Algebra Esencial.pdf

Vi..enjuntos numéricos
Lectura de motivación
Números naturales (N)
Números enteros (Z)
Números racionales (Q)
Números irracionales (I)
Números reales (R)
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
u a y e s Ge ex p o n
13
14
15
20
25
25
30
41
Concepto
Potenciación
Definiciones
Propiedades de la potenciación
Radicación en R PAR
para
Propiedades de la radicación l
MOR á
66
Diferencia de cuadrados
Cubo de un binomio
Suma y diferencia de cubos
Resolvemos juntos
M::v n .
Definiciones previas
Valor numérico
Cambio de variable
Polinomio de una variable
Polinomios de más de una variable
Polinomios especiales
Resolvemos juntos
Resolvemos juntos
n P ro d u c to s n o ta b le s
Concepto
Trinomio cuadrado perfecto
Identidades de Legendre
Multiplicación de binomios con un
término común
78
85
86
86
90
91
División de polinomios
SOectura de motivación
Definición
Tipos de división
Propiedades
Método de división de Horner
Regla de Rufftni
Cálculo del resto
Cocientes notables
Resolvemos juntos
93
96
97
100
116
123
124
125
127
130
137
137
140
156
163
164
167
168
172
177
180
183
189
202

p*m
o
Concepto
Factor de un polinomio
Polinomio primo
Factores primos
Métodos de factorización
Divisores binómicos
Resolvemos juntos
Concepto
Solución de una ecuación
Conjunto solución (CS)
Ecuación lineal
Determinación de una variable
en términos de las otras
Ecuaciones cuadráticas
El discriminante
Propiedades de las raíces (teorema de
Cardano)
Ecuaciones de grado superior
Ecuación bicuadrada
Resolvemos juntos
5 fp
|D
e
s
ig
u
a
ld
a
d
e
s
207 Lectura de motivación 307
208 Definición 308
209 Números reales 310
213 Propiedades fundamentales 313
214 Intervalos 316
217 Problemas sobre variaciones 323
230 Problemas sobre máximos y mínimos 331
240 Resolvemos juntos 338
256 Practiquemos lo aprendido 355
Oin
e
c
u
a
c
io
n
e
s
t-ir
262 Concepto 362
262
Inecuación lineal 368
262
Inecuación cuadrática 369
263
Inecuación polinomíal de grado superior 381
Inecuación fraccionaria 385
264 Resolvemos juntos 389
265 Practiquemos lo aprendido 406
271
1n V
a
lo
ra
b
s
o
lu
to
IU
275 Noción geométrica 412
278 Definición 413
282 Ecuaciones con valor absoluto 420
302 Inecuaciones con valor absoluto 423

T
í¿V
Desigualdad triangular
Método de zonas
Resolvemos juntos
T e o ría de fu n cio n e s
Concepto de función
Definición de función
Regla de correspondencia
Funciones reales
426
428
432
450
i
Gráfica de una función real
Función como conjunto
de pares ordenados
455
456
•
•
. A ] I
458
‘ 460
462
465 í
I
laticos
Í67
Ecuación logarítmica
Resolvemosjuntos
S iste m a ds e cu a cio n e s
Definición
Clasificación
Sistemas lineales
Sistemas no lineales
Resolvemos juntos
523
527
543
549
550
552
552
565
569
585
I
Funciones como modelos matemàticios 468 |
I í ^ g ra m a c ió n lin eal
Lectura de motivación 591
Funciones elementales
Resolvemos juntos
L o g a ritm o s
Definición
Teoremas
Cologaritmo
Antilogaritmo
470
AMOft
486
501
507
508
512
522
522
S O F
Inecuaciones lineales con dos variables 592
Gráfica de una Inecuación lineal
con dos variables 592
Sistema de inecuaciones lineales
con dos variables 596
Programación lineal (bidimensional) 599
Resolvemosjuntos 603
Practiquemos lo aprendido 622
Glosario 630
Bibliografía 631

‘•yvUr-]'
'¡
y
A
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pr&pmé
r: y •
-
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■
‘■
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■ v
l8
in
>
ív'i-; ' : '•/ ¡ :'
En ía historia de ias matemáticas, ios números naturales
aparecieron muy pronto. Como la gran mayoría de los
conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la
necesidad de resolver un problema de la vida cotidiana. Los
hombres antiguos necesitaban medir longitudes, determinar
áreas, calcular tiempos, pesos y otros tipos de medida. Al
enfrentarse a estas necesidades, se dieron cuenta de que no
era suficiente contar con los números naturales para obtener
estos datos de manera exacta, ya que eran susceptibles de
divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores
que la misma, pero que no involucraban a los números
naturales, por lo que fue necesario ampliar este concepto
surgiendo así los números racionales.
La mayor parte de nuestras actividades diarias implica hacer
usos de tos números. Por ejemplo, al comprar una docena
de tarros de ¡eche o dos manos de plátano, estamos usan
do números naturales; cuando compramos 3/4 de arroz, 1/2
kilo de harina o 1/4 de huevos, estamos usando los números
racionales.
n ro n
. UV
*i<
ti 7V
-
*
> ¡»
Identificar los números enteros y racionales.
Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme
ros enteros.
Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme
ros racionales.
El aprendizaje de este contenido es importante porque tiene
relación con la gran mayoría de situaciones de la vida dia
ria como, por ejemplo, el hecho de contar, medir, pesar, etc.
Además, realizar las operaciones básicas, (suma, resta, etc.)
en conjuntos numéricos como Z y Q es prerrequisito para los
capítulos posteriores.
;ív - ,
I
g j/ Í a
__ í___

a* •mam
iVÍmSy1“K
Los signos de sumar y restar
(+ y -) comenzaron a usarse a
partir deí siglo xv. Antes se usa
ban palabras o abreviaturas. En
el caso de la suma se usaba p
(plus) y para la resta m (minas).
í
Cuadrados mágicos
Este juego consiste en un cua
drado con nueve casillas, donde
se debe colocar nueve núme
ros diferentes que sumados en
vertical, horizontal y diagonal
siempre den el mismo resulta
do. Utiiice los números deí 1 al 9
y complete el cuadrado mágico.
7
4
1
1. NUMEROS NATURALES (N)
Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad
de nuestros antepasados de contar los elementos de un con
junto (por ejemplo, los animales de un rebaño) y de asignar un
símbolo a una determinada cantidad de objetos.
El primer conjunto numérico que se considera es el de los nú
meros naturales, el cual está representado por
N={1; 2; 3; 4 ;...}
Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cuales
quiera, el resultado siempre será un número natural.
Ejemplos *"'* '
* 8+ 7= 1/ * 5-9=45
é v -
4 A*
i x
... W -
¿
y
S
rS
V
St 1
k J v-..’:' J
La suma 15 y el producto 45 son números naturales. En cambio,
si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no
siempre será un número natural. #
£ % ✓ , ; K y
Ejemplos j
• 8-5=3 12+3=4
Los resultados son números naturales, pero 5-8 y 3+12 no son
números naturales. Así, dentro del sistema de números natu
rales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre
podemos restar o dividir.
nnm
S=1 +2+3 +... +n —
>
Ejemplo
5=1+2 +3+... +30 -> S =
30(30 +1)
=465
2

1.1.2. Suma de los n primeros números impares
S-1+3 +5+7+...+2/7-1 -»
Ejemplo
S=n¿
•S=1+3 +5+7+...+39 -4 S=202=400
-»2/7-1-39 —
> n-20
1.1.3. Suma, de los n primeros números pares
5—
2+4+6+8 +...+2/? -+ S=n(n+1)
Ejemplo
/
S=2+4+6+uóÍ
I 'mz. w $
Á - i
V /
# » - > 5=20(20+1)=420
vtT jQ k . £ ja
)-20
JÜ
K
b
'*.# &
% ¿Vi *
i ^»r
.f
e
En la vida real hay situaciones enjas que los números naturales
no son suficientes. ,4
Por ejemplo, si tienes y debes S/.15, ¿de cuánto dinero
dispones?
í/
A continuación veremos otros ejemplos de situaciones en las
que se necesitan números enteros.
• “Debe S/.133” se escribe -133.
• “Tiene S/.113” se escribe +113.
• “El buzo está a 15 m de profundidad”se escribe -15.
• “El globo está a 20 m de altura” se escribe +20.
• “Bajamos al sótano 4" se escribe -4.
• “Nació en el año 234 antes de Cristo” se escribe -234.
• “El avión vuela a 3225 m de altura” se escribe +3225.
. “El termómetro marcaba 5 °C bajo cero" se escribe -5.
E! s¡gno =apareció en el siglo yvn
y padece que la idea surgió porque
' no hay dos cosas más iguales que
dos rectas paralelas”.
Complete los siguientes cuadra
dos mágicos:
?
i ■
i, .
!ÍT 7- 6
2 4 6
li T i;
5 9
á
•;;¡!i

De los ejemplos podemos deducir que los números enteros
son una ampliación de los números naturales.
A los números negativos en ia
Antigüedad los llamaban núme
ros ficticios., absurdos o raíces
falsas.
Descubra cuál de estos cuadra
dos es un cuadrado mágico.
Indique, en el caso correcto,
cuái es el valor de la suma de
cada línea.
2 -1 -4
5 -16 8
-10-14 -7
-3 _ ~
>
i_ 5
0 2 4
-1 6 1
Los números naturales se consideran enteros positivos.
■
- Los números enteros negativos van antecedidos del signo -.
- .El cero es un número entero, pero no es negativo ni positivo.
2.1. La recta numérica
Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en
la recta numérica.
... -3 -
números epteros
Ejemplo
"y Vi** w
ÍC
v
*
“ y
¿Cuál es el valor de M y de N?
números enteros positivos
o números naturales
Valor de M=1
Valor de N= -3
Cuanto más a la derecha está situado un número
en la recta numérica, es mayor.
Cuanto más a la izquierda está situado, es menor.
Veamos los siguientes ejemplos dados en la recta numérica:
N M
1.
Notemos que -1 está más a la izquierda que 3, entonces -1
es menor que 3. Se escribe -1 < 3.

2. Determinamos el número mayor y el número menor.
M N
— ---- *
-----i-----— *—-
—i----- 1
------1
------>
►
-6 • - 2 0
Notemos que -6 está a la izquierda de -2, entonces -6 es
menor que -2.
Por lo tanto, el número mayor es -2 y el menor es -6.
3. Hallamos el valor de A y de B.
<-------- 1
----- 1
----- ----- i-----+
.---- *
------>
4 0 B
El valor de 4 = -4 y de B=1.
4 B
El valor dé 4 = -6 y de 5=3.
/ ¿0 '.*.
$ 4-0 40* %
Aplicación h ™ m *
J ? ...
47
Escriba el s ig n ó lo slsegúri convenga. f !
p
%_ w J W / C W ‘
- 3 ....- X m - 2 / .. 4 4
a.
Tiíí'í
4*-'
■
#V0 A ~* 1 .#
I / o
Escribimos el signo que co rre sp o n d í//
a _ k ^ / u . 4 ^ : 4 c. 4 > - 8
RESOLUCION
-3 > -7 b.%;%2
' V
APLICACION2 -
Ordene de menor a mayor,
a. 6;-5;-10; 12 b. 4 ;-2 1 ;-6 ;-4 ; 6
Resolución
a Ubicamos los números en la recta numérica.
-10 -5 0 6 12
La respuesta es -10; -5; 6; 12.
b. Ubicamos los números en la recta numérica.
Por lo tanto, de menor a mayor, los números son 21, 6,
-4; 4; 6.
Ejemplos
• (-2)5=2(-5)=-(2'5)=-10
. (-4)3=4(-3)=-(4-3)=-12

2.2. Operaciones con números enteros
2.2.1. Suma y diferencia de números enteros
Veamos los siguientes ejemplos:
° +6+3=9
Si tengo S/.6 y me dan S/.3, entonces tengo S/.9.
• —
7—
8 =—
15
Si debo S/.7 y gasto S/.8, entonces acumulo una deuda de
S/.15.
- 6+ 8=2
Si tengo S/.8, pero debo S/.6, entonces tengo S/.2.
-5+ 3= -2
Si debo S/.5 y tengo S/.3, entonces debo S/.2.
'
'
-
V
.
„
Por otro lado, para sumar 3 o más números enteros, tenemos
dos métodos: 0 ...
a. Agrupar los dos primeros sumandos y sumar el resultado al
tercer sumando, y asi sucesivamente.
Ejemplo ¿i '
' í*
' '
BN.V ' V*
{ VCé
+7-5+4= +7-5 +44+2+4=6 O
--' *
*
9
H
m
*
*
é
P "i'/ «
b. Sumar los positivos por un lado y los negativos por el otro, y
finalmente hallar el resultado.
Ejemplos
• -8+ 9-4= -8-4+ 9= -12+ 9= -3
• +6-4+9-5= + 6+ 9-4-5= + 15-9= 6
Si ios dos signos son iguaies, el resultado es
positivo Si los dos signos son diferentes, el re
sultado es negativo.
•+(+o)=+a • -(-n)-+a
• f(-£7)~-o • -(ro )--o
Ejemplos
+ (+ 2)=2
+(-3)=-3
-(-/)- ?
-(+5)--5

Capítulo t Conjuntos numéricos
Cuando se presentan algunos ejercidos del
tipo (-5)+(-2), debemos tener en cuenta lo
siguiente:
Eliminar los paréntesis: -5 -2
Operar: -7
(—5)+(—
2)=—
7
Ejemplos
1. Hallamos los resultados de las siguientes
operaciones:
a. (+4) +(-5)=+4-5=-1
b. (-2) +(+4)=-2+4=2
c. (+1)-(+9)=+1-9=-8
d. (+3)-(-8)=+3+8=11
e. (-1)- (+7)=-1 - 7=- 8/
8
f. -(-5)+(+7)=+ 5+7=J2
g. - (+ 3 )+ (+ 1 )- (+ 5 )= - % 1 - % ^ - 7 / ;2
Ejemplos
• (+5)(+3)=15
• (—
3)(—
7)= 21
(+4)(-2)=-8
(—
5)(+3)=—
15
Para dividir números enteros debemos seguir
los siguientes pasos:
1. Dividir los números sin signos.
2. Aplicar la regla de signos.
/-Í'K
-.
jm r , '
'íPh'. Mi
<
¡e
jr
(+)+(+)=+
H * B = +
Ejemplos
■ 24-^(+6)=4
• -20=(-4)=5
• +16-r(-8)=-2
- -32+(+2)--16
(+ )*(-)= -
(-)-(+ )= -
2. Efectuamos las siguientes operaciones: |
a. 7+5=12
% i Ti
A % :
b. -5 -3 = -8 . | '% :
%%. * i
c. 7-3=4 %
■ |p* :
%s i
d. -6+13=7
e. -4+ 6-7= + 2-7= -5 :
f 4—
6+8=—
2+8=6 :
g —
2+5—
9=+3—
9=—
6 :
2 2.2. Multiplicación y división de números
enteros
Para multiplicar números enteros debemos se-
guir los siguientes pasos:
f Multiplicar los números sin signos.
2. Aplicar la regla de signos.
(+)•(+)=+ (+ )•(-)= -
(_).(^ )= + (- ) (+ )= -
2.2.|^p¿^cigpes combinadas
fty ''T^' p ' **
Cuando se .van a efectuar operaciones combi-
*hay.que tener en cuenta las siguientes
•^
% fno hay paréntesis, primero se efectúan
todas las multiplicaciones y divisio es. Con
los resultados obtenidos se hacen las su
mas y restas.
Si hay paréntesis, se efectúan primero las
operaciones de los paréntesis de acuerdo
con las reglas anteriores.
Aplicación 3
Efectúe
5-(+4)‘(-2).
Resolución
Del dato
5-(+4H-2)
5 —(—
8)
• 5+8=13
9

Aplicación 4
Efectúe
3+(-6)t (+4-7).
Resolución
Operamos
Por tanto, dentro del sistema de los números
enteros, podemos sumar, multiplicar y restar,
pero no siempre podemos dividir.
Para superar la limitación de la división, exten
demos el sistema de los números enteros (Z)
al sistema de los números racionales (Q).
3 + (-6)-r(+4-7)
3+(-6)*(-3J
3 +(+2)=+3+2=5
Aplicación 5
Resuelva
donde a=numerador y ¿>=denominador.
“ 7+[—
2 - (-14) * (+2)]. /
Ejemplos
Resolución
f
A
' .A
? ... W M /jk . í
¡ €fc- 1
1
2
3 0AC 46 n 3 3
■
;— ; 46 - — ; 0,3 =—
7 1 10
Del dato
- 7+[- 2- (-14) * (+2)]
* » ?
•
V f
¡S
."
% w ■•&
• ■ •j&
fcsr Jf
V
e ú
«
{c . ,
X * ........,
.... ^
-7+[—
2 -(—
7)]
-7+I-2+7]
;?
• f
%
<
>
v
í- *«
;/*
. ■
"
a
' 3 0
1' - y - no están definidos.
o y o
i ■
... . _ j
-7+(+5)=-7+5=-2
3. NÚMEROS RACIONALES (Q) w
Es claro que los números naturales también
son números enteros. Si sumamos, multiplica
mos o restamos dos números enteros cuales
quiera, el resultado también será un número
entero.
Porejemplo,-4+8=4, (—
4)(6)=—
24 y 4 -9 = -5
son enteros, pero aún no podemos dividir
un entero entre otro y obtener un entero
como resultado. Por otro lado, vemos que
8 * (-2)=-4 es un número entero; pero - 8 * 3
3.1. Adición y sustracción de fracciones
a. Cuando dos fracciones tienen un común
denominador, pueden sumarse simple
mente sus numeradores.
a b a+b
- + - - ---------------
• x c c
V__ _________ _.
Una regla similar se aplica a la sustracción.
a b a b
no lo es.
V

