Descargado 144 veces
![T
í¿V
Desigualdad triangular
Método de zonas
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
T e o ría de fu n cio n e s
Lectura de motivación
Concepto de función
Definición de función
Regla de correspondencia
Funciones reales
426
428
432
450
i
Gráfica de una función real
Función como conjunto
de pares ordenados
455
456
•
•
. A ] I
458
‘ 460
462
465 í
I
laticos
Í67
Ecuación logarítmica
Resolvemosjuntos
Practiquemos lo aprendido
S iste m a ds e cu a cio n e s
Lectura de motivación
Definición
Clasificación
Sistemas lineales
Sistemas no lineales
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
523
527
543
549
550
552
552
565
569
585
I
Funciones como modelos matemàticios 468 |
I í ^ g ra m a c ió n lin eal
Lectura de motivación 591
Funciones elementales
Resolvemos juntos
Practiquemos lo aprendido
L o g a ritm o s
Lectura de motivación
Definición
Teoremas
Cologaritmo
Antilogaritmo
470
AMOft
486
501
507
508
512
522
522
S O F
Inecuaciones lineales con dos variables 592
Gráfica de una Inecuación lineal
con dos variables 592
Sistema de inecuaciones lineales
con dos variables 596
Programación lineal (bidimensional) 599
Resolvemosjuntos 603
Practiquemos lo aprendido 622
Glosario 630
Bibliografía 631](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-4-320.jpg)
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■
■
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■ v
l8
in
>
ív'i-; ' : '•/ ¡ :'
En ía historia de ias matemáticas, ios números naturales
aparecieron muy pronto. Como la gran mayoría de los
conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la
necesidad de resolver un problema de la vida cotidiana. Los
hombres antiguos necesitaban medir longitudes, determinar
áreas, calcular tiempos, pesos y otros tipos de medida. Al
enfrentarse a estas necesidades, se dieron cuenta de que no
era suficiente contar con los números naturales para obtener
estos datos de manera exacta, ya que eran susceptibles de
divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores
que la misma, pero que no involucraban a los números
naturales, por lo que fue necesario ampliar este concepto
surgiendo así los números racionales.
La mayor parte de nuestras actividades diarias implica hacer
usos de tos números. Por ejemplo, al comprar una docena
de tarros de ¡eche o dos manos de plátano, estamos usan
do números naturales; cuando compramos 3/4 de arroz, 1/2
kilo de harina o 1/4 de huevos, estamos usando los números
racionales.
n ro n
. UV
*i<
ti 7V
-
*
> ¡»
Identificar los números enteros y racionales.
Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme
ros enteros.
Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme
ros racionales.
El aprendizaje de este contenido es importante porque tiene
relación con la gran mayoría de situaciones de la vida dia
ria como, por ejemplo, el hecho de contar, medir, pesar, etc.
Además, realizar las operaciones básicas, (suma, resta, etc.)
en conjuntos numéricos como Z y Q es prerrequisito para los
capítulos posteriores.
;ív - ,
I
g j/ Í a
__ í___](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-6-320.jpg)
![Aplicación 4
Efectúe
3+(-6)t (+4-7).
Resolución
Operamos
Por tanto, dentro del sistema de los números
enteros, podemos sumar, multiplicar y restar,
pero no siempre podemos dividir.
Para superar la limitación de la división, exten
demos el sistema de los números enteros (Z)
al sistema de los números racionales (Q).
3 + (-6)-r(+4-7)
3+(-6)*(-3J
3 +(+2)=+3+2=5
Aplicación 5
Resuelva
donde a=numerador y ¿>=denominador.
“ 7+[—
2 - (-14) * (+2)]. /
Ejemplos
Resolución
f
A
' .A
? ... W M /jk . í
¡ €fc- 1
1
2
3 0AC 46 n 3 3
■
;— ; 46 - — ; 0,3 =—
7 1 10
Del dato
- 7+[- 2- (-14) * (+2)]
* » ?
•
V f
¡S
."
% w ■•&
• ■ •j&
fcsr Jf
V
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«
{c . ,
X * ........,
.... ^
-7+[—
2 -(—
7)]
-7+I-2+7]
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• f
%
<
>
v
í- *«
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. ■
"
a
' 3 0
1' - y - no están definidos.
o y o
i ■
... . _ j
-7+(+5)=-7+5=-2
3. NÚMEROS RACIONALES (Q) w
Es claro que los números naturales también
son números enteros. Si sumamos, multiplica
mos o restamos dos números enteros cuales
quiera, el resultado también será un número
entero.
Porejemplo,-4+8=4, (—
4)(6)=—
24 y 4 -9 = -5
son enteros, pero aún no podemos dividir
un entero entre otro y obtener un entero
como resultado. Por otro lado, vemos que
8 * (-2)=-4 es un número entero; pero - 8 * 3
3.1. Adición y sustracción de fracciones
a. Cuando dos fracciones tienen un común
denominador, pueden sumarse simple
mente sus numeradores.
a b a+b
- + - - ---------------
• x c c
V__ _________ _.
Una regla similar se aplica a la sustracción.
a b a b
no lo es.
V](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-13-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
-b
f
rr*
-I <
!/•
1'
í
/ ■[Reto.alg BÜ errr--:..-
Establezca' si cada una de las
igualdades es válida o no. Lue
go reemplace cada proposición
falsa por una verdadera.
■ •■
■
' W ’ Ii 1; : ’ i [ //
;]!
1 ■ ! !II H ! i (•; m {
b.
.
c.
e.
a. = _
5 + 5 ~ 5
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’// f
5 ■5__ 5
3 + 4~ 7
2 | 5 _ 2-f5
3 + 9 3+9
1 1 _ 1
2 + 5 ~ 2 +5
2 _ 1
2 +7 ~ 1+7
x + y
----- =x
y
2 5 , 7
3 + 9 ~ 12
/>-
j l ! i | //.
L a
Aplicación 6
Determine el resultado de operar —
K 4 5
Resolución
Del dato
13 16 _ 13-5-16-4
4 5 ~ 4-5
6 5 -6 4 ^ 1
20 “ 20
A plicació n 7
Indique el valor de la siguiente operación:
Í 4 - 1 1 M
V 4 A 5 3
Resolución
Operamos;
J w . *
A > ,
+ I
J p
*
*
■ .... y í
16-1Y 3 + 5
4 A 15
Aplicación 8
Cr 3 f2-, 1
;;f 2 ) 17
Efectúe 2 •—+ - - - + — .
4 VS 2 3J 5
Resolución
Operamos
, 3 (2 1 2^ 17
2
i ■
»
,,?W
ws
3
2
l 2 + 1 7 3 + 2 7 ^ 2 0 + 1 7
^ +l l Ó ' 3 j +T _ 2 +l 30 + 5
15-3 7 17-6 45 +7 +102
15.2 + 30 5-6 30
154 = 77
30 15](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-15-320.jpg)
![5.1.2. Propiedad asociativa
Si a, b y c son tres números cualesquiera, en
tonces
[5(3c7Ó)]2<7=(5■
3 •2)(a■
a) •b=30a2b
5x+(4y+2x)=5x+(2x+4y)=(5x+2x)+4y=7x+4y
Cuando se suman tres nú-
{a+b)+c=a+(b+c) meros, no importa cuáles
dos se sumen primero.
Cuando se multiplican tres
(iab)c=a(bc) números, no importa cuáles
dos se multipliquen primero.
Ejemplos
• (2+3)+7=2 + (3+7)
• (4+7)+11=4+(7+11)
• (3-7)-8=3-(7-8)
• (2-3)-7=2-(3-7)
5.1.3. Propiedad distributiva^ v ' /
Si a, b y c son tres números cualesquiera, en
tonces cuando se multiplica un número por
una suma de dos números se obtiene eLrnís- ;
mo resultado al multiplicar el número por cada
uno de los términos y luego sumar los .resul
tados.
a{b+c)=ab+oc
(b+c)a=ba+ca
Ejemplos
• 2(3+7)=2-3+2-7=6+14=20
. (—
2)(3 +(—
8))=(—
2)3+(—
2)(—
8)=—
6+16=10
. x(y+3)=*K+* '3=xK+3x
. 2x+3x=(2+3)x=5x
. 2(3x)=(2*3)x=6x
. (2x)(3x)=((2xp
)•3)x=(3•(2x))xp
=(6xlx'=6(x-x)=6v2
• 3x(4y+5x)=(3x)(4y)+(3x)(5x)=12xy+1S'/
5.1.4. Elementos identidad
Si a es un número real cualquiera, entonces
¡7+0=0 y o-1=o.
Es decir, si 0 se suma a o, el resultado es o; y
si o se multiplica por 1, el resultado de nuevo
es o. Por esta razón, los números 0 y 1 a me
nudo se conocen como elementos identidad
para la adición y la multiplicación, respectiva
mente, porque no alteran número alguno bajo
sus respectivas operaciones.
Inversos# ry/.
Si o es un número real arbitrario, entonces
existe un único número real denominado el
negativo de a (denotado por -o), tal que
v
.
-
’
v
"
--
r
V"
* y y
i, o +(-o)=0
Si o no es cero, entonces también existe un
único número real denominado el recíproco
de a (denotado por a-1), tal que
o-o“1=1
Observe la similitud entre las dos definiciones:
cuando -a se suma a a, el resultado es el ele
mento identidad para la adición; y cuando a~‘
se multiplica por a, el resultado es el elemen
to identidad para la multiplicación. A menudo
nos referiremos a -o como el inverso aditivo
de a y a o-1como el inverso multiplicativo de a.
(Algunas veces o-1 se denomina simplemente
inverso de a).
Ejemplos
• El inverso aditivo de 3 es -3.
• El inverso multiplicativo de 3 es 3 .](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-20-320.jpg)
![Problema N/ A
Indique el resultado de la siguiente operación:
a _ (-6)(-3) +(8)(-2)
(—
5)(3) —(—
7)(2)
A) 2
D) -2
Resolución
B) -1 C) 1
E) -4
(-6)(-3) +(8)(-2)
(-5)(3)-(-7)(2)
primero efectuamos la multiplicación.
18+ (-16)
4 =
4 =
-15-(-14)
18-16
-15 + 14
A = -2
Problema N.‘ 5
4 =
-1 -
%
.fi-0
Clave ;
: Rrafolsma M.’ 6 _________________ ________
Efectúe las siguientes operaciones:
6+(13-15)-[(8-4)+(-2)-6+(-3)]
i A) 7 B) -3 C) -2
I D) 1 E) 0
: Resolución
Del dato
6+(13-15)'- [(8-4)+ (- 2)- 6+(- 3)]
... — .
— -q-------
4+(-2) - (-2)
6 -i- (-2 ) - l-A + ¿¡
j-
6 + ( - 2) - 0
-3 ,
J?' .
Clave
.
:.Y..
M i l Efectúe las siguientes operaciones:
rrouusm q - » _________________ t — * :
indique el valor resultante de la expresión M.
3-8+ 5-(4+ 2)-(40^ 5)-3-5-4-2
M=8+(-4) +(-6)+ 2-3
A) -8
D) -1
B) -3 C) -2
E) 0
A) 6
D) 3
Resolución
B) 5 C) 2
E) 20
Resolución
Del dato
M= 8+(-4) +(-6) +2-3
primero efectuamos la división.
M=(- 2) +(-3)-3
M = -2 - 3 - 3
M =-5-3
M --8
Clave
Del dato
3-8+5-(4+2)-(40 + 5)-3-5-4+2
T 7 T /
24 + 5-6 - 8-3 - 20*2
t i t r
X + 30 - ^ - 10
30 - 10
?n
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-24-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
mmm
Problema N2 8
Reduzca la expresión N.
N=-[-(2+1)+3-{(-2+1)+5}+4]-6
A) 0
D) 6
Resolución
Del dato
B) -1 C) 1
E) -6
N = -[-(2+ 1) +3- {(-2 +1)+5} +4] - 6
/V= - [ - / + / - { - 1+5} + 4 ] - 6
✓
A/=—
[—
{4} +4]—
6
W= - [ - / +/ ] - 6 I I
ti .
/. /N
/=
—
[0]—
6 =0—
6= -6
«
?
;■
»
’,-íK
Íir 3
v-" ¿
Problema N.’ 9
,1-,____ 1■
Clave
¿4, '%
á %
Halle el resultado de la siguiente operación:
£ = - - - 4
6 6 6
• 1
» !
» !
E) 1
Resolución
Como las fracciones son homogéneas
13-11 +7 3
5= 6 ¿ 2
C/ove
Problema M
.* 10________________________
Halle el inverso de la siguiente expresión:
1
3+
1- I
2
A) 4
D) 2
B)
Resolución
Operamos
-, 1 -, 1
3 +-— - = 3 +
1 -
1 2-1
1 2
$■
■•s (fl < »yv4
-4 3+4=3+2=5
V vi
'
XV.
... u
■
ó
?
-
'
Por lo tanto, el inverso es
Problema N." 1
1
Reduzca la expresión F.
F =
4 _ 13
13 15J
—+3
U
10
21
* - 3
» - !
C)
E) 1
5
Clave
o - l](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-25-320.jpg)
![Operamos
12
E=
13
. 12
E=13
3 Z'j _ 2 . '1 2Ì
--1
--
ll 5J
U 7) 5
( 21-8^ _ 2 . ( 5+2s
l 28 J 5 l 5 J
13 2 . 7
-+ E=
zé 5 ‘ 5
3 _ _ 2 X
7 X '7
3 _ 2 _ 1
_
£"7 7 7
/ -jtsr
? . Clave ... • ~
3 '
éW 'Ém -
% W-:J aZa f
% v
A
-A
-y
^
y
.-. ■ &
¿mw m
Jr
4¿>'
'
-------------------
Calcule el valor de H.
H=23-5(7-4)+6(5-2)
A) -15 B) -1
D) 34
Resolución
Operamos
H=23-5(7-4)4-6(5-2)
H=23-5-3+6-10
H=23-15 + 60
/-/=8+ 60
• H=68
o 31 i r
E) 68
Problema N. 21____________
Calcule el valor de F.
F=22-2[4-6-(9-1)+6+2]+8
A) 1
D) 44
B) 5 C) 7
E) 55
Operamos
F=22-2 [4-6-(9-1) +6 -r2]+8
F-22-2 [4-6-8+3]+ 98
F=22-2[7-14] +8
k-V, ...V '
^ 2 2 ¿ 2 (-:7 )k 8
f W<af=22;-fetÍ+8
% -ís
“ ,5
«
;'
, 'W
F=44
Clave
Pi Gfalernn ri ____________________
Calcule el valor de la siguiente suma:
— 1 | 1 !
1-2 + 2-3 + 3-4
Clave
20
B) « C)
39
21 42 40
39
E)
19
42 22](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-29-320.jpg)
![Capítulo i Conjuntos numéricos
Resolución
De la suma
1 1 1 1
— + — + ------- + + ----------
H . M 20j_21
i e
r 2o i s! 5
fumando sumando sumando
i/ ,/ ,/ ,/ J
sumando
+É Á +'"+É 21
1 1 _ 21-1 _ 20
1 21” 21 ” 21
Problem a N.° 23
Clave
Determine el valor de la expresión J.
J =- + 2
5
» ?
» i
Resolución
Operamos
( 1 0
7= ? + 2
J = h 2
1 o
5 +2
1 „
/
1 Ì 4 "
- + 2- 2 - — H
---
3 k 3y 5J
3
B)
7
7
+—
3
C)
28
7
E) —
15
"1 o
- +2 -
r f 4~
2 - - +7
_3 l 3,
-—
r-
I
i
5.
~
1 n
—+2•
5 4 7
- +— H
—
L3 3 5J 3
7
H
—
3
1
1 4
L 3 + 5.
7
*3
1 o
J=5+2
55 +12
15
J =l +l ( * )
5 V15y
7
H
—
3
, 3 1 134 7 5 , 3+134 +35
7 = ---- + — +- • - -> J =
3 5 15 3 5 15
15
Clave
Problema N.‘ 24______________________
Simplifique las siguientes expresiones:
a. —
2(—
4 —
2)
b. —
6—
2(—
3—
2)
c. 3(4z+2x)
d. -t-x -3)
. e. -4(x-6)
f. 3y+4(x+2y)
r■ ,ó
*
' & "
g. -4x-2(3z-2x)
h. 3{y-2x)-2(2x-2y)
i. - 4(8z-2f)-3(-t-4z)
j. 2x+5-2(x+2)
k. 4[x(2—
5)—
2(1—
2x)]
Resolución
Simplificamos cada expresión.
a. —
2(—
4—
2)
-2(-6)=12
b. —
6—
2(—
3—
2)
—
6—
2(—
5)
-6+10=4](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-30-320.jpg)
![c. 3(4z+2x)=12z +6x
d. -(-x-3)=x+3
e- -4(x-6)=-4x+24
! Problema N.* 25
Dados los números
1
4 =
1-
1
y 6=0,66...
2 - 1
2
i determine el valor de A-B.
f. 3y +4(x+2y)=3y+4x+8y = 11y+4x
>
g. -4x-2(3z-2x)=-4x-6z+4x=-6z
1 B) 3 C) 2
3
4
E) f
3 3
h. 3(y-2x)-2(2x-2y) .
3y-6x-4x+4y
7y-10x
i. 4(8z- 2í)- 3(- f- 4z)
32z-8f+3f+12z
44z-5f
j. 2x+5-2(x+2)
¿ / + 5 - ^ - 4
5-4=1
k. 4[x(2-5)-2(1-2x)]
4[-3x-2 +4x]
4[x-2]
4x-8
%
j Resolución
Primero, hallamos el valor de A.
1 _ 1
1- 3 4
■
&
. :
^ = 4 t - =
»
%■
f;. x
T
Íy
í'V ír ¡
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»«Ir a *
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*
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^ * 'A $ "• éAS
%
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.
. V 1
í-
■
■
*
i-'
Ahora, hallamos el valor de 6.
6=0,666... —
> 6 =— —
> 6
9
Nos piden
4-6 =3 -| =2
Clave
Problema N.* 2 6 ________________ ______
Determine el valor de a si se sabe que
(q+1)+(Q +2)+(fl+3)+...=630+10q-
!*»mui»
A) 45
D) 41
B) 44 C) 43
E) 42
ri
|
m](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-31-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.‘ 30
Aristóteles murió en el año 322 a.n.e. y vivió
62 años. ¿En qué año nació?
A) 384a.n.e.
B) 260 a.n.e.
C) 128 a.n.e.
D) 383 a.n.e.
E) 420 a.n.e.
Resolución
n.° de años
vividos
ano en í año en
.que murió./' l^que nació
Reemplazamos los datos. | 'mkT I
62 = -322-
f
ano en
l^que nació)
A
r año en
que nació
( año en ^
que nació
= -322-62
= -384
%
Jr
Por lo tanto, Aristóteles nació en el año
384 a.n.e.
; Clave [ A .•
Problema N." 31
1
Lizet va al mercado y gasta en carne - de lo
que tiene; en cereales, —de lo que le quedaba;
4
Z
)
V - del resto, en verduras. Si todavía le queda
8
S/.20, ¿cuánto gastó?
B) S/.40
A) S/.64
D) S/.44
C) S/.15
E) S/.52
Resolución
Suponemos que Lizet tiene x soles. Gasta de la
siguiente manera:
1 , . 2
» En carne: - x , entonces le queda —x.
(2 ]
- x
i 3 J
» En cereales: —
„ f % * ,,4.
# 'V v T Ä
f: ¡f *
í 3
C rr eritonce$1e queda —
í
-X
M ;J " / * v f 3 "3 2 V
iT:V • • En verduras: - -X
C
5
0
¿y
f
<4 l3 )j
entonces le queda
Por dato
^ . i Z x =20 -> x =64
8 4 3
Por lo tanto, gastó 64-20=S/.44.
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-33-320.jpg)
![Si se cumple que
¿=(-1)+(-1)+H)+(-1)+(-1)
determine A+B.
Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)
con respecto de las siguientes igualdades y
elija la secuencia correcta.
2-3
4
A) -5 B) 3 C) 2
D) -2 E) -1 II.
2 -3
4
Reduzca la siguiente expresión:
(6-5) +(5-4) +(4+20)-(20+3)+(1-3)
A) 20
D) 1
B) 3 C) 16
E U )
Simplifique la siguiente expresipff^
I' %
-[-(2 +1) +3—
{(—
2 +1) +5} +
A) 2
D) 6
B) -1
V -
r ÆÊ$
O f ¥ y
0
Reduzca la expresión D.
D -
% .¿i! '
‘■
íjífr
III.
~2 2 __2 _
3 “ -3
A) V W
D) FW
B) VFV C) FFF
E) VVF
7. Si se cumple que
>;3'
I
5’<&
% %
%M -V* ** f iv 2
•jt • -î#
C ,
indique el valor de
A) 7
D) 8
B) 5 C)
E)
6
3
5M
7
A) 3
D) 7
2N
7
B) 4 C) 6
E) 2
Reduzca la expresión K.
r = |.( - 6 ) + 4 ^ ]- 6 - 3 (2 ) + 1(-1)
Simplifique la siguiente expresión:
1 4
+
/
2 v2 5
1 _ 4
U 5
1
4 25JI
B) 4 C) -4
E) 0
A) 3
D) 1
B) 2
A) 8
D) -8
C) 4
E) 6](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-34-320.jpg)
![Ti Determine la raíz cuadrada de la siguiente
expresión: ■
N =
1
1 1
+
1
48 192 96
B) 8
A) -8
D) 1
18. Si se cumple que
C) -1
E) 9
3+4+5 +6+... +21=abc
indique el valor de a+b+c.
A) 381
D) 384
B) 382 / C), 383
>
:E) 12 ■ i
<
>
■ ,‘V
&
<
;9. Determine el valor de V42A/ + 5 si
1 1 1 1 1
^ = 12 + 20 + 30 + 42 + + 182
'%!
21. Simplifique la siguiente expresión:
144 25
V
. 125 12
6-15:49
l 14-18
6 +2
6 )
Luego, determine el inverso multiplicativo
del resultado.
A
)4 B
)
56
D)
55
C) 56
E) 56
22. Si tenemos que
II
*
í 3 A
— I—
/ 1 11
-- 1
-- í | - i ]
-% ;
U 3yV6 2y13 2y
halle el ..valor de 18x.
:y
-
:- >
;•
.
A) 1 B) 2 C)
13
3
' 13
D) •—
C 2 6
E) 13
A) - 4
D) -2
B) 4
E) T
Dadas las siguientes expresiones:
__3_ 5 1_
X " 2 0 + 60
18 _ 12
30 20)
27
13
8 2 o
y =
z—+ —+ 3
7 5 5
halle el valor de x+y.
A) 0 B) 1
D) -1
Si sabemos que
1 5 3 7
A —— i-———
•+—
■
2 2 2 2
6 = 0,25 + 0,75 + ^
determine el valor de A +46.
A) 9 B) 10
D) 6
Halle el valor de x.
x=1 +2 +3 +... +15
C) 1
1
E) 7
C) 6
E) -2
A) 38
D) 41
B) 39 C) 40
E) 120](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-36-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
'Jm j»or t á f it e r ^
I I I jJ Ejemplos de radicación
EEEEi* Vo=0 * V5 =0 • /o =0
1 * Vi =1 « =1
: • J a =2 *^8=2 ♦¡VÉ>-2
E l i
k ! | ' . v i =3 • I ' ? . fs-= ?
i - 7 1 =4 .7 ¡4 =4: -
51 ' ^ = 5 . 7 í ü =5
|:M
3!
1
| | f i | f V is =6 . V2Í6=6
=7 > V iü =7
=8
• .
iI ; i
! i ; I //,-
1t!« 1 /
i . V^=9
; * Viocj=io
p4 * V121—
11
¡ > í . VÍ44=12
Un
í ■
í i
/7?
No olvide
Regla de signos
! ¡3 i i , i-V
-7 - - •
.
—
-*— 1
J Ptíf/7 __ .
3 - 1 v + - r
+
II
] p
d
^ =no existe
;vtzJ v
1 Ejemplos
.... —
2
2
i ] * 725 =5
}|Í; * ^27 -3
II • =-2
J: * V-9 =no existe i
.l:__
Lumbreras Editores
Kl&xa*
6. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
Propiedad 1
La multiplicación de dos raíces enésimas de igual índice es
igual a la raíz enésima de la multiplicación de los radicandos.
Ejemplos
• fe - fe =fe8
• V2-V5=VlO
• V3-V27 =V8Í
• ^ 2 x f e y = f e x - 3 y = ^ 6 ^ /
• V ^ V r ^ / r : | • | • „
• fe~z =f e fez
Propiedad 2
r ■
-
ni
'ja ja
jb V b
Para dividir radicales es necesario que tengan igual índice, así
obtenemos un nuevo radical con el mismo índice y como radi
cando sería la división de los radicandos.
Ejemplos
77 Í7 ÍT Ti 1
T T V s V 7 ~ 7 T 7 §
J / x _ _ J j T
tfiy~vy
72 V 2
7 7](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-53-320.jpg)
![RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N /1
Calcule los siguientes resultados:
a. 34
b. (-5):
c. (-1)3
->
4
d. -2
e. (-2Ÿ
f. 12
g. 8o
h. (-5)'
Resolución
a. 33=3-3-3=27
b. (—
5)3=(—
5)(—
5)(—
5)=—
125
c. (—
1)3=(-1)(-1)(—
1)=-1
d. - 2 4=~2-2-2-2=-16
e. (~2)4=(-2)(-2){-2)(-2)=-16
f. 12=1-1=1 /
g. 8°=1
h. (-5)4=<-5)(-5)(-5)(-5)=625 ’
Problema N.° 2 %
Determine los siguientes resultados:
y
a. 1
12
I. ((~3)2) j f
{a2b4f
c.
,3
,5 ( 3'
Resolución
a. 112=1
b. {a2b4f =(a2f (b4f =o6b1
2
( 1
c.
"3
<5
L
' r
3
f 3
, 5 J
71-5 n5
13-3;
V
.9,
d. (<-3)2)3=C-3)2'3 =(-3)6 =36
3
e.
<3J _ V3J
Í 2 '
3J
. A )
2
37
í-1
I 3J
3_1 Í 2 )
=X
/ O (
3 ) 3 )
A
9
2 / n ^ 2
- 3
1 =
2)
81
4
Pifûblerrsa H
>
. z¿
E fe c tú e la s s ig u ie n t e s o p e r a c io n e s :
í 2 3f 3 5
c.
o V c 5
a. y y? J
o 2fe6
b. (x o 3 )5 d.
a 6í>2c 3
a V
Rssolucf&*0
I ? Importante
• El orden de los factores no altera
] el producto.
........
1
. (x2y 3)(x3■y •z 5) = x 2 ■x 3 ■y 3-y1
z 5
(x2y 3)(x 3-y •z5)=x2+3 ■
y3+1-z5
(x2y 3)(x 3-y-z5)=x5-y4-z5
b. (xa3) = x5(o3) = x5-o1
5
(xo3) =X5-C
7
15
a3b5c5
c.
2u6
=a3-2 •¿
>
5-6 •c5
a3¿
>
5c5
=01-¿r1.c5
a2¿»6
a3¿
>
5c5 a-c5
a2¿»
6 ~ b](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-59-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
¿i'
c. ,^/% +^3= ^324 +5/3
%/96+V3=^32-^3 +V3
^96+^3 = 2-s
S +s
S
^96 +^3 =3^/3
d. ^48- # j = ^ ¡6 4 -^ 3
^/48-^3=^15^/3-^/3
%/48-%/3=2-t/3-^3
^ Í4 8 -H i= ^
Problema Ni* 7
Simplifique las siguientes expresiones:
4/ 4
a. v x
>
. %/l6x®
Resolución
a. v x 4 = x
b. ^f6^ =^f6^lx^
/. %/l6x®=2x2
c yfr3‘'6 -'3/-3 3/,/6
fx3y =yx yjy
Jx3
y6=x-y2
d. yíáh) •la4b2 =¡a2-b-a4b2
ja2b 'Ia4b2=la2■
a4 -b-b2
yfctb ->/a4¿
>
2=/a6b3
la*b'laAb2=a2-b
^V64x^ = 3'^ 64/
=^ 6 4 ?
3
1 /64x5 = /64 -VX5
0
<¡y¡e4x^ ='Í[z^-'Í[x^
V v 6 4 x 6 =2x
“ rOIDieiTíd i4. »i
Simplifique las siguientes expresiones:
2 . .4
a. o9-o 5 c.
yjx3y 6 e. yjx3
y 6 y * •
?
&
“
y/a2by/a4b2 / j b. (l2x2y 4) ^ x 5
y j d.
y 41 j * V
v-2
,R«sc|¿?üéíi
a. o9-a_5=o9+(_5)=o4
b. (l2x2y 4)Q - x 5y^
(l2x2y 4)Q - x 5y^ = 12-i-x2-x5-y4 -y
(l2x2y 4) Q .x 5y]=6x7-y5
c.
a~3b4
O’ V
=0-3-(-5).64-5
O 3¿»4
=a2-¿r1
a~3b3
a~3¿
>
4 _ o2
cT 5¿>5 ~ b](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-61-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
38. Simplifique la expresión J.
J =
K]-U2'K3-...‘T
L20
n 1-ti3 -ns -...'-n39
Considere que 71=3,1415...
A) 1 B) 7Í20
110
D) re'
39.Simplifique la expresión H.
H =
C) ri
E) K
,420
,10
y2+n_y/7+
1
6*7n-1
Dé como respuesta la suma de cifras
A) 12
D) 16
B) 13
v
4 0 . Reduzca la expresión P.
P =yfü'Í0‘% 7
, - JO
Luego determine P
,20
%
%
j f
A) a
D) a
B) a¿ C) o
E) a
10
30
41 Reduzca la expresión D.
^/Í25y +^ 64x-/8x
D =
7 8 Íh
->/25
Lumbreras Editores
c
S
v s
;;; >.
x -22-x-3° . x 2° . x (-3)0
A) n
/x B) 2/x C) ^
2 A) 15 B) 18 C) -3
D) 1 E) x D) 12 E) 30
42. Reduzca la expresión L.
8 multiplicandos
A) x
D) x36
43. Se cumple que
B) x20 C) 3t/x
E) x
,10
yfl
3n+2
=3
y 32n,2
determine /?2+r?+1.
A) 43 ,
D),42 5
B) 36 C) 24
E) 32
,^-.v
«
y
w'
4 Dada la igualdad
•
S,v
i ^
^ ,1 6 % 3=44'V 3
determine la suma de cifras de la expresión
3x2- x +5.
A) 3
D) 6
B) 4 C) 5
E) 2
45. Si x*0 , indique su exponente final si se
simplifica la siguiente expresión:
S =
(x3) -x 2 3 . x ‘- 3>
2 . x <-2>
3](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-77-320.jpg)
![^<
•
<
Rcto'al¥abcf.~S>
"
>
*
,***•*V‘•»
•itMU'• I f *Aé ■
''**
:; V
'-"/ Y///, f j ■
■
;'■
<
■ '■
• -
I 5!; Efectúe la siguiente expresión:
(9- 4/ 5+2)2+ V l4-6^5
I— A — • / —
I A> 8- A
r B) 5 J Ii ; lil
i 0 7+2V5
■
t I D) V5 -1
1 i
Ii3i E) 3-4^5
1d *
; |3; !l] !%/:■/■
'V
m í lili i i IV # /-■
■
Yd ¡ { ‘ ( |
iíl!ji! ¡
• (x+7)(x+5)=/ +(7+5)x+7-5=/ +12x+35
Analizamos geométricamente el desarrollo de (x+7)(x+5),
donde x+7 es el largo del rectángulo y x+S es su ancho.
x+7-
7
r /
1
7x
/
|
i
!
3r
Observamos que el área del rectángulo de los lados (*+7) y
(x+5) corresponde a la suma de áreas que se forman.
(x +7)(x +5)=x2+7x +5x +35
(x +7)(x +5)=x2+(7+5)x +35
/. 0r+7)0r+5y=x2+12x +3S
Aplicación 2 ^ ‘ %//
Si se tiene que x2+3x=1, determine el valor reducido de (x+1)
(x +2)+(x +5)(x ^ % « - !
Resolución
Nos piden (x+1)(x+2) +(x+5)(x-2).
Dato: / +3x=1
Desarrollamos
(x+1)(x+2) +(x+5)(x-2)
x2+3x+2+x2;f3 x-10
Reemplazamos
1+ 2+ 1- 10=-6](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-87-320.jpg)
![RdoaH saber;E>
• ►■
*. n ' s . ' ’•Nv. ,M
l. ,.L*b
jj ' ,^ v>r
: Efectúe los siguientes casos:
I • ¡ §
• (?Jñ
1 ■ W 7 M
j |]
|| J
'Ii f)
-
- .^ • r—
■
] {¡a +~Jb) =0+b+2yJob
j • ■ • ■
■
' ■
:
^a+b+2fab =[a +yfb
—
y
Ejemplos
• ^
Js +^Je =n
/^+V2
1 i:
)•? i"'-
/ 1
I +2V3Ó =j6 +y¡S
i ' ¡
0*5 h $
Ejemplos
• (x+7)(x-7)=xz-7 z=xz-49
• {x-9){x + 9)= ¿-92=¿-Z>-
• (8+b){Q-b)=8z-b z=64-b2
• (a-30)(a+ 30)= a2-3 0 2=a2-9 0 0
• (x2-3 )(x2+3)=(x2)2-3 2=x4-9
• (3x+ 5)(3x-5)= (3x)2- 5 2=9x2-2 5
• (V3 -t-V2) (>73—
V2) =a
/32—
V22 = 3-2 =1
• (/4 + V3) ( V4 - V 3) = n
/42 - V32 = 4 - 3 = 1
0 (x+4)(x-4)=x2-4 2=x2-16
Analizamos geométricamente el desarrollo de (x+ 4)(x-4),
donde x+ 4 es un lado del rectángulo y x - 4 es el otro lado.
---- ---------
X • 4
0 I -v ; • . - .
x ; ~4x
El área del rectángulo de lados x+4 y x -4 corresponde a la
suma de áreas que se forman.
Simplificamos
(x+4)(x-4)=x2-4x+4x-16
(x+4)(x-4)=x2-16
Aplicación 4
Reduzca la expresión R.
/?=( T 7 - n
/ 5 )(^ +n
/5) +- ?
J ----71
73-1
Resolución
Nos piden reducir R.
R - 4 E 7 - E s U 7 +E s ) , l r z
•
--------- *— ------ (V3-1)(V3+1)
tiifer*1
!uia cu*
u.adii¡<it ; rar ion.>lir<imos](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-89-320.jpg)
![Productos notables
PRODUCTOS NOTABLES ]
Clasificación
r~
Cuadrado de un binomio
• Cuadrado de un binomio suma
{a+b)2=a2+2ab+b¿
Cuadrado de un binomio diferencia
C
a-b)2=a2-2ob+b2 j
i Concepto
Es el resultado de las multiplicaciones que
se pueden determinar sin necesidad de
| efectuar la operación de multiplicación.
Identidades de Legendre
(
ia+b)2+{a-b)2=2Ía2+b2
{a+b)2-{a-b)2-4ab
i
Diferencia de cubos
a3- b3=(o- b){o2+ab2+b2)
v_____________________________ -
Suma de cubos
f—- —
a3+b3-(a+b){a2-ab+b2)
,/?
f qc
Producto de dos binomios con un término común
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(
Cubo de un binomio
• Cubo de un binomio suma
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2
J
• Cubo de un binomio diferencia
/— * -
(a-b)3=a3- 3a2b+3ab2- b2
_>
V J](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-94-320.jpg)
![2. VALOR NUMÉRICO
Si le asignamos valores a las variables de una expresión mate
mática y efectuamos las operaciones que se indican, el número
real que se obtiene se llama valor numérico de la expresión.
Ejemplos
1. Dada la expresión f(x)=2x+1
si X=1 -> f(1
)=2(1)+1=3
si x=—
2 —
> 2j=2(—
2)+1=—
3
six= - —
» ffü = 2 - +1 =2
2 (i) bJ
2. Dada la expresión f^)=xz+2x
si x=0 /(0p0^+2-0=0
si x=3 / í É(3)=32+2*3¿ 15
í , o i
s¡*=-3 ->' /(.3)-(-3 r i2(-3)=3
■
■
■
<
? .§
.„«as*. '
1¿X
3. Dada la expresión 5(x) =— . . ,1
' I »X ///'
'■
¿
si'
//
J-p *
f-
y
■
¡'-íw.í.
f.~
A
.? / A/ 'si
1-2- 4 *
^ bf;
ís f>
¿
fe
.
¿ so.. % ,
# S*
VV*®^
' >
ͧt
SIX = 2 - » Qn=T~
^¿¡ 1+2 ■
i, 3 í
• '«
f ^
six= -2 -> 2
^ tl-(-2 ) = _3_ =_ 3
-1
. X r " 1 1
1 2 _ 2 _ 1
S l* = 23f : r ~ T - 3 = 3
U 1+2 2
4. Dada la expresión fM =
x 2; x< 0
x+1; x> 0
si x = -2 -» /(_2)=(~2)2=4
s ix = -1 —
» /(_■))= (-1)2=1
six=0 -> /¡o,= 0 + 1= 1
SÍ X=1 —> f(!)=1+1=2
síx=2 -» /(2)=2-f-1=3
Dada la expresión matemática
p(V x-l) =*2~* +5
calcule el valor de P{]).
La expresión matemática
C=Ax~a3y~a2 z -0'5
nos proporciona el consumo
mensual (Q de carne (en kg), en
términos de los precios de tres
productos: x, y y z, donde A es
una cierta constante.
Además
x. precio del litro de leche
y. precio del kilo de huevo
r. precio del kilo de carne
V'J,](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-120-320.jpg)
![I Capítulo 4 Polinomios
~
’ " - -- —
<
—
v-~ —,
—r-^
m t f Á W V . W Á - - - - - - ..| ; '
¿ :^ oce á*9Una definición.o propiedad que pueda ser útil?
ni de grado uno, entonces PM es un polinomio lineal.
m il IH?//0>SStvoov—-■-■Y'K's''■ '5 ','- 'vi11m i íi
Luego
P^=ax+b] a * 0
Por dato
P(3)=^
2 ~> P,(3)=3o+X=12
P(2)=^ “ * P(2)=2o+X ='8
(*)
0=4
6=0
Luego, en (*)
Pm =4x ^
Nos piden '
P(1
)+P(2) +- + P(10)
T T ’m a r /
4(1) + 4(2)+,...*+ 4(10)
10-11
/. 4(1+2+...+10) =4-—
y - =220
A plicación 10
Si P(x) es un polinomio lineal de coeficientes enteros, tal que se
cumple que P(1)+P(J=2P(3)-6, halle el valor de P(5)- P (3).
Resolución
Nos piden P^-P^y
Datos:
# P (1)
• P(x) es un polinomio lineal.
P(1)+ P(2)“ 2P(3) 6
Polinomio mónico
O— • ’
Es aquel cuyo coeficiente prin-
I cipa) es 1.
Ejemplos
• P(x
)=x3+ 5x2+7>,+2
• Sw=^+5x+12
i • 19
Sean Py Q dos expresiones ma
temáticas de modo que
PM+Ow=ox+b;
p
(xr%fa+
b
x y
UNMSM 2010-I
C
.7
— -- • ’ » |
p(5)-4
Calcule el valor de P,
(%))■](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-126-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
v/' ’■•importante
r. MJ **
a Dos monomios se pueden su-
i mar si son semejantes.'
í. Ejemplos
-i-- • 2x+3x=5x
i . . . .
; • x+7x=8x
• 5x2+ 6 x 2 - W x 2'
• 9x4+7x4=16x4'
1u- ;/ y ;x .■
'■
'-; y
■
É
ffn
rrrt-—----- ■
—
*
'
51!IV
H M !M
Ij i j j i?j11j j | r
No olvide
Propiedad distributiva
a(b+c)=ab+ac
..... .... ......... M s ' i iiW M
i Ejemplos
.4
. .. ' -
» « ■1
; . 2(x+5)=2x+10
*
i . 7(3x-1)=21x-7
. x2(2x3+5)=2x5+5x2
'
¡I i Ü x(7x¿+2x)=7x3+2x2
- - n
Además
P(]) + P(2)= 2 P (3)~6
a() +b+a{2) +b=2[a{3)+b]-6
o +b+2o+b=2{3a+b)-6
3o+2¿ -6a+j2b-6
6=3a —
» o=2
Nos piden
P{S)-P [S)=o(S)+b-(a(3) +b)
p(5)-p(3)=5o^é'-3a7^
P(S)~P(3)= ^a ~ 2a
P{5)~P (3)= 2°
■
*
* P(5)~P (3)=2 ' 2 ~^
4.1.2.Polinomio cuadrática
Es de la forma
A j~ a if‘+bx+p > o ^ O
Ejemplos
P{x)=2x2+5x +6
p M=9^
%)=5x2-7 v ’
p m =4x2-5x
Nootalde
Los polinomios cuadráticos son de grado 2.
4.1.3.Polinomio cúbico
Es de la forma
7*^, av1 1cv t
-o I; o /O
Ejemplos
• PM=4x3+5x¿-7x+^
• v 5*3* 2
• /?(y)=x3+6x2+3](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-127-320.jpg)
![__J*ItrtV
1f* % .
^«
> i*
» & •
■
-
•
- —
■ ■ . ■ ■ . , . -
Sea el polinomio P{x)=a>?+b>?+cx+d, donde
• a;b;cyd son los coeficientes del polinomio.
• o es el coeficiente principal.
• d es el término independiente.
Ejemplos
4x3+5x2-7x+2 4; 5; -7; 2 4
g ^ + S x ^ + l 5; 9; -1; 1 5
4x2-7x+3 4;-7; 3
■
• .....
5x+.12
A 5; 12•,
4
¿ JffiRr &
¡ %
¿-1 - ^ i - _ i I
'Y; W w tJB
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J
§
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2# 4 'jr*
%
*
v
*
•
1
-•*
-• V
-f-'X ”
v
X
>
T
í
2
1
3
12
-1
0
%s
%
Propiedades V If5
_ . #*%. <
»
Dado el polinomio "%
1
#ÍV, «/
P(x)~A^+B&,+ Cx-fD; /4 * 0
v
á
»
Suma de coeficientes
A + B + C + D = P „
Término independiente
0 - p,o, ]
Ejemplos
1. Sea el polinomio P(x)=5x2-7^+8.
Suma de coeficientes: P(1)=5(1)2-7(1)+8=6
Término independiente: P(0)=5(0)2—
7(0) +8=8
Polinomios
Propiedad distributiva
(a+b){c+d)=ac+ad+bc+bd
Ejemplos
• (x+3)(x+2)
x2+2x+3x+6
x 2 + 5 x + 6
• (2x+7)(x-3)
2x 2 - 6 x + 7 x - 2 1
2x2+x -21
• (3x+2)(2x-5)
6x2-15x+4x-10
Sx^llx-IO
• (x+6)(3x-1)
V *
3x2-x+18x-6
3x2+17x-6
I33](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-128-320.jpg)
![POLINOM IOS
t
son de la forma
PM=a0xn+a-]x n 2+ ...+ an
. . j _______
........... ,
Grado de un Valor numérico Cambio de
/---- - ( .......... " ^
Polinomio de una
polinomio de un polinomio variable variable
Es el mayor
exponente al
que se encuen
tra elevada la
variable x.
Es el resultado
que obtenemos
al sustituir la
variable x por un
número
fiera.
Las variables de
una expresión
matemática
pueden ser
sustituidas por
cualquier otra
variable.
Polinomio lineal:
ax+b
Polinomio cuadrático:
ax^+bx+c
Polinomio cúbico:
axi +bx2+cx+d
Suma de polinomios
Para sumar dos
polinomios se suman
los coeficientes de
los términos del
mismo grado.
c ^
Operaciones
con polinomios
V '> ___ >
: ; : g . . . .
9'
J
i
Multiplicación de
polinomios
Por ejemplo
(2A3XX+5)
multiplicamos término a
término y obtenemos
2X3+10x2+3x+15
39](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-134-320.jpg)
![Problems I I ÌZ
Sl P(x)= a x+ b a < 0, además, se tiene que
P,t
(pm )
=4 x -9 , determine el valor de P(5).
Determine la validez de las siguientes propo
siciones:
'• P(.y)-3x+1 _> ^(2)“ 7
A) -2 B) -1 C) 0 II. P ^ - 9 -> PB =16
D) 1 E) 2
***• Q(*+1)=4x+^ —
> Q(3)=9
Resolución ,v- P{2xrX+1 _> P(4)~5
Nos piden P(5).
Datos:
• P(x)=ax+b; a < 0
* % r 4x~9
Por dato, P{x]-ax+b.
Además
% r 4x~
P{ax+b)~4x 9
a(ax+b)+b=4x-9
a2
x+ab+b=4x-9
A) FW F
D) W FF
B) FVW
jjr
y
y ,.v
j/K-y'
*.V.' . ,
y
.'i.sír.
W /. ' >
/ a rtf/;#/?
&
■
? ?
:
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!fZ zr'y , *
•
‘3¡X r' ‘ÿ -ïX'.'*"5
' -V
<
? <
/
.ffiîsX
v
y ,v
T /
Verdadera
P(iì-3<2) p| 7
p<
z
>
’ 7
I il. Verdadera
i , / 8
* ^ - 9
:1 .
/*& *■ . V ; -,
.,/4t '‘%.
¡•J-
p >
—
» <
7
2=4 —
> o=2; o=-2
I W
X j>
P(5)=5¿-9=16
-> ^(5)=16
III. Verdadera
(X
-+
1
)=4x+1
Por otro lado
ab+b= -9
I
♦
-2b+b=-9
Como
PM=ax+b
P„=~2x+9
/. P (5)= -2 (5 )+ 9 = -1
-b --9
b=9
0(2+u=4(2)+1=9
-> Q(3)=9
IV. Verdadera
P(2*f*+ 7
' P(2-2,=2+7
P (4,=9
Q VWF
E) W W
C/ove Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-140-320.jpg)
![Si f{x) es un polinomio lineal, tal que 2f(2)-f(1
)=5,
calcule el valor de f(3).
Problema f i' 2o
A) O
D) 5
B) 1 C) 3
E) 7
Nos piden la suma de coeficientes.
Dato:
(*)
P(x-3)=16x4_54/3 +2x“ 1
Nos piden el valor de
Datos:
• es un polinomio lineal
2/‘
(2)-/r
(i)=5 (i)
Del dato es un polinomio lineal
f(xrax+b
Además, en (I)
- ;V • A
A
í.-?:
2(o-2+ò)-(o-1+ò)=5
4a+2b-(a+b)=5
3a+b-5
Como nos piden
f(3)=3a+b
'‘aft5^SO(35¡®s^
(ID
% r
■
» "ri. 'v
Importante
Sea Pw un polinomio.
Suma de coeficientes de PM=P(1
).
Entonces reemplazamos x=4 en (*).
P(4_3)=16-44~64 -43+2(4)-1
P(1)=42-44-4 3-43+7
P(1) =/ - / + 7
f lis. . p
Por to tanto, la suma de coeficientes es 7.
./ | f*
^ ^ •
»
Clave
A %
W
,#
■
Sea P un polinomio, de modo que
P{]_x)=3P{x)-kx-7 y cuyo término indepen
diente es k.
Calcule la suma de coeficientes.
Clave
Problema N.‘ 2G
Dado el siguiente polinomio:
P(x-B)=16y4“ 64^+2^-1
determine la suma de coeficientes.
A) -47
D) 6
B) -45 C) 23
E) 7
a a m 2/:-7
A) 4 B) —— C) 3k+7
D) 5 E) 20
Resolución
Nos piden la suma de coeficientes de P(x)l es
decir, P(1
).
Datos:
* El término independiente es k - » P(0)=fc
V * f 3PM -**-7 O](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-146-320.jpg)
![Reemplazamos x=1 en (I). Resolución
Por dato
/Orf*2- " H
J
k=3Pn,-k-7
/¡x+1j=(x+i)2-(x+ i)+ t
])
fn .iM X - tf- fr- V + l
^ ,l - í0 -1
,=(A+1)2-(^-1)2-(^+1)+^-
Ahora reemplazamos x=0 en (I).
* ‘
X i r X i r 4^- 2 ,
X o r X o ) ^'0 7 1
0 (po' dato)
X =X o )~ 7 _> 4A.-2=10 -x X=3
T
P(1)=3P-7 ^tío . X Nos piden
víT
Luego, igualamos (II) y (III). | c
A
4
* • %
áx& ' S-'y-s^.*
¡>• 7y
'■ -7 '
^X'rr-.v“’ ¿t**.'*?* ^¿^cy>
m t¿r3 + U 7
J f 1 f X ^ y C/ave
2/í +7 =3^-7 V / | v
3 X . w ,-y
V y''^W0?íWÍW*? ■
2ír+7=9fr-21 ■
í, •' <
>
'•
• r
; s % ' . ' '' .¡3
t*:V
,
28=7k
XA
- '«§*»
¡.V*^ ■*Svy.'-^
J¡ -••
Respecto al polinomio P, tal que
k=4
& X-
v %
% Pj 2j =3x4 - x 6+2Íx2- l) +2
Reemplazamos ír=4 en (III).
* ^v-v .*.$
■
X ^ v .v X indique el enunciado correcto.
P(1)=3(4)-7= 5
A) Es mónico.
po r 5
B) Su término independiente es 2.
1i C/oi/e C) La suma de sus coeficientes es 6.
D) Carece de término lineal.
E) Es un trinomio.
Problem a N.‘ 28
Dado el polinomio Resolución
f = /-x+ X si existe e R, Por dato, tenemos
tal que f(x+i)_ /(X-i)_10' calcule /(X)* Pj 2j =3x4 - x 6+2(x2-l)+ 2
A) 7 B) 10 C) 13 P, 2= 3Íx2) - ( x2) + 2Íx2- l) +2
D) 21 E) 25 x¿)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-147-320.jpg)
![28. Dado el polinomio f^+i)=x+7,
f ' f
reduzca la expresión -í0)^ l~aC
'(0)
A) 1
D) 2
B) 0 Q 8
E) -2
........
Dada la identidad de polinomios
(2x-1)A +(x-2)fí=4x+1
calcule el valor de A+B.
B) 0
Polinomios
29. Dada la expresión P^2)=3x4+/;r+1,
indique P[xy
A) 3^+7 B) 3xz+7x C) 3xz+7x+3
D) 7xz+3x+- E) 3X2+7x+1
30. Sea f una expresión matemática, de modo
<
2ue hx)~f{x--i)+f(x-2y
Calcule el valor de f{2)-f^ si se sabe que
for4-
A) -4
D) 4
B) 1 C) 0
E) 2
31. Sea el polinomio P{x+2)=a>c-rbx-rc.
Si PM=3x2-5 x-2 , ¿cuál es el valor de abe?
A) 12
D) 21
B) 6 C) 0
E) -10
32. Dada la expresión matemática
A) -1
D) 1
C) 2
2) 3
Halle el menor valor de m+n si se sabe que
el polinomio
P;<
]={m-3)x¿+(n2-Í)x+mn+]-a
es idénticamente nulo.
A) 4
D) 1
B) 3 C) 2
E) 5
Sea P un polinomio, de modo que
P.ry i=4/,- V - , +9 /,+V ~ "
Calcule el valor de
GR4P)+GR>iFy
A) 10
D) 8
B) 9 C) 6
E) 4
Calcule el coeficiente del monomio
5( 2 j =x 2+x; / >0, halle Pw.y)=a
b
x
y°~ °
si se sabe que el grado relativo con respecto
A) SM =x+1
a x es 40 y el grado relativo con respecto a
B) Su )= x + 'Jx -1 y es 10.
C) S{x) =x --Jx + 1
D) S(x) =x +Vx-1 +1 A) 33 B) 21 C) 18
E) S(X) = x+ V x-1 -1 D) 10 E) 12
Á](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-154-320.jpg)
![También debe cumplirse la condición que establece que
cuando /?M * 0, el grado del residuo es menor al grado del
divisor.
A esta condición le llamamos condición del residuo, yjuega un
rol importante en la división de polinomios, ya que garantiza
que el cociente y el residuo serán únicos.
A p l ic a c ió n 7
x2+2
Divida
x+3
R e s o l u c ió n
Representamos esta división en el siguiente esquema:
x*+2
R,
‘W
x+3
%)
Debemos hallar el cociente g(x) y el residuo de modo tal
que cumplan la identidad de la división, la cual es
x2+2=(x +3)i7m +/?m
Si tenemos en cuenta que (x+3)(x-3)=>r-9 y que si le suma
mos 11 se obtiene x2+2, tendremos que
x2+2=(x+3)(x- 3)+11
De donde se deduce que el cociente q{x) es x-3 y el residuo
/?M es 11.
Observe que el residuo R[x)=11, que es un polinomio constante
(grado cero), tiene grado menor al divisor ú
/(x)=x +3, que es un
polinomio lineal (grado uno). Es decir, cumple la condición del
residuo.
A p l ic a c ió n 2
x3+5x+2
Divida
x2+4
R e s o lu c ió n
Representamos esta división en el siguiente esquema:
x3+5x +2 x^+4 -
Condición del residuo
Cuando la división es inexacta
se debe cumplir que
'[R(x)} <V « ]
íjn eti/idn
Identidad de la división
En la división de polinomios
DM
R,
W
'W
%)
Se cumple que
A esta relación se le llama iden
tidad de la división.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-160-320.jpg)
![visor tienen el mismo grado,
el cociente será un polino- j
mió constante.
Ejemplo
2x2+ 3x +1
x-9
^ó+x-f- 5
Observe:
D(x)=2x2+3x+1
c/(X
)=x2+x+5
El cociente g(x)=2 es un poli
nomio constante.
Halle el cociente y el residuo de
la siguiente división:
2y ^+ 7
Ejemplo
En la siguiente división:
x^ x+ S
5 x
se cumple la identidad de la división, la cual es
y? +3x
,-----
x 2+3x+5=(x+3)(x)+5
T ~ T ~ T T
■
Ow 4 , qM
El residuo es /?(x)=5, el cual es distinto de cero, así que es una
división inexacta.
3, PROPIEDA
a. El cociente y el residuo de una división de polinomios son
únicos.
b. En la división de polinomios, D(x) entre d(x), el grado del
cociente g(x) se calcula como
El símbolo °[ ] lo usamos para indicar el “grado de un poli
nomio”. Esta propiedad nos indica que el grado del cociente
se obtiene restando el grado del dividendo con el grado
del divisor.
Ejemplos
x^- j . 3^ ^
1. En la división -----------, el dividendo D, .=x5+3x+2
x 2+6 w
tiene grado 5 y el divisor d{x)=x2+6 tiene grado 2.
Calculamos el grado del cociente como
^ mF P mF K ) ]
°K x
)]=5-2
Por lo tanto, el cociente q{x) tiene grado 3, es decir, es
una cúbica.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-163-320.jpg)
![Capítulo 5 División de polinomios
„ . .. . x6+2x3+4x2+7x+1
2. En la división ----------------------- ,
2x+3
el dividendo D(x)=x6+2x3+4x2+7x+1
tiene grado 6 y el divisor d{x)=2x+3
tiene grado 1.
Calculamos el grado del cociente como
°Ww]=0P >
w] -0 P m]
° K ) H - 1
° M = 5
Por lo tanto, el cociente es de grado 5.
c. En una división de polinomios, cuando el
residuo es distinto de cero, su grado como
máximo podrá ser un grado menos que el
grado del divisor. Es decir
Esta p r o p ie d a d s e d e d u c e d e la c o n d ic ió n
del residuo, que establece que este no
puede ser de grado mayor al divisor y tam
poco puede tener el mismo grado. Solo es
posible que el residuo sea de grado menor
al divisor y, por ende, como máximo será
de un grado menos.
* Puede ser que R {x] t- 0 y, en tal caso, de
acuerdo a esta propiedad, el residuo
como máximo será de un grado menos
que el divisor; es decir,
■ 0[«MU = 3- 1
°[% )]m á x “ 2
Entonces R {x) como máximo será de
grado 2, lo que nos da las siguientes
opciones:
- /?M puede ser constante (grado 0).
- /?w puede ser lineal (grado 1).
R(/¡ puede ser cuadrático (grado 2).
El residuo toma una y solo una de las posi
bilidades que hemos mencionado.
3,1 forma de) residuo
En los problemas de división de polinomios,
un caso muy común es cuando el divisor es
cuadrático, y en tal caso nos será útil saber la
forma del residuo si queremos calcularlo.
A partir de la propiedad anterior, afirmamos
lo siguiente:.
Si el divisor es cuadrático, la forma del
residuo es R{x)=ax+b.
Ç
Ejemplo
En la siguiente división:
Aplicación 4
Calcule el residuo de la siguiente división:
PM ¿+
% ) Q
(x)
jivisor de
grado ?
el residuo R(x) tiene las siguientes posibili
dades:
• Puede ser que /?M=0 (división exacta).
x4+1
(x-1)(x-2)
Resolución
Como el divisor dw =(x-1)(x-2) es cuadrá
tico, entonces su residuo será de la forma
Ríx]=ax+b.
69](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-164-320.jpg)
![Restamos (I) y (II).
2a+y=17
a+)4=2
2a - a —
17—
2
-> o=15
Reemplazamos estos valores de x en la identi
dad de la división.
x=2: (2^2)4+(2-3)2s J
' ^ ^ ^ 0 +0(2^
-> 2a+¿>=1
Reemplazamos en (II).
a+b=2
15+0=2
-+ £>=-13
Reemplazamos los valores de o y ó en
R^=cx+by obtenemos que el residuo es igual
a /?M=15x-13.
A p l ic a c ió n 5
Calcule el residuo de
(x-2 )4 +(x-3)2
(x-2 )(x-3)
Resolución
Como el divisor d{x)={x-2)(x-3) es cuadrático,
el residuo tendrá la forma R{x)=ax+b.
Tenemos que
(x -2)4+(x - 3)2 (x—
2)(x—
3)
R{x)=ax+b Q
(X
)
Se cumple la Identidad de la división, la cual es
(x-2)4+(x-3)2=(x-2)(x-3 )q,x)+ax+b
<
■
-------„
------- ' '------------ 1
r¡ o
Igualamos el divisor a cero.
(x-2)(x-3)=0
x-2=0 v x-3=0
x=2 v x=3
x=3: (3- 2)4+(3^j^=(^2ó(3^)r/(3]+o(3)+b
-> 3o+ó=1
Calculamos los valores de ay b.
3o+ / =1
2o+^ =1
3a—
2a =1—
1
—
>a-O
Reemplazamos a-O en 3o+b=1 y se obtiene
b—
Reemplazamos .los valores de a y b en
R{x)=ax+b y obtenemos que el residuo es
R(x) =. +1, es decir, R (x)= 1.
A p lic a c ió n 6
Calcule el residuo de
(x +ir+ 1
x 2-1 '
R e s o lu c ió n
El residuo es de la forma R[<
}=ax+b.
Luego, en la identidad de la división
(x+1)3+1=(x2-l)q (v
,)+ax+ó
Evaluamos en x=1 y x=-1.
x=1: 9=o+¿>
x= -1:1=-a +b
Operamos y se obtiene o=4 y b=5.
Reemplazamos estos valores en R(x)=ox+b y
obtenemos que el resto es /?(x)=4x+5](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-166-320.jpg)
![En e! método de Horner, a los
coeficientes del divisor se les
cambia de signo con la única
excepción del primer coeficien
te que mantendrá su signo.
El cociente es cj^ C q
X2+c-p+c2.
El residuo es R^d^x+dy
i
!
. .
Este método sirve para calcular el cociente y el residuo de una
división de polinomios.
Ejemplo
Dividamos
5x3+3+2xA+Qx2
3+2x2- x
Seguiremos el siguiente procedimiento:
1. Ordenamos el dividendo y el divisor en forma decreciente.
Dividendo:
D(x)=5a3+3 +2x4+Qx2
Lo ordenamos.
D(x)=2x4+5X3+Qx2+3
Divisor:
d(x
)=3+2x2- x
Lo ordenamos.
rfM
=2x2- x+3;.|||& ]
'/ém' i x *" '
2. Si le falta términos al dividendo y al divisor, los completa-
mos con coeficiente cero.
Como al dividendo le falta un término, que es el término
lineal, entonces lo completamos de la siguiente manera:
D (x)= 2 / + 5 x 3+ 8x 2+ 0x +3
3. Colocamos los coeficientes del dividendo y el divisor en un
esquema como se indica a continuación:
'------------------------------ “N
í 2 ! 2 5 8 0 3
En el caso del divisor, a sus coeficientes se les cambia de
signo, a excepción del primero.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-167-320.jpg)
![5. REGLA DE RUFFINi
Es un método de división de polinomios que sirve para calcular
el cociente y el residuo, pero que solo puede usarse cuando el
divisor es lineal.
Ejemplo
Dividamos
2 x- 6
Observe que e! divisor d^=2x-6 es un polinomio lineal, por lo
tanto, podemos usar este método.
y
Seguiremos el siguiente procedimiento:
1. Ordenamos el dividendo en forma decreciente.
D(x)=2x4- Zx*- 10x2+4x+7
2. El divisor lo igualamos a cero y calculamos el valor de x.
d^-2x-6~Q —
> x=3
3. Colocarnos los coeficientes del dividendo y el valor de x
que hemos obtenido en un esquema, tal como se indica a
continuación:
<
Alicientes ele! dividendo
A
2 - 2 -10 4
-"J
ro
II
*
rcs:t!
coeficientes de
cociente
Esquema de Ruffini
a0x3+a^x2+a2x^a^
i
b0x+ b]
i '
V- i Ao «1 <
*2 «3
X~ b0
¡ .. ^ i
i ■ * "j
C
Jq | R
I
(' —
fjf'J
» - C
o C
1 c2
El cociente co q f/(y - c 02 i qx+c^
El resto es /?w =/?.
La regla de Ruffini tiene dos
etapas:
I. En la primera, se multiplica y
se suma, y se obtiene el resi
duo.
II. En la segunda, se divide entre
el coeficiente principal del di
visor y se obtiene los coefi
cientes del cociente.
Trazamos una línea vertical dejando solo el último térmi
no en el lado derecho del esquema; esta línea separa el
cociente del residuo. La razón por la que dejamos un solo
espacio es porque el divisor es de grado I (lineal).](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-172-320.jpg)
![DIVISION DE POLINOMIOS
. .»
f
-
Dividir el polinomio Dw entre el polinomio dM.
consiste en hallar otros dos polinomios, qM y
llamados cociente y residuo, respectivamente.
dividendo
residuo
D
,M 'M
%)
divisor
cociente
Identidad de la división
DÍx)=d(x)'Q{x)+R(x)
í"~
Condición del residuo
Cuando 0, se cumple
[°tgMi<ot« y .
Tipos de división
• División exacta,
cuando RM=0
• División inexacta,
cuando R(x^ 0
Métodos de división
• Método de Horner
• Regla de Ruffini
Propiedades del
cociente y el residuo
° ° W =°[0(x)]-°[^]
• máx°[/?w]= 0[dM]-1
J
- 4
*
-------
Método de Horner
aQ
x4+a-[x3+a2x2+a3x+a4
60x2-t-ò
1
x-H
Ò
2
b0 O
q o1 o2 °3
+
-b 2
x c0 q c2 d0
Cociente: q^)=cQ
x2+c-ix+c2
Residuo: /?(X
)=d0x+d1
Cálculo del restò
Teorema del resto
PM
ax+b
—
> R esto = P—
J
Caso especial
Cuando la división es exacta,
se puede cambiar de orden al
dividendo y al divisor, es decir,
se pueden poner en orden
creciente. El cociente resultará
también en ese orden.
Método general
El divisor se iguala a cero, se
reemplaza en el dividendo y
se obtiene el resto.
Cuando el divisor es cuadrá-
tico, el residuo es de la forma
R^=ax+b.
Regla de Ruffini
a0x3+a-[x2+a2x+a3
box+b-i
a0 o
-| a2
-&I
*= /T
bo
+
L.2___________
X oo P
:b ° c0 q c2
Cociente: qM=c0x2+c1x+c2
Residuo: /?M=P
i___
Cocientes notables
xn-yn
x-y
-=x/
7 2
y+...+yn 1
Término general
tk=xn-ky k^
donde k=V, 2; 3;...; n
Caso general
yO_yb
—-— r genera CN si y solo si
x - y 1
o b
—=—=neN.
r t
Además, n es el número de
términos del CN,](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-183-320.jpg)
![n M
RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.11
Si el cociente de la división
x6+3x+1
x 3 + 2
es x^-2, calcule el resto.
A) 3x+5 B) 2x+3
D) 2x
Resolución
Identidad de la división
C) x+4
E) 3x+1
d'videndf x6+3x+1
R (X)
f .
x3+2
)c’-2
x 6 + 3x 4-1= (x 3+ 2)(x3- 2)+
(x)
/ + 3x+ X = /-4+ R(x)
3x+1=-4+/?,(X)
/?(v)=3x+5
Por lo tanto, el resto es 3x+5.
Clave
Problema M.” 2
HesoLucion
Esquema de la división
x109+5x+o
3a
x-1
^(x)
Identidad de la división
x ]G
0+5x+a={x-'l)q{x]+3a
Evaluamos en x=1.
1^+5(1)+a=(l^(1)+3o
1+5+o=3o
6+o=3o
6=30-0
6=2o
3=o
o=3
Clave
'
Si el resto de la división 2
__t
4 4 3 a b
x 100+5x+o < 3 6 -4
x-1 r 2 10 15
> -10
es 3o, calcule 0.
L
14 21 -14
2 5 7 17 1
A) 2
D) -1
B) -2 C) 1
E) 3
Si en la división
4x3+4x3+3x2+ax+b
2xz -3x+2
el resto es 17x+1, calcule ab.
A) 24
D) 90
B) 70 C) 81
E) 72
Resolución
Aplicamos el método de Horner.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-184-320.jpg)
![Resolución
Esquema de la división
x^+ax+b
- 7
(x-1)¿
%)
Identidad de la división
x8+ax+b=[x-i)2q{x)+7
Evaluamos en x=1.
18+a+b= (1—
1]3<^ +7
cociente
1+ £7+0—
7
a + b = 6
C la v e
Problema N.’ 16
Si x A+ a ^ + b x + c es divisible por (x+1)3, calcule
a + b - c .
A) 2
D) 1
B) 0 C) -1
E) -2
Resolución
Que sea divisible quiere decir que al dividirlos
la división es exacta.
Esquema de la división
x + ax^ + bx + c
0
♦
(x+1):
%)
Identidad de la división
x 4+ a x i + b x + c = {x +1)3gw+0
Evaluamos en x=-1.
4 , «3 4.
(-1r+o(-ir+¿(-d+c=H f f <
?
H)+
o
1-a-ó+c=0
a+b-c=1
Clave
La división
4x4+2x3-12x2+ax+ó
2*2-3 x -1
tiene un residuo que es un monomio mónico
lineal. Calcule ab.
A) -7
D) 6
B) 7 C) -6
E) -5
El residuo es lineal, entonces
RM=mx+n
Como es mónico, su coeficiente principal m es 1.
Como es un monomio, significa que tiene un
solo término, lo que ocurre cuando n=0.
Luego, el residuo es
/?(X
)=1-x+0=x
el cual es un monomio mónico lineal.
Aplicamos el método de Horner.
2
. i— 4 2 -12 o b
3 6 2
i — 8 12 4
i
4 _ ,
2 3 1
2 4 1 1 0
95](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-190-320.jpg)
![Expresamos el dividendo convenientemente.
D(X
)=^(x+1)5+(2X2+2x-3)6-2x+ 2
Dw =Gr(x+1))5+(2(x2+ x)-3)5-2x+2
Dm =(x2+x)5+(2(x2+x)-3)5-2x +2
Reemplazamos x2+x=1 y obtenemos el resto.
R{x)=(1)5+(2(1)-3)6-2x+2
/?m =1+ H ) -2 x +2
R{X
)=-2x +4
Por lo tanto, el resto es-2x+ 4.
[C lavel
Problema N.‘ 26
Halle el resto de
[(x-1)(x)(x +2)(x+3)f +(x2+2x) -x-50x
x2+2x -5
A) 100X+50
B) 125X-50
C) 100X-50
D) 125x+50
E) 50X+100
Resolución
El divisor lo igualarnos a cero.
x2+2x-5=0
—
> x2+2x=5
Expresamos el dividendo convenientemente.
D, ,=((x-1)(x)(x+2)(x-h3))2+(x2+2x)3-x-50
x)
Dm =((x2+2x-3)(x2+2x)) +(x2+2x) -x -50
Reemplazamos x2+2x=5 y obtenemos el resto.
, /?m =((5-3)(5))2+ (5)4-50
ICO
R(x)~125x+ 50
Por lo tanto, el resto es 125x+50.
Clave
PrriASfm A'-t1
'; “
>7
í .k «
'■
..«
i- ,... <
Halle el resto de dividir PM entre (x-1)(x-2) si
el resto de P(x) entre x-1 es 5 y el resto de P,x]
entre x - 2 es 7.
A) x+4 B) 2x+3 C) 3x+2
D) 2x-3 E) 3x-2
Resolución
Usamos el teorema del resto.
rM
x-1
r00
x-2
-> resto=5
-> resto=7
Tenemos que P(1)=5 y P(2)=7.
A
El resto de
(x)
7
— 17/— 47es de la forma R,A=ax+b
(x-1)(x-2) M
porque el divisor es cuadrático.
Á
99](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-194-320.jpg)
![10, Calcule el resto de 15. Si al dividir
x1
Q
0+5x20 +(x +1)4
x —
1
A) 18 B) 15 C) 16
D) 22 E) 12
11. Halle el resto de
(2x -3 )21+(x -3)4Q+7x
x - 2
A) 8 B) 7 C) 14
D) 16 E) 21
12. Halle el residuo de
(x2-2) +(x2-4 ) +
30
X
x 2-3
A) x+2 B) 2 - T Ì C) 2+T i
D) TÍ E) 2y+ 2
13. Halle el resto de
(x2-fx -4 ) - (x +5 )(x-4 )
x2+x - 2
A) 34 B) 36 C) x-36
D) 32 E) x-f34
14. Halle el resto de
[(x +7)(x-1) +15]2Q3-fx2+6x
(x +2)(x +4)
A) 8 B) -8 C) -10
D) 16 E) 6
(x - 4)20+(x - 6)3
1+c - 4
x - 5
el resto es 10, calcule c.
A) -5 B) 4 C) 14
D) 10 * E) 5
15. Si la división
,,m+4 ,.100
a - y
genera un cociente notable, halle el valo r
de m.
A) 150 B) 100 C) 26
D) 29 E) 10
Si
Xa- y ^ 4
x 2 - y 4
genera un CN de 15 términos, calcule b-a.
A) 30 B) 24 C) 26
D) -24 E) 56
y200 _ ..160
18. Si y .
x 3 - y 4
genera un CN, halle el grado del t20.
A) 96 B) 187 C) 200
D) 176 E) 196
19. Si la división - ——
x +1
genera un CN , halle el g rad o del térm ino
central.
A) 20 B) 23
D) 25](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-198-320.jpg)
![Capítulo 6 Factorízación de polinomios
A p l ic a c ió n 7
Un factor del polinomio P{x)=xi +2xz+x-m es (x-1). Halle el
valor de m.
R e s o l u c ió n
P
Si dividimos — la división será exacta.
x-1
Aplicamos la regla de Ruffini.
Como es una división exacta, el residuo es igual a cero.
-m +4 ='0
m=4
A p l ic a c ió n 2
Si x-2 es un factor de x ]0+x-m, calcule m.
R e s o l u c ió n
10
x +%—
rn
La división------- -— es exacta.
x - 2
Aplicamos el teorema del resto.
«M =21
°+ 2-m
Como es una división exacta, entonces
R(x)=0
210+2-/r? =0
1026-/r? =0
x3+2x2+x - m
x-1
1 2 1 -m
X=1 I 1 3 4
r r * * * 4 -m + 4
^ ■
■ v y -
Y v
::: cg ■
et ‘iG:ti•
_¡ re s to ;
ccoe nte|
Como un divisor de 135 es 5,
entonces 135= 5xd
¿Cómo encontramos d?
Lo encontramos al dividir
135
0
5 _
27
Observamos que d es ¡guai a
27 y representa el cociente al
dividir —
■ 5 '
Lo mismo ocurre en los
polinomios.
/. m = 1026](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-206-320.jpg)
![Capítulo 6 Factorizadón de polinomios
3. POLINOMIO PRIMO
Un polinomio no constante es un polinomio primo cuando no
puede descomponerse como una multiplicación de dos facto
res no constantes. También se le llama polinomio irreductible.
Ejemplos
1. ¿El polinomio P^=x¿+6x+5 es primo?
Este polinomio puede factorizarse como la multiplicación de
dos factores no constantes.
P(x]=(x-f1)(x+5)
no constantes
Por lo tanto, este polinomio no es primo.
2. ¿El polinomio P^=xz+3 es primo?
Este polinomio se íactGriza como
PM= (D (T+3)
f . t
factor tac,;::!
constante no censúa-te
-
¿Es posible factorizar este polinomio como la multiplica
ción de dos factores no constantes?
No es posible. Por lo tanto, es un polinomio primo.
Propiedades
a. Todo polinomio lineal es primo.
Ejemplos
P (x)~X + 3
Qm =2x +1
b. Un polinomio cuadrático de la forma P{x)=>r+m donde
m e Z+es primo.
Ejemplos
• PM=>?+S '
• « « ^ + 9 .
Un polinomio primo es, como
mínimo, de grado uno (lineal).
Para saber si un polinomio es
primo, debemos preguntar
¿Puede descomponerse como
una multiplicación de dos facto
res no constantes?
Si la respuesta es sí, entonces
no es primo, S¡ la respuesta es
no, quiere decir que solo puede
factorizarse en forma trivial,
entonces, será un polinomio
A3](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-208-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
l y/fctmjAviém
” V
'‘ ‘ .>
*...» y*
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„,,, ,,,,.r...
