciden
pasar un fin de semana en la playa, para lo cual
cada uno de ellos tiene que aportar una cierta
cantidad de dinero. Al regresar de la playa sa-
can cuentas y Sergio dice que gastó S/. 140, An-
tonio S/. 75 más que Sergio y Robert S/. 40 más
que Sergio y Antonio juntos. ¿Cuánto se gastó
en ese fin de semana?
7. Paúl planifica su ahorro y empieza a mencionar
los gastos que tiene que realizar: S/. 400 en la
cuota del banco, S/. 320 para los pasajes del
mes, S/. 450 para sus alimentos, S/. 330 para el
pago del mini departamento y después de haber
hecho todos esos cálculos menciona que le que-
daría para ahorrar S/. 500. ¿Cuánto percibe Paúl
cada mes?
8. Carmen y Catalina comparan la nota que obtu-
vieron en su examen bimestral de Aritmética y
mencionan lo siguiente: Nuestras notas juntas
es igual a 34 puntos, pero se sabe que Carmen
obtuvo 4 puntos más que Catalina. ¿Cuál es la
nota de Catalina?
9. Roxana ganó $ 12 000 en una lotería y vendió su
colección de muñecas en $ 450. Si gastó $ 870
en un paseo por el Cuzco y $ 150 en comprarse
unas zapatillas, ¿cuánto dinero le queda?
10. Magdalena participa en una maratón: En los pri-
meros 30 minutos recorrió 700 metros, en los
siguientes 40 minutos recorrió 150 metros más
que en el tiempo anterior y en los últimos 20
minutos recorrió 400 metros menos que el tiem-
po anterior. ¿De cuántos metros era la maratón?
11. El complemento aritmético de un número de
tres cifras que termina en 2 es otro también de
tres cifras que empieza en 47. ¿Cuál es la suma
de cifras del primer número?
12. Hallar "a + b + c + d" en:
a1a + a2a + a3a + ... + a9a = bcd4
13. Si: CA(8ab8) = cd4e y CA(c + d + e) = 5
hallar "a + b + e".
14. Alberto tiene 10 canicas más que Manuel. Si
juntos tienen 48 canicas, ¿cuántas posee Ma-
nuel?
15. Si: CA(ab(2c)) = de(2f), halle "a + d".
Aprende más

5
Complemento
UNIDAD 1
Central: 619-8100 33
Practica en casa
18:10:45
1. Si: m + n + p = 17
hallar: monp + pnom + npmo + mpn
Además: o = cero
2. Hallar "a + b + c + d – e", si:
3 5 a 2 b +
4 c 2 d 8
–––––––––––
e 9 0 0 3
3. Efectúa:
46 + 646 + 4646 + ... (8 sumandos)
4. Calcular "a – b", en:
a 2 4 –
5 6 b
–––––––
3 6 2
5. En una sustracción, el minuendo disminuye en
41 y el sustraendo aumenta en 73. ¿En cuántas
unidades varía la diferencia?
6. Indicar la mayor cifra hallada:
5 4 3 2 +
5 9 9
7 4 2
6 7 5 2
7. Diana tiene 40 años, Juana tiene 9 años menos
que Diana y Luisa tiene 7 años más que Juana.
¿Cuántos años suman entre las tres?
8. Si: N = abb y CA(abb) = (a + 1)a(a + 1)
hallar: N
9. A una conferencia asistieron a5b3 personas,
después de un par de horas se retiran 3c8d
personas y de esta manera la conferencia que-
dó con un público de 5 947 personas. Hallar
"a + b + c + d".
10. Raúl vende un equipo de sonido en 2ab5 soles
y retira del banco a9b2 soles, de esta manera
Raúl tendría 6a4b soles en total. Hallar la canti-
dad que retiró del banco.
11. Las edades de Toño y Saúl suman 78 años y se
sabe que Toño es mayor por 12 años. Indicar las
edades de ambos.
12. Si Julio reparte 5 canicas a cada sobrino le so-
braría 1, pero si reparte 6 canicas a cada uno de
ellos le faltaría 10 canicas. ¿Cuántos sobrinos
tiene Julio?
13. En una sustracción, al minuendo se le agrega 3
unidades en las decenas y al sustraendo se le
agrega 5 unidades en las centenas. ¿Qué sucede
con la diferencia?
14. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que si
se suma 100, resulta el cuádruplo de su comple-
mento aritmético
15. Hallar: CA(a + b + c)
si: CA(abc) – abc = 632

34
6 Aritmética
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División de números naturales
• A identificar los elementos de la división.
• A identificar divisiones exactas, inexactas e interpretar sus propiedades.
• Organizar estrategias para la resolución de problemas.
¿Cómo dividían los egipcios?
E
l método empleado para la división es realmente curioso. Se basa en la multiplicación y siempre se
obtenían cantidades enteras o fracciones exactas.
Si se quiere dividir n/m entonces la idea consiste en obtener el nú-
mero de "m" y de partes de "m" que suman "n". Como ya hemos
comentado el sistema se basa en la multiplicación, pero ahora es
el divisor el número que se duplica. Se genera una tabla de 2 co-
lumnas que tiene en la primera fila el número 1 y el denominador
(m). La idea se basa en obtener en la columna de la derecha el
número "n" con la construcción de sucesivas filas obtenidas por
duplicación o división. El dividendo se obtiene, entonces, como
la suma de los elementos duplicados de la columna del divisor,
y el cociente es la suma de los números elegidos en la columna
base de la duplicación. Por ejemplo, para dividir 21/3 se hacía:
1 3
2 6
4 12
El siguiente número sería 8 y correspondería a 24 que es mayor que 21. Por tanto no se
sigue con la tabla. Si el número 21 se puede obtener como suma de los valores de la co-
lumna de la derecha, entonces ya está. En este caso:
12 + 6 + 3 = 21 → 21/3 = 4 + 2 + 1 = 7
Este ejemplo es el más sencillo, pues la división es entera. El
problema surgía cuando no se obtenían divisiones enteras y
había que utilizar fracciones. Para dividir 21/6 se ejecutaba
el mismo proceso anterior, pero cuando se obtiene un nú-
mero mayor que el numerador, si este no se puede obtener
como suma de valores de la columna de la derecha, se con-
tinúa la tabla, dividiendo por 2.
1 6
2 12
1/2 3(*)
6 + 12 + 3 = 21 → 21/6 = 1+2+1/2 = 3,5
(*) Ahora ya no tiene sentido poner 4 → 24 porque 24 > 21. Tampoco
se puede obtener el valor 21 como suma de valores de la columna de
la derecha; por tanto se continúa con divisiones, (1/2, 1/4, ...).
Papiro de Ahmes www.malhatlantica.pt/.../egip-
to/rhind/71–79.jpg
• Dividir 96 ÷ 4, utilizando el método egipcio.
Saberes previos
1. Dividir: 48 ÷ 12
2. Dividir: 56 ÷ 6
3. Dividir: 148 ÷ 14
4. Dividir: 483 ÷ 3
5. Dividir: 758 ÷ 5