Ejemplos
_5_+J ! _ 5+11 _ 16
13 13" 13 " 3
9 + 5 = 9 +5_14
7 + 7 7 ~ 7 “ 2
_3 5 _ 3-5 -2 -1
2x 2x 2x 2x x
5 ! 7 _ 5+7 __ 12
6 6 6 6
5 2 _ 5—2 _ 3
a a a a
b. Cuando dos fracciones tienen denomina-
■
'i ' ¿
dores diferentes, se procede de la siguien-/
te manera: &
a c ad+bc
b +d bd .
"
■
í>
%i
■
v
íV
«
í'} jfi-
Una regla similar se aplica a la sustracción.
Ejemplos
5 1 5-2 + 1-6 10+6 _ 16 _ 4
~
£ + 2 = 6.2 = 12 _ 12_ 3
5 1 5-4-1-6 20 —6 14 _
é ' ? " 6-4 24 "2 4 12
. x 3y _ 4-x+3y-6 _ 4x+18y 2x+9y
6+ 4 " " “
6-4 24 12
, 2 ^ 3 2 _ 3-5 +2-1 _ 15+2 _ 17
5 " l + 5 " 5-1 5 ~ 5
4 4 2 4-1-2-7 _ 4-14 _ 10
7 7 1 " 7-1 7 " 7
c. Casos particulares
Suma de un número entero con una
t
fracción
$ a
;
Ejemplos
: ! ✓ 15+1 16
* 3 + - = ------= —
X / „ 2 12+2 14
3 3 3
Resta de un número entero con una
fracción
b ac-b
g - ~ - ------
c c
Ejemplos
2 20-2 18
4 - ? = — =T
3 _ 2 8-3 = 25
7 4 " 4 4
6-4

COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
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rr*
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1'
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Establezca' si cada una de las
igualdades es válida o no. Lue
go reemplace cada proposición
falsa por una verdadera.
■ •■
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' W ’ Ii 1; : ’ i [ //
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1 ■ ! !II H ! i (•; m {
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a. = _
5 + 5 ~ 5
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5 ■5__ 5
3 + 4~ 7
2 | 5 _ 2-f5
3 + 9 3+9
1 1 _ 1
2 + 5 ~ 2 +5
2 _ 1
2 +7 ~ 1+7
x + y
----- =x
y
2 5 , 7
3 + 9 ~ 12
/>-
j l ! i | //.
L a
Aplicación 6
Determine el resultado de operar —
K 4 5
Resolución
Del dato
13 16 _ 13-5-16-4
4 5 ~ 4-5
6 5 -6 4 ^ 1
20 “ 20
A plicació n 7
Indique el valor de la siguiente operación:
Í 4 - 1 1 M
V 4 A 5 3
Resolución
Operamos;
J w . *
A > ,
+ I
J p
*
*
■ .... y í
16-1Y 3 + 5
4 A 15
Aplicación 8
Cr 3 f2-, 1
;;f 2 ) 17
Efectúe 2 •—+ - - - + — .
4 VS 2 3J 5
Resolución
Operamos
, 3 (2 1 2^ 17
2
i ■
»
,,?W
ws
3
2
l 2 + 1 7 3 + 2 7 ^ 2 0 + 1 7
^ +l l Ó ' 3 j +T _ 2 +l 30 + 5
15-3 7 17-6 45 +7 +102
15.2 + 30 5-6 30
154 = 77
30 15

3.2. M ultiplicación de fracciones
El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en pri
mer término los dos numeradores y luego los dos denomina
dores.
Ejemplos
r
11,
2-7 14
3-11 33
S V 2-5 _ 10 _ 5
7 A 6 y ~ 7-6 _ 42 21
f A^/ y
'2x •4 >
3x
3y
v y
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3.3. División de fracciones
»V . . x „
íj . V ’
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Para dividir una fracción f 4 | t 4 la'íégúrida fracción se invier
/V *.
/Mk '%
te y después se multiplica por la primera.
%
_____ 3Vj------,
i5
-
,
' % .X'- ( c ^
1;$
b.¡ d ) l .
' c A a d
i c J be
3
10x

Ahora repasemos los temas anteriores con
otros ejemplos.
i d + 4 y = l + l . 3 y
3y 3y 3y
1 1 1-2 —1-6 2 - 6
6 2 “ 2-6 12
4
12
1 1 1-15 + 1-10 _ 15 + 10 _ 25 _ 1
10+ 15 ~ 10*15 ” 150 “ 150 6
2
. -n,,2 </2 i 191/2
3y 3y 3y
a 2 ¡ a ^ ^
3
¿
> v¿
> 2a,
o
|
S
II
x x 3x + 2x 5x
2 + I ” 2-3 ~~6
a-6a b -5a-a b-b-3 -5a¿ +3b‘
--------- i---—---------- 1
--------- —---------------
3b a 3b-a o b-3 3ab
a a 3 -o 2o -2a -a
6b 2b 6b 3-2b 3• 2 M ~ 6b «
n 3
¿
>
Aplicación 9
Calcule el valor de la expresión M.
2 V
J + 12>
1 + 1 =
.10 4 y
Í'2*4 + J 4 7 fcÜ
ST+.T
3*4 12 J v10 4 y ;
.12
" i"
^4>
x + 2x
28 + 10
40
3
.4. 40 y
. 3T111%. 5 ..I 3
M = — --Í-- +- - 5 + -
2 4 . 2 3 J 4
Resolución
, "
% | ¿/Operamos
19
20.
57
80
.íi *
H
*
fe
2*1 1 _ 2 + 1 _ 3
2 *x 2x 2x 2x
o o _ a a-6 _ a-6a _ -Sa
6b b 6b b-6 6b 6b
3 Í 1 1 5
M = — —-5
-—+ —+ 5
214 2 3
3
+—
4
« = l
^ 1 t i 1
7 ' T + b *x
3
+—
4
„ ■ I
1 1
—+ -
2 3;
^ 3
+ —
3 f3 + 2 j 3
M = á - r J + 4
i + i
6x 4x
14x
2 -7 -x + 3*3
2 2*6x *x 3*4x‘
14x +9
+
12x2 12x¿ 12x
M ¿ í 5
M = I
^ 3 5 3 8
+- _> m = - +- = -
4 4 4 4
2
M =2

Capítulo t
A plicació n 10
Se tiene la siguiente fracción irreductible:
4 i ) f 2 > f 4 1
~ + — -r --------- h
-2
v5 10J 13 J v9 2 )
Halle el valor de b-(3+4a).
Reso lu ció n
Además, podemos sumar, multiplicar, restar y
dividir dos números racionales (exceptuando
la división entre cero) y el resultado siempre
será un número racional. De esta manera, las
cuatro operaciones fundamentales de la arit
mética (adición, sustracción, multiplicación y
división) son posibles dentro de los números
racionales.
Operamos
o
~
b
a
V
o
~
b
15-2 10;
2 [ 3-3
V 3+ 3 .
V i
9 /
■
^
2
8 + 3
10 .
2 + 9"|
. 3 ,
§ + 2
'11
v
rn"! 'í i '
JO y ,3 J Wiy
3 1
10 + 9
■ y
£ = 2 _ 1
b ' 10 9
£ = —
b 90
a _ 27-10
b~ 90
A W
'%K
Entonces a=17 y b=90.
Nos piden
_ (3 4c7)=90 —
(3+4-17)=90—
(71)=19
4. NUMEROS IRRACIONALES (ü)
Debemos recordar que un número es racional
si podemos expresarlo como la razón de dos
enteros con denominador diferente de cero.
Acr 2. _jL- £ v 7 =- son ejemplos de núme-
Asl 3' 10' 5 Y 1
ros racionales.
; También existen algunos números de uso co-
• mún que no son racionales (es decir, no se
i pueden expresar como la razón de dos ente-
i ros); por ejemplo, y¡2, Í3 y n no son números
racionales, tales números se denominan nú
meros irracionales.
; Ejemplos
_
_
f % n
0 % ' -jr~
i
j f 5. NÚMEROS REALES V i)
: La Unión de los números racionales e irracio-
nales es el conjunto de los números reales.
R
I
S : n
/7;^ 5;ti; -

; Ejemplo
Dado el siguiente conjunto:
o ^
-10; 50;— ; 0,538; V il; 1,2;
! • Los números naturales son 2 y 50.
Relación entre los números y
los ángulos
* Los números enteros son 2; -10 y 50.
• Los números racionales son
2;-10; 50; y ; 0,538; 1 , 2 y - y
° Los números irracionales son VÜ y IÍ2..
5.1. Propieda úmeros reales
Todos sabernos que 2+3=3+2 y que 9+6=6-t-9, y así sucesi
vamente. En álgebra expresamos estos hechos de la siguiente
manera: a+b=b+a, donde o y b son dos números cualesquie
ra, es decir, a+b=b+a es una manera concisa de decir “cuan-
do se suman dos números, no importa el orden en el que se
sumen”. Este hecho se conoce como la propiedad conmutativa
de la suma. ^ . f ' / A ,/ ' '
Ahora veamos algunas propiedades.
5.1.1. Propied ad^oíp u tativa
Si a y b son dos números cualesquiera,-entonces
Cuando se suman dos números, no ¡m-
a+b-b+a porta e|orcjen
Cuando se multiplican dos números, no
ab=b° importa el orden.
Ejemplos
• 3+7=7+3
• 3+(-8)=(-8)+3
. 3-7=7-3
• 3 (-8 H -8 )3

5.1.2. Propiedad asociativa
Si a, b y c son tres números cualesquiera, en
tonces
[5(3c7Ó)]2<7=(5■
3 •2)(a■
a) •b=30a2b
5x+(4y+2x)=5x+(2x+4y)=(5x+2x)+4y=7x+4y
Cuando se suman tres nú-
{a+b)+c=a+(b+c) meros, no importa cuáles
dos se sumen primero.
Cuando se multiplican tres
(iab)c=a(bc) números, no importa cuáles
dos se multipliquen primero.
Ejemplos
• (2+3)+7=2 + (3+7)
• (4+7)+11=4+(7+11)
• (3-7)-8=3-(7-8)
• (2-3)-7=2-(3-7)
5.1.3. Propiedad distributiva^ v ' /
Si a, b y c son tres números cualesquiera, en
tonces cuando se multiplica un número por
una suma de dos números se obtiene eLrnís- ;
mo resultado al multiplicar el número por cada
uno de los términos y luego sumar los .resul
tados.
a{b+c)=ab+oc
(b+c)a=ba+ca
Ejemplos
• 2(3+7)=2-3+2-7=6+14=20
. (—
2)(3 +(—
8))=(—
2)3+(—
2)(—
8)=—
6+16=10
. x(y+3)=*K+* '3=xK+3x
. 2x+3x=(2+3)x=5x
. 2(3x)=(2*3)x=6x
. (2x)(3x)=((2xp
)•3)x=(3•(2x))xp
=(6xlx'=6(x-x)=6v2
• 3x(4y+5x)=(3x)(4y)+(3x)(5x)=12xy+1S'/
5.1.4. Elementos identidad
Si a es un número real cualquiera, entonces
¡7+0=0 y o-1=o.
Es decir, si 0 se suma a o, el resultado es o; y
si o se multiplica por 1, el resultado de nuevo
es o. Por esta razón, los números 0 y 1 a me
nudo se conocen como elementos identidad
para la adición y la multiplicación, respectiva
mente, porque no alteran número alguno bajo
sus respectivas operaciones.
Inversos# ry/.
Si o es un número real arbitrario, entonces
existe un único número real denominado el
negativo de a (denotado por -o), tal que
v
.
-
’
v
"
--
r
V"
* y y
i, o +(-o)=0
Si o no es cero, entonces también existe un
único número real denominado el recíproco
de a (denotado por a-1), tal que
o-o“1=1
Observe la similitud entre las dos definiciones:
cuando -a se suma a a, el resultado es el ele
mento identidad para la adición; y cuando a~‘
se multiplica por a, el resultado es el elemen
to identidad para la multiplicación. A menudo
nos referiremos a -o como el inverso aditivo
de a y a o-1como el inverso multiplicativo de a.
(Algunas veces o-1 se denomina simplemente
inverso de a).
Ejemplos
• El inverso aditivo de 3 es -3.
• El inverso multiplicativo de 3 es 3 .

A plica ció n 77
Reduzca la siguiente expresión:
2- 1-1
3 4
Reso lu c ió n
Operamos
1 2_2
3 5.
2 ■ -,¡3 0 - 6 "
3 4^ 15 j
2 /
3 / 1 5
2-15 1-5
1-15 3-5
3 0 -5 -5 _
15
_5_
15
y í
4
3 H -v. +
^ //M
.
Aplicación 12
Simplifique
"2 2^1
(2 n f 1
V3 5 j 5 ------I_ - + -
13 4 ) v.3 1 )
2
7'
Resolución
Operamos
2 1 f 1 1
V3 4 )
r 8 - 3 .
v 12
3 7
7 + 3
21
—
>
3 i / 2 3
15-1QÍV5,
,6 5
fl
¿
V
i ¿
K
*
%
<
í^
>
v .X-.
pt.i
'A /i'' -
<
V
X
?
k
I V
;q.
ÍO
v
^
T
?
'
El sudoku
E! juego consiste en colocar en cada una de las 9 filas, columnas y cuadrículas de tres por tres los núme
ros del 1 al 9.
1 2 8 5
r
8 6 3 9
4 9
1 3 2
8 2 3 9 1 5 4
I > L
. J
¡ •j 5 3 1
1 8
3 8 1 A
í 9 6 7 3

Problema N.*1
Determine la suma de los 15 primeros números •
naturales.
II. Correcta
Efectuamos -17 > -22.
Ubicamos los números en la recta numérica.
A) 15
D) 240
B) 100 C) 120
E) 16
-22 -17 0 +<
*
>
Resolución
Nos piden
5=1 +2+3+4+...+15
15(15+1)
S =
5 =
2
15-
í
-> 5 = 15-8
Notamos que -22 está más a la izquierda
que -17, entonces -22 es menor que -17.
Luego, -22 <-17.
III. Correcta
Efectuamos
-32=-32
5=120
%

& da
Clave
% '
#
W
. -fe
C/o/e •
•
P r o i W
_____
: % J L p
j,r Efectúe las siguientes operaciones:
Problema N. 2
~
-------------- ---- ------ — ...-y 35-24-12 +45-22 +6
¿Cuáles de las siguientes expresiones son,
correctas?
I. -7 <-10
II. (-8 -9 ) > 3 -2 5
IH (—
8 )(4)=(—
16)(2)
A) solo I
D) solo II
B) I y II C) I y III
E) Il y III
Resolución
I. Incorrecta
Ubicamos los números en la recta numérica.
-10 - 7 0 +
<
*
>
A) 24 B) 18
D) 15
Resolución
Del dato
35-24-12+45-22 +6
T
1
1 - 12
----- r _
-1 + 45
i i
44 - 22
22 + 6
p
28
C) 40
E) 28
Notamos que -10 está más a la izquierda
que -7 , entonces -10 es menor que -7, es
decir, -10 < -7 .
Clave

Problema N/ A
Indique el resultado de la siguiente operación:
a _ (-6)(-3) +(8)(-2)
(—
5)(3) —(—
7)(2)
A) 2
D) -2
Resolución
B) -1 C) 1
E) -4
(-6)(-3) +(8)(-2)
(-5)(3)-(-7)(2)
primero efectuamos la multiplicación.
18+ (-16)
4 =
4 =
-15-(-14)
18-16
-15 + 14
A = -2
Problema N.‘ 5
4 =
-1 -
%
.fi-0
Clave ;
: Rrafolsma M.’ 6 _________________ ________
Efectúe las siguientes operaciones:
6+(13-15)-[(8-4)+(-2)-6+(-3)]
i A) 7 B) -3 C) -2
I D) 1 E) 0
: Resolución
Del dato
6+(13-15)'- [(8-4)+ (- 2)- 6+(- 3)]
... — .
— -q-------
4+(-2) - (-2)
6 -i- (-2 ) - l-A + ¿¡
j-
6 + ( - 2) - 0
-3 ,
J?' .
Clave
.
:.Y..
M i l Efectúe las siguientes operaciones:
rrouusm q - » _________________ t — * :
indique el valor resultante de la expresión M.
3-8+ 5-(4+ 2)-(40^ 5)-3-5-4-2
M=8+(-4) +(-6)+ 2-3
A) -8
D) -1
B) -3 C) -2
E) 0
A) 6
D) 3
Resolución
B) 5 C) 2
E) 20
Resolución
Del dato
M= 8+(-4) +(-6) +2-3
primero efectuamos la división.
M=(- 2) +(-3)-3
M = -2 - 3 - 3
M =-5-3
M --8
Clave
Del dato
3-8+5-(4+2)-(40 + 5)-3-5-4+2
T 7 T /
24 + 5-6 - 8-3 - 20*2
t i t r
X + 30 - ^ - 10
30 - 10
?n
Clave

COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
mmm
Problema N2 8
Reduzca la expresión N.
N=-[-(2+1)+3-{(-2+1)+5}+4]-6
A) 0
D) 6
Resolución
Del dato
B) -1 C) 1
E) -6
N = -[-(2+ 1) +3- {(-2 +1)+5} +4] - 6
/V= - [ - / + / - { - 1+5} + 4 ] - 6
✓
A/=—
[—
{4} +4]—
6
W= - [ - / +/ ] - 6 I I
ti .
/. /N
/=
—
[0]—
6 =0—
6= -6
«
?
;■
»
’,-íK
Íir 3
v-" ¿
Problema N.’ 9
,1-,____ 1■

Clave
¿4, '%
á %
Halle el resultado de la siguiente operación:
£ = - - - 4
6 6 6
• 1
» !
» !
E) 1
Resolución
Como las fracciones son homogéneas
13-11 +7 3
5= 6 ¿ 2
C/ove
Problema M
.* 10________________________
Halle el inverso de la siguiente expresión:
1
3+
1- I
2
A) 4
D) 2
B)
Resolución
Operamos
-, 1 -, 1
3 +-— - = 3 +
1 -
1 2-1
1 2
$■
■•s (fl < »yv4
-4 3+4=3+2=5
V vi
'
XV.
... u
■
ó
?
-
'
Por lo tanto, el inverso es
Problema N." 1
1
Reduzca la expresión F.
F =
4 _ 13
13 15J
—+3
U
10
21
* - 3
» - !
C)
E) 1
5
Clave
o - l