¡
IEn la factorización se usan íos
7 paréntesis, para, indicar múltiple
cación. ' ■
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■
:l En el. polinomio
•'í- :P ¡ , ; A 'V/////
PM =>C+x- : ■
>
.'
•
j • ; ; v r 5
' 0 V ///, /
E3= cuando factorizamos x; eli o tó
" .¿C. *ú liLú tl:iÍÍJÜ i fV.-V
=j= factor será:x+1; y tendfemosj i | /y
j^ É f jlilf IIr
Ejemplos
l P( j=2xy+3x
I___J
x es un tactor común.
Factorizamos x
Pfcy)=M(2y+3)
Observe que el otro factor (2y+3) es lo que queda del po
linomio 2xy+3x luego de quitar*.
2. P(icy)=x¿+5x+2xy
Como x2=x-x
Entonces
P{>ry)=x-x+Sx+2xy
Cuando;factorizamos * Jo que queda es x+'5 +2y que será
el otro factor,: .
Fx.y) =(x)(x+ 5 + 2 y ^ ^ k : ;V ~
3. P(o
;¿)=o3+c
?2¿
>
+5o2 s
"tí
P(a. b) =a -a+o b+Sa
' L _ 1 T
factor común
El factor común es a2 y al factorizarlo el otro factor será
a+b+S.
, 2/
P(a,b)=a‘ (o+b+S)
4. P,„,=2a5+3a3+a4
(o)'
P(n)=2a2-a3+3a3+aa3
T T T
factor común
P(a)=o3(2o2+3+o)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-213-320.jpg)
![RétòillaEièrr:
En la clase de álgebra, el profe
sor pidió a sus alumnos factori
zar el polinomio P(ky)=xz+xy+x
Juan lo factorizó como
P0cy)=x(x+y+ )
. , - | .i I .-
:
rÍ3i3¿ •-——
- Miguel lo factorizó como .
fk r i =x<
x+ >
'>
• María lo hizo como
^ .y) =x(x+y+1)
¿Quién factorizó correctamente
el polinomio?
Agrupar los términos en un poli
nomio no es una tarea fácil. Hay
que buscar diferentes formas
hasta encontrar una donde apa
rezca unfactor común.
53. Identidades
Las identidades que se vieron en el capítulo de productos
notables son muy útiles para factorizar polinomios.
Además, se usan en combinación con los métodos de factor
común y agrupación.
5.3.1. Binomio ai cuadrado
a.
' -------------------
a~ +lab -i-// = (a -i-b f b. i a 2- l a b i l x ~ ( a - b y !
í___________ :____ J
Ejemplos
1. P^=x¿+6x+9
••• PM=(x +3)2
2. 0 m =x2 - 2 x +1 :?■
•
•
• o :i,=í.v~ir
'(*)
3- P(x; y) = XZ+2xy+y¿ +5(X +y )
P{x.y)= {x +y)2+5{x +y)
P{x.y ]=(x +y)(x,+ y)+5(x +y)
P,x.y) =(x+y)(x +y+5)
.2
4. R¡ . ) =x 2+4xy +4y2+3x +6xy
V------------------------------- y------------------------------- / V----------------y
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
R{x]y)=(x +2y)2+3(x +2y)
R(x;y) =(x+2y){x +2y)+3(x +2y)
R(X.y )- (x +2y)(x + 2y + 3)
5. =a2+2ab+b2+6a+6b+9
Q(a:b)=(a+b)2+6{a +b) +9
••• o(0,w =(a+b+3)2](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-215-320.jpg)
![Capítulo 6 Factorlzación de polinomios
5.3.2.Diferencia de cuadrados
8. R{a.b) =az +b2-2 a b -4 % 4
r 4 4 l
a "-b ‘ ={a+b){a-b) %-m = (a - b f- (lb 2í
Ejemplos
R{a.b]= (a-b +7b2){a -b -7 b 2)
1. x2- 3 2=(x+3)(x-3) 9- N(0;6) = 04 - 6 4
2. x2- 5 2=(x+5)(x-5)
N(a-.b) =(a2? - { b 2?
Nla:b)= (q2 +b2)(a2 - b 2)
3. x2-(3 y)2 =(x+3y)(x~3y)
N[a.b)={a2+b2)(a +b){a-b)
4 (y3) - ( y 2) = (x3+ y2)(x 3- y 2)
5.3.3. Suma de cubos
5‘ P
[x;y) =x2+2xy +y2~25 ! ¿y ^¿r =(n + d)íi72-ab-r b ) ¡
V
P(x;y)=(X+y)2~52
P{x:y)= (x+ y+ S)(x+ y-S)
6. /?(x;y) = x 2- y 2+i0 y -2 5
' W r * 2- ^ - 5»2
Rlx;y)=(x+ y - 5')(x - (.y - y )
R(x,y)=(X+y - SKX - y +S)
7- M(X;y )==x2- y 2+2x+2-y
M(x;y) =(x +y)(x-y) +2(x +y)
Ejemplos
1. x3+23=(y+ 2)(x2-2y+ 22)
2. x 3+13=(x +1)(x2-x+ 12) •
3. x3+(3y)3=(y +3y)(y2—
3xy +(3y)2)
4 Q(
^y)=8x3+125y3
^x;y)=(2x)3+(5y)3
P(x;y) =(2x+3y)((2x)2-(2y)(5y)+(5y)2)
Q(jCy)=(2x+3y)(4x2-10x/+25y2)
3- Px.y)—
x +27 +2x +6
P
(x;y) ~(x +3)(x2- 3x +9)+2(x +3)
P(x; y) =
■
■
(*+3)(x2- 3x +9+2 )
•
*- P(X;y) = (* + 3)(x2-3x + 1l)
” A
^
(X;y) =(x +y)(x - y +2)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-216-320.jpg)
![Capítulo 6 Factorización de f
El polinomio P(x
) quedará expresado como
PM= (x-r)fM
P
Para hallar dividimos —— . El factor f,x).representa el co
ciente de esta división.
x - r
Ejemplos
PM=;
Buscamos una raíz racional de P
1 p{x r^ +2^+2x-5
M
*
El valor x=1 es una raíz de P(x
)debido a que
P(i)-°
Luego, x-'] es su factor.
Entonces
Plx,=(x-V-fM
El factor lo obtenemos si dividimos -^ L, entonces
aplicamos la regla de Ruffini.
x - 1
1 2 2 ■W
1
✓n
«
.-
..v
.1 / 1 3 X
4
1 3 5 0
El factor es el cociente de esta división.
Entonces
fM=X +3x+S
Finalmente
Pm =(x -1)(x 2 +3x +5)
2. P(x)=2x 3+5x2+x2-2 .
Observamos que
« , ' = 0
1
Entonces - es una raíz de Pw.
El teorema del factor es muy
importante porque es la base
para desarrollar el método de
divisores binómicos.
Para encontrar una raíz racional
evaluamos el polinomio en los
valores 1o - 1. Si no es ninguno
de ellos, debemos intentar con
las otras posibilidades.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-230-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema NP 21
Factorice
p (x) + 3X3 + 4X2 + 5 x + 2.
Calcule la suma de coeficientes de uno de sus
factores primos.
A) 1
D) 5
B) 2 C) 4
E) 6
Resolución
Al evaluar P(x
) en x =-2 obtenemos P(_2)=0,
además -2 es una raíz de P(x
) y asimismo x+2
es su factor.
Entonces
P(x)=(x+2)-fM.
'to
para hallar f(x
) dividimos
rM
x +2'
1 3 4 5 2 ; f - ’
r^-2
i
T
-2 -2 -4
________________z á
-2
X ^ 1 1 2 1 0
Luego
f(
^
)=xi +x¿+2x+'
Este polinomio es primo porque no tiene
ninguna raíz racional.
Entonces
PM={x+2)(x3+x2+2x+l)
tdCÍC fi'os
c ACTO P f - l * .1 0 s S u m ' De e o e -.
x + 2 1+ 2=3
x3+x2 + 2x+1 1+ 1+ 2+ 1 = 5
Por lo tanto, la suma de coeficientes de uno de
sus factores primos es igual a 5.
Clave
Problema M.‘ 22____________________________
Factorice
P(x)=x6- 4 x 4 - x 2 + 4
e indique el número de factores primos.
A) 6 B) 2
D) 4
C) 3
E) 5
Ÿ. : .b-.v..
Agrupamos convenientemente.
Pív] =x6- 4x4- x 2+4
Pm=x4(x2-4 )-(x2-4)
PM=(x2-4)(x4-l)
Aplicamos la diferencia de cuadrados.
x2-4=(x+2)(x-2)
x4-1=(x2+l)(x2-l)
—
> G^+lJíx+Díx-l)
Luego
PM=(x+2)(x-2)Gt2+l)(x+1)(x-1)
Por lo tanto, hay 5 factores primos.
Clave
Debemos calcular la suma de coeficientes de
uno de sus factores primos.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-245-320.jpg)
![PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Factorice el polinomio
(o
; fa
)=(0+2)+(0+2) ¿
>
luego, indique un factor primo.
A) 3
D) 5
B) 4 C) 7
E) 8
A) 6
D) a +6
B) 0 +1 C) o
E) 6 +1
?.. Al factorizar
P(o;b)=66+3a6+2+c?
indique un factor primo.
B) 6 +1
A) 2 +o
D) o +b
3. Luego de factorizar
C) 36 +2
E) o+36
Q(m
; n)=2m+2n+m¿+mn
indique el número de factores primos.
A) 1
D) 5
4. Factorice
B) 3
y
.y
C) 4
E) /
,=4m¿n-8m +3mn-6m¿
%f
"%
r
Q(m; n
)
e indique la suma de coeficientes-efe un
factor primo.
A) 9
D) 7
B) O C) -2
E) 4
5. Factorice
H(x)=81x2-1
e indique un factor primo.
A) x +1
D) 3x+1
B) x-1 C) 9x+1
E) 3x-1
6. Factorice
Rm =(x +3)2-4
e indique el término independiente de un
factor primo.
7. Luego de factorizar
H{x.y]=(x +2)2-(y + tf
indique un factor primo.
A) x+2
D) y+1
B. Factorice
B) x-y-2 C) x-y+1
E) x-y
M(x)=125^+1
e indique la suma de coeficientes de un
factor primo.
A) O B) 24
D
>
9. Luego de factorizar
R(x,yy-> ?+6xy +Qy z
C) 21
E) 30
indiqué un factor prim o.
f &
-f ..
.
B) x+y
A) 3y
D) x-3y
10. Factorice
Hm =(x +3)2+8(x +3)+16
e indique un factor primo.
C) x+3y
E) x +2y
A) x-4
D) x
11. Factorice
B) x +5 C) x-6
E) x +7
PM=22x +45x2-3
y halle la suma de los términos indepen
dientes de sus factores primos.
A) 4
D) 2
B) 6 C) -5
E) -2](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-251-320.jpg)
![Capítulo 6 Factorízación de polinomios
33. Sean los polinomios
Pm =x2-2x -48
Qm=x2+2x-80
Si fr+m) es su factor en común, calcule
A) -3 B) -4 o Z
2
D) 4
E ) - |
34. El polinomio P^=4x2+x-150 se factoriza
como PM=(mx+n)(px+q).
37. Factorice el polinomio
P^)=xí +2x2+2x + 1
Si uno de sus factores primos esr+mx+n,
calcule mn.
A) 2 B) 3 C) -2
D) 1 . E) -1
38 Si (x-a) y (x-(3), donde a; (3 e Z+
, son
factores primos del polinomio
PM=x3-5x2-4x+20,
1 1
calcule
a (3
Calcule m+n+p+q.
A) 19
D) 24
B) 21
S
¿¿Z
C) 26
/ # 2 2 l%
f ¡
35. Factorice el polinomio
P(x)=((*+2016)(x+ 2014)+1)2-20252
e indique uno de sus factores primos. ~
C) x+2016
A) *+2025
D) x+2015
B) x+2060
E) x+4030
36. Si x-2 es factor de x100-2x"+3x-m,
calcule m2+m+‘].
A) !
01 i v
B) 1 c) L
10
E) !
39. Factorice el polinomio
t f ( i ) 2x(xZH-X-l)
«
f ,e indique el número de sus factores primos.
íi £
C-A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 0
40. Factorice el polinomio
P(X)=x4+3x2+4.
Calcule la suma de coeficientes de uno de
sus factores primos.
A) 31
D) 35
C laves
B) 21 C)
E)
43
48
A) -3
D) 3
B) 1 Q -
E) 2
1 6 D 1
1 D : 16 2
1 C 26 B 3
1 36
2 A 7 r 12 B 17 22 F
. i 27 32 37
3 8 ■ c 13 c : 18 23 28 : 33 38
4 1
9 9 n 14 (
: 19 24 29 34 39
5 10 t
- 15 A 20 25 ¡ 30 B I 35 40](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-254-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
Aplicación 4
Resuelva la ecuación
2x~7 =c 3x -2
3 4 '
Resolución
Para eliminar las fracciones, multiplicamos am
bos miembros por el MCM(3; 4)=12 y simplifi
camos.
12
Luego
2 x-7
=12(5)—
12
3 x-2
4(2x-7)=60-3(3x-2)
8x-28=60-9x+6
Agrupamos los términos.
8x+9x=60 +6+28
17x=94
94
X = '
$
n
Jk,
: : ■
V p 6
/W
v>
■
17
, e s - i 5 !
A p l i c a c i ó n 5
Resuelva la ecuación
^ y ^ =]/- 2z z
2 7 3
"Á.
’v
»
/
v
R e s o l u c i ó n
Para eliminar las fracciones, multiplicamos am
bos miembros por el MCM(2; 3)=6 y simplifi
camos.
/
6
V
5/ - ® L 6 ( y ) - 6 ( 7 - /
Luego
*T N
3(5y-6)=6y-2(2-y)
15y-18=6y-4+2y
Pasamos los términos con x al lado izquierdo y
los constantes al derecho.
15y-6y-2y=18-4
7y=14
14 0
y= y -> y=2
CS={2}
5. DETERMINACION DE UNA VARIABLE EN
TÉRM lM reBfe LAS OTRAS
y :-í>
,v ¡?„
Ahora veamos una serie de ejemplos que des
pejan'una.variable en términos de la otra.
...
| Ejemplos
1. Determine la variable M en la siguiente
ecuación:
F = 6
mM
Aislamos a M y consideramos a las otras
variables como si fueran números.
F =
r 2 j
M
F-r2=[6-m)M
F-r‘
6-m
= M
M =
6 m](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-259-320.jpg)
![2. Determine coen término de las otras varia- Entonces
bles en la siguiente ecuación: _1_ _L +_L
A=20co+2cd
/7+20/7 i R R
^ Rz
Aislamos a co y tratamos a las otras varia- ------- = —
: R R R
bles como si fueran constantes. 2 1
A=2Go
)+2c
o
/7+2C/i i
A -2 ü
/?=2Cü)+2c
o
/i i
A-2Qh=(2f}+2h)(ü
A -20/7
co=--------
20+2/7
3. Resuelva la siguiente ecuación para la
variable indicada.
ax +b _
------ =2; para x.
cx +d
Apartamos a x y consideramos a las otras
variables como si fueran constantes.
ox +^
. -2 —
> ax +b =2(ex +d)
cx +d
ax+b=2cx+2d
ax-2cx=2d-b
R-][R 2- R )= R R 2
5. Despeje x en la siguiente ecuación:
ax
------ = ¿>
.
5x +3
Aislamos a x y analizamos a las otras varia
bles como si fueran constantes.
ax=(5x+3)¿>
ax=5bx+3b
ax-5bx=3b
ty -
{a-5b)x=3b
3b
.-. x =.------
a-5b
xla-2c)-2d-b
x =
2d -b
a-2c
Una ecuación cuadrática es una ecuación de
la forma
x =
2d -b
a-2c
4. Calcule la ecuación para la variable indicada.
1 1 1 D
—=— +— ; para Rv
R R
^ Rz ' 1
donde a; b y c son números reales con a * 0.
Ejemplos
• 3x2 + 5x + 6= 0
• x 2- 7 x + 3= 0
• x 2- 4 = 0
Apartamos a y tratamos a las otras varia
bles como si fueran constantes.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-260-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
■
Cuando una ecuación no tiene
solución su conjunto solución
es vacío.
CS={ }=(»
Ecuación cuadrática
Toda ecuación cuadrática siem
pre tiene dos raíces. Además,
esta ecuación puedetener, como
máximo, dos soluciones.
Factorizamos por el aspa simple.
3x2+5x - 2=0
3x -1
x ^ 2
(3x - 1)(x4-2)=0
3x—
1=0 v x+2=0
A p l ic a c ió n 77
Resuelva (2x 4-3)(3x - 1)=4.
R e s o l u c i ó n
Reducimos la ecuación a su forma general, mediante la multi
plicación.
óx2- 2x+ 9 x - 3+4=0
6)¿+7x+']=0
Factorizamos
bx¿+lx+^=Q
6x 1
x ^ 1
(6x-f 1)(x+1)=0
Luego
6x 4-1=0 v x 4-1=0
1
x=-1](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-263-320.jpg)
![A p l ic a c ió n 14
La ecuación 2X2+(¿>-3)x+2c-10=0 tiene raíces
simétricas y recíprocas. Halle el valor de b+c.
R e s o l u c ió n
Nos piden b+c.
Raíces simétricas
R e s o l u c ió n
Nos piden la ecuación cuadrática de raíces.
O
C+1 A (3+1
Aplicamos el teorema de Cardano.
a+(3=1 a oc(3=1
—-- 3)=0 -> -b +3=0 -> 3=b
iuma de
raíces
Raíces recíprocas
Nos piden
x2-[(cc+1) +(p+1)]x+(a+1)(P+1)=0
x^—
(c¿+(3+2)x +(cc+(3+cí(3+ I)—
0
2c-10
producto
de raíces
—1 —
» 2C—10 = 2 .«gm*»*,.
-+ 2c=12 -> c=6 ,
I JÉw ju .
b+c=3+6=9
i W J m M I
8.2. Reconstrucción de una
cuadrática
%£
La ecuación cuadrática de las raíces x1 y>xj’Xt
se reconstruye de la siguiente manera: ‘
X m
x ¿- (1 + 2)x + (1 + 1+ 1)=0
o ,#
;r-3x+3=0
■
(y .+ )x t YA-, - 0 V *
f? :'A> ■-
i
fe xv xC
%
•. - ’ * r<¿
í
s Las ecuaciones
5
? %Jí
y ¿p
Óx2+£>x+c=0; abe * 0
mY2+ nx+ p= 0; mnp * 0
son equivalentes, entonces
Ejemplo
La ecuación de raíces x^ 2 y x2=9 está dada
por
x2-(2+9)x+2-9=0, es decir
y2-11x +18=0
A p l ic a c ió n 15
Determine la ecuación que tenga como raíces
a a+1 y (3+1, si a y (3 son raíces de la ecuación
x¿-x+'=0.
Ejemplo
Las siguientes ecuaciones son equivalentes.
3x2+y -2=0
9x2+3y -6=0
3 _ 2 = -2
9 3 ~ -6](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-269-320.jpg)
![Resolución
Nos piden hallar el valor de b.
Sean las raíces a y p, entonces a~P=2
Aplicamos el teorema de Cardano.
Por dato: { “ +P = fc
[cxp = b+2
Importante
(a+p)2-(a -p )2=4ap
V , i
Reemplazamos
b2-2 z=4(b+2)
bz~4=4b +8
o
n
co
l
l
-O
+
•
I
O
J
-O
62-4¿>-12=0 í %
b -6 V
Aplicamos la propiedad de Cardano.
fa+p =3
W =1
Nos piden
(a-4)(P-4) +7=a|3-4cí-4|3 +16+7
(a-4)(P-4)+7=«P-4(a+P ) +23
(a-4)(P-4) +7=aP-4(a+P) +23
t ~r
... (cx-4)(P-4)+7=1-12+ 23=12
Clave
nm -i.
■
Si m y n son raíces de la ecuación x2-x+1=0,
(b-6)(b+2)=0
Luego
0-6=0 v 0+2=0
b=6 v b=-2
- -
calcule rnm+n+nn+m.
; K
'>
. v
. :
. ; 1 A) 0 B) 1
J D>:3 ' f
Nos piden mm
+n+rin+m.
C) 2
E) 4
Clave
Problema N.° 21
Si oí y p son raíces de la ecuación
x2-3x +1=0/calcule el valor de (oc-4)(p-4) +7.
A) 1
D) 12
B) 2 C) 7
E) -5
Resolución
Nos piden el valor (a-4)(p-4)+7.
Datos: en la ecuación x2-3x+1=0 sus raíces
son a y p.
Dato: m y n son raíces de la ecuación
x¿-x+l=0
Aplicamos la propiedad de Car.dano.
jm +n =1
mn =^
Luego, nos piden
mm+n+nm+n
m]+n}
m+n=1
m+n , „n+m
m +n =1
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-285-320.jpg)
![Problema N
.* 2G Problema N.’ 27
( 0 r
a + - + P+
V o j p^
Calcule el valor de
si se sabe que a y P son las raíces de la siguien
te ecuación en x.
nvr-3mx+m=0] m> 0.
A) 3m
D) -6
Resolución
B) m¿- 1 C) 6
E) 1
r o ra i í
a + — + p +—
V a) l p J
í JmíF ¿
É
s
»
Datos: sean cc y p las raíces de la ecuación
í m » w c JP 'M
I ^ ik m rjé 0 ¿
mx2-3mx+m=0. "
•
*' Æ
'&
y £
/
# 4 ¡r *
y 7
Aplicamos la propiedad de Cardáftcw»«^
aP = — —
> ap =1
m
a +p =Á -ÉH ll _> «+P =3-
m
J L V *
%k %
. S »
%. .s*
ftk.
% .*>
Nos piden
1 „ 1 0 1 1
a + - + p + - = a + p + - + -
a p a p
' a+P a 3
a+p+~ í F “ 7
í 1i
a + — +
v a j
í 1Ì
P+ ¿
V P
J
=3+3=6
Clave
Calcule el valor de — si se sabe que a y b son
4
raíces de la ecuación x2+n(n+3)x+n2=0, ade-
2 2
más, - + t =1-
a b
A) -1 B) 2 C) -8
D) 16 E) -2
Resolución
Nos piden
Datos:
Sean a y b las raíces de la ecuación
xz+n(n’+3)x+n2=0
2 _ .{£
á 2I r %
J*¿
<
*>
f i 4 # , y U
;/ Aplicamos la propiedad de Cardano.
^ M o +b =-n{r¡+3)
job =n2
Luego en (*)
1 + 1 =1 -> 12± 11 =1 -> 2(a+b)=ab
a b ab
2[-n{n+3)]=n2 -> 2{-n2-3n)=n2
-2n2-6n=n2 -6n=n2+2n2
-6n=3n2 -> -2 n=n2
n2+2n=0 -+ n(n+2)=0
Luego
n=0 v n=-2
3
n
= -2
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-287-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.* 28
Determine al menor valor de n para que
la ecuación x2-(3x+1)x+(2n+3)=0 presente
raíces iguales.
« 3
D) -1
C) 1
E) -9
>
4
.
r
Resolución
Nos piden el menor valor de n.
Observamos que la ecuación
x2-(3 d +1)x +(2/i +3)=0
tiene raíces iguales.
Entonces /
A=0
[-(3n+1)]2-4(2n+3)=0
(3n+1)2-8n-12=0
9n2-+6n +1-8/7-12=0
Tenemos
9n2—
2/7-11=0
9n ^-11
n ^ 1
Luego
(9/?-11)(/7+1)=0
9/7—
11=0 v /7+1=0
11. ,
n=— v n=—
9
Por lo tanto, el menor valor de n es -1
Clave
.7 f
Problema N.' 29
Con respecto a la ecuación cuadrática
2x2-6x +1=0 de raíces a y P, indique la
secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F)
según corresponda.
L oc+P=3
II. 0Cp=1
III. Si a > (3, entonces a -{3 =^7.
A) VFF 8) V W C) FVF
D) FFF E) VFV
Resolución
Los valores a y (3son raíces de la ecuación
2>r-6x+1=0.
Aplicamos la propiedad de Cardano.
a+(3=3
< * # ,
r
i >
Entonces
{a +P)2-(a -P )2=4a(3
32-(a-(3)2=4-
2
i
u
9 -(a -P )¿=2
9-2=(a-p)2 -> (cí-(3)2=7
a-(3 =V7
Por lo tanto, la secuencia correcta es VFV.
Clave
Problema N.* 30
En la ecuación cuadrática
k2x¿+x+3k=0 de raíces a y ó, se verifica que
a+b=2ab.
Indique el valor de k.
A) 1 B) - 1 C)
1
4 6 6
D, - i E) 0](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-288-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicamos el teorema de ecuaciones cuadráti
cas equivalentes.
8 = -{2o-1) 2
4 —
6 5b+2
De la expresión obtenemos
2 =
2o-1
12=2o-1
13=2o
13
o = —
2
/ =
1=
i
5b+2
1
5b+2
504-2=1
5b=-1
b =~ l /
Luego nos piden —.
b
13
a _ 2 _ 65
5
Pfnh!rsrnn i ^ «
5
i ¡ Ll4.i í I e* i » > V
..I
f
l # ív t
Am? 1
v y
v
v .
C/ove
"i
.......... <T^ "
V %
w V / V
Resolución
Nos piden hallar el conjunto solución.
Dato:
x2+(b-3)x+4b=0; donde a y {3 son raíces.
Además
(*)
“ = É =_?
Pa
Aplicamos el teorema de Cardano.
|a+P =-(b- 3)
Iap =4b
Luego en (*)
a (3
— f —
P a
a p _
—+—=-2
f fTp S
.7 C / y t P ^ 2 a P
I v
a 2+P¿
ap
= -2
«
; 'VVx/
.2 vÓ
2
Dada la ecuación en la variable x,
x2+(b-3)x+4b=0 de raíces a y P, se cumple
a p -
que - + - =-2 .
p a
Determine el conjunto solución de la ecuación
anterior.
A) {2;-2}
B) {12}
C) {12;-12}
D) {2- V3; - 2V -3}
E) {2V3/; -2>/3/}
a -rp +2ap=0
(a+p)2 =0
[-(b-3)]2=0
(6 -3)2=0 -> 6=3
Luego, en la ecuación
x2-r(b-3)x-r4b=0
ir t
>r+12=0 —
> ^=-12
x =±V-12 —
> x =±2¡3i
CS={2n
& ;-2V3/}
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-290-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
Aplicamos las propiedades b y c, respectiva
mente.
oc2+p2=2m2
a 2p2=m
. El producto de 3 raíces es m.
x-
]x 2x3=m
Entonces
a(-a)&=m
- a 2p=m
crp=-m
! Probl.r??77 ' Y ,v :
Lumbreras Editores
; La ecuación cúbica x3+2x+b=0 tiene raíces x-¡;
i x2; x2. Determine el valor de x 2+x22+x32.
A) 1
D) -4
B) 2 Q 3
E) 4
Resolución
En x3+2x+b=0 sus raíces son *2; x3.
Aplicamos el teorema de Cardano.
Luego
a 2p2=m
a 2 -p-P =m
.-y.
f
?S
5
ít , ; W S
S
' /
^ y
*^
«
fíK
S
«
S
i»
iíW
= -> -3=1 a 3=-i
Como 3=-1 es la raíz de la ecuación, entfncel-
x4-2m2
xz+m=0 %
X ,
é
‘
Reemplazamos (-1 )4- 2 m 2(-1 )2+m=Ó
1-2m2+m=0
2m2-m -l=0
2m +1
X ^ X 2 + X3 =0
x y 2+x.]x2+x2x3-2
x1
x?x3=-b
Luego ^
! f 3
- % *' * * * * * * +
¿m & y i £ ' +2(x,x2 +X
f M
1
X3 +X2Xi )
..^¿XReemplázámos
% i :1 % / C F
J X 02=Xi2+x^
2+a,^
2+2(2)
0=x.,2+x22+x32+4
x1
2+a'22+x32=-4
Clave
m -1
(2m+1)(^-1)=0
1 i
m = - r v /W
=1
Problema N.* 46
Si X{, x2; x3 son las raíces de la ecuación
2x3+x2-3 x +2=0, calcule el valor de
A
„ 1 1 1
M —
-----+----- +—
Por lo tanto, el menor valor de m es
1
2
Clave D) 1
X1
X2 *1*3 *2 *3
1
B) 1 C) -1
2 2
E) -2
3](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-296-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resuelva la ecuación
2(3+5x)=-3+28x
e indique la solución aumentada en dos.
« i
D)i
B) -
2
C)
E , i
2. Luego de resolver la ecuación
_x__ T 7 _2 x
27 9 27'
halle la solución disminuida en 11.
A) 2 B) 6
D) 10
2x+3[x- (1- x )+2] +x=12
A) {2} B) {1}
D) {4}
j r
f
'■ rv-'' ’I^
A
k
P j>
mpW #
«fe*
Y Arò
ja ^ ó n :^ ;p
V
C) {12}. J - # ;.
4. Resuelva la ecuación
E) {-
%
x - 7 x - 9
9 7
A) {10}
D) {16} E) {18}
Resuelva la siguiente ecuación:
2ax+4b=ax+5b+1
A) {a+b}
D)
B) m C)
b+1
l o
E) {a-b}
6. Resuelva la ecuación lineal
x 1 2 1 . n
- + - =— a, b*0.
a b a b
A) 2(fi a) B) {o+b}
b
b+a
0)
2b
O
E)
'2(b-a)
7. De la siguiente igualdad
a(b+1)=c(a-f-1)+b(a+1),
despeje la incógnita a en función de b y c.
b +c b+1
A) o =-----7 B) a=ob+c C) a =
be- 1
•
D) ,0 - “ :
E) C
7=
c +1
¿)+1
c-1
' v - ./• v
V
-vU
¡7
*
4 ^ •
» V- #. * /
S¡tetes la solución de la ecuación lineal
* / c >
W + 1 x - 2 _
t i. + t i '
determine la solución aumentada en 2.
2
7
2
9
2. A) —
3
= , i C)
B) {12} C) {14} D) 2 E)
9. Resuelva la ecuación lineal
mx2+2mx=3^+m+1.
A) {3}
D) {2}
B)
0 !l
E)
7
.6 J](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-298-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL V
, : ' ■
* -
Si la ecuación cuadrática
(¿>-1)x2+2i?x+4=0
presenta raíces iguales, ¿cuál es el valor
de £
>
?
A) 16
D) 4
B) -4 C) -16
E) 2
Si en x3-.y2- x - 1.5=0,
cuyo CS={3; a; {3} donde a * p * 3,
indique el valor de verdad (V) o falsedad (F)
de las siguientes proposiciones:
I. a+P=-2
II. ap=5
III. 3a+3p+ap=1
A) W F B) VW f C) FFF
D) FFV (
Í 0H 4W
r a
fir
l 4
22. Si las raíces óex^+nv^+nx+m-Q'
%
«*
son proporcionales a 2; 3 y 4, indique el
valor de n.
« i
D)
B)
39 39 Arí
C) — f ■
•
4 / V -
£) ^4 ,/*
; Si una de las raíces de la ecuación cúbica
x3+ox2+¿?x=7 donde {a; b) eQ es 3+V2,
calcule el valor de (a+b)2.
A) 4 B) 25 C) 36
D) 49 E) 81
i. Sean x1
;x 2;x 3 las raíces de
x3+/r?x2+3x+/r?2-1=0
y además x1+x2+x3=0. Calcule el valor de
*1*2*3’
25. En la ecuación 2x3-3x-1=0 sus raíces son
a; P y 0. Calcule el valor de
1 1 1 1 1 1
— }-—-j— i— —-i---- f-—
—
a P 0 ap a0 P0
A) 1
D) -
B) -
3
C) -
2
E) -3
26. Si 0] byc son las raíces de la ecuación
x3+3x2-3x=9, calcule el valor de a2+b2+c2.
A) 10
D) 20
B) 15 C) 18
E) 25
Las raíces de la ecuación cúbica
x3+9x2+,ax+15=0; donde oeQ , están en
progresión aritmética. Calcule el valor de a.
ai W £.¿%
£
W A ) ’13 B) 21 C) 22
!% £yD);;23;^ E) 24
, 2
28. f i la ecuación polinomial^ +o>r+5x-¿)=0;
donde o a ¿
> g R. Si una raíz es igual a
2 - V i, calcule el valor de a-b.
A) 4
D) -4
B) -6 C) 5
E) 6
B) 3 C) 0
E) -3
29. Si la ecuación cúbica
x3-4x2+mx+n=0; donde {m; n) e R.
Además, una raíz es (1+/); /= V—
1,
halle una ecuación cuadrática de raíces
m y n.
A) x2+2x+24=0
B) x2+2x-8=0
C) x2-2x+24=0
D) x2-2x-24=0
E) x2+24x-2=0
A) 2
D) 1](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-300-320.jpg)
![En esta recta están ubicados todos los números reales, tanto
racionales como irracionales.
Además, están ordenados de menor a mayor, en el sentido de
izquierda a derecha. Esto quiere decir que si “a está a la izquier
da de b” significa que “a es menor que b”.
Ejemplos
<
— >
El número 0 está a la izquierda de 5, entonces 0 < 5.
0 i 1 2
v ¿
0,5
1,41
"
f%
, I— *
] /
—
El número - está a la izquierda de v 2, entonces - < v 2 .
/ 2 '
| ¡g
fo Æ
&
, , >
| ----- '
■v
'
El número -2 está a la izquierda de 0, entonces -2 < 0.
V . *,4^ # 1^
#' . ,
j
. £ i “
• 4-
ti <
f 7 4 tv.7
■K
y
-3 0
El número -3 está a la izquierda de 7, entonces - 3 < 7.
•8 :>
s^ 0
El número -8 está a la izquierda de -5, entonces -8 < -5.
A plicación 2
Ubique los siguientes números reales en la recta numérica.
—; tí) yíZ; -1; -0 ,2 ; -5
R e s o l u c i ó n
D e b e m o s u b icarlo s en la recta num érica, en o rd en d e m en o r o
mayor. Entonces tendremos lo siguiente:
¿Cuántos números reales están
comprendidos entre 3 y 7?
En la recta numérica se observa
lo siguiente:
• Un número positivo es mayor
que cero.
• Unnúmeronegativoesmenor
que cero.
• Unnúmeronegativoesmenor
que uno positivo.
• En el caso de dos negativos,
el más grande estará ubica
do en la recta a la izquierda
del otro y por ende, será el
menor entre ellos.
1 - 0,2 0 ! 2](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-307-320.jpg)
![En una desigualdad, si los ex
tremos tienen signos opuestos,
no es válido elevarlos a un ex
ponente par.
Ejemplo
-5 <4 -> (-5)2<42
¡ERROR!
Es incorrecto proceder así
< y '2 -> x < y
No es válido cancelar el expo
nente par sin conocer los signos
de x y y-
Encuentre los valores reales de x,
[ tal quex2 < 9.
También es válido el proceso de regreso. Por ese motivo,
cuando el exponente es impar, lo podemos cancelar y la
desigualdad mantendrá su sentido.
Ejemplos
0 (-7)/
3<(-6)3 —
> - 7 < - 6
* 4/ < 5 ^ - > 4 < 5
• XW Í <2W Í * <2
y
4. INTERVALOS
Se llama intervalo al conjunto que agrupa a todos los números
reales comprendidos entre dos extremos, los cuales pueden
ser números reales o los símbolos +00o —
°°.
Ejemplos
1. ¿Qué conjunto agrupa a todos los números reales com
prendidos entre 2 y 5 sin contar estos extremos?
Debemos tener en cuenta que entre 2 y 5 hay infinitos
números reales y e conjunto que los agrupa es el intervalo
abierto de 2 a 5 que se representa como A=(2; 5).
2. ¿Qué conjunto agrupa a todos los números reales com
prendidos entre 3 y 7 si se cuenta a ambos extremos?
B
--- --------- ■
■.»---- K
3 7
El conjunto que los agrupa es el intervalo cerrado de 3 a 7,
que se representa como B=[3; 7].
3. ¿Qué conjunto agrupa a todos los números reales mayores
que 4?
El conjunto que los agrupa es el intervalo de 4 a +«», que se
representa como C=(4; +
<
*>
).](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-312-320.jpg)
![4.1. Clasificación
Sean o y b números reales, tales que a<b. Los intervalos se
clasifican en los siguientes tipos:
Intervalo abierto (a; b) (a; ¿>)={xe R /a <x< b)
Intervalo cerrado [o; b [a; b]={xe R/a<x<b)
Inten/alos (a: b] (o; b]={x f£ R/a <x<b)
semiabiertos
[a: b) [a; b)={x e ¡R/a <x<b}
(a; +
<
*>
) (o; +<»>={x e R /x > a)
[a; +°o) [a; +o
o
)=(x g R /x > a)
Intervalos no "v
%í^ o
b)={x e R/x<bj
acotados <-°°; b)
• <-°°; b] (~oo; b]-{XG R/x < bj
+“ > # I., (joo; +oo)-R .
/X JO *
•
4.1.1. I n t e r v a l o • -
Se caracteriza por no incluir a los extremos.
Ejemplo V
4=(3; 5) T
r:.. p
% W A
%' ■
+
?
------ o---------o------ —
►
^ 3 3
Este intervalo agrupa a todos los números reales comprendidos
entre 3 y 5, sin contar a estos valores. Es decir, 3 y 5 no
pertenecen a este intervalo.
4.1.2. Intervalo cerrado
Se caracteriza porque incluye a los extremos.
Ejem plo
A=[2; 6] /A
* . «-----------------♦ ------- -—
►
2 6
Este intervalo agrupa a todos los números reales comprendidos
entre 2 y 6 incluyendo a estos valores.
r~
. .Importante
En la recta numérica real
• •••: 0 1 2 . —
El símbolo +oo no es un núme
ro real, así que no es correcto
establecer desigualdades con
este símbolo.
El símbolo +oo se usa para
indicar que los números reales
positivos aumentan ilimitada
mente, lo mismo ocurre con el
símbolo -oo.
Tenga en cuenta que entre 2 y 5
hay infinitos números reales.
Entre ellos están los enteros 3 y 4,
y además números decimales
como 2,1; n; 4,9;...
• •. "T rt d
.n
No cometamos el error de
contar solo los números enteros.
V](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-313-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
4.1.3. Intervalo semiabierto
Se caracteriza porque incluye a un extremo y al otro no.
Cuando un extremo es +°° o
el intervalo se llama inter
valo no acotado.
i Los extremos +«. o siempre
se representan de forma abierta.
No olvide
intervalos denominados
1o, cerrado y semiabierto
imán intervalos acotados.
Ejemplo
A=[2; 9)
A
<
-----♦
-------------o----->
2 9
Este intervalo agrupa a todos los números reales comprendidos
entre 2 y 9 e incluye al 2 (porque es cerrado), pero no al 9
(porque es abierto). Es decir, 2. e 4 y 9 g A.
4.1.4. Intervalos no acotados
Se caracterizan porque uno de sus extremos es infinito positivo
o infinito negativo.
Ejemplos
* 4 = [3 ;-feo) 5]
4 ' r ^
3 •
:*
M
:----------# ^ . >...• 'm
j~~------------ — ' •
%— — - - >
4.2. Representación geométrirí-á ' ',4.^’ ’
Un intervalo acotado geométricamente representa a un seg
mento. En cambio, un intervalo no acotado representa una se
mirrecta o toda la recta.
Ejemplos
• El intervalo A=[3; 5] es el segmento que va de 3 a 5.
• El intervalo B=[2; +«») es la semirrecta que va de 2 a -foo.
*----- »---------------------------r----------*.
4.3. Longitud de un intervalo
El intervalo A =[o; ¿>
] geométricamente representa un segmento.
A
◄ #— -------------------*](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-314-320.jpg)
![Su longitud se define com o Q{A)=b-al
donde 0(4) significa: “longitud del intervalo A”.
Ejemplos
• A=[2; 5] -> 0(4)=5-2=3
h
• fl=[3;8] -> fi(fi)=8-3=5
• C=[4; 5] -4 fi(Q=5-4=1
• D=[1; 9] % 0(D)=9-1=8
., :i .. ■
"
Cuando graficam os los intervalos A = {2; 5] y fí=<3; 7], ambos
representan segmentos.
4 ._C
> O ----- • ------------ •—
»
-
O bservam os que se hace confuso diferenciar qué gráfico es
de /A y cuál es de B. Por ese motivo, los representaremos de la
siguiente manera:
o •
o •
De este modo, se distinguen los gráficos de ambos intervalos.
Cuando se grafiquen dos o más intervalos juntos, se hará de
esta manera, pero sin olvidar que esta es solo una representa
ción por conveniencia, ya que los intervalos realmente son los
segm entos de la recta.
Si alguno de los extremos de un
intervalo es abierto, su longitud
se calcula de la misma manera
que en un intervalo cerrado.
Ejemplo
A={2] 10] -> í(/4)=10-2=8
0 »
1
---------- ---------------i
Los intervalos no acotados
como B=(2; +“>
} no presentan
longitud.
En cambio, los intervalos acota
dos sí tienen longitud.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-315-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
4.5. Operaciones
Los intervalos son un tipo especial de conjunto y como tal
se pueden realizar operaciones entre ellos, como la unión, la
intersección, la diferencia o el complemento.
3
/
4.5.1. Unión
Dados dos intervalos A y B, su unión A u B es el conjunto que
agrupa a los elementos de A y también a los elementos de B.
: : ^
A u B = { x £ 2 / x ¿ A v x £ B ] |
l_____________________________________ J
Ejemplos
1. Se tienen los intervalos A=(2; 5] y B=(3; 7].
Su representación en la recta numérica es
'■
/í
AuB=(2;7]
2. Se tienen los intervalos 4=[5; 9) y B-{3; 10J.
En la recta n um érica, ten em o s
' Á 4 V
. .. I
9 10
Observamos que 4 está incluido en B, entonces su unión es
el intervalo A.
A yj B=(3; 10]
3. Se tienen los intervalos 4=<2; 4] y B=[5; 6).
En la recta numérica
Estos intervalos son disjuntos y en tal caso su unión queda
representada de la siguiente manera:
¿ u f í = (2 ;4 ]u [2 ;4 )](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-316-320.jpg)
![4.5.2. Intersección
Dados dos intervalos A y B, su intersección
Á n B agrupa a todos los elementos en
común de A y fí.
A n B-{x e R j x e A a x e B
)
V
__ ___ J
Ejemplos
1. Se tienen los intervalos A =(3; 6] y B=[5; 8]
En la recta numérica, tenemos
B
—
•
A
,— ---------------- -♦
. c____ j L -i________ i
«—l-------- 1
— i--------- I—>
3 5 6 8
Ejemplos
1. Se tienen los intervalos A=(3; 5] y B=[4; 9],
En la recta numérica, tenemos
4
B
3 4 5
A n B=[4; 5]
2. Se tienen los intervalos A=(2; 9] y S=<3; 4).
En la recta numérica, tenemos
—¡
t
2 3 4 9
Como B está incluido en A, su intersección
es el intervalo B.
A n B=B=(3] 4) Á
3. Se tienen los intervalos A=<2; 3) y B=(S; 6).
En la recta numérica, tenemos
~>
4 „ oJLo
2 3
Estos son intervalos disjuntos, ya que no
tienen ningún elemento en común.
A n 5=0
4.5.3. Diferencia
Dados dos intervalos A y B, la diferencia A-6
agrupa a los elementos que están solo en A.
C 1
; A -B~{> 2 ./> e A a x / B
)
Cuando calculamos A-B, el extremo de B
cambia. En B, el extremo 5 está cerrado;
pero en A-B, este extremo será abierto
A-B=(3; 5)
Se tienen los intervalos A=<5; 9] y B=(6; 8],
En la recta numérica, tenemos
B
X
Al calcular A-B, los extremos de B sí cam
bian. En B,-e extremo 6 está abierto, pero
en A-B será cerrado. En B, el extremo 8
está cerrado, pero en A-B será abierto.
A-B=(5; 6] u (8; 9]
4.5.4. Complemento
El complemento de A denotado como Ac es
el conjunto que agrupa a todos los números
reales que no pertenecen a A.
~ )
4 “={x e R /x *¿A] |
Ejemplos
1. Se tiene el intervalo A=<3; +«>).
En la recta numérica, tenemos
4
AC
En A, el extremo 3 está abierto, pero en A(
será cerrado.
¿ c=<-~; 3]](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-317-320.jpg)
![El c o m p le m e n t o de A también
se p u e d e d e fin ir c o m o
A C = R - A
E n A y A c n o d e b e h a b e r n in g ú n
e le m e n t o e n c o m ú n .
Sí A y A están unidos, deben
fo rm a r t o d o R (total de la recta).
2. Se tiene el intervalo A={2; 5].
En la recta numérica, tenemos
—
o
o
A ►
A. Ac
A
---------- 2 5
*c
/i
En A, el extremo 2 está abierto, pero en Ac será cerrado.
En A, el extremo 5 está cerrado, pero en Ac será abierto.
/4C={—
«o; 2] kj (5; +°°)
4.6. Relación de los intervalos con las desigualdades
Caso 1
x e (a; b) <
-» a <x<b
Ejemplos /
x e 3 < x< 4 >
• 2<x49 ' W ^ : x é ^ 2 ; . 0 ' f
* 'Z/' Jj
Caso 2
¿ s*
w Á
f
j
/ » ,
X!
. ,-r -
x e [a; b] <
-» a < x<b ,
^0, Jf 4 r ,
Ejemplos
i '
} %•
'
jf
N
>
. x
)
’
V
• x e [1; 6] <
-> 1<>
r< 6 ;i
% m
s
• 3 < x < 4 <
r4 x e.[3; 4]
Caso 3
x e (a; b] o <x<b
Ejemplos
• x e <
1; 8] 1 <x < 8
• 2 < x < 3 x e <2; 3]
Caso 4
x e [a; b) <
-> a < x<b
Ejemplos
• x e [4; 5) <
-» 4 < x < 5
• 7 ^ x < 9 <
-> x e [7; 5)
. ■
i
■
í
__________________ a](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-318-320.jpg)
![Caso 5
x e (a ;+00} x >a
Ejemplos
* x e <3; + 00) <_> y > 3
* x > 5 <
-> x g (5;+ co
)
Caso 6
xe<-co;6) o x < b
Ejemplos
0 x g ( - 00; 4) <
-> x < 4
* x < 7 <
-> x e (— 7)
Caso 7
i-ye/ /
x e 5] h x e (-<>3
; 8]
5. PRO BLEM AS SOBRE VARIACIO N ES
Estos tipos de problemas consisten en lo siguiente:
• Sea una expresión matemática que depende de la
variable x.
• La variable x toma los valores de un conjunto A, (A c R) el
cual g e n eralm en te será un intervalo.
• La variación de es el conjunto que agrupa a todos los
valores de cuando x varía en A.
• El problema consiste en hallar la variación de f(x).
x g [a; +°o) <
-» x > a
í
Cuando operamos con des
igualdades hay que aplicar sus
propiedades para no incurrir en
errores.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-319-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
VÍ^^Ss^iMKiá^3s£Ái^> &*z.#3kr¿x±i'•.■»iX'v.. -
Aplicación 3
Halle la variación de fM=5x+1 cuando x e (2; 3].
Resolución
Formamos fM a partir de los valores de x.
Lumbreras Editores
.vi ¿Ste (I ' . i t i ' .
2 < x< 3
10 < 5x< 15
11<5x-f-1<16>
fM e (11; 16]
Graficamos
Si 2016x+1 G <
1; 2), determine la
variación de x+2016.
* .L .- .- J
^ — 4 ] 16
Por lo tanto, el conjunto que agrupa a los valores de f[x) es el
intervalo (11; 16], ei cual representa su variación.
5.1. Cuando umpoíinomio lineal , •
'
Para hallar la variación de f(x)
Propiedades
• Cuando se suma o se resta un número a una desigualdad,
esta mantiene su sentido.
• Cuando se multiplica o divide por un número positivo a
una desigualdad, esta mantiene su sentido.
• Cuando se multiplica o divide por un número negativo a
una desigualdad, esta cambia de sentido.
Aplicación 4
Halle la variación de f^=-Sx+2 si x e (-4; 5].
Resolución
Formamos a partir de los valores de y.
-4 < x < 5
(-5)(-4) > (—
5)(x) > (-5)(5)
Observamos que cambió el sentido de la desigualdad debido a
que hemos multiplicado por un número negativo.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-320-320.jpg)
![Operamos
20> -5x> -25
j
2 2 > - S x + 2 >-23
-23<-5x +2<22
Graficamos
->ó-
T7
Por lo tanto, la variación de es [-23; 22).
A p l i c a c i ó n 5 ' " ■
k
x - S
Halle la suma de valores enteros de g ,x) =—
-—si x e (-1; 13]
f J0&'J m ? - % v 1 12#%
R e s o l u c i ó n
<
'
Formamos f S a partir de los valores de x.
-1 <x< 13
- 6 < x - 5 < 8
%
■
!
6 x - 5 %
----< < —
2 2 2
- 3 < P m ¿ 4
Graficamos
Para hallar la variación de una
expresión fraccionaria, esta
debe expresarse conveniente
mente.
Ejemplos
^ 5x +2 Í 5x +2
x +1 l X +']
5x+2_ ^ +2 - ^ - 5
x +1 x +1 +
5x +2
x +t
-3
x + 1
+5
6 x+2
x +4
6x +2
x +4
+6
6x+2 f r ú + 2 - 0 - 2 4 „
----------- - = --------------------------------------------- +6
x+ 4 x+4
6x+ 2 -22 r
------ =------+6
x +4 x+ 4
La variación de es (-3; A).
Los valores enteros de g (x) son -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
El extremo -3 no cuenta porque está abierto, pero el extremo
4 sí porque está cerrado.
... + jyí) + / + / + 3 + 4 = 7](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-321-320.jpg)
![Ejem p los
1 1
• O< x < 5 —
» —> -
x 5
• 0 < x < 6 —
> —>—
x 6
• 0 < x < - -+ x >2
2
Reto at saber
Si x e <2; 5>
, halle la variación de
12
x - 2
........................J
5.2. C u a n d o f , es una e x p re sió n fra c c io n a ria
Se podrá hallar la variación de cuando tenga la forma
/ _
/•v1-
a x + ó
ex+ d '
c±Q
entonces usaremos lo siguiente:
Propiedad.
Cuando tenemos a < x < b donde oyó tienen el mismo signo,
1 1 1
al invertir obtenemos
a x b
Con esta propiedad la desigualdad cambia de sentido.
A p l i c a c i ó n 6
2
Halle la variación de =— - si x e <
1
; 3).
,'Á?':/ X "
l O
fi
R e s o l u c i ó n
Formamos fw a partir de los valores de x.
x e (1; 3)-. y Cf ", ,... ; ’
1< x < 3
6 <x+5 < 8
Invertimos
6 x +5 8
] X2
2 2 2 /
- > ------ > -
6 x+5 8
Observamos que cambió el sentido de la desigualdad.
Luego
1 1
í 2 2
^7 < —--- < —
7
JA x +5 fS
4 3
1 / 1
4 < Ó ) < I
Por lo tanto, la variación de f{x) es](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-322-320.jpg)
![Capítulo 8 Desigualdades
A p l ic a c ió n 7
3x+1
Halle la variación de =----- si x e (3; 5].
X “ u
Invertimos y cambiamos el sentido de la
desigualdad.
1 1 1
- > ------> -
1 x - 2 3
R e s o l u c ió n
A la expresión le restamos el coeficiente
principal de x en el numerador, el cual es 3, y
para que no se altere, también le sumamos la
misma cantidad.
x - 2 3
10>— +3> —+3
x - 2 3
/
7 . /
3x4-1
Tenemos
fw= x-2
Restamos y sumamos 3.
— <— — f
-3 < 10
3 x - 2
3X +1
X -2
¡/ ¿v
sjg
sg
í' V
i
É Wr A %
.
% Ê f rjè^ Æ - I
J*4'' Por lo tanto, la variación de fM es
-3 4-3
w Æip'
*açr £
f /
f ; ’0
Operamos
^ 4 -1 -^ 4 -6
Aplicación 8
T ¿
_V
I %¡g? + -c?- ^
, ,íwjAíHaÍle:la variación de í , . =-----— si x e (1; 2l.
V a ✓ • O * +1
... .¿if -y.
5X4-3
f(x) - '
kx) x_2
x -2
4-3
+3
W '
R e s o l u c i ó n
’:-v.
Restamos y sumamos 5 a f[x).
Hemos conseguido eliminar la variable x del i
numerador, ahora se encuentra en el denomi- •
;
nador. Ahora, formaremos fM a partir de los i
valores de x. j
Tenem os que x e <
3; 5].
3 <x^ 5
1< x-2 <3^
f[x) ~
kx)~
5x4-3
-5
X4-1 ‘
+5
5 ¿ + 3 - & í- 5
hx)~ x +1
x+1
+5
+5
Form am os fw a partir de los valores de x.
1 < X £ 2
2 <X4-1 <3](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-323-320.jpg)
![Capítulo 8 Desigualdades
Formamos a partir de los valores de x.
-4 <x <-3
- 4 + ! < x + f < - 3 + -
'..2 2 v_2
5 3 3
-~ < x+ -< ---
2 2 2
:
í - 3 ' 2
l 2.
I 3Ÿ
T + 2,
' - - i
, 2,
Operamos
3
x +-
2
2 )
25
9 f 3 Y 25
—<2 x + - <—
2 l 2 2
9 1 3
.2 2 l 2;
2
1 25 1 ,
H
— < 1
—
2 2 2
5
5 < f(x) < 13
/(x)e <
5' 13>
A p l ic a c ió n 11
Halle la variación de fM = -x ¿ - 6 x +1
si xe(-5; 0).
R e s o l u c ió n
Expresamos f{x) convenientemente.
/w = -(x2+6x - l)
^ )= -í y2+6y+( ! ) - ( ! ) - 1
,
V
/Jx, = - { x 2 + 6 x + 9 - 9-l)
fM=-(jf+3)2+10
io
Formamos fM a partir de los valores de x.
-5 <x< 0
-2 <x+3 < 3
Elevamos al cuadrado y como los extremos
son de signos contrarios tendremos
0 < (x+3)2< 9
0 >-(x+3)2>-9
10 >-(x+3r+10 >1
+ 10
1<f(,)<10
Por lo tanto, la variación de f[x] es (1; 10].
6. P R O B LEM A S S O B R E M A X IM O S Y
M ÍN IM O S
Para resolver este tipo de problemas, tenemos:
P ro p ied ad es
a. r > u; x e R
~i
J
Esta propiedad indica que x2 solo puede
ser positivo o cero, pero en ningún caso
negativo.
También significa que el mínimo valor de
x2 es igual a cero.
b. S l Z z t á - . o . b e
L 2
Esta propiedad, conocida como desigual
dad de las medias, indica que la media
aritmética de o y ó que es es mayor o
igual que su media geométrica que es Ja b .
__________](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-327-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Sea la cuadrática
P^ =ax2+bx+c, donde x e R
1. Cuando a > 0, P(x) tiene un
mínimo, el cual es P(_b,
2. Cuando a < 0, tiene un
máximo, el cual es P , by
i.2o
J •
Ejemplo
P(x)=Vx2+4x+7;xe R
Como t?=1 >0, P(x) tiene un
valor mínimo el cual se calcula
como;
-P t
Mmín -4
2(1
)
^ w = p(- 2)
w , = 1<-2)2+4(- 2)+7
A p l ic a c ió n 12
Halle el mínimo valor de f^ = x ¿ + 8 x + 5 si x e R.
R e s o l u c ió n
Completamos cuadrados.
/m = x 2 + 8 x +
b J
l'8'l
U J
+5
f{'<) ~ F 2 + 8x h- 16-16 + 5
f [x]= {x + 4 )2 - 1
1
Como x e R, entonces (x + 4 )¿ > 0.
Luego
(X + 4)2 > 0 , |
(x +4)2-11>0-11
^ ........v J
í .>-%
vv
Graficamos
/ • #
■#
M
:Á
í % .
> X
1 / < 6 * ^
..
* c - % i *
Observamos que/^ varía en el intervalo [-11; +00).
Por lo tanto, el mínimo valor de es -11.
A p l ic a c ió n 13
Halle el máximo valor de f^ = ~ x ¿ + lOx-h3 si x e R.
R e s o l u c ió n
Completamos cuadrados
fM = - x 2 + 10x+3
f{x)= - (> c - 10x-3)
hx) = "
f
fiof (iof _
x2-10x+ — - — -3
V I 2 ; V 2 ; J](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-328-320.jpg)
![fM = - ( x 2 - IOx+25- 25- 3)
(JÍ-5Y
fM= -(x-5 )2+28
Como x e R, entonces (x-5)2>0.
(*-5 )2>0
- (x -5 )2<0
- (x -5 )2 +28<28
fM -
28
Gfatica mos
A
S.-y l
■
■
a: '(;W' /y'& ■
■
■
1 28
Observamos que/^ varía en (-«»; 28].
W J m A / __ ¿{y.l
Por lo tanto, él máximo valor de es 28. -
* -
v
A p l i c a c i ó n 14 ¿ X r J '
Si xy= 9, con x; y e R +, halle el mínimo valor de x+y.
R e s o l u c i ó n
Como x y y son positivos, aplicaremos la desigualdad de las
medias.
Tenemos que
Como xy= 9, entonces
^ > V 9
2
x + y 2:3
2 -
x+ y ^ 6
Otra desigualdad muy útil en los
problemas de máximos o míni
mos es la siguiente:
Para
Lo que implica que para x>0,
x +—
, como mínimo es 2.
x
o
Halle el mínimo valor de
2 7 7 2 2 2
r x + y x“ +z y ¿ + z¿
xy xz yz
si x ; y z e R +
.
Por lo tanto, el mínimo valor de x+ y es 6.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-329-320.jpg)
![R ES O LV EM O S JU STO S
Problema N.* 1
_______________________
Indique cuántas proposiciones son correctas.
I. 8 <8 IV.—
6 >—
5
II. 9 >11 v . ^ < $
III. i > I
5 7
V. Correcta
La proposición y¡2 < /3 es correcta, ya que
. si elevamos al exponente 12 obtenemos
24<33 o 16 <27
verdadero ......
; C/ove i r: /
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
Resolución
I. Correcta
En la proposición 8 <8se cumple una de las
dos posibilidades. En este caso sí se cumple
la igualdad. | J
J
II. Incorrecta
En 9 > 1
1 no se cumple ninguna de las dos
posibilidades.
Incorrecta % %
En la proposición observamos que
^(3)(7)>(5K5)
5 7 _
. falso
Problema M.° 2___________________________ __
Indique la secuencia correcta de verdadero (V)
o falso (F) respecto a las siguientes proposi
ciones:
I. [2; 6]={2; 3; 4; 5; 6}
II. 3 e (3; 5]
III. 7 e [7; 9}
IV. (3;;+oo)'={xe R / x > 3}
A) VFW B) VVVF C) FVVF
D). FVFV E) FFW
Resolución
I. Falsa
El intervalo [2; 6] agrupa a todos los nú
meros reales comprendidos entre 2 y 6,
incluyendo estos extremos. Es un error
muy común contar solo los enteros y olvi
darse de los demás números reales.
IV . I n c o r r e c t a
La p r o p o s ic ió n -6>-5, es in c o rre c ta , ya
q u e al u b ic a r en la re c ta te n e m o s
El número que está ubicado en el extremo
izquierdo es menor, por ende, lo correcto
será -6 < -5 .
M
-----•---♦—
--•-----•-----♦.....*
2 3 4 J 5 } 6
En el intervalo [2; 6] no solo están los
números enteros 2; 3; 4; 5 y 6. También
hay decimales como 4,1 o 5,4 por nombrar
algunos. Al contar los decimales notamos
que hay infinitos números reales en este
intervalo.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-334-320.jpg)
![II. Falsa
El intervalo <
3; 5] está abierto en 3, lo cual
significa que 3 no pertenece a este intervalo.
III. Verdadera
El intervalo [7; 9) está cerrado en 7, lo cual
significa que 7 pertenece a este intervalo.
IV. Verdadera
El intervalo <
3; +
<
*>
) agrupa a los números
reales que son mayores que 3 y simbólica
mente se expresa como {* e R/x >3}.
C la ve
Problema N.'
■
%
>
Sean los intervalos A ={-<*>] 5] y B = (0;"+°°)^ |
Halle la suma de los elementosyenteros de J
A n B.
w
Problema N.‘ h
Sean los conjuntos
/4={xe R/5 <x< 9}
B={x<= R / 2 < x < 7 )
Calcule A - B .
A) (2; 5)
D) <
7; 9)
B) [7; 9) C) <
5; 9)
E) (2; 9)
En el conjunto A , tenemos
A = { x e R./5 <x < 9}=[5; 9)
-----1
—
•.. / ' |
&^ $
En el. conjunto B, tenemos
A) 14
D) 15
Reooladón
B) 10 C) 12
E) 20
S=(xeR/2 <x< 7}={2; 7)
’ ‘ v , .<
¿ k ^
Importante
1+2+3+...+/
7=
á
i
»
n(n +1)
Calculamos Á n B.
Calculamos A - B .
A n B = (0; 5]
Sus elementos enteros son 1; 2; 3; 4; 5.
(5)(6)
,% 1+2+3+4+5= =15
El conjunto A - B es lo que queda en A, luego
de quitar B.
El extremo 7 está abierto en B, pero en A - B
será cerrado. Esta es una regla que se cumple
cuando se hace la diferencia de intervalos.
A -B = [7 ; 9)
Clave Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-335-320.jpg)
![Halle >4-6 si se sabe que
A = { x + 1e R /-3 <x< 5}
6={2x+10e R / - 3 < x < 5 }
A) [2; 5
>
D) (-4; 4)
B) (-2; 5] C) [-2:4]
E) [-2; 4)
Sean los conjuntos
A = (3; 5]
B = [7;10>
C=[4; 9)
Calcule el número de elementos enteros de
(4 u 6) n C.
Resolución A) 5 B) 3 C) 6
En el conjunto
A = { x +1e R /-3 <*< 5}
D) 4 E) 7
debemos calcolar x+1.
-3 <x< 5
Hallamos 4 u B.
1
- 2 < x+1 < 6
4=[-2; 6) '
En el conjunto
8 = {2 x+ 1 0 g R / - 3 <x <5}
debemos calcular 2x+10.
- 3 < x < 5
- 6 < 2x < 10
4 < 2x+10 < 20
6=[4; 20)
Calculamos A - B .
f¡ ■ %;
l á w , í ■ 1;
dm?? X•
>
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'V ,.v. ;
I# - Kk''/
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4
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■
v
? f .•4 u 6=<3; 5] u [7; 10)
-
■
# ... i J
«
Calcularnos (4u 6) n C.
' .
J
(4 u 6) n C=[4; 5] u [7; 9
>
Por lo tanto, hay 4 elementos enteros que son
4; 5; 7 y 8.
C la v e
20
Problema N. 7
Si 4=(2; 10) y 8=(8; 14), calcule (4-8)c u 4.
4 -£ M -2 ;4 >
Clave
A) <
2; 8] B) <
0; 8]
D) (2; 14)
C) R-{2)
E) R
l](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-336-320.jpg)
![Capítulo 8 Desigualdades
Resolución
Calculamos A - B .
A
B
10 14
A - B = ( 2; 8]
•cerraao en 3
Calculamos (A - B ) c .
A - B
y---------------
2
¡á
Z------------->
( A - B y
JtémP/A
¿‘¿i/ .4%
» »
• .í> .
.
Al calcular el complemento, observamos que
^ ¿ W $
X ' Jm f ¿
v v y
los extremos cambian.
( A - B ) c = ( - co; 2] u <
8; +~)
Calculamos ( / 4 - f lf u A
A
' 'A’ y
r
y
,r
/
ífc
-
¥
'-
'
f V%
¡
(A-8)C
<
>
---— --------- %
M
—------— <
—CO ¿ 8 10 +~
•. ( A - B ) c u A=<-°°; -h»)=R
Clave
Problema N.' B
Calcule la suma de los elementos enteros de
A - B si A = ( - n ; 2 n ] y fl =(-V2; V I).
Resolución
Calculamos A-5.
A
A - B = ( - n ; -V 2 J u[V2; 2te]
Ubicamos los elementos enteros de A-8.
A-5 A-e
o----------------© • ---------------♦
*71 '3 - 2 -V 2 T Í' 2 3 4 5 6 2n
-3.14/ia%a' S Lt,‘n... M
#ios elementos enteros de A - B son -3; -2; 2;
3; 4; 5; 6.
1 ' S .X J r
+ (^2) + ^ + X +4 +5+ 6 = 15
C la v e
Problema M
.’ 9
Sean los intervalos
A ={ xeR/ 2<í± 5 }
fí={x e R /-7 <2x-3 <13}
Halle la longitud de A n B.
C) 21
E) 12
A) 9
D) 6
B) 8
A) 18
D) 16
B) 15 C) 13
E) 7](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-337-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
En el conjunto A, tenemos
Problema N.' 10
2<
x + S
Operamos
6 < x + S
6-5 <*
1 < x *> 1
Gráficamos
Sean los conjuntos
A = { x e R / 2 x + 1 > 3 a 3x - 4 < 8 }
fl=|3*+1eRy/|e/lj
Halle el número de elementos enteros de B.
B) 15
.:•
•
1 +oo
A=(1; +oo)
En el conjunto B, tenemos
-7<2x-3<13
-4 < 2x< 16
-2 < x < 8
Gráficamos
■ B
+3
j. •
;
| * "i
t
W j É F !
y
_ 9
#C.%
5=(-2; 8]
Calculamos A n B.
A) 18
D) 20
Resolución
En el conjunto A, tenemos
2^+1>3 a 3x-4<8
2 x > 2 a 3* <12
*>1 a x < 4
<
<
•4
A=<1; 4]
„ w'jr
%
|mjel conjunto B, tenemos
S = j3 x +1 e R / | e 4
f ,w
*
’
fí
¡>
— -------------------------
’ A
. _ r ■ '
_ 2 1 8 +°°
A n B=(1; 8]
Debemos calcular la longitud de A n B, la cual
obtenemos si restamos los extremos.
C (A -B )= 8 -1 = 7
P o r lo tanto, la longitud de A n Be s 7.
Clave
)<2
h
C) 16
E) 15
Hallamos 3x+1.
* A
£A
¿ e ( i ; 4 ]
1<—<4
2
2 < x< 8
6 <3x <24
7 <3x+1 <25‘
B = (7; 25]
Los elementos enteros de B son 8;9; 10;...;25.
'------ -----
---/
Por lo tanto, B tiene 18 elementos enteros.
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-338-320.jpg)
![Problema N." 1
1
Si x e (-2; 5], halle la variación de
f _15-3x
'<*>----- T ~ - .
Problema 12
Si x e [1; 3), halle el número de valores enteros
, f _ 24
de f(y -
{x) 2x + Y
A)
2 . 5 '
4 '4 ;
B) [0; 5) C)
0
1 H E) (0;
21
Resolución
Formamos f {x) a partir de los valores de x.
-2 <x< 5
6 >-3x> -15
21 >15-3x> 0
21 15-3x
— > -------- >0
4 4
/ { - 3)
415
- 4
.af
JT
/'i %
X
)
Luego
21
4
, 21
° - f e < 4
Graficamos
. J i
21
4
Por lo tanto, la variación de f{x) es 0;
21'
4/
Clave
A) 2
D) 3
B) 5 C) 4
E) 6
Resolución
Formamos f M a partir de los valores de x.
1<x< 3
2 < 2x< 6
3 <2x+1 <7
Invertimos
{
+
#
i 1
- -,
31 2Affi 7j %
ì;| 5 » > J | £ ^ 2 4 "
V * * 3 /~2x +1> 7
24
7
8 H x ì > —
24 ,
y < ^ ) - 8
Graficamos
24 4 5 6 7 8
7
1
3,4 .
Los valores enteros de f(v) son 4; 5; 6; 7; 8.
V
Y
Ü
Por lo tanto, /L toma 5 valores enteros.
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-339-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.’ 13
Halle la variación de f(x)=x2-4x+7
si x e (0; 5].
A) [0; 12]
D) [3; 12)
B) [7; 12] C) [4; 7]
E) [3; 12]
Resolución
Como es una cuadrática, debemos comple
tar cuadrados.
/
■
(x)=x2- 4 x +7
L , =* 2- 4X+4+3
(x~2)':-
fM=(x-2)2+3
Formamos /(x) a partir de lo| valorësd e x T |
0 <x< 5
r-'
-2 < x-2 < 3
- 2
Luego
0 < ( x - 2 f < 9
3< (x-2)2+3<12
Resolución
El conjunto A está formado por los valores de
, x+5
la expresión —-----.
x 2 -25
Simplificamos
x+5 . 1
x2-25 > f S ) ( x - 5 ) x -5
Tenemos que 8<x+2<9 y a partir de ahí
formamos — .
x-5
8 <x +2 <9
6 <x< 7
1 < x -5 .<2
Invertimos
v x y i
1 > -
+3
f
(X
)
%, IP
Por lo tanto, la variación de f{x) es [3;
i Clave
Problema N.‘ 14
Determine el equivalente del conjunto
A = i X+. L /8 < x +2<9]
í2 -25/
« CH
/ 1 r
D) 5'5/
B) 1;1, Q 1;1/
E
) ( B
a / „ O p
íi-5 2
1
•
%
^
1
- <
2 x-5
2 ;1y
<1
C lave
Problema N.’ 15
Determine la suma del máximo y mínimo
valor entero que puede tomar fM =
3x +5
x —
1
si
X E (2; 3>
.
A) 14
D) 18
B) 15 C) 16
E) 20](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-340-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
Problema N.* 17
S¡ X E
5 17
halle la longitud del intervalo
que representa la variación de f(X) = ^ ■
3x-1
A) 2
D) —
2
B) f C) 4
0 f
Resolución
Expresamos f(x) convenientemente.
_ 3x-1
' { x ) ~ 2 x - 3 /
Restamos y sumamos -.
hx) b x - 3 ^ 2 7
Í T JÉ* i
+■
Simplificamos
0 ^ -2 - ^ +9 [ 3
^ )" (2x-3)(2) 2
7 3
^(*) 4x - 6 2
Tenemos que x e
formamos f{x).
5 17
-< x< —
2 2
10 < 4x <34
4 <4x-6 < 28
I Z j y a partir de ahí
Invertimos
1 > .
1 1
>
4 4x-6 28
1 > ^ - > L
4 4x-6 28
x 7
H >
7 3 7
+- > -
4x-6 2 . 4
La variación de f(x) es
'7.13
A ' 4 J
Debemos calcular la longitud de este intervalo
si restamos los extremos.
1 3 _ 7 = 6 = 3
*
*
* 4 A f y 4 ~ 2
I C la v e '-
. : )
¿
g y'y
' aA
j
&
's-
'V
~
. J*.!
*
%
,>
' 'T
Halle el máximo valor de
^x)= -x4+6x2 six e [-1; 1].
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
Resolución
Expresamos convenientemente.
fW = - x 4 - 6x2
Entonces
/ ¡x H * 4- 6*2)
/
■
m =- ( x 4 - 6 x2+ 9-9)
/m =4 x 2 -3 )2 +9](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-342-320.jpg)
![•‘r : j . là,; Invertimos
- KOOOOOOO»
No OLVIDE
1 1
x>m 0< —<—
x m
''-O
O
C
<
X
»X
;C
H
X
K
K
>
0
0
<
>
0
<
V
X
K
V
:>
C
O
O
*
>
X
V
D
<
0<
(x2 + 2r
.< 1
x 2
0 < — 1 — <-2
(x 2 +2) -1 3
Operamos
f- 1 1
M x2+1 • x2+3
f + 3 )-U ^ + l)
W ~ (x2+l)(x2+3)
(x) x4+4x2+3
Expresamos f,x) convenientemente.
° < ^ 5
Por lo tanto, el máximo valor de es -
C la v e
(x) (x4+4x2+4)-1
2
f(x) "
( x 2 + 2 ) 2 - 1
Como x e R, entonces x2>0.
; Problema W
;#2S
fi Si 2-x e(3;7j, halle la variación de x(x-2).
A) [3; 35) C 'B ) <
5; 35] C) (5; 35]
* : D) (-1; 35]
i Resolución
Hallamos x.
2 -x e <3; 7]
3 < 2 - x < 7
1 < - x < 5
-1>x>-5 *
E) <
3; 35]
x2>0
x 2 + 2 > 2
(x2+2)22 4
(x2+2)2-1> 3
x e [-5; -1)
Expresamos x(x-2) convenientemente.
x(x -2)=x2-2x
x(x-2) =x2-2x+1-1
V"“ 1 ^
x(x-2) =(x-1)2-1
. r
rjd](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-348-320.jpg)
![Formamos esta expresión a partir de los
valores de x.
x e [~5; -1)
-5 <x<-1
-6 <x-1 <-2
Elevamos al cuadrado.
. 4 < (x-1)2< 36
3 < (x-1)2-1 < 35
i i
xíx-2)
x(x-2) e (3; 35]
; C la v e
Problema 29
Sean los conjuntos
/4= | x - ^ j < 2 x +1<17j
fì =]x 2+—<x +2<4
Calcule >
4n B.
A) (5; 6)
D) [3; 7]
B) (4; 6)
Resolución
En el conjunto A , tenemos
11< 2x+1 < 17
; 1
10 <2x< 16
S <x <. 8
Formamos x - 1 .
4 <x-1 ^7
Cff' <
■
-
* 3
C) <
3; 6)
E) <
5; 7)
Entonces
A=(4; 7]
En el conjunto B, tenemos
3 <x+2 <4
1<x< 2 J
Formamos x2+2.
1 ^x2 < 4
3 < x2+2 < 6
Entonces
B = [3; 6)
Finalmente, calculamos/4 n B.
B
-------------*
, _____ k _____ —!_ _ L .
A r i fí=<4; 6}
r '
*
P ?¿;.ku t3 M.* 30
Calcule la suma de valores enteros de
, 3x +1 .
f(x)= ~r~C s i xe <2; 10).