6
UNIDAD 1
Central: 619-8100 35
Conceptos básicos
Definición
Es la operación inversa a la multiplicación, donde dados dos números naturales llamados dividendo y di-
visor, se halla un tercero llamado cociente, que nos indica cuantas veces contiene el dividendo al divisor.
Elementos de la división:
Dividendo (D) → 375 41 ← Divisor (d)
369 9 ← Cociente (q)
6
↑
Residuo (r)
En general:
D d
r q
Algoritmo de la división:
D = d × q + r
Clases de División
División exacta
Es cuando el residuo es cero.
D d
0 q
⇒
D = d × q
"r" no existe
Ejemplo:
2 5 6 4 4
2 4 641
1 6
1 6
– 4
4
–
⇒ Donde: 2 564 = 4 × 641
División inexacta
Es cuando el residuo es diferente de cero y me-
nor que el divisor.
D d
r q
⇒ D = d × q + r
r ≠ 0
Ejemplo:
5 7 8 4 1 1
5 5 5 2 5
2 8
2 2
6 4
5 5
– 9
⇒ 5 784 = 11 × 525 + 9
En la división el dividen-
do siempre es mayor o
igual que el divisor.
Recuerda que...
Propiedades
I. 0 < Residuo < divisor
II. R
máximo
= divisor – 1
III. R
mínimo
= 1
En 1659 el suizo Johann Heinrich Rahn
inventó para la división el signo ÷.
Sabías que...?

Aritmética
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36
Observaciones
• 28 : 7 = 4, pues: 7 × 4 = 28
• 26 : 1 = 26,pues: 1 × 26 = 26
• 32 : 32 = 1,pues: 32 × 1 = 32
• 0 : 25 = 0 , pues: 25 × 0 = 0
• 22 : 0 = ¿?, No está definido porque no existe ningún número natural que multiplicado por
cero de 22.
• 0 : 0 = ¿?, Indeterminado porque cualquier número natural multiplicado por cero da cero.
Entonces hay que evitar:
D
0
y
0
0
Síntesis teórica
División inexacta
El residuo es diferente de
cero (r ≠ 0)
División exacta
El residuo es cero
("r" no existe)
Ejemplo:
35 7
35 5
0
La operación inversa a la
multiplicación, que con-
siste en determinar el nú-
mero de veces que una
cantidad contiene a otra.
Rmáximo
= d – 1
Ejemplo:
45 7
42 6
3
Rmínimo
= 1
Elementos:
• Dividendo (D)
• Divisor (d)
• Cociente (q)
• Residuo (r)
Son
Algoritmo
Sus
Tiene
es
División de números
naturales
D = d × q + r
D = d × q D = d × q + r
Propiedades

6
UNIDAD 1
Central: 619-8100 37
10 x
5
50
6. Completar la siguiente división e indicar los ele-
mentos:
→ 58 8 ←
←
→
7. Efectúa la siguiente división e indica si el resi-
duo es máximo o mínimo.
2 5 6 8 7
8. Al dividir un número entre 19, el residuo resul-
tó lo menor posible. ¿Cuál fue el residuo?
9. Al dividir un número entre 32, el residuo resul-
tó el mayor posible. ¿Cuál fue el residuo?
10. Indicar el divisor
6
6 3
1 7
1. Relacionar ambas columnas, con flechas:
• Divisor = 7 RMáximo
= 38
= 55
= 155
= 14
= 6
2. Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno:
• 1 785 ÷ 9 • 1 089 ÷ 12
• 7 650 ÷ 14 • 5 099 ÷ 19
• 25 876 ÷ 137 • 18 565 ÷ 375
3. Escribe en el casillero el número que falta para
que la operación sea correcta:
• 6× = 78 • ×5 = 95
• 11× = 187 • ×13 = 195
• 38× = 912 • ×59 = 2 006
4. Al dividir "T" entre 20 se obtuvo 12 de cociente
y su residuo fue el máximo posible. Hallar "T".
5. Al dividir "R" entre 17 se obtuvo 11 de cociente
y el residuo fue mínimo. Hallar "R".
6. Dar como respuesta el dividendo.
* * * 1 9
* 9 * *
9 3
* *
* 7
7. Dar como respuesta el cociente.
* * * 2 4
* 6 * *
3 3
* *
9
8. Dar como respuesta la suma de las cifras del
cociente.
1 2 4 * 8 *
* * * *
* 5 *
* * 7
* 6
Aprende más

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38
9. Reconstruir la siguiente división e indicar la
suma de cifras del dividendo, sabiendo que el
residuo es mínimo.
* * * * 1 *
* 4 2 * *
* *
4 8
*
10. ¿Cuál es la mayor cifra hallada del dividendo,
luego de reconstruir la siguiente división?
* * * * * 2 3
9 * 4 * * 8
1 * *
* * 5
1 9 *
* * *
* 1
11. Reconstruir la siguiente división e indicar la
suma de cifras del cociente:
5 7 * 8 7
* * * * *
* *
7
5 *
* 6
*
12. Hallar la suma de las cifras encontradas, luego
de reconstruir la siguiente división:
* 9 * * * 9
2 * * * * *
2 *
* *
8 *
* 1
* *
3 *
6
13. Se divide "W" entre un número menor que 60
obteniéndose como cociente 125 y como resi-
duo 58. Hallar "W".
14. Al dividir "D" entre "A" el cociente fue 13 y el
residuo el más grande posible. Si "D + A" es
igual a 464, hallar: D × A.
15. Al efectuar una división se notó que el divisor
es el cuádruplo del cociente y el residuo fue el
triple del cociente. Si el dividendo es 351, ¿cuál
fue el residuo?
La siguiente figura hace referencia a una escalera con 19
peldaños y una altura total de 304 cm:
16. ¿Cuál es la altura de cada peldaño?
17. ¿Cuál es el ancho de cada peldaño?
516
41
304
18. Si se desea poner un acabado de mármol en todos
los peldaños de la escalera, además el largo de
cada pieza de mármol tiene la misma medida que
el largo de los peldaños, ¿cuántas piezas de már-
mol se necesitarán?
Largo = 120 cm
Ancho
=
41
cm
Aquí se muestran las dimensiones de cada pieza de mármol