Resolución
Operamos
F =
í 5-4 13'
F =
F =
5-3 15 J
r 20-13Í
^ 15 J
í / 1
. / A
f 4 3-7'
— i
-----
w 7 ,
4 + 211 10
. 7 J‘2
1
10
21
10
21
c 5 10 _
F - - +— —
» F =
3 21
¿ . 4
i )6
2
, F = I
2
........ .
* •t¿* k e* •
:U X *S
.r J
»
•
CÍQveX Á
Problema N/ 12
Halle el valor reducido de E+M.
£ = 4
1 . 1 1
H
-------H
1.1-2 2-3 3-47
M = 55 + - ^ + 2
A) 2
D) 8
U - 7 7-9 9*11/
B) 5 C) 7
E) 9
Resolución
Primero hallamos el valor de E.
r - . Í l 1 1 1
E = 4 -----1
------ f*----
11-2 2-3 3-4
£ = 4 9 A A A A a
O % % £ t 4
E = 4
{ 4 j { 4 4 )
E = Á
-> £ -3
( 4 - 1 Ì
v / y
Ahora hallamos el valor de M.
f
M = 55
M =55
2 2 2
+ -------+
1.5-7 7-9 9-11.
1 '. y _ i ' '
5 tí +tí b 11
Ti O
M = 55 - - -
V 5 11J
M = 551
% /
&
■ Jr
‘ M - 55
-> M=6
11-5
. 5-11
' 6 ^
£+M=3+6=9
Clave
Problema N.‘ 1
:
Si M =
2 _ i
2 5
1 _ 1
3 4
halle el valor de 25M+1.
A) 91 B) 19
D) -26
C) 28
E) 0

. ______________________________________ _________________________
Resolución
Operamos
1-1 5~
2
M _ 2 5 _ 10
1 _ 1 4 - 3
3 4 12
-+ M = —
_1_
12
M 3->2 . . 18
M = —7— -> M = —
;0-1 5
Nos piden
18
25M + 1= ,25--4 +1
5
5-18+1=91
Clave
...............-..1— —
Halle el equivalente de la expresión 5.
( 1 Y 1 Y Y {
s=l1
+
i) r ll1
+
4 A w
A)f
D)í
Resolución
Del dato
B) 1 cy .
E
) I
5 = 11+ ~
' 1
1+ - 1+¿ .
4 )
5 =
2A 3 ;
2 + l Y 3+ 1Y 4 + 1
A T A 3 A 4
, 1 + ¿ .
10 + 1
10
. s A
" 2
Clave
Problema M
." 15_______________ ___ __
Calcule el equivalente reducido de T.
T =
( 2 5 6 a
---1
--------
x x 2x
1 + 2
V x
■
(2x +1)
A) -3
D) x+3
Resolución
Operamos
T=
B) 4 Q - 3
E)
4
( 2 +.S fi Ì í 2 + 5 - 3 Ì
x x / X
-(2x+1) -+ 7=
X
1 2 1+2x
- +-vX —
V# X :X ' •
•V 1 x ;
T=
A-J
X Í2x +1
)
r=4
(2x+1)
■(2x+1) -> T
--
' 4 ^
V2X<1 y
Clave
Problema M.c16
Reduzca la expresión
1 _ 1
p = -C
— £-• a; b e N.
1 1
a + b
A)
D)
a -b
a +b
a +b
b -a
B)
fe-a
(7+ ¿>
C)
E)
0+ò
a -b
ab

R esalu d en
Operamos
1 1 b - o
p _ a___b _ ab
1
_ 1 b +a
a b ab
p = {b - a)p6
{b +a)#é
P =
b -a
a +b
1 1 1 N
s¡ _ + _ + - =
a b c abe
i Clave
halle N-ac.
A) ab+bc B) ab-bc
D) bc-ac
Resolución
Por dato
1.be Vac_ 1 ab = N
.~¿Tbc + b-ac ca b abe
bc +ac +ab _ N
pÜc fitá
C) ab-ac
E) ac+ab
bc+ac+ab=N
hc+ah=N-ac
. fl-ac=ab +bc
Clave
Problema M‘ 18
Simplifique M.
M = —-
1
1
(
2-
1
U 2 + 2,
A) 1
D
)I
B) -1 Q §
E
>I
Resoluci&n
Operamos
4
M =
1
1 22 +2 1
1;
M = —
1
1
2 -
3 + 11
l 22
M = —
: * * 1
1
M = —
1
1
« 3
22J
2-11 7
1
1 11.
M = —-
1
1
2 2 -7
1
1
M -4 15
— /W
—
1
1 1
1
1
1 1
1
Clave
Froblema N.‘ 19
Reduzca E.
-KM)
2 _
5 ' H)
») B)
1
12
C)
°) | E)
1
ro
uj
I
kj

Operamos
12
E=
13
. 12
E=13
3 Z'j _ 2 . '1 2Ì
--1
--
ll 5J
U 7) 5
( 21-8^ _ 2 . ( 5+2s
l 28 J 5 l 5 J
13 2 . 7
-+ E=
zé 5 ‘ 5
3 _ _ 2 X
7 X '7
3 _ 2 _ 1
_
£"7 7 7
/ -jtsr
? . Clave ... • ~
3 '
éW 'Ém -
% W-:J aZa f
% v
A
-A
-y
^
y
.-. ■ &
¿mw m
Jr
4¿>'
'
-------------------
Calcule el valor de H.
H=23-5(7-4)+6(5-2)
A) -15 B) -1
D) 34
Resolución
Operamos
H=23-5(7-4)4-6(5-2)
H=23-5-3+6-10
H=23-15 + 60
/-/=8+ 60
• H=68
o 31 i r
E) 68
Problema N. 21____________
Calcule el valor de F.
F=22-2[4-6-(9-1)+6+2]+8
A) 1
D) 44
B) 5 C) 7
E) 55
Operamos
F=22-2 [4-6-(9-1) +6 -r2]+8
F-22-2 [4-6-8+3]+ 98
F=22-2[7-14] +8
k-V, ...V '
^ 2 2 ¿ 2 (-:7 )k 8
f W<af=22;-fetÍ+8
% -ís
“ ,5
«
;'
, 'W
F=44
Clave
Pi Gfalernn ri ____________________
Calcule el valor de la siguiente suma:
— 1 | 1 !
1-2 + 2-3 + 3-4
Clave
20
B) « C)
39
21 42 40
39
E)
19
42 22

Capítulo i Conjuntos numéricos
Resolución
De la suma
1 1 1 1
— + — + ------- + + ----------
H . M 20j_21
i e
r 2o i s! 5
fumando sumando sumando
i/ ,/ ,/ ,/ J
sumando
+É Á +'"+É 21
1 1 _ 21-1 _ 20
1 21” 21 ” 21
Problem a N.° 23
Clave
Determine el valor de la expresión J.
J =- + 2
5
» ?
» i
Resolución
Operamos
( 1 0
7= ? + 2
J = h 2
1 o
5 +2
1 „
/
1 Ì 4 "
- + 2- 2 - — H
---
3 k 3y 5J
3
B)
7
7
+—
3
C)
28
7
E) —
15
"1 o
- +2 -
r f 4~
2 - - +7
_3 l 3,
-—
r-
I
i
5.
~
1 n
—+2•
5 4 7
- +— H
—
L3 3 5J 3
7
H
—
3
1
1 4
L 3 + 5.
7
*3
1 o
J=5+2
55 +12
15
J =l +l ( * )
5 V15y
7
H
—
3
, 3 1 134 7 5 , 3+134 +35
7 = ---- + — +- • - -> J =
3 5 15 3 5 15
15
Clave
Problema N.‘ 24______________________
Simplifique las siguientes expresiones:
a. —
2(—
4 —
2)
b. —
6—
2(—
3—
2)
c. 3(4z+2x)
d. -t-x -3)
. e. -4(x-6)
f. 3y+4(x+2y)
r■ ,ó
*
' & "
g. -4x-2(3z-2x)
h. 3{y-2x)-2(2x-2y)
i. - 4(8z-2f)-3(-t-4z)
j. 2x+5-2(x+2)
k. 4[x(2—
5)—
2(1—
2x)]
Resolución
Simplificamos cada expresión.
a. —
2(—
4—
2)
-2(-6)=12
b. —
6—
2(—
3—
2)
—
6—
2(—
5)
-6+10=4

c. 3(4z+2x)=12z +6x
d. -(-x-3)=x+3
e- -4(x-6)=-4x+24
! Problema N.* 25
Dados los números
1
4 =
1-
1
y 6=0,66...
2 - 1
2
i determine el valor de A-B.
f. 3y +4(x+2y)=3y+4x+8y = 11y+4x
>
g. -4x-2(3z-2x)=-4x-6z+4x=-6z
1 B) 3 C) 2
3
4
E) f
3 3
h. 3(y-2x)-2(2x-2y) .
3y-6x-4x+4y
7y-10x
i. 4(8z- 2í)- 3(- f- 4z)
32z-8f+3f+12z
44z-5f
j. 2x+5-2(x+2)
¿ / + 5 - ^ - 4
5-4=1
k. 4[x(2-5)-2(1-2x)]
4[-3x-2 +4x]
4[x-2]
4x-8
%
j Resolución
Primero, hallamos el valor de A.
1 _ 1
1- 3 4
■
&
. :
^ = 4 t - =
»
%■
f;. x
T
Íy
í'V ír ¡
/ . £ 4W n:
É¡1F I
.áSF # : •
»«Ir a *
-4
(¡S
% : 2
4
<
h
? t*
*
' •
^ * 'A $ "• éAS
%
:>
.
. V 1
í-
■
■
*
i-'
Ahora, hallamos el valor de 6.
6=0,666... —
> 6 =— —
> 6
9
Nos piden
4-6 =3 -| =2
Clave
Problema N.* 2 6 ________________ ______
Determine el valor de a si se sabe que
(q+1)+(Q +2)+(fl+3)+...=630+10q-
!*»mui»
A) 45
D) 41
B) 44 C) 43
E) 42
ri
|
m

Capítulo i Conjuntos numéricos
Resolución
Del dato
(q+1)+(q+2)+(q+3)+...+(q+20)=630+1Qq
t " 2o 3.-r 20°'
término término término término
a+o+...+o+1+2+3+.„+20=630+10(7
20 veces -
20o+210=630+10o
i
20o-10o=630-210
10o=420
o=42
Problema N.“27
/ jf S íÉ B .f - )
| i
®
-
. á
1 |
V /
w
En cierta parcela se cultivan - partes de trigo
5
V en el resto 200 m2de maíz. ¿Cuál es la super-; *
fide de la parcela?
... ’
>
>
>
«5^
A) 50 m2
D) 500 m2
Resolución
Tenemos
B) 125 m2 C) 250 m2
E) 1000 m2
trigo _> — partes —
> sobra -
maíz -> j parte (que equivale a 200 m2)
Por lo tanto, la superficie de la parcela es igual
a 200-5=1000 m2.
Clave
Problema M° 28__________________
3
De una botella de - de litro se ha consumido
. 4
la quinta parte. ¿Qué fracción de litro queda?
5
4
3
5
Resolución
Por dato, se ha consumido la quinta parte;
4
entonces queda sin consumir —de la botella.
/w3 . . . 4 3 3
Luego, - de -vd e litro=—
—- =—-
1 1 ,5 # J K p 5 4 5
A) I B) 1
C)
4 3
D) 1
2
E)
:
I jé
iw & ié
^Js; Pór Ip;tanto, - de litro queda sin consumir
¿y i w
Clave
Problema N.* 29________________
Las temperaturas medias que se alcanzan
en un mismo mes, en distintas ciudades, son
-5 °C, 3 °C, 10 °C, -7 °C, 0oC y 12 °C.
Ordénelas de menor a mayor.
Resolución
Ordenamos de menor a mayor.
-7 °C, -5 °C, 0 °C, 3 °C, 10 °C, 12 °C

Problema N.‘ 30
Aristóteles murió en el año 322 a.n.e. y vivió
62 años. ¿En qué año nació?
A) 384a.n.e.
B) 260 a.n.e.
C) 128 a.n.e.
D) 383 a.n.e.
E) 420 a.n.e.
Resolución
n.° de años
vividos
ano en í año en
.que murió./' l^que nació
Reemplazamos los datos. | 'mkT I
62 = -322-

f
ano en
l^que nació)
A
r año en
que nació
( año en ^
que nació
= -322-62
= -384
%
Jr
Por lo tanto, Aristóteles nació en el año
384 a.n.e.
; Clave [ A .•
Problema N." 31
1
Lizet va al mercado y gasta en carne - de lo
que tiene; en cereales, —de lo que le quedaba;
4
Z
)
V - del resto, en verduras. Si todavía le queda
8
S/.20, ¿cuánto gastó?
B) S/.40
A) S/.64
D) S/.44
C) S/.15
E) S/.52
Resolución
Suponemos que Lizet tiene x soles. Gasta de la
siguiente manera:
1 , . 2
» En carne: - x , entonces le queda —x.
(2 ]
- x
i 3 J
» En cereales: —
„ f % * ,,4.
# 'V v T Ä
f: ¡f *
í 3
C rr eritonce$1e queda —
í
-X
M ;J " / * v f 3 "3 2 V
iT:V • • En verduras: - -X
C
5
0
¿y
f
<4 l3 )j
entonces le queda
Por dato
^ . i Z x =20 -> x =64
8 4 3
Por lo tanto, gastó 64-20=S/.44.
Clave

Si se cumple que
¿=(-1)+(-1)+H)+(-1)+(-1)
determine A+B.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)
con respecto de las siguientes igualdades y
elija la secuencia correcta.
2-3
4
A) -5 B) 3 C) 2
D) -2 E) -1 II.
2 -3
4
(6-5) +(5-4) +(4+20)-(20+3)+(1-3)
A) 20
D) 1
B) 3 C) 16
E U )
Simplifique la siguiente expresipff^
I' %
-[-(2 +1) +3—
{(—
2 +1) +5} +

A) 2
D) 6
B) -1
V -
r ÆÊ$
O f ¥ y
0
Reduzca la expresión D.
D -
% .¿i! '
‘■
íjífr
III.
~2 2 __2 _
3 “ -3
A) V W
D) FW
B) VFV C) FFF
E) VVF
7. Si se cumple que
>;3'
I
5’<&
% %
%M -V* ** f iv 2
•jt • -î#
C ,
indique el valor de
A) 7
D) 8
B) 5 C)
E)
6
3
5M
7
A) 3
D) 7
2N
7
B) 4 C) 6
E) 2
Reduzca la expresión K.
r = |.( - 6 ) + 4 ^ ]- 6 - 3 (2 ) + 1(-1)
Simplifique la siguiente expresión:
1 4
+
/
2 v2 5
1 _ 4
U 5
1
4 25JI
B) 4 C) -4
E) 0
A) 3
D) 1
B) 2
A) 8
D) -8
C) 4
E) 6

COLECCIÓN ESENCIAL
- :-t
*■ +
.;-v,'
Lumbreras Editores
nmammmm
9. Si tenemos que
c?=-2 + 3 - 4+5
b=6 -3 + 2 -1
determine el valor de o +b.
A) 2
D) -33
B) 6 C) 33
E) -16
10. Calcule el valor de P.
A) 3
D) - 1
B) 3
11. Calcule la siguiente expresión:
1 1 . 4
+ — 3
C ) - 3 ,
" - j
E) -
‘*3
3
w /
i y."
2 _ j _ : + 9 + i
1 _ 1 1 9
6 2 3 2
-C %
A) i
3 »
>i
D) 1
12 Calcule el valor de £
3 Í 1 1 5 'I 3
E) 0
A ) !
D) 2
13. Simplifique la siguiente expresión:
3 2
1 - - + -
3 2
A
) i
1
1
B)
1
1
D)
7
c ) !
E) 1
14. Si
S=2+4+6+... (20 términos)
r=1+3 +5+... (20 términos)
halle el valor de (5-7).
A) 20 . B) 0
D)’ - 20
v ? < .•
j'v
v
?‘
11^
Hálle el valor de 5.
1 1
5 =>— +----+ ------+... +
C) 10
E) 40
1
7 3-6 6-9 9-12 30-33
A) 11
33
B) 1°
99
0
10
33
D)
J1
30
E) —
90
16. Simplifique la expresión/
, ( , 2 3 V i 2 8 l
J _ í + 7 + 1 4 A 5 + 3 15/
Luego dé como respuesta el valor numéri
co de 27+5.
1
4
C)
11
4
j A)
1
2
B) 5 C) 6
E)
35
8
D) 3
2
E) 1

Ti Determine la raíz cuadrada de la siguiente
expresión: ■
N =
1
1 1
+
1
48 192 96
B) 8
A) -8
D) 1
18. Si se cumple que
C) -1
E) 9
3+4+5 +6+... +21=abc
indique el valor de a+b+c.
A) 381
D) 384
B) 382 / C), 383
>
:E) 12 ■ i
<
>
■ ,‘V
&
<
;9. Determine el valor de V42A/ + 5 si
1 1 1 1 1
^ = 12 + 20 + 30 + 42 + + 182
'%!
21. Simplifique la siguiente expresión:
144 25
V
. 125 12
6-15:49
l 14-18
6 +2
6 )
Luego, determine el inverso multiplicativo
del resultado.
A
)4 B
)
56
D)
55
C) 56
E) 56
22. Si tenemos que
II
*
í 3 A
— I—
/ 1 11
-- 1
-- í | - i ]
-% ;
U 3yV6 2y13 2y
halle el ..valor de 18x.
:y
-
:- >
;•
.
A) 1 B) 2 C)
13
3
' 13
D) •—
C 2 6
E) 13
A) - 4
D) -2
B) 4
E) T
Dadas las siguientes expresiones:
__3_ 5 1_
X " 2 0 + 60
18 _ 12
30 20)
27
13
8 2 o
y =
z—+ —+ 3
7 5 5
halle el valor de x+y.
A) 0 B) 1
D) -1
Si sabemos que
1 5 3 7
A —— i-———
•+—
■
2 2 2 2
6 = 0,25 + 0,75 + ^
determine el valor de A +46.
A) 9 B) 10
D) 6
Halle el valor de x.
x=1 +2 +3 +... +15
C) 1
1
E) 7
C) 6
E) -2
A) 38
D) 41
B) 39 C) 40
E) 120

COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
25. Halle el valor de n si se sabe que
1+3 +5+7+...+r¡=2500.
29. Simplifique las siguientes expresiones.
A) 99
D) 88
B) 100 C) 80
E) 90
26. Efectúe las siguientes operaciones:
* - ?-H )l
HHH-i
4 3 ( 1^
1 [1 3 _ 1
C 3 4 v 6,1 V12 2,
d. - I -
2
2 f 3
Y
1
2+
-- —7
L 7 V
. 4 JJ ¿¿M
r ¿k
I ^ 4®
& ’" '
'W
27. Calcule el valor de las siguientes ejpre /
siones:
1 2 _ i - i
a' 2 4 8 6
b.
c.
' M + 2 R t - í +1:
3 2
.5 4
1
4 5
fe. ;#<
5
'
i"
% %
.
■%.-V
.:
% • w
>
1 1
« i H H n n .
a. 6 -(-5 ) f. -(2 -7 )
b. - 9 - (- 4 ) g. -(-6 -4 )
c. 5(-3) h. 2(—
2—
3)
d. (—
3)(—
7) i -5(2-7)
e. 8--(-2)
30. Simplifique las siguientes operaciones.
2 6
a . ----
9 5
- m
ítf :%
s jjP.£*
¿
$
F J*** «
•
l* g
V
Ís / fe#
4 -3 8 9
c. —------
- 4 5 4
yf
1 1
e . -----
6 2
. 1 1
f' 10 + 15
2_i
2 3
1 1
---i—
4 5
g
-
d. 1 J 1 . 8
9 V3
h.
3+¿
28. Calcule el equivalente de las siguientes
expresiones:
3 ^ 8 5
a* r í f g ’ -e
b.
31 Determine el valor de la siguiente expre
sión:
1 1 2
A - - + - + -
2 3 5
« i
»1
B) -
2 » ¡
39
E) —
1 30

Determine el valor de M.
n 2 4 1
A)
D)
33. Calcule el valor de S.
3 + 5 2
! " 2 -1
¿ 2
29 1
=r B) -i C)
14
i 3 1
C)
2
30 4 15
! A> 4 B> 4 3
2
E)
29
3 31
4
i D) 3
E)
4
1
« i
D> ?
£
Ef/ ¿ A . í-
5
w : : x,,-. V
%
4¡p
34’. Efectúe F.
„ . 1
35. Determine el valor de K.
K =— +—
4-5 5-7
A)
D)
_1_
26 B) !
4#
“S
f Já
s
S
* T
i •
v
V
v
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*ÍSÉ#
i' í'r
-
f <J
W*
% m
%1
,%Sk,.. A
A %
%.%
C)
E)
_3_
28
_6
1
1
1
2
3
4
5
6 1
1
7 12
8 13
9 14
10 15
* Problema sin alternativas
16
17
18
19
20
21 26 31
22 27 32
23 28 33
24 29 34
25 30 35

V
.« •
'
.
.
''
.
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' ■ Z.:&:*}XCr:
*X
xJ*V
f/'-r
‘'^^>VH-vVv-
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-
-
vî- •>
. '?
- , - ^ r
t:;vV
•*.vAU;
l i t
•
•
• :
—.
—
_____
para
Las cantidades muy grandes o muy pequeñas las podemos
escribir en potencias de 10. Por ejemplo, la célula huma
na es muy pequeña y se estima que tiene un diámetro de
0,0065 mm; por otro lado, la distancia del Sol a la Tierra es
muy grande porque mide alrededor de 146 600 000 km.
ambas cantidades son difíciles de escribir, y sería muy fácil
ponerles o quitarles un cero o dos. Pero en la notación cientí
fica, el diámetro de una célula se escribe como 6,5x10“ 3 mm
y un año luz es más o menos 1,466x108 km. Esas cantidades
son más fáciles de usar que sus versiones largas y las propie
dades de potencias nos permiten operar dichas cantidades
con facilidad.
A p re n d iz a je s sspersadtas
Comprender el concepto de potenciación y radicación.
Efectuar operaciones de potenciación y radicación.
• Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación a
la resolución de problemas en diversos contextos.
PARIS^
MOR A SQFj¿Por q¡ué es necesario este conocimiento?
El capítulo de leyes de exponentes contiene dos temas: uno
se refiere a la potenciación y el otro está relacionado con la
radicación. Ambos son importantes porque son de útil aplica
ción en la vida real; por ejemplo, cuando queremos calcular
distancias muy grandes como la distancia entre la Tierra y la
Luna. Con ese fin, se efectúa la notación científica y las pro
piedades de la potenciación. Además, el tema sobre las leyes
de exponentes es recurrente en los exámenes de admisión
que las distintas universidades del país utilizan para supervisar
el ingreso de los nuevos alumnos a las diferentes facultades.
í *
¿ K
■
J&
k
.

/.'X-- -
Importante
El valor 34 se lee: “tres elevado
a la cuarta”.
El valor 42se lee: “cuatro ele-
.......• vVS : íf fí
vado al cuadrado”.
El valor se lee: “dos
tercios elevado al cubo”.
í i¡i
/r/f/fc ■= .
: No olvide:
'
" ---------
i 23=
<
m :
i i i 2
•! '
.í.MjSSZ *”é
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: ;•
: !- ’'' ’
rf;
00
m; / ' //
-------
r
/
/
X
4
y
tr
3*
Leyes de exponentes
1. CONCEPTO
Son las definiciones y teoremas que estudian a los exponentes
por medio de las operaciones de potenciación y radicación.
2. POTENCIACIÓN
Observamos las siguientes multiplicaciones:
* 3-3-3-3=81
• 4-4=16
r 2^
3> ,3 )
J3_
27
¿Qué es lo que tienen en común cada una de ellas?
En todas las multiplicaciones mostradas se repite un mismo
factor; por ejemplo, en la primera prevalece el factor 3 y cada
una de las expresiones anteriores puede ser escrita como una
potencia.
| 'v
ít
H
’c
V ... *
•
'
.
Ejemplos
• 3 -3-3 •3=34
I El fnctof ^-serepite cuatro .. ^
veces y se escribe, ^-'n
.
• 4; 4=42
El factor 4 se repite dos.
veces y se
<escribe 4?
í 1X1
U Ei factor - se repite tres
/*
>j"'
veces y se escribp i " i .
! 3 1
Esta nueva forma de escribir una multiplicación, en la que se
repiten los factores, se llama potencia.
Ejemplo
•
-
“«ponente
I
♦
34=81*—l'O
t' ;■
-
1
.»
|
ixr.«1

Capítulo 2 Leyes de exponentes
3. DEFINICIONES
3.1. Exponente natural
b n = b - b - b - ... b
n veces
Ejemplos
• 3z=3-3=9
• 24=2-2-2-2=16
f o V n V
V 3 A 3 .
3.1.1. Base negativa-=y.exponente natural par
( 4 T =+
V i&'lhf'*. .«
v
.U
T
<
¿
.r
v x
; ‘' ,V
Si la base es un número real negativo y el exponente es natural
par, entonces la potencia es positiva.
Ejemplos
• (-3)2=(-3)(-3)=9 j * %¡) ' < , y r
. (-2)4-(-2)(-2){- 2)(-2)"16
V ( o C ¿ W 4
i
. (-2)6=(-2)(-2) (-2)(-2)(-2) (-2)=64
3.1.2. Base negativa y exponente natural im par
impar _ _
Si la base es un número real negativo y el exponente es Impar,
entonces la potencia es un número negativo.
Ejemplos
. (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8
3 / ,1 vil 64
"2 7
¡Cuidado!.
b=V
' 5=51
3=31
Ejemplos
• 15=1-M-M=1
1
20=1
130=1
Además
. 04=0 0 0 0=0
* 01
°=0
• 03°=0

Ejemplos de potencia
......... .. í
ro
o
II
UJ
o
ii
4°=1
21=2 31=3 41=4
22=4 32=9 42=16
23=8 33=27 43=64
24=16 34=81 44=256
25=32 35=243 :
26=64 36=729
27=128
28=256
29=512
210=1024
f olvide
Si la base es una fracción y el
exponente es negativo, proce
deremos de la siguiente manera:
x i _ ( y T • x * 0
/
X ' y * 0
En los dos primeros ejemplos se diferenciará a (-3)4 de -3 4 En
(-3)4 el exponente se aplicará a -3 , pero en - 3 4 el exponente
se aplicará solo a 3.
Ejemplos
• (—
3)4={—
B)(—
3)(—
B)(—
3)=81
• —
34=—
3 -3 ■
3-3=—
81
• (—
3)2=(—
3)(—
3)=9
• —
32=—
3 ■
3=—
9
3.2.
• lio o lvíd e

3+3+3+...+3 = 3-10 3-3-3-..,-3 = 310
f ■
!' ' '<
:■
... ■
f $
10
f
5+5 +543+5 =5-20
v’■
V
“-
‘v
'v
--“V
--,..'
■.‘JC
5-5-5-..,5 = 5 20
'■
•+
«
!;., '■ 5
.
c ■'-v <- síV'
‘"a +0+0+:$+ a =15•a „ • o ^ 5:
'il'. - ...-
¿
¿
y
''* «
!
. __ _ __....... i
,
i
;
+
1
Exponente cero
■
, n
b = b * 0
Ejemplos
* 576°= 1
• 5°=1
Ejemplo ¡
i = 1

3 3 . Expolíente negativo
Ejemplos
opuesto
o
5~3 = P
inverso
1
125
; b^O
opuesto
~ — ~1
/-A4
3“4 =
inverso
1 = 1
W 81
1
opuesto
'2 V 2
v3> i
9
4
iy y ¿w
x
w
ík
ís*
,,
inverso^
i
V
?
S
s
-
‘
-3-
4
3 ;
(-2r 3=
3
v 4
27
81
Ví 2
3
1
8
Aplicación 7 ^ ;
Indique el resuItado de 32- (- 2)5+(-12)0
4/
;'
RESOLUCION
32-(-2)5+(-12)c
t ■
~ r t ~
9 -(-3 2 ) + V
9+32 +1=42
¿ÍV
.V * { / '
■
v
s''v V
v
-.X
'
■«i..
* 0 0 6 0
Números triangulares
Con los números 1; 3; 6; 10 y 15
podemos forma triángulos.
* #
• ♦ ♦
• m » •
4. p r o p ie d a d e s de la p o t en c ia c ió n
4 1. M ultip licación de bases iguales
Ejemplo
En la siguiente multiplicación indicaremos qué tienen en común
cada uno de los factores.
34 .32.33
(Cuidado!
[
x2**3*.*5

Ahora lo representaremos como una multiplicación a los factores
de la expresión dada.
3-3-B-3 3-3- 3-3-3
4 veces 2 veces 3 veces
Determine la equivalencia en
cada caso.
| . v +2+ y +3=
. 3n+5-2-3n=
• 2"-1+ 2'"3=
B
Ü
M
K
'íM —
*
------- -------*
Ejemplos
. 3x+2=3x-32
. 5x+1=5x-51
Observamos que el conteo indica el número de factores que
se han obtenido.
La multiplicación de nueve factores iguales a 3 también se
puede escribir como la potencia 39 y luego sumamos los
exponentes.
Entonces
34-32-33=3-3-3-3 -3-3 - 3j3-3=39
veces. 2 vec^as 3 veces
¿y _
34-32-33=34t 2+^=391 ;> 1
■
■ / | / J o
Asimismo, si multiplicamos dos o más bases con diferentes (o
iguales) exponentes, tendremos como resultado a la misma
base elevada a la suma de exponentes.
%£y*'
Ejemplos '%
• z2-x3=x2+3=x5i
. x5-x2 x4=x5+2+4=x1
1
. x9-*-3-/=x9+(- 3)+W 3
Aplicación 2
S¡ 3x+2=45, halle el valor de 3X.
R e s o l u c ió n
Nos piden 3X.
3x+2=45
3x -32=45 -> 3 =
3X=5

Capítulo 2
3 ¿-•'iilj.
Leyes de exponentes
-
4,2. División de bases iguales
; a&O
Ejemplos
• Simplifique la siguiente expresión:
35 3-3-3-¿-¿ , , , _ , 3
3
2
= Í-Í =
ÍS =
~ = 35-2 = 33
t-20
5 _ = 5 20-18 = 5 2 = 2 5
51
8
x / '
X
15
i
•¡e
s
m ■
?
<„40^
r j f
y
#
'
AplicaciónS
Simplifique la expresión A
A = -
op+2 ^n-5.32^+3 ;,V
$
.r
.
>5rt ..M
V.,
Resolución ^ J
Nos piden simplificarA
^n+
2.3/1-5.3^+3
->5n
4 =
4 =
4=
3/1
+/ .3/1
-X .32/7
+x
j5n
j4n
^
5n
-> 4 =3
4 n -5n
/ r 4 =3
-n
Aplicación 4
Calcule el valor de £.
‘'jrKÍO',
+2 3+3+...+3
-+
2>2-...'2
I.K'tOfñ

Es importante saber diferenciar
las siguientes situaciones:
(23)2* 2 32
>3-2 32 ✓
64 512
Res o lu c ió n
Nos piden £
a+a+a+...+a=na; q-a a-...-a=aA
n veces n veces
En el problema, tenemos
_ 2-310 3-218
E =— r —+——
39 216
E= 2-3'^ + 3-2
/. £=6+12=18
-> £=2-31+3-22
4.3, Poténda de potencia
¿v
Ejemplos /
• Halle la potencia de (24) '
Expresadnos como multiplicación a la potencia que está
entre paréntesis. ;í »J+ ? ^
(2a) =(2*2 2-2)3
Luego
6 4)3 = & a % 2 ^ = 2-2-2-2-2-2-2-2 2 2-2-2 = 2
(24)3=2
12
1
2
Si elevamos una potencia a otro exponente obtenemos la base
de la potencia inicial elevada al producto de ambos exponentes.
. (23)2 = 23 2 =26 =64
• ((*3)2)5 = r> 2' W 0
(x 5)4 = x 5 4 =x
20
Debemos recordar que el orden de los factores
no altera el producto.
A

Los siguientes ejemplos poseen propiedades ya vistas anterior
mente.
(x2y 3)(x 3yz3) = x 2-x3-y3-yz3= x5-y4-z:
a6b2C3 6-4 <2-4 3 2 l -2 3 a¿c
• — — - - a -b -c - a -b -c =—-
2_3
4 14
a b
•’ Í7ab2f = 73o3(b2)3 = 343c?3¿
>
6
, r i v 1
^
1 1
7; v 7
. = r
L 7. 7 J 49
T =
125-184 (3-22) -(2-32)
2 / .3
7 =
642 -813 (26) .(34)
12M 8 4 3s -(22)5-24 (32)4
642■
813 21z-312
125.184 ?1
° .2 4 -35-3a 214-3b
r " 642 -813 2,2 -31
2 212-3
12 a12
12S-184 _ 214-12. ^13-12=p2. ^1=12
642 •813
Potencia de potencia
Ejemplos
. x 5x = ( x x f
• 23M 2 6f
Uclo si saber
Al simplificar
E =
gn+
2
2$n+

¿qué se obtiene?

4.4. Potencia de una multiplicación
ari-bn-{ab)n j
:":'ó
i ‘i¡1
1i1
tí
lili
1yjj r r ....‘T ... i
i (a"-ir) j
Ejemplos
.fs«
(x2y5) =x6yK
' ' . ' ' I ; ' .
(xy7) =x2;y 1
4
í
1
1í l !
(2x3y 2) = 24x12y 8=16x1
2
y8
i ;
( x + y ) W + /
l 3-2x¿6*
A¡ ¡‘J/j//
: v///o
I I t /
Ejemplos
• 32-52 = 3-3 ■
5-5 =(3•5)(3■
5) =(3■5)2
?
.. veces 2. veces
. 4 3-73 = 4-4-4 -7-7-7 = (4-7)(4-7)(4-7) =(4-7)‘
Notamos que la multiplicación de potencias con el mismo
exponente es igual a otra potencia de igual exponente y cuya
» (3x)2=32;x2=9x2
7 .
• ( .v a f
• {la b 2f = 73g3(ó2f = 343g3¿
>
6
,12
62•72•22=(6 •7 ■
2)2=842
4.5. Potencia de upa división
i i a i
K ó
G
; ¿>9*0
Ejemplos
Í2
í
,5 ,
s vece-
V o V
1.5A5
2-2-2 _ 23
5-5-5 “ 53
.4 ;
/ c Y
4 / .4 )
5-5 = 5¿
4-4 4‘

Si elevamos una división indicada a un exponente, este afecta
a cada número que interviene.
u . y
15f
c '■
15'6
u
= 5f
c
(-6)
2-4
6¿'
12 :12 -12
=68-12=6-4 = 1
Aplicación 6
Calcule el valor de x¿x-x € si se sabe que x^-2
/
Resolución . .
Nos piden x ^ -x x.
( ^ r - i
K
'V
.v
-v
c
;v
:.. lS
:-.
Reemplazamos y =2.
C. %
22 - ^ 'V
„ y . . . . n
j« *-ií.
. . y ^
»
#
•*i
í • '

4 - 1 = 1
2 2
* 2x- * " x =
Aplicación 7
Si la siguiente expresión se reduce a la unidad, ¿cuál es el valor
de ni
L5-5-5-...-5
:-V l6 9

nv
>
‘¡es

No.olvide’:’:';:;
l§ El símbolo J~ se lee: “la raíz
‘i cuadrada de”.
E ' X
'b - b
i . :! J
Importante :
El valor 3/5, se lee: “la raíz cúbica
t :

V

Y
Ixf/fifi
Resolu ció n
De la expresión, tenemos
L5-5-5-...-5.
— n
/Í69
n veces
56" . L . 5-13
5"
^ 6 n - 1 0 -n _ ^5n-10
56n+3+(-13) 5 6n-10
Sn Sn
Por dato, reducimos la expresión a la unidad.
55n-lb=1=5Ó
5n-10=0
n=2
5 . R A D I C Á O O N W % ¿ I
í I
Si n es un entero positivo, entonces la raíz enésima de a se
define de la siguiente manera: - |
•>
jí>
la expresión anterior quiere'decir bn=a, en caso de que el valor
n sea par, entonces o^G y b>0.
Ejemplos
• Í9 =3, porque se cumple que 32=9.
• %/32=2, porque se cumple que 25=32.
• Vl6 =4, porque se cumple que 42=16.
a
IT 1 , T
lV 1
• ?/— =—, porque se cumple que — = —.
y16 2 2 j 16
. ^ 8 = -2 , porque se cumple que (-2)3=-8.
. =-1, porque se cumple que (-1)3=-1.
• 25, no existe en los números reales.