C la v e
x —
1
A) 18
D) 15
B) 16 C) 12
E) 14
Resolución
Expresamos convenientemente.
f(x)~
3x4-1 ^
V x —
1
-3 +3
f ¥ x 4-1- +3
f(x) = --------- ------ +3
x —
1
x —
1
4-3](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-349-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
- ____________________________________________________________
Formamos a partir de los valores de x.
2 <x< 10
1 <x-1 <9
Invertimos
1 1
—<
9 x-1
<1
4 4 . ,
- < ---- <4
9 x-1
31 4 , 7 ;
9 x-1
31
9
r
Graficamos
3,4
•. 4 +5+6=15
r 1
I G 'tÉ k J
T
valores enteros deH
%
Problema N.° 31
C la v e ¿C
.........
#
S ¡ i l i 3. e (o; -Y halle la variación de/+1.
x +4 6/
A) [1; 10) B) [1; 6] C) [5; 10)
D) [6; 10) E) [3; 10)
Tenemos que
n x +3 5
0 < ------< -
x+4 6
„ x+3 . 5 .
- 1< ------------ 1< — 1
x + 4 6
Operamos
1 J + 3 - / - 4 ; 1
x + '4 6
i 1 1
- 1 c --------< —
x + 4 6
1> • v, > -
:x x -k4 6.
Invertimos J
- ,.1 <x+4 <6
-3 < x < 2
Hallamos la variación de x2+1.
0 ^x2<9
j
1 <^+1 <10
Por lo tanto, la variación de ^+1 es [1; 10).
C la v e](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-350-320.jpg)
![Indique cuántas proposiciones son verda
deras.
I. 5 > 2
II. -7 >-3
III. 9 <9
IV. 0 >-2
■A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 . E) 4
~ Indique verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
I I > ¿
4 6
. ,n
Q
S
;n
, f . ,gt
$ Ssw . •
II. i l i < 4 z
| ;í>
t€r .¡Mr
$03k j¡&.
I
III. -0,5>-3
'W
"
• ¿fjF
4
IV. -1 < --
3
A) VFVV
D) FVVV
B) FFVV C) VFfI ^
fe)., FVVF
3. Indique la secuencia correcta de verdadero
(V) o falso (F) según corresponda.
I. En el intervalo (2; 5) solo hay dos ele
mentos, que son 3 y 4.
II. El número 4 es un elemento de (4; 7].
III. El número 5 es un elemento de [5; 6).
IV. En el intervalo <
3; 4) hay infinitos núme
ros reales.
A) VFVF B) VFFV C) FFVV
D) FVVF E) VVFV
4. Sean los intervalos /4=[-2;7) y £=[3; 9].
Halle la suma de los elementos enteros de
A n B.
A) 18 B) 21 C) 15
D) 25 E) 28
! 5. Sean los intervalos
j A = (- Z ; 8)
i B = {- 5; 2]
Halle el número de elementos enteros de
i A n B.
ll A) 4/ % B
) 5 Q 6
ji t y a fc '? , E) 8
? ♦ ■
'if >
'
■
?«
g
s
*
.
Sean los conjuntos
A-{x-€ R / 2 <x <8}
ig
ji? 4/
B = {y g Z/5 <x <9)
Señale a qué es igual A n B.
A) [6; 7) B) [5; 8) C) [6; 8>
! • D) [6; 7] E) {6; 7}
Sean los conjuntos
; A={xe R/2 <x< 8}
B = { x e R/3 <x< 9}
C = {x e . R/5 <x< 10}
Halle A n B n C.
A) <
3; 10] B) <
5; 9)
! D) [2; 10)
C) <5;8>
E
) (3; 8
>](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-351-320.jpg)
![Sean los intervalos
/A=(—
°o; 7]; fi=(8; +oo)
Calcule Ac r>Bc.
A) (|)
D) [7; +oo)
B) (7; 8) C) [7; 8]
E) <
7; 8]
9. Sean los conjuntos
A=(1; 5]
B=(1; 6)
Calcule (A-8) u (8-A).
A) $
D) <
1
; 5)
B) <
1
; 6) ■
'
w d b '*
. ' ’ . áÉt 1
•fe#* /A-y í
■
-y.'
10. Dados los intervalos &
A =(-VS; 3te) y 8=[jc
; 2^),%,
halle el número de elementos enteros de
3
c %#
N
A
A n 8 c.
A) 10
D) 8
B) 1
1 C) 9
^
^.f*
Sftv. . ' ;ÍV
Si x e (-3 ;2 ), halle el número de valores
enteros de /Jx)=4x+1.
A) 20
D) 19
B) 21 C) 15
E) 18
. s¡ X e [ - 2 ; 1), halle la suma de valores
13-10x
enteros de g (x) = — -— •
Halle la variación de f(x)=5x+2
si (x+3) e <
1
; 2).
A) <~3; -2) B) <-8;-2> C) <-5;-2>
D) (-5;-3) E) (-8;-3 )
14. Si la variación de - ■
- es
halle la variación de x.
13 29
2 ‘ 2 ,
A) <-2;-1> B) (-3; -1] C) (-3;-2)
D) [-3; -1> E) <-3;-1>
.15. Sean los conjuntos
A={xg%/-1<5-2x<3}
R/2x+1 e A}
j-v
§
S ^
Calcule A - B .
r - ¿ 4 -
i •
»
^ > A) <
!
> B) <
1
; 2)
D) <
1
; 3)
C) <
0; 2)
E) <
1
; 2]
16. Sea el conjunto
A={x e R/x-5 >-1 a 3-2x > 1}
Halle su equivalente.
A) <
1
; 4)
D) <
1
; 4]
B) [1; 4) C) [1; 4]
E) ó
A) 115
D) 135
B) 125 C) 136
E) 120
20
17. Halle la variación de f{x) = -----si x e(1; 2].
3 x
Indique la suma de su mayor y menor valor
entero,
A) 30
D) 31
B) 32 C) 29
E) 28](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-352-320.jpg)
![18. Si f
1
2x+6
varía en el intervalo
_1_ 2
.12'2 J'
halle en qué intervalo varía x.
A) [-2; 2]
B) [-2; 3]
C) [-3; 2]
D) [-2;6]
E) [-3; 1]
22. La variación de f^ -2x2+ 6x -5 cuando
x c R e s [m; +°°). Calcule m.
19 15 ^ 13
A - V B - C “ T
2 2 2
_ 15 19
2
E) —
2
23. Calcule la longitud del intervalo de la varia
lo
dòn de — --------cuandox e (-5; -3).
x 2+4x +5
¡9 Halle la variación de
, 5x +2
'M =~ z ~ rSlxe <
4; 5>
-
x - 3
1 19 i_A: _ /13 ?27 I
A) 2 ;22/ A
)
B) y : f / C)
D) f J 2 2
20. La variación de f(x) =
3x +1
(x) 4x +3
%
A) 5
D) 8
B) 6 C) 4
E) 10
24, Indique qué proposiciones son correctas.
I. X jfe % <
H
> X < 2
fe # C/% 1 1 1
IL ^ 2 < X :< 3 ' <
->
2 x 3
W ü # “
O 2
0
1
5 o *<3
I ^
I
O ' 1 i
IV. 0 <x < 2 <
-> - ;—
X 2
cuando x e (0; 1), es (a; b).
V
X /
Calcule a+b.
A) — B) —
} 21 21
0 «
21
19
D) —
) 21
20
E) —
21
Determine la variación de f(y)=x2+8x+1 si
x e (-3; 0).
A) todas B) I y III C) I, II y III
D) solo III E) III y IV
25. Indique verdadero (V) o falso. (F) según
corresponda.
I. El mínimo valor de x2+6x es igual a -9.
II. El máximo valor de 4X-X2 es igual a 4.
III. El máximo valor d e—-— es iqual a 3.
x2+2 .
r
~
-
IV. El máximo valor de x2-8x es igual a 16.
A) [0; 1) B) <-3;1> C) <
1; 34)
D) <0; 1) E) (-14; 1
>
A) VVFF B) FVFV
D) VFVF
C) FFVV
E) VWF](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-353-320.jpg)
![. ¡ v •
-
9 .
Halle el mínimo valor de xa— si x e R +
x
A) 9
D) V3
B) 3 C) 6
3
E)
El mínimo valor de x-f---- cuando x>1
x —
1
es k. Calcule Ir-k .
A) 24
D) 20
B) 16 C) 18
E) 25
5ob
Halle el máximo valor de —----- cuando
a2+b2.
a, b e R .
A)
" * !
C) "5
E) 1
Halle el máximo valor de
f = 8
hx) 1+(x2+5)(x2+s)
A) 4
1
B) 2 C) 1
D) E)
Halle el máximo valor de E =
(x +1)(x +4)
cuando x e
«1 B) C ) 1
5
D ) 4
E) I
9
-': ; i* : 4
31. Si 2x+1 e (7; 9], halle la variación de 2-x.
A) (-2; 1) B) [-2; -1) C) (-2; 1]
D) [-1; 2) E) (-1; 2]
32. Si e [42; 56), halle el número de
x +1
valores enteros de x.
A) 14
D) 12
B) 10 C) 9
E) 1
1
Halle la variación de
x ¿ +5 .
x¿ +1
si x e [-2; 3).
A) ( | ; s
B> 2 ;5 c) H
D)
E) ( f ; 5
La variación de la expresión ^x ~
r^ es ^
a; p]
x - 2
cuando x e [3; 5). Calcule o
c+(3.
A) 16
32
B) 8 C) 10
D)
6 1
Halle el mínimo valor de la expresión
x2+2x+7 si x e (-5; 4).
A) 14
D) 6
B) 22 C) 7
E) 13](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-354-320.jpg)
![Inecuación
f’o olvida
Las desigualdades son:
• mayor que (>) 1
• menor que (<)
• mayor o igual que (>)]
• menor o igual que (<)J
1. CONCEPTO
Es una desigualdad en la que hay una incógnita, la cual gene
ralmente se representará con la letra x.
Ejemplos
. x +5> 2
. * 2 +i < i
• yJx+ 2 < X
. (x +3)(x +2) > 1
1.1. Objetivo en la inecuación
Hallar todos los valores de la incógnita que verifican la des
igualdad en la inecuación.
La desigualdad
5+3>7
no es una inecuación porque no
tiene una incógnita.
Debe haber una incógnita para
que se llame inecuación.
Ejemplos
1. En la inecuación 2x+5>13, debemos hallar los valores de x
que verifican la desigualdad.
Hallaremos dichos valores despejando x de la siguiente
manera:
2x+5>13
2x>13-5
2x>8
8
x >—
2
—
> x>4
Encontramos que los valores de x que son mayores que 4
verifican la desigualdad en la inecuación.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-358-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
2. En la inecuación x2<4 debemos hallar los valores de x
que verifiquen la desigualdad. Es decir, debemos encon
trar números que elevados al cuadrado resulten meno
res que 4 o iguales a 4. Dichos valores se observan en el
siguiente gráfico:
--- --- • ■— ■ - • — ■ ------ -
mayores que 4?
Son'infinitos números, ya que no
solo se cuentan los enteros, sino
también los números decimales,
los cuales representan números
racionales e irracionales.
Resolver una inecuación signi
fica hallar su conjunto solución
(CS), es decir, hallar todas sus
soluciones.
-
4
-—--- T-
- 2 - 1 0 1 2
v
_______________ v
--------------- ^
valores de a tales
q u e x ,:<4
El intervalo [-2; 2] agrupa a todos estos valores.
1.2. Solución y conjunto solución de una inecuación
Al valor de la incógnita que verifica la inecuación se le llama
solución de la»inecuación, y al conjunto que agrupa a todas
las soluciones se le llama conjunto solución de la inecuación.
%
' éW
' y ■
'
■■ y
Ejemplos §
1. En la inecuación del ejemplo anterior, 2x+5>13, encontra
mos que los valores de x que la verifican.son los valores de
x mayores que 4 (x>4). Estos valores de x son las solucio
nes de esta inecuación y el conjunto que las agrupa, que es
el intervalo <4; +<»), es su conjuntó solución.
%
Hallaremos las soluciones de la inecuación 2x+3<10 des
pejando x.
2x<10-3
2x<7
-> x < -
2
7
Los valores de x que sean iguales o menores que - verifican
la inecuación y por ello son sus soluciones.
V^o olvide
Cuando resuelva una inecuación, tome en cuenta que
el objetivo es que se verifique la desigualdad. No trate
a una Inecuación como si fuera una ecuación.
r](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-360-320.jpg)
![Tenemos los siguientes casos:
• Es una inecuación polinomial cuando
es un polinomio no constante.
• Es una inecuación fraccionaria cuando
es una expresión fraccionaria.
• Es una inecuación irracional cuando es
una expresión irracional.
Ejemplos
2x+3<0 (lineal)
x2+5x+1>0 (cuadrática)
x3+2x+1<0 (grado superior)
x4 +x +2>0 (grado superior)
/ a
x +3 .
----- <1
.*+ 5
/ jg-gr
í
$ ^ Éjrv' A
íranonir (expresión
con radicales)
También hay otros tipos de inecuaciones/
como aquellas que incluyen valor absoluto o
aquellas que incluyen logaritmos, las cuales se
tratarán en su respectivo capítulo.
En este capítulo solo trataremos las inecuacio
nes polinomiales y las fraccionarias.
2. INECUACIÓN LINEAL
Para a] b e R, con a±0, la inecuación lineal de
incógnita x es aquella de la forma
f a x +¿K 0 i
!_____ __„ J
x +1
+5>0
^ + *< 7
2 3
Método de resolución
Para resolver una inecuación lineal, seguire
mos el siguiente procedimiento:
1. Pasamos al primer miembro de la inecua
ción todos los términos que contengan a
la incógnita y al segundo miembro todo
lo demás.
2. Realizamos las operaciones correspondien
tes con el fin de despejar la incógnita de la
inecuación.
3. El conjunto de valores de la incógnita que
obtenemos es el conjunto solución de la
inecuación.
A p l ic a c ió n 7
Resuelva 2x+1<x+ 9.
R e s o l u c i ó n
El procedimiento para resolver una inecuación
lineal consiste en despejar*.
2x+1<x+9
2x-x<9-1
x<8
Su representación en la recta numérica es
Ejemplos
• 2x+S<0
Los valores de * menores que 8 son las solu
ciones de esta inecuación.
3x+7>0 CS=(-~;8>](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-364-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
—
—
------- _'i
Podemos ver esto en la siguiente tabla:
X x—
1 x -6 (x-1)(x-6)
X<1 - - (-)(-)=(+)
X=1 0 -5 (0)(—
5)=0
1<x<6 + - (+)(-)=(-)
x=6 5 0 (5)(0)=0
x>6 + + (+)(+)=(+)
Observe que la inecuación (x-6)(x-1)>0 se
verifica cuando x>6 o x<1.
Estos valores de x son las soluciones de esta
inecuación.
• En la siguiente tabla se pueden observar
los signos de los factores (x-a) y (x-p), y
de su producto, en cada zona.
X
i
x - a
-----
X-P (x-a)(x-P)
x < a I - (-)(-)=(+)
a < x < P + [ (+)(-)=(-)
-
x >(3 + - + (+)(+)=(+)
• Colocamos los signos de (x-a)(x-(3) en la
recta numérica (cada signo en su respecti
va zona).
Su representación en la recta
x<1
- ° ° 1 6
... CS=<—
°o; 1] u [6; +
o
o
>
a. Método de puntos críticos
Para resolver la inecuación cuadrática
(x-a)(x-(3)^ 0
aplicaremos el llamado método de puntos crí
ticos, que consiste en los siguientes pasos:
. Ubicamos a y p, que son las raíces de la
cuadrática, en la recta numérica. Para ello
supongamos que a < (3.
♦---- — — •— •
a p +
o
°
• Separamos la recta en tres zonas, como se
muestra a continuación:
< *
Si queremos resolver la inecuación
V (x-a)(x-p)<0, que significa que el pro
ducto debe ser negativo, elegimos la zona
con ese signo.
Entonces el intervalo (a; (3) será su con
junto solución.
Si queremos resolver la inecuación
(x-a)(x-(3)>0, donde el producto
(x-cc)(x-(3) debe ser positivo, elegimos las
zonas con ese signo.
.......... O 9
a p ■
*
•
«
»
Entonces el intervalo (-«>; a) u <P; +
<
»>será
su conjunto solución.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-368-320.jpg)
![Capítulo 9 Inecuaciones
"
•¿i
.'
Y si en lugar de las desigualdades estrictas
(< o >) tuviéramos las desigualdades no
estrictas (< o >), ocurriría lo mismo, con la
única diferencia que los extremos a y (3, en
lugar de ser abiertos, serían cerrados.
En síntesis, este método consiste en lo si
guiente:
(x-a )(x-(3 )£ 0
'---------V
---------'
p
' tV
)
Elegimos las zonas donde está el signo posi
tivo. Además, hay que incluir las raíces -7 y 4
como soluciones de la inecuación, así que di
chos extremos deben ser cerrados.
CS=(-oa;-7]u[4;+oo>
A p lic a c ió n 7
Resuelva x2-Zv-4< 0.
-f
-----—---- -
—
+
- C X > (y
(
3 . + «
P^ < 0 > CS—
(C
X
,‘ (3)
P(x) - 0 -> CS=[cc; [3]
- P(X
) > 0 —
> CS=(-°o; a)u(|3;+oo)
- P(/) > 0 CS=(-oo; a]u[p; +co)
A p l ic a c ió n 6
Resuelva x2+3x-28 > 0.
R e s o l u c ió n
Factorizamos con aspa simple.
x¿+ 3x-28 >0
x +7
x
R e s o l u c ió n
La cuadrática xz-2x-4 no puede factorizar-
se con aspa simple, así que la factorizaremos
usando la propiedad de diferencia de cua
drados.
x2-2x-4< 0
x 2- 2 x +1 -4 -1 < 0
V
-----v
------
(x-1)2-5<0
Expresamos 5 como V5 y reemplazamos.
(x -1)2-V 5 2 <0
v
diferencia de
cuadrados
(x -1 +V5) (x -1 - V5) <0
Se obtiene (x+7)(x-4)>0.
Aplicamos el método de puntos críticos.
Hallamos sus raíces.
x + 7 = 0 —
> x = -7 )
J
- raíces
x - 4 = 0 x = 4 J
Ubicamos estas raíces en la recta.
Aplicamos el método de puntos críticos.
Hallamos sus raíces.
x-1 +/5 =0 x =1 - V5](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-369-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Elegimos la zona con signo negativo, además,
será cerrado en los extremos.
••• CS= [l-V 5;1+ V 5]
b. Relación con el discriminante
Usamos el método de puntos críticos cuando
la cuadrática tiene raíces reales y diferentes.
Este tipo de raíces está relacionado con el dis
criminante de la cuadrática (A) mediante la si
guiente propiedad:
Raíces reales y diferentes A > 0
c. Otra forma de hallar las raíces
Cuando factorizamos una cuadrática con aspa
simple o con diferencia de cuadrados, lo hace
mos con el fin de hallar las raíces (que en este
caso son reales y diferentes).
Sin embargo, tenemos otra alternativa que es
hallar las raíces usando la fórmula general de
la cuadrática, la cual es
- j v 'w *
- b ± J A Xv^
x - ----------
2 o
____________ /
Calculamos el discriminante.
A=(-2)2-4(1)(-4)
A=20
Como A > 0, usamos la fórmula general de la
cuadrática para hallar las raíces.
-(-2)± V20
-------------
2(1
)
2
De este modo obtenemos las raíces 1+V5 y
1->/5 directamente. Luego aplicamos el méto
do de puntos críticos y obtenemos el conjunto
solución [ í -7 5 ; I+V5].
A p lic a c ió n 9
Resuelva x2-3x+'] > 0.
R e s o l u c i ó n
Hallamos su discriminante.
A=(-3)2-4(1)(1)
-> A=5
Como A > 0, usamos la fórmula general de la
cuadrática para calcular las raíces.
Usaremos esta fórmula solo cuando el discri
minante es positivo (A=0).
_ -(-3)±V5 3±V¡
2 2
Aplicamos el método de puntos críticos.
A p l ic a c ió n 8
En el ejemplo anterior, las raíces se pueden ob
tener directamente usando la fórmula general.
Tenemos que
x2-2x -4 < 0
i , C S = (~ ;3- ^ ] u
4. 2 J
3+V5](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-370-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
A p l ic a c ió n 17
Resuelva la inecuación 3x*-2x+8 > 0.
R e s o l u c ió n
Calculamos el discriminante.
A=(-2)2-4(3)(8)=-92
El coeficiente principal es a=3.
Como a > 0 y A < 0, entonces la cuadrática
3xz-2x+8 es de signo positivo para todox e R.
En la inecuación buscamos que 3x2-2x+8 sea
mayor que cero, es decir, positivo, lo cual ocu
rre para todo valor real de x.
CS=R
Lumbreras Editores
A p l ic a c ió n 18
Halle la variación de m si x2+6x+/r? > 0; Vx e R .
R e s o lu c ió n
La relación x¿+6x+m>0'l V x e R, se cumple
si y solo si
£
7=1>0 A A < 0
Resolvamos A < 0.
A=62-4(1)(m) < 0
36-4/77 < 0
4/77 >36 —
» m > 9
/. m e <9; +
<
*>
)
3,1.4.Resumen de.todos los^:asoj^ ^ ,A . j?
En el siguiente cuadro se resumen todos los casos que se presentan en una inecuación cuadrática.
' '' '3 f ------ .
•?.'»/ . 4) (»
1
Primer caso
A >0
PM=l*-a)t*-P)conayPrealésyd¡- .. Q cs=(;a; p)
ferentes (a<P). Usamos'el método-/ v
de puntos críticos. "c * CS-[a, p
]
PM>0 -» CS=(-oo; a>u(p;+
oo)
M
PMa0 CS=(— a] u tP; +°°)
• (x-a)2<0 -> CS=0
Segundo caso PMes un cuadrado perfecto. (x-a)2<0 CS={a}
>
ii
o
PM=(x-a)2
, dondeaeR. (x-a)2£ 0 -> CS=R
• (x-a)2>0 —
> CS=R-{a)
•
x2+mx +n>0 -> CS=R
• X2+
/7)X+/7^0 —
> CS=R
Debido al teorema del trinomio --v--—
'
Tercer caso
positivo, lacuadrática PM=x2+
/77x+
/7
A<0 es de signo positivo para todox e R.
x2+mx+n<0 -> C
S
=
<
>
v .
. ---v ■■
■ ■ ■
>
• x2+
/77x+n^0 -> C
S
=
<
>](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-376-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
'
Lumbreras Editores
Buscamos que el producto (x+1)(x-2)(x-3)
sea menor que cero (negativo), y esto ocurre
cuandox<-1 v 2<x<3.
Estos valores de x son las soluciones de la
inecuación (x+1)(x-2)(x-3)<0.
••• CS=(-oo; -1>u<2; 3>
4.1. Método de puntos críticos
Para resolver la inecuación
(x - a )(x - b )(x - c )^ 0
-------------------- >
p
donde a; by c son las raíces reales y diferentes
de P{x]l procedemos de la siguiente manera:
1. Ubicamos estas raíces en la recta numérica,
la cual quedará dividida en cuatro zonas.
Supondremos que a<b<c.
a -.X<b a >c
------
<
------ -
—
oo o b _
c ^
:o
o
x a b<x< c
En cada zona analizamos
,;v
os signos
producto (x-o)(x-ó)(x-c).
x<a
(x - a)(x-b ) Cx-c) =(-)
H H H
a<x<b
(x - a)(x-ó ) (x -c ) =(+)
(‘) (-) (-)
b<x<c
(x-o ) (x-b ) (x -c ) =(-)
( r ) [-)
x>c
( x - 0)(X-Ò) (x -c ) =(+)
3. En la recta numérica, ubicamos los signos
del producto (x-a)(x-¿0(x-c), cada signo
en su respectiva zona.
4. Luego, dependiendo del tipo de desi
gualdad, se presentan las siguientes posi
bilidades:
5:
A
O
zona con signo
(-) y abierto
CS=(-°°; a)u(b; c>
~
o
IA
O zona con signo
(-) y cerrado
C S = (-°o ; a]u [b; c]
PM>°
zona .con signo
(+) y abierto
CS=(o; b)u(c; +°°)
PM*°
zona con signo
(+) y cerrado
CS=[a; b]u[c; +“ )
A p l i c a c i ó n 2 0
Resuelva (x-2)(x-5)(x+4)>0.
R e s o l u c i ó n
Hallamos las raíces
x - 2 =0 -> x =2
x -5 =0 -> x =5
x+ 4= 0 x = -4
Aplicamos el método de puntos críticos.
Debido al tipo de desigualdad, elegimos las
zonas con signo (+); además, los extremos
-4; 2 y 5 serán cerrados.
CS=[-4;2]u[5;+oo>](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-378-320.jpg)
![Capítulo 9 Inecuaciones
A p l ic a c ió n 21
Resuelva (x-3)(x+2)(x-5)(x+7)<0.
R e s o lu c ió n
Hallamos las raíces.
x - 3 =0 —
> x =3
x +2 =0 -> x =-2
o
ii
LD
I
—
> x =5
x +7 =0 —
> x =-7
Aplicamos el método de puntos críticos.
Debido al tipo de desigualdad, elegimos las
zonas con signo (-); además, los extremos -7;
-2; 9 y 5 serán abiertos.
/. CS=(-7; -2 ) u (3; 5)
-4.2. Casos especiales
Para la inecuación polinomial de grado supe
rior PM^0, tendremos los siguientes casos:
4.2.1. Cuando Píx) tiene un factor positivo
Supongamos que P(x) se factoriza como
p (x)=f(x )'3 (x y donde f(x) es un factor de p (xy que
es de signo positivo para todo x e R.
Para resolver la inecuación 0, usamos
la siguiente propiedad:
Esta propiedad indica que el factor positivo f{x)
se cancelará.
A p l i c a c i ó n 22
Resuelva (x2+S){x-2)<0.
R e s o l u c i ó n
Como ^+5 es un factor positivo (es positivo
para todoxe R), entonces lo cancelamos de la
siguiente manera:
ix H s ]{x - 2 )< 0
Nos queda x-2<0, de donde se obtiene x<2.
Su conjunto solución es 2>.
A p l i c a c i ó n 23
Resuelva (x2-2x+6)(x2-3x+2)>0.
R e s o l u c i ó n
El factor x2-2x+6 es de signo positivo para
todo x e R, debido al teorema del trinomio
positivo.
Entonces cancelamos este factor.
(+
)
Nos queda x2-3x+2>0.
Lo factorizamos con aspa simple.
% ¿0 |
i-------------i
t Somantiene
el sentirlo.
x2- 3x + 2 > 0
-1
(x-2)(x-1)>0](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-379-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicamos el método de puntos críticos.
1 2 -
-
-
CS=(—
©
o
; 1] u [2; -reo)
4.2.2.Cuando P .. tiene un factor con expo
nente impar
Supongamos que P(x. se íactoriza como
P(X
)=[(/w)]n-g(x), donde n es impar.
Para resolver la inecuación > 0, usamos la
siguiente propiedad:
Esta propiedad indica que cancelaremos el
exponente impar. Es válido también oara las
otras desigualdades (<, <y>).
A p l ic a c ió n 24
Resuelva (x-3)'(x-2)< 0.
R e s o l u c ió n
El factor (x-3)5 tiene exponente impar.
(x-3 )V -2 )< 0
Cancelamos dicho exponente y queda
(x—
3)(>
r—
2) <0
Luego, usamos el método de puntos críticos.
A p l ic a c ió n 25
Resuelva (x-2)5(x-4)7(x+2)>0.
R e s o l u c ió n
Cancelamos los exponentes impares de los
i factores (x-2)5 y (x-4)7, y tenemos que
(x- 2)(x- 4)(x+ 2) >0
: Aplicamos el método de puntos críticos.
CS=[-2; 2] kj [4; r » )
Supongamos que P!x) se factoriza como
; PM=(/r
w)n-<
?W
J donde n es par. Se presentarán
dos situaciones dependiendo de si la desigual-
: dad en la inecuación es estricta o no.
: a. Desigualdad estricta ' - o >
)
Usamos la siguiente propiedad:
<0 ^ r
Esta propiedad indica que cancelaremos el
factor con exponente par.
Para la desigualdad > procedemos de modo
similar.
A p l ic a c ió n 26
Resuelva (x-3r(x-8)< 0.
R e s o lu c ió n
Cancelamos (x-3)4 porque tiene exponente par
y queda (x-8)<0, de donde se obtiene x<8.
/. CS=(2; 3)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-380-320.jpg)
![Además, ponemos la condición x^3, ya que si
x=3, la inecuación no se verifica.
x-3=0 v x-5> 0
x=3 v x>5
CS=(-o=; 8>
—
{3}
A p l ic a c ió n 27
Resuelva (x -6)8(x -5)>0.
R e s o l u c i ó n
Tenemos que
(*76) (x-5)>0
x-6^ 0 a x-5> 0
x ^ 6 a x>5
6
CS=<5;+oo>-{6}
a. Desigualdad no estricta .(< o >)
Usamos la siguiente propiedad:
Para la desigualdad > procedemos de modo
similar.
A plicac ió n 2 8
Resuelva (x-3)4(x-5)>0.
Re s o lu c ió n
Tenemos que
p.ir „
(x-Z)(x-S)>0
CS =[5 ;+ -)u {3 }
Aplicación 29
Resuelva (x-5)6(x-3)<0.
Resolución
Tenemos que
(* 7 8 ) (* - 3 )< 0
x-S= 0 v x-3< 0
x=5 v x<3
CS=(-=o; 3] u {5}
2. INECUACIÓN FRACCIONARIA
Una inecuación fraccionaria tiene la forma
P
Q
donde P(x) y Q(x) son polinomios, y Q{x] es no
constante.
Método de resolución
• Ponemos la condición Qw *0.
• Factorizamos Pw y Q^, y luego procede
mos de modo similar a la resolución de la
inecuación polinomial.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-381-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
A p lic a c ió n 30
Resuelva la inecuación
x 2-3 x +2 n
----------- — < 0 .
x - 5
R e s o l u c ió n
Ponemos la condición x-5^ 0, de donde x a 5.
Luego factorizamos y obtenemos
(x -1)(x - 2 ) ^ q
x -5
Hallamos las raíces de los polinomios, tanto
del numerador como del denominador.
X
1
II
o
—
> X = 1
x - 2 = 0 —
>
C
J
II
X
►
r7
i:.es ¿ r
o
II
LD
1
X
—
> x =5 / A .>
Aplicamos el método de puntos críticos.
Luego tenemos en cuenta lo siguiente:
• Como x*5, entonces en 5 será abierto.
• Como la desigualdad es no estricta (^), los
extremos 1y 2 serán cerrados.
• Como la desigualdad es < elegimos las
zonas con signo (-).
CS=<— ; 1] u [2; 5>
A p l ic a c ió n 31
Resuelva la inecuación
x ^ 7 x ± É > 0 .
x 2 -9
R e s o l u c ió n
Ponemos la condición x2-9^0, de donde x*-3
y x a 3.
Lumbreras Editores
Factorizamos los polinomios del numerador y
el denominador.
. x2 - 7 x + 6=(x -6)(x -1)
• x2-9=(x +3)(x -3)
La inecuación queda como
(x -ÓKx - D ^q
(x+3)(x-3)
Hallamos las raíces, tanto en el numerador
como en el denominador.
x -6 =0
X
II
C
h
x-1 =0 —
> X =1
x +3 =0 —
>
X
II
I
(JU
o
ll
m
1
X
—
> x =3
Aplicamos el método de puntos críticos.
Tengamos en cuenta lo siguiente:
• Como x*3 y xst-3, los extremos 3 y -3
serán abiertos.
• Como la desigualdad > es no estricta, los
extremos 1y 6 serán cerrados.
• Como la desigualdad es >, elegimos las
zonas con signo (+).
CS=<-®®;-3) [1; 3>w [6; +««>
A p lic a c ió n 32
Resuelva la inecuación
x+5 x+1
x - 2 _ x +3 ‘](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-382-320.jpg)
![R e s o l u c ió n
Ponemos la condición x-2^ 0 y x+3*0, de
donde se obtiene x*2 y x^-3.
Pasamos todo al primer miembro.
x +5 x +1
x - 2 ~ x +3
x +5 x+1 0
------------- <0
x - 2 x+3
Operamos
(x +5)(x +3 )-(x-2 )(x +1)
(x-2)(x+ 3)
Hallamos las raíces.
17]
9x +17= 0 -+ x = ----
9
x - 2 =0 -> x =2
X+O= 0 —
> X —~0
Aplicamos el método de puntos críticos.
9x +17
(x-2 )(x +3)
<0 cs={—;- 3 )u
1. Construya un tablero como el que se muestra a continuación:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
2. Arme 12 fichas rectangulares de la siguiente manera:
En cada ficha habrá una inecuación que indicará uno de los números del tablero.
Ejemplo
Esta ficha indica el número 4.
Menor solución entera
de 2x +1>7
3. El juego consiste en resolver el problema que hay en cada ficha para luego ubicarla en la casilla
correspondiente en el tablero.
El juego es individual y se termina cuando se completa el tablero.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-383-320.jpg)
![RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N/ 1
Resuelva la inecuación
x-1 x+3 x-1
----- i----- <-----
B 2 6
A) <-°o;-2] B) [-2;+~>
D)
Resolución
Tenemos que
x-1 x -r3 x-1
---- ----- < -----
3 / 2 6
2(x-1)-i-3(x-r3)< x-1
jó ~ ,6
2 (x -1 )+ 3 (x + 3 ) < x-1
2x-2-r3x-¡-9<x-1
5x+7<x-l
Problema N.‘ 2_______________
Resuelva 2(x+3)-1 > 7(x+3) +2.
Resolución
Despejamos x en la inecuación.
2(x+3)-1 >7(x+3)-2
2x+6-1 >7x-r21-2
2a'-t 5 > 7a
"+19
2x-7x> 19-5
-Sx > 14
Para despejar x, debemos pasar a dividir el
coeficiente-5 al otro miembro; pero, como es
negativo, al hacerlo la desigualdad cambiará
de sentido.
r5 x> 14 (-5 pasa a dividir)
5x-*< -1-7
4x<-Q
—
> x<-2
La desigualdad cambia de sentido y se obtiene
. 14
x < ----
5
Su representación en la recta numérica es
Graficamos
CS=(-<»; -2]
’ Clave Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-385-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
! f A
. 'r- *-
Problema N.‘ 3
Resuelva la inecuación
5 - x x-10 . x
— —<------<4 —
2 3 3
e indique la suma de sus soluciones enteras.
A) 17 B) 38 C) 45
D) 27 E) 52
Resolución
Tenemos que
5 - x x-10 . x
----- <-------<4 —
2 3 3
5 - x x-10 x-10' x
----- < ---------- A —-— < 4 - —
2 3 . 3 3,
'-----------------------v ----------------------J v ’“
M
t
De (I)
5 - x x-10
----- < -------
Multiplicamos en aspa y tendremos
3(5-x) < 2(x—
10)
15-3x<2x-20
15+20<2x+3x
35<5x
x> 7 -> S1=<7;+oo>
De (II)
3 ~ 3
x-10 x . .
------ +—<4
3 3
x-10 +x
----------<4
3v y
2x-10<12
2x<22
x < 11 -> 52=<-°°; 11]
El conjunto solución se obtiene así:
CS=51n S2
O
... :■
, CS=(7; 11]
Las soluciones enteras son 8; 9; 10 y 11.
8+9+10+11=38
Clave
Problema N.‘ 4
La siguiente inecuación:
1 2
U(x - 1)+1 -1< -2
tiene como conjunto solución a (-«>; n].
Indique el valor de n.
A) -12
D) -15
B) -10 C) -30
E) -28](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-386-320.jpg)
![Capítulo 9 Inecuaciones
Resolución
Tenemos que
-1<-2
(
3V- (x - 1 )+1U - 2+1
1
n -(x-1)+1
3V4
<-1
-U-1)+1<(-1)(3)
( x _ 1 ) + 1 < _ 3
4
—(x —
1)<—
3—
1
4
—(x-1)< -4
4
x - 1<(-4)(4)
x-í< -16
x<-16+1
x <-15
Graficamos
1
-15
CS=<-c°; -15]=<-°°; n]
Por lo tanto, n es -15.
Clave
Problema N. 5
Halle la mayor solución entera de la inecuación
x x - 6 .
— + ------ < 2.
53 47
A) 53 B) 47
D) 46
Resolución
Tenemos que
x x-o _
— + --------- < 2
53 47
x
53
x-o
-1< 2 -1 -
x-53 A
'—
6—
47
53 47
x-53 . *-53
53 47
+
I
ro
I
L
T
»
i )
<0
<0
(x-53)< 0
C) 52
E) 42
Como x-53 debe ser negativo, entonces
x-53<0
—
> x<53
Por lo tanto, la mayor solución entera es 52.
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-387-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.* 6____________________________
Resuelva
x +3 , 3x +1
T +1<—
A) <10;+«) B) <21;+«) Q (24;+«)
D) <23;+oo) E) (15;+«)
Resolución
Operamos
x +3 . 3x+1
---- +1< -----
Problema N.’ 7
Resuelva el sistema
2* J *
A) [1; 3] 5)
[H> ° (
D) 2 E)
2 . L
(I)
(II)
x +3+2 3x +1 ^ .
---------<------
2 5
x +5 3x +1
----- < ------
2 5 ^ J
Multiplicamos en aspa.
5(x+5)<2(3x+1)
5x+25<6x+2
5x-6x<2-25
- x < -23
Multiplicamos por -1 y por ello cambia el sen
tido de la desigualdad, y se obtiene
x > 23
Su representación en la recta numérica es así:
______________L . -------- ~
+■----- - 23
Los valores de x mayores que 23 son sus
soluciones.
/. CS=<23; +«)
Clave
Resolvamos en (I).
x -2
2
< 3 -x
x-2<2(3-x)
x—
2<6-2x
x+2x<5 +2
3x<8
x <- —
» S, =
• 8 1
Resolvamos en (II).
2x 8x
---------s <-6 + —
3 3
c 8x
-5+6< —
3
2x
3
1<
6x
T
1<2x
1
x > -
2
u
j
|
c
o](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-388-320.jpg)
![Capitule 9 Inecuaciones
El conjunto solución del sistema se calcula
como
CS=51n S2
■
4
---- ------- L
2 3
j Clave .
Problema N.° 3
Considerando que b<0<a, resuelva la inecua
ción de incógnita x.
2b(x+2b)<a(a+x)
A) <-oo; a +2b]
B) (-«>; a-2b]
C) [a +2b; +°°>
D) [-a-2b;+°o)
E) [-a-b; +°°)
Resolución
Tenemos que
2b(x+2b)<a{a+x)
2bx+Ab2<a2+ax
2bx-ax<a2-Ab2
[2b-a)x< (a+2b)(a-2b)
Para despejar x debemos enviar 2b-a a dividir
al otro miembro. Para ello hay que saber cuál
es su signo.
Del dato se tiene que b<0 y a>0,
entonces 2b-a es negativo.
á i
Cuando un número negativo pasa al otro lado
a dividir, la desigualdad cambia de sentido.
Entonces
( 2 o - o)x< [a + 2b)(a - 2b)
' (a + 2 b ) ( a - 2 b )
x > --------------------
2 b - a
(a + 2 b ) £ b ^ a )
2-br^a
x > - a - 2 b
CS=[-o-2¿¡;+
=
<
>
>
Clave
Problema N. 9
Resuelva x2-2x-24<0.
A) [-4; 6] B) [-6; 4] C) [4; 6]
D) E) [-6 ;-4 ]
Resolución
Factorizamos la cuadrática con aspa simple.
xz-2 x-24 < 0
Se obtiene (x-6)(x+4)<0.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-389-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicamos el método de puntos críticos. Para
ello hallamos sus raíces igualando cada factor
a cero.
* - 6 =0 -> x = 6 j
* +4 =0 x =- 4]
Ubicamos estas raíces en la recta.
<—
Como el coeficiente de x2 es negativo, debe
mos multiplicar por (-1). Así tendremos
(-D (-*2+2*+15)<(0)(-1)
*2-2*-15<0
* -5
x x * +3
—
> (x-5)(x+3)<0
Aplicamos el método de puntos críticos.
Buscamos que la cuadrática sea menor que
cero, entonces elegimos la zona con signo ne
gativo.
/. CS=[-4;6]
Clave
CS=(-S; 5)
Clave
Problema N/ 10
Resuelva el sistema
Resuelva la inecuación <
K
a
IV
2x(x+1) +15>3x2. x2+5x<0 (II)
A) (-°°; 5) u <3; +°°)
A) <2; 5) B) (-5; 2] C) (-5 ;-2 ]
B) (- 00; -3>u <5; +00) D) <
— ;-2 ] E) (-2:5]
C) (-5; 3)
D) (-3; 5)
i Resolución
E) (-3; +°°) Resolvemos en (I).
x2>4
Resolución
Tenemos que (x+2)(x-2)>0
2*(*+'l) +15>3*2
,_—
2*2+2*+15>3*2
/' X X'
i- ♦ ™------►
2*2-3 x2+2*+15>0
_> - x2+2x +15>0 Sy=(-°0; -2] u [2; +~>](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-390-320.jpg)
![Resolvemos en (II).
x2* 5x<0
Suma de raíces
-> (x)(x+5)<0
52=<-5; 0)
.
El conjunto solución del sistema se calcula
como
CS=51n S2
CS=(-5; -2]
; Clave }
Problema 12_____________________________
Si (—
oo; a) u (b; +°°> es el conjunto solución de
la inecuación 2x 2- 6 x +3>0, calcule a2+b2.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 6 E) 12
Resolución
Como a) u (ó; -h») es su conjunto solu
ción, entonces a y b son las raíces de la cua
drática 2x2-6x+3.
Corno a y b son las raíces de la cuadrática,
podemos aplicar las propiedades de Cardano.
a +b =- t V =3
Producto de raíces
ab =-
2
Para calcular ac+b , hacemos lo siguiente:
a2+bz=az+b2+2ab-2ab
a2+b2={a+bf-2ab
Luego reemplazamos a+b-3 y ab--.
a2+b2=(3)2-2
a2+b2- 9-3
a2+b2=6
12
Clave
Problema N.° 13
Luego de resolverx2<2x+2, indique el núme
ro de soluciones enteras.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Resolución
Tenemos que
x 2 < 2 x + 2
x2-2x -2<0
No puede factorizarse con aspa simple, así que
calculamos su discriminante.
A=(-2)2-4(1)(-2)=12](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-391-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
tí ir
Lumbreras Editores
__________________
Como A>0; la inecuación se resuelve con el
método de puntos críticos, pero para ello ne
cesitamos las raíces de la cuadrática, las cuales
podemos calcular con la fórmula general de la
cuadrática.
-b±yjA , , N
* = — ----- (raíces)
2a
x J - Z)±^ - k £
2(1)
= 1±VÈ
Ubicamos estos valores en la recta y aplicamos
el método de puntos críticos.
cs= [1-V 3 ; 1+V3]
Las soluciones enteras son 0; 1; 2.
Por lo tanto, esta inecuación tiene tres solucio
nes enteras.
Clave
Problem a N. 14 _________________________
El intervalo [3; 5] es el conjunto solución de la
inecuación 2/-ax+ b< 0. Calcule ab.
A) 160
D) 320
B) 240 C) 480
E) 340
Resolución
Como su conjunto solución es [3; 5], entonces
3 y 5 son las raíces de la cuadrática 2x^-ax+b.
Aplicamos las propiedades de Cardano.
I. Suma de raíces:
(-a)
3+5 =~ —
» o = 16
II. Producto de raíces:
(3)(5) =— —
> <
6=30
o¿»=(16)(30)=480
Clave
V
. : ■
■
:
El intervalo es el conjunto solución de
la inecuación ( ^ - l ) x 2-3 x +/3+1<0.
Calcule (o-1)2.
A) 1
D) 4
Resolución
B) 2 C) 3
E)‘ 9
Como es su conjunto solución, en
tonces - y o son las raíces de la cuadrática
2
(V 3 - l)x 2-3 x + V3+1.
Usamos el teorema de Cardano para calcular
la suma de raíces.
a (-3)
— + 0 = — 7=—
2 s/3-1](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-392-320.jpg)
![Entonces aplicamos el teorema del trinomio
positivo que dice lo siguiente:
Cuando A < 0, la cuadrática es de signo posi
tivo para to d o xc R .
Entonces tendremos
V3x2- 2V2x +V2 <0
v
--------- '
Es (1 )
tOdO S r- ¡R.
Como la cuadrática siempre es de signo po
sitivo, es imposible que sea menor que cero;
entonces la inecuación no tiene solución.
Por lo tanto, su conjunto solución es ó-
*
*
*
*
*
*
*
/ : Clave y
f m r w A
Resolvamos A<0.
H ) -4(1)
í +k<0
-> k< -1
k e (-co; -1]
- - i< 0
4 )
Clave
Indique el cardinal del conjunto
4 = {x e Z / -3 < x 2+ x <ó).
Problem a 23
%
i
f
"
'
-
-
'
,ï'X
mf Á
0$f
v
.
. —
A) 2
D) 5
B) 3 C) 4
E) 6
1 k
Si la desigualdad x¿< x +— no se verifica
nunca, indique la variación de k.
A) R “ B) R
D) <-00;-1]
Resolución
c) <7°°; i]
E) '4-1; 1]
Si x 2 <x +— no se verifica nunca, entonces
4
x 2>x +~ se verifica siempre, es decir, se ve-
4
rifica para todoxe R.
Entonces tendremos
x 2 - x - - > 0 ;V x e R
4
lo cual, por propiedad, se cumple bajo la con
dición A^O.
■
%
3
' v
.1
,-,*
'fi En el conjunto 4 tenemos que
-3< x2+x<6
- 3 < x 2 + x a x 2 +x <6
v v
------J '-----v-----'
Resolvemos en (I).
- 3 < / + x '
O ^ + x+ S
x2+x +3>0
Calculamos su discriminante.
A=12-4(1)(3)=-11
Luego, la cuadrática x2+x+3 siempre es de
signo positivo debido a que A<0.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-396-320.jpg)
![Resolvemos en (II).
x2+x<6
x2- * - 6<0
x ■J /+ 3
x -2
(x
+
3
)(x
-2
)<
0
S2=(-3; 2)
Finalmente, intersecamos S1con S2.
i , )
S, n S2= R n (-3; 2>=<-3; 2> V.,
* # r > /
Luego, el conjunto A quedará así:
A={x e Z / x e (-3; 2»
-> y4={-2; -1; 0; 1} ^ %
Por lo tanto, el cardinal de A es 4 (número de
elementos).
Clave
Problema N. 25_______________ _
Resuelva la inecuación
(
x2+ 3x + 5)(x 2 + 9 )< 0
e indique la suma de sus soluciones enteras.
B) 4 C) 6
E) 0
La cuadrática x2+3x+5 siempre es de signo
positivo, debido a que tiene discriminante
negativo. Por propiedad, cuando se tiene un
factor positivo, este se cancela de la siguiente
manera:
ií¿ -rS x + í)(x 2-9)<0
V
.
_________ __________ /
Luego, nos queda x2-9<0.
Factorizamos con diferencia de cuadrados.
(x+3)(x-3)<0
* ¿v'' f‘ j ~ V ■
*
W O O
H CS=<-3; 3
>
Las soluciones enteras son -2; -1; 0; 1; 2.
- 2+-1+0+1+2=0
Clave
Problema M.’ 26
Resuelva la inecuación
x 3+ 3x 2 + 5 < 9 x .
A) (-oo; 1
]
B) <-°o; -5] u [1; +°o)
Q (-«*»;-1]
D) <-°o; -5] u (1}
E) <-~;U-{5)
A) 9
D) 1](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-397-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Tenemos que
x3+3x2+5<9x
x 3 +3x 2 - 9 x + 5 <0
Factorizamos P^ con el método de divisores
binómicos.
1 3 -9 5
X=1
4' * 1 4
—
-5
' V 1 4 -5 0
Luego, tendremos
■
¿ jk
Pm=(*-'|)(*2+4* - 5)
Pw=C*-1)C*+5)(*-1)
Pm =(x - V 2(x +S)
La inecuación queda como
(x-1)2(x+5)<0
Luego
— V ——— /
±
) f)
x-1=0 v x+5<0
x=1 v x < -5
Problema N.* 27_____________________________
Resuelva la inecuación
(x-2)s(x- 3)fy-1)V + 2)8<0
e indique la suma de soluciones enteras.
A) 6 B) 4 Q -1
D) -2 E) 0
Resolución
Cancelamos los factores con exponente pan
además, en esos factores tendremos
x-3=0 —
» x=3
x+2=0 -> x=-2
Estos valores x=3 y x=-2 verifican la inecua
ción, así que son soluciones.
En los factores con expeneníe impar cancela
mos sus exponentes.
Luego, la inecuación queda como
( ^ f ( x - 2)5'(x-1)7 <0
x=3 v x=-2 a (x-2)(x-1)<0
¿----------¡L
¿
-> CS=[1; 2] u {-2; 3}
Las soluciones enteras son 1; 2; -2; 3.
c
s
=
<
-°
°
;-5
]u{
1}
Clave
1+2-2+3=4
’ Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-398-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
La inecuación tiene una única solución entera
que es-2.
Por lo tanto, el número de soluciones enteras
es 1.
Clave
Problema N.‘ 3Q
Problema N,' 31
Resuelva la inecuación
(x2 +2)(x -3)
x - 6
<0.
Resuelva la inecuación
1
A) [3; 6] 3) <3; 6]
D) <3; -foo)
C) <3; 6)
E) [3; 6)
x +-----<2.
x-1
A) R-
D) (1; +“ >
B) <-«>; l> Q <-»; - i)
E).<-T+~>
Resolución
Tenemos que
x +— <2
x-1
/ áfisr xM? .
i i
V
X2-X-r1
y
- 2 < 0
x -1 -^ x
x2-X+1-2X+2
x-1
x 2-3x+ 3 r
-» ------ -— su
x-1
'4 %
<0
La cuadrática ^ -3x+ 3 siempre es de signo
positivo, debido a que su discriminante es
A < 0. Para que la inecuación se verifique, se
debe cumplir que x-1 sea negativo.
Entonces x-1 <0, de donde x<1.
cs=<-°°; 1
)
Clave
Ponemos la condición x-6==0, de donde se
obtiene x?6.
En el numerador, el factorx2+2 siempre es po
sitivo; lo cancelamos y tendremos
(y < 2 ){x -3 )
x - 6
<0
r X -3
<0
' ;
Aplicamos el método de puntos críticos.
CS=[3; 6)
Clave
Problema N.’ 32
Resuelva la inecuación
1
X +1 '2
<0.
X +x
A) <-1;0>
D) (1; +«>
B) <0; 1] Q H ;1 )
E) 0)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-400-320.jpg)
![Inecuaciones
Resolución
Tenemos que
,2
X 1
X+1 w
2
<0
X +x
00 (x2)
(*)(x+1) (x)(x +1)
1
<0
x 3-1
000f+1)
<0
—
>
(x +1)(x2+x +l)
" 00U +D
<0
La cuadrática x2-fx+1 siempre es de signo po
sitivo debido a su discriminante (A<0), así que
la cancelamos.
(x +1 x +1j
(*)(* +!)
<0
x-1
(X)(X +1)
<0
Aplicamos el método de puntos críticos.
-oo -1 -foo
Entonces CS=<-°°; -1) u <0; 1].
Por lo tanto, un intervalo solución es <0; 1],
;' •
•
Problema N,* 33
Resuelva la inecuación
x2-8
x -2
< 1.
Calcule el número de soluciones enteras positivas.
A) 6
D) 1 '
B) 3 C) 2
E) 4
Resolución
Ponemos la condición x-2^0, entonces x*2.
Pasamos todo al primer miembro.
x2- 8
x -2
- 1<0
Operamos
x ¿ -8 - x - f 2
x^2
<0
x - x - 6
x - 2
<0
Factorizamos el numerador con aspa simple.
(x-3 )(x +2)
x - 2
<0
Aplicamos el método de puntos críticos.
Entonces CS=<-°°; -2] vj <2; 3].
La única solución entera positiva es 3.
Por lo tanto, el número de soluciones enteras
positivas es 1.
: Clave ó :](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-401-320.jpg)
![PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. Resuelva 5(x+2)+3(x-1)-2(x-1)>3.
A) [3; +°o) B) [0; +<») C) [2; +<»)
D) [1;«) E) [-1;+oo>
2. Halle el mayor valor entero que toma x en
x - 4 6 x-2 „
—— +------<1.
A) 1
D) 2
B) 3 C) 6
E) 4
3. Obtenga el mayor valor entero de x en
x(x-*-6) <7+x(x+5).
A) 6
D) 8
B) 5 ... >
■
- É )-4 " - í
4»^ 4
w i
4. Resuelva el sistema
fx+2<7
[2(x-1)>8
A) <5; +«>) B) {6}
D) {5}
5. Resuelva x (x -6)<7.
A) (-1; 6) B) <6; 7)
D) <0; 6)
v% .
■
-
¡rs&
¡*
C) <-°°; 5)
E) 9
C) (-1; 7>
E) <0; 7)
6. Resuelva e indique el menor valor entero
negativo dex.
x2 <16
A) -2
D) -4
B) -1 C) 0
E) -3
7. Indique el número de soluciones enteras
de la inecuación (x-2) <x-2.
A) 1
D) 0
B) 3 C) 4
E) 2
8, Resuelva (x-3)¿<0.
A) (-«>; 3) B) (-«>; 3] C) {3}
D) <3;+~) E) [3;-feo)
9. Resuelva x(x-4)< -4.
A) (0; 2) B) {2}
D) (-2; 2)
C) ó
E) (-4; 4)
10. Indique el conjunto solución de (x-4)2>0.
A) 97/7; B) {4} C) [4; +°o)
E) R
D) {0/4}
C w & /
; Calcule el mayor valor entero del CS de
x-2
sf S¿ x-8
< 0.
A) 7
D) 3
B) 6 C) 2
E) 8
12. Indique el menor valor entero del conjunto
solución de
A) 4
D) 5
- > 1.
x -4
B) 1 C) 2
E) 3
13. Resuelva la inecuación
x+2
- > 10.
x-2
A
) 2
; 22
D) <2; 10]
B) [-2; 2] C) 2; —
9
E) (-2; 22]](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-402-320.jpg)
![Capítulo 9 Inecuaciones
14. Halle la suma de soluciones enteras positi-
, 3 2 A
vas de----------- <0.
x+1 x-1
A) 15 B) 9 C) 14
D) 1
1 E) 10
15. Resuelva (x-2)2-(x-5)<0.
A) <2; 5)
B) 2) kj <5; +°°)
C) (-8; 5)-{2}
D) {-co; 5)-{2}
E) R~{2} ^
16. Halle la suma de soluciones enteras nega
tivas de (x—
6)D-(>
r—
4)1
1-(x+2) >0.
A) -6 B) -3 C) -2
D) -5 E) -1
17. Indique la suma de soluciones enteras de
(x+3)17-(x-2)9-(x+5)-x< 0.
19. Halle el máximo valor entero de x en
(x2+x+ 3)(x-2)^Q
(x-3)(x+1)
A) -1 B) 3 C) 0
D) 2 E) 4
20. Halle el mínimo valor entero de x en
(x2+x-f2)(x+4)
{x2- x +7)
A) -2 B) -7 C) -4
D) -9 E) -6
21. El conjunto solución de Gr-9)(x-6)>0 es
[-a; a] u [b; +«>). Halle a2+b2.
;v ' A) 34 ( Z " B) 15 C) 45
f ^ D ) - 4 1 E) 39
22. Calcule la menor solución entera negativa de
(x2-1Jíx2+6x+^ {x 2+5x+6)<0.
A) -3 B) -2 C) -1
D) -5 E) -4
A) -1 B) -3 C) 6
D) 0 E) -6
18. Resuelva (xz-x+S){x+2)[x-7)<0.
A) (-2; 7)
B) (-2; 6]
C) (-2; 5)
D) (-2; 7]
E) (-2; 5]
23. Halle la mayor solución entera positiva de
x3+x2-4x-4< 0.
A) 1 B) 3 C ) 4
D) 2 E) 5
24. Indique el número de soluciones enteras
positivas de (x+1)3<x+1.
A) 2 B) 0
D) 3
C) 1
E) 4](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-403-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
25. Resuelva x+2<2x+4<-x-2.
A) (-«o;-2] B). 0 C) {-2}
D) {2} E) [-2; 2]
26. Luego de resolver la inecuación, indique la
suma de valores enteros de x.
3x x 5x _
—-< -+ 7 < — +5
2 2 2
A) 28
D) 27
B) 21 C) 15
E) 20
27. Resuelva x(x-5) <-3
e indique el valor de
si se sabe que su
a - Jb a+ Vó'
ihuii'Huiimw).
Q+b/
CS=(
« 1
21 Æip-
y-.- .a A
i
•
>
'■» é fM y ? 1
' ¡?
P
f
donde a; bm Z. .
30. Halle el menor valor entero positivo de x en
(x3- 13x +12)(x - 1)2(x2+25)
A) 1
D) 5
(X + 2Ÿ
B) 2
< 0 .
C) 4
E) 3
1. Halle la suma de soluciones enteras de la
... (x -5 )(x 2 +2)
inecuación
A) 15
D) 18
x - 8
B) 13
< 0-
C) 19
E) 26
22. Halle la mayor solución entera negativa de
,3
<0-
1 • (2x+3)(x-4)"
la inecuación ------- - ----- -
t ,:V
x
B)
%s
*%, T
A) -4 d K B) -3
I V 1
D)?cef*
C) 8
%
D) 4
28. Halle la menor solución entera de
x+1 x - 2
x > x+3
■
<
k '^
V
A) -3
D) -1
B) 1 C) -2
E) 2
29. Halle el menor valor natural de xque veri
fica la inecuación
(x+ 3)(x+ 1)(x-6)^0
(x +5)(2-x)
A) 4
D) 1
B) 2 C) 3
E) 6
%■
>
p %
¡y *•'
S r
C) -2
E,
2
2x +1
33. Resuelva la inecuación —— <3
x - 2
e indique el complemento de su conjunto
solución.
A) 2,
D) (3; 1)
B) <2; 3) Q (2; 7)
!l (i:
34. Resuelva la inecuación
>2
x2+1
x - 2
e indique la menor solución entera.
A) 2
D) 0
B) 4 C) 1
E) 3](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-404-320.jpg)
![Capítulo 10 Valor absoluto
Ejemplos
• La distancia de -3 a 0 es igual a 3, entonces |-3|=3.
}-i' -3
• La distancia de -7 a Oes igual a 7, entonces |-7|=7.
2. DEFIN ICIO N
El valor absoluto de un número real x se define como
x; x > O
lx| =
- x ; x< 0
Si x es positivo, entonces |xj=x.
Ejemplos ;;C,~ / . .
• |2|=2 * 420161=2016
I
• | ^ +l| = %/3+1 • p 2 - l] = >/2-1
• |ít+2| = 7t+2
Si x es negativo, entonces |x]=-x.
Ejemplos
• |-3|=-(-3)=+3
71 +3 71 +3
3>
4
=+—
3
. |-5|=-(-5)= +5 . iw¿i=-(-va=+^
Para calcular e! valor absoluto
de un número real se debe
conocer si dicho número es
positivo, cero o negativo.
Un error muy común es pensar
que—
x es negativo porque tiene
un signo (- ) adelante.
Tenga en cuenta que x es una
variable y el signo de -x depen
de del valor de x.
Por ejemplo, cuando x es 3. -x
es -3 (valor negativo).
Pero si x es - 5, entonces -x será
-(—
5)=+5 (valor positivo).
............V- - V.’ ■
■
■. . : _
Observación
Si x es igual a cero, entonces |0|=0.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-409-320.jpg)
![V Va o' absoluto de una expresión que depende de una
. anatne
Para caícuíar f^
r)j donde es una expresión matemática que
depende de x, debemos tomar en cuenta los valores que tome
la variable x.
Por ese motivo,, hay que determinar los valores de x, para los
cuales la expresión f.- resulta positiva, cero o negativa.
'•r'J
Si fíx) resulta positivo, entonces f(x)=f[x>
Si resulta negativo, entonces |f{x) =~f{x)-
Si fM=0, entonces j^)! = lol =0
; Cuando f x) toma el valor de
cero, este se incluye junto al
i caso donde es positivo. Es
decir, sí para x e M se tiene que
fm>0, entoncesf[r¡|- f{rT
A p l i c a c i ó n 1
Calcule lx-5j si x> 5.
R e s o l u c i ó n
Debemos determinar ef signo de x-5 .
Tenemos quex> 5, entonces
x> 5
x - 5 > 0 ■ ’ • - ••■
" • ' ;T:p
Como x - 5 > 0, entonces x - 5 es positivo.
.-. |x-5 |= x-5
A p l i c a c i ó n 2
Calcule jx-o] six < 6.
Resolución
Debemos determinar el signo d ex-6.
Tenemos que x < 6, entonces
x < 6
x-6 < 0' “
Como x -6 < 0, entonces x -6 es negativo.
[x-6|=-(x-6)
x-6=-x+6
[x-6¡=6-x](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-410-320.jpg)
![Capítulo to Valor absoluto
A p l ic a c ió n 3
Calcule ¡2x-1| si x> 3.
R e s o l u c ió n
Debemos determinar el signo de 2x-1.
Tenemos que x > 3, entonces
x> 3 s
xZ
2x> 6 J
2 x -1 > 5 )
Como 2x-1 > 5, entonces 2x-1 es positivo.
I2x-1|=2x-1
A p l ic a c ió n 4
Calcule |3x-2| si x e (-2; -1),
R e s o l u c ió n
Debemos determinar el signo de 3x-2.
Tenemos que x e <-2;-1)/ entonces
-2 < x< -1
f 5 gfug.
-6 < 3x < -3
-8 < 3x-2 < -5 *
Como 3x-2 está entre -8 y -5, entonces 3x-2
es negativo.
j3x-2j=-(3x-2)
|3x-2|=-3x+2
|3x-2|=2-3x
A plic a c ió n 5
Calcule £=[x-5|+{x-8| si x e (5; 8).
Reso lu ció n
Tenemos que x e (5; 8). Calculamos |x-5|.
5 < x< 8
0 < x-5 < 3 *
Como x - 5 € (0; 3), entonces x-5 es positivo.
|x-5|=x-5
Calculamos lx-8|.
5 <x< 8
-3 < x-8 < 0 -
Comox-8 e (-3; 0), entonces x-3 es negativo.
|x-8¡=-(x-8)
Reemplazamos en E.
£={x-5[-r|x-8|
E=x- 5-(x-8)
E = x —
5—x 4-8 =3
E=3
A p l i c a c i ó n 6
Calcule la variación de £=|x-1|+|x-5j; x > 8.
R e s o l u c i ó n
Calculamos |x-1j.
x> 8
x-1 > 7 -> |x—
1|=x—
1
Calculamos [x-5|.
x > 8
x-5 >3 —
> [x-5]=x-5
Reemplazamos en E.
E—
x —
1+x—
5 —
> E—
2x—
6
Hallamos la variación de E.
x > 8 ^
2x > 16
2x-6 > 10»
/. £e(10;+oo>
5](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-411-320.jpg)
![COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
A p l ic a c ió n 7
Determine |x-3| si x e R.
R e s o l u c ió n
Tenemos q u e xe R , esto significa quexpuede
tomar cualquier valor real. Entonces tendre
mos las siguientes posibilidades:
Si x > 3, entonces x-3 es positivo.
lx-3|=x-3
Si x=3, entonces x-3 es igual a cero.
lx-3|=|0|=0 ■
Si x < 3, entonces x-3 es negativo,
[x—
3|=-(x-3).
Entonces
U -3 l = *
x -3 ;x> 3
0 ; x =3
-(x-3 ); x<3
Aplicación 8
Determine lx2-25¡ si x e R.
Resolución
El valor x toma cualquier valor real y además
x 2 - 2 5 = ( x +5)(x -5 ), entonces tendremos las
siguientes posibilidades:
S ix < -5 v x > 5, entoncesx2-25 es positivo.
x2 -25l =x2-25
Si x=5 v x=-5, entonces x2-25=0.
|x2—25| =|o
]=0
x 2-25 ;x e (-= o ;-5 )u (5 ;+ « )
0 ; x =5 v x = -5
(x2-2 5 );x e (-5 ;5 )
A p l i c a c i ó n 9
Calcule |x2+s| si x e R.
R e s o l u c i ó n
Como x s R, entonces x 2 solo es positivo o
igual a cero. Es decir, x~ > 0.
Luego
x2>0
X2-r3>3
Obsedamos que >r+3 > 3 es positivo.
V
*. |x2 ~
r3) = x 2 + 3
A p l i c a c i ó n 70
Determine f=[x)+lx-3j si x e R.
R e s o l u c i ó n
Como x toma cualquier valor real, entonces
tendremos las siguientes posibilidades:
x <0 0 0 <x <3 3 x> 3
Si x < 0, entonces x=-x. Como x-3 < -3,
entonces |x-3|= -3-x.
Sxe (-5; 5), entonces x2-25 es negativo.
|x2-25l =- (x 2-25)
Reemplazamos en E.
£=-x+3-x
E=3-2x](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-412-320.jpg)
![Aplicamos la propiedad “b" y tendremos dos
casos.
L a s o 1
/ +13x+19 =/ - 2 x - A
13x+19=-2x-4
15x=-23 ->
15
Caso 2
x2+13x+19=-(x2-2x-4)
x2+13x +19+(x2- 2 x -4 )= 0
2x2+11x +15=0
2x 5 .
x"'' ^ 3
Luego
(2x+5)(x+3)=0
- / áfc '
I é f r .
i
1
'Is
y
%;
2x+5=0 v x-i-3=0 V E
'y ^ |
5
: íf
X = — V
2
;
>
<
ii
l
uu
_ f 23 5 J f "• :
CS=i------- ; - — ;-3
l 15 2 J , V i
%
4. INECUACIONES O
P r o p i e d a d e s
- í
7A LO R A B S O LU T O
Aplicación 22
Resuelva la inecuación Í2x-5l<7.
Resolución
Tenemos que ]2x-5| <7.
Aplicamos la propiedad "a’.
-7 < 2x-5 < 7
-2 < 2x<12
-1 <x< 6
/. CS=(-1; 6)
A p l i c a c i ó n 2 3
Resuelva la inecuación jZx-fSl <x-rT3
R e s o l u c i ó n .
Tenemos '
, .J2X+15| <X-r13
Aplicamos la propiedad V .
-(x+13) < 2x-r15 <x+13
Luego
-(x+13) < 2x-i-15 A 2Xt 15<X-t
x 13 < 2x+1s x <—
-3x < 28
Esta propiedad también es válida si en lugar
de la desigualdad < está la desigualdad <
Ejemplos
• |xi<3 -3<x<3
• lxl<5 «
-» -5<x<5
• x^6 «-» - 6 < x <6
• jxj^2 - 2 < x <2
28
x > -----
3
Intersecamos
O
O](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-419-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplicación 24
Resuelva la inecuación |4x-l|< 6.
Resolución
Tenemos
|4x—
1| < 6
Aplicamos la propiedad "a".
-6< 4x-1< 6
- 5 < 4y < 7 *
•
4 4
b. >D
Esta propiedad también es válida si en lugar
de la desigualdad > está la desigualdad >
Ejemplos
|x|> 8
x>3 V x < -3
x>3 V x< - S
x> 2 V x< -2
x> 6 V x< -6
cs= 5 .7
4 '4 .
Aplicación 25
í
s J&
i ¿ g S ? *
l i
| 1
Resuelva la inecuación Ix—
3{<—
2ic 5.
ir y
Resolución •
- -v S
Tenemos
|x-3 | < -2 x+ 5
Aplicamos la propiedad “a”.
-(-2 x + 5 ) < x - 3 < -2X-+-5
- '
V /
Luego
-(-2 x + 5 ) < x - 3 a x - 3 < -2 x+ 5
2 x -5 < x - 3 3x <8
x < 2
Intersecamos
3
A p l i c a c i ó n 2 6
Resuelva la inecuación Í3x—
7Í >8.
R e s o l u c i ó n
Tenemos ",
3x-7 > 8
I V (¥ >
Aplicamos la propiedad 4b
. f-‘iv
3x-7 > 8 v 3x-7 <-8
, 3x > 15
V
x> 5
3x <-1
1
x < - -
3
Unimos los intervalos.
CS=< -~ ; -^ }u (5 ; eco)
Aplicació n 27
Resuelva la inecuación l5x-2|>2x-r9.
Resolución
Tenemos
[5x—
2| > 2x+9
CS=<-«; 2]](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-420-320.jpg)
![Capítulo 10 Valor absoluto
Aplicamos la propiedad “b".
Sx~2> 2x-r9 v 5 x-2 < -(2 x + 9}
3x >11 5 x - 2 < - 2 x - 9
1
1
* > y 7x < -7
x < —
1
Unimos ios intervalos.
A p l i c a c i ó n 2 8
Resuelva la inecuación |3 x -5 l> 2.
R e s o l u c i ó n
Tenemos
¡3x-5| > 2
Aplicamos la propiedad “ó".
3 x - 5 > 2 v 3 x - 5 < - 2
3 x > 7 3x < 3
x >t x <1
Unimos los intervalos.
i
A plicació n 2 9
Resuelva la inecuación |2x +9| > 3x-1.
Resolución
Tenemos
|2x+9| > 3x-1
Aplicamos la propiedad “bl
2 x -9 > 3 x -1 v 2x+9 < -(3 x-1 )
10 > x 2x+9 < -3x+ 1
x < 10 x sí —
5
Unimos los intervalos.
CS-(— 10]
Obsen/amos que en ambos miembros hay
valores absolutos, entonces debemos ele
varlos al cuadrado para poder eliminarlos.
Esta propiedad también es váida si en ¡_;gar
de ía desigualdad <están ¡as desigualdades
< >o >
A p l i c a c i ó n 3 0
Resuelva ia inecuación Í5x-i-1; < Í2 x-3 ¡.
R e s o l u c i ó n
Elevamos al cuadrado.
l5 x + í < |2 x -3 |2
Eliminamos los valores absolutos.
(5x-r1)2 < (2 x-3 )2
Pasamos todo al primer miembro.
(5x +1)2 - (2x - 3)2 < 0
Factorizamos
[(5x+1)+(2x-3)][(5x+1)-(2x-3)] < 0
Operamos
(7x-2)(3x+4) < 0](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-421-320.jpg)
![Aplicamos el método de puntos críticos.
A p l i c a c i ó n 3 7
Resuelva la inecuación |5-3x|>|2x+l
Ejemplos
. fl=2 y b=5 [2 ^ =[2M5| ✓
• o --3 y b=-1 l-3 -ll =}-3l +l-ll ^
o=-5 y ¿>=
9 |-5 +9|<|-5| +|9| ^
R e s o l u c i ó n
Elevamos al cuadrado.
|5 -3 x |2 > |2x+ l|2
Luego
(5 -3 x )2 > (2x+1)2
(5 - 3 x )2 - (2 x + 1)2 > O
Aplicamos la propiedad de diferencia de los
cuadrados.
[(5 - 3x) + (2x +1)][(5 - 3x) +(2x +1)] > O
(6 -x )(4 -5 x ) > O
(x-6)(5x-4) > O
Aplicamos el método de puntos críticos.
4 6
5
5 DESIGUALDAD TRIANGNI AR
5.1. Propiedad
Esta propiedad es válida si reemplazamos
cualquier valor numérico para a y b.
Observamos que a+b puede ser menor o
igual que |a| +|£
>
|, pero en ningún caso a+b
es
mayor que |o|+|¿>
|.
A p l i c a c i ó n 3 2
Resuelva la inecuación |x-2| + |2x-5| > |3x-7|.
R e s o l u c ió n
Tenemos
(x-2) + (2x-5)= 3x-7
Luego
|x-2| + |2x-5| > |3x—
7|
|x-2| +|2x-5| > |x -2 + 2x-5|
Hacemos los siguientes cambios de variable:
x-2=a a 2x-S=b
Reemplazamos
a+b > a+b
Esta es la desigualdad triangular y se cumple
para todo a, b e R .
Entonces en la inecuación
|x-2| +|2x-5| > |3x-7|
se cumplirá para todo x e R.
CS=R](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-422-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
6. METODO DE ZONAS
Hay ecuaciones o inecuaciones con valor
absoluto que no pueden resolverse directa
mente con las propiedades ya mencionadas.
En ese caso, tenemos la opción de aplicar el
método de zonas.
Ejemplo
En la ecuación |x - 2 |+ |x - 5 l = 10
haremos lo siguiente:
Igualamos cada valor absoluto a cero.
|x - 2 i = 0 - * x - 2 = 0 x -2
¡x -5 | = 0 -4 x - 5 = 0 —
> x=5
Ubicamos los valores 2 y 5 en la recta numérica.
zona zo n a i! 'T / zoilá-UJ
—
o
a y 3 : 2 ' X _ j
La recta ya ha quedado dividida en tres zonas,
entonces resolveremos ;a ecuación en cada
una de ellas.
Zona 1
Tenemos
x< 2
x-2 < 0
|x -2 |= -0 í-2 )
Luego
X < 2 - 5
x-S < -3 ‘
¡£-5j = - (x - 5 )
En la ecuación, tenemos
|xc 2 |+ [x ; 5j = 10
-(x-2)-(*-5)=10
-2x +7=10
—
2x=3 —
> X —
—
—
Ubicamos el valor hallado de x.
zona
x- —
Observamos que está en la zona I, entonces
este valor es una solución de la ecuación.
Zona II
Tenemos
2 < x< 5
0 < x - 2 < 3 -> !x^ 2] = x - 2
Luego
2 < x< 5
- 3 < x - 5 < 0 -> j x - j j = -{x - 5 ) —> (5-x)
En la ecuación, observamos
i x - 2j-fjx-5 j= 1 °
x - 2 -f5 -.x = 1 0 —> 3=10
El resultado indica que la ecuación no tiene
solución.