6
UNIDAD 1
Central: 619-8100 39
¡Tú puedes!
1. La suma de dos números es 341 y al dividirlos el cociente es 16 dejando como residuo al mayor nú-
mero posible. Hallar el número mayor.
a) 320 b) 322 c) 324 d) 325 e) 327
2. Si al dividendo de una división se le agregan 98 unidades, el cociente y el residuo aumentan en 7.
Hallar el divisor.
a) 10 b) 13 c) 17 d) 12 e) 19
3. ¿Cuál es el menor número de cinco cifras que multiplicado por 24, nos da un producto cuyas cifras
son todas ocho?
a) 37 370 b) 27 027 c) 37 017 d) 37 037 e) 47 047
4. En una división inexacta el cociente y el residuo son respectivamente 58 y 15. Si se quita 376 unidades
al dividendo, el cociente es 42 y el resto se vuelve máximo. Hallar el dividendo.
a) 1 307 b) 1 417 c) 1 419 d) 1 407 e) 1 411
5. Hallar la suma de cifras del cociente en la siguiente división:
* * * * * * * * *
* * * * * 8 * *
* *
* *
* * *
* * *
a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32
Practica en casa
18:10:45
1. Dividir 7 689 240 ÷ 15 e indicar el cociente.
2. Dividir 650 781÷ 102 e indicar la suma de ci-
fras del cociente.
3. Dividir 350 492 ÷ 13 e indicar el residuo.
4. Efectuar 79 045 ÷ 25 e indicar el cociente.
• Reconstruya las siguientes divisiones e indica lo
que se pide en cada caso:
5. Hallar la suma de cifras del divisor.
3
4 2 8
1 0
6
9
4
8

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40
6. Indicar la mayor cifra hallada.
5 7 7
5
6
2
7. Hallar el producto de cifras del dividendo.
2 3
9 4 8
1
5
1 9
1
8. Indicar el dividendo.
2 5 3 2 5
1
0
9
5
5
9. Indicar la suma del cociente más el dividendo.
4 2 1 7
2 7
1
2 8
2 5
2 9
2 5
3
10. En una división el cociente es 49 y el divisor 32.
Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo
resultó mínimo.
11. En una división el cociente es 64 y el divisor 41.
Calcular el dividendo, si se sabe que el residuo
resultó máximo.
12. Se divide "K" entre un número de tres cifras ob-
teniéndose como cociente 35 y como residuo
máximo 185. Hallar "K".
13. Al dividir "F" entre "U" el cociente fue 6 y el re-
siduo el más grande posible. Si "F + U" es igual
a 255, hallar: F × U.
14. Al efectuar una división se observó que el divi-
sor es el triple del cociente y el residuo el doble
del cociente. Si el dividendo es 456, ¿cuál fue
el divisor?
15. La suma de dos números es 95, su cociente es 3
y el residuo también es 3. Dar el número mayor.

7
Aplicación de la multiplicación y división de números naturales
UNIDAD 1
Central: 619-8100 41
Aplicación de la multiplicación
y división de números naturales
• A interpretar enunciados y expresarlo mediante las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación y división.
¿Cómo les resultó fácil, multiplicar y dividir a los
hombres en la antigüedad?
E
n la antigüedad eran particularmente difíciles las operaciones de multiplicación y división: esta última
en mayor escala. "La multiplicación es mi martirio, y con la división es la desgracia" decían entonces.
Pero aún no existía, como ahora, un método práctico elaborado para cada operación. Por el contrario,
estaba en uso simultáneamente casi una docena de diferentes métodos de multiplicación y división con
tales complicaciones que su firme memorización sobrepasaba a las posibilidades del hombre medio. Cada
"maestro de la división" exaltaba su método particular al respecto.
"Asunto difícil es la división"(dura cosa es la partida) decía un antiguo refrán italiano; acertado refrán si se
toman en cuenta los agotadores métodos con que se realizaban entonces: no importa que estos métodos
llevaran a veces nombres demasiado festivos: bajo ellos se ocultaba una larguísima serie de complicadas
manipulaciones. Así, en el siglo XVI se consideraba el método más corto y cómodo el de división por
"lancha o galera". El ilustre matemático italiano de esa época, Nicolás Tartaglia (siglo XVI), escribió en su
extenso manual de aritmética lo siguiente respecto a dicho método:
División de números a la manera antigua, por el método de
"galera".
"Este método de división en Venecia, se le llama
por lancha o galera, debido a que en la división de
ciertas clases de números se forma en la figura pa-
recida a una lancha, y en la de otras, a una galera
que a veces se obtiene tan bien terminada, que se
muestra provista de todos sus elementos principa-
les tales como popa y proa, mástil, velas y remos".
Esto parece muy divertido, pero aunque el antiguo
matemático recomienda precisamente dicho méto-
do como "elegante, fácil, exacto, usual y el más ge-
neral de los existentes, útil para la división de todos
los números posibles". Sin embargo, este agotador
método fue, efectivamente, el mejor en esa época.
• ¿Por qué se llamaba división por lancha o galera?
Saberes previos
1. Compré un juguete en S/. 45, ¿a cómo debo
venderlo para ganar S/. 15?
2. Si al vender un reloj en S/. 70 perdí S/. 15,
¿cuánto me costó el reloj?
3. Si una camisa cuesta S/. 48, ¿cuánto costará tres
camisas?
4. Si una docena de mochilas vale S/. 420, ¿cuánto
es el costo por unidad?
5. Carlos desea comprar una bicicleta de S/.570
pero se da cuenta que le faltaría S/.80. ¿Cuánto
dinero tiene Carlos?