5.1. Definición del expórtente fraccionario
m
o en forma equivalente
donde — es una fracción irreductible.
n
Ejemplos
1. Escribimos los siguientes radicales como potencias de
exponentes fraccionarios.
• ® = 35
• [x^ =
. « íísr'N
7
x*
V X’= x 2
i ,
r - ,fs
k jy ?
X ¿ * W /
• 1¡4=4
1
i 'A í l
%
%
■
<
Â :
v ^
%
2. Escribimos las siguientes potencias como radicales.
A
• 72 =y¡7
• 105= ^ îo2 =ÿîÔÔ
. 3 4 = fà =tfì
s- L í m
w2-11
4 - 1 = 1
U ;
1
—3
1 - 3 Ü .
U J V16
Toda raíz de cero es igual a cero
(independientemente del índice
que tenga).
Ejemplos
* V0 =0
* ^
/Ó=0
3/5=o
^0=0
Toda raíz de 1 es igual a 1 (inde
pendientemente del índice que
tenga).
Ejemplos
• n
/Í =1
• ÿ î =1 • ÿ î= i

COLECCIÓN ESENCIAL
'Jm j»or t á f it e r ^
I I I jJ Ejemplos de radicación
EEEEi* Vo=0 * V5 =0 • /o =0
1 * Vi =1 « =1
: • J a =2 *^8=2 ♦¡VÉ>-2
E l i
k ! | ' . v i =3 • I ' ? . fs-= ?
i - 7 1 =4 .7 ¡4 =4: -
51 ' ^ = 5 . 7 í ü =5
|:M
3!
1
| | f i | f V is =6 . V2Í6=6
=7 > V iü =7
=8
• .
iI ; i
! i ; I //,-
1t!« 1 /
i . V^=9
; * Viocj=io
p4 * V121—
11
¡ > í . VÍ44=12
Un
í ■
í i
/7?
No olvide
Regla de signos
! ¡3 i i , i-V
-7 - - •
.
—
-*— 1
J Ptíf/7 __ .
3 - 1 v + - r
+
II
] p
d
^ =no existe
;vtzJ v
1 Ejemplos
.... —
2
2
i ] * 725 =5
}|Í; * ^27 -3
II • =-2
J: * V-9 =no existe i
.l:__
Lumbreras Editores
Kl&xa*
6. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Propiedad 1
La multiplicación de dos raíces enésimas de igual índice es
igual a la raíz enésima de la multiplicación de los radicandos.
Ejemplos
• fe - fe =fe8
• V2-V5=VlO
• V3-V27 =V8Í
• ^ 2 x f e y = f e x - 3 y = ^ 6 ^ /
• V ^ V r ^ / r : | • | • „
• fe~z =f e fez
Propiedad 2
r ■
-
ni
'ja ja
jb V b
Para dividir radicales es necesario que tengan igual índice, así
obtenemos un nuevo radical con el mismo índice y como radi
cando sería la división de los radicandos.
Ejemplos
77 Í7 ÍT Ti 1
T T V s V 7 ~ 7 T 7 §
J / x _ _ J j T
tfiy~vy
72 V 2
7 7

Capítulo 2
___________________________________________________________i
__:_______
Propiedad 3
Ejemplos
• 7^42 = 2'^42 = ^/42
Propiedad 4
í
^ A Si /i existí par
n jo ri^a ; si ai es par

&
y . __ .J
Ejemplos
• fx^ =x
• 7 ? = 2
i
Caso particular
Ejemplos
Leyes de exponentes
La sexta operación, la radica
ción, se expresa con J~~. Este
símbolo es una variante de la
letra r, primera de la palabra
latina rad'ix, que significa raíz.
Fue introducida por Christoph
J Rudolff en 1525.
• 7 8 = 7 ^ =74-72=272
• V48=V^3 VÍ6-V3=4V3
• V72 =T36: 2='/36-72=6^2
Ejemplo
Si q es igual a 9 y b es igual a 16,
entonces vemos el error.
79+16 =79 +716

;Importante
I Situaciones particulares;
Ejemplos
. # = í
■
J¡2 ■
=
■ " T 1; ; ;
2 ?m
3
Na olvide':
réa
z A
' J
Ejemplos de. racionalizar
í j _ _ j _ A = J L .J i:
| f. jz ~ s¡2 y[Z: t
3. _$_&■_ U S „ 3-S í
6 6 >
¡3 _ 6>Js _
i ;
en- una expresión.
Ejemplos
'• y - z S + s S ^ jS '
;V ::^32r+ ^ S = - + - ^ ia o •2 =>/iIv2+J m - y z
- 4 4 V2 -M (k' 2 -
^ 2 » - # ^ l E b ^ - b ^ S - ^ S
A plicación 8
, , 3 3/ 3/ 5
'XVX VXVX3
■
+-------- ; x > 0.
X X
R e s o l u c ió n
'x v x 3 ^/x^/x3 V x -x 3 %/x-x5
—+-------- =-------- +--------
x x x
'XV x 3 >/xvx5 v x 4 v x D x 2 x 2
■
-
|----------_ -------1
------=—- +.
X X 1
3 3/77 ?/,,5
A
X X
Z 2 C L +X O (X - =x2-i +x2-w +xi =2x

Otras propiedades
_ — —
>
n!i ?'/ ni
a<jb ~a b
Ejemplos
• 3/x=^34 x==^/81x
• 2¡3 = y¡2*~3 = ^/l6^3 =^48
« x/x^ =7
/x7-x3=lfx^
Ejemplos
. =5 -> x-^¡S
• x *6=6 -» x = ^/6
—» x W
Radicales semejantes
■ ¡filial'índite
2Ü4 ; 7^/4
. ¡:ju;)f í'an’c.VHjo
Los siguientes radicales no son
semejantes.
r»n
W
errt!í5indio*,
f~
~
■
—
-
—)
2^4 2^/4
Suma y resta de radicales
Para sumar o restar radicales se
necesita que estos sean seme
jantes.
Ejemplos
• 2^4 +7^4 =9^4
• 8Æ+17V2 =25v
/2
16^2-5^ =11^2
V

Aplicación 9 i
_____
Se tiene la igualdad ¡42x~
^=16.
Determine el valor de V 4 x-5 .
Resolución
Debemos tener en cuenta lo siguiente:
bx=t? x=y
Aplicación 10
-- 'i
Si x e Z y verifica x * = - , calcule el mayor
valor de x.
2x-1
= 16
€
=16
i¡24x~2 =16
2x-1
■
'h.
4x-2
.2 3 = 2¿ —
»
4 x -2
=4
A
4x-2=12 —
> 4x=14
Nos piden
yj4x-S - Vl4 —
5 -» ¡4x-5 =y¡9
Resolución
De! dato, tenemos
Elevamos a la
2
1
" 2 ,
i i
" ■ f e
ni ni
:X j v2
'
i 4 Í
I i . Jó -2
... v 4 x - 5 = 3
,¿ 4 'V
'v-, ^ x=2
- Actividad rtcreativa
En el siguiente cuadrado mágico todos los números que aparecen son potencias de base 2. Escríbelos
como potencia y comprueba que el producto de las filas, columnas y diagonales da lugar a un mismo
número. ¿Cuál es el número? ¿Qué número debe aparecer en el lugar de la interrogación para que sea
de verdad un cuadrado mágico multiplicativo?
1
16 - 1
8 2
4 8
2
4

LEYES DE EXPONENTES
Potenciación Radicación
Exponente cero
b°=X 0
J
r
Exponente negativo
b~n= -¡j;b *0
I
r
Definiciones
V _ J
Propiedades Regularidades
r-----------1
--- --------
Exponente natural
¡
— base ~ am-an=am+n
V
______________ >
, f=1
— =am~"
°n
—¡ (a-b)n=an bn
a
b)
n Q
n
bn
(om
)"=o"m
al=a [
Definición Propiedades
V
'- •
£ - t > <
-> a =bn ) '4ab =‘
^ n
4b
[a ja
ni—— __
0n=0, excepto n=0
o°=1, excepto a=0
b ?fb
=n
,V
Íb
t__!
_ |a; n es impar
[a; n es par

RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N /1
Calcule los siguientes resultados:
a. 34
b. (-5):
c. (-1)3
->
4
d. -2
e. (-2Ÿ
f. 12
g. 8o
h. (-5)'
Resolución
a. 33=3-3-3=27
b. (—
5)3=(—
5)(—
5)(—
5)=—
125
c. (—
1)3=(-1)(-1)(—
1)=-1
d. - 2 4=~2-2-2-2=-16
e. (~2)4=(-2)(-2){-2)(-2)=-16
f. 12=1-1=1 /
g. 8°=1
h. (-5)4=<-5)(-5)(-5)(-5)=625 ’
Problema N.° 2 %
Determine los siguientes resultados:
y
a. 1
12
I. ((~3)2) j f
{a2b4f
c.
,3
,5 ( 3'
Resolución
a. 112=1
b. {a2b4f =(a2f (b4f =o6b1
2
( 1
c.
"3
<5
L
' r
3
f 3
, 5 J
71-5 n5
13-3;
V
.9,
d. (<-3)2)3=C-3)2'3 =(-3)6 =36
3
e.
<3J _ V3J
Í 2 '
3J
. A )
2
37
í-1
I 3J
3_1 Í 2 )
=X
/ O (
3 ) 3 )
A
9
2 / n ^ 2
- 3
1 =
2)
81
4
Pifûblerrsa H
>
. z¿
E fe c tú e la s s ig u ie n t e s o p e r a c io n e s :
í 2 3f 3 5
c.
o V c 5
a. y y? J
o 2fe6
b. (x o 3 )5 d.
a 6í>2c 3
a V
Rssolucf&*0
I ? Importante
• El orden de los factores no altera
] el producto.
........
1
. (x2y 3)(x3■y •z 5) = x 2 ■x 3 ■y 3-y1
z 5
(x2y 3)(x 3-y •z5)=x2+3 ■
y3+1-z5
(x2y 3)(x 3-y-z5)=x5-y4-z5
b. (xa3) = x5(o3) = x5-o1
5
(xo3) =X5-C
7
15
a3b5c5
c.
2u6
=a3-2 •¿
>
5-6 •c5
a3¿
>
5c5
=01-¿r1.c5
a2¿»6
a3¿
>
5c5 a-c5
a2¿»
6 ~ b

Leyes de exponentes
d.
a W
=o6-4 •b2~
4 ^
a4b4
o6b V
o4b4
=a2-b 2-c3
o5b2c3 _ o2c3
o4b4 b2
Problema W.* 4
Exprese en forma de potencia los siguientes
radicales:
a. %
/ÿ2
b. V53
Resolución
a. ^ =73
# ”= 53
c.
d.
T Í
1
b.
c.
1 í 1
t § 5J
Problema N.‘ 5
Exprese en forma de radical las siguientes
potencias:
1 1 ' v-1
2^
a. 5x?' c. 2 3 e.
3 3
b. (2x)5 d. 11 2
Resolución
1
a. 5-x 2 =5-yfx
. 3
b. (2x)S = n
/ Íx 3
S' 37
_ 3/ I
2j V2
Problem #îL*' G
a S - V Ii+ Æ c. ^95+^3
b. n
/75 +V48 d. í/48-^/3
Resolución
a. 732 +7 ÏÎ =V l6 •2 W 9-2
V32 +7Ï8 = V Î5 -Æ +79 ■
V2
732 +Æ =4^2 +3>/2
732 +VÏ8 =7V2
b. 7 ^ +7 ^ =725^ +7167$
775 +748 = 725.73 +7l6 -T Í
775 +748 =573 +473
/. 775 +748 =973

¿i'
c. ,^/% +^3= ^324 +5/3
%/96+V3=^32-^3 +V3
^96+^3 = 2-s
S +s
S
^96 +^3 =3^/3
d. ^48- # j = ^ ¡6 4 -^ 3
^/48-^3=^15^/3-^/3
%/48-%/3=2-t/3-^3
^ Í4 8 -H i= ^
Problema Ni* 7
4/ 4
a. v x
>
. %/l6x®
Resolución
a. v x 4 = x
b. ^f6^ =^f6^lx^
/. %/l6x®=2x2
c yfr3‘'6 -'3/-3 3/,/6
fx3y =yx yjy
Jx3
y6=x-y2
d. yíáh) •la4b2 =¡a2-b-a4b2
ja2b 'Ia4b2=la2■
a4 -b-b2
yfctb ->/a4¿
>
2=/a6b3
la*b'laAb2=a2-b
^V64x^ = 3'^ 64/
=^ 6 4 ?
3
1 /64x5 = /64 -VX5
0
<¡y¡e4x^ ='Í[z^-'Í[x^
V v 6 4 x 6 =2x
“ rOIDieiTíd i4. »i
2 . .4
a. o9-o 5 c.
yjx3y 6 e. yjx3
y 6 y * •
?
&
“
y/a2by/a4b2 / j b. (l2x2y 4) ^ x 5
y j d.
y 41 j * V
v-2
,R«sc|¿?üéíi
a. o9-a_5=o9+(_5)=o4
b. (l2x2y 4)Q - x 5y^
(l2x2y 4)Q - x 5y^ = 12-i-x2-x5-y4 -y
(l2x2y 4) Q .x 5y]=6x7-y5
c.
a~3b4
O’ V
=0-3-(-5).64-5
O 3¿»4
=a2-¿r1
a~3b3
a~3¿
>
4 _ o2
cT 5¿>5 ~ b

d. (2x2y 3)(3x3y)
( 2 * y )(3*3y ) '2 = (2x2y 3)(3-2(x3) '2y "2
(2x2y 3)(3x3y) 2 =(2x 2y 3)
(2x2y 3)(3x3y) 2 =2-1
(2x2y 3)(3x3y ) 2 = |x 4 -y1
7i h
1 „-6 -2
y 1 —•x y
v9 7 ) A) 1
-x2 x-6 •y 3•y ~
2 D) 9
Reso
•• (2x2y 3)(3x3y) * =
~
9x
Problema 9
Halle el valor reducido de la siguiente expresión:
M =
9-9-9... 9
3-3-3... 3
A) 3
D) 1
Resolución
Nos piden M.
B) 9 C) 27
E) 81
12
M =
9-9-9... 9 9
3-3-3... 3 ~
~323
(o2)12 d24
U y ^ ->24-23 -
>
1
M =
•. M=3
323 323
_ ^I
' Clave
Problema N. îü
Halle el valor reducido de A.
6 / „3
A =
(34) -(37)
(3s)s -(3er
B) 1
3
C) 3
E) 1
9
Nos piden A.
H f - f e 7)3
A= -> ,4 =
& ? ■ & ? ■
45-46
324-32
1 345
^30 ^
16 246
A=3
■
:-3
A=3-1
Clave
Problema Ñ/ 1
1
Dada la igualdad 3Zx-3=27, halle el valor de x
A) I
2
D)
1
C ) l
E) 1
Resolución
'j
Nos piden x“1=—.
x
Importante
bx=b>' -
> x-y
j2x-3
=27 -> 32x-3=33
2x -3 = 3 —
> 2x=6 —
» x=3
1 = 2
x 3
x - ' . l . l
Clave

d. (2x2y 3)(3x3y)
-2
(2x2y 3)(3x3y) = (2x2y 3)
( >
1 A
l - x ' V 2
19 7 . j
(2x2y 3)(3x3y) = 2 -~ x 2-x 6-y3-y 2
~2 =2--
9
(2x2y 3)(3x3y) 2=^x~4-y1
(2x2y 3)(3x3y) 2 = ^ r •
9 x
Problema N.° 9
M =
9-9-9... 9
3-3-3... 3
A) 3
D) 1
Resolución
Nos piden M.
B) 9 C) 27
E) 81
M =
9-9-9... 9 _ 9
3-3-3... 3 ~ 3
1
2
23
M =M _ = ^ =324-23 =31
S23 S23
M=3
! C/ave
Problema N. 10
Halle el valor reducido de A.
(2x2y 3)(3x3y) = (2x2y 3)(3-2 (x3) y 2) ; ^__(34) -Í37)
(3s)b.(3sr
A) 1
D) 9
B) 1
3
C) 3
E) I
9
Resolución
Nos piden A.
(3 6 f . ( 3 8 )2
A=345-46 -> A=3-1
A = X ù y
: 3
324.321 345
330.316 346
Clave
Problema M 1
1
Dada la igualdad 32x_3=27, halle el valor de
A)
1
B)
1
Resolución
C
)ì
E) 1
Nos piden x 1= —
x
1
Importante
b*=tf -> x-y
32*~3=27 -> 32
x_ 3=33
2x-3 =3 —
> 2x=6 —
> x=3
x~1= - =-
x 3
Clave

COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
_____
Problema N.* 12 Problema M.“14
Si se cumple que 3a=2, halle el valor de
9°-30+1
A) 1 B) 2 C) 0
D) -1 E) -2
N =s [jj2 -§/Í28.
A) -1 B) -2 C) 1
D) 2 E) 0

Problema M‘ 15
Indique el valor de la expresión M.
5°'5
M = 273 - 4 2/
A) 2
D) 7
Resolución
Nos piden M.
B) 3 C) 4
E) 5
M =(%/274 - '/ 4 5)2
2 1
M = (34 - 2 5)2 =(81—
32)2
M = V49
M=7
Clave
Problema 17________________
Luego de efectuar la expresión
(43)2- 4 32* 4 3+42°
indique el valor que se obtiene.
A) 1
D) 8
B) 125 C) 27
E) 4
Resolución
Nos piden el valor de la expresión.
(43) _ 4 32 +43+42 =46-4 9+43+41
(43)2- 432 ^43+42°=46- ^ +4
(43)2- 4 32 +43+42Ü=46-4 9-3+4
(43)2_ 4 32 ^43+42° = / - / +4
... (43)2- 4 32 ^43+42°=4
Simplifique la expresión A.
3 , c2l
4 =
bA -ib6) •b
í>-í>2-£
>
3..i>8
■
; b a 0
A) ¿A
D) b~
B) b
Nos piden 4.
4 =
4 =
b16-ó18-ó5
l1+2+3+...+8
^16+18+5
8
^
9
b 2
b39
4 =í - -> 4 =ó39-36
b35
A=63
Clave
C) b
E) b
-1
Clave
Problema N.° 19
Indique el valor reducido de /?.
128-16-8
/?=
256-64
B) 4
A) 2
D) 1
C) 8
E)* 16