Zona III
Tenemos
x > 5
x-2 >3 -a [x-2] =x -2
Luego
x > 5
x-5 > 0 -> lx-5j =x -5
Reemplazamos
¡x-2|+[x-5|=10
x-2+x-5=10
2^
'—
7=10
O 17 17
2x=17 -> x =—
2](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-424-320.jpg)
![Resolución
La expresión
Tenemos
“ 11+4
* - 1
3
+4 siempre es positiva.
T--11+4
Luego
£ -1 + 4
*-1
3
* - 1
3
=7
+4 =7
=3
.
I J e
Entonces
ím. •
• t
4*? -
.
w J
- - 1 =3 v —-1 =-3
3 3
—=4
3
* 9
—=—
2
3
Como * e{-2; 1), entonces
-2 <x <1
-7 <x-5 < -4
Como x-5 es negativo, entonces
|x—
5j=—
{y—
5)
Luego
-2 <*<1
-1< -x< 2
0 < 1 -x < 3
Como 1 -* es positivo, entonces
&% jP
h-x]= i-x
,_0 .
•%,
Reemplazamos
vs
x=12 x=-6
CS={12; -6}
*. (12)(-6) =-72
X
Clave
Problema N. h
Si x e(-2; 1), indique el valor reducido de
x-5+h-x +2x
H (x) - q
HM =
H ( x ) ~
U+5|+h-x|+2x
-(x-5)+1-x+2x
H(x)~
-x+5+^-x+2x
u -¿X+6 +2.X
% )= ------ 3------
HM~3 “ 2
A) 3
D) 4
B) 1 C) 2
E) 5
’• HM~2
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-429-320.jpg)
2
e indique la suma de la soluciones.
« i
» - j
B) 1 Q - |
E) 2
Resolución
Tenemos
>/4x2- 4 x +1=>/(-6)2
V (2 x - 1 )2 = |-6 | _ » |2x -1| = 6](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-430-320.jpg)
![Importante
Luego
a-b <
h> (ò>0 a (a=b v a=-b))
Luego
2x-1=6 v 2>r—
1=—6
(lxl-7)(lxl-2)=0
!xl—
7=0 v lxl-2=0
lxl=7 v |x|=2
*=7 v x=-7 v x=2 v x=-2
2x=7
x
7
2
v 2x=-5
5
v x =—
2
CS={7; -7; 2;-2}
Por lo tanto, hay 4 soluciones.
7
2
5Ì
2.
Problema N7 8
Clave
Resuelva la ecuación
x2+i4=g|xl
e indique el número de soluciones.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0
Resolución
Tenemos
x2+U-9x
x2-9|x|+14=0
Ixl2-9lxl+14=0
Ixl -7
Ixl"''' -2
Clave
Resuelva el.sistema de inecuaciones
|x-7j<1 /
|x-f 2Ì>3
A) [6; 8] B) (-5; 8] C) [6; 7>
D) <
1
; 8
1 E) <-=o; 5)
Resolución
Tenemos
lx-7| < 1
-1 <x-7 < 1
6 <x< 8
S1
=[6; 8]
Luego
|x+2|>3
x+2 > 3 v x+2 <-3
x > 1 v x < -5
i
35](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-431-320.jpg)
![Graficamos
<--
—
oo
1 -f-Co
S2=(-°o
;-5) u (1; -
h»)
Calculamos el conjunto solución del sistema.
CS=S1n S2 D) 12 E)
Graficamos Resolución
Tenemos
•---- •
I I I : l2 x-7 |> x-2
- <
?
c --5 1 6 8 +« :
. CS=[6; 8] .X !
Entonces
Problema N.° 10
i ... • Clavé
:í t:"
V
v
.. '• •»
•
¿ti* n;
% ^
s
á
r { ■
/ j
2 x - l > , x - 2 v
x > 5 i # - v
X >.5 . v
2x-7 < -(x-2)
3 x < 9
x < 3
Resuelva la ecuación
*>
- Graficamos
||x-3l+3| =2. J 0 0—
j
A) <-3;3> B) 0
% :
C) {0} X
D) {3}
X
fc
v '<
’»
•
*
, :
CS =(-=
■
=
; 3) u (íy, +co)
Resolución
Tenemos —
> a = 3 a 6=5
|lx-3l+3|=2 o+6=3+5=8
U-3l+3=2
U -3l =-1 Problema N.“12
•
valor absoluto no puede ser igual a un
úmero negativo, entonces no tiene solución.
CS=M>}
Clave
Problema N/ 11________ __________
Luego de resolver la inecuación
2x-7>x-2
obtenemos CS=(-<~; a) u (6; +«>).
Halle a+b.
A) 5 B) 6 C) 8
Clave
Luego de resolver U-8| =6x+22,
indique la solución.
A) -8
D) 4
B) -4 C) -2
E) 10](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-432-320.jpg)
![COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Intersecamos
^------—----------- O
O
----------- . ^
— < S —
CS=<3; 5)
E! valor 4 es la única solución entera.
Por lo tanto, el número de soluciones enteras
es 1.
Clave
Problema N. is
Resuelva la ecuación
l5x-1i=U+3|
e indique el cardinal del conjunto solución. ..
A) 1 B) 2 ' C) 3
D) 4 E) 5
Resolución
Tenemos
|5x-1 = lx+3|
5x-1=x+3 v 5x-1=-(x+3)
Luego
4*=4 v
X=1 v
X=1 V
CS =H )
Por io tanto, su cardinal es 2.
Problema N.' 16______________________ _________
Sea el conjunto
A = { x e R/|3x —
6|—
18—
4x1 < —4}-
Determine la suma de los elementos enteros
del complemento de A.
A) 20 B) 6 C) 10
D) 12 E) 18
Resolución
Tenemos
!3x-6!-|8-4x|<-4
3|x-2f-l4x-8|<-4
3lx-2|—
4|x—
2|<-4
(3-4)¡X-2l<-4
—
Sx—
2Í<—
4
|x-2Í>4
Luego
x-2> 4 v x-2 <-4
x > 6 v x <-2
Unimos
El conjunto A es el conjunto solución de esta
inecuación.
A - {-=°; - 2) vj (6; + 00}
Luego
Ac=[-2; 6]
Los elementos enteros de Ac son -2; -1; 0; 1;
2;...; 6.
-2 -1 +0+1 +2 +3+ 4+ 5 + 6=18
5x-1=-x-3
6x=-2
1
Clave Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-434-320.jpg)
![Resolución
Dato: x e (2 ; 5)
Si x +5 es positivo, entonces
[x+ 5|=x+5
Si 1 -x es negativo, entonces
n-xi=x-i
Luego
f{x] = lx + d -fh -x !
^ ) =2x+4
Hallamos la variación de f(x).
2 < x < 5
4 < 2x < 10
8 < 2x + 4 < 14
rM e<3;14>
-5 < 2x-p < 5
p-5 < 2x <p +5
p-5 P =5
------< x < ------
2 2
/p -5 P jo
CS’ 2 ' 2 /
Entonces
Del problema, leñemos
CS=(p; 6)
igualamos los siguientes intervalos:
P l l
2
p -5
=6
= q
p = 7
p=l
/. p+q=7+1=8
Clave
P ro n i:
Clave
Halle la diferencia positiva de las soluciones de
la ecuación
2 lx -3 i2+ |7 x-2 1 -1 5 = 0.
Pro b lem a N. 26
A) 10 8) 6
D) 9
Si iq: Ó), es el conjunto solución de |2x-p]< 5,
halle p+p.
C) 8
Resolución
Tenemos
A) 2 B) 4
D) 1 E) 3 2|x-3|2+|7x-2l|-15 =0
Resolución 2Íx -3 Í2 + 7|x -3 Í-1 S = 0
Tenemos 2lx-3| -3
|2x-p|<5 |x -3 l +5](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-438-320.jpg)
![Luego Entonces
(2|x-3|-3)(U-3|+5) =0
2U-31-3 =0 v U-3| +5=0
2|x-3| =3 v |x—
3|= —
5
^
---- ------
Entonces
x - 3 — v x - 3= -
2
3
2
CS =
9 _3
” 2 2
6
2
=3
Problema N/ 28 __
Resuelva la ecuación
||x2-x + l|-x 2|+lx-l| =2.
A) {0; 2} B) {2}
D) {0}
Clave
C) {1; 0; 2}
E) {}
Resolución
Tenemos
|x2-x4-t)- x 2l+|x-ll =2
—
x+1- +Ix -1| =2
l-x+l|+|x-l| =2
|x-l|+|x-l| =2
2|x—
1
|=2
Ix-l| =1
Luego
x—
1=1 v x—
1=—
1
x=2 v x=0
. CS={0; 2}
Clave
Resuelva el sistema
| x2 <9
|lx:>i
y calcule la suma de sus soluciones enteras.
A) -1 B) 0 C) 1
D) 10 E) 6
Resolución
De la primera inecuación del sistema, tenemos
x2 < 9
n
/x 2 < VÔ
|x|<3
-3 <x < 3
S-rl-3; 3]
De la segunda inecuación, tenemos
|x|>1
x>1 V x<-1
S2=<-«=°; -1] vj [1; +
0 0 )](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-439-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Calculamos el conjunto solución del sistema. Intersecamos
CS=S1n S2
Graficamos
-3 -1 1 3 +0
--
CS=[-3; -1] u [1; 3]
Las soluciones enteras son -3; -2; -1; 1; 2 y 3.
(-3)+(-2) +(-1)+1+2+3=0
Clave
Problema N.’ 20
CS=[-1;+«o>
Las soluciones enteras no positivas son -1 y 0.
Por lo tanto, hay 2 soluciones enteras no
positivas.
Clave
) j Problema N.° 31
Resuelva la inecuación
s : |x+l|-3 <Q
Resuelva la inecuación
|x-2|-2x<5
- ..--r
--'4. . |x-l| +2 ■
f :v -• V ■
/ ; A) (-2; # ?g B ); (1; 4) C) <-4; 2
>
J , . X , . L 6)^-3; 2 r f ~ E) (-2; 3)
e indique el numero de soluciones enteras no ;r
positivas.
A) 1
D) 2
B) 4 C) 3 :
E) 6
Resolución
Tenemos
[x-2|-2x < 5
|x-2|<2x+5
Luego
-(2x+5) <x-2 < 2x+5
-(2x+5) <x-2 a x-2 < 2x+5
-2x-5 <x-2 a -7 <x
-3< 3x a x> -7
x£ -1 a x 't - l
0 R^iííHftión
Observamos que la expresión que está en el
denominador de la fracción, por su forma,
siempre será positiva.
En el denominador, tenemos
(£ ^ +2
Luego, en la inecuación
|x+l|-3
<0
|x -1| +2 *
|x +1|-3<(0)(|x -1| +2)
|x+1|-3 < 0](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-440-320.jpg)
![Capitulo 10 Valor absoluto
Tenemos
|x+1| < 3
-3 <x+1 < 3
-4 <x< 2
CS=(-4; 2)
Clave
Problema N.‘ 32
Resuelva la ecuación ;r-3|x+11+2x+3=0.
Calcule el producto de sus soluciones.
A) -2 B) 2 Q -6
D) 6 E) 0
Resolución / f
Tenemos
x2-3lx-r-l]-r2x+3=0
Agrupamos convenientemente.
(;r+2x)-3|*+-l|-r3=0
Sumamos y restamos 1.
(x2-r2*-rl)-3[*-r1|-r3-1=0
Luego
(xt-1)2-3 [x +11+2=0
Como |x+1l2=(*+1)2, entonces
1
x +112-31x +1|+2=0
Aplicamos el aspa simple.
|x+1|2-3[x+1|+2=0
t*+1l : . - 2
lx+11 -1
(ix+1l - 2)0x+1| - 1)=0
Cada factor se iguala a cero.
l*+1|-2=0 v |x+1|-l=0
[x-r1|=2 V jx+1|=1
x+1=2 v x+1=2 v x+1=1 v x+1=1
x=1 v x=-3 v x=0 v x--2
CS={1; -3; 0;-2}
/. (1)(3)(0)(-2)=0
Clave
Problema N.‘ 33
Resuelva la ecuación >;~-4=5¡x¡
e indique el número ¿e se cciones enteras.
A) 4
D) 5
3) 2 Q 6
E) 3
Resolución
Tenemos
x^+4=5jx|
Ar-5jxj+4=0
Comox^Jx]2, entonces
|x]2-5|xj-r4=0
w J -4
M '' -1
Luego
(M-4)(M-d =o
jxj—
4=0 V jxj—
i =0
M=4 V M=1
x=4 v x=-4 v x=1 v x=-l
CS={4; -4; 1; -1}
Por lo tanto, hay 4 soluciones enteras.
Clave .](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-441-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N.‘ 34___________
Si el intervalo (a; p) es el conjunto solución de
la inecuación
x¿+x < 6, calcule ap.
A) 4 B) -3 Q -4
D) -6 E) -2
Resolución
Tenemos
x2+ |x| < 6
x2+Jxj-6 <0
]xf+[xj-6 < 0
Aplicamos el aspa simple.
|x]2-í-|x¡-6 < 0
(M+3)(M-2)<0
Como |x[+3, por su forma siempre es positivo,
entonces podemos cancelarlo.
Entonces
a=-2 A P=2
aP=(-2)(2)=-4
Clave
Problema N.‘ 35
Resuelva la ecuación
x5a-|>
r]=
0
e indique el número de soluciones.
A) 6 B) 2
D) 4
Resolución
Tenemos
x5+{x¡=0
[Xh-X5
NO OLVIDE
a=b {b> 0 a (a=b v a--b))
->r> 0 -> x5< 0 -> x<0
C) 5
E) 3
<
f3)(¡x-2)<0
Luego
}x|-2<0
M <2
-2 <x< 2
CS=<-2; 2)=(a; P)
Luego
x=-x5 V X=X5
x5+x=0 v x*-x=Q
x{x4+l)=0 v x(x4-l)=0
x=0 v x4+1=0 v x=0 v x4-1=0
Obtenemos los siguientes valores:
x=0 v x4=-1 v x4=
1](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-442-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N7 37______________________ _
Si a y P son soluciones de la ecuación
|x-2Mx-5|=7,
calcule (3
a.
A) 1 B) 7 Q 13
D) 3 E) 5
Resolución
Aplicamos el método de zonas y a cada valor
absoluto lo igualamos a cero.
|x-2|=0 -4 x=2
|x-5|=0 —
> x=5
Ubicamos los valores de x en la recta.
Zona I
Tenemos
x <2 —
» x^2 <0
U - 2¡=—
(x - 2)
Luego
x <2 -» x^5 <-3
¡x —
Sj =—
(x —
5)
Reemplazamos en la ecuación.
[x-2| +|x-5¡=7
- (x - 2 }- (x - 5 )= 7
-2 x + / = ,7
-2 x =0 -> x =0
Verificamos que este valor de x pertenezca a
esta zona.
El valor x=0 sí pertenece a la zona I, entonces
es una solución de esta ecuación.
Zona II
Tenemos
2< x <5 -4 0<x-_2<3
lx_-_2; =x - 2
Luego
2<x<5 —
■
» —
3<x-o <0
jx-5] =-(x-5)
Reemplazamos en la ecuación.
|x-2{+jx-5j=7
x-2-(x-5)=7
/ - 2 - x +5=7
3=7
La igualdad 3=7 es falsa. Esto significa que en
esta zona la ecuación no tiene solución.
Zona lll
Tenemos
x >5 —
» x_-_2 >3
[x-_2j = x - 2
=x - 5
lx-5| =x -5
x>5 —
>](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-444-320.jpg)
![[x-2|+|x-5|=7
x-2+x-5=7
2x-9=7
2x=16 -> x=8
Verificamos que este valor de x se encuentre
en esta zona.
Reemplazamos en la ecuación.
o
5
Resolución
Tenemos
[x|+[x-4| > 2|x-2j
|x|+|x-4| > |2x-4|
x+x-4 > x+x-4
Si hacemos los siguientes cambios:
x=a
x-A=b
la inecuación queda como
Este valor de x sí pertenece a esta zona, enton
ces también es una solución de esta ecuación.
Finalmente, en todas las zonas hemos encon-
trado que la ecuación tiene dos soluciones, las
cuales son x=0 y x=8. % " 4 •
'
CS={0; 8}
a p+pa=08+8°=0+1=1
Clave ;
•.............if*^**"- ''7
Problema N.‘ 38_________________ 7
Resuelva la inecuación
|x|+|x-4| > 2|x—
2|
y calcule el producto de sus soluciones enteras.
B) 3
o-rb > ¡O-i-b]
Esta desigualdad se cumple si y solo si ab < 0.
Reemplazamos
a=x y b=x- 4
Luego
(x){x-4) <0
Aplicamos el método de puntos críticos.
CS=(0; 4)
Sus soluciones enteras son 1; 2 y 3
(1)(2)(3)=6
A) -3
D) 6
C) 4
E) -6 Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-445-320.jpg)
![13. Resuelva la inecuación
|2x-5l<3.
A) [2; 5] B) [1; 3] C) [2; 4]
D) [3; 5] E) [1; 4]
14. Resuelva en Z la inecuación
X
-+1 +3
2
e indique la suma de sus soluciones.
A) -10 B)-14 C) -11
D) 1
1 E) -15
15. Resuelva el sistema
flx—
4l <3
[U+2|>4
■ A) [2; 5] B) [2; 7] C) <
2; 7)
D) [2; 5) E) [2; 7)
16. Determine el complemento del conjunto
solución de
|3x—9|+|l5x-45|>36.
A) [1; 4) B) <
1
; 5] C) [1; 4]
D) <
1
; 5) E) [1; 5]
17. Luego de resolver la inecuación
|2x-5|>x+7
se obtiene como conjunto solución
<-°o; -a ) u (b; + « ).
Determine 3a+b.
18. Determine el conjunto
4 = {x 6 R +/ l* - 3|2 - 3|x - 3l > 10/.
A) [8; +°°) B) (6;+co) C) [6;+=»=)
D) <8;+co) E) q
19. Luego de resolver la inecuación
l2 x - 3 |> U - 4 |
indique la alternativa que no representa
una solución.
A) 1 B) -2 C) 6
D) -4 E) 7
20. Halle el producto de la mayor y menor
solución de la inecuación.
x 2 - ¡ 4 x 2 +2 I+8 >0
A) -1 B) -2 C) 4
3 E) 1
21. Resuelva la inecuación
||x2 - x +l | - x 2|> (x -1 )2
e indique un intervalosolución.
A) (-2; 2) B) [1;2) C) <
1
;2>
D) <
0; 1
] E) (0; 2)
22. Resuelva la inecuación
|3x-4|< |2x-3|+ U -t
A) [4; 5) B) (4; 5) C) <
2; 3]
D) (2; 3> E) R
23. Resuelva la ecuación
|x—
l|+|>
í+2| —
5
e indique la suma de sus soluciones.
B) 4
A) 10
D) 8
B) 12 C) 14
E) 4
A) -1
D) -4
C) 5
E) -6](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-447-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
Aplicación 5
Halle el rango de fM=5^+1; x e (2; 3).
Resolución
El dominio de esta función es el inten/alo (2; 3).
Un inten/alo tiene infinitos valores y no es
posible reemplazarlos uno a uno en f {x).
Aplicaremos las propiedades de desigualda
des para hallar los valores de f(x
).
Tenemos
x e (2; 3)
Entonces
2 <x <3
Elevamos al cuadrado.
4 <x2<9
y ,,
20 < 5X2 <45
o J ‘ '
21<5x2+1<46 '
Los valores de f(x] forman el rango de lafundón,
entonces
fMe <
2
1
; 46)
Ran/=(21; 45)
A p lic a c ió n 6
Halle el rango de fM = Vx +5-1 si x >4.
Res o lu c ió n
Como x >4, entonces Domf=[4; +°°>.
El dominio de f es un intervalo. Usaremos las
desigualdades para hallar los valores de fM .
Tenemos que x >4.
x>4
x-f5>9 #
Extraemos la raíz cuadrada.
Vx+5 >V9
JX-r5-1> v'9-l
> ^-1
T4-
d ;s
Graficamos
Ran/=[2; -h»)
A plica ció n 7
Halle el rango ce fM=>r-r5.
Resolución
La expresión /T,=x2-r5 está definida en R pai
cualquier valor rea: de x.
Como x e R, entonces
x2 > 0
Sumamos 5y obtenemos
x2+5>5
G ra n e a m o s
RanM5; +°°>](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-460-320.jpg)
![T
. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN REAL
La gráfica de una función real fes el conjunto
formado por ios puntos (x; y), representados en
el plano cartesiano, donde x e Domf y y=f(/j.
Y k
A p l i c a c i ó n 9
: Grafique la función
I fM=2*+3;*eR.
R e s o l u c i ó n
. Como x varía en R, reemplazaremos unos
; cuántos valores en f{.
x) y ai unir ios ountos que
: obtengamos, dibujaremos un esbozo de la
gráfica de esta función.
x ...-3 -2 -1 0 1 2...
A p l i c a c i ó n 8
Grafique la función
f(x)= x¿‘ ^^ [-3; 3].
R e s o l u c i ó n
En el intervalo [-3; 3] hay infinitos valores.
Reemplazaremos algunos de ellos en f(x
).
x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
y =f(X
)=x2 9 4 1 0 1 4 9
Ubicamos cada punto (x;y) en el plano y obte
nemos la gráfica aproximada de esta función.
O b s e r v a m o s su g rá fica .
• - ' —
/
A p l i c a c i ó n 70
Grafique la función f(v)=Vx-1.
R e s o l u c i ó n
Debemos calcular el dominio. Al ser una raíz
I cuadrada, x-1 no puede ser negativo, sino
positivo o cero. Entonces ponemos la condi-
; ción x-1 >0, donde x> 1
.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-461-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Cuando el dominiode lafunción
es un intervalo, el gráfico de la
función será una línea continua.
Ejem plo
^
M
=2x+1
x £ [3; 4]
El cru*ruryo •
es t'jn -Intery’
dta’
• , cjTátio de i
;úpa Uqsa cóPuinua}
'-■
I
-
7h -
En el gráfico de una función se
puede observar el dominio y el
: ranao de una función.
. El dominio es la variación en
el eje X .
Del gráfico, Dom/=(o; b).
• El rango es la variación en el
eje Y.
Del gráfico, Ranf=[m ; n>
.
Reemplazamos algunos valores de x en f {x)
x 1 2 3
L
O
n
X
II
ír
i
1
o
V3 2,
Ubicamos estos puntos en el plano y finalmente hacemos un
dibujo aproximado de la gráfica de esta función.
5.1. Prueba eje.la recta v.e;-T¡cal
Cualquier gráfico en el piano no representa una función. Para
que sea así tiene que cumplir la siguiente condición:
Cualquier recta vertical (paralela al eje Y) cor
ta la gráfica de una función, como máximo,
en un punto. :
E je m p lo s
1
. En la siguiente gráfica, tenemos
Observamos que sin importar por donde se trace una recta
vertical, siempre cortará la gráfica de f i como máximo, en
un punto.
Por lo tanto, f e s una función.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-462-320.jpg)
![2. En la siguiente gráfica, tenemos
Un par o rd e n a d o se re p re se n ta
co m o
O b s e r v a m o s q u e h a y u n a re c ta v e r t ic a l q u e c o rt a la g rá fic a (a; b)
d e g e n m á s d e u n p u n t o . P o r lo t a n t o , g n o r e p r e s e n t a u n a
f u n c ió n .
U n a f u n c ió n c o m o u n c o n ju n t o fo r m a d o p e r p a r e s o r d e n a d o s
s e d e f in e d e la s ig u ie n t e m a n e r a :
f = {(*; y ) f x e Domf a y = f{x )]
E je m p lo ji-y - /
S e a la f u n c ió n
2 x : x e {3; 4; 5}
E n u n t a b la d e v a lo r e s , t e n e m o s
x 3 4 5
f¿=2x 6 8 10
E s t a f u n c ió n c o m o u n c o n ju n t o d e p a r e s o r d e n a d o s s e r e p r e
s e n t a c o m o
f= {(3; 6), (4; 8), (5; 10)}
P a r a q u e u n c o n ju n t o f, f o r m a d o p o r p a r e s o r d e n a d o s , r e p r e
s e n t e u n a fu n c ió n d e b e c u m p lir la s ig u ie n t e c o n d ic ió n :
( x - , y ) e f a (x]z) e f y = z
A p lic a c ió n 7
7
Sea f = {(2; 5); (2; m+1
); (3; 7)}.
H a lle m p a r a q u e f s e a u n a fu n c ió n .
Un conjunto formado por pares
ordenados diferentes es una
función si y solo si los primeros
componentes son diferentes
entre sí.
E je m p lo s
1. /= í(3 ;4 ), (2; 7), (8; 9)}
C o m o los p rim ero s c o m p o
nen tes so n d ifere n tes, e n
to n ces f e s un a fu n ció n .
2. g={{2; 7). (3; 5), (3; 6)}
C o m o se rep ite el p rim er
co m p o n e n te en tío s p are s *
o rd en ad o s, e n to n c e s g no es
una función.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-463-320.jpg)
![Observamos que
• Cuando el precio esp = 0, el ingreso es 1=0. La
razón es que sip = 0significa que el artículo es
gratis y tiene sentido que no haya ingresos.
* Cuando el precio aumenta de p=0 a p = 5,
el ingreso se incrementa también de 1=0 a
/=1250.
Cuando el ingreso aumenta de p = 5 hasta
p = 10, el ingreso disminuye hasta llegar a
1
= 0.
Cuando p = 5, el ingreso /es el máximo.
Por lotanto, el ingreso es el máximocuando
el precio del artículo es igual a 5 soles.
En una tabla de datos, :enemos
'(*)
r
-2 k - T r i
- i i f 3
0 ¿0)=3
1 =i
2 ff2)=3
8. F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S y
Las funciones son útiles cuando se quieren
modelar situaciones de la vida real.
Es importante estudiar ciertas fondones para
conocerlas y así podamos hacer un buen uso
de ellas.
8 .1. F u n c ió n co n sta n te
Es aquella que asigna a cada x real un número
real c. Es decir, fes una función constante si
E je m p lo s
f(x)= 3 ]x e R
Esta función asigna a cada x eR la
constante 3.
En el diagrama, tenemos
Su gráfica es
--- ------ a—----
é
-
.--—
—
■
*
.---—
m
. *-----•--------
Por lotanto, su gráfica es la recta horizontal
que corta al eje Y eny=3.
2. gw=-2; x e R
Esta función asignará a cada x real la
constante-2.
En el diagrama, tenemos](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-466-320.jpg)
![En las siguientes gráficas se muestran las dos
posibilidades.
En ambos casos, su vértice es e¿ púrittr h ; k]
donde h y k se calculan como
h ~ * A k = f <»
E je m p lo s
1. /r
M
=3x2+4x'+1; x e R
Como g=3> 0, la parábola se abrirá hacia
arriba.
Luego
* Puntos de corte con el eje X
Resolvemos la ecuación /w=0.
f c 3 ¿ + 4 x + U 0
3x 1
x 1
ienemcs
(3x+1)(x+1)=0
3x-r1=0 V X-rl =0
1
X = ---V X = - i
“v
O
Les cortes con el ejeX sen
( 1 h
—
—
; 0 j y (-1; 0).
Puntos de corte con el eje Y
Evaluamos en x = 0 .
y = [r .
y=3(0)2-r4(0)-r1 -v y - 1
El corte con el eje Y es (0; 1).
Por lo tanto., la gráfica de f e s
Su vértice es (ri; k ). Calculamos h y !<como
n 2a 23)
L u e g o
C a lc u la m o s el v é r t ic e .
(ri; k ) =
' 2
l 3;
2. g .x,= - i c + 2x+3; x g R
Como a=-1 <0, la parábola se abrirá hacia
abalo.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-474-320.jpg)
![2. Sea la función fw=|x-2|; x e R.
En la tabla de datos, tenemos
x ... 0 1 2 3 4 ...
f<
¿
)
... 2 1 0 1 2 ...
En la gráfica, tenemos
Por lo tanto, esta gráfica mantiene ía
misma forma que las anteriores con !a di
ferencia de que ahora el vértice está en el
punto (3; 1).
4. Sea la función =-jx-1|-r2; x e R.
En ia tabla de datos, tenemos
X . . . -2 -1 0 1 2 3 4
f<* •
•. -1 0 1 2 1 0 -1
En la gráfica, tenemos
Por lo tanto, la gráfica mantiene una forma
similar al ejemplo anterior, con la diferencia
v¿g&F J
de que ahora el vértice es él punto (2; 0).
3. Sea la función/r
(x
)=lx-3|+1;xe R.
En la tabla de datos, tenemos
«
v y.-*v
x ... 0 1 2 3 4 %5 ' ó' ...
... 4 3 2 1 2 3 4 ...
En la gráfica, tenemos
Por lo tanto, la gráfica se abre hacia abajo
(a diferencia de los ejemplos anteriores).
Esto ocurre cuando el coeficiente del valor
absoluto es negativo.
Para graficar la función
fM = a x - h + k ] x e R
hallamos suvértice, el cual es el punto (h; Jt).
Luego, según el signodea, se presentará unode
los siguientes casos:](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-478-320.jpg)
![Capítulo 11
TEORÍA DE FUNCIONES
Una función de A en 8 asigna a cada xeA un yeB.
Notación Regia de Dominio Rango
f : A B
f
x y
correspondencia
y=fn
v ■-. . . . j
Conjunto de
valores de x
Domf-A
Conjunto de valeres
dey
Ranf = { y e B ¡ y = f,(]}
Notación
Una función real f se
representa como
y e f{x); xeDom f
regiade
correspondencia
-J
Funciones reales
Cuando A y B son
subconjuntos de R
Gráfica de una función
Es su representación en el plano
cartesiano.
Dominio y rango
Domf={valores de x)
Ranf={valores de
Cálculo del dominio
Dom/={.veR / f.n está
definido en R )
Función como conjunto de pares
ordenados
f - {fo y ) / x e D o m f a y e
Prueba de la recta vertical Condición de unicidad
i A la gráfica de una función
cualquier recta vertical, como
El conjunto de pares ordenados f es
una función si
máximo, la corta en un punto.
i . _ --------.—
—'
fay) e y a (x,y) e y -+ y =z
Funciones elementales
Función constante
f(
x
)
=
c
Y
X
f^=ox+b; a* 0
J L
Y
4 •b
a0 -
/
' f
Función lineal Función cuadrática Función valor absoluto
fM=a(x-h)2+k; 0 fw=ax-h^fc, a * 0
J
y Y ♦ ! y
/ J u<0
1 /
«J a> 0 h X
y. 0 >0
K
h X
.
h X
k a<0
‘h x](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-481-320.jpg)
![El conjunto que agrupa a los valores de x es el
dominio de esta función.
DomM=[-5; +=»)
Clave
Problema N.* 4
Problema M.' ?
3x +2
Halle el dominio de la función H,v,= ------ .
M x+4
A) <
?
D) < ~ ;0
B) R u { - 4 ) C) R - f- 4 }
E) ( - 4 ;-
Obtenga el dominio de la función
=V 3 x-2 W 5 - X .
A) ó
D)
Observamos una expresión fraccionaria, en
tonces su denominador debe ser diferente a
cero.
Tenemos
x = -4
La variable s puede ser cualquier número real
T-í . vi
Tenemos dos raíces cuadradas y, en ambas, las a exc^F^on de -4.
‘ 2 v f J
**
condidones para que estén bien definidas son . DomH=R-{-
3x—
2> 0 a 5-x> 0
4}
Clave
3x>2 a 5 >x
x > - a x< 5
3
Intersecamos
r roo lema N.
Si x e [5,10), calcule el rango de la función g
cuya regla de correspondencia es g(x)=3x-8.
A) (7; 14)
D) [7; 22)
B) (10; 18] Q a - 22)
E) [7; 14]
DomM =
Clave
Resolución
Debemos calcular pw=3x-8
a partir de x e [5; 10).
cv]
|
ro](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-483-320.jpg)
![Los valores de formarán el rango de la
fundón.
5 < x< 10
15 < 3x< 30
7 < 3 x-8 < 2 2
Obtenga el rango de M f )=4x2 + 4 x + 9 .
A) [4; 8] B) [-8;+oo> C) [8;+ «)
D) [4; 9] E) [9;+co>
Rang=[7; 22)
Clave
Si x e (-4; 6], calcule el rango de
/
>
Tenemos que x e (-4; 6).
Como es una función cuadrática, para hallar su
rango debemos completar cuadrados.
M(X
)=4x2+4x +9
M(X) =4x2+4x +1+8
M(x)=(2x+lf +8
Como es una función cuadrática, entonces su
dominio es x e R.
Entonces
x e R —
> 2x+1 e R
(2x+1)2> 0
(2x +1)2+8>8
'----- ..----- -
/. RanM=[8;+=«>
- 4 < x < 6
-8 < 2x < 12
-13 < 2x-5 < 7
13 2 x-5 7
----<-------<—
3
RanR =
Clave
Problema N #3
Calcule el rango de la función R si
/?M=2x2+4x +8.
Considere que x e [0; 2>
.
A) [2; 28) B) [2; 8) C) [8; 20)
Clave D) [8; 24) E) <8; 30)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-484-320.jpg)
![Resolución
Completamos cuadrados.
/?M=2x2+4x+8
/?m =2Íx2+2x +4)
= 2(x¿ +2x+1+3)
RM=2((>r+D2+B)
R m =2(x +1)2 + 6
Tenemos que x e [0; 2).
Luego
0 < x< 2
1 <x+1 < 3
12 < (x+1)2 < 32
Fin alm en te
1 < (x+1)2 < 9
2 < 2(x+1)2 < 18
8 < 2(x+1)2 + 6<24 •
Ran/?=[8; 24)
Problema N.* 10
2 x + 6
A)
12
■
; +00 B)
16
/1 6 12
D) T : T
;+■» Q (2:4]
« f .
Resolución
Expresamos H( ] convenientemente.
* X
/ A
/ .Jíp- -V =
|
f fi:, I
I • Í S 7 i
*• '• ••. -
,
- i ' ?
i
y
%
y%
t K %
. ^
H y
Hw=
2x+6 >
-2
l, x +2 y
+2
2 ^ 6 - X - 4
HW - 2
x +2
+2
H» “ x+2
Tenemos que "e [3; 5).
Clave
S]H M - x +2
tie n e co m o d o m inio al intervalo [3; 5), o b ten g a
el rang o d e la fu n d ó n H.
3 < x< 5
% y
5 < x + 2 <7
Invertimos
t > — > t
5 x+2 7
2 2 2 *
—>----->—
5 x+2 7
|+ 2 > - fi- + 2 > - + 2
5 x+2 7
B > u f i 6
5 - 7
RanH = ( — ; —
7 S J
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-485-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema 1
1
La función f tiene como regla de correspon
dencia a
Problema N. 12 ^ ______________________
Grafique la función lineal g^- 3x-12.
f _ 2x - 6
además, x e [-12; -6]. Halle su rango.
A) [12; 18)
E) [-4; -1]
olución
Expresamos fM convenientemente.
f _ 2 x - 6 _2 x 6
(x) x x x
^>=2- !
Tenemos que x e [-12; -6].
Luego
-12 < x< -6
Invertimos
/ ¿m' '
i Jw Jk *
I ^ W /tW M
' ?’.& /
V </
Jt
fi
C)
íX
j ..í
-r -; ; ‘
«8
/¡ % C/y
f *
,f*£>
, D) . .
< y
. w /
T/-
E)
Clave
Resolución
Hallamos los puntos de corte con los ejes.
• Eje X
gM=Bx-12=°
3x=12
x=4
Al eje X lo corta en x=4.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-486-320.jpg)
![Capitulo 1
1 Teoría de funciones
Problema N .‘ 24
Halle el área de la región encerrada por los
gráficos de las funciones fw =(x+1| y g(x)=8.
A) 28
D) 49
B) 35 Q 45
E) 18
Resolución
Granearnos ia función fM=[x+1].
Graficamos la función g^=8.
La región encerrada por ambas gráficas es la
siguiente:
/
v /
/
Hallamos los puntos de intersección de ambos
gráficos.
f(x
)=g(
x
)
|x|+1=8
M=7
X=7 V x=-7
Luego
■ x=7 y=K7)=8
• x=-7 -» y=f[~7)=8
Los puntos de intersección son
■P=(-7; 8) A Q=(7; 8)
,/7 -
a
Hallamos el área §.
§ =í m =49
Clave
99](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-495-320.jpg)
![1. De los siguientes conjuntos, identifique
cuáles son funciones.
• f ={(4; 5), (2; 3), (7; 9)}
• g ={(3; 8), (3; 2), (7; 4)}
• h ={(2; 9), (3; 8), (2; 9), (7; 6)}
A) fy h
D) g y h
B) fy g C) g
E) h
2. Si fes una función
f ={(2; m
+
T
)
,(
3; 8), (2; 11),(3; 3b- 4), (7; 11)}
halle el valor de m+b.
A) 21
D) 14
B) 13 G) 12
E) 10
3. Halle el dominio de la función
h w = ^ 9 . - ^
A) (-«>; -3 ) B) <-co;3) C) (3 ;+ -)
D) (—
o°; 9] E) [3; h
-o
o
)
4. Halle el dominio de la función
R{x)=ylx-2 +y¡8-x.
A) [2; +°°) B) [8;+°°) C) (8; 10)
D) [2; 8] E) [2; 8)
5. Determine el dominio de
o
M “ x - 2 '
A) <2; 4) B) [2; 4] C) <2; 4)
D) <2; +
<
~
> E) R-{2}
6. Determine el dominio de la función
~~2 ‘
x - 4
A) R B) {2}
D) R -{2}
C) {-2}
E) R-{2; -2}
7. Calcule el rango de fix)- 3x+2 si x e (2; 5].
A) (0; 5] B) <3; 10] Q (8; 17]
D) <18; 29] E) <2; 3]
8. Si x e (-2; -1), calcule el rango de :a
función H, cuya regia ce correspondencia es
'- x
h' =
M 2
A) ( 0 ;|
D) (1 ;|
/ . 3
B) C) v
- i
e, (a l )
2/
9. Calcule el rango de f si
f<
S
)=xz+2x+3,
donde x e [5; 10).
A) <38; 123] B) [33; 123) C) <30; 53)
D) <
10; 51) E) <43; 123)
10. La función H tiene como regla ce corres
pondencia a
_ X +2
M “ x+1
y como dominio al intervalo <2; 3). Calcule
su rango.
b
m M>
A) 0;
»](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-497-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
11. Sea la función R tal que
rm =—
M x - 4
tiene al intervalo <6; 10] como su dominio.
Indique el rango de la función.
A
) 4
D) (12; 4]
B) (4; 12) C)
0
12. Grafique la función
fM= 2x+ 4;xeR .
A) B) h
- i- i
X - /-• X
-->>/
w
c >
4K
X
13. Halle el punto de intersección de las
siguientes rectas:
• ^:y=5x+10
• & y y -x =18
A) (1; 20) B) (5; 18) C) (2; 18)
D) (5; 20) E) (2; 20)
Y
14. A partir de la gráfica
f
(0: 4 )
'
i
!
i
4—
i
halle la ecuación de la recta SB.
. •
> 3 x -4
A) 9(X) ^
12-4x
B) 9(x) ~ 3
c) -9M=3x~4
- 4
Dl 3w ~
E) 3¡',;.=4x -3
_*-Í~
- 'vK
^
_
v
*
15.”A partir de la gráfica
halle la ecuación de la recta S&
.
'4x +9
A> 9(*) =
B> 9W =
n 9w =
3
3x-12
2
4 x -5
3
3x +12
D> 4
E) 5 (x)=3x +12](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-498-320.jpg)
![Aplicación 7
Halle el valor de A.
A = log15+2logy49
. 5
log.81
Resolución
Hallamos el valor de A.
/A=r,ogi 5+2log749
_ 5
r - /
/A=^log5_15+2-2
A = [ l ^ lo9s5+4
/4=[-1 -1+4] -4
A=(-1+4)'-4';
4=3-4=12
log o81
■
• 5logx-2logx=3logx
• 3log52-2log52=log52
L ___________________ ___
Teorema 3
También podemos deducir la propiedad del logaritmo respec
to de la potencia si analizamos el siguiente ejemplo:
25=32 o log232=5
Además, 32 se puede escribir como
32=25=2-2-2-2-2
Entonces
log232=log225=log2(2 •2 •2 -2 •2)
-» log22+log22+log22+log22+log22=5log22
Un erro r co m ú n es el sig u ie n te:
lo9n<
j ^X^loga *
Ejemplos
• log25 x ^ J o g 5 x
• lo g 43 x ^ 4 Ílo g 3 x
lognax =(log0x)r
’
Ejemplos
* log25x =(log5xf
* log43x =(log3x)4
* log439=(log39)4 =24 =16
l ___ ._____________
5](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-511-320.jpg)
![En consecuencia, según este criterio, tambiénpodemos escribir
log3x2=log3
^-x
-4 log3x+log3
x=2log3x'
Considerando los ejemplos anteriores, podemos concluir
(regla del sombrero)
Se lee: “El logaritmo de una potencia (en una base determina
da) es igual al producto del exponente por el logaritmo de la
Cuando nos piden hallar x
en 3*=5
base de esta potencia’'.
Tomamos logaritmos en
base 3.
Ejemplos
& 'ÍX
log33x=log35 1. • log^ ^ Sicc^
x-log33=log35
x-1=log35
/. x=log35 » 3log5ó=icg5i?*'-'■
Cuando nos piden hallar x • 6log5o=log3o°
en 6*=2
Tomamos logaritmos en
base 6.
• log23+2lo^5=ÍGg23+logp52
-4 lcg23+log225=Iog275
log66*=,og62
x-log56=Iog62 • 2Iog,7-i-3lcg95=log:>
72+log25J
x-1=log62 -4 Iog249-i-log2l25=log249-125=log26125
x=log62
2. Usamos los teoremas de los logaritmos para desarrollar las
siguientes expresiones:
E ¡ J
log2(2x)=log22+log2x=1 +log^
log2[x(x-1)]=log2x+log2(x-l)
log3C4£2)=log3
¿ + log3£2=logJ4+2log3fí](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-512-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Dato curioso
La gráfica de la función logaritmo
f(x)- log^x tiene dos casos:
Caso 1
| f{y>=log,,x ! b > 1
Y 1
t
Caso 2
j f. - !o a r / ' 0 <b <1
3. COLOGARITMO
Se denomina cologaritmo de un número N (N > 0) en una base
[b > 0, b * 1) al logaritmo de la inversa de dicho número en esa
misma base.
Ejemplos
colog39 =log3| - ] =-2
colog2x =log2
Consecuencia
( ^
x j
•| cotog¡, y —
. - ig c ^.'í 4
Ejemplos
• colog5125=-log5125=-3
• colog216=-log216=-4
• colog213=-log213
4. ANTILOGARITMO
El antilogaritmo de un número real x, en una base dada
b(b> 0 a b*1), es el número que resulta de elevar la base al
número.
antilog,. x~b7
Ejemplos
• antilog25=24
5=32
antilog -
,(—
3) =
2
f V
<2,
-3
= 23=8](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-518-320.jpg)
![R E S O L V E M O S J U N T O S
Problema N.‘ 1
Exprese en forma logaritmica 'as siguientes
formas exoonencia.es:
a. r= 8 i
b.
r í =
U J
c. 8~2=-
d. 83 =4
Resolución
Para estes casos, usaremos ei siguiente teore:
loo^N=x «
-
=
► N=bx
forma exponencial
a. 3“=81
forma feoarímica
iCO-81=¿
d. 83 =4
Problema N.‘ 2
:ca-4 =-
- 3 2
Resolución
Para estos casos, utilizaremos el siguiente
teorema:
Exprese en forma exponencial las siguientes
formas logarítmicas:
a. Icg216=4
b. lcga7=ó
c. !cg3243=5
1
d- log4[ _ |=-2
logbN=x N=b'
torma logaritmica forma exponencia
a. .00-16=— Ï6=2J
*
-
b. !ogc7=ò 7=aD
e. leg,243=5 243=35
c. lc g ,[— =-2 -1 = 4-2
' V16j io
( l ) 2 ■
] ,
b. u ¡ Ípp _ j_ : Resolución
v3/ 9 9 J
Determinamos
c.
co
i
M
II
!cg: — =-2 a. log..121=2
ï 64 64
Problema N.' 3
Determine e: valor de x en las siguientes ex
presiones:
lGgx121=2
b. !cq-32=x
c. loq ,x=;
d. logr =4
121=;r -► 112=x2
x=11
b. Icg232=x 32=2’' 25=^lr
/. x =5
c. !og,x=3 -=
• x=43
-i x=64
d. log _81_
A 6257 <
— = x
81
625
=x
| l = X
X ——
5](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-523-320.jpg)
![Capítulo 12 Logaritmos
Resolución
Desarrollamos las expresiones.
a. log2(2x)
log22-i-log2x
1+log^
b. log^íx-l)
log ^ + Iog ^ -i)
c. logbo2-x
^ ^
2
.
■°gb° +^q¡^
2log6a+log¿x
d . lo g .
a
ogbG-og bc ‘
ogbo-2ogbc
í „3.3
e . lo g fa P T
c J
3 .3
•ogbp q - iog6c
'log^(p#-log6c
3 - lo g ó( p c ? ) - lo g 0c
3 [ l o g ó p + lo g d c y ] - lo g 6 c
f. lo g p
,09p (i/a-yfb^)
lo g p | o 4 - b A
3
lo g p a 4 + lo g p b A
- o g Da + o g Db
Problema N.‘ 5
Reduzca cada una de las siguientes expresio
nes a un solo logaritmo:
a. lcq_/77-;ca„n +lcq,.0
b. 2iog¿a-r3iog0p+1
c. 3¡oga(x+y)-2oga(x-y)
d- (a2 - 35)-log¿(a-o)
‘ p rn Jü r'Q ^
Reducimos caca expresión,
a. !oq.m-:o;n n-!oq.o
nq„ — - og0p
i m
!33a -
v n j
b. 2logf
c
a-3;cg¿lp-í-1
log^+Icg^-rlog^ó
( 2
. 5
!cgba rp -b
^ N
c. 3loga(x+y)-2log0(x-y)
■
cg3{x^ yp-[cg(x-y)2
ioq. (x ^ > :
(* - y )
d- '09a(a2- 3 6 )- |09 j(0 _ 6)
:°9b
'cSj.
'- 'i
O -oo
v o -6 ;
(o+6) (0-6)
.0—0
3 g .(o + o)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-525-320.jpg)
![Capitulo 12
Problema N.' 10 Problema N.‘ 11
Simplifique la expresión/ ¿Cuál es el valor de log45243 si log35=x?
J = (log510-I)(log412-1)-Iog35
5 4
A) x +4 B) x +3
C)
x +2
A) j B) 3 C) 4
D) A
x +5
E) — m
x +3
D) 2 E) -
3
Resolución
Resolución
Para este caso, haremos uso de la siguiente
propiedad: logco=1
En el problema
J = (log510-l)(log412-l)-log35
7= (log510-log55)(log412-iog44)-log35
J =
f ^10^V
i°g5
j j
io
g
4|j ])-|0935
; =log52-log4/-lo g ¿X
Aplicamos la regla de la cadena y se obtiene
d=log42=log222
7= t .|0g22
Clave
Para este caso, haremos uso de la siguiente
propiedad:
logc¿V
ogbN =
logcb
En el problema
. _ log3243
log-r243 = — -----
log345
—
»
!og33:) 5-log33
log35-3“ log35+log33¿
5-1 = 5
x + 2 lo g 33 x +2
Clave
Problema N.* 12
Si log182=o, halle el valor de log,s27 en térmi
nos de a.
A)
1-0
B) -d -o ) C)
D) - (1 + 0 )
1+0
~2~
E) 0 -1
Resolución
Nos piden log1
827=3log1
g
3.
Dato: log1
Q
2=o
(*)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-527-320.jpg)
![1.1. S o lu ció n de un sistem a
En un sistema de ecuaciones con incógnitas x y
y, la idea es encontrar el valor de x y el valor de
y que verifiquen todas las ecuaciones del sis
tema. El par ordenado [xr.y] es la solución del
sistema. En caso el sistema tenga más de dos
incógnitas, se seguirá esta misma idea para re
presentar la solución de este.
Ejemplos
1. En el sistema de incógnitas x y y
x + y =10
-
x - y =4
Debemos encontrar los valores de x y y
que verifiquen ambas ecuaciones.
Dichos valores son x=7 y y =3, como com
probaremos a continuación.
Í7+3 =10
[7-3 =4
Como se puede ver, estos valores verifican
ambas ecuaciones, así que la pareja forma
da por los valores x=7 y y =3, representada
como el par ordenado (7; 3), es la solución
de este sistema.
Pero este sistema tiene más soluciones
como se puede comprobar a continuación.
x =2 .
y = 3 '
x=-3
y =-2
x=-2
y=-3
22+32=13 Solución
(2)(3) =6 (x;y)=(2; 3)
(-3)2+(-2)2=13 Solución
<
(—
3)(—
2) =6 (x;y)= (-3;-2)
(—
2)z +(-3)2=13
4 Solución
(—
2)(—
3) =6 (x;y)=(- 2;-3)
3.
En total, este sistema tiene cuatro solucio
nes, las cuales son (3; 2), (2; 3), (-3; -2) y
(-2;-3).
En el sistema
x +y =8
■
x +z =7
y+ z =9
se puede ver que todas las ecuaciones se
verifican cuando x=3, y- 5 y z=4.
3 +5=8
•3+4 =7
5 +4 =9
2. En el sistema
x2+ y2=13
xy-6
se puede ver que x=3 y y=2 verifican am
bas ecuaciones.
32 +22 =13
(3)(2) =6
Entonces el par ordenado (3; 2) es una so
lución de este sistema.
Así que la terna (x; y z)=(3; 5; 4) es la solu
ción de este sistema.
4. El sistema
¡x +y =14
{xy =48
se verifica cuando x=8 y y=6. También se
verifica cuando x=6 y y=8.
Entonces los pares ordenados (8; 6) y (6; 8)
son las soluciones.](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-547-320.jpg)
![Resolución
De (I)
10(x+y)=7xy
y + y = 7 1 1 _ 7
yy 10 x y"io
De (II)
2(x+z)=5xz
x + z 5 1 1 5
_ — —
> — i— - —
xz 2 x z 2
De (III)
5(y+z)=11yz
y + z _11 2 +l _ ] 2
yz 5 y z 5
De (a), (P) y (y)
—
>
1 1 =Z
x + y 10
1 1 _ £
' x + z 2
1 1 = 11
’ y + z " 5
/ 1 1 11
v
- + — + —
x y z /
1 1 1 = 27
x y z 10
54
10
(a)
(P)
(Y)
Reemplazamos (a), (p) y (y) en esta ecuación
de la siguiente manera:
1 1 7 7 1 27 1
* —+—=— —
» — +—=— -> z ——
x y 10 10 z 10 2
1 1 5 5 1 27
—H
— = — —
> —+ — :- --- —
^
X z 2 2 y 10
1 1 11 1 11 27
---1
---— — —
> —4— _ -
-— —
^
y 2" 5 X
r
~
D 10
y = 5
x = 2
xyz=(2)(S) = b
Clave
Problem a N.' 27
Resuelva el sistema
x 2 + x 2y ¿ + y 2 = 49 (I)
x + xy + y = 11 (II)
y calcule ef mayor valor de x - y .
A) 7 B) 3 C) 4
D) 1 E) 2
Resolución
De (II)
x+xy+y=11
x+y=11-xy
Elevamos al cuadrado.
(*+ y)2=(11-xy)2
x2 -r-y2+ 2xy=121-2 2 xy +x2/
x2 + ^ = 121-24^ +x2y2 (a)
De (I)
X2 +x2y2 +y2=49
x2 +y2= 49-x2y2 (P)](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-579-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
De (a) y (p)
121-24x y +x^y2=49- / y 2
/ x 2y 2 - 7 4 x y + 7 ^ = 0
x 2y 2-12xy-i-36 =0
'--------.--------'
(xy-6)2=0
x y - 6=0 —
> xy=6
En (I)
x + x y + y =1
1
x+y+ 6=11
—
» x+y=5
Luego, tenemos
x y = 6
—
>
x +y = 5
x =3 a y -2
x —2 / y = 3
O f- y ) máx=3 - 2=1 *
1 C/ove
Problema N,‘ 29
Resuelva el sistema
x +>/x+y =5 (I)
y + j x + y =10 (II)
y calcule xy.
A) 15
D) 16
B) 20 C) 10
E) 14
Resolución
Sumamos (I) y (II).
x+^/x+y =5
)*
y + j x + y =10
x + y + 2 y j x + y =15
Como x + y = yjx + y , entonces
■
sjx+ y^ +2^]x + y -15 = 0
i
N
/x + y +5
I 3
V * + y
Igualamos a cero.
j x + y + 5 = 0. v <Jx + y - 3 = 0
y j x + y = - S v y ¡ x + y = 3
A.ab surd o
x+y=9
En (I)
x+ yx+ y =5
x +V i =5
x+3=5 —
» x=2
En (II)
y + J x + y = 5
y W 9 =10
y+3=10 —
) y=7
xy=(2)(7)=14
Clave](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-580-320.jpg)
![COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
_____________
Si (m; n) es solución del sistema
4~s 7
- r x± -r y =1
v3 yj6
V3 V5 c
- t=x — ¡= y= 6
W 2 Vio
calcule mz.
13. ¿Para qué valores de m el sistema tiene
una solución de componentes positivas?
x.+y =4
-
x - y = 2 m
A) 1
D) 6
B) 4 O 9
E) 35
En el sistema lineal
[2x - m y = 1
¡x+ y =m
se cumple quey <0.
Si m eZ~ calcule xy.
A) -1
D) 3
B) 2
r ' x
•''•'y ...
i 1 % ?
V q - fv
..¡¿5
* -^
;r /S?;:
"«a* .
y':'-
A) m > -2 B) m<2
D) -4<m<4
Q -2 < m < 2
E) m>4
Si el sistema
7x-3y =5
<m x+ ny= 5n
2 x + 4 y = 16
tiene solución única, calcule m/n.
Q -1
E) 1
V v
k p-'
El sistema de incógnitasx y y
nx +(m+n2)y =m-1
■<
x+(n-2)y =n
tiene más de una solución. Calcule m2+n2.
B) 1
i. A) 2 B) 3
1 D)
f j j
&tH X.x”i
J Resuelva i,- '
•i
t W 4 •2- W 1 11
X v/" x+ 2'y x + y 14
/ < ;
S 3 , 5 _ 47
x + y ’ x + 2y 14
A) 13
D) 8
Resuelva el sistema
Í ox+3y =5
2x+oy =3
y calcule (x+yXo2^ ).
O 20
E) 5
y calcule xy.
A) 2
« i
® i ° i
« 5
:5. Resuelva
yjx+y +y]x-y =5
2^x +y +3yjx-y =1
1
y calcule x2-y2.
A) Sa-19
D) 8 0 -I
B) 80-17 Q 80+19
E) 80+1
A) 5
D) 15
B) 12 Q 6
E) 16
lW k](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-582-320.jpg)
![.»
*íÍi ►
" í ü f r l H I R «
P r o c i r a m a c i o n ¡íneai
Para graficar la fundón
y= 2x+3
hacemos lo siguiente:
1. IN ECUACIO N ES LIN EALES CON DOS VARIABLES
Una inecuación lineal con dos variables, x y y, es una expresión
que puede escribirse de alguna de las siguientes formas:
• a x + b y > c
• a x + b y < c
• a x - r b y > c
» a x + b y < c
Primero, tabulamos. E je m p lo
X / Las siguientes expresiones son inecuaciones lineales con dos
0 3 variables:
- i 0 ‘
i • 3 x + 5 y < 4 ^ " ^
2
• -x-r3y>5
Luego, ubicamos los puntos * 5x-6y> y
(0; 3) y 0j en el plano.
2 G_RAF.CDE ■J^#tCL]/.CION>
!;4< ^Cpgf[?O S
: VARIABLES ^ , ' . O '
Para graficar una desigualdad lineal con dos variables necesita
mos indicar el conjunto de puntos del plano cuyas coordena-
9
das satisfacen la desigualdad.
A p l ic a c ió n 7
Represente la región correspondiente a la siguiente inecuación
Finalmente, trazamos la recta lineal:
x-f 2y <4
•
R e s o l u c ió n
Primero graficamos la recta de la ecuación
• x+ 2y= 4
Si x=0, entonces
2y=4
y= 2
Luego, la recta pasa por el punto (0; 2).
Si y= 0, entonces x=4; luego, la recta pasa por el punto (4; 0).
ÉÉÉ
jjL _
% ■ .](https://image.slidesharecdn.com/algebraesencial-231007124038-0019fc6d/85/Algebra-Esencial-pdf-588-320.jpg)
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Capítulo 14
pfcí'pjgjffitfM
Y1íltfifT'^
-;"•
'f|
A p l ic a c ió n 9
Grafique el siguiente sistema de inecuaciones:
y < 5x-3
■
x> 0
y >0
R e s o l u c ió n
Para graficar un sistema de inecuaciones, pri
mero graficamos cada inecuación y luego la
intersecamos.
• y < 5 x - 3
Su gráfica es
Su gráfica es
Y
V
A
• y > 0
Su gráfica es
X
Es un método de optimización cuya finalidad
es maximizar o minimizar funciones lineales de
variables positivas, sujetas a unas restricciones
determinadas por inecuaciones lineales.
4.1. f’/iodeio de program ación linea! en
forma general
Es la representación general de! modelo de
programación linea! con dos variables de de
cisión y n números ce restricciones, y es una
función objetivo que hay que maximizar o m i
nimizar según sea el caso.
z=ff A=ax-¡-by-rC *
Sujeta a las restricciones
a]x + b.y ^ q
a2x-r cuy £ c-
*
c *
” ~ w
anx + br.y % cn
Las condiciones de no r.egatividad son x > 0 y
y > 0.
Aplicación 10
Dado el problema de programación lineal
4 ;y )=3x+2y
sujeta a las restricciones
y + x <4 (D
y < x (ID
x > 0
y >0
halle el máximo y el mínimo de ¿
Luego, intersecamos los tres gráficos anterio
res y obtenemos
r
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- 2. Vi..enjuntos numéricos Lectura demotivación Números naturales (N) Números enteros (Z) Números racionales (Q) Números irracionales (I) Números reales (R) Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido u a y e s Ge ex p o n Lectura de motivación 13 14 15 20 25 25 30 41 Concepto Potenciación Definiciones Propiedades de la potenciación Radicación en R PAR para Propiedades de la radicación l MOR á 66 Diferencia de cuadrados Cubo de un binomio Suma y diferencia de cubos Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido M::v n . Lectura de motivación Definiciones previas Valor numérico Cambio de variable Polinomio de una variable Polinomios de más de una variable Polinomios especiales Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido n P ro d u c to s n o ta b le s Lectura de motivación Concepto Trinomio cuadrado perfecto Identidades de Legendre Multiplicación de binomios con un término común 78 85 86 86 90 91 División de polinomios SOectura de motivación Definición Tipos de división Propiedades Método de división de Horner Regla de Rufftni Cálculo del resto Cocientes notables Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido 93 96 97 100 116 123 124 125 127 130 137 137 140 156 163 164 167 168 172 177 180 183 189 202
- 3. p*m o Lectura de motivación Concepto Factorde un polinomio Polinomio primo Factores primos Métodos de factorización Divisores binómicos Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido Lectura de motivación Concepto Solución de una ecuación Conjunto solución (CS) Ecuación lineal Determinación de una variable en términos de las otras Ecuaciones cuadráticas El discriminante Propiedades de las raíces (teorema de Cardano) Ecuaciones de grado superior Ecuación bicuadrada Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido 5 fp |D e s ig u a ld a d e s 207 Lectura de motivación 307 208 Definición 308 209 Números reales 310 213 Propiedades fundamentales 313 214 Intervalos 316 217 Problemas sobre variaciones 323 230 Problemas sobre máximos y mínimos 331 240 Resolvemos juntos 338 256 Practiquemos lo aprendido 355 Oin e c u a c io n e s t-ir 261 Lectura de motivación 361 262 Concepto 362 262 Inecuación lineal 368 262 Inecuación cuadrática 369 263 Inecuación polinomíal de grado superior 381 Inecuación fraccionaria 385 264 Resolvemos juntos 389 265 Practiquemos lo aprendido 406 271 1n V a lo ra b s o lu to IU 272 Lectura de motivación 411 275 Noción geométrica 412 278 Definición 413 282 Ecuaciones con valor absoluto 420 302 Inecuaciones con valor absoluto 423
- 4. T í¿V Desigualdad triangular Método dezonas Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido T e o ría de fu n cio n e s Lectura de motivación Concepto de función Definición de función Regla de correspondencia Funciones reales 426 428 432 450 i Gráfica de una función real Función como conjunto de pares ordenados 455 456 • • . A ] I 458 ‘ 460 462 465 í I laticos Í67 Ecuación logarítmica Resolvemosjuntos Practiquemos lo aprendido S iste m a ds e cu a cio n e s Lectura de motivación Definición Clasificación Sistemas lineales Sistemas no lineales Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido 523 527 543 549 550 552 552 565 569 585 I Funciones como modelos matemàticios 468 | I í ^ g ra m a c ió n lin eal Lectura de motivación 591 Funciones elementales Resolvemos juntos Practiquemos lo aprendido L o g a ritm o s Lectura de motivación Definición Teoremas Cologaritmo Antilogaritmo 470 AMOft 486 501 507 508 512 522 522 S O F Inecuaciones lineales con dos variables 592 Gráfica de una Inecuación lineal con dos variables 592 Sistema de inecuaciones lineales con dos variables 596 Programación lineal (bidimensional) 599 Resolvemosjuntos 603 Practiquemos lo aprendido 622 Glosario 630 Bibliografía 631
- 6. ‘•yvUr-]' '¡ y A - pr&pmé r: y • - .■ '• ■ ■ f ’. ' -- - ü p j ...••" " , .... t • ' .•' - . §•-*'• fe ? "* # ' - 'Ay". ■ '■ • . ' l.:. ¡t&J .' ......... *» , " "• i- i M P l S ; ■MrAkt '■ :■ yfi»99---- ■ v ■ -•^ v . v ■ ■ ‘■ ñt& f' ■ ■ v l8 in > ív'i-; ' : '•/ ¡ :' En ía historia de ias matemáticas, ios números naturales aparecieron muy pronto. Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad de resolver un problema de la vida cotidiana. Los hombres antiguos necesitaban medir longitudes, determinar áreas, calcular tiempos, pesos y otros tipos de medida. Al enfrentarse a estas necesidades, se dieron cuenta de que no era suficiente contar con los números naturales para obtener estos datos de manera exacta, ya que eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la misma, pero que no involucraban a los números naturales, por lo que fue necesario ampliar este concepto surgiendo así los números racionales. La mayor parte de nuestras actividades diarias implica hacer usos de tos números. Por ejemplo, al comprar una docena de tarros de ¡eche o dos manos de plátano, estamos usan do números naturales; cuando compramos 3/4 de arroz, 1/2 kilo de harina o 1/4 de huevos, estamos usando los números racionales. n ro n . UV *i< ti 7V - * > ¡» Identificar los números enteros y racionales. Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme ros enteros. Resolver problemas de las cuatro operaciones con núme ros racionales. El aprendizaje de este contenido es importante porque tiene relación con la gran mayoría de situaciones de la vida dia ria como, por ejemplo, el hecho de contar, medir, pesar, etc. Además, realizar las operaciones básicas, (suma, resta, etc.) en conjuntos numéricos como Z y Q es prerrequisito para los capítulos posteriores. ;ív - , I g j/ Í a __ í___
- 7. a* •mam iVÍmSy1“K Los signosde sumar y restar (+ y -) comenzaron a usarse a partir deí siglo xv. Antes se usa ban palabras o abreviaturas. En el caso de la suma se usaba p (plus) y para la resta m (minas). í Cuadrados mágicos Este juego consiste en un cua drado con nueve casillas, donde se debe colocar nueve núme ros diferentes que sumados en vertical, horizontal y diagonal siempre den el mismo resulta do. Utiiice los números deí 1 al 9 y complete el cuadrado mágico. 7 4 1 1. NUMEROS NATURALES (N) Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un con junto (por ejemplo, los animales de un rebaño) y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos. El primer conjunto numérico que se considera es el de los nú meros naturales, el cual está representado por N={1; 2; 3; 4 ;...} Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cuales quiera, el resultado siempre será un número natural. Ejemplos *"'* ' * 8+ 7= 1/ * 5-9=45 é v - 4 A* i x ... W - ¿ y S rS V St 1 k J v-..’:' J La suma 15 y el producto 45 son números naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre será un número natural. # £ % ✓ , ; K y Ejemplos j • 8-5=3 12+3=4 Los resultados son números naturales, pero 5-8 y 3+12 no son números naturales. Así, dentro del sistema de números natu rales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre podemos restar o dividir. nnm S=1 +2+3 +... +n — > Ejemplo 5=1+2 +3+... +30 -> S = 30(30 +1) =465 2
- 8. 1.1.2. Suma delos n primeros números impares S-1+3 +5+7+...+2/7-1 -» Ejemplo S=n¿ •S=1+3 +5+7+...+39 -4 S=202=400 -»2/7-1-39 — > n-20 1.1.3. Suma, de los n primeros números pares 5— 2+4+6+8 +...+2/? -+ S=n(n+1) Ejemplo / S=2+4+6+uóÍ I 'mz. w $ Á - i V / # » - > 5=20(20+1)=420 vtT jQ k . £ ja )-20 JÜ K b '*.# & % ¿Vi * i ^»r .f e En la vida real hay situaciones enjas que los números naturales no son suficientes. ,4 Por ejemplo, si tienes y debes S/.15, ¿de cuánto dinero dispones? í/ A continuación veremos otros ejemplos de situaciones en las que se necesitan números enteros. • “Debe S/.133” se escribe -133. • “Tiene S/.113” se escribe +113. • “El buzo está a 15 m de profundidad”se escribe -15. • “El globo está a 20 m de altura” se escribe +20. • “Bajamos al sótano 4" se escribe -4. • “Nació en el año 234 antes de Cristo” se escribe -234. • “El avión vuela a 3225 m de altura” se escribe +3225. . “El termómetro marcaba 5 °C bajo cero" se escribe -5. E! s¡gno =apareció en el siglo yvn y padece que la idea surgió porque ' no hay dos cosas más iguales que dos rectas paralelas”. Complete los siguientes cuadra dos mágicos: ? i ■ i, . !ÍT 7- 6 2 4 6 li T i; 5 9 á •;;¡!i
- 9. De los ejemplospodemos deducir que los números enteros son una ampliación de los números naturales. A los números negativos en ia Antigüedad los llamaban núme ros ficticios., absurdos o raíces falsas. Descubra cuál de estos cuadra dos es un cuadrado mágico. Indique, en el caso correcto, cuái es el valor de la suma de cada línea. 2 -1 -4 5 -16 8 -10-14 -7 -3 _ ~ > i_ 5 0 2 4 -1 6 1 Los números naturales se consideran enteros positivos. ■ - Los números enteros negativos van antecedidos del signo -. - .El cero es un número entero, pero no es negativo ni positivo. 2.1. La recta numérica Los números enteros pueden ordenarse de menor a mayor en la recta numérica. ... -3 - números epteros Ejemplo "y Vi** w ÍC v * “ y ¿Cuál es el valor de M y de N? números enteros positivos o números naturales Valor de M=1 Valor de N= -3 Cuanto más a la derecha está situado un número en la recta numérica, es mayor. Cuanto más a la izquierda está situado, es menor. Veamos los siguientes ejemplos dados en la recta numérica: N M 1. Notemos que -1 está más a la izquierda que 3, entonces -1 es menor que 3. Se escribe -1 < 3.