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42
10 x
5
50
• En la vitrina de las tiendas “SODIMAC” hay una
oferta de venta de rodillos y se muestran cuatro
rodillos de diferentes medidas (3", 6", 9" y 12")
y un repuesto para el rodillo de 12" (pulgadas):
Los costos de cada producto son:
• La docena de 3": S/. 36
• La docena de repuesto: S/. 72
1. ¿Cuánto gastará, si compra 5 docenas de 3"?
4. ¿Cuánto gastará, si compra 9 decenas de 12"?
5. ¿Cuál es el precio por unidad de los rodillos de
3"?
Aprende más
1. Sergio vende un terreno de 20 hectáreas a
$ 600 la hectárea y recibe en pago otro terreno
de 1 900 metros cuadrados a razón de $ 5 el
metro cuadrado. ¿Cuánto le adeudan?
2. Se compran 8 libros de Matemáticas a S/. 10
cada uno, 5 lapiceros a S/.1 y 6 plumas a S/. 5
cada una. ¿Cuánto gastó?
3. Se compran 144 metros de tela a $ 2 el metro y
se venden a $ 80 la docena de metros. ¿Cuánto
se gana?
4. Arturo gana S/. 35 por día de trabajo y trabaja 6
días a la semana. Si gasta S/. 110 a la semana,
¿cuánto puede ahorrar en 22 semanas?
5. Se repartió cierto número de manzanas entre 21
personas y después de dar 7 manzanas a cada
persona sobraron 18. ¿Cuántas manzanas había?
6. Si un comerciante vende a S/. 11 cada calcula-
dora, gana S/. 75; pero si decide vender cada
calculadora a S/. 6, pierde S/. 50. ¿Cuántas cal-
culadoras tiene para vender?
7. Si $ 163 se reparten entre cierto número de
personas, a cada una le tocaría $ 9 y sobrarían
$ 10. ¿Cuál es el número de personas?
8. Se organiza una proyección de una película en
nuestra parroquia. Si el Señor "X" paga S/. 6 por
cada entrada, le sobrarían S/. 16 y si paga S/. 7
por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas
entradas compró?
9. Tenía S/. 2 576, compré víveres por el valor de
S/. 854 y con el resto azúcar a S/. 42 el saco.
¿Cuántos sacos de azúcar compré?
10. Para rifar una cocina se hicieron cierto número
de boletos. Si cada boleto se vende a S/. 8 se
ganaría S/. 1 040 y si cada boleto se vende a
S/. 3 se perdería S/. 210. ¿Cuántos boletos se
hicieron?
11. Una pareja de esposos decide ahorrar mensual-
mente, el esposo S/. 400 y la esposa S/. 320.
¿Después de cuántos meses de ahorrar juntos,
el esposo tendrá ahorrados S/. 720 más que la
esposa?
12. Habiéndose organizado un Bingo se ha recau-
dado S/. 1 900. Por la entrada los hombres pa-
garon S/. 15 y las mujeres S/. 10 y se ha reporta-
do una asistencia de 150 personas. Determinar
el número de hombres y el número de mujeres
que participaron en el Bingo.
13. Cintia ha comprado 25 docenas de ganchos a
S/. 15 la docena. Las primeras 15 docenas las
vendió por un importe de S/. 360. Los restantes,
debido a la baja de la demanda, lo tuvo que
vender por decenas. ¿A qué precio vendió cada
decena, si en toda la venta obtuvo una ganancia
de S/. 165?
14. Cada vez que Raúl visita a su tía Pamela, ella le
duplica el dinero que lleva. Un día realizó tres
visitas al cabo de los cuales resultó con S/. 864.
¿Con cuánto dinero hizo la primera visita?
15. Un tren de 100 metros de largo demora 15 se-
gundos en cruzar un túnel de medio kilómetro
de longitud. ¿Cuál es la velocidad del tren?

7
Aplicación de la multiplicación y división de números naturales
UNIDAD 1
Central: 619-8100 43
Una tienda se dedica a la venta de computadoras y
desea vender un lote que le ha quedado para lo cual
decide publicar el siguiente anuncio:
16. Si Joaquín está interesado en comprar 10 de
estas computadoras para abrir su negocio de
internet, ¿cuánto tendrá que pagar por dichas
computadoras, si se sabe que la tienda le hace
una rebaja de $ 10 por computadora?
17. Si desea comprar la oferta pero quiere cambiar
el microprocesador de 1.8 Ghz por uno de 3
Ghz tendría que aumentar $ 15 por computa-
dora. ¿Cuánto pagará por 6 computadoras con
el microprocesador de 3 Ghz?
18. El encargado de la tienda menciona que la pan-
talla LCD se podría cambiar por una pantalla
normal plana y por lo cual ahorraría $80 por
cada computadora. Si Joaquín acepta dicha pro-
puesta, ¿cuánto pagará por 15 computadoras?
¡Tú puedes!
1. En la tienda, los pantalones de lana cuestan $ 70, los pantalones de algodón $ 50 y las corbatas $ 12. El
sábado, tenían una promoción que decía: "Si compra un pantalón de lana, le regalamos una corbata".
Ese día recaudaron $ 2 540. Si habían vendido 34 pantalones y habían regalado 15 corbatas, ¿cuántas
corbatas vendieron?
a) 35 b) 24 c) 45 d) 30 e) 55
2. Héctor invirtió S/. 6 720 en comprar papel bond y papel de colores. Si cada millar de papel bond le
costó S/. 24 y cada millar de papel de colores S/. 32, ¿cuántos millares compró, si se sabe que la can-
tidad de papel bond es la misma que la de colores?
a) 100 b) 110 c) 170 d) 120 e) 210
3. Una máquina imprime 20 gigantografías cada hora. ¿Cuántas gigantografías producirán en 3 días, 4
máquinas con las mismas características?
a) 4 310 b) 7 680 c) 3 520 d) 8 600 e) 5 760
4. Se compró 19 laptops a $ 1 200 cada una. ¿A cuánto se debe vender cada laptop para obtener una
ganancia total de $ 2 850?
a) $ 1 110 b) 1 350 c) 1 220 d) 1 450 e) 1 300
5. Gabriela empezó ahorrar de la siguiente manera: S/. 2 diarios durante el mes de enero, S/. 3 diarios du-
rante febrero y S/. 4 durante marzo. ¿Cuánto ahorró en total, si se sabe que esto lo hizo en el año 2008?
a) S/. 273 b) 253 c) 223 d) 263 e) 293