Resolución
128-16*8
R =
256-64
R =
128-16-8 27-24 -23 27+4+3
256-64 '2^ )8+6
14
r _ 128-16-8 _ 2 _ _ 214-14 _ 2O
256-64 21
4
/. /?=1
i r «
Simplifique la expresión K. I
K =
^n+3_ 5/
1
+
2
sn-2_sn-3
A) 25
D) 3125
Resolución
B) ?
C) 5‘
E) 625 v
K =
K =
K =
5/7+3_ 5/7+2
5n-2_5n-3
5n -53-5 ” -52
5n .5-2 _ 5n .5-3
/ ( s 3-S 2)
^ ( 5-2 _ 5-3)
y , . 125- 25,- - > K = 10°
5 52 53
£
r3
y = _> k =25-S5
A
52-55
K=57
Clave
“
■
le
v
;
Indique el valor de x en la siguiente ecuación:
g2x+1= 2 7 2-x
A) 0,333... B) 1,5
Ú
* Jf A
’
D) 0,5
1
| NO OLVIDE
Í
1 •
| 92x+1=272_x
$ k?+y=b*-ty
X
■ i
! (32f +1=(a3)
C) 1
"i ■
Importante
bx=by —
> x+y}
2-x
_^ 34^+2 _ 36-3*
Entonces
4x+-2=6-3x
4x+3x=6-2 -> 7x=4
4
x =—
7
: C /ave

Problema N.‘ 22
Halle el valor reducido de la siguiente
expresión:
A=n
V
9 "-4"
:2n
A) 3
D) 36
B) 9 C) 4
E) 1
Resolución
J =
610-155-107
215.512.31
5
J =
(3-2)1
°-(3-5)5 -(2-5)7
215x 512x 315
Resolución
De la expresión, tenemos J =
3l0 -210*35-55-27 -57
215-512 -315
i

Resolución
NOOLVIDE
bx+y=bx-tf -> bx-by
H =
j2+n_-
jíi +
1
n-1
H =
6-7
72-7n- 7 n-71
6-7n -7~1
7” [ l2- l) 49-7
H = - -> H =t—
—-
6 - / 4
H = — > H =^ 4 = 7 - > ,
6 j6
7
H=49
Por lo tanto, la suma de las cifras de H es igual
a 13.
C/ave
Problema N, 25
Sí se cumple que
n3 n3
(mn) =mn ; m >12; a
?>
determine el valor de nv
A) 356
D) 236
B) 365 C) 265
E) 256
Resolución
u t =m
mn^ = mnn - >n^n3=nn~
n = n -» 4-=rí
Nos piden
n~ =W )
,12
Reemplazamos
rr'-A
n12=44=256
Calcule el valor de E.
E =
64-63-153
103-812
A) 4
D) M
B) 8
Resolución
Nos piden el valor de E.
E =
26-(2-3)3-(3-5)3
(5-2)3-(34)2
£ =
26•23 -33>
33■
53
53 -38
Clave
C) 24
E) 30

Problema M
." 28
E =
26-36
£=26-3~2 -> E =-
E = 6
- 1
9
C/ove
Problema N.‘ 27
Simplifique la expresión F.
F =
e2-e4-e6-...-e100
e99-e97-e95, . , e
Considere que e es igual a 2,718182.
A) e
D) A
e
Resolución
B) e
50
C) e
E) 1
100
,(/>
0
0
0
0
0
O
O
O
O
C
K
X
X
»
. <
*
>
*
Importante |
§ %
? o
x-a
y
=
a
x
+
y
i . ì
iV
x
;<
k
>
o
o
'x
v
»x
v
:<
x
>»l
<
v
»
.>
x-c
>
c
<
»
:<
'T
F =
e2-e4 -e6•...•e100
e99-e97-e95-e1
/
=
■
=■
2+4+6+...+100
J+3+5+,.,+99
„ e50'5
1 e2550 so
' r e50-50 e2500
C/orve
Considere que 3x es equivalente a 2 y simplifique
la siguiente expresión:
P =
2■
3X+2+3•2X+
1- 9X
+
1
jX+
1
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
•vyH
I
NO OLVIDE
bx+
y=bx-t/
P =
2-3X•32+3•2X•2- 9X•9
2 -2
Por dato: 3X=2
P =
P =
2•2•32 +3 •2X•2- (3* )2•32
2*-2
+3-2x -2 -2 M ^
2X-2
3-2^. /
P =— v =3
/ • /
Problema N.‘ 29
Simplifique la expresión 8.
^4+n_q2+n
Clave
E =
18-3n-2
A) 18
D) 81
B) 72 C) 36
E) 27

Resolución
; '<
Importante
<?+*=<?■
<?
v H
'ó
-, , , Ò
t<
xx<
»x<
n
vx^
>
/>
>
^
y,K
>
x<
^
X
íO
o
c;1
34 -34 -3 2-3n
E =
18*3-3
n o—
2
E =
/ Í 3 4 -3 2)
9
r 81-9 r 72
E =------ —
> E =—
2 2 á
'.¿/i**"
£=36 t m,, ß%y4
%
->
h ^
Ä
lst. ^ ä I# .¿Éá?. I
ve ■
^
p
p
C/crve., -■
■
.. *
•1
‘«
’" ::■
■
•
#
Problema M" 20 -
A
J
t
,—
¿
3
^
’
*
’
.2x-1 _x-1
Si se cumple que 2 = 4 , calcule el valor
de x. V . %
B) i
2
» !
Resolución
Del dato, tenemos
,2x-1 ^-1
'-2 y
C) v
>
4 =4
,2x-1
24x_2=2* -> 4x-2= x
3x=2
2
x = -
3
Clave
Simplifique la expresión £.
E =
2^+3 ^m+2n
8m-2.16n+2
Á i 4
>2x-1
-> 42' - ,=2"
(22f ' 1=2"
A) 2/77
D) 4
B) 4r/7 C) 2
E) 6
UNFV2008
m
+2n
t :y E =
2m•23
'•(22)
£ =
(23 f - ^ (24 ) - 2
-> £ =
2
^
7
7_23.2
2
7
7
1+m
23m-6 ^4/7+8
^
7
7
7
7 _2-6.^^4 28
£ =— -> £=2
£=2
3-2
Clave
Problema N.‘32S
i
Si se cumple que
/ 7
J^ 7
7
3
l/T?"; =m/
1 ;m>12 a n>1
determine el valor de n12.
A) 356
D) 236
B) 365 C) 265
E) 256

Resolución
Nos piden n12.
Del dato, tenemos
(mn) =mnn
Problema N.° 34
Determine el valor de la expresión
2
a3x - a2x - a +4x si se sabe que </=4
4 n
~
n n
—
> m =m B) 52
n4=nn -+
• n3=4 (n3)4 =
C) 48
E) 44
n12=256
Cíave
Problema M
.° 32
Si se cumple que
jX-1
2^ = 227 , determine el valor de (2x+3)2.
B) 3
« !
D) 1
Resolución •
Nos piden (2x+3)2.
Del dato, tenemos
3-Y
—
1 ■
j j X
23 = 227
Q 4 .
u | ;
:
A) 64
D) 32
Efectuamos
1 3 2 1 -
a** -a 2x - a +4* ={axY ~{axY -4 * +4*
1 / /
a3x- a 2x- a + 4 x = 4 3 - 4 2 - / í x + X *
2
a3x- o 2x- o + 4 x = 6 4-1 6
2
o3x-o 2v-o +4 x =48
...
f U 8 ^
• r -,r.
Clave
3X-1=27X -+ 3X_1=(33) -> 3X_1 =33x
r-1=3x -> -1=2x
x 2
Nos piden
(2x +3)¿ = i
' J _ i
í )
+3
/. (2x+3)2=4
Clave 1
Determine el valor de x en la expresión
y+t A
2*~2 =8.
A) i
3
D) -1
2
Resolución
Nos piden x.
x+1
2x-2 =23
» ! 0 !
» !
X +1
=3 —
> x+1—
3x—
6
x - 2
6+1 =3x-x -> 7=2x
7
x =—
2
Clave

Halle el valor reducido de P.
P =- 32+(- 3)2- (- 3)°+(-1)°
A) 2
D) 1
B) 0 C) -2
E) -1
Simplifique la expresión R.
R =
65-156
31
1-105
A) 3
D) 2
B) 4 C) 5
E) 1
Determine el valor de A.
A =
í í oX“3
2 )
+
(2
3)
+(-7)8- 7 8
A) —
4
B) 12
D)
1
C) 3
E) 7
Simplifique la expresión W.
IV =
205-93-(-1)6
32-605
Simplifique la expresión C. . •;% ,
C = Í222) -(-2)~2-2-2 I
A) 3
D) 8
B) 4
Si tenemos que
A =
3/7+2_3/7+1
-n+1
Q ;2 ;
E) 0
halle la suma de cifras de A¿.
A) 3 B)
D, f td
Si se tiene que
A =22-22-22...22
fi=47+47+47+47
determine el valor de A -fí.
C ) íó
E) 1
3
A) 5
D) 7
B) 9
Simplifique la expresión D.
3f
D =
>
n+
i +3n+^+3n+3
3^-1+ 3^-2+3/7
“3
C) 1
1
E) 8
A) 1
D) 0
B) 4 C) 2'
E) 2:
Determine el valor reducido de T.
3/7
+
2_ 3/7
+
1 2n+1_ 2n
T =------------+----------
3” 2n
A) 3
D) 3(
B) 3- C) 3'
E) 3*
A) 9
D) 6
B) 8 C) 7
E) 2

Determine el valor de M.
m = § o + 4 I +V ¡ ^
v5 V2
A) 8
D) 4
B) 10-
Reduzca la expresión Q.
1 1
Q =1253 +1690,5+6254
C) 12
E) 18
Simplifique la expresión A.
A =
A) 4
D) 1
B) 5 C) 3
E) 0
Simplifique la-expresión L y considere que
3* es equivalente a 2.
L=
2. ^ ^.2y+1_gx+1
->x+1
A) 28 B) 14
D) 20
12. CalculeA-B.
A = tó/9 a B =lQy¡Q:
v
A) 12 B) 1
1 C) 8
D) 6 E) 7 ' %
■ ,4 ^ 5
1 3 . Calcule el valor reducido de 1/. a >
"A
V =
^y¡8 +VÍ8
* y
A) 2
D) 3
B) -3
Simplifique J
J =
^4+n_^2+n
«A
18-3n~
2'
’• ’ A) .18 B) 12
D); 81.
A) 16
D) 1
1
•+1
B) 9 C) 25
E) 4
1 4 . Determine el valor de C.
C =
25
i
l l l 2, /
,41 f 1
4- ---
v32
B) 6
-0 ,5
Simplifique la expresión N.
N =
2^ 1+ 3 ^ m + 2 n
m-2 1cn+2
8 -16
A) 2m
D) 4
B) 4m
Si se cumple que
.2x-1 ,x-1
24 =42 ,
calcule el valor de x.
« i
“ f
B)
C) 1
E) - 2
C) 36
E) 27
C) 2
E) 6
C)!
E)
A) 5
D) -2
C) 1
E) 7

Si x e Z y verifica que
A i ,
2 -
calcule el mayor valor de x.
A) 2 B)- 4
D) 8
C) 6
E) 16
Determine el valor de 16(fî2+l), si se sabe
que
B =ni
4~n+1
4n+1 '
A) 18
D) 17
B) 2
,.,.¿sfyíi&i j,.,v
<
&
&
'y "
'''*
%
%
>
/ C ) 8
F)- 16 ,
Luego de reducir la expresión
/2n se obtuvo x2. Calcule n.
3 44/
*’X XX"
A) 4
D ) í
B) 3 C ) 7
E) -1
,, 2
23. Calcule el valor de n.
5Zl6n *(24)1 ° = 20
A) 4 B) 2 C)
D) 6 E) 16
24 Halle el exponente final de x, luego de
simplificar la siguiente expresión:
?3 J - 2)4 . v-24 . V(-1
)4
26. Reduzca la expresión V.
V =
■
^
n
+
A_ 212^
2-2
n+3
+2-3; r?e W
A ) 2
8 B) !
D) 7
26. Calcule el valor de
C ) 1
i
32n+3'~
n+9 n si se sabe que 3n=2.
A)
1
4
B) 2 Q 3
D)
19
4 » !
Halle la suma de cifras de la expresión J.
l(-5)°
y
^
ï's- h!
V
V
/Vr* í
A -3
rr-1"
i : 7 = A + +
% 2A-J,3 , , 4 .
A) 59
D) 15
B) 13 C) 47
E) 1
1
Determine el valor de x6 si se sabe que
3* 3 = 2 4 3 3.
A) 5b
D) 625
B) 225 C) 125
E) 325
Dados los números
, 1Í3
í
i
A =5a ;B =
w
para
indique el valor de AB 1
PARIS^
2
AMOR A S
A) 7
D) 10
B) 8 Q 9
E) 12
D)
/ -jx3
J ,
B) - C ) i l i
2 I 2J
E) A
1 5 ,

----- A: ' 'i- -o,; '''-Jv. -te'- _ ÍÉSi -i’t;■
-
• cv...»
/A
*
Determine el valor de — si se sabe que
A= M L a e=
fa rb
A) -
0
B)
a
C) £
a
D) £ E) 1
31. Calcule el valor reducido de P.
4 lr^ )lM rP
A) i
n
p>4
n
B) n
34. Sea x un número natural, de modo que
x2
x+16=8x*
.
1
Calcule el valor de x + —.
x
A) 2 B) 12
3
D)
17
C)
E) 3
35. Calcule el valor de
£
-3
A) 1 B) 2 C) 72
f ,4 I
sÆ
k&. % :
jm? A 1. : D) - E) 4
^ %
*
^ %
*
‘H
M
Ì/
S
ì. tífòrte? ë• /é
^
/ :
/ i
¿
s
f '<
v
'' ,■
*
'
30. Indiqué la secuencia correcta de vere
• f i :(V) 0 falso (F) según corresponda.
32. Simplifique la expresión L
.# 1 III. f l + 4
V2 3
1
1í °
? J =1
A) 1 B) 2 C) 4 A) FFF B) VFF C) FFV
D) 8 E) 15 • D) VFV E) V W
33. Si x=20155, calcule el valor de
j x ^
lx2yfx
A) 5/2015 B) ^|2m Q 1
D) 5/2ÔÎ5 E) 2015
^1.>1^5+... +5=5
: - / 1
•
í,
12
II. 206-8-3-125=29-53
Indique a qué exponente debemos elevar
el resultado de
h
-3 r 2f ^
. s i +
+
A) f
D) 2
m
B)
para que resulte 216.
C)
E) 3

COLECCIÓN ESENCIAL
38. Simplifique la expresión J.
J =
K]-U2'K3-...‘T
L20
n 1-ti3 -ns -...'-n39
Considere que 71=3,1415...
A) 1 B) 7Í20
110
D) re'
39.Simplifique la expresión H.
H =
C) ri
E) K
,420
,10
y2+n_y/7+
1
6*7n-1
Dé como respuesta la suma de cifras
A) 12
D) 16
B) 13
v
4 0 . Reduzca la expresión P.
P =yfü'Í0‘% 7
, - JO
Luego determine P
,20
%
%
j f
A) a
D) a
B) a¿ C) o
E) a
10
30
41 Reduzca la expresión D.
^/Í25y +^ 64x-/8x
D =
7 8 Íh
->/25
Lumbreras Editores
c
S
v s
;;; >.
x -22-x-3° . x 2° . x (-3)0
A) n
/x B) 2/x C) ^
2 A) 15 B) 18 C) -3
D) 1 E) x D) 12 E) 30
42. Reduzca la expresión L.
8 multiplicandos
A) x
D) x36
43. Se cumple que
B) x20 C) 3t/x
E) x
,10
yfl
3n+2
=3
y 32n,2
determine /?2+r?+1.
A) 43 ,
D),42 5
B) 36 C) 24
E) 32
,^-.v
«
y
w'
4 Dada la igualdad
•
S,v
i ^
^ ,1 6 % 3=44'V 3
determine la suma de cifras de la expresión
3x2- x +5.
A) 3
D) 6
B) 4 C) 5
E) 2
45. Si x*0 , indique su exponente final si se
simplifica la siguiente expresión:
S =
(x3) -x 2 3 . x ‘- 3>
2 . x <-2>
3

46. Si se.cumple que
5x+y=625 a 2x-y=,64
determine el valor de x2-)/2.
A) 0 B) 2 C) 4
D) 6 E) 24
Al hallar el valor de x en la igualdad
. ?2x Á2x
163 =84
se obtiene la fracción irreductible — .
n
Determine el valor de m+n.
-lo. Reduzca la expresión B.
Simplifique la expresión G.
r . _ V Í 2 V 36 V8Ó 7 Í5 Ó
^ + + ^ + J b
A) 2
D) 5
I
b) 3 , < r r
/ E ) J L
'? A.
I , w
i o
« '«
<
?:»
> a
¡<
* ¿.-»y
1 ^¡¡k í@;r •
,
X
'
A) 14
D) 1
1
B) 13
▼ ^
1 ,# /?*• ^
J "4
< y
% $ '+VÍ
?M
‘
C) 12
E) 10
C la v e s
1 B 8 D 15 C
»- 22 C 29 36
i
O 43 A
2 C 9 C 16 D 23 r>
í) 30 : 37
1
P 44
3 É 10 C 17 C 24 C 31
00
m
D 45 B
4 D 1
1 £ 18 c 25 B 32 i 3 9
o 46
5 A
r 12 A
t 19 Q 26 D
m
m
i 40 B 47 h
6 A 13 A 20 B 27 C 34 C ; 41 C 48 *s
7 f 14 A 21 D 28 B 35 : 42 0 49 r

V. / -v • .. ; '. •
<
*
-V* •
•
•
•
Dentro de los productos de polinomios existen productos
notables, que son aquellas multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple ins
pección, sin verificar la multiplicación que cumple ciertas re
glas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución
de muchas multiplicaciones habituales.
IM
En el fútbol hay jugadores que son notables, es decir, basta
con ver sus imágenes para identificar sus nombres, los equi
pos de fútbol donde juegan y otras características más; de
la misma manera, en las matemáticas, hay ciertos productos
que son notables y que identificarlos nos permitirá agilizar
los resultados.
El estudio de los números y su aplicación en otras ramas
de las matemáticas, como la geometría, la aritmética y el
álgebra, no ha sido fácil. Los notables Pitágoras, Euclides,
Al-Juarismi, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros, le die
ron forma y sentido a todo ese conocimiento que desde
tiempos remotos los babilonios y egipcios aplicaban en su
cotidianidad. Por ejemplo, en la aritmética, que se basa en la
habilidad para contar, solo se utilizan números o cantidades
conocidas que mediante la adición, multiplicación y poten
ciación realiza cálculos. En el álgebra se permite generalizar
las aplicaciones aritméticas mediante cantidades descono
cidas representadas por letras, también se usa la adición,
multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Dentro
de todas estas operaciones elementales, se derivan proce
dimientos que simplifican las operaciones indicadas, como
los productos notables, que son herramientas muy prácticas
para la agilízación en la búsqueda de un resultado concreto.
Aprendizajes esperados
Identificar los principales productos notables.
Aplicar la resolución de problemas de los principales
productos notables.
¿Por qué es necesario este conocimiento?