- 10. 2. Determinamos elnúmero mayor y el número menor. M N — ---- * -----i-----— *—- —i----- 1 ------1 ------> ► -6 • - 2 0 Notemos que -6 está a la izquierda de -2, entonces -6 es menor que -2. Por lo tanto, el número mayor es -2 y el menor es -6. 3. Hallamos el valor de A y de B. <-------- 1 ----- 1 ----- ----- i-----+ .---- * ------> 4 0 B El valor de 4 = -4 y de B=1. 4 B El valor dé 4 = -6 y de 5=3. / ¿0 '.*. $ 4-0 40* % Aplicación h ™ m * J ? ... 47 Escriba el s ig n ó lo slsegúri convenga. f ! p %_ w J W / C W ‘ - 3 ....- X m - 2 / .. 4 4 a. Tiíí'í 4*-' ■ #V0 A ~* 1 .# I / o Escribimos el signo que co rre sp o n d í// a _ k ^ / u . 4 ^ : 4 c. 4 > - 8 RESOLUCION -3 > -7 b.%;%2 ' V APLICACION2 - Ordene de menor a mayor, a. 6;-5;-10; 12 b. 4 ;-2 1 ;-6 ;-4 ; 6 Resolución a Ubicamos los números en la recta numérica. -10 -5 0 6 12 La respuesta es -10; -5; 6; 12. b. Ubicamos los números en la recta numérica. Por lo tanto, de menor a mayor, los números son 21, 6, -4; 4; 6. Ejemplos • (-2)5=2(-5)=-(2'5)=-10 . (-4)3=4(-3)=-(4-3)=-12
- 11. 2.2. Operaciones connúmeros enteros 2.2.1. Suma y diferencia de números enteros Veamos los siguientes ejemplos: ° +6+3=9 Si tengo S/.6 y me dan S/.3, entonces tengo S/.9. • — 7— 8 =— 15 Si debo S/.7 y gasto S/.8, entonces acumulo una deuda de S/.15. - 6+ 8=2 Si tengo S/.8, pero debo S/.6, entonces tengo S/.2. -5+ 3= -2 Si debo S/.5 y tengo S/.3, entonces debo S/.2. ' ' - V . „ Por otro lado, para sumar 3 o más números enteros, tenemos dos métodos: 0 ... a. Agrupar los dos primeros sumandos y sumar el resultado al tercer sumando, y asi sucesivamente. Ejemplo ¿i ' ' í* ' ' BN.V ' V* { VCé +7-5+4= +7-5 +44+2+4=6 O --' * * 9 H m * * é P "i'/ « b. Sumar los positivos por un lado y los negativos por el otro, y finalmente hallar el resultado. Ejemplos • -8+ 9-4= -8-4+ 9= -12+ 9= -3 • +6-4+9-5= + 6+ 9-4-5= + 15-9= 6 Si ios dos signos son iguaies, el resultado es positivo Si los dos signos son diferentes, el re sultado es negativo. •+(+o)=+a • -(-n)-+a • f(-£7)~-o • -(ro )--o Ejemplos + (+ 2)=2 +(-3)=-3 -(-/)- ? -(+5)--5
- 12. Capítulo t Conjuntosnuméricos Cuando se presentan algunos ejercidos del tipo (-5)+(-2), debemos tener en cuenta lo siguiente: Eliminar los paréntesis: -5 -2 Operar: -7 (—5)+(— 2)=— 7 Ejemplos 1. Hallamos los resultados de las siguientes operaciones: a. (+4) +(-5)=+4-5=-1 b. (-2) +(+4)=-2+4=2 c. (+1)-(+9)=+1-9=-8 d. (+3)-(-8)=+3+8=11 e. (-1)- (+7)=-1 - 7=- 8/ 8 f. -(-5)+(+7)=+ 5+7=J2 g. - (+ 3 )+ (+ 1 )- (+ 5 )= - % 1 - % ^ - 7 / ;2 Ejemplos • (+5)(+3)=15 • (— 3)(— 7)= 21 (+4)(-2)=-8 (— 5)(+3)=— 15 Para dividir números enteros debemos seguir los siguientes pasos: 1. Dividir los números sin signos. 2. Aplicar la regla de signos. /-Í'K -. jm r , ' 'íPh'. Mi < ¡e jr (+)+(+)=+ H * B = + Ejemplos ■ 24-^(+6)=4 • -20=(-4)=5 • +16-r(-8)=-2 - -32+(+2)--16 (+ )*(-)= - (-)-(+ )= - 2. Efectuamos las siguientes operaciones: | a. 7+5=12 % i Ti A % : b. -5 -3 = -8 . | '% : %%. * i c. 7-3=4 % ■ |p* : %s i d. -6+13=7 e. -4+ 6-7= + 2-7= -5 : f 4— 6+8=— 2+8=6 : g — 2+5— 9=+3— 9=— 6 : 2 2.2. Multiplicación y división de números enteros Para multiplicar números enteros debemos se- guir los siguientes pasos: f Multiplicar los números sin signos. 2. Aplicar la regla de signos. (+)•(+)=+ (+ )•(-)= - (_).(^ )= + (- ) (+ )= - 2.2.|^p¿^cigpes combinadas fty ''T^' p ' ** Cuando se .van a efectuar operaciones combi- *hay.que tener en cuenta las siguientes •^ % fno hay paréntesis, primero se efectúan todas las multiplicaciones y divisio es. Con los resultados obtenidos se hacen las su mas y restas. Si hay paréntesis, se efectúan primero las operaciones de los paréntesis de acuerdo con las reglas anteriores. Aplicación 3 Efectúe 5-(+4)‘(-2). Resolución Del dato 5-(+4H-2) 5 —(— 8) • 5+8=13 9
- 13. Aplicación 4 Efectúe 3+(-6)t (+4-7). Resolución Operamos Portanto, dentro del sistema de los números enteros, podemos sumar, multiplicar y restar, pero no siempre podemos dividir. Para superar la limitación de la división, exten demos el sistema de los números enteros (Z) al sistema de los números racionales (Q). 3 + (-6)-r(+4-7) 3+(-6)*(-3J 3 +(+2)=+3+2=5 Aplicación 5 Resuelva donde a=numerador y ¿>=denominador. “ 7+[— 2 - (-14) * (+2)]. / Ejemplos Resolución f A ' .A ? ... W M /jk . í ¡ €fc- 1 1 2 3 0AC 46 n 3 3 ■ ;— ; 46 - — ; 0,3 =— 7 1 10 Del dato - 7+[- 2- (-14) * (+2)] * » ? • V f ¡S ." % w ■•& • ■ •j& fcsr Jf V e ú « {c . , X * ........, .... ^ -7+[— 2 -(— 7)] -7+I-2+7] ;? • f % < > v í- *« ;/* . ■ " a ' 3 0 1' - y - no están definidos. o y o i ■ ... . _ j -7+(+5)=-7+5=-2 3. NÚMEROS RACIONALES (Q) w Es claro que los números naturales también son números enteros. Si sumamos, multiplica mos o restamos dos números enteros cuales quiera, el resultado también será un número entero. Porejemplo,-4+8=4, (— 4)(6)=— 24 y 4 -9 = -5 son enteros, pero aún no podemos dividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por otro lado, vemos que 8 * (-2)=-4 es un número entero; pero - 8 * 3 3.1. Adición y sustracción de fracciones a. Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse simple mente sus numeradores. a b a+b - + - - --------------- • x c c V__ _________ _. Una regla similar se aplica a la sustracción. a b a b no lo es. V
- 14. Ejemplos _5_+J ! _5+11 _ 16 13 13" 13 " 3 9 + 5 = 9 +5_14 7 + 7 7 ~ 7 “ 2 _3 5 _ 3-5 -2 -1 2x 2x 2x 2x x 5 ! 7 _ 5+7 __ 12 6 6 6 6 5 2 _ 5—2 _ 3 a a a a b. Cuando dos fracciones tienen denomina- ■ 'i ' ¿ dores diferentes, se procede de la siguien-/ te manera: & a c ad+bc b +d bd . " ■ í> %i ■ v íV « í'} jfi- Una regla similar se aplica a la sustracción. Ejemplos 5 1 5-2 + 1-6 10+6 _ 16 _ 4 ~ £ + 2 = 6.2 = 12 _ 12_ 3 5 1 5-4-1-6 20 —6 14 _ é ' ? " 6-4 24 "2 4 12 . x 3y _ 4-x+3y-6 _ 4x+18y 2x+9y 6+ 4 " " “ 6-4 24 12 , 2 ^ 3 2 _ 3-5 +2-1 _ 15+2 _ 17 5 " l + 5 " 5-1 5 ~ 5 4 4 2 4-1-2-7 _ 4-14 _ 10 7 7 1 " 7-1 7 " 7 c. Casos particulares Suma de un número entero con una t fracción $ a ; Ejemplos : ! ✓ 15+1 16 * 3 + - = ------= — X / „ 2 12+2 14 3 3 3 Resta de un número entero con una fracción b ac-b g - ~ - ------ c c Ejemplos 2 20-2 18 4 - ? = — =T 3 _ 2 8-3 = 25 7 4 " 4 4 6-4
- 15. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores -b f rr* -I< !/• 1' í / ■[Reto.alg BÜ errr--:..- Establezca' si cada una de las igualdades es válida o no. Lue go reemplace cada proposición falsa por una verdadera. ■ •■ ■ ' W ’ Ii 1; : ’ i [ // ;]! 1 ■ ! !II H ! i (•; m { b. . c. e. a. = _ 5 + 5 ~ 5 / ’ yv ’// f 5 ■5__ 5 3 + 4~ 7 2 | 5 _ 2-f5 3 + 9 3+9 1 1 _ 1 2 + 5 ~ 2 +5 2 _ 1 2 +7 ~ 1+7 x + y ----- =x y 2 5 , 7 3 + 9 ~ 12 />- j l ! i | //. L a Aplicación 6 Determine el resultado de operar — K 4 5 Resolución Del dato 13 16 _ 13-5-16-4 4 5 ~ 4-5 6 5 -6 4 ^ 1 20 “ 20 A plicació n 7 Indique el valor de la siguiente operación: Í 4 - 1 1 M V 4 A 5 3 Resolución Operamos; J w . * A > , + I J p * * ■ .... y í 16-1Y 3 + 5 4 A 15 Aplicación 8 Cr 3 f2-, 1 ;;f 2 ) 17 Efectúe 2 •—+ - - - + — . 4 VS 2 3J 5 Resolución Operamos , 3 (2 1 2^ 17 2 i ■ » ,,?W ws 3 2 l 2 + 1 7 3 + 2 7 ^ 2 0 + 1 7 ^ +l l Ó ' 3 j +T _ 2 +l 30 + 5 15-3 7 17-6 45 +7 +102 15.2 + 30 5-6 30 154 = 77 30 15
- 16. 3.2. M ultiplicaciónde fracciones El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en pri mer término los dos numeradores y luego los dos denomina dores. Ejemplos r 11, 2-7 14 3-11 33 S V 2-5 _ 10 _ 5 7 A 6 y ~ 7-6 _ 42 21 f A^/ y '2x •4 > 3x 3y v y ':< v :: § % , 1 t ^ j n - 5 / £ ‘■ f e ''W * & -ir 1 § % . v á - ** r* « 5 * . ' x ' ...< 5 » X' A v . : „ 3.3. División de fracciones »V . . x „ íj . V ’ '* -v Para dividir una fracción f 4 | t 4 la'íégúrida fracción se invier /V *. /Mk '% te y después se multiplica por la primera. % _____ 3Vj------, i5 - , ' % .X'- ( c ^ 1;$ b.¡ d ) l . ' c A a d i c J be 3 10x
- 17. Ahora repasemos lostemas anteriores con otros ejemplos. i d + 4 y = l + l . 3 y 3y 3y 3y 1 1 1-2 —1-6 2 - 6 6 2 “ 2-6 12 4 12 1 1 1-15 + 1-10 _ 15 + 10 _ 25 _ 1 10+ 15 ~ 10*15 ” 150 “ 150 6 2 . -n,,2 </2 i 191/2 3y 3y 3y a 2 ¡ a ^ ^ 3 ¿ > v¿ > 2a, o | S II x x 3x + 2x 5x 2 + I ” 2-3 ~~6 a-6a b -5a-a b-b-3 -5a¿ +3b‘ --------- i---—---------- 1 --------- —--------------- 3b a 3b-a o b-3 3ab a a 3 -o 2o -2a -a 6b 2b 6b 3-2b 3• 2 M ~ 6b « n 3 ¿ > Aplicación 9 Calcule el valor de la expresión M. 2 V J + 12> 1 + 1 = .10 4 y Í'2*4 + J 4 7 fcÜ ST+.T 3*4 12 J v10 4 y ; .12 " i" ^4> x + 2x 28 + 10 40 3 .4. 40 y . 3T111%. 5 ..I 3 M = — --Í-- +- - 5 + - 2 4 . 2 3 J 4 Resolución , " % | ¿/Operamos 19 20. 57 80 .íi * H * fe 2*1 1 _ 2 + 1 _ 3 2 *x 2x 2x 2x o o _ a a-6 _ a-6a _ -Sa 6b b 6b b-6 6b 6b 3 Í 1 1 5 M = — —-5 -—+ —+ 5 214 2 3 3 +— 4 « = l ^ 1 t i 1 7 ' T + b *x 3 +— 4 „ ■ I 1 1 —+ - 2 3; ^ 3 + — 3 f3 + 2 j 3 M = á - r J + 4 i + i 6x 4x 14x 2 -7 -x + 3*3 2 2*6x *x 3*4x‘ 14x +9 + 12x2 12x¿ 12x M ¿ í 5 M = I ^ 3 5 3 8 +- _> m = - +- = - 4 4 4 4 2 M =2
- 18. Capítulo t A plicación 10 Se tiene la siguiente fracción irreductible: 4 i ) f 2 > f 4 1 ~ + — -r --------- h -2 v5 10J 13 J v9 2 ) Halle el valor de b-(3+4a). Reso lu ció n Además, podemos sumar, multiplicar, restar y dividir dos números racionales (exceptuando la división entre cero) y el resultado siempre será un número racional. De esta manera, las cuatro operaciones fundamentales de la arit mética (adición, sustracción, multiplicación y división) son posibles dentro de los números racionales. Operamos o ~ b a V o ~ b 15-2 10; 2 [ 3-3 V 3+ 3 . V i 9 / ■ ^ 2 8 + 3 10 . 2 + 9"| . 3 , § + 2 '11 v rn"! 'í i ' JO y ,3 J Wiy 3 1 10 + 9 ■ y £ = 2 _ 1 b ' 10 9 £ = — b 90 a _ 27-10 b~ 90 A W '%K Entonces a=17 y b=90. Nos piden _ (3 4c7)=90 — (3+4-17)=90— (71)=19 4. NUMEROS IRRACIONALES (ü) Debemos recordar que un número es racional si podemos expresarlo como la razón de dos enteros con denominador diferente de cero. Acr 2. _jL- £ v 7 =- son ejemplos de núme- Asl 3' 10' 5 Y 1 ros racionales. ; También existen algunos números de uso co- • mún que no son racionales (es decir, no se i pueden expresar como la razón de dos ente- i ros); por ejemplo, y¡2, Í3 y n no son números racionales, tales números se denominan nú meros irracionales. ; Ejemplos _ _ f % n 0 % ' -jr~ i j f 5. NÚMEROS REALES V i) : La Unión de los números racionales e irracio- nales es el conjunto de los números reales. R I S : n /7;^ 5;ti; -
- 19. ; Ejemplo Dado elsiguiente conjunto: o ^ -10; 50;— ; 0,538; V il; 1,2; ! • Los números naturales son 2 y 50. Relación entre los números y los ángulos * Los números enteros son 2; -10 y 50. • Los números racionales son 2;-10; 50; y ; 0,538; 1 , 2 y - y ° Los números irracionales son VÜ y IÍ2.. 5.1. Propieda úmeros reales Todos sabernos que 2+3=3+2 y que 9+6=6-t-9, y así sucesi vamente. En álgebra expresamos estos hechos de la siguiente manera: a+b=b+a, donde o y b son dos números cualesquie ra, es decir, a+b=b+a es una manera concisa de decir “cuan- do se suman dos números, no importa el orden en el que se sumen”. Este hecho se conoce como la propiedad conmutativa de la suma. ^ . f ' / A ,/ ' ' Ahora veamos algunas propiedades. 5.1.1. Propied ad^oíp u tativa Si a y b son dos números cualesquiera,-entonces Cuando se suman dos números, no ¡m- a+b-b+a porta e|orcjen Cuando se multiplican dos números, no ab=b° importa el orden. Ejemplos • 3+7=7+3 • 3+(-8)=(-8)+3 . 3-7=7-3 • 3 (-8 H -8 )3
- 20. 5.1.2. Propiedad asociativa Sia, b y c son tres números cualesquiera, en tonces [5(3c7Ó)]2<7=(5■ 3 •2)(a■ a) •b=30a2b 5x+(4y+2x)=5x+(2x+4y)=(5x+2x)+4y=7x+4y Cuando se suman tres nú- {a+b)+c=a+(b+c) meros, no importa cuáles dos se sumen primero. Cuando se multiplican tres (iab)c=a(bc) números, no importa cuáles dos se multipliquen primero. Ejemplos • (2+3)+7=2 + (3+7) • (4+7)+11=4+(7+11) • (3-7)-8=3-(7-8) • (2-3)-7=2-(3-7) 5.1.3. Propiedad distributiva^ v ' / Si a, b y c son tres números cualesquiera, en tonces cuando se multiplica un número por una suma de dos números se obtiene eLrnís- ; mo resultado al multiplicar el número por cada uno de los términos y luego sumar los .resul tados. a{b+c)=ab+oc (b+c)a=ba+ca Ejemplos • 2(3+7)=2-3+2-7=6+14=20 . (— 2)(3 +(— 8))=(— 2)3+(— 2)(— 8)=— 6+16=10 . x(y+3)=*K+* '3=xK+3x . 2x+3x=(2+3)x=5x . 2(3x)=(2*3)x=6x . (2x)(3x)=((2xp )•3)x=(3•(2x))xp =(6xlx'=6(x-x)=6v2 • 3x(4y+5x)=(3x)(4y)+(3x)(5x)=12xy+1S'/ 5.1.4. Elementos identidad Si a es un número real cualquiera, entonces ¡7+0=0 y o-1=o. Es decir, si 0 se suma a o, el resultado es o; y si o se multiplica por 1, el resultado de nuevo es o. Por esta razón, los números 0 y 1 a me nudo se conocen como elementos identidad para la adición y la multiplicación, respectiva mente, porque no alteran número alguno bajo sus respectivas operaciones. Inversos# ry/. Si o es un número real arbitrario, entonces existe un único número real denominado el negativo de a (denotado por -o), tal que v . - ’ v " -- r V" * y y i, o +(-o)=0 Si o no es cero, entonces también existe un único número real denominado el recíproco de a (denotado por a-1), tal que o-o“1=1 Observe la similitud entre las dos definiciones: cuando -a se suma a a, el resultado es el ele mento identidad para la adición; y cuando a~‘ se multiplica por a, el resultado es el elemen to identidad para la multiplicación. A menudo nos referiremos a -o como el inverso aditivo de a y a o-1como el inverso multiplicativo de a. (Algunas veces o-1 se denomina simplemente inverso de a). Ejemplos • El inverso aditivo de 3 es -3. • El inverso multiplicativo de 3 es 3 .
- 21. A plica ción 77 Reduzca la siguiente expresión: 2- 1-1 3 4 Reso lu c ió n Operamos 1 2_2 3 5. 2 ■ -,¡3 0 - 6 " 3 4^ 15 j 2 / 3 / 1 5 2-15 1-5 1-15 3-5 3 0 -5 -5 _ 15 _5_ 15 y í 4 3 H -v. + ^ //M . Aplicación 12 Simplifique "2 2^1 (2 n f 1 V3 5 j 5 ------I_ - + - 13 4 ) v.3 1 ) 2 7' Resolución Operamos 2 1 f 1 1 V3 4 ) r 8 - 3 . v 12 3 7 7 + 3 21 — > 3 i / 2 3 15-1QÍV5, ,6 5 fl ¿ V i ¿ K * % < í^ > v .X-. pt.i 'A /i'' - < V X ? k I V ;q. ÍO v ^ T ? ' El sudoku E! juego consiste en colocar en cada una de las 9 filas, columnas y cuadrículas de tres por tres los núme ros del 1 al 9. 1 2 8 5 r 8 6 3 9 4 9 1 3 2 8 2 3 9 1 5 4 I > L . J ¡ •j 5 3 1 1 8 3 8 1 A í 9 6 7 3
- 23. Problema N.*1 Determine lasuma de los 15 primeros números • naturales. II. Correcta Efectuamos -17 > -22. Ubicamos los números en la recta numérica. A) 15 D) 240 B) 100 C) 120 E) 16 -22 -17 0 +< * > Resolución Nos piden 5=1 +2+3+4+...+15 15(15+1) S = 5 = 2 15- í -> 5 = 15-8 Notamos que -22 está más a la izquierda que -17, entonces -22 es menor que -17. Luego, -22 <-17. III. Correcta Efectuamos -32=-32 5=120 % & da Clave % ' # W . -fe C/o/e • • P r o i W _____ : % J L p j,r Efectúe las siguientes operaciones: Problema N. 2 ~ -------------- ---- ------ — ...-y 35-24-12 +45-22 +6 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son, correctas? I. -7 <-10 II. (-8 -9 ) > 3 -2 5 IH (— 8 )(4)=(— 16)(2) A) solo I D) solo II B) I y II C) I y III E) Il y III Resolución I. Incorrecta Ubicamos los números en la recta numérica. -10 - 7 0 + < * > A) 24 B) 18 D) 15 Resolución Del dato 35-24-12+45-22 +6 T 1 1 - 12 ----- r _ -1 + 45 i i 44 - 22 22 + 6 p 28 C) 40 E) 28 Notamos que -10 está más a la izquierda que -7 , entonces -10 es menor que -7, es decir, -10 < -7 . Clave
- 24. Problema N/ A Indiqueel resultado de la siguiente operación: a _ (-6)(-3) +(8)(-2) (— 5)(3) —(— 7)(2) A) 2 D) -2 Resolución B) -1 C) 1 E) -4 (-6)(-3) +(8)(-2) (-5)(3)-(-7)(2) primero efectuamos la multiplicación. 18+ (-16) 4 = 4 = -15-(-14) 18-16 -15 + 14 A = -2 Problema N.‘ 5 4 = -1 - % .fi-0 Clave ; : Rrafolsma M.’ 6 _________________ ________ Efectúe las siguientes operaciones: 6+(13-15)-[(8-4)+(-2)-6+(-3)] i A) 7 B) -3 C) -2 I D) 1 E) 0 : Resolución Del dato 6+(13-15)'- [(8-4)+ (- 2)- 6+(- 3)] ... — . — -q------- 4+(-2) - (-2) 6 -i- (-2 ) - l-A + ¿¡ j- 6 + ( - 2) - 0 -3 , J?' . Clave . :.Y.. M i l Efectúe las siguientes operaciones: rrouusm q - » _________________ t — * : indique el valor resultante de la expresión M. 3-8+ 5-(4+ 2)-(40^ 5)-3-5-4-2 M=8+(-4) +(-6)+ 2-3 A) -8 D) -1 B) -3 C) -2 E) 0 A) 6 D) 3 Resolución B) 5 C) 2 E) 20 Resolución Del dato M= 8+(-4) +(-6) +2-3 primero efectuamos la división. M=(- 2) +(-3)-3 M = -2 - 3 - 3 M =-5-3 M --8 Clave Del dato 3-8+5-(4+2)-(40 + 5)-3-5-4+2 T 7 T / 24 + 5-6 - 8-3 - 20*2 t i t r X + 30 - ^ - 10 30 - 10 ?n Clave
- 25. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores mmm Problema N2 8 Reduzca la expresión N. N=-[-(2+1)+3-{(-2+1)+5}+4]-6 A) 0 D) 6 Resolución Del dato B) -1 C) 1 E) -6 N = -[-(2+ 1) +3- {(-2 +1)+5} +4] - 6 /V= - [ - / + / - { - 1+5} + 4 ] - 6 ✓ A/=— [— {4} +4]— 6 W= - [ - / +/ ] - 6 I I ti . /. /N /= — [0]— 6 =0— 6= -6 « ? ;■ » ’,-íK Íir 3 v-" ¿ Problema N.’ 9 ,1-,____ 1■ Clave ¿4, '% á % Halle el resultado de la siguiente operación: £ = - - - 4 6 6 6 • 1 » ! » ! E) 1 Resolución Como las fracciones son homogéneas 13-11 +7 3 5= 6 ¿ 2 C/ove Problema M .* 10________________________ Halle el inverso de la siguiente expresión: 1 3+ 1- I 2 A) 4 D) 2 B) Resolución Operamos -, 1 -, 1 3 +-— - = 3 + 1 - 1 2-1 1 2 $■ ■•s (fl < »yv4 -4 3+4=3+2=5 V vi ' XV. ... u ■ ó ? - ' Por lo tanto, el inverso es Problema N." 1 1 Reduzca la expresión F. F = 4 _ 13 13 15J —+3 U 10 21 * - 3 » - ! C) E) 1 5 Clave o - l
- 26. Resolución Operamos F = í 5-413' F = F = 5-3 15 J r 20-13Í ^ 15 J í / 1 . / A f 4 3-7' — i ----- w 7 , 4 + 211 10 . 7 J‘2 1 10 21 10 21 c 5 10 _ F - - +— — » F = 3 21 ¿ . 4 i )6 2 , F = I 2 ........ . * •t¿* k e* • :U X *S .r J » • CÍQveX Á Problema N/ 12 Halle el valor reducido de E+M. £ = 4 1 . 1 1 H -------H 1.1-2 2-3 3-47 M = 55 + - ^ + 2 A) 2 D) 8 U - 7 7-9 9*11/ B) 5 C) 7 E) 9 Resolución Primero hallamos el valor de E. r - . Í l 1 1 1 E = 4 -----1 ------ f*---- 11-2 2-3 3-4 £ = 4 9 A A A A a O % % £ t 4 E = 4 { 4 j { 4 4 ) E = Á -> £ -3 ( 4 - 1 Ì v / y Ahora hallamos el valor de M. f M = 55 M =55 2 2 2 + -------+ 1.5-7 7-9 9-11. 1 '. y _ i ' ' 5 tí +tí b 11 Ti O M = 55 - - - V 5 11J M = 551 % / & ■ Jr ‘ M - 55 -> M=6 11-5 . 5-11 ' 6 ^ £+M=3+6=9 Clave Problema N.‘ 1 : Si M = 2 _ i 2 5 1 _ 1 3 4 halle el valor de 25M+1. A) 91 B) 19 D) -26 C) 28 E) 0
- 27. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores . ______________________________________ _________________________ Resolución Operamos 1-1 5~ 2 M _ 2 5 _ 10 1 _ 1 4 - 3 3 4 12 -+ M = — _1_ 12 M 3->2 . . 18 M = —7— -> M = — ;0-1 5 Nos piden 18 25M + 1= ,25--4 +1 5 5-18+1=91 Clave ...............-..1— — Halle el equivalente de la expresión 5. ( 1 Y 1 Y Y { s=l1 + i) r ll1 + 4 A w A)f D)í Resolución Del dato B) 1 cy . E ) I 5 = 11+ ~ ' 1 1+ - 1+¿ . 4 ) 5 = 2A 3 ; 2 + l Y 3+ 1Y 4 + 1 A T A 3 A 4 , 1 + ¿ . 10 + 1 10 . s A " 2 Clave Problema M ." 15_______________ ___ __ Calcule el equivalente reducido de T. T = ( 2 5 6 a ---1 -------- x x 2x 1 + 2 V x ■ (2x +1) A) -3 D) x+3 Resolución Operamos T= B) 4 Q - 3 E) 4 ( 2 +.S fi Ì í 2 + 5 - 3 Ì x x / X -(2x+1) -+ 7= X 1 2 1+2x - +-vX — V# X :X ' • •V 1 x ; T= A-J X Í2x +1 ) r=4 (2x+1) ■(2x+1) -> T -- ' 4 ^ V2X<1 y Clave Problema M.c16 Reduzca la expresión 1 _ 1 p = -C — £-• a; b e N. 1 1 a + b A) D) a -b a +b a +b b -a B) fe-a (7+ ¿> C) E) 0+ò a -b ab
- 28. R esalu den Operamos 1 1 b - o p _ a___b _ ab 1 _ 1 b +a a b ab p = {b - a)p6 {b +a)#é P = b -a a +b 1 1 1 N s¡ _ + _ + - = a b c abe i Clave halle N-ac. A) ab+bc B) ab-bc D) bc-ac Resolución Por dato 1.be Vac_ 1 ab = N .~¿Tbc + b-ac ca b abe bc +ac +ab _ N pÜc fitá C) ab-ac E) ac+ab bc+ac+ab=N hc+ah=N-ac . fl-ac=ab +bc Clave Problema M‘ 18 Simplifique M. M = —- 1 1 ( 2- 1 U 2 + 2, A) 1 D )I B) -1 Q § E >I Resoluci&n Operamos 4 M = 1 1 22 +2 1 1; M = — 1 1 2 - 3 + 11 l 22 M = — : * * 1 1 M = — 1 1 « 3 22J 2-11 7 1 1 11. M = —- 1 1 2 2 -7 1 1 M -4 15 — /W — 1 1 1 1 1 1 1 1 Clave Froblema N.‘ 19 Reduzca E. -KM) 2 _ 5 ' H) ») B) 1 12 C) °) | E) 1 ro uj I kj
- 29. Operamos 12 E= 13 . 12 E=13 3 Z'j_ 2 . '1 2Ì --1 -- ll 5J U 7) 5 ( 21-8^ _ 2 . ( 5+2s l 28 J 5 l 5 J 13 2 . 7 -+ E= zé 5 ‘ 5 3 _ _ 2 X 7 X '7 3 _ 2 _ 1 _ £"7 7 7 / -jtsr ? . Clave ... • ~ 3 ' éW 'Ém - % W-:J aZa f % v A -A -y ^ y .-. ■ & ¿mw m Jr 4¿>' ' ------------------- Calcule el valor de H. H=23-5(7-4)+6(5-2) A) -15 B) -1 D) 34 Resolución Operamos H=23-5(7-4)4-6(5-2) H=23-5-3+6-10 H=23-15 + 60 /-/=8+ 60 • H=68 o 31 i r E) 68 Problema N. 21____________ Calcule el valor de F. F=22-2[4-6-(9-1)+6+2]+8 A) 1 D) 44 B) 5 C) 7 E) 55 Operamos F=22-2 [4-6-(9-1) +6 -r2]+8 F-22-2 [4-6-8+3]+ 98 F=22-2[7-14] +8 k-V, ...V ' ^ 2 2 ¿ 2 (-:7 )k 8 f W<af=22;-fetÍ+8 % -ís “ ,5 « ;' , 'W F=44 Clave Pi Gfalernn ri ____________________ Calcule el valor de la siguiente suma: — 1 | 1 ! 1-2 + 2-3 + 3-4 Clave 20 B) « C) 39 21 42 40 39 E) 19 42 22
- 30. Capítulo i Conjuntosnuméricos Resolución De la suma 1 1 1 1 — + — + ------- + + ---------- H . M 20j_21 i e r 2o i s! 5 fumando sumando sumando i/ ,/ ,/ ,/ J sumando +É Á +'"+É 21 1 1 _ 21-1 _ 20 1 21” 21 ” 21 Problem a N.° 23 Clave Determine el valor de la expresión J. J =- + 2 5 » ? » i Resolución Operamos ( 1 0 7= ? + 2 J = h 2 1 o 5 +2 1 „ / 1 Ì 4 " - + 2- 2 - — H --- 3 k 3y 5J 3 B) 7 7 +— 3 C) 28 7 E) — 15 "1 o - +2 - r f 4~ 2 - - +7 _3 l 3, -— r- I i 5. ~ 1 n —+2• 5 4 7 - +— H — L3 3 5J 3 7 H — 3 1 1 4 L 3 + 5. 7 *3 1 o J=5+2 55 +12 15 J =l +l ( * ) 5 V15y 7 H — 3 , 3 1 134 7 5 , 3+134 +35 7 = ---- + — +- • - -> J = 3 5 15 3 5 15 15 Clave Problema N.‘ 24______________________ Simplifique las siguientes expresiones: a. — 2(— 4 — 2) b. — 6— 2(— 3— 2) c. 3(4z+2x) d. -t-x -3) . e. -4(x-6) f. 3y+4(x+2y) r■ ,ó * ' & " g. -4x-2(3z-2x) h. 3{y-2x)-2(2x-2y) i. - 4(8z-2f)-3(-t-4z) j. 2x+5-2(x+2) k. 4[x(2— 5)— 2(1— 2x)] Resolución Simplificamos cada expresión. a. — 2(— 4— 2) -2(-6)=12 b. — 6— 2(— 3— 2) — 6— 2(— 5) -6+10=4
- 31. c. 3(4z+2x)=12z +6x d.-(-x-3)=x+3 e- -4(x-6)=-4x+24 ! Problema N.* 25 Dados los números 1 4 = 1- 1 y 6=0,66... 2 - 1 2 i determine el valor de A-B. f. 3y +4(x+2y)=3y+4x+8y = 11y+4x > g. -4x-2(3z-2x)=-4x-6z+4x=-6z 1 B) 3 C) 2 3 4 E) f 3 3 h. 3(y-2x)-2(2x-2y) . 3y-6x-4x+4y 7y-10x i. 4(8z- 2í)- 3(- f- 4z) 32z-8f+3f+12z 44z-5f j. 2x+5-2(x+2) ¿ / + 5 - ^ - 4 5-4=1 k. 4[x(2-5)-2(1-2x)] 4[-3x-2 +4x] 4[x-2] 4x-8 % j Resolución Primero, hallamos el valor de A. 1 _ 1 1- 3 4 ■ & . : ^ = 4 t - = » %■ f;. x T Íy í'V ír ¡ / . £ 4W n: É¡1F I .áSF # : • »«Ir a * -4 (¡S % : 2 4 < h ? t* * ' • ^ * 'A $ "• éAS % :> . . V 1 í- ■ ■ * i-' Ahora, hallamos el valor de 6. 6=0,666... — > 6 =— — > 6 9 Nos piden 4-6 =3 -| =2 Clave Problema N.* 2 6 ________________ ______ Determine el valor de a si se sabe que (q+1)+(Q +2)+(fl+3)+...=630+10q- !*»mui» A) 45 D) 41 B) 44 C) 43 E) 42 ri | m
- 32. Capítulo i Conjuntosnuméricos Resolución Del dato (q+1)+(q+2)+(q+3)+...+(q+20)=630+1Qq t " 2o 3.-r 20°' término término término término a+o+...+o+1+2+3+.„+20=630+10(7 20 veces - 20o+210=630+10o i 20o-10o=630-210 10o=420 o=42 Problema N.“27 / jf S íÉ B .f - ) | i ® - . á 1 | V / w En cierta parcela se cultivan - partes de trigo 5 V en el resto 200 m2de maíz. ¿Cuál es la super-; * fide de la parcela? ... ’ > > > «5^ A) 50 m2 D) 500 m2 Resolución Tenemos B) 125 m2 C) 250 m2 E) 1000 m2 trigo _> — partes — > sobra - maíz -> j parte (que equivale a 200 m2) Por lo tanto, la superficie de la parcela es igual a 200-5=1000 m2. Clave Problema M° 28__________________ 3 De una botella de - de litro se ha consumido . 4 la quinta parte. ¿Qué fracción de litro queda? 5 4 3 5 Resolución Por dato, se ha consumido la quinta parte; 4 entonces queda sin consumir —de la botella. /w3 . . . 4 3 3 Luego, - de -vd e litro=— —- =—- 1 1 ,5 # J K p 5 4 5 A) I B) 1 C) 4 3 D) 1 2 E) : I jé iw & ié ^Js; Pór Ip;tanto, - de litro queda sin consumir ¿y i w Clave Problema N.* 29________________ Las temperaturas medias que se alcanzan en un mismo mes, en distintas ciudades, son -5 °C, 3 °C, 10 °C, -7 °C, 0oC y 12 °C. Ordénelas de menor a mayor. Resolución Ordenamos de menor a mayor. -7 °C, -5 °C, 0 °C, 3 °C, 10 °C, 12 °C
- 33. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.‘ 30 Aristóteles murió en el año 322 a.n.e. y vivió 62 años. ¿En qué año nació? A) 384a.n.e. B) 260 a.n.e. C) 128 a.n.e. D) 383 a.n.e. E) 420 a.n.e. Resolución n.° de años vividos ano en í año en .que murió./' l^que nació Reemplazamos los datos. | 'mkT I 62 = -322- f ano en l^que nació) A r año en que nació ( año en ^ que nació = -322-62 = -384 % Jr Por lo tanto, Aristóteles nació en el año 384 a.n.e. ; Clave [ A .• Problema N." 31 1 Lizet va al mercado y gasta en carne - de lo que tiene; en cereales, —de lo que le quedaba; 4 Z ) V - del resto, en verduras. Si todavía le queda 8 S/.20, ¿cuánto gastó? B) S/.40 A) S/.64 D) S/.44 C) S/.15 E) S/.52 Resolución Suponemos que Lizet tiene x soles. Gasta de la siguiente manera: 1 , . 2 » En carne: - x , entonces le queda —x. (2 ] - x i 3 J » En cereales: — „ f % * ,,4. # 'V v T Ä f: ¡f * í 3 C rr eritonce$1e queda — í -X M ;J " / * v f 3 "3 2 V iT:V • • En verduras: - -X C 5 0 ¿y f <4 l3 )j entonces le queda Por dato ^ . i Z x =20 -> x =64 8 4 3 Por lo tanto, gastó 64-20=S/.44. Clave
- 34. Si se cumpleque ¿=(-1)+(-1)+H)+(-1)+(-1) determine A+B. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) con respecto de las siguientes igualdades y elija la secuencia correcta. 2-3 4 A) -5 B) 3 C) 2 D) -2 E) -1 II. 2 -3 4 Reduzca la siguiente expresión: (6-5) +(5-4) +(4+20)-(20+3)+(1-3) A) 20 D) 1 B) 3 C) 16 E U ) Simplifique la siguiente expresipff^ I' % -[-(2 +1) +3— {(— 2 +1) +5} + A) 2 D) 6 B) -1 V - r ÆÊ$ O f ¥ y 0 Reduzca la expresión D. D - % .¿i! ' ‘■ íjífr III. ~2 2 __2 _ 3 “ -3 A) V W D) FW B) VFV C) FFF E) VVF 7. Si se cumple que >;3' I 5’<& % % %M -V* ** f iv 2 •jt • -î# C , indique el valor de A) 7 D) 8 B) 5 C) E) 6 3 5M 7 A) 3 D) 7 2N 7 B) 4 C) 6 E) 2 Reduzca la expresión K. r = |.( - 6 ) + 4 ^ ]- 6 - 3 (2 ) + 1(-1) Simplifique la siguiente expresión: 1 4 + / 2 v2 5 1 _ 4 U 5 1 4 25JI B) 4 C) -4 E) 0 A) 3 D) 1 B) 2 A) 8 D) -8 C) 4 E) 6
- 35. COLECCIÓN ESENCIAL - :-t *■+ .;-v,' Lumbreras Editores nmammmm 9. Si tenemos que c?=-2 + 3 - 4+5 b=6 -3 + 2 -1 determine el valor de o +b. A) 2 D) -33 B) 6 C) 33 E) -16 10. Calcule el valor de P. A) 3 D) - 1 B) 3 11. Calcule la siguiente expresión: 1 1 . 4 + — 3 C ) - 3 , " - j E) - ‘*3 3 w / i y." 2 _ j _ : + 9 + i 1 _ 1 1 9 6 2 3 2 -C % A) i 3 » >i D) 1 12 Calcule el valor de £ 3 Í 1 1 5 'I 3 E) 0 A ) ! D) 2 13. Simplifique la siguiente expresión: 3 2 1 - - + - 3 2 A ) i 1 1 B) 1 1 D) 7 c ) ! E) 1 14. Si S=2+4+6+... (20 términos) r=1+3 +5+... (20 términos) halle el valor de (5-7). A) 20 . B) 0 D)’ - 20 v ? < .• j'v v ?‘ 11^ Hálle el valor de 5. 1 1 5 =>— +----+ ------+... + C) 10 E) 40 1 7 3-6 6-9 9-12 30-33 A) 11 33 B) 1° 99 0 10 33 D) J1 30 E) — 90 16. Simplifique la expresión/ , ( , 2 3 V i 2 8 l J _ í + 7 + 1 4 A 5 + 3 15/ Luego dé como respuesta el valor numéri co de 27+5. 1 4 C) 11 4 j A) 1 2 B) 5 C) 6 E) 35 8 D) 3 2 E) 1
- 36. Ti Determine laraíz cuadrada de la siguiente expresión: ■ N = 1 1 1 + 1 48 192 96 B) 8 A) -8 D) 1 18. Si se cumple que C) -1 E) 9 3+4+5 +6+... +21=abc indique el valor de a+b+c. A) 381 D) 384 B) 382 / C), 383 > :E) 12 ■ i < > ■ ,‘V & < ;9. Determine el valor de V42A/ + 5 si 1 1 1 1 1 ^ = 12 + 20 + 30 + 42 + + 182 '%! 21. Simplifique la siguiente expresión: 144 25 V . 125 12 6-15:49 l 14-18 6 +2 6 ) Luego, determine el inverso multiplicativo del resultado. A )4 B ) 56 D) 55 C) 56 E) 56 22. Si tenemos que II * í 3 A — I— / 1 11 -- 1 -- í | - i ] -% ; U 3yV6 2y13 2y halle el ..valor de 18x. :y - :- > ;• . A) 1 B) 2 C) 13 3 ' 13 D) •— C 2 6 E) 13 A) - 4 D) -2 B) 4 E) T Dadas las siguientes expresiones: __3_ 5 1_ X " 2 0 + 60 18 _ 12 30 20) 27 13 8 2 o y = z—+ —+ 3 7 5 5 halle el valor de x+y. A) 0 B) 1 D) -1 Si sabemos que 1 5 3 7 A —— i-——— •+— ■ 2 2 2 2 6 = 0,25 + 0,75 + ^ determine el valor de A +46. A) 9 B) 10 D) 6 Halle el valor de x. x=1 +2 +3 +... +15 C) 1 1 E) 7 C) 6 E) -2 A) 38 D) 41 B) 39 C) 40 E) 120
- 37. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores 25.Halle el valor de n si se sabe que 1+3 +5+7+...+r¡=2500. 29. Simplifique las siguientes expresiones. A) 99 D) 88 B) 100 C) 80 E) 90 26. Efectúe las siguientes operaciones: * - ?-H )l HHH-i 4 3 ( 1^ 1 [1 3 _ 1 C 3 4 v 6,1 V12 2, d. - I - 2 2 f 3 Y 1 2+ -- —7 L 7 V . 4 JJ ¿¿M r ¿k I ^ 4® & ’" ' 'W 27. Calcule el valor de las siguientes ejpre / siones: 1 2 _ i - i a' 2 4 8 6 b. c. ' M + 2 R t - í +1: 3 2 .5 4 1 4 5 fe. ;#< 5 ' i" % % . ■%.-V .: % • w > 1 1 « i H H n n . a. 6 -(-5 ) f. -(2 -7 ) b. - 9 - (- 4 ) g. -(-6 -4 ) c. 5(-3) h. 2(— 2— 3) d. (— 3)(— 7) i -5(2-7) e. 8--(-2) 30. Simplifique las siguientes operaciones. 2 6 a . ---- 9 5 - m ítf :% s jjP.£* ¿ $ F J*** « • l* g V Ís / fe# 4 -3 8 9 c. —------ - 4 5 4 yf 1 1 e . ----- 6 2 . 1 1 f' 10 + 15 2_i 2 3 1 1 ---i— 4 5 g - d. 1 J 1 . 8 9 V3 h. 3+¿ 28. Calcule el equivalente de las siguientes expresiones: 3 ^ 8 5 a* r í f g ’ -e b. 31 Determine el valor de la siguiente expre sión: 1 1 2 A - - + - + - 2 3 5 « i »1 B) - 2 » ¡ 39 E) — 1 30
- 38. Determine el valorde M. n 2 4 1 A) D) 33. Calcule el valor de S. 3 + 5 2 ! " 2 -1 ¿ 2 29 1 =r B) -i C) 14 i 3 1 C) 2 30 4 15 ! A> 4 B> 4 3 2 E) 29 3 31 4 i D) 3 E) 4 1 « i D> ? £ Ef/ ¿ A . í- 5 w : : x,,-. V % 4¡p 34’. Efectúe F. „ . 1 35. Determine el valor de K. K =— +— 4-5 5-7 A) D) _1_ 26 B) ! 4# “S f Já s S * T i • v V v > lw # - ' f ¿r'fer ^ *ÍSÉ# i' í'r - f <J W* % m %1 ,%Sk,.. A A % %.% C) E) _3_ 28 _6 1 1 1 2 3 4 5 6 1 1 7 12 8 13 9 14 10 15 * Problema sin alternativas 16 17 18 19 20 21 26 31 22 27 32 23 28 33 24 29 34 25 30 35
- 39.
- 40. V .« • ' . . '' . ,T ; - ' ■Z.:&:*}XCr: *X xJ*V f/'-r ‘'^^>VH-vVv- ■ :> ,;. : ^ ;:v-e;.-— >. > ¡y S i :-:;j;..vvv.:-, ".;, { - - vî- •> . '? - , - ^ r t:;vV •*.vAU; l i t • • • : —. — _____ para Las cantidades muy grandes o muy pequeñas las podemos escribir en potencias de 10. Por ejemplo, la célula huma na es muy pequeña y se estima que tiene un diámetro de 0,0065 mm; por otro lado, la distancia del Sol a la Tierra es muy grande porque mide alrededor de 146 600 000 km. ambas cantidades son difíciles de escribir, y sería muy fácil ponerles o quitarles un cero o dos. Pero en la notación cientí fica, el diámetro de una célula se escribe como 6,5x10“ 3 mm y un año luz es más o menos 1,466x108 km. Esas cantidades son más fáciles de usar que sus versiones largas y las propie dades de potencias nos permiten operar dichas cantidades con facilidad. A p re n d iz a je s sspersadtas Comprender el concepto de potenciación y radicación. Efectuar operaciones de potenciación y radicación. • Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación a la resolución de problemas en diversos contextos. PARIS^ MOR A SQFj¿Por q¡ué es necesario este conocimiento? El capítulo de leyes de exponentes contiene dos temas: uno se refiere a la potenciación y el otro está relacionado con la radicación. Ambos son importantes porque son de útil aplica ción en la vida real; por ejemplo, cuando queremos calcular distancias muy grandes como la distancia entre la Tierra y la Luna. Con ese fin, se efectúa la notación científica y las pro piedades de la potenciación. Además, el tema sobre las leyes de exponentes es recurrente en los exámenes de admisión que las distintas universidades del país utilizan para supervisar el ingreso de los nuevos alumnos a las diferentes facultades. í * ¿ K ■ J& k .
- 41. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores /.'X-- - Importante El valor 34 se lee: “tres elevado a la cuarta”. El valor 42se lee: “cuatro ele- .......• vVS : íf fí vado al cuadrado”. El valor se lee: “dos tercios elevado al cubo”. í i¡i /r/f/fc ■= . : No olvide: ' " --------- i 23= < m : i i i 2 •! ' .í.MjSSZ *”é u /ifíiv i 3 : ;• : !- ’'' ’ rf; 00 m; / ' // ------- r / / X 4 y tr 3* Leyes de exponentes 1. CONCEPTO Son las definiciones y teoremas que estudian a los exponentes por medio de las operaciones de potenciación y radicación. 2. POTENCIACIÓN Observamos las siguientes multiplicaciones: * 3-3-3-3=81 • 4-4=16 r 2^ 3> ,3 ) J3_ 27 ¿Qué es lo que tienen en común cada una de ellas? En todas las multiplicaciones mostradas se repite un mismo factor; por ejemplo, en la primera prevalece el factor 3 y cada una de las expresiones anteriores puede ser escrita como una potencia. | 'v ít H ’c V ... * • ' . Ejemplos • 3 -3-3 •3=34 I El fnctof ^-serepite cuatro .. ^ veces y se escribe, ^-'n . • 4; 4=42 El factor 4 se repite dos. veces y se <escribe 4? í 1X1 U Ei factor - se repite tres /* >j"' veces y se escribp i " i . ! 3 1 Esta nueva forma de escribir una multiplicación, en la que se repiten los factores, se llama potencia. Ejemplo • - “«ponente I ♦ 34=81*—l'O t' ;■ - 1 .» | ixr.«1
- 42. Capítulo 2 Leyesde exponentes 3. DEFINICIONES 3.1. Exponente natural b n = b - b - b - ... b n veces Ejemplos • 3z=3-3=9 • 24=2-2-2-2=16 f o V n V V 3 A 3 . 3.1.1. Base negativa-=y.exponente natural par ( 4 T =+ V i&'lhf'*. .« v .U T < ¿ .r v x ; ‘' ,V Si la base es un número real negativo y el exponente es natural par, entonces la potencia es positiva. Ejemplos • (-3)2=(-3)(-3)=9 j * %¡) ' < , y r . (-2)4-(-2)(-2){- 2)(-2)"16 V ( o C ¿ W 4 i . (-2)6=(-2)(-2) (-2)(-2)(-2) (-2)=64 3.1.2. Base negativa y exponente natural im par impar _ _ Si la base es un número real negativo y el exponente es Impar, entonces la potencia es un número negativo. Ejemplos . (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8 3 / ,1 vil 64 "2 7 ¡Cuidado!. b=V ' 5=51 3=31 Ejemplos • 15=1-M-M=1 1 20=1 130=1 Además . 04=0 0 0 0=0 * 01 °=0 • 03°=0
- 43. Ejemplos de potencia ........... í ro o II UJ o ii 4°=1 21=2 31=3 41=4 22=4 32=9 42=16 23=8 33=27 43=64 24=16 34=81 44=256 25=32 35=243 : 26=64 36=729 27=128 28=256 29=512 210=1024 f olvide Si la base es una fracción y el exponente es negativo, proce deremos de la siguiente manera: x i _ ( y T • x * 0 / X ' y * 0 En los dos primeros ejemplos se diferenciará a (-3)4 de -3 4 En (-3)4 el exponente se aplicará a -3 , pero en - 3 4 el exponente se aplicará solo a 3. Ejemplos • (— 3)4={— B)(— 3)(— B)(— 3)=81 • — 34=— 3 -3 ■ 3-3=— 81 • (— 3)2=(— 3)(— 3)=9 • — 32=— 3 ■ 3=— 9 3.2. • lio o lvíd e 3+3+3+...+3 = 3-10 3-3-3-..,-3 = 310 f ■ !' ' '< :■ ... ■ f $ 10 f 5+5 +543+5 =5-20 v’■ V “- ‘v 'v --“V --,..' ■.‘JC 5-5-5-..,5 = 5 20 '■ •+ « !;., '■ 5 . c ■'-v <- síV' ‘"a +0+0+:$+ a =15•a „ • o ^ 5: 'il'. - ...- ¿ ¿ y ''* « ! . __ _ __....... i , i ; + 1 Exponente cero ■ , n b = b * 0 Ejemplos * 576°= 1 • 5°=1 Ejemplo ¡ i = 1
- 44. 3 3 .Expolíente negativo Ejemplos opuesto o 5~3 = P inverso 1 125 ; b^O opuesto ~ — ~1 /-A4 3“4 = inverso 1 = 1 W 81 1 opuesto '2 V 2 v3> i 9 4 iy y ¿w x w ík ís* ,, inverso^ i V ? S s - ‘ -3- 4 3 ; (-2r 3= 3 v 4 27 81 Ví 2 3 1 8 Aplicación 7 ^ ; Indique el resuItado de 32- (- 2)5+(-12)0 4/ ;' RESOLUCION 32-(-2)5+(-12)c t ■ ~ r t ~ 9 -(-3 2 ) + V 9+32 +1=42 ¿ÍV .V * { / ' ■ v s''v V v -.X ' ■«i.. * 0 0 6 0 Números triangulares Con los números 1; 3; 6; 10 y 15 podemos forma triángulos. * # • ♦ ♦ • m » • 4. p r o p ie d a d e s de la p o t en c ia c ió n 4 1. M ultip licación de bases iguales Ejemplo En la siguiente multiplicación indicaremos qué tienen en común cada uno de los factores. 34 .32.33 (Cuidado! [ x2**3*.*5
- 45. Ahora lo representaremoscomo una multiplicación a los factores de la expresión dada. 3-3-B-3 3-3- 3-3-3 4 veces 2 veces 3 veces Determine la equivalencia en cada caso. | . v +2+ y +3= . 3n+5-2-3n= • 2"-1+ 2'"3= B Ü M K 'íM — * ------- -------* Ejemplos . 3x+2=3x-32 . 5x+1=5x-51 Observamos que el conteo indica el número de factores que se han obtenido. La multiplicación de nueve factores iguales a 3 también se puede escribir como la potencia 39 y luego sumamos los exponentes. Entonces 34-32-33=3-3-3-3 -3-3 - 3j3-3=39 veces. 2 vec^as 3 veces ¿y _ 34-32-33=34t 2+^=391 ;> 1 ■ ■ / | / J o Asimismo, si multiplicamos dos o más bases con diferentes (o iguales) exponentes, tendremos como resultado a la misma base elevada a la suma de exponentes. %£y*' Ejemplos '% • z2-x3=x2+3=x5i . x5-x2 x4=x5+2+4=x1 1 . x9-*-3-/=x9+(- 3)+W 3 Aplicación 2 S¡ 3x+2=45, halle el valor de 3X. R e s o l u c ió n Nos piden 3X. 3x+2=45 3x -32=45 -> 3 = 3X=5
- 46. Capítulo 2 3 ¿-•'iilj. Leyesde exponentes - 4,2. División de bases iguales ; a&O Ejemplos • Simplifique la siguiente expresión: 35 3-3-3-¿-¿ , , , _ , 3 3 2 = Í-Í = ÍS = ~ = 35-2 = 33 t-20 5 _ = 5 20-18 = 5 2 = 2 5 51 8 x / ' X 15 i •¡e s m ■ ? <„40^ r j f y # ' AplicaciónS Simplifique la expresión A A = - op+2 ^n-5.32^+3 ;,V $ .r . >5rt ..M V., Resolución ^ J Nos piden simplificarA ^n+ 2.3/1-5.3^+3 ->5n 4 = 4 = 4= 3/1 +/ .3/1 -X .32/7 +x j5n j4n ^ 5n -> 4 =3 4 n -5n / r 4 =3 -n Aplicación 4 Calcule el valor de £. ‘'jrKÍO', +2 3+3+...+3 -+ 2>2-...'2 I.K'tOfñ
- 47. Es importante saberdiferenciar las siguientes situaciones: (23)2* 2 32 >3-2 32 ✓ 64 512 Res o lu c ió n Nos piden £ a+a+a+...+a=na; q-a a-...-a=aA n veces n veces En el problema, tenemos _ 2-310 3-218 E =— r —+—— 39 216 E= 2-3'^ + 3-2 /. £=6+12=18 -> £=2-31+3-22 4.3, Poténda de potencia ¿v Ejemplos / • Halle la potencia de (24) ' Expresadnos como multiplicación a la potencia que está entre paréntesis. ;í »J+ ? ^ (2a) =(2*2 2-2)3 Luego 6 4)3 = & a % 2 ^ = 2-2-2-2-2-2-2-2 2 2-2-2 = 2 (24)3=2 12 1 2 Si elevamos una potencia a otro exponente obtenemos la base de la potencia inicial elevada al producto de ambos exponentes. . (23)2 = 23 2 =26 =64 • ((*3)2)5 = r> 2' W 0 (x 5)4 = x 5 4 =x 20 Debemos recordar que el orden de los factores no altera el producto. A
- 48. Los siguientes ejemplosposeen propiedades ya vistas anterior mente. (x2y 3)(x 3yz3) = x 2-x3-y3-yz3= x5-y4-z: a6b2C3 6-4 <2-4 3 2 l -2 3 a¿c • — — - - a -b -c - a -b -c =—- 2_3 4 14 a b •’ Í7ab2f = 73o3(b2)3 = 343c?3¿ > 6 , r i v 1 ^ 1 1 7; v 7 . = r L 7. 7 J 49 T = 125-184 (3-22) -(2-32) 2 / .3 7 = 642 -813 (26) .(34) 12M 8 4 3s -(22)5-24 (32)4 642■ 813 21z-312 125.184 ?1 ° .2 4 -35-3a 214-3b r " 642 -813 2,2 -31 2 212-3 12 a12 12S-184 _ 214-12. ^13-12=p2. ^1=12 642 •813 Potencia de potencia Ejemplos . x 5x = ( x x f • 23M 2 6f Uclo si saber Al simplificar E = gn+ 2 2$n+ ¿qué se obtiene?
- 49. 4.4. Potencia deuna multiplicación ari-bn-{ab)n j :":'ó i ‘i¡1 1i1 tí lili 1yjj r r ....‘T ... i i (a"-ir) j Ejemplos .fs« (x2y5) =x6yK ' ' . ' ' I ; ' . (xy7) =x2;y 1 4 í 1 1í l ! (2x3y 2) = 24x12y 8=16x1 2 y8 i ; ( x + y ) W + / l 3-2x¿6* A¡ ¡‘J/j// : v///o I I t / Ejemplos • 32-52 = 3-3 ■ 5-5 =(3•5)(3■ 5) =(3■5)2 ? .. veces 2. veces . 4 3-73 = 4-4-4 -7-7-7 = (4-7)(4-7)(4-7) =(4-7)‘ Notamos que la multiplicación de potencias con el mismo exponente es igual a otra potencia de igual exponente y cuya » (3x)2=32;x2=9x2 7 . • ( .v a f • {la b 2f = 73g3(ó2f = 343g3¿ > 6 ,12 62•72•22=(6 •7 ■ 2)2=842 4.5. Potencia de upa división i i a i K ó G ; ¿>9*0 Ejemplos Í2 í ,5 , s vece- V o V 1.5A5 2-2-2 _ 23 5-5-5 “ 53 .4 ; / c Y 4 / .4 ) 5-5 = 5¿ 4-4 4‘
- 50. Capítulo 2 Leyesde exponentes Si elevamos una división indicada a un exponente, este afecta a cada número que interviene. u . y 15f c '■ 15'6 u = 5f c (-6) 2-4 6¿' 12 :12 -12 =68-12=6-4 = 1 Aplicación 6 Calcule el valor de x¿x-x € si se sabe que x^-2 / Resolución . . Nos piden x ^ -x x. ( ^ r - i K 'V .v -v c ;v :.. lS :-. Reemplazamos y =2. C. % 22 - ^ 'V „ y . . . . n j« *-ií. . . y ^ » # •*i í • ' 4 - 1 = 1 2 2 * 2x- * " x = Aplicación 7 Si la siguiente expresión se reduce a la unidad, ¿cuál es el valor de ni L5-5-5-...-5 :-V l6 9 nv > ‘¡es
- 51. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores No.olvide’:’:';:; l§ El símbolo J~ se lee: “la raíz ‘i cuadrada de”. E ' X 'b - b i . :! J Importante : El valor 3/5, se lee: “la raíz cúbica t : V Y Ixf/fifi Resolu ció n De la expresión, tenemos L5-5-5-...-5. — n /Í69 n veces 56" . L . 5-13 5" ^ 6 n - 1 0 -n _ ^5n-10 56n+3+(-13) 5 6n-10 Sn Sn Por dato, reducimos la expresión a la unidad. 55n-lb=1=5Ó 5n-10=0 n=2 5 . R A D I C Á O O N W % ¿ I í I Si n es un entero positivo, entonces la raíz enésima de a se define de la siguiente manera: - | •> jí> la expresión anterior quiere'decir bn=a, en caso de que el valor n sea par, entonces o^G y b>0. Ejemplos • Í9 =3, porque se cumple que 32=9. • %/32=2, porque se cumple que 25=32. • Vl6 =4, porque se cumple que 42=16. a IT 1 , T lV 1 • ?/— =—, porque se cumple que — = —. y16 2 2 j 16 . ^ 8 = -2 , porque se cumple que (-2)3=-8. . =-1, porque se cumple que (-1)3=-1. • 25, no existe en los números reales.
- 52. 5.1. Definición delexpórtente fraccionario m o en forma equivalente donde — es una fracción irreductible. n Ejemplos 1. Escribimos los siguientes radicales como potencias de exponentes fraccionarios. • ® = 35 • [x^ = . « íísr'N 7 x* V X’= x 2 i , r - ,fs k jy ? X ¿ * W / • 1¡4=4 1 i 'A í l % % ■ < Â : v ^ % 2. Escribimos las siguientes potencias como radicales. A • 72 =y¡7 • 105= ^ îo2 =ÿîÔÔ . 3 4 = fà =tfì s- L í m w2-11 4 - 1 = 1 U ; 1 —3 1 - 3 Ü . U J V16 Toda raíz de cero es igual a cero (independientemente del índice que tenga). Ejemplos * V0 =0 * ^ /Ó=0 3/5=o ^0=0 Toda raíz de 1 es igual a 1 (inde pendientemente del índice que tenga). Ejemplos • n /Í =1 • ÿ î =1 • ÿ î= i
- 53. COLECCIÓN ESENCIAL 'Jm j»ort á f it e r ^ I I I jJ Ejemplos de radicación EEEEi* Vo=0 * V5 =0 • /o =0 1 * Vi =1 « =1 : • J a =2 *^8=2 ♦¡VÉ>-2 E l i k ! | ' . v i =3 • I ' ? . fs-= ? i - 7 1 =4 .7 ¡4 =4: - 51 ' ^ = 5 . 7 í ü =5 |:M 3! 1 | | f i | f V is =6 . V2Í6=6 =7 > V iü =7 =8 • . iI ; i ! i ; I //,- 1t!« 1 / i . V^=9 ; * Viocj=io p4 * V121— 11 ¡ > í . VÍ44=12 Un í ■ í i /7? No olvide Regla de signos ! ¡3 i i , i-V -7 - - • . — -*— 1 J Ptíf/7 __ . 3 - 1 v + - r + II ] p d ^ =no existe ;vtzJ v 1 Ejemplos .... — 2 2 i ] * 725 =5 }|Í; * ^27 -3 II • =-2 J: * V-9 =no existe i .l:__ Lumbreras Editores Kl&xa* 6. PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN Propiedad 1 La multiplicación de dos raíces enésimas de igual índice es igual a la raíz enésima de la multiplicación de los radicandos. Ejemplos • fe - fe =fe8 • V2-V5=VlO • V3-V27 =V8Í • ^ 2 x f e y = f e x - 3 y = ^ 6 ^ / • V ^ V r ^ / r : | • | • „ • fe~z =f e fez Propiedad 2 r ■ - ni 'ja ja jb V b Para dividir radicales es necesario que tengan igual índice, así obtenemos un nuevo radical con el mismo índice y como radi cando sería la división de los radicandos. Ejemplos 77 Í7 ÍT Ti 1 T T V s V 7 ~ 7 T 7 § J / x _ _ J j T tfiy~vy 72 V 2 7 7
- 54. Capítulo 2 ___________________________________________________________i __:_______ Propiedad 3 Ejemplos •7^42 = 2'^42 = ^/42 Propiedad 4 í ^ A Si /i existí par n jo ri^a ; si ai es par & y . __ .J Ejemplos • fx^ =x • 7 ? = 2 i Caso particular Ejemplos Leyes de exponentes La sexta operación, la radica ción, se expresa con J~~. Este símbolo es una variante de la letra r, primera de la palabra latina rad'ix, que significa raíz. Fue introducida por Christoph J Rudolff en 1525. • 7 8 = 7 ^ =74-72=272 • V48=V^3 VÍ6-V3=4V3 • V72 =T36: 2='/36-72=6^2 Ejemplo Si q es igual a 9 y b es igual a 16, entonces vemos el error. 79+16 =79 +716
- 55. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores ;Importante I Situaciones particulares; Ejemplos . # = í ■ J¡2 ■ = ■ " T 1; ; ; 2 ?m 3 Na olvide': réa z A ' J Ejemplos de. racionalizar í j _ _ j _ A = J L .J i: | f. jz ~ s¡2 y[Z: t 3. _$_&■_ U S „ 3-S í 6 6 > ¡3 _ 6>Js _ i ; en- una expresión. Ejemplos '• y - z S + s S ^ jS ' ;V ::^32r+ ^ S = - + - ^ ia o •2 =>/iIv2+J m - y z - 4 4 V2 -M (k' 2 - ^ 2 » - # ^ l E b ^ - b ^ S - ^ S A plicación 8 Reduzca la siguiente expresión: , , 3 3/ 3/ 5 'XVX VXVX3 ■ +-------- ; x > 0. X X R e s o l u c ió n De la expresión, tenemos 'x v x 3 ^/x^/x3 V x -x 3 %/x-x5 —+-------- =-------- +-------- x x x 'XV x 3 >/xvx5 v x 4 v x D x 2 x 2 ■ - |----------_ -------1 ------=—- +. X X 1 3 3/77 ?/,,5 A X X Z 2 C L +X O (X - =x2-i +x2-w +xi =2x
- 56. Otras propiedades _ —— > n!i ?'/ ni a<jb ~a b Ejemplos • 3/x=^34 x==^/81x • 2¡3 = y¡2*~3 = ^/l6^3 =^48 « x/x^ =7 /x7-x3=lfx^ Ejemplos . =5 -> x-^¡S • x *6=6 -» x = ^/6 —» x W Radicales semejantes ■ ¡filial'índite 2Ü4 ; 7^/4 . ¡:ju;)f í'an’c.VHjo Los siguientes radicales no son semejantes. r»n W errt!í5indio*, f~ ~ ■ — - —) 2^4 2^/4 Suma y resta de radicales Para sumar o restar radicales se necesita que estos sean seme jantes. Ejemplos • 2^4 +7^4 =9^4 • 8Æ+17V2 =25v /2 16^2-5^ =11^2 V
- 57. Aplicación 9 i _____ Setiene la igualdad ¡42x~ ^=16. Determine el valor de V 4 x-5 . Resolución Debemos tener en cuenta lo siguiente: bx=t? x=y De la expresión, tenemos Aplicación 10 -- 'i Si x e Z y verifica x * = - , calcule el mayor valor de x. 2x-1 = 16 € =16 i¡24x~2 =16 2x-1 ■ 'h. 4x-2 .2 3 = 2¿ — » 4 x -2 =4 A 4x-2=12 — > 4x=14 Nos piden yj4x-S - Vl4 — 5 -» ¡4x-5 =y¡9 Resolución De! dato, tenemos Elevamos a la 2 1 " 2 , i i " ■ f e ni ni :X j v2 ' i 4 Í I i . Jó -2 ... v 4 x - 5 = 3 ,¿ 4 'V 'v-, ^ x=2 - Actividad rtcreativa En el siguiente cuadrado mágico todos los números que aparecen son potencias de base 2. Escríbelos como potencia y comprueba que el producto de las filas, columnas y diagonales da lugar a un mismo número. ¿Cuál es el número? ¿Qué número debe aparecer en el lugar de la interrogación para que sea de verdad un cuadrado mágico multiplicativo? 1 16 - 1 8 2 4 8 2 4
- 58. LEYES DE EXPONENTES PotenciaciónRadicación Exponente cero b°=X 0 J r Exponente negativo b~n= -¡j;b *0 I r Definiciones V _ J Propiedades Regularidades r-----------1 --- -------- Exponente natural ¡ — base ~ am-an=am+n V ______________ > , f=1 — =am~" °n —¡ (a-b)n=an bn a b) n Q n bn (om )"=o"m al=a [ Definición Propiedades V '- • £ - t > < -> a =bn ) '4ab =‘ ^ n 4b [a ja ni—— __ 0n=0, excepto n=0 o°=1, excepto a=0 b ?fb =n ,V Íb t__! _ |a; n es impar [a; n es par
- 59. RESOLVEMOS JUNTOS Problema N/1 Calcule los siguientes resultados: a. 34 b. (-5): c. (-1)3 -> 4 d. -2 e. (-2Ÿ f. 12 g. 8o h. (-5)' Resolución a. 33=3-3-3=27 b. (— 5)3=(— 5)(— 5)(— 5)=— 125 c. (— 1)3=(-1)(-1)(— 1)=-1 d. - 2 4=~2-2-2-2=-16 e. (~2)4=(-2)(-2){-2)(-2)=-16 f. 12=1-1=1 / g. 8°=1 h. (-5)4=<-5)(-5)(-5)(-5)=625 ’ Problema N.° 2 % Determine los siguientes resultados: y a. 1 12 I. ((~3)2) j f {a2b4f c. ,3 ,5 ( 3' Resolución a. 112=1 b. {a2b4f =(a2f (b4f =o6b1 2 ( 1 c. "3 <5 L ' r 3 f 3 , 5 J 71-5 n5 13-3; V .9, d. (<-3)2)3=C-3)2'3 =(-3)6 =36 3 e. <3J _ V3J Í 2 ' 3J . A ) 2 37 í-1 I 3J 3_1 Í 2 ) =X / O ( 3 ) 3 ) A 9 2 / n ^ 2 - 3 1 = 2) 81 4 Pifûblerrsa H > . z¿ E fe c tú e la s s ig u ie n t e s o p e r a c io n e s : í 2 3f 3 5 c. o V c 5 a. y y? J o 2fe6 b. (x o 3 )5 d. a 6í>2c 3 a V Rssolucf&*0 I ? Importante • El orden de los factores no altera ] el producto. ........ 1 . (x2y 3)(x3■y •z 5) = x 2 ■x 3 ■y 3-y1 z 5 (x2y 3)(x 3-y •z5)=x2+3 ■ y3+1-z5 (x2y 3)(x 3-y-z5)=x5-y4-z5 b. (xa3) = x5(o3) = x5-o1 5 (xo3) =X5-C 7 15 a3b5c5 c. 2u6 =a3-2 •¿ > 5-6 •c5 a3¿ > 5c5 =01-¿r1.c5 a2¿»6 a3¿ > 5c5 a-c5 a2¿» 6 ~ b
- 60. Leyes de exponentes d. aW =o6-4 •b2~ 4 ^ a4b4 o6b V o4b4 =a2-b 2-c3 o5b2c3 _ o2c3 o4b4 b2 Problema W.* 4 Exprese en forma de potencia los siguientes radicales: a. % /ÿ2 b. V53 Resolución a. ^ =73 # ”= 53 c. d. T Í 1 b. c. 1 í 1 t § 5J Problema N.‘ 5 Exprese en forma de radical las siguientes potencias: 1 1 ' v-1 2^ a. 5x?' c. 2 3 e. 3 3 b. (2x)5 d. 11 2 Resolución 1 a. 5-x 2 =5-yfx . 3 b. (2x)S = n / Íx 3 S' 37 _ 3/ I 2j V2 Problem #îL*' G Simplifique las siguientes expresiones: a S - V Ii+ Æ c. ^95+^3 b. n /75 +V48 d. í/48-^/3 Resolución a. 732 +7 ÏÎ =V l6 •2 W 9-2 V32 +7Ï8 = V Î5 -Æ +79 ■ V2 732 +Æ =4^2 +3>/2 732 +VÏ8 =7V2 b. 7 ^ +7 ^ =725^ +7167$ 775 +748 = 725.73 +7l6 -T Í 775 +748 =573 +473 /. 775 +748 =973
- 61. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores ¿i' c. ,^/% +^3= ^324 +5/3 %/96+V3=^32-^3 +V3 ^96+^3 = 2-s S +s S ^96 +^3 =3^/3 d. ^48- # j = ^ ¡6 4 -^ 3 ^/48-^3=^15^/3-^/3 %/48-%/3=2-t/3-^3 ^ Í4 8 -H i= ^ Problema Ni* 7 Simplifique las siguientes expresiones: 4/ 4 a. v x > . %/l6x® Resolución a. v x 4 = x b. ^f6^ =^f6^lx^ /. %/l6x®=2x2 c yfr3‘'6 -'3/-3 3/,/6 fx3y =yx yjy Jx3 y6=x-y2 d. yíáh) •la4b2 =¡a2-b-a4b2 ja2b 'Ia4b2=la2■ a4 -b-b2 yfctb ->/a4¿ > 2=/a6b3 la*b'laAb2=a2-b ^V64x^ = 3'^ 64/ =^ 6 4 ? 3 1 /64x5 = /64 -VX5 0 <¡y¡e4x^ ='Í[z^-'Í[x^ V v 6 4 x 6 =2x “ rOIDieiTíd i4. »i Simplifique las siguientes expresiones: 2 . .4 a. o9-o 5 c. yjx3y 6 e. yjx3 y 6 y * • ? & “ y/a2by/a4b2 / j b. (l2x2y 4) ^ x 5 y j d. y 41 j * V v-2 ,R«sc|¿?üéíi a. o9-a_5=o9+(_5)=o4 b. (l2x2y 4)Q - x 5y^ (l2x2y 4)Q - x 5y^ = 12-i-x2-x5-y4 -y (l2x2y 4) Q .x 5y]=6x7-y5 c. a~3b4 O’ V =0-3-(-5).64-5 O 3¿»4 =a2-¿r1 a~3b3 a~3¿ > 4 _ o2 cT 5¿>5 ~ b
- 62. d. (2x2y 3)(3x3y) (2 * y )(3*3y ) '2 = (2x2y 3)(3-2(x3) '2y "2 (2x2y 3)(3x3y) 2 =(2x 2y 3) (2x2y 3)(3x3y) 2 =2-1 (2x2y 3)(3x3y ) 2 = |x 4 -y1 7i h 1 „-6 -2 y 1 —•x y v9 7 ) A) 1 -x2 x-6 •y 3•y ~ 2 D) 9 Reso •• (2x2y 3)(3x3y) * = ~ 9x Problema 9 Halle el valor reducido de la siguiente expresión: M = 9-9-9... 9 3-3-3... 3 A) 3 D) 1 Resolución Nos piden M. B) 9 C) 27 E) 81 12 M = 9-9-9... 9 9 3-3-3... 3 ~ ~323 (o2)12 d24 U y ^ ->24-23 - > 1 M = •. M=3 323 323 _ ^I ' Clave Problema N. îü Halle el valor reducido de A. 6 / „3 A = (34) -(37) (3s)s -(3er B) 1 3 C) 3 E) 1 9 Nos piden A. H f - f e 7)3 A= -> ,4 = & ? ■ & ? ■ 45-46 324-32 1 345 ^30 ^ 16 246 A=3 ■ :-3 A=3-1 Clave Problema Ñ/ 1 1 Dada la igualdad 3Zx-3=27, halle el valor de x A) I 2 D) 1 C ) l E) 1 Resolución 'j Nos piden x“1=—. x Importante bx=b>' - > x-y j2x-3 =27 -> 32x-3=33 2x -3 = 3 — > 2x=6 — » x=3 1 = 2 x 3 x - ' . l . l Clave
- 63. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores
- 64. d. (2x2y 3)(3x3y) -2 (2x2y3)(3x3y) = (2x2y 3) ( > 1 A l - x ' V 2 19 7 . j (2x2y 3)(3x3y) = 2 -~ x 2-x 6-y3-y 2 ~2 =2-- 9 (2x2y 3)(3x3y) 2=^x~4-y1 (2x2y 3)(3x3y) 2 = ^ r • 9 x Problema N.° 9 M = 9-9-9... 9 3-3-3... 3 A) 3 D) 1 Resolución Nos piden M. B) 9 C) 27 E) 81 M = 9-9-9... 9 _ 9 3-3-3... 3 ~ 3 1 2 23 M =M _ = ^ =324-23 =31 S23 S23 M=3 ! C/ave Problema N. 10 Halle el valor reducido de A. (2x2y 3)(3x3y) = (2x2y 3)(3-2 (x3) y 2) ; ^__(34) -Í37) (3s)b.(3sr A) 1 D) 9 B) 1 3 C) 3 E) I 9 Resolución Nos piden A. (3 6 f . ( 3 8 )2 A=345-46 -> A=3-1 A = X ù y : 3 324.321 345 330.316 346 Clave Problema M 1 1 Dada la igualdad 32x_3=27, halle el valor de A) 1 B) 1 Resolución C )ì E) 1 Nos piden x 1= — x 1 Importante b*=tf -> x-y 32*~3=27 -> 32 x_ 3=33 2x-3 =3 — > 2x=6 — > x=3 x~1= - =- x 3 Clave
- 65. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores _____ ProblemaN.* 12 Problema M.“14 Si se cumple que 3a=2, halle el valor de 9°-30+1 A) 1 B) 2 C) 0 D) -1 E) -2 Simplifique la siguiente expresión: N =s [jj2 -§/Í28. A) -1 B) -2 C) 1 D) 2 E) 0
- 66. Problema M‘ 15 Indiqueel valor de la expresión M. 5°'5 M = 273 - 4 2/ A) 2 D) 7 Resolución Nos piden M. B) 3 C) 4 E) 5 M =(%/274 - '/ 4 5)2 2 1 M = (34 - 2 5)2 =(81— 32)2 M = V49 M=7 Clave Problema 17________________ Luego de efectuar la expresión (43)2- 4 32* 4 3+42° indique el valor que se obtiene. A) 1 D) 8 B) 125 C) 27 E) 4 Resolución Nos piden el valor de la expresión. (43) _ 4 32 +43+42 =46-4 9+43+41 (43)2- 432 ^43+42°=46- ^ +4 (43)2- 4 32 +43+42Ü=46-4 9-3+4 (43)2_ 4 32 ^43+42° = / - / +4 ... (43)2- 4 32 ^43+42°=4 Simplifique la expresión A. 3 , c2l 4 = bA -ib6) •b í>-í>2-£ > 3..i>8 ■ ; b a 0 A) ¿A D) b~ B) b Nos piden 4. 4 = 4 = b16-ó18-ó5 l1+2+3+...+8 ^16+18+5 8 ^ 9 b 2 b39 4 =í - -> 4 =ó39-36 b35 A=63 Clave C) b E) b -1 Clave Problema N.° 19 Indique el valor reducido de /?. 128-16-8 /?= 256-64 B) 4 A) 2 D) 1 C) 8 E)* 16
- 67. Resolución De la expresión,tenemos 128-16*8 R = 256-64 R = 128-16-8 27-24 -23 27+4+3 256-64 '2^ )8+6 14 r _ 128-16-8 _ 2 _ _ 214-14 _ 2O 256-64 21 4 /. /?=1 i r « Simplifique la expresión K. I K = ^n+3_ 5/ 1 + 2 sn-2_sn-3 A) 25 D) 3125 Resolución B) ? C) 5‘ E) 625 v De la expresión, tenemos K = K = K = 5/7+3_ 5/7+2 5n-2_5n-3 5n -53-5 ” -52 5n .5-2 _ 5n .5-3 / ( s 3-S 2) ^ ( 5-2 _ 5-3) y , . 125- 25,- - > K = 10° 5 52 53 £ r3 y = _> k =25-S5 A 52-55 K=57 Clave “ ■ le v ; Indique el valor de x en la siguiente ecuación: g2x+1= 2 7 2-x A) 0,333... B) 1,5 Ú * Jf A ’ D) 0,5 1 | NO OLVIDE Í 1 • | 92x+1=272_x $ k?+y=b*-ty X ■ i ! (32f +1=(a3) C) 1 "i ■ Importante bx=by — > x+y} De la expresión, tenemos 2-x _^ 34^+2 _ 36-3* Entonces 4x+-2=6-3x 4x+3x=6-2 -> 7x=4 4 x =— 7 : C /ave
- 68. Problema N.‘ 22 Halleel valor reducido de la siguiente expresión: A=n V 9 "-4" :2n A) 3 D) 36 B) 9 C) 4 E) 1 Resolución De la expresión, tenemos J = 610-155-107 215.512.31 5 J = (3-2)1 °-(3-5)5 -(2-5)7 215x 512x 315 Resolución De la expresión, tenemos J = 3l0 -210*35-55-27 -57 215-512 -315 i
- 69. Resolución NOOLVIDE bx+y=bx-tf -> bx-by Dela expresión, tenemos H = j2+n_- jíi + 1 n-1 H = 6-7 72-7n- 7 n-71 6-7n -7~1 7” [ l2- l) 49-7 H = - -> H =t— —- 6 - / 4 H = — > H =^ 4 = 7 - > , 6 j6 7 H=49 Por lo tanto, la suma de las cifras de H es igual a 13. C/ave Problema N, 25 Sí se cumple que n3 n3 (mn) =mn ; m >12; a ?> determine el valor de nv A) 356 D) 236 B) 365 C) 265 E) 256 Resolución De la expresión, tenemos u t =m mn^ = mnn - >n^n3=nn~ n = n -» 4-=rí Nos piden n~ =W ) ,12 Reemplazamos rr'-A n12=44=256 Calcule el valor de E. E = 64-63-153 103-812 A) 4 D) M B) 8 Resolución Nos piden el valor de E. E = 26-(2-3)3-(3-5)3 (5-2)3-(34)2 £ = 26•23 -33> 33■ 53 53 -38 Clave C) 24 E) 30
- 70. Problema M ." 28 E= 26-36 £=26-3~2 -> E =- E = 6 - 1 9 C/ove Problema N.‘ 27 Simplifique la expresión F. F = e2-e4-e6-...-e100 e99-e97-e95, . , e Considere que e es igual a 2,718182. A) e D) A e Resolución B) e 50 C) e E) 1 100 ,(/> 0 0 0 0 0 O O O O C K X X » . < * > * Importante | § % ? o x-a y = a x + y i . ì iV x ;< k > o o 'x v »x v :< x >»l < v » .> x-c > c < » :< 'T En el problema, tenemos F = e2-e4 -e6•...•e100 e99-e97-e95-e1 / = ■ =■ 2+4+6+...+100 J+3+5+,.,+99 „ e50'5 1 e2550 so ' r e50-50 e2500 C/orve Considere que 3x es equivalente a 2 y simplifique la siguiente expresión: P = 2■ 3X+2+3•2X+ 1- 9X + 1 jX+ 1 A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 •vyH I NO OLVIDE bx+ y=bx-t/ En el problema, tenemos P = 2-3X•32+3•2X•2- 9X•9 2 -2 Por dato: 3X=2 P = P = 2•2•32 +3 •2X•2- (3* )2•32 2*-2 +3-2x -2 -2 M ^ 2X-2 3-2^. / P =— v =3 / • / Problema N.‘ 29 Simplifique la expresión 8. ^4+n_q2+n Clave E = 18-3n-2 A) 18 D) 81 B) 72 C) 36 E) 27
- 71. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Resolución ; '< Importante <?+*=<?■ <? v H 'ó -, , , Ò t< xx< »x< n vx^ > /> > ^ y,K > x< ^ X íO o c;1 En el problema, tenemos 34 -34 -3 2-3n E = 18*3-3 n o— 2 E = / Í 3 4 -3 2) 9 r 81-9 r 72 E =------ — > E =— 2 2 á '.¿/i**" £=36 t m,, ß%y4 % -> h ^ Ä lst. ^ ä I# .¿Éá?. I ve ■ ^ p p C/crve., -■ ■ .. * •1 ‘« ’" ::■ ■ • # Problema M" 20 - A J t ,— ¿ 3 ^ ’ * ’ .2x-1 _x-1 Si se cumple que 2 = 4 , calcule el valor de x. V . % B) i 2 » ! Resolución Del dato, tenemos ,2x-1 ^-1 '-2 y C) v > 4 =4 ,2x-1 24x_2=2* -> 4x-2= x 3x=2 2 x = - 3 Clave Simplifique la expresión £. E = 2^+3 ^m+2n 8m-2.16n+2 Á i 4 >2x-1 -> 42' - ,=2" (22f ' 1=2" A) 2/77 D) 4 B) 4r/7 C) 2 E) 6 UNFV2008 En el problema, tenemos m +2n t :y E = 2m•23 '•(22) £ = (23 f - ^ (24 ) - 2 -> £ = 2 ^ 7 7_23.2 2 7 7 1+m 23m-6 ^4/7+8 ^ 7 7 7 7 _2-6.^^4 28 £ =— -> £=2 £=2 3-2 Clave Problema N.‘32S i Si se cumple que / 7 J^ 7 7 3 l/T?"; =m/ 1 ;m>12 a n>1 determine el valor de n12. A) 356 D) 236 B) 365 C) 265 E) 256
- 72. Resolución Nos piden n12. Deldato, tenemos (mn) =mnn Problema N.° 34 Determine el valor de la expresión 2 a3x - a2x - a +4x si se sabe que </=4 4 n ~ n n — > m =m B) 52 n4=nn -+ • n3=4 (n3)4 = C) 48 E) 44 n12=256 Cíave Problema M .° 32 Si se cumple que jX-1 2^ = 227 , determine el valor de (2x+3)2. B) 3 « ! D) 1 Resolución • Nos piden (2x+3)2. Del dato, tenemos 3-Y — 1 ■ j j X 23 = 227 Q 4 . u | ; : A) 64 D) 32 Efectuamos 1 3 2 1 - a** -a 2x - a +4* ={axY ~{axY -4 * +4* 1 / / a3x- a 2x- a + 4 x = 4 3 - 4 2 - / í x + X * 2 a3x- o 2x- o + 4 x = 6 4-1 6 2 o3x-o 2v-o +4 x =48 ... f U 8 ^ • r -,r. Clave 3X-1=27X -+ 3X_1=(33) -> 3X_1 =33x r-1=3x -> -1=2x x 2 Nos piden (2x +3)¿ = i ' J _ i í ) +3 /. (2x+3)2=4 Clave 1 Determine el valor de x en la expresión y+t A 2*~2 =8. A) i 3 D) -1 2 Resolución Nos piden x. x+1 2x-2 =23 » ! 0 ! » ! X +1 =3 — > x+1— 3x— 6 x - 2 6+1 =3x-x -> 7=2x 7 x =— 2 Clave
- 73. Halle el valorreducido de P. P =- 32+(- 3)2- (- 3)°+(-1)° A) 2 D) 1 B) 0 C) -2 E) -1 Simplifique la expresión R. R = 65-156 31 1-105 A) 3 D) 2 B) 4 C) 5 E) 1 Determine el valor de A. A = í í oX“3 2 ) + (2 3) +(-7)8- 7 8 A) — 4 B) 12 D) 1 C) 3 E) 7 Simplifique la expresión W. IV = 205-93-(-1)6 32-605 Simplifique la expresión C. . •;% , C = Í222) -(-2)~2-2-2 I A) 3 D) 8 B) 4 Si tenemos que A = 3/7+2_3/7+1 -n+1 Q ;2 ; E) 0 halle la suma de cifras de A¿. A) 3 B) D, f td Si se tiene que A =22-22-22...22 fi=47+47+47+47 determine el valor de A -fí. C ) íó E) 1 3 A) 5 D) 7 B) 9 Simplifique la expresión D. 3f D = > n+ i +3n+^+3n+3 3^-1+ 3^-2+3/7 “3 C) 1 1 E) 8 A) 1 D) 0 B) 4 C) 2' E) 2: Determine el valor reducido de T. 3/7 + 2_ 3/7 + 1 2n+1_ 2n T =------------+---------- 3” 2n A) 3 D) 3( B) 3- C) 3' E) 3* A) 9 D) 6 B) 8 C) 7 E) 2
- 74. Determine el valorde M. m = § o + 4 I +V ¡ ^ v5 V2 A) 8 D) 4 B) 10- Reduzca la expresión Q. 1 1 Q =1253 +1690,5+6254 C) 12 E) 18 Simplifique la expresión A. A = A) 4 D) 1 B) 5 C) 3 E) 0 Simplifique la-expresión L y considere que 3* es equivalente a 2. L= 2. ^ ^.2y+1_gx+1 ->x+1 A) 28 B) 14 D) 20 12. CalculeA-B. A = tó/9 a B =lQy¡Q: v A) 12 B) 1 1 C) 8 D) 6 E) 7 ' % ■ ,4 ^ 5 1 3 . Calcule el valor reducido de 1/. a > "A V = ^y¡8 +VÍ8 * y A) 2 D) 3 B) -3 Simplifique J J = ^4+n_^2+n «A 18-3n~ 2' ’• ’ A) .18 B) 12 D); 81. A) 16 D) 1 1 •+1 B) 9 C) 25 E) 4 1 4 . Determine el valor de C. C = 25 i l l l 2, / ,41 f 1 4- --- v32 B) 6 -0 ,5 Simplifique la expresión N. N = 2^ 1+ 3 ^ m + 2 n m-2 1cn+2 8 -16 A) 2m D) 4 B) 4m Si se cumple que .2x-1 ,x-1 24 =42 , calcule el valor de x. « i “ f B) C) 1 E) - 2 C) 36 E) 27 C) 2 E) 6 C)! E) A) 5 D) -2 C) 1 E) 7
- 75. Si x eZ y verifica que A i , 2 - calcule el mayor valor de x. A) 2 B)- 4 D) 8 C) 6 E) 16 Determine el valor de 16(fî2+l), si se sabe que B =ni 4~n+1 4n+1 ' A) 18 D) 17 B) 2 ,.,.¿sfyíi&i j,.,v < & & 'y " '''* % % > / C ) 8 F)- 16 , Luego de reducir la expresión /2n se obtuvo x2. Calcule n. 3 44/ *’X XX" A) 4 D ) í B) 3 C ) 7 E) -1 ,, 2 23. Calcule el valor de n. 5Zl6n *(24)1 ° = 20 A) 4 B) 2 C) D) 6 E) 16 24 Halle el exponente final de x, luego de simplificar la siguiente expresión: ?3 J - 2)4 . v-24 . V(-1 )4 26. Reduzca la expresión V. V = ■ ^ n + A_ 212^ 2-2 n+3 +2-3; r?e W A ) 2 8 B) ! D) 7 26. Calcule el valor de C ) 1 i 32n+3'~ n+9 n si se sabe que 3n=2. A) 1 4 B) 2 Q 3 D) 19 4 » ! Halle la suma de cifras de la expresión J. l(-5)° y ^ ï's- h! V V /Vr* í A -3 rr-1" i : 7 = A + + % 2A-J,3 , , 4 . A) 59 D) 15 B) 13 C) 47 E) 1 1 Determine el valor de x6 si se sabe que 3* 3 = 2 4 3 3. A) 5b D) 625 B) 225 C) 125 E) 325 Dados los números , 1Í3 í i A =5a ;B = w para indique el valor de AB 1 PARIS^ 2 AMOR A S A) 7 D) 10 B) 8 Q 9 E) 12 D) / -jx3 J , B) - C ) i l i 2 I 2J E) A 1 5 ,
- 76. Capítulo 2 Leyesde exponentes ----- A: ' 'i- -o,; '''-Jv. -te'- _ ÍÉSi -i’t;■ - • cv...» /A * Determine el valor de — si se sabe que A= M L a e= fa rb A) - 0 B) a C) £ a D) £ E) 1 31. Calcule el valor reducido de P. 4 lr^ )lM rP A) i n p>4 n B) n 34. Sea x un número natural, de modo que x2 x+16=8x* . 1 Calcule el valor de x + —. x A) 2 B) 12 3 D) 17 C) E) 3 35. Calcule el valor de £ -3 A) 1 B) 2 C) 72 f ,4 I sÆ k&. % : jm? A 1. : D) - E) 4 ^ % * ^ % * ‘H M Ì/ S ì. tífòrte? ë• /é ^ / : / i ¿ s f '< v '' ,■ * ' 30. Indiqué la secuencia correcta de vere • f i :(V) 0 falso (F) según corresponda. 32. Simplifique la expresión L .# 1 III. f l + 4 V2 3 1 1í ° ? J =1 A) 1 B) 2 C) 4 A) FFF B) VFF C) FFV D) 8 E) 15 • D) VFV E) V W 33. Si x=20155, calcule el valor de j x ^ lx2yfx A) 5/2015 B) ^|2m Q 1 D) 5/2ÔÎ5 E) 2015 ^1.>1^5+... +5=5 : - / 1 • í, 12 II. 206-8-3-125=29-53 Indique a qué exponente debemos elevar el resultado de h -3 r 2f ^ . s i + + A) f D) 2 m B) para que resulte 216. C) E) 3
- 77. COLECCIÓN ESENCIAL 38. Simplifiquela expresión J. J = K]-U2'K3-...‘T L20 n 1-ti3 -ns -...'-n39 Considere que 71=3,1415... A) 1 B) 7Í20 110 D) re' 39.Simplifique la expresión H. H = C) ri E) K ,420 ,10 y2+n_y/7+ 1 6*7n-1 Dé como respuesta la suma de cifras A) 12 D) 16 B) 13 v 4 0 . Reduzca la expresión P. P =yfü'Í0‘% 7 , - JO Luego determine P ,20 % % j f A) a D) a B) a¿ C) o E) a 10 30 41 Reduzca la expresión D. ^/Í25y +^ 64x-/8x D = 7 8 Íh ->/25 Lumbreras Editores c S v s ;;; >. x -22-x-3° . x 2° . x (-3)0 A) n /x B) 2/x C) ^ 2 A) 15 B) 18 C) -3 D) 1 E) x D) 12 E) 30 42. Reduzca la expresión L. 8 multiplicandos A) x D) x36 43. Se cumple que B) x20 C) 3t/x E) x ,10 yfl 3n+2 =3 y 32n,2 determine /?2+r?+1. A) 43 , D),42 5 B) 36 C) 24 E) 32 ,^-.v « y w' 4 Dada la igualdad • S,v i ^ ^ ,1 6 % 3=44'V 3 determine la suma de cifras de la expresión 3x2- x +5. A) 3 D) 6 B) 4 C) 5 E) 2 45. Si x*0 , indique su exponente final si se simplifica la siguiente expresión: S = (x3) -x 2 3 . x ‘- 3> 2 . x <-2> 3
- 78. 46. Si se.cumpleque 5x+y=625 a 2x-y=,64 determine el valor de x2-)/2. A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 24 Al hallar el valor de x en la igualdad . ?2x Á2x 163 =84 se obtiene la fracción irreductible — . n Determine el valor de m+n. -lo. Reduzca la expresión B. Simplifique la expresión G. r . _ V Í 2 V 36 V8Ó 7 Í5 Ó ^ + + ^ + J b A) 2 D) 5 I b) 3 , < r r / E ) J L '? A. I , w i o « '« < ?:» > a ¡< * ¿.-»y 1 ^¡¡k í@;r • , X ' A) 14 D) 1 1 B) 13 ▼ ^ 1 ,# /?*• ^ J "4 < y % $ '+VÍ ?M ‘ C) 12 E) 10 C la v e s 1 B 8 D 15 C »- 22 C 29 36 i O 43 A 2 C 9 C 16 D 23 r> í) 30 : 37 1 P 44 3 É 10 C 17 C 24 C 31 00 m D 45 B 4 D 1 1 £ 18 c 25 B 32 i 3 9 o 46 5 A r 12 A t 19 Q 26 D m m i 40 B 47 h 6 A 13 A 20 B 27 C 34 C ; 41 C 48 *s 7 f 14 A 21 D 28 B 35 : 42 0 49 r
- 80. V. / -v• .. ; '. • < * -V* • • • • Dentro de los productos de polinomios existen productos notables, que son aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple ins pección, sin verificar la multiplicación que cumple ciertas re glas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. IM En el fútbol hay jugadores que son notables, es decir, basta con ver sus imágenes para identificar sus nombres, los equi pos de fútbol donde juegan y otras características más; de la misma manera, en las matemáticas, hay ciertos productos que son notables y que identificarlos nos permitirá agilizar los resultados. El estudio de los números y su aplicación en otras ramas de las matemáticas, como la geometría, la aritmética y el álgebra, no ha sido fácil. Los notables Pitágoras, Euclides, Al-Juarismi, Fermat, Descartes, Leibniz, entre otros, le die ron forma y sentido a todo ese conocimiento que desde tiempos remotos los babilonios y egipcios aplicaban en su cotidianidad. Por ejemplo, en la aritmética, que se basa en la habilidad para contar, solo se utilizan números o cantidades conocidas que mediante la adición, multiplicación y poten ciación realiza cálculos. En el álgebra se permite generalizar las aplicaciones aritméticas mediante cantidades descono cidas representadas por letras, también se usa la adición, multiplicación y potenciación para tales aplicaciones. Dentro de todas estas operaciones elementales, se derivan proce dimientos que simplifican las operaciones indicadas, como los productos notables, que son herramientas muy prácticas para la agilízación en la búsqueda de un resultado concreto. Aprendizajes esperados Identificar los principales productos notables. Aplicar la resolución de problemas de los principales productos notables. ¿Por qué es necesario este conocimiento?