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Practica en casa
18:10:45
1. Albert tiene 15 años y Luis tiene el triple de su
edad. ¿Cuánto suman sus edades?
2. Cecilia se va de compras y gasta el triple de lo
que gastó Paco más 10 soles. Si Paco gastó 20
soles, ¿cuánto gastó Cecilia?
3. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5
filas de 6 soldados cada una, pero observa que
le faltarían 4 soldados, entonces los forma en 4
filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora?
4. Olinda y Liliana tienen juntas S/. 462. Si lo que
tiene Olinda es 5 veces lo que tiene Liliana,
¿cuánto tiene Liliana?
5. Dos hermanos tienen una cuenta de ahorros en
el banco por S/. 1 920. Lo que le corresponde al
hermano mayor es 6 veces lo que le corresponde
al hermano menor más un adicional de S/. 72.
¿Cuánto le corresponde al hermano mayor?
6. Se repartieron 858 soles en partes iguales entre
37 pobres y sobraban 7 soles. ¿Cuánto le corres-
pondió a cada uno?
7. ¿Cuánto te tardará en cortar una pieza de tela de
70 m de largo, en trozos de 10 m, si se emplea
5 s en hacer cada corte?
8. Por cada docena de manzanas que compro me
obsequian una manzana. Si he recibido 780
manzanas, ¿cuántas decenas compré?
9. Un comerciante compró 1 800 vasos a S/. 2 cada
uno. Después de romper algunos vende los res-
tantes a S/. 3 cada uno, obteniéndose una ganan-
cia total de S/. 1 620. ¿Cuántos vasos rompió?
10. Un depósito tiene 480 litros de agua. Jorge y
Luis extraen agua con baldes de 8 y 5 litros res-
pectivamente; cada vez que van al depósito.
¿Cuántos litros quedarán en el depósito después
de 25 viajes?
11. Un empleado gana mensualmente S/. 700 y su
ayudante S/. 620. Cuando el empleado haya
recibido S/. 16 100 en sueldos, ¿cuánto habrá
recibido su ayudante?
12. Una pareja de novios decide ahorrar mensual-
mente para su matrimonio, el novio S/. 650 y
la novia S/. 550. ¿Después de cuántos meses
de ahorrar juntos, el novio tendrá ahorrados
S/. 800 más que la novia?
13. Habiéndose organizado un campeonato de ful-
bito se ha recaudado S/. 2 400. Por la entrada
los hombres pagaron S/. 18 y las mujeres S/. 12.
Se ha reportado una asistencia de 150 personas.
Determinar el número de hombres y el número
de mujeres que participaron en el fulbito.
14. Sofía ha comprado 38 docenas de corbatas, a
S/. 12 la docena. Las primeras 18 docenas las
vendió por un importe de S/. 360. Los restan-
tes, debido a la baja de la demanda, tuvo que
vender por decenas. ¿A qué precio vendió cada
decena, si en toda la venta obtuvo una ganancia
de S/. 384?
15. Cada vez que Fernando hace su tarea, su tía
Pochita le duplica el dinero que lleva. Un día
realizó tres veces la tarea al cabo de los cuales
resultó con S/. 480. ¿Con cuánto dinero hizo la
primera tarea?

8
Operaciones combinadas
UNIDAD 1
Central: 619-8100 45
• A reforzar los temas tratados anteriormente perfeccionando tu habilidad de interpreta-
ción y elaborando estrategias para la resolución de problemas.
Representación numérica egipcia
En la figura se muestra la es-
critura numérica egipcia y la
equivalencia en nuestra es-
critura.
En la figura se muestra como
los egipcios representaban
sus números.
• ¿Tú cómo representarías el número 1 347?
Saberes previos
1. Sumar: 7 840 + 5 248
2. Restar 946 de 1 257
3. Multiplicar: 45 x 120
4. Dividir: 496 ÷ 4, indicar el cociente.
5. Dividir: 7582 ÷ 14, indicar el residuo.

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46
10 x
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50
Una tienda deportiva tiene en su catálogo 4 modelos de camiseta con su precio respectivo. Además men-
ciona que por la compra de una docena se le hace un descuento de S/. 2 en cualquier tipo de camiseta.
(Por estampado se adiciona S/. 1 por cada camiseta).
Art. Modelo Costo
922 Veracruz S/. 12
921 Veliz S/. 15
887 Monterrey S/. 18
886 Escudo S/. 20
1. Si Ronald compra una docena de la camiseta
"B", ¿cuánto recibirá de vuelto, si paga con un
billete de S/. 200?
2. Si llevan 3 camisetas de cada modelo con su
estampado respectivo, ¿cuánto deberán pagar?
3. Un colegio que consta de 16 aulas va a realizar
una tarde deportiva por su aniversario, para lo
cual deciden comprar una docena de camisetas
del modelo "C" para cada aula. ¿A cuánto as-
ciende la suma que deberá pagar?
4. Si una vendedora lleva 8 camisetas del mode-
lo "A" pero al cabo de dos días se le acaba y
regresa a la tienda a comprar 4 camisetas más,
¿cuánto hubiera ahorrado si llevaba al inicio
una docena?
5. Manuel va a la tienda para comprar una docena
del modelo "A" pero al ver el modelo "C" cam-
bia de parecer y decide llevar dicho modelo.
Si Manuel fue con S/. 140, ¿cuánto le falta para
comprar el modelo "C"?
Aprende más
1. Efectuar: 12 × 9 – (46 ÷ 2 + 108 ÷ 9) × 2
2. Efectuar: (84 ÷ 4 + 19) ÷ (189 ÷ 9 – 8 × 2 + 3)
3. Efectuar: {[(8)2
– 168 ÷ 7] – 144} ÷ 14
4. ¿Cuánto se tardará en cortar una pieza de ma-
dera de 70 m de largo, en trozos de 10 m, si se
emplea 5 s en hacer cada corte?
5. Una botella de leche alcanza para 3 gatitos o
2 gatos. Si tenía 8 botellas y he alimentado 12
gatitos, ¿cuántos gatos más puedo alimentar?
6. Leyna y Meylin tienen que escribir 300 cartas
cada una. Leyna escribe 15 cartas por hora y
Meylin 13 cartas por hora. Cuando Leyna haya
terminado su tarea, ¿cuántas cartas faltarán por
escribir a la segunda?