Productos notables
x 2=x-x
' ' •
• ' . .'1
. i
Ejemplos
» (3x)2=(3x)(3x)=9x2
• (x+5)2=(x+5)(x+5)
â • (x +3)2=íx+3)(x +3)
Propiedad conmutativa para
la multiplicación
! Ejemplos
1 • 3x=x-3
■ • 5-x+x-5=5x+5x=10x
• m n + n ■m = m n jr m n - 2 m n
1. CONCEPTO
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se
obtienen en forma directa, sin efectuar la multiplicación. A los
productos notables también se les conoce como identidades
algebraicas.
2 . T R I N O M !O C U A D R A D O P t R F £ C T O
a. Efectuamos los siguientes ejemplos para hallar la propiedad:
• (x +3)2=(x +3)(x +3)=x2+3x +3x +32=x2+6x +9
V'/O-"
• (x+5)2=(x-r5)(x+5)=x2+5x+5x+52=x2+10x+25
j S, jj
• {m+n)2={m+n)(m+ n)=m2+m n+nm +n2=m2+ 2mn + n2
Luego de analizar los ejemplos anteriores, deducimos lo
siguiente: jf*t£**^
^ by~a:+2ab+b¿ j
Por lo tanto, el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado
del primer término más el doble del producto del primer y el
segundo término, más el cuadrado del segundo término.
Ejemplos
• (m+12)2=m2+2-/7H2+122=/7i2+24/r)+144
• (5x+4)=(5x)2+2•5x-4+42=25x2+40x+16
• (2x+3y)2=(2x)2+2(2x)(3y) +(3y)2=4X2+12xy+9y2
• (x2+l)2=(x2)2+2(x2){1)+12=x4+2x2+1

• (x + 3 )2=x ¿ + 2- x -3 + 32=x z + 6x + 9
Analicemos geométricamente este ejemplo, es decir (x+3)2,
donde x+3 es el lado de un cuadrado.
x
3
Observamos que el área del cuadrado del lado x+3 correspon
de a la suma de las áreas que se forman.
0<+5)2=x¿+2-X‘5+S2 j (x+5)2=?
—
> x2+10x+25
: X
5
(x+5)2=x2+5x+5x+25
-> x2+10x+25
x 5
x 2 5x
5x
í

COLECCIÓN ESENCIAL
.V
;;f,‘ v-,
Lumbreras Editores
■
■ ■_ .___
b. Los siguientes ejemplos nos ayudarán a deducir la siguien
te propiedad:
Jí ¿v- .................
Caso particular
| | llis ljjj >/:■
''■
[ (u~ó)c
;=(ó~f/T J ; ; ■
*
Ejemplos
! i :-
• (*-3;M3-.<r' j|||
• (2x -y )2=fy-Zx)2
Importante:
asociativa
| . Ejemplos
9 (x -3 )2=(/-3)(x -3)=x2-3 x -3 x +9
(x -3 )2=^2-6 a'+9
* (x-5)2=(x-5)(x-5)=x2-5x-5x+ 25
(x-5)2=x2-10x+25
• (m - n)2= {m -n)(m - n)=m2- mn - n m +n2
..
{m -n )2= m 2-2 m n + n 2
Al analizar los ejemplos anteriores, podemos observar lo
siguiente: X ^
& , >
./ ’s
{o ^ i^ é 2- Pxw fí/
Por lo tanto, el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado
del primer término menos el doble del producto del primer
término por el segundo término más el cuadrado del segun
do término.
Ejemplos
* (x -4 )2=x2-2 -x -4+42=x2-8 x +16
. (x-7)2=x2-2 •x-7+72=x2-14x+49
• (2x-5)2=(2x)2-2-2x-5 +52=4x2-20x+25
• (3x- 2y)2=(3x)2- 2 ■
(3x)(2y) +(2y)2=9X2- 12xy+4y2
• (x2-3 )2=(x2)2-2 -x2-3 +32=x4-6 x 2+9

Capítulo 3 Productos notables
Analizamos geométricamente el desarrollo del (x-3 )2, donde x
es el lado de un cuadrado.
• {x-3)2=x2-2-x-3 + 32=x2-6x+9
3
x
x-3
3 x -3
• . ~j
_ _ _
El área del cuadrado sombreado corresponde a (x-3)2, que es
equivalente al siguiente esquema:
" N 3 x -3
LO
.
.
.
.
ti*’-
3(x-3)
m i
l
/rn
p ç t y ;
....g Jp *
/r fr
.
. i
¿
9
' y.
Luego
(x - 3 )2 = x 2- (3? +3(5 - 3)+3Íx - 3))
(x - 3)2 = x 2 - (/ + 3x - $ +3x - 9)
(x -3 )2=x2-(6x -9)
(x -3 )2- x2-6 x +9
Propiedad distributiva
KVV| j A(B +C)=AB+AC
Ejemplos
5 ; ; ; | X 'i .
• 5(2x+3)=10x+15
• x2(x3- 2)=x2-x3-2x2
x2 (x3 - 2 )= x5- 2 x2
• 2x(7x+3)=(2x)(7x)+2x-3
2x (7x +3)=14x2+ 6x
v ' l i í I i ! ! : î j V/, ‘/ f ' .' v ^o
A plicación 7
Si a+b—
S y O'b-3, determine a2+£
>
2+3a +3b.
Resolu ció n
Nos piden determinar
a2+b2+3o+3b
Operamos la expresión
a2+b2+3(a+b) (*)

COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
/^¡Culdedol
........... ~
.» <(« U í i t .v l
I Evite el siguiente error: ' /
ül ÚH
—
4 <nA-hV- dí n¿+hi¿ '//y
i a+b) * a ±b
| Ejemplo
82* 25+9
¡1¡ .v 64*3 4 '
m i Ni*'/? /'//; ■ >
V
% ///
////
V .Y f-V
4y,Vv1 >
■ 1 ID
V í !1 ¡ 1 r
a» ' : f i
V¡ 11
_
■¡i : ! !
í l
[!!
->
£
....... •
Datos;
C
7+¿)=5
ab=3
f No OLVIDE
(a+b)2=a2+2ab+b2
Reemplazamos los datos.
52=o2+£
>
2+2-3 -> 2S-6=az+b2
X
a2+b2=19
Luego en (*)
a2+b2+3(a +¿0
19+3-5 =34
3. IDENTIDADES DE LEGENDRE
a.
b.
(o t- b Y + í a - b Y = 2 í.cr + ¿ 4 ) |
•
_J
(a +b Y - ío - b )? -
[O lab
1
Ejemplos
• (x+5)2+ (x-S)2=2{x2+5z) =2 Íx2+2s)=2x2+S0
• (n
/5 +VT)2+( / 5 - n
/2? = 2(n
/52 +%/23) = 2(5 +2)=2(7)=14
(y+4)2- (/ - 4 )2=4-y-4=16y
(2x+ 3y)2-(2x~3y)?=4-2x‘3 y - 24xy
• (x 2 +l) - ( x 2- l) =4 x2 *1=4 x2
y - - = 4 -y -- = 4
í “
O
y +—
2 /
—
V x ) V
2

4. MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS CON UN TERMINO ’
COMÚN
a. Los siguientes ejemplos servirán para poder conocer la
propiedad de la multiplicación de binomios con término
común.
Ejemplos

(x.+5)(x+3) +3x-+5x+15=x2+8x+15
(x+2)(x+7)=x2+7x+2x+14=x2+9x+14
v
.
(x+5)(x+10) =x2+10x+5x+50=x2+15x+50
(x+7)(x-2 )=x2- 2x+7 x-14=x2+5x-14
Observamos que
(,* -t rn)ixt± [::j x K j y --/??/?
Para multiplicar binomios con término común, debemos ele-
var al cuadrado el término común, luego sumar (o restar) los
términos no comunes multiplicados por el término común y
también multiplicar los términos no comunes.
Ejemplos
• (x+3)(x+6)=x2+(3+6)x+3-6=x2-f9x+18
• (x+11)(x+5)=x2+(11+5)x+11-5=x2+16x+55
• (x-4)(x-7)=x2+(-4+-7)x+(-4)(-7)=x2-11x+28
. (x-2)(x-20)=x2+(-2+-20)x+(-2)(-20)=x2-22x+40
• (x+7)(x-3)=x2+(7+-3)x+7(-3)=x2+4x-21
• (x-9)(x+ 20) =x2+(- 9 +20)x+ (-9)(20)=x2+11x-180
Evite cometer el siguiente error:
(2x +3)2=(2x)z+2(2x)-3+32
—
^2xz+12x+6
La respuesta correcta es
(2x +3)z=(2x)2+2(2x)-3 +32
-> 4x2+12x +9
Importante
• (x+6)(x-2)=x2+4x-12
• (x-9)(x+3)=x2-6x-27
^ • (x-4)(x-3)=x2-7x+12

^<
•
<
Rcto'al¥abcf.~S>
"
>
*
,***•*V‘•»
•itMU'• I f *Aé ■
''**
:; V
'-"/ Y///, f j ■
■
;'■
<
■ '■
• -
I 5!; Efectúe la siguiente expresión:
(9- 4/ 5+2)2+ V l4-6^5
I— A — • / —
I A> 8- A
r B) 5 J Ii ; lil
i 0 7+2V5
■
t I D) V5 -1
1 i
Ii3i E) 3-4^5
1d *
; |3; !l] !%/:■/■
'V
m í lili i i IV # /-■
■
Yd ¡ { ‘ ( |
iíl!ji! ¡
• (x+7)(x+5)=/ +(7+5)x+7-5=/ +12x+35
Analizamos geométricamente el desarrollo de (x+7)(x+5),
donde x+7 es el largo del rectángulo y x+S es su ancho.
x+7-
7
r /
1
7x
/
|
i
!
3r
Observamos que el área del rectángulo de los lados (*+7) y
(x+5) corresponde a la suma de áreas que se forman.
(x +7)(x +5)=x2+7x +5x +35
(x +7)(x +5)=x2+(7+5)x +35
/. 0r+7)0r+5y=x2+12x +3S
Aplicación 2 ^ ‘ %//
Si se tiene que x2+3x=1, determine el valor reducido de (x+1)
(x +2)+(x +5)(x ^ % « - !
Resolución
Nos piden (x+1)(x+2) +(x+5)(x-2).
Dato: / +3x=1
Desarrollamos
(x+1)(x+2) +(x+5)(x-2)
x2+3x+2+x2;f3 x-10
Reemplazamos
1+ 2+ 1- 10=-6

Aplicación 3
1
Si x +- =3, calcule (x+1)(x+2)(x-4)(x-5).
Resolución
Nos piden (x+1)(x+2)(x-4)(x-5).
i
Dato: x +- = 3
x
Operamos el dato.
= 3 —
> x2 +1 =3x
x 2+1
x
x2-3 x =-1 (0
Luego
(x+1)(x4- 2)(x-4)(x- 5) #
(x 2 - 3 x - 4 )(x 2 -3x-10)
Reemplazamos-(*) -4
(—
1—
4)(—
1—
10) ’
(—
5)(—
11)=55
5. DIFERENCIA DE CUÁDRADOS
Para hallar la propiedad, efectuamos los siguientes ejemplos:
• (x +3)(x -3)=x2- /
3^+./3^-32=x2-3 2
• (í-7)(x+7)= x2+ Jx - / x - l2=x2-7 2
• (x+m)(x-m)=x1-r^+rpi<-m2=xz-m ¿
En general
(x+ o )(x-a)= x‘ - o'■
Por lo tanto, el producto de la suma por la diferencia es igual a
la diferencia de cuadrados.

RdoaH saber;E>
• ►■
*. n ' s . ' ’•Nv. ,M
l. ,.L*b
jj ' ,^ v>r
: Efectúe los siguientes casos:
I • ¡ §
• (?Jñ
1 ■ W 7 M
j |]
|| J
'Ii f)
-
- .^ • r—
■
] {¡a +~Jb) =0+b+2yJob
j • ■ • ■
■
' ■
:
^a+b+2fab =[a +yfb
—
y
Ejemplos
• ^
Js +^Je =n
/^+V2
1 i:
)•? i"'-
/ 1
I +2V3Ó =j6 +y¡S
i ' ¡
0*5 h $
Ejemplos
• (x+7)(x-7)=xz-7 z=xz-49
• {x-9){x + 9)= ¿-92=¿-Z>-
• (8+b){Q-b)=8z-b z=64-b2
• (a-30)(a+ 30)= a2-3 0 2=a2-9 0 0
• (x2-3 )(x2+3)=(x2)2-3 2=x4-9
• (3x+ 5)(3x-5)= (3x)2- 5 2=9x2-2 5
• (V3 -t-V2) (>73—
V2) =a
/32—
V22 = 3-2 =1
• (/4 + V3) ( V4 - V 3) = n
/42 - V32 = 4 - 3 = 1
0 (x+4)(x-4)=x2-4 2=x2-16
Analizamos geométricamente el desarrollo de (x+ 4)(x-4),
donde x+ 4 es un lado del rectángulo y x - 4 es el otro lado.
---- ---------
X • 4
0 I -v ; • . - .
x ; ~4x
El área del rectángulo de lados x+4 y x -4 corresponde a la
suma de áreas que se forman.
Simplificamos
(x+4)(x-4)=x2-4x+4x-16
(x+4)(x-4)=x2-16
Aplicación 4
Reduzca la expresión R.
/?=( T 7 - n
/ 5 )(^ +n
/5) +- ?
J ----71
73-1
Resolución
Nos piden reducir R.
R - 4 E 7 - E s U 7 +E s ) , l r z
•
--------- *— ------ (V3-1)(V3+1)
tiifer*1
!uia cu*
u.adii¡<it ; rar ion.>lir<imos

H
Luego
R = r 72 s 2 J ^ s
Simplificamos la expresión R.
R =7-5 +2 M ± í _ ^
í
•'• R =2+ +'— = 3
A plicación 5
Simplifique la expresión T.
T = 1 / 2 _ 3
a
/3 + Æ Æ + Æ V5+V2
Diferencia de cuadrados
En general
<
Ejem plos
. (Æ +Æ )(Æ - Æ )= i
• (V4 +Æ )(V 4 -n
/3) =1
í * {¡S+Í4){yfs —
^Â) =1
i • (Æ+Æ)(7ë -7s)=
Los productos notables se usan
para racionalizar.
1 _ l(y2 +l) -
V2-1 (Vz-l)(^2 -i-l)
T ^ - i2
2 2(7?-7s)
Tt +Ts (Ti+TsXTï-Vî)
2(77-75)
: , 7>'-7s?
... z(V7-x/s) =^ _ ^
Resolución
Para simplificar la expresión, racionalizamos cada término.
í 1 1
í 7 3 -7 2 ) 2 1 í 75 - 73)
^V3 +V2 , W 3 - V 2 J 7 s +73 U/5 - V 3 J
ciif. de cuadradas i;; * dif. de cuadrado
7 1 - 7 2 1 2 (7 1 -7 1 ) 3 (7 5 -7 1 )
S ^ - S t + é ^ - á ^ S x - S l
T 73- V 2 / ( T s - T I ) / ( T s - T I )
r = ~ T + / _ X
T = 73 - V2 + 7s - 7 â -(7 5 - 71)
s
í 3 1Ts-Ti)
1
7
5+
7
2J 7
5-7
2J

Aplicación 6
Si x =20142- 2016'2012, halle el valor de 2x+1
Resolución
Nos piden 2x+1.
Dato: x=20142-2016-2012
Escribimos convenientemente la expresión.
x = 20142-(2014+2)(2014-2 )
dif. de cuadrados
x = 20142- (2OM2- 22)
x = ¿ 0 1 ^ - .20tí^ +22
x=4
Nos piden
2x+1=2(4) +1
/. 2x+1=9
y