- 81. Productos notables x 2=x-x '' • • ' . .'1 . i Ejemplos » (3x)2=(3x)(3x)=9x2 • (x+5)2=(x+5)(x+5) â • (x +3)2=íx+3)(x +3) Propiedad conmutativa para la multiplicación ! Ejemplos 1 • 3x=x-3 ■ • 5-x+x-5=5x+5x=10x • m n + n ■m = m n jr m n - 2 m n 1. CONCEPTO Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin efectuar la multiplicación. A los productos notables también se les conoce como identidades algebraicas. 2 . T R I N O M !O C U A D R A D O P t R F £ C T O a. Efectuamos los siguientes ejemplos para hallar la propiedad: • (x +3)2=(x +3)(x +3)=x2+3x +3x +32=x2+6x +9 V'/O-" • (x+5)2=(x-r5)(x+5)=x2+5x+5x+52=x2+10x+25 j S, jj • {m+n)2={m+n)(m+ n)=m2+m n+nm +n2=m2+ 2mn + n2 Luego de analizar los ejemplos anteriores, deducimos lo siguiente: jf*t£**^ ^ by~a:+2ab+b¿ j Por lo tanto, el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primer y el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Ejemplos • (m+12)2=m2+2-/7H2+122=/7i2+24/r)+144 • (5x+4)=(5x)2+2•5x-4+42=25x2+40x+16 • (2x+3y)2=(2x)2+2(2x)(3y) +(3y)2=4X2+12xy+9y2 • (x2+l)2=(x2)2+2(x2){1)+12=x4+2x2+1
- 82. • (x +3 )2=x ¿ + 2- x -3 + 32=x z + 6x + 9 Analicemos geométricamente este ejemplo, es decir (x+3)2, donde x+3 es el lado de un cuadrado. x 3 Observamos que el área del cuadrado del lado x+3 correspon de a la suma de las áreas que se forman. 0<+5)2=x¿+2-X‘5+S2 j (x+5)2=? — > x2+10x+25 : X 5 (x+5)2=x2+5x+5x+25 -> x2+10x+25 x 5 x 2 5x 5x í
- 83. COLECCIÓN ESENCIAL .V ;;f,‘ v-, LumbrerasEditores ■ ■ ■_ .___ b. Los siguientes ejemplos nos ayudarán a deducir la siguien te propiedad: Jí ¿v- ................. Caso particular | | llis ljjj >/:■ ''■ [ (u~ó)c ;=(ó~f/T J ; ; ■ * Ejemplos ! i :- • (*-3;M3-.<r' j||| • (2x -y )2=fy-Zx)2 Importante: asociativa | . Ejemplos 9 (x -3 )2=(/-3)(x -3)=x2-3 x -3 x +9 (x -3 )2=^2-6 a'+9 * (x-5)2=(x-5)(x-5)=x2-5x-5x+ 25 (x-5)2=x2-10x+25 • (m - n)2= {m -n)(m - n)=m2- mn - n m +n2 .. {m -n )2= m 2-2 m n + n 2 Al analizar los ejemplos anteriores, podemos observar lo siguiente: X ^ & , > ./ ’s {o ^ i^ é 2- Pxw fí/ Por lo tanto, el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segun do término. Ejemplos * (x -4 )2=x2-2 -x -4+42=x2-8 x +16 . (x-7)2=x2-2 •x-7+72=x2-14x+49 • (2x-5)2=(2x)2-2-2x-5 +52=4x2-20x+25 • (3x- 2y)2=(3x)2- 2 ■ (3x)(2y) +(2y)2=9X2- 12xy+4y2 • (x2-3 )2=(x2)2-2 -x2-3 +32=x4-6 x 2+9
- 84. Capítulo 3 Productosnotables Analizamos geométricamente el desarrollo del (x-3 )2, donde x es el lado de un cuadrado. • {x-3)2=x2-2-x-3 + 32=x2-6x+9 3 x x-3 3 x -3 • . ~j _ _ _ El área del cuadrado sombreado corresponde a (x-3)2, que es equivalente al siguiente esquema: " N 3 x -3 LO . . . . ti*’- 3(x-3) m i l /rn p ç t y ; ....g Jp * /r fr . . i ¿ 9 ' y. Luego (x - 3 )2 = x 2- (3? +3(5 - 3)+3Íx - 3)) (x - 3)2 = x 2 - (/ + 3x - $ +3x - 9) (x -3 )2=x2-(6x -9) (x -3 )2- x2-6 x +9 Propiedad distributiva KVV| j A(B +C)=AB+AC Ejemplos 5 ; ; ; | X 'i . • 5(2x+3)=10x+15 • x2(x3- 2)=x2-x3-2x2 x2 (x3 - 2 )= x5- 2 x2 • 2x(7x+3)=(2x)(7x)+2x-3 2x (7x +3)=14x2+ 6x v ' l i í I i ! ! : î j V/, ‘/ f ' .' v ^o A plicación 7 Si a+b— S y O'b-3, determine a2+£ > 2+3a +3b. Resolu ció n Nos piden determinar a2+b2+3o+3b Operamos la expresión a2+b2+3(a+b) (*)
- 85. COLECCION ESENCIAL LumbrerasEditores /^¡Culdedol ........... ~ .» <(« U í i t .v l I Evite el siguiente error: ' / ül ÚH — 4 <nA-hV- dí n¿+hi¿ '//y i a+b) * a ±b | Ejemplo 82* 25+9 ¡1¡ .v 64*3 4 ' m i Ni*'/? /'//; ■ > V % /// //// V .Y f-V 4y,Vv1 > ■ 1 ID V í !1 ¡ 1 r a» ' : f i V¡ 11 _ ■¡i : ! ! í l [!! -> £ ....... • Datos; C 7+¿)=5 ab=3 f No OLVIDE (a+b)2=a2+2ab+b2 Reemplazamos los datos. 52=o2+£ > 2+2-3 -> 2S-6=az+b2 X a2+b2=19 Luego en (*) a2+b2+3(a +¿0 19+3-5 =34 3. IDENTIDADES DE LEGENDRE a. b. (o t- b Y + í a - b Y = 2 í.cr + ¿ 4 ) | • _J (a +b Y - ío - b )? - [O lab 1 Ejemplos • (x+5)2+ (x-S)2=2{x2+5z) =2 Íx2+2s)=2x2+S0 • (n /5 +VT)2+( / 5 - n /2? = 2(n /52 +%/23) = 2(5 +2)=2(7)=14 (y+4)2- (/ - 4 )2=4-y-4=16y (2x+ 3y)2-(2x~3y)?=4-2x‘3 y - 24xy • (x 2 +l) - ( x 2- l) =4 x2 *1=4 x2 y - - = 4 -y -- = 4 í “ O y +— 2 / — V x ) V 2
- 86. 4. MULTIPLICACIÓN DEBINOMIOS CON UN TERMINO ’ COMÚN a. Los siguientes ejemplos servirán para poder conocer la propiedad de la multiplicación de binomios con término común. Ejemplos (x.+5)(x+3) +3x-+5x+15=x2+8x+15 (x+2)(x+7)=x2+7x+2x+14=x2+9x+14 v . (x+5)(x+10) =x2+10x+5x+50=x2+15x+50 (x+7)(x-2 )=x2- 2x+7 x-14=x2+5x-14 Observamos que (,* -t rn)ixt± [::j x K j y --/??/? Para multiplicar binomios con término común, debemos ele- var al cuadrado el término común, luego sumar (o restar) los términos no comunes multiplicados por el término común y también multiplicar los términos no comunes. Ejemplos • (x+3)(x+6)=x2+(3+6)x+3-6=x2-f9x+18 • (x+11)(x+5)=x2+(11+5)x+11-5=x2+16x+55 • (x-4)(x-7)=x2+(-4+-7)x+(-4)(-7)=x2-11x+28 . (x-2)(x-20)=x2+(-2+-20)x+(-2)(-20)=x2-22x+40 • (x+7)(x-3)=x2+(7+-3)x+7(-3)=x2+4x-21 • (x-9)(x+ 20) =x2+(- 9 +20)x+ (-9)(20)=x2+11x-180 Evite cometer el siguiente error: (2x +3)2=(2x)z+2(2x)-3+32 — ^2xz+12x+6 La respuesta correcta es (2x +3)z=(2x)2+2(2x)-3 +32 -> 4x2+12x +9 Importante • (x+6)(x-2)=x2+4x-12 • (x-9)(x+3)=x2-6x-27 ^ • (x-4)(x-3)=x2-7x+12
- 87. ^< • < Rcto'al¥abcf.~S> " > * ,***•*V‘•» •itMU'• I f*Aé ■ ''** :; V '-"/ Y///, f j ■ ■ ;'■ < ■ '■ • - I 5!; Efectúe la siguiente expresión: (9- 4/ 5+2)2+ V l4-6^5 I— A — • / — I A> 8- A r B) 5 J Ii ; lil i 0 7+2V5 ■ t I D) V5 -1 1 i Ii3i E) 3-4^5 1d * ; |3; !l] !%/:■/■ 'V m í lili i i IV # /-■ ■ Yd ¡ { ‘ ( | iíl!ji! ¡ • (x+7)(x+5)=/ +(7+5)x+7-5=/ +12x+35 Analizamos geométricamente el desarrollo de (x+7)(x+5), donde x+7 es el largo del rectángulo y x+S es su ancho. x+7- 7 r / 1 7x / | i ! 3r Observamos que el área del rectángulo de los lados (*+7) y (x+5) corresponde a la suma de áreas que se forman. (x +7)(x +5)=x2+7x +5x +35 (x +7)(x +5)=x2+(7+5)x +35 /. 0r+7)0r+5y=x2+12x +3S Aplicación 2 ^ ‘ %// Si se tiene que x2+3x=1, determine el valor reducido de (x+1) (x +2)+(x +5)(x ^ % « - ! Resolución Nos piden (x+1)(x+2) +(x+5)(x-2). Dato: / +3x=1 Desarrollamos (x+1)(x+2) +(x+5)(x-2) x2+3x+2+x2;f3 x-10 Reemplazamos 1+ 2+ 1- 10=-6
- 88. Aplicación 3 1 Si x+- =3, calcule (x+1)(x+2)(x-4)(x-5). Resolución Nos piden (x+1)(x+2)(x-4)(x-5). i Dato: x +- = 3 x Operamos el dato. = 3 — > x2 +1 =3x x 2+1 x x2-3 x =-1 (0 Luego (x+1)(x4- 2)(x-4)(x- 5) # (x 2 - 3 x - 4 )(x 2 -3x-10) Reemplazamos-(*) -4 (— 1— 4)(— 1— 10) ’ (— 5)(— 11)=55 5. DIFERENCIA DE CUÁDRADOS Para hallar la propiedad, efectuamos los siguientes ejemplos: • (x +3)(x -3)=x2- / 3^+./3^-32=x2-3 2 • (í-7)(x+7)= x2+ Jx - / x - l2=x2-7 2 • (x+m)(x-m)=x1-r^+rpi<-m2=xz-m ¿ En general (x+ o )(x-a)= x‘ - o'■ Por lo tanto, el producto de la suma por la diferencia es igual a la diferencia de cuadrados.
- 89. RdoaH saber;E> • ►■ *.n ' s . ' ’•Nv. ,M l. ,.L*b jj ' ,^ v>r : Efectúe los siguientes casos: I • ¡ § • (?Jñ 1 ■ W 7 M j |] || J 'Ii f) - - .^ • r— ■ ] {¡a +~Jb) =0+b+2yJob j • ■ • ■ ■ ' ■ : ^a+b+2fab =[a +yfb — y Ejemplos • ^ Js +^Je =n /^+V2 1 i: )•? i"'- / 1 I +2V3Ó =j6 +y¡S i ' ¡ 0*5 h $ Ejemplos • (x+7)(x-7)=xz-7 z=xz-49 • {x-9){x + 9)= ¿-92=¿-Z>- • (8+b){Q-b)=8z-b z=64-b2 • (a-30)(a+ 30)= a2-3 0 2=a2-9 0 0 • (x2-3 )(x2+3)=(x2)2-3 2=x4-9 • (3x+ 5)(3x-5)= (3x)2- 5 2=9x2-2 5 • (V3 -t-V2) (>73— V2) =a /32— V22 = 3-2 =1 • (/4 + V3) ( V4 - V 3) = n /42 - V32 = 4 - 3 = 1 0 (x+4)(x-4)=x2-4 2=x2-16 Analizamos geométricamente el desarrollo de (x+ 4)(x-4), donde x+ 4 es un lado del rectángulo y x - 4 es el otro lado. ---- --------- X • 4 0 I -v ; • . - . x ; ~4x El área del rectángulo de lados x+4 y x -4 corresponde a la suma de áreas que se forman. Simplificamos (x+4)(x-4)=x2-4x+4x-16 (x+4)(x-4)=x2-16 Aplicación 4 Reduzca la expresión R. /?=( T 7 - n / 5 )(^ +n /5) +- ? J ----71 73-1 Resolución Nos piden reducir R. R - 4 E 7 - E s U 7 +E s ) , l r z • --------- *— ------ (V3-1)(V3+1) tiifer*1 !uia cu* u.adii¡<it ; rar ion.>lir<imos
- 90. H Capítulo 3 Productosnotables Luego R = r 72 s 2 J ^ s Simplificamos la expresión R. R =7-5 +2 M ± í _ ^ í •'• R =2+ +'— = 3 A plicación 5 Simplifique la expresión T. T = 1 / 2 _ 3 a /3 + Æ Æ + Æ V5+V2 Diferencia de cuadrados En general < Ejem plos . (Æ +Æ )(Æ - Æ )= i • (V4 +Æ )(V 4 -n /3) =1 í * {¡S+Í4){yfs — ^Â) =1 i • (Æ+Æ)(7ë -7s)= Los productos notables se usan para racionalizar. 1 _ l(y2 +l) - V2-1 (Vz-l)(^2 -i-l) T ^ - i2 2 2(7?-7s) Tt +Ts (Ti+TsXTï-Vî) 2(77-75) : , 7>'-7s? ... z(V7-x/s) =^ _ ^ Resolución Para simplificar la expresión, racionalizamos cada término. í 1 1 í 7 3 -7 2 ) 2 1 í 75 - 73) ^V3 +V2 , W 3 - V 2 J 7 s +73 U/5 - V 3 J ciif. de cuadradas i;; * dif. de cuadrado 7 1 - 7 2 1 2 (7 1 -7 1 ) 3 (7 5 -7 1 ) S ^ - S t + é ^ - á ^ S x - S l T 73- V 2 / ( T s - T I ) / ( T s - T I ) r = ~ T + / _ X T = 73 - V2 + 7s - 7 â -(7 5 - 71) s í 3 1Ts-Ti) 1 7 5+ 7 2J 7 5-7 2J
- 91. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Aplicación 6 Si x =20142- 2016'2012, halle el valor de 2x+1 Resolución Nos piden 2x+1. Dato: x=20142-2016-2012 Escribimos convenientemente la expresión. x = 20142-(2014+2)(2014-2 ) dif. de cuadrados x = 20142- (2OM2- 22) x = ¿ 0 1 ^ - .20tí^ +22 x=4 Nos piden 2x+1=2(4) +1 /. 2x+1=9 y '■ V : - w " • ' i ' 6. CUBO DE UN BINOMIO Para hallar las propiedades, resolveremos los siguientes ejemplos: : A-í ! - ! v En general (ia t b)3=a i + 3c/b + 3ob¿ + 1 C J b. (a - b)5- a J - 3c/b + 3a h 1- b3 ¡ _________ _____) Ejemplos • (x+2f Aplicamos la propiedad a. (x+2)3- x 3+ 3 •x2 2 +3-x -22+ 23 Efectuamos las operaciones y simplificamos. (x+2)3=x3+ 6x2+ 12x+8 (x+5)3 Aplicamos la propiedad a. )3=x3+ 3 -x2-5 +3 -x- 52+ 53 I. _ Efectuamos las operaciones y simplificamos. # .... J * (v+ 5)3=v3+15:+ +7S*+ 125 ' 9 n y (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)={a+b)z(a+b) (a+b)3=ia2+2ab +bz)(a+ b) (a+b)3=a3+2azb+abz+azb+2abz+b3 (a+b)3=a3+3azb +3abz+b3 (m +n)3=(m +n)(m +n)(m +n)=(m +n)z{m+n) (m+n)3={m2+2mn +nz) (m +n) .2, .3 (m+ny=mi +2m¿n+mn¿+m¿n+2mn¿+n (m+n)3=m3+3mzn+3mnz+n3 (x-1)3 Aplicamos la propiedad b. (x -1)3=x3-3 -x2-1+3-x -12-13 Efectuamos las operaciones y simplificamos. (x-1)3 =x3-3 x2+3x -1 (2x +1)3=(2x)3+3(2x)2-1+3(2x)-12+13 (2x+ 1)3=8x3+3Í4X2) •1+3(2x) -1+1 (2x +1)3=8x3+12x2+6x +1 (5x-2)3=(5x)3-3(5x)2-2+3(5x) -22- 2 3 (5x -2)3=125x3-3(25x2)-2 +3(5x)-4-8 (5x -2)3=125x3-150x2+60x -8
- 92. Capítulo 3 ,, ,.*, Productos notables ■ ■ ' •.- -y - v ■ 2 . • ¿ .úx-v. • (x2+ 3)3=(x2)3+ 3(x2)2-3+3x2-32+ 33 7. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS (x2+ 3)3=x6+9x4+27x2+27 'i a. a ■ +b3=(a +b)(o‘; - o b +b ~ ) • (x- 2y)3=x3- 3(x)2•2y+ 3 •x(2y)2- (2y)3 b. (o -b )(v ' í r¡b í ir : (x- 2y)3=x3-3X2•2y+ 3•x(4y2) - Sy3 (x-2y)3=x3-6x2 y+12*y2-8y3 Ejemplos 6.1. Forma semidesarrolíada e x3+8=x3+ 23=(x+2)(x2-2x+4) • x3+ 1=x3+13=(x+1)(x2-x+ l) a. (a -f b)■ ’ - a3+ b3+3cb (o +b'¡ 8 x3-1=x3-13=(x-1)(x2+x+l) • x3-8=x3-2 3=(x -2)(x2+ 2x +4) b. (o - b) - a - b ''- 3ab{a - $) I y |0 rA. V ._______________________:_____J_ _ J , O , % Aplicación 8 Aplicación 7 Si al desarrollar el producto (x+2)(x2-2x+ 4) Se sabe que a + b =5 y ab=3. se obtiene ox3+b, halle el valor de Vo + b. Calcule a3+b3. y f ' V Vj A A V ', Resolución Resolución %0 Nos piden ¡a + b. Nos piden o3+b3. Del dato, tenemos Datos: (x + 2 )(x 2 - 2 x + 4 ) = ax3 + b o+b = 5 sum a de cubos ab = 3 De la propiedad, tenemos Efectuamos la suma de cubos. x3+ 23=ox3+b (a+b)3=o3+ b3+3ab(o+ib) Reemplazamos los datos. 1x3+ 8=ox3+b 1 -----1 — 1 l 53=o3+ó3+3-3(5) Comparamos y obtenemos -> o3+b3=125-45 o=1 a b=8 o3+b3=80 yja +b — V i + 8 = V9 = 3
- 93. Aplicación 9 Si secumple que x+y=2 a x3+y3=5, calcule el valor de xy. Aplicación 10 o Z ) Determine el valor de a -b si se sabe que a-b-2 y ob=5. Resolución Nos piden xy. Datos: x+y= 2 x3+y3=5 R e s o l u c i ó n Nos piden a3-b 3. Datos: a - b - 2 De la propiedad, tenemos {x+y)3=x3-i-y3+3xy{x+y) ab =S De la propiedad, tenemos Reemplazamos los datos. 23=5 +3-xy(2) 8=5 +6xy — > 8-5=6xy 3=6xy — > ^ =xy {a- b)3=o3- b3- 3ab{a- b) Reemplazamos ios datos. 23=a3-63-3(5)(2) 8+30=o3-¿)3 a3-b 3- 38 Adrien-Marie Legendre (París, 1752-Auteuil, Francia, 1833). Fue un matemático francés que tras culminar sus estudios, entró a trabajar en la Escuela Militar, donde completó un análisis sobre la trayectoria de los proyectiles que le supuso el premio de la Academia de Berlín en 1782. En 1795 enseñó Matemáticas en la École Nórmale. En sus primeros trabajos, centrados en la mecánica, introdujo conceptos como la función que lleva su nombre o la primera demostración del método de los mínimos cuadrados. Tras los pasos de Euler y Lagrange, estudió las funciones elípticas y las redujo a tres formas básicas. Fue el primero en hacer una obra estrictamente relacionada con la teoría de números, ámbito en el que obtuvo resultados fundamentales como la demostración en 1830 de la ley de la reciprocidad cuadrática. En 1794 publicó Los elementos de geometría, una versión reordenada y simplificada de la obra original de Eudides, que fue traducida a más de treinta idiomas.
- 94. Productos notables PRODUCTOS NOTABLES] Clasificación r~ Cuadrado de un binomio • Cuadrado de un binomio suma {a+b)2=a2+2ab+b¿ Cuadrado de un binomio diferencia C a-b)2=a2-2ob+b2 j i Concepto Es el resultado de las multiplicaciones que se pueden determinar sin necesidad de | efectuar la operación de multiplicación. Identidades de Legendre ( ia+b)2+{a-b)2=2Ía2+b2 {a+b)2-{a-b)2-4ab i Diferencia de cubos a3- b3=(o- b){o2+ab2+b2) v_____________________________ - Suma de cubos f—- — a3+b3-(a+b){a2-ab+b2) ,/? f qc Producto de dos binomios con un término común (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab ( Cubo de un binomio • Cubo de un binomio suma (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2 J • Cubo de un binomio diferencia /— * - (a-b)3=a3- 3a2b+3ab2- b2 _> V J
- 95. RESOLVEMOS JUNTOS Problema N.’1 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) con respecto de las siguientes proposiciones: I. (2a-36)2=4a2-12a¿>+9¿>2 II. (x 2 +3) — (x2— 3)2 =12x2 III. (x2 +3y) =x 4 +6x2y +9y2 A) FFF D) FVF Resolución I. Verdadera B) VVV C) VFV E) VFF (2a-36)2=(2a)2-2(2o)(3b)::+ (36)l|»a (2o-3b)2=4o2-12o6+%2 ‘ II. Verdadera (^ +3)2 _(^ -3 )2=4.x2.3 (x2+3)2- (x2-3 )2=12x2 y a % . v¡, III. Verdadera , ;J f (x2+3y)2=(x2)2+2 •x2•3y+(3y)2 (x2+3y)2=x4+6x2 y +9 / =Clave . Problema N.* 2 -J Determine el valor de x 2+— si se sabe que x +—=4. x A) 2 D) 12 B) 6 C) 16 E) 14 Resolución Nos piden x2+A: 1 Dato: x +- =4 x i Importante (a+b)2=a2+2ab+b2 En el problema, tenemos ■ y x +— XJ 1 1 =x 2+2-/ ■ — 7+ / ’ ? / x 2 f i f 2 9 1 x +- =x +2+— V X. X Reemplazamos el dato. A2~x2+2+- y -> 16-2 = x 2+-Í- j f % x2 „1 -.r x2 .+ ± =U ,, f'V x # % ^ ; Clave Problema N.‘ B Determine el valor de ab si se sabe que a+b=6 y a2+b2=30. A) 1 D) 9 B) 3 C) 6 E) 12 Resolución Nos piden ab. Datos: a+b=6 o2+b2=30 £ ................................ .......— '1 . £ No OLVIDE (a+b)2=a2+2ab+b2
- 96. Capítulo 3 Productosnotables ___________________________________________ ____________:------------------- ----- ------------------------ i
- 97. COLECCION ESENCIAL LumbrerasEditores _____ Problema N.‘ 6 ? n 9 Si 2>r-3=5x, indique el valor de 4x +— . xz Problema U.’ 7 __ ______ Si a2+b2=13 y ab=2, halle el mayor valor de o-b. A) 25 B) 13 C) 12 D) 37 E) 33 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Resolución ? 9 Nos piden 4x +— . x2 Del dato, tenemos 2x2-3=5x 2x2 3 _ 5 x y x x x Simplificamos y obtenemos 2x - —=5 X Elevamos al cuadrado. / 7 S C . ■ ■ 2 x - — =52 X. Tenemos (2x)2-2 (2 /) 7 3 h + =25 .x ) 4x2— 12n — r-=25 Luego 4x 2+4 = 25+12 x 4x2+~ =37 x 2 ; Clave ..............................................i . i Resolución . Nos piden a-b. ' Datos: a2+b2=13 ab-2 ; Relacionamos los datos y lo que nos piden. NO OLVIDE • : * $ v (a-b)z=az-2ab+b2 ; Ordenamos convenientemente la expresión, i {a -b )2=a2+b2-2ab ; Reemplazamos los datos, í (a-b)2=13-2(2) (a-¿>)2=9 a - b - 3 v a - b = - 3 j Por lo tanto, el mayor valor de a-b es igual a 3. I a - b - 3 j ; C/ove ; Problema N.‘ 8 Si se cumple que m -n =6 y m2+n2=t calcule el valor de m n N ,7 1 7 2 , A) 8 B) 9 C) 5 D) 4 E) 11
- 98. Capítulo 3 Productosnotables Resolución Nos piden -7=--= V2 V2 Datos: m2+n2=80 m -n-6 Relacionamos los datos y lo que nos piden Importante > X K X » < x > c o c < > < y > -i j. X 9 ? 9 0 v [m-ri) =m-2mn+n Ordenamos convenientemente la expresión. (m -n)2=mz+n2-2mn Reemplazamos los datos. ........... / ,#*- ' 62=80-2mn 36=80-2mn .'y C ’' í#:,„ ^ * 5 Ó # :: ? - , ..+W i % / 2m/?=80-36 — > 2mn =44 , -x mn=22 Nos piden m n mn V2 V2~ 2 m n 22 v r ^ = 2 =M ; ;y - r i C/ave t j Problema N.* 9 Si se cumple que 1 1 4 —+—= -----, calcule el valor de M. a b a +b Va4 +b4 A) -4 B) -1 c, - 1 2 D) 1 E) 2 Resolución Nos piden M. M =3, (a +¿> )4 7 7 7 Dato: 1 | 1 . _ 4 o fa o+b Del dato, tenemos 1 | 1 4 a b a + b a + b 4 ' ab a +b Luego (o+¿>)2=4a¿) a2+2ab+b2=4ab a¿-2 a b + b2 -=0 n Completamos cuadrados. {a -b )2=0 -> o-b= 0 -> a -b Reemplazamos en (*). ¿(a +b f ¿ (a +a)4 ¿l(2a)4 Va4 +b4 a4 +a4 ~ Í 2a4 M=2 3
- 99. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.* 10 Si se sabe que (x-1)2=x. Calcule el valor de x 2+— . x A) 9 D) 4 Resolución Nos piden x¿ + B) 7 C) 6 E) 2 .2 1 Dato: (x-1)2=x Del dato, tenemos (x— 1)2=x x2-2x+1=x x2-3 x +1=0 x 2 _ 3x J_= 0/ x x x x Simplificamos y obtenemos x — 34— =0 — > x4 =3 x x Elevamos al cuadrado. x + - | =32 X. Desarrollamos el binomio cuadrado. 2 x 2 + 2 -/-— 7+I - 1 1 / H w = 9 x 2 +2 +—-=9 x 1 x 2+ 4 = 7 x ¿ ; Clave Problema N.‘ 1 1 Determine el área del rectángulo. Considere que x> 0. t t t .¡i;- iY' f E) x2+30 ;/:y .... ,y- Y - . : v" / '4 . '• • 'i... r ' .■ ■ ■ i'* ’ :• ::'v . • ' ■ ■ A) x2+25x +10 B) x2+10x+25 C) x2+11x +30 D) x2+10x+30 Nos piden el área del rectángulo. Del dato, tenemos 6 ) x ^ 6x Sx 30 Del gráfico, tenemos -X2+6x +5x+30 í Aq =xi’+1lx+30 ÍA.q — a / 2+I1x+30 Clave
- 100. Productos notables Problema N.'12 Simplifique la expresión L t =7x(x+1)(x +2)(x+3)+1-1->r2. Considere que x es positivo. A) 3x D) 4x B) x C) 2x. E) 5x Resolución Nos piden L L =^ ( x +1)(x +2)(x +3) +1 -1 -x2 L ~¡{x2+3x)(xz +3x +2) +'-1 - x2 Reemplazamos x2+3x=a. Entonces /. =^a(c?+2) +1 -1 -x2 í . : ■ : :Ar, I/'.'“ ..X ' .= 7 7 H ' - ir +2o +1- l- x " Luego — í----------- S *% x /(a +t f - l - x 2 a+1-1-x2 , ■ % v / ' Recordemos que a->c +3x. Simplificamos y obtenemos L =/^ +3 x + X - / - / 2 L=3x " Clave ' ■ Problema N.* 13 ________________________ Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) c o n r e s p e c t o d e las s ig u ie n t e s p r o p o s ic io n e s y elija la secuencia correcta. I. (x+7)(x+3)=x2+10x+21 II. (x+S)(x+a)=xz+{a+5)x+5a III. (x2+4)(x2+2)=x4+6x2+8 IV. (2n +5)(2n-F7)=4n2+24n+35 A) W VV D) VVVF B) FFFF C) VVFF E) W FV Resolución I. Verdadera (x+7)(x+3)=x2+(7+3)x+7-3 (x +7)(x +3)=x2+10x +21 II. Verdadera (x+5)(x+o)=x2+(aa-5)x+5o III. Verdadera íx2+4)(x2-f2)=(x2)2+(4+2)V2+4 •2 . (x2+aXx2+2)=x4+Gx2+8 IV. Verdadera (2n+5)(2n+7)=(2n)2+(5+7)2n +5-7 (2n +5)(2n +7)=4n2+12■ 2n +35 (2n+5)(2n +7)=4n2+24n +35 i Clave PVoblema N.° 14 Si x 2+5x=7, halle el valor de 5. S=x(x+5) +(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) A) 18 D) 143 B) 20 C) 137 E) 150 5
- 101. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Resolución Nos piden x(x+5) +(x+1)(x+2)(x+3)(x+4). Dato: x2+5x=7 Desarrollamos x(x+ 5) +(x+1)(x+2)(x+ 3)(x+4) 2 +.3=5 5=x(x+5) +(x+1)(x+2)(x+ 3)(x+4) 1+ 4= 5 5=x2+5x+(x¿+5x+4)(x2+5x+6) Reemplazamos x2+5x=7. 5=7 +(7+4)(7 +6) 5=7+11-13 5=150 y - i Problem a N.’ 15 ? y , " ; j ? Clave { ■ ...............;*-v i % » --------------i----i---- Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) con respecto de las siguientes proposiciones y elija la secuencia correcta. I. (V 5+ 2)(V 5-2) =1 II. (Ja +Jb )('fci-[b ) =a-b-, donde a y b son positivos. |||. (a +4b)(a-4b) =a2-b; b e R+ = x 2- x 2; x ¿0 ( 1 Ì ( 1Ì x — V x ) k x j vvvv B) D) FVFV C) VFVF E) VVFF Resolución I. Verdadera (V5 +2)(Vs - 2 ) - - 5 - 2 2=5 -4 dif. de cuadrados (Vs +2)(% /5— 2) =1 Verdadera (4o+4b)(4o- 4b)=4o^ - 4b =a -b __________ _____ / dif. de cuadrados (4a +4b)(4o -4b) =a-b I. Verdadera (a+4b)(a-4b) =o2- 4b =a2-b '................v—------ 1 dif?cíe cuadrados | . .a~ y' ■ ?(o+4b)[a- 4b) =a2-b 4 5á.v .? |í5 '? i & | IV. Verdadera r i í f 1i X H— X — V x ) dif de cuadrados í 1i f x +— x — V x ) V x J V t = x2 _.1 Vx =x2-x~2 Clave Problema N.* 15 Sean a y b dos números reales donde ab-7 y a2-b z=21. Indique el valor de r?2. A) 5 D) 16 B) 25 C) 4 E) 625
- 102. Capítulo 3 Productosnotables Resolución Nos piden o2. Datos: a+b=7 a ó2-¿72=21 Del dato a2-b2- 21, tenemos (o+¿>)(o-¿))=21 '—,—' Luego 7(o-¿?)=21 -> a-b=3 _ 4-mn*3 4-mn-3 P =---------+--------- 12/77 12/7 Simplificamos J2fnn , J2fíí ^2n P=m+n Clave[ ) Observamos que o + ó = 7 y a - b = 3 o= 5 a ó= 2 /. o 2=25 A , .« P ■ I A T f â O If e s J I ! % W .M w $ «H k r-: V Problema N.° 17 r ,r- Reduzca la expresión (m n + 3)2 - (/T7/7- 3)2 (mn+ 3)2 - (m n -r3)2 . P= donde m*0; c?*0. 12/77 12n V f. A) m + n D) /7 7 Resolución B) m - n C) /T 7 /7 E) n Importante 2 m2. j (a+b) -(a-b) =4ab ,« » “■ < X<iOXXXX>00</X J En el problema, tenemos identidad cié i egencirt- identidad de Leqcndre (m n +3)z - (m n - 3 ) ¿ ' (mn+ 3)2- (mn- 3) 12m 12/7 Problems M.* 13 Simplifique la siguiente expresión: (m+n)(m-n)(m2+n2) +n4 A) mn €¿/1| B) m D) rfk r ■¡ r f ’§ i p a lp a s i' C) -m £ E) m8 9%. < * < V* ■ ? >^ X # •& -y r v No OLVIDE i (a+b)(a-b)=az-b2 En el problema, tenemos (m+n)(m- n)(m2+n2)+n4 (m2-/72)(m2+/72)+n4 (m2)2-(n 2)2+n4 4 4 4 4 m - n + n = m (m + n)(m -n)(m 2+/72)+/74 =m4 ! Clave
- 103. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores ProblemaN.' 19 ________ Calcule el valor de la expresión i. ■ J= . 334-332+1 112-110+ 1 A- ) 2 P) 5 Resolución0 B) 3 C) 4 E) 7 ,p xxxx>coo*x>:- oo< x k x + V V - ■ v ! .I Importante £ {a+b)[a-b)-a2-b2 En el problema, tenemos % J = (333 +1)(333-1) +1 (111+1)(111-1)+1 I J = 3332-12+1 3332- J +/ r é V 1112- 12+1 V 1112- / +/v,:^ ^ -'; 333¿ ¡f^DDA2 333 — > 11f /. J =3 333 111 . 111 t ■ = % ■ * 4 5 - Clave Problema M 2 20 Con respecto a las siguientes proposiciones, indique la secuencia correcta de verdad (V) o. falsedad (F). I. x 4-1 = (x -1 )(x + 1 )(x 2 + l) ||. (x + 2 )3=x3+ 2 3+6x(x+2) |||. (x+1)3=x3+3X2+3x+1 A) VVV D) FFV B) VFV C) FVV E) FFF Resolución I. Verdadera / - i = M 2- i 2 x4-1=(x2+l)(x2- l) x4-1=0c2+l)Gc2-12 ) x4-1=Gr+l)(x2-l)(x+ l) x4-1=(x-1)(x+1)(x2+l) . Verdadera (x+2)3=x3+23+3 •x •2(x+ 2) (x+2y ^x3+2a+6x (x+2) I. Verdadera (x +1)3=x3+3x2-1+3-x -12+13 ' (x +1):S=x3+3x2+3x +1 Clave Problema MB21 Se tiene que a+¿>=5 y a-b=2. Determine el valor de a3+b3. A) 85 B) 95 D) 115 Resolución Nos piden a3+b3. Datos: a+b- 5 a-b=2 C) 105 E) 155 Importante {a+b)3~a3+b3+3ab[a+b)
- 104. Productos notables Reemplazamos losdatos. 53=o3+fc3+3 -2(5) •12S=a3+b3+30 125-30=a3+63 o3+b3=95 : Clave . Problema H.° 22 Dados los números x =2— y¡3 a y =2+V3 calcule el valor de — —+— . ,,2 ? ; Clave . y x A) 12V3 B) 12V2 D) 52 C) 53 E) 42 ProblemaW 23 Simplifique la expresión K. Resolución K ={fa +l)(V ü -l)(o 2+0+1 ) - a 3 Nos piden + ,:2í ' A) o+1 B) o-1 C) 1 y 1 - x D) -1 E) 3o6 Datos: x = 2 - 7 Resolución y =2 +v3 Efectuamos la diferencia de cuadrados. Observamos que — +~ equivale a x y . , x 3+ y3 - +-^- equivale a —y y - y x , . x y De los datos, tenemos • x + y = 2 - V 3+2 + 7 x+y=4 • xy ={2 -Jl){2 +S xy =22-V 3 = 4 -3 xy=1 //> » x / .■o«* *.'*'.*.'*«'<x/.vxxx> 00000000-','-y, ■ NO OLVIDE í i < 5 y ■ : (x+y)3=x3+y3+3xy(x+y) Reemplazamos x+y=4 a xy=1 43=x3+y3+3-1-4 64=x3+y3+12 64-12=x3+y3 x3+y3=52 x y _x3+y 3 _ 52 _ 5 2 _ r 2 " 7 +? ~ * 2y 2 ~ ( ^ f ’ 7 “ K = (4a + 'l)(V o - l)(o 2 + o + l ) - o 3 V -----------------—- y — ---------------- ' dif de cuadrados Luego K =[¡a^ — 1 2) (a2+a +1 ) - a3 K =(a-1)(a2+a + l)-o 3 V _________________v__________________ i dif de cubos K=-1 C/oi'e i b J '9
- 105. COLECCION ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.‘ 24______________________ Calcule el valor de o3+¿>3si se sabe que a+b=6 y a2+b2=30. A) 216 B) 180 D) 160 Resolución Nos piden a3+ó3. Datos: a+b =6 a2+b2 = 30 Hallamos el valor de ab No OLVIDE > (a+b)z=a2+2ab+b2 Reemplazamos los datos. 62=30 +2c7¿> 36=30+2ab 36-30= 2ab 6=2ab . ob=3 Luego, hallamos a3+b3. /yoooooo>oc^oc<xx><x><<<'<v>c<>c+>'<oo< < > o< kx > < > o< > :> -:*k» » ^ f } i Importante x 3 : (a+¿03=a3+63+ 3a£>(a+b) ívxyp o c-»x x x x >x x x x x k >x +k « < <Sr Reemplazamos los datos. 63=o3+ ¿> 5+3 ■ 3(6) 216=a3+£H+54 216-54=o3+b3 /. a3+b3=162 : Clave .. Problema N,‘ 25_________ _________ ' ______ Si la diferencia de dos números es igual a 4 y la suma de sus cuadrados es igual a 24, halle la diferencia de sus cubos. A) 92 B) 94 C) 100 D) 96 E) 112 Rssoiwdén Nos piden determinar la diferencia de sus cubos. Sean a y b los números. Luego, traducimos toda la información del problema al lenguaje del álgebra. F " ': .................:••••- - - • i ' ■ rV ,y*vj ■ La diferencia de dos | números es igual a 4. a -b = 4 La suma de cuadra- : dos es igual a 24. a^+b2=24 f V Halle la diferencia de sus cubos. oJ -¿>3=? Hallamos el valor de ab. > : No OLVIDE ; (a-b)2=a2+b2-2ab ««Í'O IX 'O W -C .X O X .-X W X M .rO > Reemplazamos los datos. 4 ¿ = 2 4 - 2 a b 16=24-2ab 2 a b = 24-16 2 a b = 8 a b = 4 C) 164 E) 162
- 106. Hallamos el valorde a3-b 3. Importante (a-b)3=a3-b3-3ab(a-b) Reemplazamos los datos. 43=a3-b 3-3-4(4) 64=a3-¿>3-48 64+48=a3-¿)3 a3-b 3=112 Problema N.° 2G ^ r c iä v iü - -A »- Si a =Í5-% determine eI vaIor de a3+3a2+3a. **•«**• :;í/" A) 1 D) 4 B) 5 C) 2 E) 6 Resolución Nos piden a3+3o2+3c?. Dato: a = /5 -1 ■ % > y ! NO OLVIDE í {a+b)3=a3+3a2b+3ab¿+b 2 , u 3 % K QC/<Xy>Q'«'0'X. » J En el problema, tenemos a =yj5-1 o +1=^/5 Elevamos al cubo. -X (o+1); J-Ts o3+3o2-1+3o-12+13=5 o3+3c 7 2+3ch-1=5 .*. o3+3a2+3a=4 Clave C) 2 E) 4 SJ S ü O lß ! f ) 'i V4* . 4./ Si se cumple que a ^+x +^O, indique el valor de x ^ x 3. A) 0 B) 1 D ) 3 Rcsobft^ n:' Nos piden x9+x3. Dato: x2+x+1=0 £ Importante y X j {a-b){a2+ab+b2)=a3-b3 Como x2+x+1=0, entonces (x-1 )(x2-fx +l) =0 (x-1) dif de cubos x3-13=0 x3-1=0 x3=1 Luego x9+ x3 =(x3) 13+1=1+1=2 + X ‘ x +x3=2 Clave
- 107. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.’ 2 9 ________ ___________________ Determine el valor de ab, si se sabe que a+b=6 y a2+b2=30 A) 6 B) 3 C) - D) 9 E) 2 Resolución Nos piden hallar ob. Datos: a2+b2=30 a+b =6 Elevamos al cuadrado. - (a+¿>)2=62 Luego C #', x p a2+b2+2ob=36 ' / . C F 30+2aí>=36 2ab-6 ab=3 ! Clave Problema N.* 30 Sean x e y dos números de modo que x+ y =[s y xy=2. V x Halle el valor de —+—. x y A) i B) 1 C) 2 3 D) 3 E) - 3
- 108. Resolución Nos piden hallar y_+^__x2+y 2 x y xy (*) Datos: x+ y =^ [ É > xy= 2 Del dato, tenemos (x+ y)2= 4sZ x2+y2+2xy=5 T x2+y2+2(2)=5 — > x2+y2=1 Luego en (*). Y , x _ x2+y2 _ 1 Ai x y xy £ "■Clave' Problema N/ 21 '/:■> > / ■ ‘A;-f Ah. % Dados los números x =3+Æ y y= 3-y¡i, calcule el valor de ^ í + y(X+1) ' A) 1 D) 5 y{x +1 ) X{y+1 ) B) 8 C) 6 E) 3 Resolución Del dato, tenemos x =3+J q y =3 - S xy =32- 4 í xy=1 Nos piden Productos notables *(y + i)|y U + 1 ) y(x +1) x(y+1) xy +x+ yx +y _ 1 +x +1+y >x+y +xy+ x 1+x+1+y = 1 C/ot/e « ■ » . Jo ,:'„¿í >r-i i V ), . Si x =y¡2 +1, calcule el valor de M. M =- x4 +1 X' A) 5 Æ f ,;.; B) 3Æ C) 4Ti ,X;" D) 6. > ¿ » //> ✓ ^ 5 ^ 5 |5 -íji, í. r .Á . ; E) 2TÍ í Dato: x==>/2+1 Tenemos (x - i)2 =y 2 x 2- 1 = 2 x Elevamos al cuadrado. (x2- i)2=(2x)2 x4-2x2+1=4x2 x 2 + 1 = 6 x 2 M = x4 +1 = 6 Clave 3
- 109. COLECCIÓN ESENCIAL J sHáSé'&S'.-Ü ProblemaN.* 33 Resolución Dados los números Nos piden 7 a +b. a = V2+1 a ¿ >=72-1 Dato: halle el valor de o3+¿>3 (x +2)Gr2-2 x A) 16%/2 B) 2V2 C) A^i Luego D) 8^2 E) 1072 x 3 + 2 3= ax3 + b Resolución 1 x3+8=ox3+ ¿> Nos piden o3+¿>3. Datos: T__JX--X J~ — > 0=1 A ¿ =8 Lumbreras Editores o = 7 2 +1 ¿ >= 72-1 Calculamos o+¿> y a b . a +b =2¡2 a ab =' (a+ bf =(2j¿f Aplicamos el binomio al cubo. a3+b3+3ab(a+b) = o3 +¿>3+3 x 1x2>/2 =16>/2 7o +¿= 7T+8 =79=3 Clave La suma de dos números es igual a 5 y la suma de sus cubos es igual a 95. Halle la suma de sus cuadrados. A) 21 D) 25 B) 20 C) 23 E) 24 < j 3+63+6^2 =16n /2 /. C 7 3+fc3=10>/2 ! C/ove Problema N.‘ 34________________________________ Si del producto {x +2){x2- 2 x +a) se obtiene ax3+bl halle el valor de Ja+ b. B) 4 Resolución Sean los números ay b. Datos: a+b-S o3+¿>3=95 Nos piden o2+¿>2. Importante (o+b)3=o3+b3+3ab(a +b) o..■-.. _ ■ .v* ^ A) 3 D) 0 C) 2 E) 9
- 110. Productos notables Reemplazamos losdatos 53=o3+63 + 3ab •5 - ~ r ~ 125=95+15ob 30=15ab — > ab=2 Sumamos los cuadrados. {a+b)2=a2+b2+2ab 1 52=o2+// +2(2) o2+b2=21 : Clave L Problema N.’ 36 Luego de multiplicar (2x-1){2x-2), se obtiene ax2-bx+e. Calcule el producto de abe. B) -96 A) 16 D) -8 Resolución Nos piden abe. Por dato: (2x- W x-2)=ax2- bx+c 4x2-4x-2x+2=ax2+bx+c 4X2- 6x+2=ax2+bx+c T- t = 4 E^ J T Entonces o=4; b=-6; c=2 abc=-48 C) -48 E) -16 JZ % • ! Clave [ Problema N.‘ 37 1 Si se sabe que x +—=3, calcule el valor de S. x f 1 ^ 1 x f 1V r 1 x N X* + l vxy ; V I x J J S = A) 18 B) 15 D) 21 Resolución 1 Dato: x +- =3 x Nos piden r f i V C) 20 E) 24 S = xx .+ ^ +í i f v? yxJ ) *+- .. i f i - 5 =x,,i*'+ x — + 1— x;' « - W *'4 wX V . xy 1 1 1 ~ - 1 / i -+* X - 1 w ■X* + 1 vxy V i S - x 2+1+1+1— S = x 3+ 2 + J- x3 Elevamos el dato al cubo. 'x + i t - í V x ) 3 1 / 1 xá+ -- +3 / - v X X x3+-^ +9 =27 -> x 3+4 t =18 í 1 x H — =27 V x ) 5=18+2=20 Clave C j 5
- 111. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO 1.Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) con respecto de las siguien tes proposiciones: I. (x+5)2=7+10x+10 II. (2x+3)2=27+6x+9 III. (7 +7)2=7 +14x+49 A) V W D) FFV B) VFV C) FVV E) FFF 2. Se tiene que a+b=7 y ab=2. Determine o2+b2. A) 10 D) 42 B) 20 C) 31 : E) ; 45 3. Determine el valor de ob si se sabe que<~ o+b=9 y a2+bz=25 „ A) -5 D) 28 B) 14 C) 21 E) 56 # % > , 4. Seaxun número, de modo que7-5x+1=0. 2 1 Halle el valor de x +— . x2 A) 23 D) 32 B) 25 C) 27 E) 45 5. Si se cumple que m -n=6 y m2+n2=70, calcule el valor de m2-n2. A) 17 D) 286 B) 19 C) 25 E) 289 6. Si se sabe que (x-2)= 2x, 2 16 calcule el valor de x +— . x A) 21 D) 34 B) 28 C) 32 E) 36 7, Determine el área del siguiente rectángulo Considere que x> 0. A) 7+14 B) 7 +14x+9 C) 7 +9x+14 D) 7 +5x+7 E) 7+ 49 8. Reduzca la expresión E. £ =(V5 +2) (V5 - 2 ) + ----- 2VlO VlO-3 A) 7 D) 5 B) -7 C) -5 E) 6 1 9. Si x +- =5, calcule x(x+2)(x- 5)(x-7). X A) 15 D) -13 B) -15 C) 13 E) 12
- 112. 10. Indique lasecuencia correcta de verdad (V) ¡ Se sabe que o falsedad (F) con respecto de las siguien tes proposiciones: 2 / r- i— 2 x +—=2. X i. (71+71) -(79-71) =1275 II. (75+73)(75 - 73) =2 III. (x2-5 )(x2+5)=x4-25 .4 Calcule x4 + A) 2* A ' B) 2¿ A) W V D) FFV B) VFV C) FW E) FFF D) 2 C) 2‘ E) 2( Simplifique la expresión H. H = 1. yl3 +y¡2 y¡S-2 A) 2 B) V3 D) 2-V3 ■ 12 Si se cumple que x+y=3 a x3+y3=7, calcule el valor de xy. / i A , i t ™ ¿ y v X K - itf A lt . ijf y 1 1 w I ¿ m i w i & Se tiene que |x3+y 3+x +y = 44 x+ y =4 calcule’él .valor de xy. * rW » a f* C/l f e r r ¡ b) 2 ' A S I V ? ,4 »-,.'^ :/ ‘1. D) 4 V ! V V f V C) 3 E) 5 : É > /■ 4 * v * j# V #%. % • "Calcule el valor de la expresión J. + | V 7-V 5 A) 1 20 D ) t B) 20 C) 2 E) 2 8 V 7 -V 5 7 7 + % /5 B) 12 13 Si tenemos que {a+b)2+(a-b)2=Aab' calcule A) 1 D) 9 a b ~ t >+a. x2 B) 2 C) 4 E) 16 A) 10 D) 2 C) 14 E) 24 17. Si la diferencia de cuadrados de las edades de Ana y Lupita es igual a 17 y el cuadra do de la suma de sus edades equivale i 289; ¿por cuántos años Anita es mayor que Lupita? A) 1 D) 6 B) 4 C) 5 E) 3
- 113. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 18. Simplifique la expresión B. B={x+4)(x+ 2) +(x+3)(x+ 5)- 2x(x+7)+7 A) 20 D) 18 B) 24 C) 30 E) 12 Calcule el valor de la expresión (x+1)(x-2)(x+5)(x+2) +5 si se sabe que x2+3x-1=0. A) -27 D) 22 B) 27 C) -22 E) -32 '' 1 ^ 20. Determine el valor de x 3+— x3 si se sabe que x + —= V5.v ¡s x A) 75 B) 2n /5 C) 3s ¡5 D) -2^5 E) 5¡5y 21. La suma de dos números es igual a 5 y la suma de sus cubos es igual a 95. Halle la suma de sus cuadrados. A) 21 D) 25 B) 20 C) 23 E) 24 22. Determine el valor de o3-6 3 si se sabe que a-b=2 y ab=5. 23. Dados los números 0=72 +1 y b =V2-1 halle el valor de a3+b3. A) 1672 B) 272 D) 872 2-1 Si x - x _1=1, halle el valor de x3- x -3. A) 4 B) 3 0 , 1 25. Si x = 72 H el valor de x - 2 x j • A) 2 D) 8 B) 4 A) 28 D) 100 B) 26 C) 472 E) 1072 C) - 2 E) 1 C) 6 E) 16 Si a+b =yf0 y ab-2, indique el valor de o4+¿ > 4. C) 20 E) 32 Si se cumple que o+6=3 y o3+63=9 ¿cuál es el valor de o6- l+6o~1 ? B) 23 C) 38 í A) 5 B) 5 C) s A) 14 2 D) 36 E) 32 D) 5"3 E) s é
- 114. A partir delsiguiente sistema x3=-1; x * -1 y 3 =8; y * 2 determine el valor de (x2- x +3)(3y2+6y +l). Simplifique la expresión S. ( ¿ ¡ - M a + J r i + b h b J b S = a-Ja Considere que a y b son positivos. B) 2 A) -22 D) 125 B) 2 C) -11 E) 1 1 Simplifique la siguiente expresión: x 3+8 x3-8 x+2 x - 2 A) 2x2+8 B) 2^-1 C) 2x2+1 D) 2X2 E) 2x2-8 30. Si x =^ 4 -1, calcule el valor de A) 1 D) 4a Si se cumple que x3-3x2+3x-1=0 y3+3y2+3y+1=0 indique un valor de 5x+2y. C) & E) 3 : : ^ .Jv Í : *W ~¿ÉÈ? / • ■ • v %W / : A) 0 D) -6 , ; B) 3 C) -3 E) 1 J * .. Reduzca la siguiente expresión: ,J t y d f t - s J z U ó + M À ^ S u <* ,» ? ‘a. ■ A) 9 D) 2 B) 5 C) 7 E) 8 ■ X V-*" A) 1 » - ì X + X-1 B) -2 35. Al racionalizar el denominador de la 2V5-V7 expresión Q -3 E) I 2 2V5+V7 halle el resultado. 31. Si x +7 = 7 2 , calcule el valor de x 3+2V2. A) -V2 B) -1 D) 0 C) 4V2 E) 3V2 A) C) D) 13— 4V35 13 27 +4^35 13 27-4V35 13 B) 13+4>/35 13 E) 4 +27>/35
- 115. reras Editores 36. Sio¿?=3 y o2+¿»2=19, calcule el valor de a3+ib3. A) 75 B) 60 D) 120 para P A R I S I C) 80 AMOR A SOFIA E) 90 COLECCIÓN ESENCIAL k---- * UNMSM 2011 Si x - x 1=1 [x ï 0), halle ¡os valores de x2 ,-2 +x - y x ^ x 3. A) 3 y 4 B) 2 y 3 C) 2 y D ) 3 y i 1 . -x f S % ^ E) 4 y — UNMSM 2010 i •# 38. Si la diferencia de dos números es igual a : 4 y la suma de sus cuadrados es igual a 24, halle la diferencia de sus cubos. A) 92 D) 96 B) 90 . ' - V * ■ v v . r C) .100 E) 112 UNMSM 1997 39. Cada semana se corta el pasto de las ori llas de un terreno cuadrado de un estacio namiento. El resto del terreno permanece intacto para que sirva como hábitat de los pájaros (ver el gráfico). El terreno mide o metros por a metros y la franja podada es de x metros de ancho. Explique por qué el área podada es igual a a?-(a-2x)2. ■ X. Simplifique la expresión (x+1)(x-2)(x+ 5)(x+ 2) +62 si se sabe que x2+3x-5=0. A) -1 D) 30 B) -35 C) -6 E) 1 ,.s v' p p 41. Halle el valor de x +y si se sabe que x+ y-5,.además xy=2. ■/:: X-:-, . A) 21 B) 23 I ,V V D) 22 C) 29 E) 20 v V ' Sea x un número, de modo que x2- n /3x -1 =0. ? 1 Halle el valor de x +— . x2 A) 1 D) 7 B) 3 C) 5 E) 2V3 43. Calcule el valor de la expresión 1 V7+V5 V 7-V 5 V 7-V 5 + V7 +V5 A) 10 D) 2 B) 12 C) 14 E) 24
- 116. 44- Sean ay b dos números de modo que : Calcule el valor de o2+b3 si se sabe que a +b =4& y o~b ='JÍ. Halle el valor de ; a+b=6 y a2+b2=30 (a4 -2 a 2b2 +b4). A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 A) 216 B) 180 C) 164 D) 160 E) 162 45. Determine el valor de que x + .—=y/s. x h —r si se sabe x 3 La diferencia de dos números es igual a 4 y la suma de sus cuadrados es igual a 24. Halle la diferencia de sus cubos. A) A D) -275 * 3) 275 C) 3V5 E) 5^5 A) 90 D) 96 B) 92 C) 100 E) 112 C la v e s 1 E 7 13 C 19 c 25 B 31 37 43 2 £ 8 14 . D 20 B 26 A 32 38 : 44 3 0 9 A 15 B 21 A 27 A 33 39 45 4 A . 10 A B 22 C 28 A 34 40 46 5 c 1 1 E 17 A 23 c 29 A 35 41 A ; 47 6 H 12 18 C 24 A 30 C 36 C 42 Problema sin alternativas
- 117.