8
UNIDAD 1
Central: 619-8100 47
7. Se vendió 60 sacos de azúcar por S/. 480 ga-
nando S/. 3 en cada uno. ¿Por cuántos sacos
estaba integrado un pedido que se hizo al
mismo precio y por el cual pagué S/. 400?
8. Un comerciante compró once trajes por
S/. 3 300. Si vendió cinco a S/. 240 cada uno, ¿a
cómo tiene que vender los restantes para ganar
S/. 900?
9. Carla vende en una galería en Gamarra y realiza
la compra de un lote de 580 camisas, todas de la
misma talla y calidad, por un valor de $ 9 280.
El público se aglomera y tiene que vender una
cantidad inicial a $ 24 cada una obteniendo por
esta venta de apertura, $ 3 528. ¿Cuál es esa
cantidad inicial de camisas vendidas?
10. El dueño de una librería compró 1 700 ejempla-
res de una determinada obra a $ 14 cada uno.
Si en el transcurso del traslado sufre un robo en
el que se pierden 358 ejemplares, ¿a qué precio
deberá vender cada libro de los que le quedan
para que su ganancia total sea de $ 4 382 a pe-
sar de dicho robo que sufrió?
11. Un comerciante compra 78 pantalones a $ 29
cada uno; si decide obsequiar uno a cada inte-
grante de un equipo de fútbol, que cuenta con
5 suplentes, ¿a cuánto debe vender cada uno de
los pantalones restantes para que obtenga una
ganancia total de $ 156?
12. Un comerciante compra por S/. 4 800, dos ca-
jas de galletas conteniendo cada una de ellas
150 paquetes. Si la primera costó S/. 600 más
que la segunda y el comerciante vende 70 y
30 paquetes de la primera y segunda respecti-
vamente, recibiendo S/. 2 000, ¿cuánto ganó
en la venta?
13. Dos obreros trabajan juntos ganando diaria-
mente, uno de ellos 2 soles más que el otro.
Después de igual número de días recibieron
240 y 210 soles, respectivamente. ¿Cuánto gana
diariamente cada uno de los obreros?
14. Una persona compra alimento por un valor de
S/. 300 y paga con un billete de S/. 1 000, el
bodeguero no tiene vuelto y va a cambiar el
billete donde el librero. Éste le entrega 10 bi-
lletes de S/. 100. Luego el bodeguero regresa
a la bodega y le entrega al cliente 7 billetes de
S/. 100 y la mercadería. Después de un rato el
librero va donde el bodeguero y le exige que le
devuelva los S/. 1 000 ya que el billete era falso.
El bodeguero se vio en la obligación de pagarle.
Entonces el bodeguero perdió:
15. Se necesita cercar un campo de forma trian-
gular, de modo que en cada lado aparezcan 9
postes y uno en cada esquina. ¿Cuántos postes
serán necesarios?
Fernando desea comprar zapatillas para implementar con más artículos su pequeño negocio que está ini-
ciando para lo cual buscó en internet modelos de zapatillas y encontró lo siguiente:
Tallas
43 – 44
Tallas
38 – 40
Tallas
41 – 42
Tallas
36 – 37
Los precios varían de acuerdo a la talla:
• 36 – 37: $ 160 (el par)
• 38 – 40: $ 180 (el par)
• 41 – 42: $ 200 (el par)
• 43 – 44: $ 220 (el par)
n Por la compra de una docena se descuenta $ 5 por cada par de zapatillas.
16. Si Fernando decide llevar 5 pares de las tallas 36 – 37, 7 pares de las tallas 41 – 42 y 9 pares de las
tallas 43 – 44, ¿cuánto pagará Fernando?
17. Si Fernando lleva una docena de cada modelo, ¿cuánto paga por la compra?
18. Si Fernando va con $ 4 200, ¿cuántas docenas podrá comprar de la talla 38 – 40?

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¡Tú puedes!
1. "Furioso", una combi que hace servicio de "Wilson" a la "Punta" cobra S/. 2 como pasaje único y en el
trayecto se observa que cada vez que baja 1 pasajero, suben 2. Si llegó a la "Punta" con 34 pasajeros
y una recaudación de S/. 96, ¿cuántas personas partieron de "Wilson"?
a) 20 b) 12 c) 28 d) 34 e) 48
2. Un librero adquirió 78 libros a S/. 40 cada uno, habiéndosele regalado 1 por cada docena que compró.
¿A cómo debe vender cada ejemplar para ganar S/. 1 208, si él a su vez ha regalado 5 libros?
a) S/. 24 b) 56 c) 36 d) 78 e) 52
3. Un comerciante compra 40 jarrones a 70 soles cada uno. Después de haber vendido 12 con una ga-
nancia de 20 soles por jarrón, se le rompieron 5. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le
quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de 810 soles?
a) S/. 100 b) 90 c) 110 d) 120 e) 112
4. Cecilia compra 6 docenas de globos a 70 soles cada globo, pero recibe 1 globo por cada docena y en
la factura le hacen además un descuento de 1 300 soles. Si vende cada uno a 75 soles, ¿cuánto ganará
vendiéndolos todos?
a) S/. 1 960 b) 2 000 c) 1 320 d) 2 480 e) 2 110
5. En un examen un alumno gana 2 puntos por respuesta correcta pero pierde un punto por cada equivo-
cación. Si después de haber contestado 50 preguntas, obtiene 64 puntos, ¿cuántas preguntas resolvió
correctamente?
a) 28 b) 32 c) 36 d) 38 e) 42
Practica en casa
18:10:45
1. Efectuar: 256 ÷64 + 12 × 5 – 900 × 2
2. Efectuar: (69 ÷ 23 – 2) × 62
– 8 × 4
3. Efectuar: [(17 × 4 – 240 ÷ 6) ÷ 7] + 121
4. Compré 500 sombreros a $ 6 cada uno y vendí
cierto número en $ 500, a $ 5 cada uno. ¿A cuán-
to tengo que vender el resto para no perder?
5. Un librero compró 15 libros a 12 soles cada
uno. Habiéndose deteriorado 9 de ellos, tuvo
que venderlos a 8 soles cada uno. ¿A cuánto
tiene que vender los restantes para no perder?
6. Un comerciante compró 33 casacas por 3 300
soles y vendió 20 a S/. 80 cada uno. ¿A cuán-
to tiene que vender los restantes para ganar
S/. 900?
7. Un comerciante compró varias camisas a 12 por
240 soles y las vende a 10 por 250 soles. ¿Cuán-
tas debe vender para ganar 500 soles?
8. Recibí S/. 453 con los que compré tres camisas,
sobrándome S/. 378. ¿Cuánto me costó cada ca-
misa, si las tres son de la misma talla y calidad?
9. Un comerciante compró cierto número de sacos
de azúcar por 600 soles y los vendió por 840
soles, ganando 2 soles en cada saco. ¿Cuántos
sacos compró y cuánto pagó por cada uno?
10. Un hacendado compra cierto número de va-
cas por 24 000 dólares. Vende una parte por
$ 8 832 a $ 276 cada una, perdiendo $ 24 en
cada vaca. ¿A cómo tiene que vender las restan-
tes para ganar $ 1 392?

8
UNIDAD 1
Central: 619-8100 49
11. Paco compra cierto número de carneros por
$ 2 120 a $ 40 cada uno y vendió 40 carne-
ros por $ 1 680. ¿Cuántos carneros le quedan
y cuánto ganó en cada uno de los que vendió?
12. Juan compra libros por una suma de 11 500 so-
les y al venderlos por 16 100 soles resulta un
beneficio de 600 soles por docena. ¿Cuántos
libros compró?
13. Una asociación integrada por 22 personas tie-
nen que pagar por partes iguales S/. 88 000;
como algunos no aportaron dicho dinero por
problemas personales; cada uno de los restantes
tienen que poner S/. 1 500 más para cancelar la
deuda, ¿cuántos son insolventes?
14. Tengo 3 cajas azules; en cada caja azul hay 8
cajas verdes y en cada caja verde hay 10 cajas
negras. ¿Cuántas cajas hay en total?
15. Una empresa que comercializa ropa, efectúa la
compra de un lote de 580 camisas, todas de la
misma talla y calidad, por un valor de $ 9 280.
El público se aglomera y tienen que vender
una cantidad inicial a $ 24 cada una obtenien-
do por esta venta de apertura, $ 4 176. ¿Cuál
es esa cantidad inicial de camisas vendidas?