'■
V
: -
w
" • ' i '
6. CUBO DE UN BINOMIO
Para hallar las propiedades, resolveremos los
siguientes ejemplos: :
A-í ! -
! v
En general
(ia t b)3=a i + 3c/b + 3ob¿ + 1
C J
b. (a - b)5- a J - 3c/b + 3a h 1- b3 ¡
_________ _____)
Ejemplos
• (x+2f
Aplicamos la propiedad a.
(x+2)3- x 3+ 3 •x2 2 +3-x -22+ 23
Efectuamos las operaciones y simplificamos.
(x+2)3=x3+ 6x2+ 12x+8
(x+5)3
Aplicamos la propiedad a.
)3=x3+ 3 -x2-5 +3 -x- 52+ 53
I. _
# .... J
* (v+ 5)3=v3+15:+ +7S*+ 125
'
9 n y
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)={a+b)z(a+b)
(a+b)3=ia2+2ab +bz)(a+ b)
(a+b)3=a3+2azb+abz+azb+2abz+b3
(a+b)3=a3+3azb +3abz+b3
(m +n)3=(m +n)(m +n)(m +n)=(m +n)z{m+n)
(m+n)3={m2+2mn +nz) (m +n)
.2, .3
(m+ny=mi +2m¿n+mn¿+m¿n+2mn¿+n
(m+n)3=m3+3mzn+3mnz+n3
(x-1)3
Aplicamos la propiedad b.
(x -1)3=x3-3 -x2-1+3-x -12-13
(x-1)3 =x3-3 x2+3x -1
(2x +1)3=(2x)3+3(2x)2-1+3(2x)-12+13
(2x+ 1)3=8x3+3Í4X2) •1+3(2x) -1+1
(2x +1)3=8x3+12x2+6x +1
(5x-2)3=(5x)3-3(5x)2-2+3(5x) -22- 2 3
(5x -2)3=125x3-3(25x2)-2 +3(5x)-4-8
(5x -2)3=125x3-150x2+60x -8

Capítulo 3
,, ,. *,
Productos notables
■
■
' •.- -y - v ■
2
. • ¿ .úx-v.
• (x2+ 3)3=(x2)3+ 3(x2)2-3+3x2-32+ 33 7. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(x2+ 3)3=x6+9x4+27x2+27
'i
a. a ■
+b3=(a +b)(o‘; - o b +b ~
)
• (x- 2y)3=x3- 3(x)2•2y+ 3 •x(2y)2- (2y)3 b. (o -b )(v ' í r¡b í ir :
(x- 2y)3=x3-3X2•2y+ 3•x(4y2) - Sy3
(x-2y)3=x3-6x2
y+12*y2-8y3
Ejemplos
6.1. Forma semidesarrolíada
e x3+8=x3+ 23=(x+2)(x2-2x+4)
• x3+ 1=x3+13=(x+1)(x2-x+ l)
a. (a -f b)■
’ - a3+ b3+3cb (o +b'¡ 8 x3-1=x3-13=(x-1)(x2+x+l)
• x3-8=x3-2 3=(x -2)(x2+ 2x +4)
b. (o - b) - a - b ''- 3ab{a - $) I y |0 rA.
V
._______________________:_____J_ _ J , O , %
Aplicación 8
Aplicación 7
Si al desarrollar el producto (x+2)(x2-2x+ 4)
Se sabe que a + b =5 y ab=3.
se obtiene ox3+b, halle el valor de Vo + b.
Calcule a3+b3. y f ' V
Vj A A V ',
Resolución
Resolución %0 Nos piden ¡a + b.
Nos piden o3+b3.
Del dato, tenemos
Datos:
(x + 2 )(x 2 - 2 x + 4 ) = ax3 + b
o+b = 5 sum a de cubos
ab = 3
De la propiedad, tenemos
Efectuamos la suma de cubos.
x3+ 23=ox3+b
(a+b)3=o3+ b3+3ab(o+ib)
1x3+ 8=ox3+b
1
-----1
— 1 l
53=o3+ó3+3-3(5) Comparamos y obtenemos
-> o3+b3=125-45 o=1 a b=8
o3+b3=80 yja +b — V i + 8 = V9 = 3

Aplicación 9
Si se cumple que x+y=2 a x3+y3=5,
calcule el valor de xy.
Aplicación 10
o Z
)
Determine el valor de a -b
si se sabe que a-b-2 y ob=5.
Resolución
Nos piden xy.
Datos: x+y= 2
x3+y3=5
R e s o l u c i ó n
Nos piden a3-b 3.
Datos:
a - b - 2
{x+y)3=x3-i-y3+3xy{x+y)
ab =S
23=5 +3-xy(2)
8=5 +6xy —
> 8-5=6xy
3=6xy —
> ^ =xy
{a- b)3=o3- b3- 3ab{a- b)
Reemplazamos ios datos.
23=a3-63-3(5)(2)
8+30=o3-¿)3
a3-b 3- 38
Adrien-Marie Legendre
(París, 1752-Auteuil, Francia, 1833). Fue un matemático francés que tras
culminar sus estudios, entró a trabajar en la Escuela Militar, donde completó
un análisis sobre la trayectoria de los proyectiles que le supuso el premio de la
Academia de Berlín en 1782. En 1795 enseñó Matemáticas en la École Nórmale.
En sus primeros trabajos, centrados en la mecánica, introdujo conceptos
como la función que lleva su nombre o la primera demostración del método
de los mínimos cuadrados. Tras los pasos de Euler y Lagrange, estudió las
funciones elípticas y las redujo a tres formas básicas. Fue el primero en hacer
una obra estrictamente relacionada con la teoría de números, ámbito en el
que obtuvo resultados fundamentales como la demostración en 1830 de la
ley de la reciprocidad cuadrática. En 1794 publicó Los elementos de geometría,
una versión reordenada y simplificada de la obra original de Eudides, que fue
traducida a más de treinta idiomas.

Productos notables
PRODUCTOS NOTABLES ]
Clasificación
r~
Cuadrado de un binomio
• Cuadrado de un binomio suma
{a+b)2=a2+2ab+b¿
Cuadrado de un binomio diferencia
C
a-b)2=a2-2ob+b2 j
i Concepto
Es el resultado de las multiplicaciones que
se pueden determinar sin necesidad de
| efectuar la operación de multiplicación.
Identidades de Legendre
(
ia+b)2+{a-b)2=2Ía2+b2
{a+b)2-{a-b)2-4ab
i
Diferencia de cubos
a3- b3=(o- b){o2+ab2+b2)
v_____________________________ -
Suma de cubos
f—- —
a3+b3-(a+b){a2-ab+b2)
,/?
f qc
Producto de dos binomios con un término común
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(
Cubo de un binomio
• Cubo de un binomio suma

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2
J
• Cubo de un binomio diferencia
/— * -
(a-b)3=a3- 3a2b+3ab2- b2
_>
V J

RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.’ 1
Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F)
con respecto de las siguientes proposiciones:
I. (2a-36)2=4a2-12a¿>+9¿>2
II. (x 2 +3) —
(x2—
3)2 =12x2
III. (x2 +3y) =x 4 +6x2y +9y2
A) FFF
D) FVF
Resolución
I. Verdadera
B) VVV C) VFV
E) VFF
(2a-36)2=(2a)2-2(2o)(3b)::+ (36)l|»a
(2o-3b)2=4o2-12o6+%2 ‘
II. Verdadera
(^ +3)2 _(^ -3 )2=4.x2.3
(x2+3)2- (x2-3 )2=12x2 y
a
% . v¡,
III. Verdadera , ;J f
(x2+3y)2=(x2)2+2 •x2•3y+(3y)2
(x2+3y)2=x4+6x2
y +9 /

=Clave .
Problema N.* 2
-J
Determine el valor de x 2+—
si se sabe que x +—=4.
x
A) 2
D) 12
B) 6 C) 16
E) 14
Resolución
Nos piden x2+A:
1
Dato: x +- =4
x
i Importante
(a+b)2=a2+2ab+b2
■ y
x +—
XJ
1 1
=x 2+2-/ ■
—
7+
/ ’ ?
/ x 2
f i f 2 9 1
x +- =x +2+—
V X. X
Reemplazamos el dato.
A2~x2+2+- y -> 16-2 = x 2+-Í-
j f % x2
„1 -.r x2
.+ ± =U
,, f'V x
# % ^ ; Clave
Problema N.‘ B
Determine el valor de ab si se sabe que a+b=6
y a2+b2=30.
A) 1
D) 9
B) 3 C) 6
E) 12
Resolución
Nos piden ab.
Datos: a+b=6
o2+b2=30
£ ................................ .......— '1
.
£ No OLVIDE
(a+b)2=a2+2ab+b2

___________________________________________ ____________:------------------- ----- ------------------------
i

COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
_____
Problema N.‘ 6
? n 9
Si 2>r-3=5x, indique el valor de 4x +— .
xz
Problema U.’ 7 __ ______
Si a2+b2=13 y ab=2,
halle el mayor valor de o-b.
A) 25 B) 13 C) 12
D) 37 E) 33
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
Resolución
? 9
Nos piden 4x +— .
x2
Del dato, tenemos
2x2-3=5x
2x2 3 _ 5 x y
x x x
Simplificamos y obtenemos
2x - —=5
X
Elevamos al cuadrado.
/
7
S C . ■
■
2 x - — =52
X.
Tenemos
(2x)2-2 (2 /)
7 3 h
+ =25
.x )
4x2—
12n
— r-=25
Luego
4x 2+4 = 25+12
x
4x2+~ =37
x 2
; Clave
..............................................i .
i Resolución
. Nos piden a-b.
' Datos: a2+b2=13
ab-2
; Relacionamos los datos y lo que nos piden.
NO OLVIDE
• : * $
v (a-b)z=az-2ab+b2
; Ordenamos convenientemente la expresión,
i {a -b )2=a2+b2-2ab
; Reemplazamos los datos,
í (a-b)2=13-2(2)
(a-¿>)2=9
a - b - 3 v a - b = - 3
j Por lo tanto, el mayor valor de a-b es igual a 3.
I a - b - 3
j ; C/ove ;
Problema N.‘ 8
Si se cumple que m -n =6 y m2+n2=t
calcule el valor de
m n N
,7 1 7 2 ,
A) 8 B) 9 C) 5
D) 4 E) 11

Resolución
Nos piden -7=--=
V2 V2
Datos: m2+n2=80
m -n-6
Relacionamos los datos y lo que nos piden
Importante
>
X
K
X
»
<
x
>
c
o
c
<
>
<
y
>
-i
j.
X 9 ? 9 0
v [m-ri) =m-2mn+n
Ordenamos convenientemente la expresión.
(m -n)2=mz+n2-2mn
...........
/ ,#*- '
62=80-2mn
36=80-2mn
.'y C
’' í#:,„ ^
* 5 Ó # ::
? - , ..+W i
% /
2m/?=80-36 —
> 2mn =44 , -x mn=22
Nos piden
m n mn
V2 V2~ 2
m n 22
v r ^ = 2 =M
; ;y - r
i C/ave t j
Problema N.* 9
Si se cumple que
1 1 4
—+—= -----, calcule el valor de M.
a b a +b
Va4 +b4
A) -4 B) -1 c, - 1
2
D) 1 E) 2
Resolución
Nos piden M.
M =3,
(a +¿>
)4
7 7 7
Dato:
1 | 1 . _ 4
o fa o+b
Del dato, tenemos
1 | 1 4
a b a + b
a + b 4 '
ab a +b
Luego
(o+¿>)2=4a¿)
a2+2ab+b2=4ab
a¿-2 a b + b2
-=0
n
Completamos cuadrados.
{a -b )2=0 -> o-b= 0 -> a -b
Reemplazamos en (*).
¿(a +b f ¿ (a +a)4 ¿l(2a)4
Va4 +b4 a4 +a4 ~ Í 2a4
M=2
3

Problema N.* 10
Si se sabe que (x-1)2=x.
Calcule el valor de x 2+— .
x
A) 9
D) 4
Resolución
Nos piden x¿ +
B) 7 C) 6
E) 2
.2 1
Dato: (x-1)2=x
Del dato, tenemos
(x—
1)2=x
x2-2x+1=x
x2-3 x +1=0
x 2 _ 3x J_= 0/
x x x x
x —
34— =0 —
> x4 =3
x x
Elevamos al cuadrado.
x + - | =32
X.
Desarrollamos el binomio cuadrado.
2
x 2 + 2 -/-—
7+I -
1 1
/ H w
= 9
x 2 +2 +—-=9
x
1
x 2+ 4 = 7
x ¿
; Clave
Problema N.‘ 1
1
Determine el área del rectángulo. Considere
que x> 0.
t t t
.¡i;-
iY' f E) x2+30
;/:y
.... ,y- Y
- . : v" /
'4
.
'•
•
'i... r '
.■
■
■
i'*
’ :• ::'v
. • ' ■
■
A) x2+25x +10
B) x2+10x+25
C) x2+11x +30
D) x2+10x+30
Nos piden el área del rectángulo.
Del dato, tenemos
6
)
x ^ 6x
Sx 30
Del gráfico, tenemos
-X2+6x +5x+30
í Aq =xi’+1lx+30
ÍA.q —
a
/
2+I1x+30
Clave

Productos notables
Problema N.' 12
Simplifique la expresión L
t =7x(x+1)(x +2)(x+3)+1-1->r2.
Considere que x es positivo.
A) 3x
D) 4x
B) x C) 2x.
E) 5x
Resolución
Nos piden L
L =^ ( x +1)(x +2)(x +3) +1 -1 -x2
L ~¡{x2+3x)(xz +3x +2) +'-1 - x2
Reemplazamos x2+3x=a.
Entonces
/. =^a(c?+2) +1 -1 -x2
í . :
■
: :Ar,
I/'.'“ ..X
'
.= 7 7
H '
- ir
+2o +1- l- x "
Luego
—
í----------- S *%
x
/(a +t f - l - x 2 a+1-1-x2
, ■ % v / '
Recordemos que a->c +3x.
L =/^ +3 x + X - / - / 2
L=3x
" Clave '
■
Problema N.* 13 ________________________
c o n r e s p e c t o d e las s ig u ie n t e s p r o p o s ic io n e s y
I. (x+7)(x+3)=x2+10x+21
II. (x+S)(x+a)=xz+{a+5)x+5a
III. (x2+4)(x2+2)=x4+6x2+8
IV. (2n +5)(2n-F7)=4n2+24n+35
A) W VV
D) VVVF
B) FFFF C) VVFF
E) W FV
Resolución
I. Verdadera
(x+7)(x+3)=x2+(7+3)x+7-3
(x +7)(x +3)=x2+10x +21
II. Verdadera
(x+5)(x+o)=x2+(aa-5)x+5o
III. Verdadera
íx2+4)(x2-f2)=(x2)2+(4+2)V2+4 •2 .
(x2+aXx2+2)=x4+Gx2+8
IV. Verdadera
(2n+5)(2n+7)=(2n)2+(5+7)2n +5-7
(2n +5)(2n +7)=4n2+12■
2n +35
(2n+5)(2n +7)=4n2+24n +35
i Clave
PVoblema N.° 14
Si x 2+5x=7, halle el valor de 5.
S=x(x+5) +(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
A) 18
D) 143
B) 20 C) 137
E) 150
5

Resolución
Nos piden x(x+5) +(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).
Dato: x2+5x=7
Desarrollamos
x(x+ 5) +(x+1)(x+2)(x+ 3)(x+4)
2 +.3=5
5=x(x+5) +(x+1)(x+2)(x+ 3)(x+4)
1+ 4= 5
5=x2+5x+(x¿+5x+4)(x2+5x+6)
Reemplazamos x2+5x=7.
5=7 +(7+4)(7 +6)
5=7+11-13
5=150
y
-
i

Problem a N.’ 15
?
y , " ; j
? Clave {
■
...............;*-v
i
% »
--------------i----i----
con respecto de las siguientes proposiciones y
I. (V 5+ 2)(V 5-2) =1
II. (Ja +Jb )('fci-[b ) =a-b-,
donde a y b son positivos.
|||. (a +4b)(a-4b) =a2-b; b e R+
= x 2- x 2; x ¿0
( 1 Ì ( 1Ì
x —
V x ) k x j
vvvv B)
D) FVFV
C) VFVF
E) VVFF
Resolución
I. Verdadera
(V5 +2)(Vs - 2 ) - - 5 - 2 2=5 -4
dif. de cuadrados
(Vs +2)(%
/5—
2) =1
Verdadera
(4o+4b)(4o- 4b)=4o^ - 4b =a -b

__________ _____ /
dif. de cuadrados
(4a +4b)(4o -4b) =a-b
I. Verdadera
(a+4b)(a-4b) =o2- 4b =a2-b
'................v—------ 1
dif?cíe cuadrados
| .
.a~
y'
■
?(o+4b)[a- 4b) =a2-b
4
5á.v
.?
|í5
'? i &
| IV. Verdadera
r i í f 1i
X H— X —
V x )
dif de cuadrados
í 1i f
x +— x —
V x ) V x J
V t = x2 _.1
Vx
=x2-x~2
Clave
Problema N.* 15
Sean a y b dos números reales donde
ab-7 y a2-b z=21.
Indique el valor de r?2.
A) 5
D) 16
B) 25 C) 4
E) 625

Resolución
Nos piden o2.
Datos: a+b=7 a ó2-¿72=21
Del dato a2-b2- 21, tenemos
(o+¿>)(o-¿))=21
'—,—'
Luego
7(o-¿?)=21 -> a-b=3
_ 4-mn*3 4-mn-3
P =---------+---------
12/77 12/7
Simplificamos
J2fnn ,
J2fíí ^2n
P=m+n
Clave[ )
Observamos que
o + ó = 7 y a - b = 3
o= 5 a ó= 2
/. o 2=25 A ,
.« P ■
I A T f â O If e s J I
! % W .M w $
«H
k r-: V
Problema N.° 17 r
,r-
Reduzca la expresión
(m n + 3)2 - (/T7/7- 3)2 (mn+ 3)2 - (m n -r3)2 .
P=
donde m*0; c?*0.
12/77 12n V f.
A) m + n
D) /7
7
Resolución
B) m - n C) /T
7
/7
E) n
Importante
2 m2.
j (a+b) -(a-b) =4ab
,« » “■
<
X<iOXXXX>00</X J
identidad cié i egencirt- identidad de Leqcndre
(m n +3)z - (m n - 3 ) ¿ ' (mn+ 3)2- (mn- 3)
12m 12/7
Problems M.* 13
(m+n)(m-n)(m2+n2) +n4
A) mn €¿/1| B) m
D) rfk r
■¡ r
f ’§ i p a lp a s i'
C) -m £
E) m8
9%.
<
*
<
V*
■
?
>^
X #
•&
-y
r v
No OLVIDE
i (a+b)(a-b)=az-b2
(m+n)(m- n)(m2+n2)+n4
(m2-/72)(m2+/72)+n4
(m2)2-(n 2)2+n4
4 4 4 4
m - n + n = m
(m + n)(m -n)(m 2+/72)+/74 =m4
! Clave

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