- 118. z~ K ■ }&■te-í? T 3 ' ■ ■■1 íí"*' 1'1? il ' r ■ ? * ••■ • .'■ ..i *-r?.-' *0 >• Encontrar las raíces de una ecuación polinómica es uno de los problemas más antiguos en matemáticas. Sin em bargo, los conceptos formales y la notación que actual mente utilizarnos para resolver este tipo de problemas solo fueron desarrollados a partir del siglo xv d.n.e. An tes de esto, las ecuaciones eran escritas en palabras y no con los símbolos actuales. El matemático francés Francois Viete (1540 - 1603) es considerado uno de los precursores del álgebra moderna. En su obra principal, Isagoge Artem Analycitem (Introducción al arte analítico), se presenta p o r ' primera vez una concepción consistente y sistemática de la noción moderna de ecuación algebraica. Viete introdu ce el uso de símbolos para representar los términos que constituyen una ecuación: vocales para las incógnitas y consonantes para los valores conocidos (coeficientes). Los polinomios forman una clase muy importante de fun ciones, que están definidas en términos de sumas, restas y multiplicaciones de monomios. Aparecen en diversas áreas de las matemáticas y las ciencias naturales. Por ejemplo, en ingeniería civil se aplica para resolver problemas en la construcción de puentes. La curva que se describe debajo de algunas de estas construcciones es la gráfica de una función cuadrática (función polinomial) cuya concavidad es hacia abajo. . Á prsindSzajES GGpGtradoG - Identificar los diferentes tipos de polinomios. • Calcular el valor numérico de polinomios. • Resolver problemas de cambio de variable. • ' Aplicar las propiedades de polinomios en la resolución de problemas. ¿Por qué es necesario este conocimiento? Los polinomios se relacionan con varios temas del curso de Álgebra como división, factorización, entre otros. Las funciones polinomiales tienen mucha aplicación en diversos fenómenos de la realidad; en economía, por ejemplo, un investigador suele relacionar el consumo en función del ingreso o la oferta en función del precio. ________________
- 119. Polinomios ////^ H0'.olv8d:i t/A * • 'V v ** ’• ff/f/fc "váriátíleixVA'^’HV^C'A^ -----vA r. t .coeficientes: 2; 5; 7 coeficientes: 2; 9; -8 - •C^),y.,,...► Ui1 U U ¡Jyy a I A f r i n l n i i i o r n i u / • Constante es cualquier nú- I íTTI (¿>< ' ' " " J mero, el cual debe estar en . j^ v ú un conjunto determinado.//// ■ :t • Variable es un símbolo (letra) É |= j y representa a diferentes :í elementos de un conjunto 1. DEFINICIONES PREVIAS 1.1. Expresión matemática Es cualquier combinación de números y letras entrelazadas por las diferentes operaciones matemáticas. Ejemplos • x2-2y+3 • 5'Y+logx • V x+ — L - 1 v x 1.2. Notación matemática Es la representación simbólica que nos permite reconocer cuáles son las variables de una expresión matemática. Ejemplos ' • P(v)=2x3+ 5x2-x + 3 tiene una variable: x ♦ . ... í . i %:%. vailable • P(x)=2x3+3x2- x + 3 tiene una variable: x í variable • P(ry )=2x2+3y2-5 x + 4 y tiene dos variables: x ;y t í variables • P(X_ 1 )=5x24-7.v- 3 tiene una variable: x-1 T variable • x2+ 5x -1 ° - n r 2h 5 • ^(2x+7)=4x - 3 tiene una variable; 2x+7 ” r variable
- 120. 2. VALOR NUMÉRICO Sile asignamos valores a las variables de una expresión mate mática y efectuamos las operaciones que se indican, el número real que se obtiene se llama valor numérico de la expresión. Ejemplos 1. Dada la expresión f(x)=2x+1 si X=1 -> f(1 )=2(1)+1=3 si x=— 2 — > 2j=2(— 2)+1=— 3 six= - — » ffü = 2 - +1 =2 2 (i) bJ 2. Dada la expresión f^)=xz+2x si x=0 /(0p0^+2-0=0 si x=3 / í É(3)=32+2*3¿ 15 í , o i s¡*=-3 ->' /(.3)-(-3 r i2(-3)=3 ■ ■ ■ < ? .§ .„«as*. ' 1¿X 3. Dada la expresión 5(x) =— . . ,1 ' I »X ///' '■ ¿ si' // J-p * f- y ■ ¡'-íw.í. f.~ A .? / A/ 'si 1-2- 4 * ^ bf; ís f> ¿ fe . ¿ so.. % , # S* VV*®^ ' > ͧt SIX = 2 - » Qn=T~ ^¿¡ 1+2 ■ i, 3 í • '« f ^ six= -2 -> 2 ^ tl-(-2 ) = _3_ =_ 3 -1 . X r " 1 1 1 2 _ 2 _ 1 S l* = 23f : r ~ T - 3 = 3 U 1+2 2 4. Dada la expresión fM = x 2; x< 0 x+1; x> 0 si x = -2 -» /(_2)=(~2)2=4 s ix = -1 — » /(_■))= (-1)2=1 six=0 -> /¡o,= 0 + 1= 1 SÍ X=1 —> f(!)=1+1=2 síx=2 -» /(2)=2-f-1=3 Dada la expresión matemática p(V x-l) =*2~* +5 calcule el valor de P{]). La expresión matemática C=Ax~a3y~a2 z -0'5 nos proporciona el consumo mensual (Q de carne (en kg), en términos de los precios de tres productos: x, y y z, donde A es una cierta constante. Además x. precio del litro de leche y. precio del kilo de huevo r. precio del kilo de carne V'J,
- 121. halle el valorde h¡f^ +^(_-,))- A) 117 B) 145 C) 115 D) 107 E) 120 | U N M S M 2013-1 : 2. Si/jx_1)= /+ 2 x y f(a rh b rb- ° ;cuál es el valor de a+¿>+5? _ , I A) 0 B) 5 C) -1 D) 1 E) -2 < UNM SM2004-II Aplicación 7 Luis ha solicitado un celular en un plan pospago de S/.39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y'cada minuto adicional de uso cuesta 20 céntimos. El costo mensual está representado por la siguiente expresión, donde x representa el número de minutos: Í39;. 0< x< 400 (x) ~ [39+0,2(x- 400); *>400 Determine C(480). Resolución C(4go)=39+ a2(480-400)=39 +a2(80)=55 Por lo tanto, el pago por 480 minutos es S/.55. Aplicación 2 Dados los siguientes polinomios: P(í _D=3^-2x +T a V<%+1)= fí- 2 calcule el valor de P/4 v lQ (?)) 4 Resolución Nos piden el valor de Datos: . % JÓ • Py • ¡x-'-?v+1 í* (I) • < V if3*-2 (II) Primero, hallamos Q(2). Reemplazamos *=1 en (II). Q(1+1)=3(1)-2 -> Q(2)=1 Luego, como nos piden P, , =P^, entonces hallamos P or Reemplazamos x=2 en (I). P(2_„=3(2)2-2(2)+1 P(1)=12-4+1 -4 P(1)=9 P(0(2)) =P0 )=9
- 122. 3. CAMBIO DEVARIABLE Las variables de una expresión matemática pueden ser sus tituidas por cualquier otra variable o expresión, quedando la expresión matemática en términos de la nueva variable. Ejemplo Realice el cambio de variable en las siguientes situaciones: • fM=2x+1 ... (f(X )Y =(5x+4)2=(5x)2+2(5x)4 +42=25X2+40x+16 f(a) ^ Q + l f(_a)=2(— o) +1=— 2o+1 *'• f(a+ty:= 2(a+b) +1— 20+26+1 Sea f ,,=2x+3. Halle la expresión equivalente a M En la expresión fw=5x+4 f(x2)=S/+4 pt»*2r^+x+s x+2 es la variable. En la expresión n — es la variable, x ... k = á ^ - 2 Í = 2x - 6 3 i
- 123. Aplicación 3 Sea f^=3x+2.Calcule el valor de las siguientes expresiones: i- f,(a) i- f,0 a+h) f{a+h) f(a) h élvtzl Ejemplo Sí P(x)=4x+3, entonces % f 42x+3(4+1) % f 16x+1s ¡Verifique su respuesta! * ^(x)=2x+3, entonces P(3x+5)~6X+13- • Si P(2x+3)=4x+11, entonces Pm=2x +5. R e s o l u c ió n I. fM=3a+2 II. f{a+h)=3(a+h)+2=3a+3h+2 III. Con los resultados de los incisos I y II se tiene f(^h)-f(a) ,3 ¿+ 3 h + X -(tf+ X ) y í h h / A p l ic a c ió n 4 Dada la expresión f^=5x+3, halle f{7x+2y R e s o lu c ió n Nos piden /'(7x+2). Dato: f^=Sx+3 Cambiamos x por 7x+2 f(7x+2)“ 5(7x+2)+3 f< (7x+2)=35x+10 +3 f(7x+2)- 35*+13 Aplicación 5 Dada la expresión fM=4x+13, halle f{ Resolución Nos piden ^w ) =/¡4„ , 3). fo )' Dato: /’ w =4x+13 Luego Í ^ = f ( 4x+B) fM=4x+ 13 f(4x+13)=4(4x+1^ +13 ^ (4i +B)=16x+55 Z. fu =16* + 65 ' ( f u) )
- 124. A p lic a c ió n 6 Dada la expresión f(2x+3)=10x4-30, halle f{x). R e s o l u c ió n Nos piden f(x). Dato: W 3 ) =10x+30 Primero, formamos la variable 2x+3, es decir, f(2x+3)~5(2*+3)+15 Luego, cambiamos 2x+3 por x. •• f(X )=5x+15 A p l ic a c ió n 7 Dada la expresión f(4x+7)=12x+23, halle f[x). R e s o l u c ió n Nos piden f^. D a»: 12*+23 Primero, formamos la variable 4x+7, es decir, f(4x+7)=3 +7)+2 Luego, cambiamos 4x+7 por x. ••• f(x)=3x+2 '■ ■ ■ - i ' % / > • " % # ■ A p l ic a c ió n 8 Dada la expresión /^ Jf+3j=x2— 9, halle f(x). R e s o l u c ió n Nos piden Dato;/(X+3)= ^ -9 Primero, formamos la variable x+3, es decir, 4 ,+3)= ^ -3 2=(>í +3)(x -3 ) /cv+3)=(X+3)(X+3“ 6) Luego, cambiamos x+ 3 por*. fM=x(x-6) ■ ■ ■ /M=x2-6x Polinomio constante Es aquel polinomio de la forma donde c es un número real dis tinto de cero. Ejemplos • PM=3 • ^=2015 • 5 V) 4 .!iys or í urj¡cc Sea Pm=50 entonces P(„=50 p,a=50 PO)=50 P(4,=S0
- 125. +(ò-1)x+2 : halle elvalor V vf I i <i ■ • i ¡; t; . r(ì /•-, •‘Mi!v/t do de un polinomio cons- es cero, mientras que el grado -del polinomio idéntica mente nulo no está definido. | Ejemplo } p^=5 es un polinomio constan ti te de grado cero. 4. POLINOMIO DE UNA VARIABLE Es la expresión que enlaza variables o constantes mediante una combinación finita de adiciones, sustracciones, multiplicacio nes o potenciaciones, en las cuales los exponentes de las varia bles son enteros positivos. Ejemplos j-r- 5x2-7x+2 trinom io 5 X 2 ,-7x, 2 3x 7 + 3 x binom io 3x7, 3x 7x6 m onom io 7x6 5x-2 binom io 5x, -2 4 - x + 5 x 2 - x 5 polinom io 4, -x, 5X2, - x 5 4.1. Forma/ genaíÉles 2 7 6 1 5 A p l ic a c ió n 9 El grado del polinomio P(x) es uno y se cumple que =12 y P(2)=8. Halle el valor de P{)+P{2)+- +p(oy R e s o l u c ió n Nos piden P(1)+P(2)+... +P(10). Datos: =12 =8 P(x) es de grado uno.
- 126. I Capítulo 4Polinomios ~ ’ " - -- — < — v-~ —, —r-^ m t f Á W V . W Á - - - - - - ..| ; ' ¿ :^ oce á*9Una definición.o propiedad que pueda ser útil? ni de grado uno, entonces PM es un polinomio lineal. m il IH?//0>SStvoov—-■-■Y'K's''■ '5 ','- 'vi11m i íi Luego P^=ax+b] a * 0 Por dato P(3)=^ 2 ~> P,(3)=3o+X=12 P(2)=^ “ * P(2)=2o+X ='8 (*) 0=4 6=0 Luego, en (*) Pm =4x ^ Nos piden ' P(1 )+P(2) +- + P(10) T T ’m a r / 4(1) + 4(2)+,...*+ 4(10) 10-11 /. 4(1+2+...+10) =4-— y - =220 A plicación 10 Si P(x) es un polinomio lineal de coeficientes enteros, tal que se cumple que P(1)+P(J=2P(3)-6, halle el valor de P(5)- P (3). Resolución Nos piden P^-P^y Datos: # P (1) • P(x) es un polinomio lineal. P(1)+ P(2)“ 2P(3) 6 Polinomio mónico O— • ’ Es aquel cuyo coeficiente prin- I cipa) es 1. Ejemplos • P(x )=x3+ 5x2+7>,+2 • Sw=^+5x+12 i • 19 Sean Py Q dos expresiones ma temáticas de modo que PM+Ow=ox+b; p (xr%fa+ b x y UNMSM 2010-I C .7 — -- • ’ » | p(5)-4 Calcule el valor de P, (%))■
- 127. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores v/' ’■•importante r. MJ ** a Dos monomios se pueden su- i mar si son semejantes.' í. Ejemplos -i-- • 2x+3x=5x i . . . . ; • x+7x=8x • 5x2+ 6 x 2 - W x 2' • 9x4+7x4=16x4' 1u- ;/ y ;x .■ '■ '-; y ■ É ffn rrrt-—----- ■ — * ' 51!IV H M !M Ij i j j i?j11j j | r No olvide Propiedad distributiva a(b+c)=ab+ac ..... .... ......... M s ' i iiW M i Ejemplos .4 . .. ' - » « ■1 ; . 2(x+5)=2x+10 * i . 7(3x-1)=21x-7 . x2(2x3+5)=2x5+5x2 ' ¡I i Ü x(7x¿+2x)=7x3+2x2 - - n Además P(]) + P(2)= 2 P (3)~6 a() +b+a{2) +b=2[a{3)+b]-6 o +b+2o+b=2{3a+b)-6 3o+2¿ -6a+j2b-6 6=3a — » o=2 Nos piden P{S)-P [S)=o(S)+b-(a(3) +b) p(5)-p(3)=5o^é'-3a7^ P(S)~P(3)= ^a ~ 2a P{5)~P (3)= 2° ■ * * P(5)~P (3)=2 ' 2 ~^ 4.1.2.Polinomio cuadrática Es de la forma A j~ a if‘+bx+p > o ^ O Ejemplos P{x)=2x2+5x +6 p M=9^ %)=5x2-7 v ’ p m =4x2-5x Nootalde Los polinomios cuadráticos son de grado 2. 4.1.3.Polinomio cúbico Es de la forma 7*^, av1 1cv t -o I; o /O Ejemplos • PM=4x3+5x¿-7x+^ • v 5*3* 2 • /?(y)=x3+6x2+3
- 128. __J*ItrtV 1f* % . ^« >i* » & • ■ - • - — ■ ■ . ■ ■ . , . - Sea el polinomio P{x)=a>?+b>?+cx+d, donde • a;b;cyd son los coeficientes del polinomio. • o es el coeficiente principal. • d es el término independiente. Ejemplos 4x3+5x2-7x+2 4; 5; -7; 2 4 g ^ + S x ^ + l 5; 9; -1; 1 5 4x2-7x+3 4;-7; 3 ■ • ..... 5x+.12 A 5; 12•, 4 ¿ JffiRr & ¡ % ¿-1 - ^ i - _ i I 'Y; W w tJB sar 1 :¡ ¡ J § ? M " SW * ^ 7 ^ ? !, '■ 'íi' I■ :: ./i;® ¡J m W’ — “ W ------- 2# 4 'jr* % * v * • 1 -•* -• V -f-'X ” v X > T í 2 1 3 12 -1 0 %s % Propiedades V If5 _ . #*%. < » Dado el polinomio "% 1 #ÍV, «/ P(x)~A^+B&,+ Cx-fD; /4 * 0 v á » Suma de coeficientes A + B + C + D = P „ Término independiente 0 - p,o, ] Ejemplos 1. Sea el polinomio P(x)=5x2-7^+8. Suma de coeficientes: P(1)=5(1)2-7(1)+8=6 Término independiente: P(0)=5(0)2— 7(0) +8=8 Polinomios Propiedad distributiva (a+b){c+d)=ac+ad+bc+bd Ejemplos • (x+3)(x+2) x2+2x+3x+6 x 2 + 5 x + 6 • (2x+7)(x-3) 2x 2 - 6 x + 7 x - 2 1 2x2+x -21 • (3x+2)(2x-5) 6x2-15x+4x-10 Sx^llx-IO • (x+6)(3x-1) V * 3x2-x+18x-6 3x2+17x-6 I33
- 129. En un polinomio,que no es un monomio, el grado relativo es el mayor exponente de la variable considerada y el grado absoluto es el mayor grado absoluto de los términos. _____,_____ > ' • : ■ '■) s¡fM= m x+ o>o , /¿x-,r9 W h a llee lv a lo rd e°- D) 9 C) 3 E) 27 UNM SM2006-1 2. Sea el polinomio P^=(3;<'-1)10+ (x-2)5+x2. Suma de coeficientes: P(l)=(3(1)-1)10+(1-2)5+12 P(1 )=210+(-1)5+1 P(1 )=1024-1+1=1024 Término independiente: P(0)=(3(0)-1)1 °+ (0-2)5+0 P(0)=H )1 °+(-2)5+0 P(0)=1- 32= " 31 A p l i c a c i ó n 77 Dado el polinomio P(x)=3(x+1)-4(x-2)+5, suma de coeficientes de P calcule término independiente de P R e s o l u c i ó n Como P(xp3(x+1)-4(^-2)+5 Pm =3x + 3 -4 y +8+5 Suma de coeficientes: P(1)=-1+16=15 Término independiente:. P,0x=16 Por lo tanto, el resultado es 15 16 Aplicación 72 Dado el polinomio cuadrático P(X_i)=nx/7-7x+m , su término independiente es 1. Halle el valor Resolución Nos piden el valor de P^ QI Datos: El polinomio P(x_1)=nV,-7x+m es cuadrático y su término in dependiente es 1.
- 130. Del dato El valorde n es 2, pues el polinomio es cuadrático, es decir, de grado 2. Luego, P(y_1)=2x2-7x+m. (*) Además, su término independiente es 1; es decir, P ^ ^=1. Reem plazamos x=1 en (*). Pa- l)=2(1)2-7(1)+m=0 2-7+m =0 -+ -S+m=0 m- 5 Nos piden Reemplazamos x =-^en (*). b í -,i * 2(S S í & b 9 21 4 2 = -6 + 5 p ( i) 9 21 r V - - - — +5 M 12 P( ^ =- — +5 1 2 2 2 I 2J =- í P'1 V=“ 1 4.2. Operaciones con polinomios La suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es el polinomio P(x)+Qw, que se obtiene sumando los monomios semejantes que se en cuentran en P{x) y Q(x}. Ejemplos 1. Calculamos las siguientes sumas o restas de monomios: a. 3x+4x=7x b. 5x4-3 x4=2x4 c. 4z+6z=10z d. 7x4 y - x 4y=6x4 y e. 4x3+3x3-11x3=7x3-11x3=-4x3 calcule R, (°(Ä W))' A) x + 1 X — 1 B) x+1 C) x +1 X — 1 D) x-1 i E) (x - ir x +1 UNM SM2006-1
- 131. 2. Efectuamos lassiguientes sumas y diferen cias: a. (x3-6x2+2x+4) +(x3+5x2-7x) Primero, buscamos los monomios seme jantes. (x3- Sx2+2x+4) +(x3+5X2- 7x) -------MVvN ____ AAiVvA Luego, operamos los monomios semejantes. 2x3-x 2-5x+4 b. (x3-6x2+2x+4)-(x3+5x2-7x) Primero, aplicamos la propiedad distributiva. (x3- 6X2+2x+4) -x 3- 5X2+7x ,* * * ■ Luego, buscamos los monomios semejantes. * - i' x3- óx2+2X+4-X3- Sx2+7x Finalmente, operamos los monomios se mejantes. — 11x2+9x+4 c. 3(x-1)+4(x+2) 3x-3+4x+8=7x+5 d. 8(2x+5)-7(x-9) 16x+40-7x+63=9x+103 e. 4(x2-3x+5)-3(x2-2x+l) Primero, aplicamos la propiedad distributiva. 4x2-12x+20-3x2+6x -3 Luego, buscamos los monomios semejantes. 4x2-12x+20-3x2+6x -3 -- .......... r : ¡r~“r r ~ /»v** Por último, operamos los monomios seme jantes, x2-6 x +17 3. Calculamos las siguientes multiplicaciones: a. (3x2)(5 x 3)=15x s b. Í2x2)(-3x4)=-6x6 c. (-2x5)(-3x2)=6x7 d. (8x2 y)Gr3 y4)=8x5 / 5 4. Efectuamos las siguientes multiplicaciones: a. (2x+1)(3x-5) Primero, aplicamos la propiedad distributiva. (2x+1)(3x-5) X J* * (2x)(3x)- 5(2x) +1(3x)+1(- 5) 6x2-10x+3x-5 Luego, buscamos los monomios semejantes. 6x2-10x +3x -5 Finalmente, operamos los monomios se mejantes. 6x2-7x -5 b. (x2-3)(x3+2x+l) Primero, aplicamos la propiedad distributiva. (x2-3)(x3+2x+l) x 2(x3) + x 2(2x ) + x 2(1) — 3 •x3— 3 *2x— 3 •1 x5+ 2X3+X2 - 3X3 - 6 x - 3 Luego, buscamos los monomios semejantes. x5+2X3+X2 — 3X3— 6 x -3 Por último, operamos los monomios seme jantes. x5- x 3+x2-6 x-3
- 132. 5. POLINOMIOS DEMAS DE UNA VARIABLE Los siguientes polinomios tienen más de una variable: fW r 3*~ 2* V +1 (polinomio de dos variables) %.y.z)=x+Zy-3 z (polinomio de tres variables) Los polinomios con más de una variable tienen dos tipos de grado: Grado relativo (GR) Se calcula respecto a una de sus variables.: Grado absoluto (GA) Se calcula con respecto a todas sus variables. Ejemplos Hallamos el grado relativo y absoluto en los siguientes casos: Grado relativo con respecto de x: GRX=3 Grado relativo con respecto de y: GRy=5 Grado absoluto: GA(P)=3 +5=8 • P(xiy)=3x2 y4-x 3 y5+7xy6 GRx=máx.{2; 3; 1}=3 GRy=máx.{4; 5; 6}=6 GA=máx.{6; 8; 7}=8 6.1. Polinomios idénticos Dos polinomios, P(x) y Q(x), son idénticos |p^ =Q ^ j cuando tienen los mismos valores numéricos para cualquier valor que se asigne a sus variables. 6. POLINOMIOS ESPECIALES Ejemplo Los polinomios P{x)=(x+3)2 y Qw=x2+6x+9 son idénticos, ya que P(x)=Q(x); V x e R. Además, los siguientes productos notables son identidades: {x+yY =x2+Zxy+y2 (x+yJix-yj^x2- / (x+yY^x3+3x2y+3xy2+yi '6.2-polinomio idénticamente nulo » Un polinomio reducido es idénticamente nulo si todos sus coeficientes son iguales a cero. Ejemplo El polinomio P^-Ox2+0x+0 es idénticamente nulo, es decir, P(x) = 0. I Iteipartanta • ' Si el polinomio PM=ax¿+bx+c es idénticamem , te nulo, entonces a=b=c=0. ! Ejemplo Si el polinomio Pw=(m- 3Jx2-+ -(n+1)x-f(p- 2) es idénticamente nulo, entonces m -3=0 a n+1=0 a p~2~0 es dedr, m=3, n~-1 y p=2.
- 133. 6.3. Polinomio homogéneo Esaquel polinomio que se caracteriza porque todos sus términos tienen igual grado abso luto. Ejemplo En el polinomio R... = x3 - x 2y +2xy2+5y: M GA-3 GA=3 vemos que todos los términos tienen el mismo grado, entonces P^y) es homogéneo; además, el grado de homogeneidad es 3. Jk f , W A p l i c a c i ó n 13 Se define la expresión p =an- b n Reduzca la expresión P, (4) (2) R e s o l u c i ó n Nos piden P(4) o4- ti4 (a2+b2) ( 2) a-2^ 2 (4) - a2+b2 R ( 2) I ! ■ | i ff * B io g ra fía Évariste Galois Galois nadó en Bourg la Reine, cerca de París, en 1811. Aunque su legado matemático a tan pronta edad es innegable, no se puede decir que Évariste. fue exactamente un niño prodigio, ya que sus primeros contactos con las matemáticas fueron a los 12 años, cuando comenzó a estudiar en París. A los 15 años, y tras repetir curso (hasta algunos genios han repetido curso alguna vez), Évariste encontró en las matemáticas el reto intelectual que le faltaba, especialmente en el estudio del álgebra, rama matemática que. por aquel entonces tenía múltiples resultados sin resolver. Tras ser rechazado en dos ocasiones en la Escuela Politécnica de París, fue admitido finalmente en la École Normale. EJ 30 de mayo de 1832, Galois fue retado a duelo, al parecer por un triángulo amoroso. Resignado a su muerte, Galois pasó toda la noche anterior enviando cartas a sus amigos, en las cuales dejaba constancia de su gran legado matemático: la teoría fundamental de grupos. Se puede decir que esta teoría es la que ha hecho posible el desarrollo del álgebra en los últimos 200 años y he ahí su importancia hasta el día de hoy. Aunque no fue aceptada en vida cuando la presentó (los matemáticos de la época no la entendieron), once años después de su muerte, Joseph Liouville la publicó defendiendo la autoría de Galois.
- 134. POLINOM IOS t son dela forma PM=a0xn+a-]x n 2+ ...+ an . . j _______ ........... , Grado de un Valor numérico Cambio de /---- - ( .......... " ^ Polinomio de una polinomio de un polinomio variable variable Es el mayor exponente al que se encuen tra elevada la variable x. Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número fiera. Las variables de una expresión matemática pueden ser sustituidas por cualquier otra variable. Polinomio lineal: ax+b Polinomio cuadrático: ax^+bx+c Polinomio cúbico: axi +bx2+cx+d Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. c ^ Operaciones con polinomios V '> ___ > : ; : g . . . . 9' J i Multiplicación de polinomios Por ejemplo (2A3XX+5) multiplicamos término a término y obtenemos 2X3+10x2+3x+15 39
- 135. Problema N.° 1 Setiene el polinomio F(*+2)=3x2-2x+1. Halle el valor de P(3). A) 1 B) 12 C) 0 D) 2 E) 8 Resolución Nos piden F(3). Dato: f(x+ 2)=3^2-2^+1 x+2=3 -» x=1 i ¿ En (*) " ^ ¿éV;,::.: f n+2)=3(1)2-2(1)+l • • • F(3)=2 « Clave } Problema N.° 2 ¿Cuál es el término independiente del siguien te polinomio? Q (x)= (x+ 1 )"+2+ (2x - 1 )2" Importante ¿Conoce alguna propiedad que pueda í ser útil en este caso? 4 | Término independiente=Q(0) £ . . . . ... . . Reemplazamos x=0 en (*). Q(o)=00+1)"+2+(2(0)-1)2" O(0)=T1+2+(— 1}2rl 9(0)=1+1=2 Por lo tanto, el término independiente es 2 # ; Clave v: £1? « U ^ .v .a ír i C-. •« i y ... Si la suma de coeficientes del polinomio P(xp(3x-i-2)n+11 es 36, halle el valor de n. A) 6 B) 5 C) 2 D) 4 E) 3 Resolución Nos piden el valor de n. Datos: A) 0 B) 2 C) 3 D) -1 E) " 2 P(x)=(3x+2)n+11 (*) La suma de coeficientes es 36. Resolución Nos piden el término independiente. Dato: Qw =(x+1)n+2+(2x-1)2" y Importante ; ¿Conoce alguna propiedad que pueda i ser útil en este caso? . Suma de coeficientes=P(1) (*)
- 136. P0)=(3(1) +2)n+11=36 P(1)=5n+11=36 P(1 ,=5"=25 pm=n=2 ■ Clave Reemplazamos x=1en (*). Problema W/ 4___________ _ Dado el polinomio ({xy se cumple con la igual- dadf(x)=10x-15-4fM. Halle f(3). A) 3 B) 4 C) 8 . D) 9 E) 6 Resolución Nos piden f {3y Dato: f M=10x-15-44 ) Reemplazamos x=3 en (*). f (3)=10(3)-15-4f(3) f(3) +4f(3)=30-15 5 f(3)=15 f(3f3 Clave Si P(x) es un polinomio lineal, donde se cumple que P(5)=22 y P(7)=1I0, determine la suma de coeficientes. A) 46 B) 52 C) -6 D) 23 E) 16 Nos piden la suma de coeficientes. Datos: o p p — in r (5) r (7) lu ° P(v) es un polinomio lineal. Del dato, se sabe que P(x) es un polinomio lineal. -> P(x)=ax+b; a¿0 (*) Además P(7)=7o+¿i=10 P{S)-Sa +b=22 2o=-12 o=-6 b=52 Problema 5 ____ ______ Luego, en (*) Pm =-6x +52 Como nos piden la suma de coeficientes P(1)=-6+52=46 * Por lo tanto, la suma de coeficientes es 46. C la v e
- 137. COLECCIÓN ESENCIAL m smm Lumbreras Editores Problema N,‘ 6 Sií>M=3*5-"+roí"-3+x"+2 es un polinomio, halle P(2). A) 28 D) 34 B) 30 C) 32 E) 36 Resolución Nos piden P(2). Dato: PM=3xs-n+nxn-3+xn+2 es un polinomio. Entonces 5-n> 1 a n - 3>1 5-1 >n a n> 1+3 4 > n a n >4 — > n=4 Luego, reemplazamos n=4 en (*). PM=3x5_4+4x4“ 3+ /+ 2 P(x)=3x +4x+x4+2 Nos piden P(2,=3(2)+4(2) +24+2 P(2)=6+8+16+2 * * • P(2)=32 (*) : Clave Problema N.* 7 Sea el polinomio P(x_l)=3x2-1. Halle P(0)+P(1). A) 8 D) 15 B) 10 Resolución í Nos piden P(0)+P(1). Dato: V d=3x2_1 Primero, hallamos P(1). Reemplazamos x=2 en (* V d=3(2)2-1 P(,)=3'4-1 Luego, hallamos P(0). Reemplazamos x=1 en (*). ^(1-1)=3(1)2-1 P (0 )-3•1 1 p(or 2 Nos piden P(0)+P( i r 2+1 1 *'• P(0)+P0)~13 C) 13 E) 20 (*) : Clave
- 138. Problema N.‘ 8 Analicelos siguientes polinomios y determine, respectivamente, su grado, coeficientes, coeficiente principal y término independiente. • PM=2x+5 ' <?M=7* - 2 • S ^ S x - 3 * • R^=x-x¿+3)^-Sx4 Resolución INOI Pw=2x+5 1 • . . 2; 5 2 5 P «-7*-2 , 7;-2 7 -2 S ^ p ^ -S x -S 2 2;-5;-3 2 -3 ffM=x-x2+3x3-5x4 X ,é> . l ; 3;-5 -5 0 P(x)='¡2x-f3 1 ¡fk w - ...<¡___ ..... é j^ y fZ -y¡3 ¿te?.-jS i Problema N.* B « < á# -£ ■M . ’’ < X % í Efectúe las siguientes operaciones: a. (13x-9)-(4x- 10) b. (5-3x)+(x-7) « , —S ^ zJfcy y i .¿7%% % gí 1 / C ^ c. 3(x.~'Í)+'S(x+2) . H , í'X A , d.. 4(37"— 2)— (í-2+4)— 27"{7'+1) % Resolución a. (13x-9)-(4x-10) 13x-9-4x+10 13x-4x-9+10 9x+1 c. 3(x-1) +5(x-2) 3x-3+5x-10 3x+5x-3-10 8x-13 b. (5-3x) +(x-7) 5-3x+ x-7 -3x+ x+ 5-7 -2 x-2 d. 4(3 T- — 2)— (7a+4)— 2T(T+1) 127-8-72-4 -2 7 5-27 - f- 2 f+ m ~ 2 T - S - 4 -37^+107-12
- 139. Problema M.' 10 Si7m es un polinomio constante, tal que / r(1 )+7‘(2)+T(3)+...+7'(2o)=30, halle el valor de P0)+27"(2)+”*+107(10) Nos piden 7"(1 )+27’(2)+37(3)+- +107"(3) ' ' J ' K + 2K + 3K+...+ 10/C K{1+2+...+10) A) 165 B) 160 C) 55 D) 110 E) 220 Resolución Nos piden P(1)+37(2)+37(3)+-"+^ P(10) Datos: * 7 "(x) es un polinomio constante. . • W ~ +7oof3° f 10-11 3-25511 =165 Clave V í Importante n ***sw * * ^ ;; ¿Conoce alguna definición o propiedad que pueda ser útil? T, . es el polinomio constante, entonces,4 V Si P(X--)=2x+1, determine el valor de la fracción P(3).+P(5),. P( 0 ) A) 6 J & ) B) 7 22W .*#'!•> C) — 3 E) 31 ? r X y L. / idonde K es una constante. 1 4 4 ?* , 0 .» /•.//xO'/Xy'-.-'-"-'y. % ... Nos piden +P(5) P(0) Dato: P(x_1)=2x+1 Además T‘(1 )=/C T{2)=K TV=K Por dato « x-1=3 -» x=4 -> P(4_1}=2(4)+1 P(1)+7(2)+- +7(10)_3° i i I K + K +...+ K =30 » ----------- y . -----------J 1 0v é <r "> p(3)=9 • x-1=5 -» x=6 -» P(6_i)=2(6)+1 P(5)=13 • x-1=0 -> x=1 -> P(1 _1 }=2(1)+1 -* p(or3 Luego, reemplazamos en lo que nos piden. p(3)+p(5) _ 9+13 ^22 P(0) 3 3 Clave 10/C=30 -» K-3
- 140. Problems I IÌZ Sl P(x)= a x+ b a < 0, además, se tiene que P,t (pm ) =4 x -9 , determine el valor de P(5). Determine la validez de las siguientes propo siciones: '• P(.y)-3x+1 _> ^(2)“ 7 A) -2 B) -1 C) 0 II. P ^ - 9 -> PB =16 D) 1 E) 2 ***• Q(*+1)=4x+^ — > Q(3)=9 Resolución ,v- P{2xrX+1 _> P(4)~5 Nos piden P(5). Datos: • P(x)=ax+b; a < 0 * % r 4x~9 Por dato, P{x]-ax+b. Además % r 4x~ P{ax+b)~4x 9 a(ax+b)+b=4x-9 a2 x+ab+b=4x-9 A) FW F D) W FF B) FVW jjr y y ,.v j/K-y' *.V.' . , y .'i.sír. W /. ' > / a rtf/;#/? & ■ ? ? : /m& è !fZ zr'y , * • ‘3¡X r' ‘ÿ -ïX'.'*"5 ' -V < ? < / .ffiîsX v y ,v T / Verdadera P(iì-3<2) p| 7 p< z > ’ 7 I il. Verdadera i , / 8 * ^ - 9 :1 . /*& *■ . V ; -, .,/4t '‘%. ¡•J- p > — » < 7 2=4 — > o=2; o=-2 I W X j> P(5)=5¿-9=16 -> ^(5)=16 III. Verdadera (X -+ 1 )=4x+1 Por otro lado ab+b= -9 I ♦ -2b+b=-9 Como PM=ax+b P„=~2x+9 /. P (5)= -2 (5 )+ 9 = -1 -b --9 b=9 0(2+u=4(2)+1=9 -> Q(3)=9 IV. Verdadera P(2*f*+ 7 ' P(2-2,=2+7 P (4,=9 Q VWF E) W W C/ove Clave
- 141. Problema N.’ Si sabemosque P^.+^-3x+7, halle la expresión equivalente de P, A) 3x-1 D) 3.V+15 Resolución (x+p(-i))' B) 3x+25 Si pW=4x2+24x+1 se agrupa conveniente mente a la forma P(x)=a[x+h)2+k, halle el valor C) x+15 E) 3x+6 de a+2h+k. A) 0 D) -18 B) 1 C) -21 E) -25 Nos piden Pt Dato: V i í=3x'+9 El problema será resuelto en dos pasos: , Paso 1: hallamos P,H )‘ . I Por dato: % "o ? ,::- ; i % % pc*+i r 3? +9 i ’ % / x+1— 1 — » X— 2: f> (-2+t)~3( 2)+9 PH>=3 V- Nos piden a+2h+k. Dato: g (x +/7)2 + £ = 4 x 2 + 2 4 x + 1 <• o(x+h)2+¿:=4(x2+6x)+1 % I ' . " í r? " r}' Paso 2: hallamos P, _______ i Por dato Cambio /1Ì D O f / ■ 3 P(x+1)_3>,’ + ® P fc+ir3( ,f+1)+6 T J P(x+3,=3(x +3)+6 ^(*+3)“ 3* +^+6 ^C*+3)=3x+^ o(x+/7)2+¿'=4(x2+6x'+9 -9)+1 o(x+h)2+/:=4((x+3)2-9)+1 a(x+/i)2+/r=4(x+3)2-36+1 a[x+h)2+k=4(x + 3 )2-3 5 o= 4; h= 3; Ar=—35 Nos piden a+2h+k=4 + 2 (3 )- 3 5 .% 10—35= —25 Clave Clave
- 142. Problema N.’ 15Problema N.° 17 Sea P(X )=(x'-1)^+(A'+1)r,+x, donde n e Z +. Halle el término independiente de P(x) si la suma de coeficientes es igual a 65. A) 7 B) 3 C) 2 D) 0 E) 1 Resolución Nos piden el término independiente de P(x). Datos: • PM=(x-1)n+(x+1)n+x La suma de coeficientes es 65. rr& yivo o oo o o-X '>>oc« ^ / a o » .* > v :c <x » v .<- x - , x v v • - Importante j ¿Conoce alguna propiedad que puede ; ;> ser útil? V /.¿-.-.ii' ■ y . P(1)=suma de coeficientes de P{ (x) ■ « -C < y » OC-- C << y y » c : ^ i f r +ci+i)n+i=65 2n+1=65 -4 2n=64 2n=26 — > n-6 Nos piden el término independiente P(0). P(0j=(0-1)6+(0+1)6+1 P(0)=(-1)6+16+1=1+1+1 p (0)=3 Por lo tanto, el término independiente es 3. Clave Se define la siguiente operación matemática: además' f ( lf 2‘ Calcule el valor de E =^F^+6. A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 r? *5 < "ír*! r» Datos: • Ct,=2 F(x-'[)=FW~2x Reemplazamos los siguientes valores: x=2: F()=F(2)~4 x=3: F( 2 fF(3)~6 x=4: F(3)=F(4)_8 x=5: f (4)=/r(5)-10 F(1)+Ff2f+Ftf+ FiA fFtf+ Frf+ Fy p Ft f - 28 Fm=F( s r 2Q 2=P(5)-28 2 +28=P(5) P(5)=30 Luego, nos piden P =VP(5) +6 E = >/30+6 P=6 : C/ove
- 143. Problema N.* 13__________________________ SeanP y Q dos polinomios, de modo que P ( 2 * -4 r*x~n % r nx y ° ™ =12 ¿Cuál es el valor de n? Problema N." IB Calcule el valor de P(0+w si se sabe que P es un polinomio lineal y mónico. P[x)={a3-2 7 V +(b--7)x+b-o A) 6 D) 4 B) 7 C) 5 32 E) T Resolución Nos piden el valor de n. Datos: • P(2y-4f4x- n ‘ V , ) =nX • 0 (4)=12 Reemplazamos x=4 en (II). % r 4n "T~ P(12) Reemplazamos x=8 en (I). P(i2)-32 n / " . / ffl •O» SW' ' ■ '-■ US? (III) (IV) A) 3 D) -4 B) 4 C) 5 E) -5 Resolución Nos piden P(a+b). Dato: P es lineal y mónico. PM=(a3-27)x2+(¿)3-7)x+ ¿-o P e í íiiví-ii i r > '■J o3 - 27=0 o3=27 cj3=33 a=3 b3- 7=1 b3=8 b3-23 -> 0=2 Luego P, ,=x+2-3 M PM=X_1 Nos piden P(a+6)=P(5)- ••• p,s,=5-1=4 Cíove Luego, igualamos (III) y (IV). 4 n = 3 2 - / 7 5/7=32 32 ; C /< 7V < ? Prohlema N.‘ 20 Dados los polinomios /r (X ,_2)=x2+1 y /)(x+1)=3x+1, calcule /?^ A) 82 B) 164 C) 243 D) 244 E) 302
- 144. Resolución Nos piden /? , Datos: f(DÍ f(x - 2) = X 2 + 1 + i )=3x+1 0) O D Hallamos f^. Reemplazamos x=9 en (I). f(7)=^2+^ -> /(7)=82 Luego, como nos piden h^^=h{82), — * ■& .__ reemplazamos x=81 en (II). ^(82)=3(81) +1 ^(82)=244 : Clave * - •• - v Problema N.‘ 21 Dados los polinomios ^(x-i)=x+3 a Q(x+i)-2x-1 determine A) 7 B) 8 D) 12 Resolución Nos piden Q ^ y Datos: * ^(x-i)=x+3 * ^(x+1)=2^_1 Primero, hallamos P^. Reemplazamos x-2 en (I). V i ) = 2+3 P(1)=5 C) 10 E) 9 (I) (ID Luego, como nos piden =Q(5) ahora hallamos Q(5). Reemplazamos x=4 en (II). Q(4+1)=2(4)-1 % f 1 " % ) => =7 Clave Problema M / 22 ________ Sea P^=ax+b un polinomio lineal, tal que P(2)=6 y P(_i)=0. (4)- Determine P, A) 7 B) 8 C) 10 D) 12 E) 9 Nos piden P(4). Datos: P(2P 6 • PH )=0 8 P(x)=aX+b Evaluamos en P(x) los valores 2 y -1. P(2)=2o +6=6 P(_i)=-a +b=0 2a-[-a)+b-b=6 3o=6 — > o=2 6=2 Luego, P(x)=2x+2. /. P(4)=2(4) +2=10 Clave 9
- 145. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema H.' 23_______________________________ Si se sabe que P((, es un polinomio constante, tal que P(l)+P(2)+P(3)=12, halle el valor de P { 4)Jr^ > (6)"^ "— "^P(2014)' A) 1007 B) 4 C) 2014 D) 3021 E) 4028 Reemplazamos k=4 en (*). Nos piden P(2) + P(4) + P(6) + - + P(2014) T ' T T “T ’ 4 + 4 + 4 + ... + 4 t ____________ j Resolución Nos piden P(2)+P(4)+P(6)"k - -+P(20M )- Datos: P(1) 1P(2)+ P(3)“ 12 es un polinomio constante. t Importante 1 • . i» '. . • y • > . • 4 x . f, ‘ •> + ■ i ¿Conoce alguna definición que pueda f ser útil en este caso? P (x) es un polinomio constante. í P =k l '‘h J x ^ » x -v » » >+->» + < .- X X ' X k x x x x ---ry>cyv Como (*) además p(i)=^ P[2)=k pm=k Por dato, se tiene P(1) + P (2) + P (3) = 12 T T T k + k + k =12 3fr=12 -> k=4 ... 4-1007=4028 • • Clave ■ Si el polinomio P(x; y) =(n +3)x ”2+V " '1+(n - 1)Jf3nr " 2-8 es homogéneo, halle el valor de la suma de sus coeficientes. A) 12 B) 8 C) 15 D) 10 E) 20 Resolución Nos piden la suma de coeficientes de P(x-y). Dato: P^y) es homogéneo. P(x;y)=(n+3)xn2+ 1y n_1+(n-1)x3ny n2~ 8 +/+n-^/ = 3/i+p^— 8 — > 8=2n — ^ 4=n Entonces tenemos el polinomio pfc»=7x’V + W Suma de coeficientes de P(x y): 7+3=10 Por lo tanto, la suma de coeficientes es 10. Clave. • . . i,t.'
- 146. Si f{x) esun polinomio lineal, tal que 2f(2)-f(1 )=5, calcule el valor de f(3). Problema f i' 2o A) O D) 5 B) 1 C) 3 E) 7 Nos piden la suma de coeficientes. Dato: (*) P(x-3)=16x4_54/3 +2x“ 1 Nos piden el valor de Datos: • es un polinomio lineal 2/‘ (2)-/r (i)=5 (i) Del dato es un polinomio lineal f(xrax+b Además, en (I) - ;V • A A í.-?: 2(o-2+ò)-(o-1+ò)=5 4a+2b-(a+b)=5 3a+b-5 Como nos piden f(3)=3a+b '‘aft5^SO(35¡®s^ (ID % r ■ » "ri. 'v Importante Sea Pw un polinomio. Suma de coeficientes de PM=P(1 ). Entonces reemplazamos x=4 en (*). P(4_3)=16-44~64 -43+2(4)-1 P(1)=42-44-4 3-43+7 P(1) =/ - / + 7 f lis. . p Por to tanto, la suma de coeficientes es 7. ./ | f* ^ ^ • » Clave A % W ,# ■ Sea P un polinomio, de modo que P{]_x)=3P{x)-kx-7 y cuyo término indepen diente es k. Calcule la suma de coeficientes. Clave Problema N.‘ 2G Dado el siguiente polinomio: P(x-B)=16y4“ 64^+2^-1 determine la suma de coeficientes. A) -47 D) 6 B) -45 C) 23 E) 7 a a m 2/:-7 A) 4 B) —— C) 3k+7 D) 5 E) 20 Resolución Nos piden la suma de coeficientes de P(x)l es decir, P(1 ). Datos: * El término independiente es k - » P(0)=fc V * f 3PM -**-7 O
- 147. Reemplazamos x=1 en(I). Resolución Por dato /Orf*2- " H J k=3Pn,-k-7 /¡x+1j=(x+i)2-(x+ i)+ t ]) fn .iM X - tf- fr- V + l ^ ,l - í0 -1 ,=(A+1)2-(^-1)2-(^+1)+^- Ahora reemplazamos x=0 en (I). * ‘ X i r X i r 4^- 2 , X o r X o ) ^'0 7 1 0 (po' dato) X =X o )~ 7 _> 4A.-2=10 -x X=3 T P(1)=3P-7 ^tío . X Nos piden víT Luego, igualamos (II) y (III). | c A 4 * • % áx& ' S-'y-s^.* ¡>• 7y '■ -7 ' ^X'rr-.v“’ ¿t**.'*?* ^¿^cy> m t¿r3 + U 7 J f 1 f X ^ y C/ave 2/í +7 =3^-7 V / | v 3 X . w ,-y V y''^W0?íWÍW*? ■ 2ír+7=9fr-21 ■ í, •' < > '• • r ; s % ' . ' '' .¡3 t*:V , 28=7k XA - '«§*» ¡.V*^ ■*Svy.'-^ J¡ -•• Respecto al polinomio P, tal que k=4 & X- v % % Pj 2j =3x4 - x 6+2Íx2- l) +2 Reemplazamos ír=4 en (III). * ^v-v .*.$ ■ X ^ v .v X indique el enunciado correcto. P(1)=3(4)-7= 5 A) Es mónico. po r 5 B) Su término independiente es 2. 1i C/oi/e C) La suma de sus coeficientes es 6. D) Carece de término lineal. E) Es un trinomio. Problem a N.‘ 28 Dado el polinomio Resolución f = /-x+ X si existe e R, Por dato, tenemos tal que f(x+i)_ /(X-i)_10' calcule /(X)* Pj 2j =3x4 - x 6+2(x2-l)+ 2 A) 7 B) 10 C) 13 P, 2= 3Íx2) - ( x2) + 2Íx2- l) +2 D) 21 E) 25 x¿)
- 148. Cambiamos la variablex2 por x. P{x)=3x2- x 3+2(x-1)+2 P(x) = 3x2- x3+2x Luego, podemos afirmar lo siguiente: • P(x) no es mónico, pues su coeficiente prin cipal es -1. • El término independiente de P(x) es 0. • La suma de coeficientes es 4. • P(x) es un trinomio, pues P(x) tienen 3 términos. j*' / Clave % i i ' Á Dado el polinomio P^ -^ -x-2, halle el equivalente de la expresión P(x-1) P(x-1)• A) 2X2 B) 2x D) 2x2+2 C). 4x- E) 0 ,r Tr?!.»non Por dato V ,) = ( x +1)2-(x +1 )-2 P(Y_1)=(^-'!)2-(x -1)-2 - P(x^-1 )- P(y-1 )=(^+^)2- (X-1)2- (x+1)+(x-1) pO( klf V i V i ) “ 4* 2 Clave Dada la expresión matemática x-1; si x>3 x +1; si x <3 í x ) “ halle el valor de + A) 4 D) 9 B) 8 C) 2 E) 5 Primero, hallamos f(2). x=2:/(2)=2+1 -> f(2)=3 Luego, hallamos / > (f(4))‘ X=*-/^=4-1 -> /^=3 (4)‘ Finalmente S % % H > =3- 1=2 Nos piden ^(4,)+fc )=2 +3 =5 Clave Dado el polinomio P(2x+3)=4x+7, al hallar P(3x+5) se obtiene ox+b. ¿Cuál es el valor de o+ó? A) 17 D) 20 B) 13 C) 16 E) 30 53
- 149. COLECCIÓN ESENCIAL Resolución Por dato ^(2y+3)=4x+7 ^(2*+3)=:2(2x+3)+1 Cambiamos la variable 2x+3 por 3x+5. P{ix+5 )~^(3*+5)+1 P(3x+5)=6x+11 (¡) Por dato P(3x+s r 0X+b (I!) ^ > 0 0 0 0 0 O Q & X & X X X - • • ' Importante $ | Si Pw es un polinomio, entonces la suma de coeficientes es P(1 )y el término independiente es P,0). I^ < K < > 5 0 s X > o o o o C " :v :r .x > > > x - > > :- /■ .». <*> *-> - o - •. Del dato P(1) = P(0) (2(1)- 1)3(1+¿> )=(2 (0) - 1)3(0 +¿> ) 1-(ò+1)=(-1)3-ò ò+1=— 1•¿* Luego, igualamos (I) y (II). 6,y +11=c? á '+ ¿ ■ t— t= 2 L _r — 5 » o=6; ¿»=11 o+ó=17 •1 Clave L X " Problema N.* 32 Si la suma de coeficientes del polinomio Pw =(2x-1)3(x+6) es igual al término independiente, evalúe 3 A ) i D) -1 B) " a C) 0 E) 1 x ít. v - .- J » “ ' ’ * 7 'Xv- Nos piden b+'izz-b b+b= - 1 v 2ò =-1 : - 2 □ -= -b Ì 2 pl-b)=ph ' =12K2. -1 ) p{-b)=P( 1 ^ 0 - D - o pi-br ° r 2, Clave Resolución Nos piden el valor de P(_6). Datos: • Pw =(2x-1)3(x+¿) n * La suma de coeficientes de PM es igual al término independiente de p(xy Problema N.* 34 Dado el polinomio ^(2x-i)=4*2“ 1 halle el valor de P{0)+P(3). A) 1 B). 3 C) 2 D) 4 E) 15
- 150. ..i."'- - ' 1 ■ ’? z ¿ ■ ■ Nospiden el valor de P^+P^y Dato: n 1 Entonces reemplazamos x =~ en (*). Pí¿ ( i y ~ 4 f i f 2J p( i - r 4 ' f 1 P(0)-° X Luego, reemplazamos x-2 en (*). ^(2(2)-1) =4(2)2-1 P(4-1)- 4 '4 1 ^ B15 * • ^(0)+^(3)=0+15=15 % v ,i x Sea Pm =x2-9 y 0 M=P(X_1). ¿Para qué valores de x, Qw =0? A) 4 v 2 B) 4 v -2 C) -4 v -2 D) -4 v 2 E) 3 v -3 Datos: Q{xrp{x-1 ) PM = X 9 p ,tí)= X 1 )2- 9 , 0 M=(X-1)2-9=0 fe | -> (x-1)2-9 "x=4 v x=-2 Clave Clave
- 151. Complete las siguientestablas: f [ x ) ~ 1)2 * 9(X)-4 x +1 -1 -2 0 ! -i 1 J J ! 0 i i 2 ! í 1 ! 3 2 i Use el polinomio para evaluar las expresio nes indicadas y simplifique. a. f{x)= / + 1 f(x+2f f(x)+f(2r b. f[x)=5x-1 ■ f e r Evalúe el siguiente polinomio en los valo res indicados: f(x)=2x+î fo r h-2)= ir E -> V ; * I I? 'vy¿r'?5 V M ilitó:” • % S;v? vf?S ”' I'■ .*• -V .- 2,V r c. fM=6*-18 #t ' 3fc ,,, ,..yw $ w ^ " f % Dada ía expresión f{x)='/, Evalúe el siguiente polinomio en los valor .* & ■ $:v «íL N # i , %% v jP v 'c í;^ res indicados: /‘ m =x2+2x flor h f f(-3f Evalúe el siguiente polinomio en los valo- ydetermine f{2y f [4y f {8). A) 2 D) 2 10 20 B) 212 Si se cumple que P(x+ i)=x+7, determine P(o )- C) 28 E) 21 4 res indicados: h-v= hor fo r jx 2;s ix < 0 [x+1; si A) 0+7 B) 0+6 C) 0+5 D) 0+8 E) 0— 6 Si h x ;y )= x ¿ + y~x y >indique el valor numérico de f(A; 3)- B) 7 A) 12 D) -12 C) 19 E) -7
- 152. Dado el polinomiolineal P(x)=2x+3o tal que P(o)=50, indique P(x). A) 2x B) 2x+5 D) 2x+30 C) 5x+30 E) 2x-30 H Sea P(x_2)=5x2+3x +7. Indique el valor de suma de coeficientes de P término independiente de P 61 A) — 7 B) 23 C ) 61_ 33 Sea Pm =3(x +2)2+5(x-1)4+3x+o, tal que su término independiente es 20. Indique el valor de a. D) 33 61 E) y A) 5 D) 1 11. Sea P B) 0 C) 3 / a s <y A . ¿ A . im =5xS 2 (2 x +1)2- i| ’x ^ | | * '' ^ ^ 4 | | | v I Determine la suma de coeficientes de PixY/ A A) 21 D) 17 B) 7 C) 37 E) 0 .0 % - . Sea /L un polinomio lineal, tal que * '* 3 k k ;f° a fm -6 ^ Indique el producto de coeficientes. ÍW A) -45 D) -30 B) 45 C) 30 E) 40 13. Si el polinomio cuadrático Pix)=(a-5)x¿+ax+2a es mónico, determine P(o)' A) 0 D) 84 B) -84 C) 36 E) 72 Sean los polinomios cuadráticos P(x)=5x2+ax+7; f(x)=ax2+10x+a de modo que H,v) es un polinomio mónico. Détermine pt,k. 5f .# “ fw«?. v. % AJv^+6x B) x2+6x+3 C) ;t +3x +6 jf % |V - 4 x + 7 E) x2+7x +4 Si la suma de coeficientes del polinomio cuadrático P[x)=axb~2+bx+a es 12, halle su término independiente. A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 Calcule el grado del polinomio P(XI =3x2m+xm +2- x"'2 +4m si su término independiente es 12. A) 6 D) 2 B) 5 C) 4 E) 9
- 153. COLECCIÓN ESENCIAL 18. Apartir del polinomio P(v)=243x85- x 90+3x+4 calcule P(3). A) 4 D) 13 B) 9 C) 11 E) 15 19. Si p(>/x+l)=2x-1, calcule P^+P^- A) 4 D) 38 B) 7 C) 16 E) 31 23. Si P(x_3)=x +2 y P ^ o x + b , halle ab. A) 2 D) 3 B) 4 C) 6 E) 10 Si se cumple que P(f ï =4x +13 y P,,=2x+7, v 'm; k‘ halle el polinomio f{x). A) 2x+7 B) 2x+3 D) 4x+7 C) 4x+3 E) 2x+6 20. Sea f,x) un polinomio lineal;tal que . ”2 4)=° A f(6)=10. Determine A) 5x D) 4x-16 B) 5x-20 C) 5 0 2 0 / ' C ^ -> v E) 2x-8 2'¡. Si el siguiente polinomio cuadrático f es mónico, determine P(2). P m =(o - 6 ) x2+ 2 o x + 7 é'* W A) 2 D) 39 B) 20 C) 30 E) 49 22 Si P(x )es un polinomio, tal que 0f+l)=3P(y)-x+1, determine la suma de sus coeficientes si su término independien te es 3. B) 7 C) 8 E) 3 Sea ■%=(c 7- 3 ).y2+(¿>+2)x +5 un polinomio lineal y mónico. Calcule Ja - b . t y V.;-. Æ A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 6 ¿Para qué valor de n la expresión Pw=x5-7x/l/6+x8_/1+5 es un polinomio? A) 6 B) 3 D) 8 Q 12 E) 4 27. Dado el polinomio P(x)=.v3+12, determine el valor numérico de P(l)+PH )+P(2)+P(-2)+~+P(S)+P { - S) A) 0 D) 24 B) 6 C) 2 E) 120
- 154. 28. Dado elpolinomio f^+i)=x+7, f ' f reduzca la expresión -í0)^ l~aC '(0) A) 1 D) 2 B) 0 Q 8 E) -2 ........ Dada la identidad de polinomios (2x-1)A +(x-2)fí=4x+1 calcule el valor de A+B. B) 0 Polinomios 29. Dada la expresión P^2)=3x4+/;r+1, indique P[xy A) 3^+7 B) 3xz+7x C) 3xz+7x+3 D) 7xz+3x+- E) 3X2+7x+1 30. Sea f una expresión matemática, de modo < 2ue hx)~f{x--i)+f(x-2y Calcule el valor de f{2)-f^ si se sabe que for4- A) -4 D) 4 B) 1 C) 0 E) 2 31. Sea el polinomio P{x+2)=a>c-rbx-rc. Si PM=3x2-5 x-2 , ¿cuál es el valor de abe? A) 12 D) 21 B) 6 C) 0 E) -10 32. Dada la expresión matemática A) -1 D) 1 C) 2 2) 3 Halle el menor valor de m+n si se sabe que el polinomio P;< ]={m-3)x¿+(n2-Í)x+mn+]-a es idénticamente nulo. A) 4 D) 1 B) 3 C) 2 E) 5 Sea P un polinomio, de modo que P.ry i=4/,- V - , +9 /,+V ~ " Calcule el valor de GR4P)+GR>iFy A) 10 D) 8 B) 9 C) 6 E) 4 Calcule el coeficiente del monomio 5( 2 j =x 2+x; / >0, halle Pw.y)=a b x y°~ ° si se sabe que el grado relativo con respecto A) SM =x+1 a x es 40 y el grado relativo con respecto a B) Su )= x + 'Jx -1 y es 10. C) S{x) =x --Jx + 1 D) S(x) =x +Vx-1 +1 A) 33 B) 21 C) 18 E) S(X) = x+ V x-1 -1 D) 10 E) 12 Á
- 155. * 37. En elmonomio H(x;y)=6(m-1)/,+3y3m, el GA es 15 y el GRVes igual al coeficiente. Halle el valor de mn. A) 12 D) 50 B) 34 C) 42 E) 63 33. Determine el valor de m+n si se sabe que el polinomio P{a. b. c)=5om_V + 4 o n+V + c 8 es homogéneo. Sean P y fó o s polinomios, de modo que ^(x+3)~5*+10 V f 15n5 Calcule el valor de P¡ A) 35 D) 18 B) 45 C) 75 E) 15 Si se sabe que +2, halle el valor de P^-P^y A) 3 D) 7 B) 5 C).. 8 / E) -5 i . / w m '* 1_ ____ . A) 403 D) 395 B) 207 39. Halle el grado absoluto del. polinomio homogéneo P si se sabe que GRx es menor/ & ¡h que GRy en dos unidades. % pM =3xm+v + 2 * m+y +4 *****„**** A) 20 D) 21 B) 22 C) 23 .. e) % j r V ¿ C) 421 E) 407 f ¿ p(r-i)=£ÍfV ;.:íx calcúlela expresión equivalente de * * « / ‘"V* • ; p :■ _ p r í*+D M *)- 40. Determine el grado absoluto del polinomio T. W > =Gf2) A) 9 D) 3 m-2 + xm-5/n+2_2y7-m B) 6 C) 5 E) 2 41 Determine la suma de coeficientes y el tér mino independiente, respectivamente, del polinomio P^_^={2x-3)(2x+4)(x+2) +5. A) 37 y -13 B) 15 y 8 C) 3 6 y - 4 D) 26 y -18 E) 44 y -15 Si tenemos que é' A) 3x+2 B) 2x+1 D) 2x-3 45. Si se tiene que r 1 (*2n) xAn+2x2n halle el valor de s_f0)'f/:(3)+f(5)4'- +/:(nr C) 2x+3 E) 3x+1 « i “ 5 B) J1 12
- 156. 46. Si f^=2x+Xademás, se cumple la identi- dad % ) ) sP <*)+f<x-1)' halle la expresión P(x+1). A) 2x+7 B) 2x+6 C) 2x+5 D) 2x+4 E) 2x+3 4 7 .Se sabe que A( )=2x+S y A(B, ,))=x+4. Determine fí(x). A) D) x-1 2 x - 2 B) rÉ X+1 x -2 ----- V r¡| O * wVi/ ^ 2 ? 2 % m k w / jp % -1¿;/ ¿ E) — V r y Dada la expresión matemática w <*+2> 2+2010 determine el equivalente de A) x-1 D) x B) í 2 ^(x- 4 C) 4/ E) 1 2) Si f(y i)=x¿+2xl ¿cuál es el valor de f(5)? r(*-D A) 10 D) 48 B) 51 (5)‘ C) -12 E) -23 Si / y o , tal que /r (x)=x4+(n-4)x3-5x2+n, determine el término independiente de dicho polinomio. •y? iS fc V ■ '-y 'Wí; B I ';-v 9 A ) - 4 • D) 6 V ; -.•-'y^ y *v n.* v V v '< „ e '' V v* y | ^ B) -5 C) 5 E) 4 “ • a Claves 1 8 15 22 29 i 36 43 50 2 9 16 : 23 30 37 44 3 10 17 24 31 38 45 4 1 1 18 L O rj 32 39 46 5 12 19 : 26 33 ) , 40 47 6 13 20 27 t 34 41 48 7 14 21 : 28 t 35 : 42 49 ' * Problema sin alternativas
- 158. En la naturalezapodemos observar objetos que si los sepa ramos en dos partes, estas se ven iguales desde un lado o desde el otro; esto es lo que comúnmente llamamos simetría. Lo vemos en las formas de las mariposas, en 'as colmenas de las abejas, en las flores, en los cristales, en los reflejos en el agua, etc. Podemos estudiar la simetría desde una pers pectiva geométrica y también desde el álgebra mediante el estudio de los llamados grupos simétricos. En el álgebra, un grupo es un conjunto en el cual está definida una operación, la cual posee ciertas propiedades; un ejemplo es el conjunto de los números enteros respecto a la operación de adición, pero estos no solo pueden sumarse, sino también restarse, multiplicarse o dividirse entre ellos. En el caso de la división de números enteros, esta sirve de base para definir la divi sión de polinomios. Aunque de una manera no tan evidente, note que cierta parte de las mate'máticas, que parece muy abstracta, está relacionada con la realidad. Ap«rendizagGs esperados • Entender el significado de dividir dos polinomios. • Conocer los tipos de división y las propiedades relacio nadas a los grados de los polinomios involucrados en la división. • Conocer los métodos de división de Horner y Ruffini, y también el método para calcular directamente el residuo. • Conocer un caso especial de división de polinomios a cuyo cociente se le conoce como cociente notable. ¿Por qué es necesario este conocimiento? La división de polinomios es similar a la división de números enteros que aprendemos en la primaria. Mediante su estudio podemos ver las similitudes y cómo la idea de división puede extenderse de los números a los polinomios. Por otro laclo, en el proceso de la resolución de ecuaciones e inecuaciones, mu chas veces será necesario efectuar divisiones entre polinomios.
- 159. La división depolinomios es si milar a la división de números enteros positivos, donde hay un cociente y un residuo. Ejemplos - 17 2 Se cumple que 17=5x3 + 2 JlV f .crvid -ind o - x2+5x +8 2 x+ 2 . ! x+ 3 Se cumple que x2+ 5x+ 8= (x+ 2)(x+ 3)+ 2 J IV K U Consiste en dividir el polinomio Dw, llamado dividendo, en tre otro polinomio d(x), llamado divisor. Consideraremos que el grado de D,x) es mayor o igual que el grado de d(X y 1. DEFINICION Dividir D(x) entre d(x) consiste en hallar otros dos polinomios, qM y /?(x), llamados cociente y residuo, respectivamente, tal que se cumpla que donde /?(x), qué hemos llamado residuo, puede ser cero o dis tinto de cero. En caso sea distinto de cero, debe ser de grado menor al grado deí divisor. i. Notadlo 1 La división entre d^ ia"representamos como t D(j- ci ■%) te. ? & . V r á » *& 7 . 1 La idea cuando divic*' " q(x) y el residuo R{xy polinomios es encontrar el cociente Dividirnos D, entre d, . D(x ) R(x ) '(X) %) yafrueino'j leulnr y q Calculamos q^ y /?(x) de modo que se cumpla la relación D« r d< * 'W Ru a la que llamamos identidad de la división.
- 160. También debe cumplirsela condición que establece que cuando /?M * 0, el grado del residuo es menor al grado del divisor. A esta condición le llamamos condición del residuo, yjuega un rol importante en la división de polinomios, ya que garantiza que el cociente y el residuo serán únicos. A p l ic a c ió n 7 x2+2 Divida x+3 R e s o l u c ió n Representamos esta división en el siguiente esquema: x*+2 R, ‘W x+3 %) Debemos hallar el cociente g(x) y el residuo de modo tal que cumplan la identidad de la división, la cual es x2+2=(x +3)i7m +/?m Si tenemos en cuenta que (x+3)(x-3)=>r-9 y que si le suma mos 11 se obtiene x2+2, tendremos que x2+2=(x+3)(x- 3)+11 De donde se deduce que el cociente q{x) es x-3 y el residuo /?M es 11. Observe que el residuo R[x)=11, que es un polinomio constante (grado cero), tiene grado menor al divisor ú /(x)=x +3, que es un polinomio lineal (grado uno). Es decir, cumple la condición del residuo. A p l ic a c ió n 2 x3+5x+2 Divida x2+4 R e s o lu c ió n Representamos esta división en el siguiente esquema: x3+5x +2 x^+4 - Condición del residuo Cuando la división es inexacta se debe cumplir que '[R(x)} <V « ] íjn eti/idn Identidad de la división En la división de polinomios DM R, W 'W %) Se cumple que A esta relación se le llama iden tidad de la división.
- 161. Debemos hallar elcociente y el residuo R{x) de modo tal que cumplan la identidad de la división, la cual es x3+5x+2=(x2+4)q{x)+R[x) • Polinomio constante (grado 0) Pw =c (c*0 ) • Polinomio lineal (grado 1) PM=ax+b (a*0) • Polinomio cuadrática (grado 2) P,^=ax2+bx+c (o9*0) La condición del residuo garan tiza que el cociente y el residuo cnn i'inirní Si multiplicamos (x2+4) por x, se obtiene x3+4x; y si a este resultado le sumamos x+2, se obtiene x3+5x+ 2. Es decir x3+5x+2=(x2+4)(x)+x+2 De donde se deduce que su cociente es t/(x)=x y su residuo es Rix)=x+2. (grado 1), tiene grado menor al divisor d, ,-x^+A, que es cua- Observe que el residuo R^-x+2, que es un polinomio lineal * -"l n n / i r n r s . drático (grado 2). Se cumple la condición del residuo. A p l ic a c ió n 3 Divida x +5x x+2 % . 0 $ > ' '* S 4í'.".i ^ ,• » s ^i J? Resolución Representamos esta división en el siguiente esquema: x2+5x + 6 R(x) x + 2 Debemos hallar el cociente q[x) y el residuo R{x) de modo tal que cumplan la identidad de la división, la cual es x2+5x+6=(x+2)qM+/?M O b se rve q u e (x + 2 )(x+ 3 ) es e xacta m e n te igual a x 2 + 5 x + 6 . Entonces tendremos x2+5x+6=(x+2)(x+3) +0 Luego, el cociente es g(x)=x+3 y el residuo es RM=0.
- 162. 2. TIPOS DEDIVISIÓN 2.1. División exacta Se llama asi cuando el residuo /?,, es cero Esquema D M R .M M M Identidad de la división Ejemplo En la siguiente división; x2-25 JO. ::h x+S x-5 se cumple la identidad de la división, la cual es X-25=(x+5)(x-5)- ■ i El residuo es R^=0, así que es una división exacta. 2.2. División inexacta Se llama así cuando el residuo R{x) e Esquema D (x) d(x) Qui '0 Identidad de la división D. el, 1 *) [x> L lx) - f * En la división exacta, cuando ¡. decimos que el residuo es j . cero, nos referimos a que el residuo es el polinomio cero. * En la división inexacta, cuando decimos que el residuo es distinto de cero, significa que el residuo no es el polinomio cero, lo cual implica que deberá ser un polinomio constante (no nulo), lineal, cuadrático o de mayor grado. V . En una división de números en teros positivos: D d R q se cumple que algoritmo de b dvs;en Además, se cumple que R < d.
- 163. visor tienen elmismo grado, el cociente será un polino- j mió constante. Ejemplo 2x2+ 3x +1 x-9 ^ó+x-f- 5 Observe: D(x)=2x2+3x+1 c/(X )=x2+x+5 El cociente g(x)=2 es un poli nomio constante. Halle el cociente y el residuo de la siguiente división: 2y ^+ 7 Ejemplo En la siguiente división: x^ x+ S 5 x se cumple la identidad de la división, la cual es y? +3x ,----- x 2+3x+5=(x+3)(x)+5 T ~ T ~ T T ■ Ow 4 , qM El residuo es /?(x)=5, el cual es distinto de cero, así que es una división inexacta. 3, PROPIEDA a. El cociente y el residuo de una división de polinomios son únicos. b. En la división de polinomios, D(x) entre d(x), el grado del cociente g(x) se calcula como El símbolo °[ ] lo usamos para indicar el “grado de un poli nomio”. Esta propiedad nos indica que el grado del cociente se obtiene restando el grado del dividendo con el grado del divisor. Ejemplos x^- j . 3^ ^ 1. En la división -----------, el dividendo D, .=x5+3x+2 x 2+6 w tiene grado 5 y el divisor d{x)=x2+6 tiene grado 2. Calculamos el grado del cociente como ^ mF P mF K ) ] °K x )]=5-2 Por lo tanto, el cociente q{x) tiene grado 3, es decir, es una cúbica.
- 164. Capítulo 5 Divisiónde polinomios „ . .. . x6+2x3+4x2+7x+1 2. En la división ----------------------- , 2x+3 el dividendo D(x)=x6+2x3+4x2+7x+1 tiene grado 6 y el divisor d{x)=2x+3 tiene grado 1. Calculamos el grado del cociente como °Ww]=0P > w] -0 P m] ° K ) H - 1 ° M = 5 Por lo tanto, el cociente es de grado 5. c. En una división de polinomios, cuando el residuo es distinto de cero, su grado como máximo podrá ser un grado menos que el grado del divisor. Es decir Esta p r o p ie d a d s e d e d u c e d e la c o n d ic ió n del residuo, que establece que este no puede ser de grado mayor al divisor y tam poco puede tener el mismo grado. Solo es posible que el residuo sea de grado menor al divisor y, por ende, como máximo será de un grado menos. * Puede ser que R {x] t- 0 y, en tal caso, de acuerdo a esta propiedad, el residuo como máximo será de un grado menos que el divisor; es decir, ■ 0[«MU = 3- 1 °[% )]m á x “ 2 Entonces R {x) como máximo será de grado 2, lo que nos da las siguientes opciones: - /?M puede ser constante (grado 0). - /?w puede ser lineal (grado 1). R(/¡ puede ser cuadrático (grado 2). El residuo toma una y solo una de las posi bilidades que hemos mencionado. 3,1 forma de) residuo En los problemas de división de polinomios, un caso muy común es cuando el divisor es cuadrático, y en tal caso nos será útil saber la forma del residuo si queremos calcularlo. A partir de la propiedad anterior, afirmamos lo siguiente:. Si el divisor es cuadrático, la forma del residuo es R{x)=ax+b. Ç Ejemplo En la siguiente división: Aplicación 4 Calcule el residuo de la siguiente división: PM ¿+ % ) Q (x) jivisor de grado ? el residuo R(x) tiene las siguientes posibili dades: • Puede ser que /?M=0 (división exacta). x4+1 (x-1)(x-2) Resolución Como el divisor dw =(x-1)(x-2) es cuadrá tico, entonces su residuo será de la forma Ríx]=ax+b. 69
- 165. Lo que noconocemos de este residuo son los valores de o y b, los cuales calcularemos usando la identidad de la división. Tenemos que • ■ En una identidad de polinomios, se cumple la igualdad numérica con cualquier valor numérico que se le otorgue a la variable. La razón por la que el divisor se iguala a cero en las aplicaciones 4 y 5 es porque el cociente, no se conoce y por ello resulta con veniente darle valores a la varia ble de modo que el cociente se cancele; /i ■ Igualando d{ x ) = 0, el cociente q( x ) se cancela.. x4+ 1 R ^ X)=ox+b (x-1)(x-2) Se cumple la identidad de la división, la cual es x4+1=(x-1)(x-2) q ^ + ü x + b Debido a que es una identidad, con cualquier valor de x se cumplirá la igualdad numérica. Le daremos valores a x de tal modo que el divisor resulte igual a cero. Hallamos dichos valores. d(x)=0 (x-D(*-2)=a • x— 1=0 v x-2 =0 v x= 2 Obtenemos que estos valores de x son 1y 2, los cuales reem plazaremos en la identidad de-la división. x4+1=(£gy¡)U-2)q {x )+ a x + b x=1: 14+1=(1-1)(1-2)g(1)+a(1) +í> -4 2 = pi^ j¡X )+ a + b K V ----------------- * o -» a + b =2 x = 2 :24+1=(2- 1)(2- 2)cj(2)+a(2)+b -> 17= (1)ÍO)í7(5í+2o+fc 0 -> 2a +6=17 Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: Í2a+b =17 (I) | a + b = 2 (II)
- 166. Restamos (I) y(II). 2a+y=17 a+)4=2 2a - a — 17— 2 -> o=15 Reemplazamos estos valores de x en la identi dad de la división. x=2: (2^2)4+(2-3)2s J ' ^ ^ ^ 0 +0(2^ -> 2a+¿>=1 Reemplazamos en (II). a+b=2 15+0=2 -+ £>=-13 Reemplazamos los valores de o y ó en R^=cx+by obtenemos que el residuo es igual a /?M=15x-13. A p l ic a c ió n 5 Calcule el residuo de (x-2 )4 +(x-3)2 (x-2 )(x-3) Resolución Como el divisor d{x)={x-2)(x-3) es cuadrático, el residuo tendrá la forma R{x)=ax+b. Tenemos que (x -2)4+(x - 3)2 (x— 2)(x— 3) R{x)=ax+b Q (X ) Se cumple la Identidad de la división, la cual es (x-2)4+(x-3)2=(x-2)(x-3 )q,x)+ax+b < ■ -------„ ------- ' '------------ 1 r¡ o Igualamos el divisor a cero. (x-2)(x-3)=0 x-2=0 v x-3=0 x=2 v x=3 x=3: (3- 2)4+(3^j^=(^2ó(3^)r/(3]+o(3)+b -> 3o+ó=1 Calculamos los valores de ay b. 3o+ / =1 2o+^ =1 3a— 2a =1— 1 — >a-O Reemplazamos a-O en 3o+b=1 y se obtiene b— Reemplazamos .los valores de a y b en R{x)=ax+b y obtenemos que el residuo es R(x) =. +1, es decir, R (x)= 1. A p lic a c ió n 6 Calcule el residuo de (x +ir+ 1 x 2-1 ' R e s o lu c ió n El residuo es de la forma R[< }=ax+b. Luego, en la identidad de la división (x+1)3+1=(x2-l)q (v ,)+ax+ó Evaluamos en x=1 y x=-1. x=1: 9=o+¿> x= -1:1=-a +b Operamos y se obtiene o=4 y b=5. Reemplazamos estos valores en R(x)=ox+b y obtenemos que el resto es /?(x)=4x+5
- 167. En e! métodode Horner, a los coeficientes del divisor se les cambia de signo con la única excepción del primer coeficien te que mantendrá su signo. El cociente es cj^ C q X2+c-p+c2. El residuo es R^d^x+dy i ! . . Este método sirve para calcular el cociente y el residuo de una división de polinomios. Ejemplo Dividamos 5x3+3+2xA+Qx2 3+2x2- x Seguiremos el siguiente procedimiento: 1. Ordenamos el dividendo y el divisor en forma decreciente. Dividendo: D(x)=5a3+3 +2x4+Qx2 Lo ordenamos. D(x)=2x4+5X3+Qx2+3 Divisor: d(x )=3+2x2- x Lo ordenamos. rfM =2x2- x+3;.|||& ] '/ém' i x *" ' 2. Si le falta términos al dividendo y al divisor, los completa- mos con coeficiente cero. Como al dividendo le falta un término, que es el término lineal, entonces lo completamos de la siguiente manera: D (x)= 2 / + 5 x 3+ 8x 2+ 0x +3 3. Colocamos los coeficientes del dividendo y el divisor en un esquema como se indica a continuación: '------------------------------ “N í 2 ! 2 5 8 0 3 En el caso del divisor, a sus coeficientes se les cambia de signo, a excepción del primero.