50
9 Aritmética
TRILCE
Colegios
www.trilce.edu.pe
Repaso
• A reforzar los temas tratados anteriormente de una manera sencilla y práctica.
Síntesis teórica
LAS CUATRO
OPERACIONES
División
MULTIPLICACIÓN
SUSTRACCIÓN
Adición
a) Multiplicando
b) Multiplicador
c) Producto
Ejem:
5 × 4 = 20
↓ ↓ ↓
a b c
a) Minuendo (M)
b) Sustraendo (S)
c) Diferencia (D)
Ejem:
5 – 4 = 1
↓ ↓ ↓
a b c
a) Sumandos
b) Suma
Ejem:
5 + 4 = 9
↓ ↓ ↓
a a b
a) Dividendo
b) Divisor
c) Cociente
d) Residuo
Ejem:
a ← 20 3 → b
2 6 → c
↓
d
Clausura:
8 × 9 = 72
Conmutativa:
8 × 9 = 9 × 8
Asociativa:
(8 × 9) × 2 = 8 × (9 × 2)
Elemento neutro:
8 × 1 = 8
Elemento absorbente:
8 × 0 = 0
Distributiva:
8×(9±1)=8×9±8×1
División exacta:
"r" no existe / D= d × q
División inexacta:
r ≠ 0 / D = d × q + r
Clausura:
8 + 9 = 17
Conmutativa:
8 + 9 = 9 + 8
Asociativa:
(8+9)+1=8+ (9+1)
Elemento neutro:
8 + 0 = 0 + 8
M + S + D = 2M
Sus propiedades
Sus elementos
son
Sus propiedades
Sus elementos
son
Sus propiedades
Sus elementos
son
Sus propiedades
Sus elementos
son
Son
• Complemento aritmé-
tico: CA
Ejemplo:
(CA) 728: Es lo que le
falta a 728 para 1000

9
Repaso
UNIDAD 1
Central: 619-8100 51
1. La suma de los tres términos de una sustracción
es 240. Hallar el minuendo.
2. Hallar la suma del mayor y menor número de
dos cifras.
4. De 85 restar 67
5. Hallar el residuo en la siguiente división:
758 ÷ 13
Saberes previos
1. Indicar la mayor cifra hallada:
3 4 8 +
* 2 *
––––––––––––
8 7 0
2. Calcular "A – B" en:
8 A B –
4 7 A
3 8 6
3. Calcular el multiplicando en:
_ _ _ _ ×

7
8 3 8 6
4. Calcular el dividendo en:
_ _ _ _
_ 0 2 _
3 _
3 0
4
5. Miguel recibe S/. 720 de gratificaciones, Pedro
S/. 250 más que Miguel, José tanto como Mi-
guel y Pedro juntos más S/. 185 y Carlos S/. 235
más que José. ¿Cuánto recibieron los cuatro en
total?
es 280. Hallar el minuendo.
7. Si: CA(mn) = 5, calcular: m2
– 4n
8. Si cada * representa una cifra, hallar el dividen-
do en:
* * * * 7
* * 2 * *
* 3
* *
* 8
* *
9. 18 personas tienen que pagar en partes iguales
un total de S/. 5 400, como algunos no pueden
hacerlo, cada persona debe poner S/. 150 más
de lo que le corresponde pagar. ¿Cuántas perso-
nas no pagaron?
10. A una reunión bailable asistieron 120 perso-
nas. Si todos bailan a excepción de 26 mujeres,
¿cuántas mujeres hay en total?
11. La suma de dos números es 721, el cociente es
21 y su residuo 17. Determinar el número ma-
yor.
12. Si: abcde × 99 = ***47253
Calcular: a + b + c + d + e
13. Si el complemento aritmético de wac es
(w + 3)(2a)(c – 2), hallar "w + a + c".
14. Si: 5 × edcba7 = 7edcba, calcular: ed + cba.
15. Juan tiene 8 panes y Pedro 4 panes y deben
compartirlos equitativamente con dos amigos.
Para recompensarlos estos entregaron 18 soles.
¿Cuánto le tocará a Juan?
Aprende más

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52
Practica en casa
18:10:45
1. Indicar la suma de la mayor y menor cifra ha-
llada:
* 7 6 +
1 * *
––––––––––
7 8 2
2. Calcular el minuendo:
* * 5 –
7 A A
––––––––––
1 2 4
3. Calcular el multiplicando en:
_ _ _ _ ×

6
–––––––––––––
2 3 3 4
4. Calcular la menor cifra hallada en:
_ _ _ _
_ 3 7 _
2 _
_ _
5. Jimena compra 650 ganchos, Gabriela 140 gan-
chos más que Jimena, Kiara tanto como Jimena
y Gabriela juntas más 230 ganchos y Brenda
110 ganchos más que Kiara. ¿Cuántos ganchos
compraron en total?
es 720. Si el sustraendo es 280, hallar la dife-
rencia.
7. Si: CA(pq) = 34, calcular: p + q.
8. Junior y Joel tienen 410 canicas juntos. Si Junior
tiene 4 veces lo que tiene Joel, ¿cuántas canicas
tiene Junior?
9. Hallar la suma de cifras del cociente:
* * * 1 6
* * 9 * *
* 9
* *
* *
* *
1
10. Al dividir un número "K" entre 29 se obtuvo 16
de cociente y el residuo fue el máximo posible.
Hallar el dividendo.
11. Al dividir un número entre 16 se obtiene 57 de
cociente y el residuo fue el mínimo. Hallar el
dividendo.
12. Si: abcde × 99 = ***35368
Calcular: a + b + c + d + e
13. Hallar un número de tres cifras, sabiendo que
cuando se le suma 100, se obtiene el cuádruplo
de su C.A.
14. Si: aabb × 77 termina en 041, hallar "a + b".
15. Camilo es el tesorero de curso y tiene S/. 4 580
en caja. El director ofreció colaborar con
S/. 2 500 para la fiesta de despedida. Si tiene
que gastar S/. 450 en un regalo para la profeso-
ra, ¿le alcanzará para costear la fiesta de despe-
dida que está calculada en S/. 6 500?

ConociendolaantiguaAritmética:Lateoríadelosnúmeros
E
l término “aritmética” también
era utilizado para referirse a la
“teoría de números”. Este es un
término bastante antiguo, aun-
que ya no tan popular como en
el pasado. De allí que la teoría de núme-
ros suele ser denominada “alta aritméti-
ca”, aunque el término también ha caído
en desuso.
La teoría elemental de números, estudia
los números enteros sin emplear técnicas
procedentes de otros campos de las mate-
máticas. Pertenecen a la teoría elemental
de números las cuestiones de “divisibili-
dad”, “máximo común divisor”, factoriza-
ción de enteros como producto de núme-
ros primos. (“Descomposición canónica”).
• De la frase: “se estudian los números
enteros sin emplear técnicas proce-
dentes de otros campos de las mate-
máticas”. ¿Qué conclusión puedes
extraer?
AprendiZajes esperados
Razonamiento y demostración
• Definir cuando un número es divisible por otro.
• Identificar números primos y compuestos.
• Elaborar modelos de la vida real donde se aplique el
MCD y el MCM.
Comunicación matemática
• Reconocer y utilizar diferentes formas de representación
de enunciados de MCD y MCM.
• Interpretar el lenguaje correcto para leer enunciados de
MCD y MCM.
Resolución de problemas
• Resolver problemas que involucren la Teoría de los Nú-
meros.
• Resolver problemas de contexto real y matemático que im-
pliquen utilizar conceptos de la Teoría de los Números.
• Identificar algoritmos que se puedan utilizar para resol-
ver problemas de contexto real.
Números
Orden
1 2 3 4 5
Triangulares
Cuadrados
Pentagonales
Hexagonales
Heptagonales
Los números poligonales fueron descubiertos por los pitagóricos, durante los albores de la matemática. En aquella época los
números se representaban mediante guijarros (calculi) que se disponían en una superficie. Algunos números pueden disponerse
formando figuras geométricas, por ejemplo 3 guijarros se pueden disponer formando un triángulo, 4 forman un cuadrado, etc.
UNIDAD 2

Aritmética
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54
Divisibilidad y multiplicidad
• A identificar cuando un número es divisible o múltiplo de otro.
• A desarrollar operaciones con múltiplos.
• A expresar números no divisibles en forma de un múltiplo más un residuo.
• A elaborar estrategias para la resolución de problemas diversos de divisibilidad y multi-
plicidad.
El pequeño teorema de Fermat
E
l pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría
de números relacionados con la divisibilidad. Se formula de la siguiente
manera:
Si "p" es un número primo, entonces, para cada número natural "a",
∴ ap
≡ a (mod p)
Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma:
Si "p" es un número primo, entonces, para cada número natural
"a" coprimo con "p": ap – 1
≡ 1 (mod p)
Esto quiere decir que, si se eleva un número "a" a la p-ésima potencia y al
resultado se le resta "a", lo que queda es divisible por "p".
A continuación se muestran algunos ejemplos del teorema:
Pierre de Fermat
• 53
– 5 = 120 es divisible por 3.
• 72
• 25
• (– 3)7
+ 3 = − 2 184 es divisible por 7.
• 297
– 2 = 158 456 325 028 528 675 187 087 900 670 es divisible por 97.
Comprueba si:
a) 35
– 3 es divisible por 3 b) 42
– 4 es divisible por 2
1. Dividir: 856 ÷ 4
2. Completar: 7 × = 84
3. Indicar si es una división exacta o inexacta:
4 248 ÷ 7
Saberes previos
4. ¿Cuántas veces 6 es 54?
5. Del 1 al 15, ¿cuántos números se pueden divi-
dir entre 3?

1
Divisibilidad y multiplicidad
UNIDAD 2
Central: 619-8100 55
Conceptos básicos
Divisibilidad
La divisibilidad, es una parte de la teoría de los números que analiza cada una de las condiciones que debe
tener un número para que sea divisible por otro.
¿Y cuándo un número es divisible por otro?
Se dice que un número es divisible por otro, cuando al dividir el primero entre el segundo, la división
resulta ser "exacta", es decir:
"A" es divisible por "B" ⇔ A B
0 C ← cociente entero
↑
residuo (cero)
• ¿48 es divisible por 6?
Realizamos la división:
48 6 Luego, como la división es exacta (residuo = 0), se afirma que:
"48 es divisible por 6"
0 8
Ejemplos
¡Ahora hazlo tú! • ¿258 es divisible por 6?
Observación
Si un número "A" es divisible por otro número "B" podremos afirmar que:
"B" es divisor de "A"
Multiplicidad
Se dice que un número "A" es múltiplo de otro número "B", cuando el primero contiene al segundo, un
número exacto y entero de veces.
"A" es múltiplo de "B" ⇔ A = B . K; K ∈
• ¿84 es múltiplo de 6?
Sabemos que: 84 = 6 × 14 ⇒ 84 contiene a 6, catorce veces.
⇒ 84 es múltiplo de 6, es decir: 84 = °
6
Ejemplos

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56
¡Ahora hazlo tú!
• ¿144 es múltiplo de 16?
Observaciones
• Todo número entero, tiene infinitos múltiplos.
11 ⇒ 0; 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; ... 6 ⇒ 0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; ...
14 ⇒ 0; 14; 28; 42; 56; 70; 84; 98; ...
No olvidemos que los múltiplos, también pueden tomar valores negativos, además, observamos
que el cero es múltiplo de todo entero positivo.
• Todo número entero, tiene una cantidad finita de divisores.
28 ⇒ 1; 2; 4; 7; 14; 28 ⇒ 6 divisores 36 ⇒ 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36 ⇒ 9 divisores
49 ⇒ 1; 7; 49 ⇒ 3 divisores
Observamos que el número 1 es divisor de todo número entero positivo.
Si "A" es divisible por "B" entonces "B" es divisor de "A".
Recuerda que...
Observaciones
• Si un número no es divisible por otro, se podrá expresar multiplicidad empleando el residuo.
A. 40 7
Notamos que: 40 = 7(5) + 5 ⇒ 40 = °
7 + 5
5 5
B. 28 5
Notamos que: 28 = 5(5) + 3 ⇒ 28 = °
5 + 3
3 5
• Podemos efectuar operaciones con múltiplos de un mismo número (principios de la divisibilidad).
°
n + °
n = °
n °
n . k = °
n donde: k ∈
°
n – °
n = °
n (°
n)
k
= °
n donde: k ∈ +

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