- 168. Observe que hayuna línea vertical que separa los coeficientes del cociente de los coeficientes del residuo. Dicha línea se tra za dejando tantos términos en el lado de recho del esquema como lo indica el grado del divisor. En el esquema, el divisor tiene grado 2 y por eso la línea se ha trazado dejando dos términos. 4. Ahora comenzamos con el proceso ope rativo. Este proceso consiste en tres pasos, los cuales son dividir, multiplicar y sumar, e¡ i ese orden, como se indica a continuación: Paso 1 / ^ Se divide y el resultado se pone donde se indica. " & T • W / < 4 , x* & • X- ¿y 4 * ' Paso 2 Se multiplica y los resultados se ponen donde se indica. 2 2 5 8 0 3 -3 f 1 -3 -ó—- 1 Paso 3 Se suma tal como se indica. i 2 2 5 - 8 i 0 3 _ _ +1 1 -3 -3 6 1 5. Este proceso de tres pasos lo repetiremos sucesivamente hasta llegar al final del es quema. Se Obtuvo de d iv id ir tí f-ntrr> Nuevamente aplicaremos este proceso operativo. (2) __» 2 5 8 0 3 +1 -3 h 1 - 3 6 3 8 -9 4 -12 ¡ L _ 1 3 -5 -9 " paso) I Se obtuvo tie
- 169. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores Cuandolleguemos al final del esquema, sumaremos verticalmente las columnas que están a la derecha de la línea vertical y pondremos los resultados donde van los coeficientes del residuo y con eso termina el proceso operativo. Aplicamos el método de Horner. © . 4 > > - * ■ CO - > LO rj 0 3 1 / / +1 i f V ' i " 3 6 3 - 9 / CO I 4 - 1 2 í .: ■ ° i " 1 3 4 / - 5 - 9 '---------- -----------4 1 í W --u O V rv----- § t ♦ 1 2 7 -9 2 +2 V 2 -3 -12 -3 > — 4 8 > ___ 4 T ____12 24 -36 ~ 1 4 12 _______________ J 3 -34 V ________X coeficientes dei cociente -coeficientes de! residuo Finalmente, se obtiene que el cociente es q =Vx2+4x+12 y el residuo es /?w=3x-34. Deficientes ¿ f j l i c p # .•••* :> - i — ........- $ . ä ' Aplicación 8 coe de! cociente M .- C A SO lJÓ " r V . '' Divida —------ ^ : .-» '¿ 'V i : f ,# :i' # ¡s * » • s ? X2+X+1 • .4 6. Finalmente, obtenemos que el cociente de resolución la división es gw=1x2+3x+4 y su residuo^^j|¡ ordenamos y completamos el dividendo y el divisor. /?(x)=-5x-9. ■ < * Aplicación 7 x4+2x 3+7x2-9 x +2 Dm =x4+x2+1 D(x)=1-x4+0x3+1-x2+0x +1 Divida x2-2 x +3 • d ^ pl-x^ V x+ l Aplicamos el método de Horner. Resolución El dividendo y el divisor ya están ordenados en forma decreciente, además, observe que no les falta ningún término. Tenemos que • D^=1x4+2X3+7x2-9 x +2 • c /(x)=1'X2-2 x +3 0
- 170. Finalmente, obtenemos queel cociente es q^-x2- x +1y el re siduo es R(x)=0x+0=0. Como el residuo /?(x) es cero, esta división es exacta. 4.1. Caso especial de Horner Cuando una división es exacta, podemos usar el método de Horner ordenando el dividendo y el divisor en forma creciente. El cociente que se obtiene también estará ordenado en forma creciente. A p lic a c ió n 9 Divida --- +7x3^17x" +23x';~^, x 2+2x +3 R eso lu c ió n Observe que el dividendo y el divisor están ordenados en la forma usual, que es la forma decreciente. Aplicamos el método de Horner. Q 1 ? 7 17 23 12 -2 , - 2 -3 - 3 L " ■ : t v 5 V:: ■ - 1 0 - 1 5 -8 -12 : 1 s 5 4 j 0 s ----- V- 0 j coeficientes coeficientes del cociente dei residuo Luego, se obtiene que el cociente es q^-x2+Sx+4 y el residuo es R^=0x+0=0. Como el residuo R{x)=0, esta división es exacta. Ahora comprobaremos lo que ocurre cuando ordenamos el dividendo y el divisor en forma creciente. Así tendremos 12+23x +17x2+7x3+1-x4 3+2x +1-x2 ( En el método de Horner, lo normal es que el dividendo y ei divisor estén ordenados en fo r ma decreciente. Eí caso especial de Horner presenta otra alter nativa, la cual es ordenarlos en i i . forma creciente, pero esto solo es válido si la división es exacta. Intpcrtant _ V Si la división no es exacta y su residuo es R^y entonces la nueva será exacta.
- 171. COLECCIÓN ESENCIAL $ í f c X K :Lumbreras Editores Aplicamos el método de Horner con los coefi cientes ordenados en esta forma. Luego, obtenemos que el cociente es gw =4 +5X+X2 y el residuo es R{x)=0+Qx=0. Comparamos los cocientes obtenidos en am bas divisiones: I . * * /„ ‘ . , 4 í.;»Ü V ,ÍST # £ q(x)=x¿+5x+4 (creciente) qM=4+5X+X2 (decreciente) Hemos obtenido el mismo cociente, solo que en diferente orden. Esto es posible cuando la división es exacta. Entonces cuando tengamos una división exacta, podremos usar el método de Horner de estas dos maneras. Ambas son válidas, ya que se obtienen los mismos resultados como lo hemos comprobado con este ejercicio. A p l ic a c ió n 10 Calcule m+n si la división mx4 +/ix3+7x2-x-1 2 x2+3x +4 es exacta. R e s o l u c i ó n Si usamos el método de Horner en la forma normal (forma decreciente), tendremos el inconveniente que los coeficientes rn y n, que son desconocidos, aparecerán al inicio y complicarán el proceso operativo. . Por ello, en este caso, resulta conveniente ordenar el dividendo y el divisor en forma creciente, lo cual es posible, ya que es una di visión exacta. Ordenamos en forma creciente. -12-1-x+7x2-fnx3+/T7x4 4+3x+1-x2 Aplicamos el método de Horner. M 4 -12 -1 7 n m r A 3 N — . 8 -1 4 v - 6 - 2 I- ♦ - 4 - 3 -1 " - 3 2 1 0 0 residuo Como la división es exacta, el residuo es cero. Entonces • n - 2-3=0 -> n=5 • m-1=0 — > m=1 m+n=6
- 172. 5. REGLA DERUFFINi Es un método de división de polinomios que sirve para calcular el cociente y el residuo, pero que solo puede usarse cuando el divisor es lineal. Ejemplo Dividamos 2 x- 6 Observe que e! divisor d^=2x-6 es un polinomio lineal, por lo tanto, podemos usar este método. y Seguiremos el siguiente procedimiento: 1. Ordenamos el dividendo en forma decreciente. D(x)=2x4- Zx*- 10x2+4x+7 2. El divisor lo igualamos a cero y calculamos el valor de x. d^-2x-6~Q — > x=3 3. Colocarnos los coeficientes del dividendo y el valor de x que hemos obtenido en un esquema, tal como se indica a continuación: < Alicientes ele! dividendo A 2 - 2 -10 4 -"J ro II * rcs:t! coeficientes de cociente Esquema de Ruffini a0x3+a^x2+a2x^a^ i b0x+ b] i ' V- i Ao «1 < *2 «3 X~ b0 ¡ .. ^ i i ■ * "j C Jq | R I (' — fjf'J » - C o C 1 c2 El cociente co q f/(y - c 02 i qx+c^ El resto es /?w =/?. La regla de Ruffini tiene dos etapas: I. En la primera, se multiplica y se suma, y se obtiene el resi duo. II. En la segunda, se divide entre el coeficiente principal del di visor y se obtiene los coefi cientes del cociente. Trazamos una línea vertical dejando solo el último térmi no en el lado derecho del esquema; esta línea separa el cociente del residuo. La razón por la que dejamos un solo espacio es porque el divisor es de grado I (lineal).
- 173. 4. Ahora comenzamoscon el proceso operativo, el cual con siste en multiplicar y sumar como se indica a continuación: Cuando se aplica la regla de Ruffini, el residuo es un polino mio constante debido a que el .< > divisor es lineal. 2 -2 -10 4 7 x=3 6 ._____^ 2 4 Este proceso de multiplicar por el valor de x y luego sumar verticalmente lo repetiremos sucesivamente hasta llegar al final del esquema. En el ejemplo • lia regla, de Ruffini es más sencilla que el¡ método, de Horner, pero solo puede usarse, cuando el divisor, es lineal; • ' • Síj • En la regla de Ruffini; cuando el divisor es mónico, (coefi ciente principal igual a 1); no es necesario hacerla división al final, ya que al dividir entre 1 se obtendrán los mismos valores. « r J 2 - .....— -2 -10 4 ; 1 o «x ' i í ■ 6 12 r 6 ; • ; » 30 4 2 10 J 37 zcnb dei cocKif.ta 5. Los valores que están en la zona del cociente no son los coeficientes del cociente. Para calcularlos falta un último paso que consiste en hacer una división. Los valores de la zona del cociente debemos dividirlos en tre el coeficiente principal del divisor y entonces obtendre mos los coeficientes del cociente de la división. En el ejemplo, el divisor es d(x)=2x-6, cuyo coeficiente prin cipal es 2. Luego, los valores que están en la zona del co ciente los dividimos entre 2, como se indica a continuación: 2 -2 -10 4 7 x=3 6 12 6 30 ■ 2 2 4 2 10 37 ■ 'Hi'.it-'iit’-.'Sti» ! < out" W - Finalmente, obtenemos que el cociente es g(y)=x3+2x2+x+5 y el residuo es ft(x)=37.
- 174. División de polinomios Ap lic a c ió n 77 4x4+4x3-8 x 2+12x-1 Divida 4 x-8 R e s o l u c ió n El dividendo ya está ordenado en forma de creciente y no le falta ningún término. D(X)= 4x4+4x3-8 x2+12x-1 completo y oídenado El divisor d(x)=4x-8 (lineal) lo igualamos a cero y calculamos x. 4x-8=0 -> x=2 f Aplicamos la regla de Ruffini/ ,T-;, sfe-‘ Á 4 4 -8 12 -1 multiplicamos y y=2 sumamos ¡ 8 24 32 co 05 X ~4 12 16 44 87 zora del .re/icfù cociente Para hallar los coeficientes del cociente, dividi mos los valores de la zona del cociente entre el coeficiente principal del divisor dM=4x-8, que es 4. 4 4 -8 12 -1 x=2 t l 8 24 32 88 * v -4 12 16 44 87 -+ 4Q *1 3 4 1 1 residuo coelirlenti. V " “ íi del cx ionie A p l ic a c ió n 12 2x 4 + x 3 + 5x 2 + 7 Divida x~2 R e s o l u c i ó n Ordenamos y completamos el dividendo. D (x)=2x4+ Ix 3 +5X2+0x+ 7 El divisor x-2 lo igualamos a cero y calcu lamos x. x-2=0 -> x=2 Aplicamos la regla de Ruffini. multiplicarlo' •V .u r.s" 1 2 1 5 0 7 x=2 I t 4 10 30 60 y t 2 5 15 30 67 zona de! coaente Ahora, dividim os los valores de la zona del c o ciente entre el coeficiente principal del divisor d{x)- 1-x-2, que en este caso es 1. Así tendremos 2 1 5 0 7 x=2 _ _ _ _ _ _ _i- I i 4 10 30 60 2 5 15 30 67 ‘ 2 5 15 V 30 íoi’fti • cu *1COuento Finalmente, se obtiene que el cociente es < 7 w =x 3+ 3 x2 + 4 x +11 y el residuo es R{x)=87. Finalmente, obtenemos que el cociente es £ 7 (x)=2x 3+5X2+ 15x+ 30 y el residuo es /?(x)=67.
- 175. COLECCIÓN ESENCIAL ■ f». t.i Lumbreras Editores _L -m u _____ _________________________________ • Cuando el divisar es lineal, el residuo es un polinomio : constante. • Cuando el divisor es cuadrá tica, el residuo puede ser un polinomio lineal o un polino- > mió constante. -• ! — — — •••• j Calcule el resto de x2016+x2015+ +x +t x-t Reto al saber 6. CÁLCULO DEL RESTO Los métodos de Hornery Ruffini nos permiten hallar el cociente y el residuo de una división de polinomios. El teorema del resto que veremos a continuación nos permitirá hallar solo el resto de una división, pero de un modo directo. 6.1. Teorema del resto El resto de dividir P(x) entre ax+b es Pf donde a * 0. Ejemplos 1. —— ‘ -» Resto =Pr-n x-2 (2) p 2. -> Resto=Pn. X -3 :• 1 P) 3. —— — — > Resto-P{ a 2* - 5 ■ ; i 6.2. Regia práctica parará leular ól resto 1. Igualam os a cero el divisor y hallarnos x. M J/ P . Y * 2. Este valor de x lo reemplazamos en el dividendo y el resul tado que se obtiene es el resto de la división. Aplicación 13 Halle el resto de x4+2x+1 x-3 Resolución Igualamos a cero el divisor x-3 y obtenemos x=3. Reemplazamos x=3 en el dividendo Dm =x4+2x +1 y el resultado que se obtiene es el resto. Rm =34+2(3)+1 *«=81+6+1 * « =88 Por lo tanto, el resto es fí(x)=88.
- 176. Capítulo 5 Divisiónde polinomios A p l ic a c ió n 74 Halle el resto de x 3+2x2-3x+2 x-5 R e s o l u c ió n El divisor x-5 lo igualamos a cero. x-5=0 — > x=5 Reemplazamos x=5 en ei dividendo D(x)=x3+2x2-3x+2 y el resultado que se obtiene es el resto. R m = 53+ 2(5)2- 3(5)+2 W - ' i W M y -00- '> ■ i ¡f ,0% Por lo tanto, e! resto es R(x)~152. %§l. ¿émr f $'% . ' > f JO A p l ic a c ió n 75 t , / U Halle el resto de T-T’ x 100+5x28+3x10+2 X — 1 ' R e s o l u c ió n # Igualamos el divisor a cero. x~1=0 -> x=1 Reemplazamos x=1 en el dividendo D(x)= obtenemos el resto. =x 100+ 5x 28+3 /? ) = 1100+5(1)28+3(1)1 °+2 X) V L - v ~ l 1 I 1 fíw =1+5(1)+3(1) +2 V 11 cuando se calcula el resto, lo que se hace es igualar el divisor a cero de la siguiente manera: | x2-i=o i i . de donde se obtiene x2=1. I ............... • - ¡ No cometa el error de hallar x y decir que x=1 y luego reem- ! plazar este valor en el dividendo para hallar el resto. Lo que se debe reemplazar en el dividendo es el valor de x2 y ¡ no el valor de x. Tenga cuidado con esto al aplicar este método. 1. Halle el cociente y el residuo de la división ' -Reto al saber 2. Calcule el cociente y el resi duo de x 2016 3x + 2 x 20l6+1 ' Por lo tanto, el resto es R^=11.
- 177. 6.3. Método generalpara calcular el resto Este método sirve para calcular el resto de cualquier división de polinomios. El procedimiento es el siguiente: 1. Igualamos el divisor a cero y despejamos su término principal (el de mayor grado). 2. Lo reemplazamos en el dividendo tantas veces como sea necesario hasta que el re sultado sea cero o un polinomio de grado menor al divisor. En tal caso, dicho resultado es el resto de la división. A p l ic a c ió n 16 Halle el resto de x10+2x+1 x2-2 R e s o l u c ió n El divisor lo igualamos a cero y despejamos x2 ^ -2= 0 x 2=2 £ Debemos reemplazar x 2=2 en el dividendo, pero antes tenemos que acomodarlo conve nientemente. % r * 10+2* +1 Dm=(x2)5+2x+1 Reemplazamos ^=2 en el dividendo y obte nemos el resto. /?m=(2)5+2*+1 /?(x)=2x+33 Por lo tanto, el resto de la división es A p l ic a c ió n 17 Halle el resto de x8-2 x 2+3x+1 7 ^ R e s o l u c i ó n Igualamos el divisor a cero. ^-1=0 -> ¿=1 Debemos acomodar convenientemente el dividendo para poder reemplazar x2=1. D(x)=x8-2x2+3x+1 D(X )=(x2) -2Gr)+3x+1 Reemplazamos x 2=1 y obtenemos el resto. /?(x)=(1)4-2(1) +3x+1 /?w= / - / +3x+/í RM=3x Por lo tanto, el resto es 3x. A p l i c a c i ó n 18 Halle el resto de x 10+2x5+x3+x+2 x2-4 R e s o l u c i ó n El divisor lo igualamos a cero y se obtiene x2=4. Acomodamos el dividendo, de modo que apa rezca x2. D(X )=x10+2X5+x*+x+2 D m = (x 2) + 2 (x 2) -x + ( x 2) - x + 2 Reemplazamos y obtenemos el resto. fl(x)=(4)5+2(4)2x +(4)x+2 /?(x)=1024+32x+4x+2 R(x)=36x+1026 Por lo tanto, el resto es 36x+1026.
- 178. Aplicación 79 Halle elresto de x 9+2x5+x2+2x+3 x 3-1 ' Resolución El divisor lo igualamos a cero y despejamos x3. x3-1=0 -> ^=1 Acomodamos el dividendo para que aparezca x3. D(x)=x9+2x5+x2+2x+3 D(X )=(x3) +2(x3)x2+x2+2x+3 Reemplazamos x3^ y obtenemos el resto. /?m =(1)3+2(1)x2+x2+2x +3 R(x)= U 2 x2+xz +2x +3 R(x)=3x2+2x +4 Por lo tanto, el resto es 3x2+2x +4. ■ j. " ' r " ^ ♦ 7. COCIENTES N O T A B LE ^ ' -t C T Xn — y n Al cociente de la división-------- , donde n e N, n > 2, se le llama cociente notable porque puede obtenerse directamente sin necesidad de usar un método de división como Horner o Ruffini. A plicación 20 x2- y 2 Halle el cociente d e-------- . x-y Reso lu ció n De la propiedad de diferencia de cuadrados x2- y 2=(x-y)(x+y) se obtiene x - y Por lo tanto, el polinomio x+y es el cociente de esta división. Si tenemos que 2 2 x - y » ----- — = x +y x - y x3- y 3 2 2 . -----— = x +xy +y x - y X4 —y * 3 2 2 3 * ----- — = x +x y +xy +y x - y entonces si seguimos la secuen cia tendremos que x5- y 5 4 3 2 2 3 4 -----— =x +x y+x*y +xyJ+y x - y Usando cocientes notables, calcule el valor de 219+ 21 B+ 217+...+2+ 1.
- 179. R e so l u c ió n De la propiedad de diferencia de cubos xJ- y ‘=(x-y)(x2+^y+y2) se obtiene y3 ,,3 x — y 2 2 -----— =x + x y + y x - y Por lo tanto, el polinomio x2+xy+y2 es el co ciente de esta división. 7.1. Propiedad para hallar el cociente notable X° _ y n El cociente de la división-------- , donde n e N, x - y n > 2, es el polinomio q^y) =xn 1+xn 2y+xn 3y 2+...+xyn 2-t-yn 1 al cual llamamos cociente notable (CN). Además, se cumple que x y -=xn 1+x n 2y +xn 3y 2+...+ x~y +xyn 2+y n 1 A p l ic a c ió n 22 / 4 4 ... % x —y s& v Halle el cociente de-----— . '71* y. < í x - y % Ejemplos Para n=6 y í£ v Y 6^76x V- ■ ■ ■ • - - =x54 x 4y +x3y 2+x2y 3+xy4+ y5 R e s o l u c ió n • ■ mÍ J ' «& Vrt.sV ¡y. f ”V y ¿'* * De la propiedad de diferencia de cuadrados sy ¡ ¿^ P a ra /7 = ? v .o ,; •• • , ...v.y- .. x4- y 4=(x2- y 2)(x2+y2) {X-yK/+y ) r 4 -y4 = (x -y )(x + y )(x 2 + y 2 ) X y - x 6+x5y +x4y 2+x3y 3+x2y 4 + x - y Para n=20 +xys +y 5 y20 u20 = x» +x18y +XV +...+xy18+ y19 x - y 7 7 r4 _ y 4 = (x-y )(x3+x2y+ xy2+ y3) Se obtiene 4 4 X —V 3 ? 2 ì -----¿—=x + x ‘ y+xy1+y x - y 72. Numero de términos x^—yn En la división-------- , el exponente n indica x - y el número de términos que llene su cociente. Ejemplos Por lo tanto, el polinomio x3+x2 y+xy2+y3 es el cociente de esta división. x3- y 3 2 2 -----— =x+ xy+ y¿ x - y v ----'—L s
- 180. Capítulo 5 Divisiónde polinomios 4 4 X - Y 3 2 2 3 * -----— = x + x y + x y + y x - y '-------— L-* 4 términos y15- u15 • —--------- = X14+Xl3y + X 12y 2+ ...+ y14 15 términos 7.3. Término general El término de lugar A : del cociente de la división xn- y n x - y es y ' A p l ic a c ió n 23 Halle el término de lugar 5 (t5) del cociente de la división y13_y13 • 4% '¡y J' x - y R e s o l u c ió n El término general de su cociente es tk =x^~ky k~ ^ Para k=5, obtenemos el término de lugar 5. f5= x13_5y 5_1 .*• ts =xQ y 4 A p l ic a c ió n 2 4 Halle el término de lugar 25 (f25) del cociente de la división x 54- y 54 x - y R e s o l u c ió n El término general de su cociente es t* = * 5¡> - y - 1
- 181. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Para k -25, obtenemos el término de lugar 25. t _ „54-25.,15-1 ••• f25=x29y 24 7.4. Caso general xr - vn Hay divisiones que no tienen la forma-----— x - y pero que pueden llevarse a ella mediante cambios de variable. Por ello los cocientes de estas divisiones también serán cocientes notables. Ejemplo *10_y15 X " X En la división —----- — podemos hacer, los si-V x - y i h '" I < ■ 1 y S & íS y ' .íÍñ S - ? - í guientes cambios de variable: ^-Q y, j?-b . ¡ Reemplazamos x1 0- y1 5 (x2f - ( y 3)5 a5-d 5 o -b ^ x 2- y 3 x2- y 3 a5-b s La división-----— genera cociente notable, el ■ a-¿> cual es ^— — =o4 +o3¿»+a2/?2+aö3+¿ > 4 a -b ^ CN Reemplazamos 0=^ y b = y. £^ = ( x ^ q ¿ í =(x2)4 +(xa f ( y 3). a -b x2- y 3 (x2) (y 3) +(x2)(y 3) +(y 3) + Finalmente ^ Z Z ^ = X8 +X6 3+ x4 6+ x 2 9 1 2 y 1- __ x cociente notsbie de esta división 7.5. Propiedad yP _ yQ La división-------- puede llevarse a la forma xr - y gn-ò n a-b mediante cambios de variable y, por ende, su cociente será un cociente notable si y solo si cumple la siguiente condición: P =— =n a neN:n>2 i Además, para este cociente notable se cumpli rá lo siguiente: - Tiene n términos. * Su término de lugar k es vri-í: , J .-1 t ¡ = ( / ) ( / ) ! A p lic a c ió n 25 Compruebe que la división CN y halle f3. x2 Q- y 8 x5- y 2 genera Reso lu c ió n Verificamos que cumpla la condición. 2° 8 . , KT — =—=4 a 4 eN 5 2 Como sí se cumple, entonces sí genera CN.
- 182. Luego, el númerode términos del CN es 4. Su término general es R e s o l u c ió n Como genera CN, entonces cumple la cond ción 60 100 — = — -> r- 5 3 r Reemplazamos k=3. El número de términos del CN es A p l ic a c ió n 2 6 x 60 _ 100 Si la división — -------- genera CN, x - y r halle í14. / Su término general es t k = ( ¿ f - k ( y t Reemplazamos k - 14. .18. .65 ••• = x'°y Juego de fichas 1. Sejuega con 20 fichas. 2. Cada ficha debe indicar un ejercicio para calcular el resto de una división, cuando el divisor es lineal. Ejemplo El resto de -- - + 1es x-23 4 5 6 3. Sejuega entre dosjugadores. 4. Se reparte 10 fichas a cada uno. 5. El juego consiste en que cada participante le haga la pregunta que indica su ficha al otro jugador. Si este acierta, gana 1 punto. Si no acierta, el jugador que hizo la pregunta tiene la opción de res ponder la pregunta y si responde correctamente, gana un punto. Si ninguno sabe la respuesta, no se suman puntos, 6. Sejuega por turnos y gana el que al final acumula más puntos.
- 183. DIVISION DE POLINOMIOS ..» f - Dividir el polinomio Dw entre el polinomio dM. consiste en hallar otros dos polinomios, qM y llamados cociente y residuo, respectivamente. dividendo residuo D ,M 'M %) divisor cociente Identidad de la división DÍx)=d(x)'Q{x)+R(x) í"~ Condición del residuo Cuando 0, se cumple [°tgMi<ot« y . Tipos de división • División exacta, cuando RM=0 • División inexacta, cuando R(x^ 0 Métodos de división • Método de Horner • Regla de Ruffini Propiedades del cociente y el residuo ° ° W =°[0(x)]-°[^] • máx°[/?w]= 0[dM]-1 J - 4 * ------- Método de Horner aQ x4+a-[x3+a2x2+a3x+a4 60x2-t-ò 1 x-H Ò 2 b0 O q o1 o2 °3 + -b 2 x c0 q c2 d0 Cociente: q^)=cQ x2+c-ix+c2 Residuo: /?(X )=d0x+d1 Cálculo del restò Teorema del resto PM ax+b — > R esto = P— J Caso especial Cuando la división es exacta, se puede cambiar de orden al dividendo y al divisor, es decir, se pueden poner en orden creciente. El cociente resultará también en ese orden. Método general El divisor se iguala a cero, se reemplaza en el dividendo y se obtiene el resto. Cuando el divisor es cuadrá- tico, el residuo es de la forma R^=ax+b. Regla de Ruffini a0x3+a-[x2+a2x+a3 box+b-i a0 o -| a2 -&I *= /T bo + L.2___________ X oo P :b ° c0 q c2 Cociente: qM=c0x2+c1x+c2 Residuo: /?M=P i___ Cocientes notables xn-yn x-y -=x/ 7 2 y+...+yn 1 Término general tk=xn-ky k^ donde k=V, 2; 3;...; n Caso general yO_yb —-— r genera CN si y solo si x - y 1 o b —=—=neN. r t Además, n es el número de términos del CN,
- 184. n M RESOLVEMOS JUNTOS ProblemaN.11 Si el cociente de la división x6+3x+1 x 3 + 2 es x^-2, calcule el resto. A) 3x+5 B) 2x+3 D) 2x Resolución Identidad de la división C) x+4 E) 3x+1 d'videndf x6+3x+1 R (X) f . x3+2 )c’-2 x 6 + 3x 4-1= (x 3+ 2)(x3- 2)+ (x) / + 3x+ X = /-4+ R(x) 3x+1=-4+/?,(X) /?(v)=3x+5 Por lo tanto, el resto es 3x+5. Clave Problema M.” 2 HesoLucion Esquema de la división x109+5x+o 3a x-1 ^(x) Identidad de la división x ]G 0+5x+a={x-'l)q{x]+3a Evaluamos en x=1. 1^+5(1)+a=(l^(1)+3o 1+5+o=3o 6+o=3o 6=30-0 6=2o 3=o o=3 Clave ' Si el resto de la división 2 __t 4 4 3 a b x 100+5x+o < 3 6 -4 x-1 r 2 10 15 > -10 es 3o, calcule 0. L 14 21 -14 2 5 7 17 1 A) 2 D) -1 B) -2 C) 1 E) 3 Si en la división 4x3+4x3+3x2+ax+b 2xz -3x+2 el resto es 17x+1, calcule ab. A) 24 D) 90 B) 70 C) 81 E) 72 Resolución Aplicamos el método de Horner.
- 185. De! residuo * 0-10+21=17-» o=6 . ¿1-14=1 -> 6=15 o6=(6)(15)=90 Clave En la division 4x4+7x3+bx2+5x+b x 2 + x - 2 se obtiene un cociente cuyos coeficientes dis minuyen de 1 en 1. Calcule el resto. Problema M/ 4 - Si la división X4 +2x3+axz+bx-3x x 2+3 es exacta, calcule b-o. A) 2x+7 B) 3x+1 C) 9x+1 D) 9x-2 E) lx-2 Aplicamos el método de Horner. A) -3 B) 4 / C) 6 1 4 7 6 5 b D) -2 I E) 2a ; 'e y -1 f . -4 8 2 . 3 -3 6 Resolución v-'f^ ^ ! f'% % j "" __ 6+5 -2 4 Aplicamos el método de Horner. !.' A .y - , X - _4 _ — --------- ijf* /• C F 4 3 2 9 6+4 ^ 1k 1 2 a i C3~ I LU Ly* 0 m I ° l _ _ -3 2 0 -6 r V___0-3 0 -3o+9 1 2 0-3 0 0 '--------- ~---------' Para el último coeficiente del cociente, se cumple Del resto « b - 6=0 — » 6=6 . -3-3o+9=0 -> o=2 ... 6-o=6-2=4 Luego, en el resto /?w =9x+(6+4) Reemplazamos 6 = -3 y tendremos ^(*)=9x+1 Por lo tanto, el resto es 9x+1. Clave Clave
- 186. / 1 . Capítulo5 ¡Éi‘JÍÁ'L ' • - División de polinomios ü __________________________________
- 187. Resolución Como es unadivisión exacta, podemos orde nar el dividendo y el divisor en forma creciente. 1+2x+3x2+¿?x3+ax4 1+2x+x2 Aplicamos el método de Horner. Aplicamos la regla de Ruffini. 3 -2 -15 . _ . __ ^ 1-21 co II i 9 21 18 V 3 7 6 -3 1 __i_ 1 2 3 b a -2 -2 -1 -1 0 0 0 ■ ___ _ 2 i + » i i j - V 0 ,, 0 '-■ p ^ — i áW Vvi-' . 0 f Del esquema, en el resto • ò-4=0 — > ó=4 « o-2=0 — > o=2 o+ ó=6 % j ¡ r / iV '- V . "" ffi % %, " t e w . Clave M J ' Problema M/ 9 ____ Dada la división 3x3-2 x 2-15x-21 x-3 calcule su cociente disminuido en 3X2. A) x+7 B) 7x+3 C) x+3 D) x+4 E) 7x+6 El cociente es < 7 W=3x2+7x +6 • • • qM-3¿=7x+ 6 Clave 4? &..A% 4 v..'. . " L / <az? • ;-í +- i %Calcule la suma de coeficientes del cociente de ■ v, la siguiente división: nx4- x 3+3nx-3 nx-1 A) 0 D) 2 B) -1 C) 3 E) 4 Resolución Aplicamos la regla de Ruffini. n -1 0 3n - * 1 x=— n ~ ± i 1 0 0 je n 0 0 3n 0 +n( V ‘ 1 0 0 3 **51 -liuentí*'. v i, ,cr~ 1 v
- 188. Capítulo 5 Divisiónde polinomios El cociente es c ?m =1-x 3+P^2+ P^+3 9 « =^+3 Por lo tanto, la suma de coeficientes del co ciente de la división es 1+3=4. : Clave Problema N /1 1 Halle el resto de xs +nx+5 i = r - si la suma de coeficientes de su cociente es 10. A) 6 B) 7 j C) 8 D) 11 E) 9 " Resolución Aplicamos la regla de Ruffini. 1 0 0 0 n 5 X=1 t I 1 1 1 1 n+1 r X ^ -1 1 1 1 n+1 n+6 coeficientes del cociente resto Del dato, la suma de coeficientes del cociente es 10; entonces 1+1+1+1+(n+1)=10 n+5=10 n=5 Luego, reemplazamos el valor de n en el resto. /?w =n +6=5+6=11 Por lo tanto, el resto es 11. : Clave ............... Problema N.° 12 En la división 8 x 4 + 2 x 3 + x 2 + b x + b 2x^ si el término independiente de su cociente es 6, calcule el resto. A) 20 B) 10 C) 16 D) 14 E) 12 Resolución Aplicamos la regla de Ruffini. 8 2 1 6 6 1 x=— 2 i ; 4 -lio 4 3 2 J 6 + 2 2 § ./ 7 3 6 4 6 + 2 resto x 4 3 2 6 + 2 ¡- 2 : / v l p r , • de! c eoe icientes del cociente Del dato, el término independiente del cocien te es 6; entonces 6+2=12 -+ 6=10 Luego, reemplazamos el valor de 6 en el resto. 6+2 Rlx)~b+ ■2 * 00- 10+ 10+2 *(*)-16 Por lo tanto, el resto es 16. Clave á 93
- 189. Problema N.* IB_____________ Si2x4+3x2+ox+2 es divisible porx-1, calcule el coeficiente del término lineal del cociente de su división, aumentado en a. A) 2 B) -2 C) 0 D) 1 E) 3 Resolución Que sea divisible significa que al dividirlos la división es exacta. 2x4 +3x2+ox +2 . . . . . . ------------------- (división exacta) x — 1 Aplicamos la regla de Ruffini. 2 0 3 « 2 X— 1 4 T 2 2 5 0+5 j v 2 2 5 0+5 0+7 coeficiente«, del codente re:to Como es una división exacta, el resto es cero. R^~q+7=0 — > o--7 Luego, el cociente es q[x)=2X3+2/ + '5x +0+5, 1 12 término lineal Observe que el coeficiente del término lineal del cociente es 5. Por lo tanto, el coeficiente del término lineal del cociente aumentado en el valor de o, que e s-7, e s -2. ' Clave Sea la división x"+ xn+1+...+x2+x+1 x^ í ' Si ¡a suma de coeficientes de su cociente es igual a 90 veces su resto, calcule n. A) 164 B) 150 C) 172 D) 148 E) 130 P Aplicamos la regla de Ruffini. i 1 1 1 ... 1 1 X=1 ; i 1 2 ...(n-1) n A -i 1 2 3 ... n 0+1 r Del dato 1 +2+3+...+n=90(/d+1) o_(d+1) 2 o=180 ■ =90(¡d+1) Clave Problema M E 15 _. + , x 8+ox +b El resto de -----------— es 7. (x-1)2 Calcule o+b. A) 3 B) -2 C) 5 D) 6 E) 10
- 190. Resolución Esquema de ladivisión x^+ax+b - 7 (x-1)¿ %) Identidad de la división x8+ax+b=[x-i)2q{x)+7 Evaluamos en x=1. 18+a+b= (1— 1]3<^ +7 cociente 1+ £7+0— 7 a + b = 6 C la v e Problema N.’ 16 Si x A+ a ^ + b x + c es divisible por (x+1)3, calcule a + b - c . A) 2 D) 1 B) 0 C) -1 E) -2 Resolución Que sea divisible quiere decir que al dividirlos la división es exacta. Esquema de la división x + ax^ + bx + c 0 ♦ (x+1): %) Identidad de la división x 4+ a x i + b x + c = {x +1)3gw+0 Evaluamos en x=-1. 4 , «3 4. (-1r+o(-ir+¿(-d+c=H f f < ? H)+ o 1-a-ó+c=0 a+b-c=1 Clave La división 4x4+2x3-12x2+ax+ó 2*2-3 x -1 tiene un residuo que es un monomio mónico lineal. Calcule ab. A) -7 D) 6 B) 7 C) -6 E) -5 El residuo es lineal, entonces RM=mx+n Como es mónico, su coeficiente principal m es 1. Como es un monomio, significa que tiene un solo término, lo que ocurre cuando n=0. Luego, el residuo es /?(X )=1-x+0=x el cual es un monomio mónico lineal. Aplicamos el método de Horner. 2 . i— 4 2 -12 o b 3 6 2 i — 8 12 4 i 4 _ , 2 3 1 2 4 1 1 0 95
- 191. Del residuo * a+4+3=1 — »a - - 6 • b + 1=0 — > b — — 1 ob=(-6)(-1)=6 C/ave Problema N.’ 19 ______________________________ En la división m2xA+{m2-m )x3+mx2+(m-2)x +6 , mx-1 la suma de coeficientes del cociente es igual al resto. Calcule m. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Problema N.* 18 ___ _______________________ Sea la división x20+x19+x18+...+X2+X +1 x — 1 / ' Calcule la suma de coeficientes de su cociente. A) 240 B) 210 C) 200 r . D) 190 E) 180 Resolución Aplicamos la regla de Ruffini. ?0 V P C 1 1 1... 1 1 X=1 i í 1 2... 19 20 - — v— ..V -1 2 3 .. 20 21 coeficientes dei cociente resto Luego, calculamos la suma de los coeficientes del cociente. 1+2+3+...+20=^p=210 Resolución Aplicamos la regla de Ruffini. 2 r r r m 2 - ^ m m - / l 6 1 x = m < 4 I ___ J___’ | | t prí m T ^ I ________ i 1 n t m 2 2 m m 7 2 0.. n - m m 2 1 recio Del dato, la suma de coeficientes del cociente es igual al resto; entonces m+m+2+1=7 2m+3=7 2m-A m-2 Clave Problema N.' 20 Deteimine el coeficiente del término cúbico del cociente de la siguiente división: 2x12-3 x9+x6-5 x3+3 Por lo tanto, la suma de coeficientes de su cociente es 210. Clave A) 3 D) 5 B) 1 C) 13 E) 6
- 192. Resolución Hacemos el cambiode variable y=x3 y lo re emplazamos en el dividendo y el divisor, con lo cual tendremos 2y4-3 y 3+ y2-5y+3 y - 2 Aplicamos la regla de Ruffini. 2 -3 1 -5 3 y=2 | 4 2 • 6 2 2 1 3 1 5 C O O ‘':ientes del co EL cociente en variable y es f < 7(y)=2y3+y2+3y+1 Para hallar el cociente de la división original (con variable x), debemos reemplazar y=xil con lo cual tendremos q{x)=2(x3)3+(x3)2+3(x3)+1 q(x) =2x9+x6+ 3x 3 +1 le*rr'inc Por lo tanto, el coeficiente del término cúbico del cociente es 3. Clave Problema N.’ 21 El resto de la división mx9-m x5+px- 3 es 2 3v-3 Halle p. A) 3 B) 2 D) 7 C) 5 E) 1 Resolución Usamos el teorema del resto. Igualamos el divisor a cero. _ 3> r— 3=0 -> x=1 Este valor de x lo reemplazamos en el dividen do y obtenemos el resto. RM=m(1)9-m(1)5+p(1)-3 fiM=Jtrr-jrftp-3 ffM=P-3 Del dato, el resto es 2. % =P-3=2 ••• P = 5 C/ove Problema N.’ 22 Halle el resto de la siguiente división: 2x13+3x5+2x-1 * 2-1 A) 6 D) 2x+4 B) 3x+3 C) 4x+2 E) x+5 Resolución Usamos el método general para calcular resto. Igualamos el divisor a cero. ¿ - U 0 -> ^=1 Expresamos el dividendo convenientemente D w =2x 13+ 3x 6+ 2x -1 D(x)=2(x2)6-x+3Gr2)3+2x-1
- 193. Reemplazamos x -1 y obtenemos el resto. R m =2(1)6x +3(1)3+ 2 x - 1 /?(Jr)= 2 x + 3 + 2 x -1 fiM = 4 x+ 2 Por lo tanto, el resto de la división es 4x+ 2. Clave Resolución El divisor lo igualamos a cero. x2+x+1=0 Luego, lo multiplicamos por x-1 y obtenemos ,(x-1)(x2+x+ l)=0-(x-1) Problema M.‘ 23 Halle el resto de dividir 8(x-1)17* * -(1 -x)20+2x +1 x-3 A) 1025 D) 14 B) 7 C) J U * * /E) 17 ..5. '..V / Resolución / Usamos el teorema del resto. Igualamos el divisor a cero. x-3=0 -> x=3 Este valo r de x lo reem plazam os en el dividen do y obtenemos el resto. • ^ 'V /?m =8(3-1)17-(1-3)¿ü +2(3) +1 ,20, (*) ffM=8(2)17-(-2 )¿u+7 20 M V S M = 23x 2 17- 2 z0+7 r ^ - z A i r m =7 Por lo tanto, el resto es 7. Clave Problema N,° 24_____ Halle el resto de dividir x3-1=0 -> x3^ Expresamos convenientemente el dividendo. D (x)=3x 9+ x 6+x 3-1 D(x)=3Gr3)3+Gr3)2+(x3)-1 Reemplazamos x^=1 y obtenemos el resto. R^=3(1)3.+{1)2+(1)-1 Por lo tanto, el resto es 4. C la v e Problema N.° 25 Halle el resto de x 5(x +1)5 + (2x 2 + 2 x - 3 ) 6 - 2 x + 2 x2+x-1 A) 2x-4 B) -2x+4 C) 2x-1 D) 2x+1 E) 2 x + 4 3x9+x6+x3-1 x2+x+1 B) 3 Resolución El divisor lo igualamos a cero. x2+x-1=0 -» x 2+ x=1 A) -1 D) 0 C) 1 E) 4
- 194. Expresamos el dividendoconvenientemente. D(X )=^(x+1)5+(2X2+2x-3)6-2x+ 2 Dw =Gr(x+1))5+(2(x2+ x)-3)5-2x+2 Dm =(x2+x)5+(2(x2+x)-3)5-2x +2 Reemplazamos x2+x=1 y obtenemos el resto. R{x)=(1)5+(2(1)-3)6-2x+2 /?m =1+ H ) -2 x +2 R{X )=-2x +4 Por lo tanto, el resto es-2x+ 4. [C lavel Problema N.‘ 26 Halle el resto de [(x-1)(x)(x +2)(x+3)f +(x2+2x) -x-50x x2+2x -5 A) 100X+50 B) 125X-50 C) 100X-50 D) 125x+50 E) 50X+100 Resolución El divisor lo igualarnos a cero. x2+2x-5=0 — > x2+2x=5 Expresamos el dividendo convenientemente. D, ,=((x-1)(x)(x+2)(x-h3))2+(x2+2x)3-x-50 x) Dm =((x2+2x-3)(x2+2x)) +(x2+2x) -x -50 Reemplazamos x2+2x=5 y obtenemos el resto. , /?m =((5-3)(5))2+ (5)4-50 ICO R(x)~125x+ 50 Por lo tanto, el resto es 125x+50. Clave PrriASfm A'-t1 '; “ >7 í .k « '■ ..« i- ,... < Halle el resto de dividir PM entre (x-1)(x-2) si el resto de P(x) entre x-1 es 5 y el resto de P,x] entre x - 2 es 7. A) x+4 B) 2x+3 C) 3x+2 D) 2x-3 E) 3x-2 Resolución Usamos el teorema del resto. rM x-1 r00 x-2 -> resto=5 -> resto=7 Tenemos que P(1)=5 y P(2)=7. A El resto de (x) 7 — 17/— 47es de la forma R,A=ax+b (x-1)(x-2) M porque el divisor es cuadrático. Á 99
- 195. Nos faltan losvalores de o y b, los cuales halla mos usando la identidad de la división. R, ■ PM ={x-'){x-2)qM +ax +b Evaluamos en x=1 y x=2. PM = fc _ 1)(x^ í d +ox+b RpcnJií :ion Esquema de la división D W W x2- ; «W El resto será de la forma ax-vb porque el divi sor es cuadrático. x=1: P(1)=a+¿> x=2: P{2)=2a+b Usamos la identidad de la división. V D(x) ={x2-x)q,^+gx+b ¿0? Como P(1)=5 y Pf2i=7, tendremos (2) P^=a+b=5 P(2)=2a+b=7 / " J P r* I * * • .¿ter Evaluamos en x=1 y x=0. x=0: (o2^ )p (0) +p{0)+b :»i, « -tí? - s; 'W J* jM De donde se obtiene o=2 y b=j:^,„m^ te il'tC - í ,% £ Í/ %t e t e > .« ;$ % = ^ ^ + a (D + ¿ te? •& a á v — Por lo tanto, el resto es 2x+3. Luego, reemplazamos estos valores en % RM=ax+b y tendremos R(x)=2x+3. ... -,/ — > Dq)— Q+b Clave Como D(0)=3 y D(1)=7, entonces Problema N.”28 Halle el resto de O,(x) 2 X - x (0 ) O(0)=k=3 -> ¿»=3 D(1)=a+b=7 £ 7+3=7 -> £7=4 si se sabe que O(0)=3 y Dm=7 A) 7x+3 D) x+3 h B) 4x+3 (D‘ C) 3x+4 E) 3x+1 Reemplazamos a=A y b=3 en R(x)=ax+b y ten dremos Pm=4x+3. Por lo tanto, el resto es 4x+3. Clave 2 <
- 196. Capítulo 5 Divisiónde polinomios Problema N.‘ 29 Calcule el resto de (x +1)1 Q Q+x +3 x 2+2x +2 Problema N.‘ 3G Si %) '¡ Rw son el cociente y el residuo de la división A) x+2 B) x+1 C) x+3 D) x-2 E) x+4 Resolución El divisor lo igualamos a cero. x 2 + 2x + 2 = 0 i —> x 2 + 2x = - 2 Expresamos el dividendo convenientemente. ^,M=(x+1)100+x+3 0 M = ((x+1)2) +x +3 D(X )=(x2+2x+l) +x+3 Reemplazamos x2+2x=-2 y obtenemos el resto. R{x)=(- 2+1)50+x +3 R (x)=X + 4 ; Clave • x 102+x1 0 1+x 2+x +1 x100+x " +1 calcule qi5)+R{6y A) 102 B) 64 C) 32 D) 99 E) 100 Resolución Expresamos el dividendo convenientemente. D{x)=(x102+x1 0 1+x2)+x+1 D[x¡=x2(x100+ x" +1)+x+1 Í’ ' ^ : i : - r:> i Esta es la identidad de la división, entonces el cociente es qw=x2 y el residuo es /?w =x+1. Luego q {S)= 25 y /?(6)=7. % ) +^(6)=32 : C/ave
- 197. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO Haitela suma de coeficientes del codemte ioego de cíy5dir 2x* +7xz - ¿ x - 3 A) 4 B) -15 n '— y ¿x2 -x~ 3 D) -4 A) 2 Q -2 (S . 5 ¿rilaHr »PwU'l/ rtU si D) O E) -3 Z ^ -x'lor-h(3o--4)x-3ó--6 Luego de dividir 3x3 > r+ 2x— 1 halle el valor de/1 , si se sabe que el residuo es15*~6. A) -1 D) -3 B) 0 Q 1 E) 4 3. Al dividir x z + x-2 se obtiene que el residuo es 5x. Halle el valor de a. A) 6 D) 16 B) 5 C) 2 E) 10 4. Al dividir x 3-H0x2-f/m-t-30 x2+7x +10 se obtiene que el coeficiente del término li neal del residuo es uno menos que el térmi no independíente del cociente. Calcule m. A) 33 D) 41 C) 21 E) 20 C 5 5. Csüoufe Q+b si © 1 po n.om'o x -i-ax+b es divisible entre x — 4. i.o 2 w r-o x - se obtiene que el reste es R. =0. Calcule a-i-b. A) 0 D) -1 B) 1 7. Calcule m sí !a división 4>r-2xz -2x+(m +10) x - 2 O - 4 E) 4 es exacta. ' A) 20 ••••' D) -10 B) -20 Q -30 E) 10 8. Del esquema de Rufñni _ | 3 b 1 d C J * 12 c 100 3 6 25 120 calcule a+b+c+d. A) 40 B) 38 D) 42 C) 50 E) 30 9. Si al dividir (n /3 - l) y 3+ n /2v2 + (72 - f 2 )x +4 x-¡2 se obtiene como residuo (m-1), halle el va lor de m. A) 2 D) 1 B) 3 k B) 31 C) 4 E) 7
- 198. 10, Calcule elresto de 15. Si al dividir x1 Q 0+5x20 +(x +1)4 x — 1 A) 18 B) 15 C) 16 D) 22 E) 12 11. Halle el resto de (2x -3 )21+(x -3)4Q+7x x - 2 A) 8 B) 7 C) 14 D) 16 E) 21 12. Halle el residuo de (x2-2) +(x2-4 ) + 30 X x 2-3 A) x+2 B) 2 - T Ì C) 2+T i D) TÍ E) 2y+ 2 13. Halle el resto de (x2-fx -4 ) - (x +5 )(x-4 ) x2+x - 2 A) 34 B) 36 C) x-36 D) 32 E) x-f34 14. Halle el resto de [(x +7)(x-1) +15]2Q3-fx2+6x (x +2)(x +4) A) 8 B) -8 C) -10 D) 16 E) 6 (x - 4)20+(x - 6)3 1+c - 4 x - 5 el resto es 10, calcule c. A) -5 B) 4 C) 14 D) 10 * E) 5 15. Si la división ,,m+4 ,.100 a - y genera un cociente notable, halle el valo r de m. A) 150 B) 100 C) 26 D) 29 E) 10 Si Xa- y ^ 4 x 2 - y 4 genera un CN de 15 términos, calcule b-a. A) 30 B) 24 C) 26 D) -24 E) 56 y200 _ ..160 18. Si y . x 3 - y 4 genera un CN, halle el grado del t20. A) 96 B) 187 C) 200 D) 176 E) 196 19. Si la división - —— x +1 genera un CN , halle el g rad o del térm ino central. A) 20 B) 23 D) 25
- 199. COLECCIÓN ESENCIAL 20. Siel término de lugar 9 del desarrollo de es xp+4-yq~2, calcule q-p. x48- y 96 x2- y 4 A) 9 B) 6 C) 8 D) 19 E) 16 21. La división (x-f 3)8- 3 8 x genera un CN. Calcule el t6 evaluado en x=-2. A) -3 6 B) 37 D) 35 / E) 3® / :■ v '• • L Halle el residuo en i y ” . 1 '•:*> - '-í 1 i ! x 5+2x +3 j w " £ i x2 -1 ^ j W V v- j s v... / A) 3x D) x+3 B) -3x C) 6 ... 25. Halle el resto de la división (x +1)4 +11 x 2+ 2x-2 A) 27 D) 25 B) 39 C) 40 E) 20 26. Si un polinomio cuadrático y mónico es dividido entre (x+2) y (x-3), se obtiene como restos a -6 y 19, respectivamente. Calcule el término independiente del po linomio. A) -8 D) 8 B) -6 C) 6 E) -2 27. Si un polinomio cuadrático es dividido entre (x-f1) y (x-2) se obtiene como restos y .. 7 y 49, respectivamente. Halle la suma de f coeficientes de PM si se sabe que el coefi- 23. Halle el resto de x 6 0 + x 4 + x 2 +3 x 4 -1 E) 3X+M, íc - $ fr % r_ a / B) x2 C) 5+x2 E) x¿+3 A) 6 D) 8 24. De la división x 5 0 + 2 x + 1 x2+1 halle la suma de coeficientes del cociente. A) 2 D) 4 B) -1 C) 3 E) 1 'O r ie n t e d e su té rm in o lin e a l e s 2. B) 10 s & > A) 8 D) 16 C) 9 E) 1 1 28. Si al polinomio Q m =x 6+ x 2 - 2x +3 se le incrementa una cantidad b, su residuo al dividirlo entre x-f 1 será 47. ¿Cuál es el valor del cuadrado de 6? A) 100 D) 1600 B) 400 C) 64 E) 900 29. Calcule el resto de 10 (x2+3) + 2 x 16 + x 18- 2 x 2 x2+2 A) -4 D) 4 B) 2 C) 5 E) 3
- 200. Capítulo 5 Divisiónde polinomios 30. Calcule el resto de 5(x4-3)(x4-5)+(x4-6)(x4-2)4-x(x4-7)(x4-1)(x4-8) (X4-4)2 A) -146 B) 140 C) 135 D) -16 E) 16 31. Calcule el resto de x 1004-2x24-3x -1 X — 1 A) 2 B) 6 C) 4 D) 5 E) 3 32. Si el polinomio P(x)=x4+X+m J2S divisible porx4-3, calcule m. i 1 A) -84 B) -81 C) / D) 84 " e> 81 33. Calcule el resto de < 4f‘ X104-X24-X4-2 * x 2-1 V - ;,. ^ . > • % A) x -4 B) X4-2 C) X4-4 D) X4-3 E) x-2 34. Calcule el resto de x 84-x7 4-2x64-x3-1 x 2-3 A) 30x+125 B) 28x4-134 C) 28x-134 D) 30X-125 E) 30x+134 35. Calcule el resto de (x4 -t-l)(x4 -í-2)(x4 +3) 4 -x A) 25 B) 23 C) X4-24 D) x+23 E) X4-25 36. El resto de la división (x-2 )54-(x-3)54-x V ' (y-2)(.v-3) es 0x 4-¿7 . Calcule a-b. A) 2 B) 8 C) -2 D) -8 E) 1 C la v e s 5 ü 9 13 A 17 C 21 D 25 ’ T " 29 C : 33 C 6 B 10 D 14 tí 18 D 22 f 26 í 30 (. : 34 r 7 C 11 D 15 C 19 E 23 C 27 e 31 c : 35 c 8 D 12 A 16 C 20 C 24 r- 28 O 32 C j 36 B
- 202. En la actualidadnos hallamos frecuentemente conectados a internet y a las redes sociales mediante un ordenador o un Smartphone, ya sea para comunicarnos con otras personas, compartir información, hacer transacciones bancadas, etc. Gran parte de la información que colocamos en internet es personal y es necesario buscar la manera de protegerla de terceros que puedan aprovecharse de ella en perjuicio nuestro. La encriptación juega un rol importante en este proceso, ya que permite ocultar nuestra información mediante el cifrado o codificación de datos. La encriptación está relacionada con la factorización de números enteros, cuya complejidad permite que sea difícil decodificar los datos y los hace más seguros. La factorización de polinomios tiene relación con la factorización de números enteros, ya que ambas consisten en lo mismo, que es descomponer los datos como una multiplicación. Aprendizajes esperadas • Entender el significado de factorizar un polinomio. • Conocer los conceptos de factor, polinomio primo y factor primo. • Identificar los métodos de factorización, principalmente el método de aspa simple que se usa para factorizar polinomios cuadráticos. • Aplicar el método de divisores que se usa principalmente para factorizar polinomios cúbicos. ¿Por qué es necesario este conocimiento? Al factorizar un polinomio lo descomponemos como una multiplicación y contribuye cuando queremos resolver ecua ciones o inecuaciones polinomiales. Por ejemplo, para resol ver una ecuación cuadrática debemos factorizar el polinomio cuadrático con el método del aspa simple.
- 203. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores //>(lihport«nti'E^ ! Así! como, un número- se, puede • •: ■deseompo.net;; como- una. multi- ; plicacion de otros, números, un ■ i polinomio) puede descompo- perse como la-multiplicación de i ot-o s-polinomios.' i ' p k v p lo s . ü 1 t5-5,x3, ISlllH V ^-9=(*+3).(x-3). / ? , ; { No olvíde La propiedad- .! a2- b z~{a +b){o- b) W A !• se llamadiferencia,de euadrados,. F a c t o r i z a c i ó n de polinomios 1. CONCEPTO Se llama factorizar un polinomio al proceso de descomponerlo como una multiplicación de otros polinomios llamados factores. Ejemplos 1. El polinomio P^=xz-9 con la propiedad de diferencia de cuadrados se factoriza como: r (x) x 3 P{x)=(x+3)(x-3) Por lo tanto, hemos expresado P ix) como una multiplicación. 2. El polinomio P(x)=x,2+5x +6 se factoriza como P(x)=(y+2}(*+3) Por lo tanto, cuando multiplicamos x + 2 con x + 3 obtene mos el polinomio P{x)=x¿+5x+6. 3. El polinomio P(X )=x2-16 mediante la propiedad de diferen cia de cuadrados se factoriza como P[x) =(x+4)(*-4) factores 1.1. Factorización sobre .i Se llama así cuando en la factorización tanto el polinomio que se facto riza co m o sus facto res, son p o lin o m io s co n co eficie n te s enteros. Ejemplo El siguiente polinomio tiene coeficientes enteros. Plx)=/+Sx+6
- 204. Factorizamos Pw=(x+2)(x+3) í Sus factores tambiénson polinomios con coeficientes enteros. Cuando factoricemos un polinomio tanto el polinomio a facto- rizar como sus factores debe tener coeficientes enteros. 2 FACTOR DE UN POLINOMIO Cuando factorizamos un polinomio P(xj lo que hacemos es ex presarlo como una multiplicación de otros polinomios. A estos últimos les llamamos factores del polinomio P(x). Ejemplos 1. El polinomio PM=x2-16 se factoriza como P=(x+4)(x-4) Los polinomios (x+4) y (x-4) son los factores de P(xy Este polinomio también se factoriza como Pm =(1)(x2 --|6) Por lo tanto, los polinomios 1 y x 2-16 también son factores de P(x). 2. El polinomio Q(x) =x2+7x+12 se factoriza como Q(x)-(x+3)(x+4) y también como Qw » ( V(¿+7x+Í2) Por lo tanto, los polinomios x+3; x+4; 1 y x2+7x+12 son sus factores. El conjunto de jos enteros es -3; -2; -1; 0; 1 ; 2; 3;...} ' ■1 r y lq$ números' como v3; -n no son números enteros. El^polinonqjo Pw=x¿ -3 puede factorizarse como No contaremos con esta fac- torización porque sus factores i x +V§ y tienen coeficien- u tes que no son entecos, y hemos indicado que solo considerare mos polinomios con coeficien tes enteros. Todo poli|^pnrio P(x ) se puede factorizar como <
- 205. cociente lesro Observamos queel resto es igual a cero, con lo cual compro bamos que al dividir un polinomio entre uno de sus factores la división es exacta. Observamos además, que el cociente de la división es x+5. Este cociente representa el otro factor de P ^ . Entonces Pw = x 2 + 8x +15=(x +3)(x +5) L 1 2.1. Relación de ia factorización con la división Si un polinomio se divide entre uno de sus factores, la división es exacta. Ejemplo El polinomio P^=x2+8x+15 se factoriza como Pw=(x+3)(x+5) ■ Q I T factores Dividamos P(x) entre su factor x+3 para comprobar que la división es exacta. No olvíde un número entero se como una multi plicación, sus factores se llaman divisores. Ejemplo ' 14=2x7 / , V/ 'M¡ j |. Sí dividimos un número entero entre uno/de sus divisores, la división es exacta. Lo mismo ocurre con los polinomios.- Rct6.al.uaber |:)í !¡.> P .
- 206. Capítulo 6 Factorízaciónde polinomios A p l ic a c ió n 7 Un factor del polinomio P{x)=xi +2xz+x-m es (x-1). Halle el valor de m. R e s o l u c ió n P Si dividimos — la división será exacta. x-1 Aplicamos la regla de Ruffini. Como es una división exacta, el residuo es igual a cero. -m +4 ='0 m=4 A p l ic a c ió n 2 Si x-2 es un factor de x ]0+x-m, calcule m. R e s o l u c ió n 10 x +%— rn La división------- -— es exacta. x - 2 Aplicamos el teorema del resto. «M =21 °+ 2-m Como es una división exacta, entonces R(x)=0 210+2-/r? =0 1026-/r? =0 x3+2x2+x - m x-1 1 2 1 -m X=1 I 1 3 4 r r * * * 4 -m + 4 ^ ■ ■ v y - Y v ::: cg ■ et ‘iG:ti• _¡ re s to ; ccoe nte| Como un divisor de 135 es 5, entonces 135= 5xd ¿Cómo encontramos d? Lo encontramos al dividir 135 0 5 _ 27 Observamos que d es ¡guai a 27 y representa el cociente al dividir — ■ 5 ' Lo mismo ocurre en los polinomios. /. m = 1026
- 207. COLECCIÓN ESENCIAL ? ■ . /;' ■* ' í.: -.V 1 • . - Lumbreras Editores i 2.2. Factorización trivial i Cuando un polinomio se factorice como la multiplicación ; de un factor constante por otro factor no constante, a esta i factorización se le llamará factorización trivial. Ejemplos No olvidé En los polinomios, los números re- j presentan polinomiosconstantes. Ejemplos • 5; 1; 2;;... Importante Ua polinomio' es: no constante cuando, su grado es mayor o. iqual: que I. m "■ lili il i u ' ŸJ/ i; ¡•i ' ; í ;. : ■i n '/// x /: i V / / ¡x.+5 x2>2x +3 (grado-2} x3+5 (grado 3), i i x2+3x+2=(1) 0^+3^+2) factor factor no constante constante 2^+6= (2) (^+3) T ~T~ factor factor constante no constante 5x+5y= 5 (x- T - ■ > factor. ‘acier : constante no constante 2.3. Factorización no trivial. Cuando el polinomio se descomponga como una multiplica ción de factores no constantes, lo llamaremos factorización no trivial. Ejemplo %% j Sea el polinomio P =x2-9 r (x) x y su factorización trivial es PM= (1) Cd-9) I i factor factor constante no constante su factorización no trivial es PM=(x+3)(x-3) facióles no constantes
- 208. Capítulo 6 Factorizadónde polinomios 3. POLINOMIO PRIMO Un polinomio no constante es un polinomio primo cuando no puede descomponerse como una multiplicación de dos facto res no constantes. También se le llama polinomio irreductible. Ejemplos 1. ¿El polinomio P^=x¿+6x+5 es primo? Este polinomio puede factorizarse como la multiplicación de dos factores no constantes. P(x]=(x-f1)(x+5) no constantes Por lo tanto, este polinomio no es primo. 2. ¿El polinomio P^=xz+3 es primo? Este polinomio se íactGriza como PM= (D (T+3) f . t factor tac,;::! constante no censúa-te - ¿Es posible factorizar este polinomio como la multiplica ción de dos factores no constantes? No es posible. Por lo tanto, es un polinomio primo. Propiedades a. Todo polinomio lineal es primo. Ejemplos P (x)~X + 3 Qm =2x +1 b. Un polinomio cuadrático de la forma P{x)=>r+m donde m e Z+es primo. Ejemplos • PM=>?+S ' • « « ^ + 9 . Un polinomio primo es, como mínimo, de grado uno (lineal). Para saber si un polinomio es primo, debemos preguntar ¿Puede descomponerse como una multiplicación de dos facto res no constantes? Si la respuesta es sí, entonces no es primo, S¡ la respuesta es no, quiere decir que solo puede factorizarse en forma trivial, entonces, será un polinomio A3
- 209. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores c. Un polinomio cuadrático de la forma P(x) =xz-m donde m e Z +es primo cuando m no es un cuadrado perfecto. Ejemplos Qm ^ - 5 polinomios primos 4. FACTORES PRIMOS Sea un factor del polinomio P(v. Si es primo, entonces lo llamaremos factor primo de P(x- y n la factorizacion dé. un polino- nio cuando descompongamos, -'todos, los factores, y ya no sea posible’ descomponerlos i más, .;', habremos expresado dicho po linomio como una multiplica- Tí - g F/W y I , ; Mn *1; ’ i ¡ cion de factores primos... Ejemplos 1- Pm =x3-16>í »•«— 1 ... Factorizamos p M =M (4-16)- El factor x, como es lineal, es primo. Pero, el factor*2-16 no es primo ya que puede descompo nerse como x2-16=(*+4)(*-4) Entonces PM=(x){x+4)(x-4) L X J factores primos Notamos que los factores x+4 y x - 4 son lineales, así que también son factores primos. Por lo tanto, P{x) tiene tres factores primos los cuales son x; x+4 y x-4 . 2. Q(x) = (x -5 )(x 2+ 2)(x2-36) Observamos que El factor x-5 , como es lineal, es primo.
- 210. Capítulo 6 Factorízadónde polinomios El factor x +2 por su forma es primo. El factor / - 3 6 no es primo y se descom pone como (x+6)(x-6). Entonces PM=(x-Sjíx2+2)(x+6)(x-6) tactores pnmos Por lo tanto, Q(x) tiene 4 factores primos, los cuales son x-5; x2+2; x+6 y x-6. 4.1. Objetivo de la factorización c Cuando se factoriza un polinomio, el objetivo es expresarlo como una multiplicación de factores primos. Ejemplos 1. El polinomio Pm =x4-13x2+36 se factoriza de la siguiente forma: Pm =(x2-4 )(x 2-9 ) i______ ¿Estos factores son primos? Observamos que los factores x 2-4 y x 2-9 no son primos ya que se descomponen como • x2-4= (x +2)(x -2) • x2-9=(x +3)(x -3) Luego Pw =(x+2)(x+2)(x+3)(x-3) F T T factores primes (son lineales) Por lo tanto, hemos expresado a PM como una multiplicación de factores primos. 2. En el polinomio Pw =(x2- l) (x 2+3x) El factor x -1 no es primo, ya que se descompone como (x+1)(x-1). ■ o _ El factorx +3x tampoco es primo, porque se descompone como (x)(x+3). Luego p(x)=(>?+1)(x-1)(x)(x+3) factores primos (son lineales) De este modo, hemos expresado a P, como una multiplicación de factores primos. 4.2. Conteo de factores primos Para poder realizar el conteo debemos expresar el polinomio como una multiplicación de factores primos. Ejemplos 1. P(x)=5*2+10x Factorizamos P(x)=s (x2+2x) 5
- 211. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Luego Pw =5(x)(x+2) Los factores x+2 y x son factores primos porque ambos son lineales, pero el factor 5 no es un factor primo porque es constante. Por lo tanto, P(x) tiene dos factores primos que son x+2 y x. 2. Pm =M(++3x) :. í ' . ' ..............:................................ ,, [ * veces los factores primas se y; +f • repiten, en tal caso se cuentan • I solo una vez. ;. ™ E r ./ ; a .2 ■ : nW m ¡Cuidadol Cuando un factor tiene un ¡ exponente mayor o igual que 2, i dicho exponente indica que el i factor se repite, i Ejemplos 1i *f / / ■í{/// ;é. f // Ú'ííxS's'/y/v f . / / t // I / . (* +l)2 =(X4 1)(X+1) Factorizamos /V=(*)-M -(*+3) Luego P (x)=X2 -(x+ 3) Los factores x y x+ 3 son factores primos porque son lineales. En el factor x, no tomamos en cuenta su exponente, ya que solo indica repetición. Por lo tanto, P(x) tiene dos facto res prim os que son x y x+3. 3. N{x) =( x 2 + i)(x2-25) Factorizamos A/(x) =(x2+1)(x +5)(x - 5) Los factores x+5 y x-5 son primos porque son lineales y el factor x 2+1 es primo por la forma que tiene. Por lo tanto, el polinomio tiene 3 factores primos. 4. Qm = x 3(x +5)2(x +7)4 Los factores primos de Q(v)son x; x+5 y x+7. Observamos que sus exponentes indican repetición, enton ces no los tomaremos en cuenta. Por lo tanto, este polinomio tiene 3 factores primos.
- 212. Capítulo 6 ■ ______ Factorizaciónde polinomios ____.____ ________________ _ 5. Rm =(x 2- 4) (xz +2x) Factorizamos Rw ={(x +2 )(x-2 )f(x)(x +2) RM =^ ^ M (* +^ ¡a misma base R{x)=(x +2)A(x-2 )3[x) Los factores primos de R(x) son x+ 2;x-2 y x. Por lo tanto, hay 3 factores primos. 6- M (,;y )= *y (*2- y 2) / Factorizamos •í f *¿ M (xy) = * y ( x + y ) ( x - y ) Por lo tanto, hay 4 factores primos, los cuales son ^ y x + y y x - y . 5. MÉTODOS DE FACTüftI7ACÍ óN 5.1. Factor común Este método está basado en la propiedad distributiva de los números reales. ( ' } ¡ aib +c)=Gb~ac ¡ Para factorizar un polinomio usaremos esta propiedad de la siguiente manera: a b + a c = a [b + c ) Debemos identificar un factor que se repita en todos los términos del polinomio, al cual llamaremos factor común. Factorizamos el factor común y el polinomio quedará expre sado como la multiplicación de dicho factor común por otro. En una multiplicación de bases igua'es se suman los exponentos. Ejemplos * (x+2)3(*+2)1= < x +2)4 • (x+1)3(x+1)2=(x+1)5 * t*+3)V+3>2=(*+3)? • (x - V 2( x - l)A=<x-V6 En el valor xy un error común es pensar que representa a un o factor primo, cuando en reali dad es la multiplicación de dos - factores primos. Ejemplo : * *y=(*)Q4
- 213. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores l y/fctmjAviém ” V '‘ ‘ .> *...» y* ,< < „,,, ,,,,.r... ¡ IEn la factorización se usan íos 7 paréntesis, para, indicar múltiple cación. ' ■ *1 1j¡7//¿ i Ejemplos.' 'y í ]fNI¡ 7 * • 15={3)(5) ¿ Ijtó® íi í j ! I í H U Í ¡11i i í IJ.... ™ .■]v> ^ji=(x:+l);(x-1); ¡CuidadoJ ■ í. - » . .'* * .* y j- . 4 * * « . » i ^ a :;C ■ :l En el. polinomio •'í- :P ¡ , ; A 'V///// PM =>C+x- : ■ > .' • j • ; ; v r 5 ' 0 V ///, / E3= cuando factorizamos x; eli o tó " .¿C. *ú liLú tl:iÍÍJÜ i fV.-V =j= factor será:x+1; y tendfemosj i | /y j^ É f jlilf IIr Ejemplos l P( j=2xy+3x I___J x es un tactor común. Factorizamos x Pfcy)=M(2y+3) Observe que el otro factor (2y+3) es lo que queda del po linomio 2xy+3x luego de quitar*. 2. P(icy)=x¿+5x+2xy Como x2=x-x Entonces P{>ry)=x-x+Sx+2xy Cuando;factorizamos * Jo que queda es x+'5 +2y que será el otro factor,: . Fx.y) =(x)(x+ 5 + 2 y ^ ^ k : ;V ~ 3. P(o ;¿)=o3+c ?2¿ > +5o2 s "tí P(a. b) =a -a+o b+Sa ' L _ 1 T factor común El factor común es a2 y al factorizarlo el otro factor será a+b+S. , 2/ P(a,b)=a‘ (o+b+S) 4. P,„,=2a5+3a3+a4 (o)' P(n)=2a2-a3+3a3+aa3 T T T factor común P(a)=o3(2o2+3+o)
- 214. 5- Pl< r, b)=0^+2bS+b6 P(o.b)=abA+2b-bA+b2bA factor común P(0;¡))=b4(a+2b+í>2) 6- P(o;f , f a b + a Tenemos que a=a-1 Entonces p(a-w=r?6+ a-1 I _____I factor común Factorizamos a y queda ¿ >+1. P(o; W=a(fc* 1) í|' , í ....................... - .......... I % W | , f A , 5.2. Agrupación de'tármnKv?; : 'v Consiste en aqrupar los términos del polinomio, de tal modo que en cada grupo aparezca un factor común. Luego, aplicamos el método del factor común. ,/ Ejemplos ^ X * / 1. P(y.^ =x +x‘y + y ‘~x+y3 r < ? y p(x;y) = x2(x+y)+y2(x+y) ¡actor común 2 , ,2 s P(«;y)= (x + /)(x 2+ y 2) 2. p(v) =^3+5x24-2y +10 P(X j=x2(x+ 5)+2(x+ 5) 1 factor común Pm =(x +5)(x 2+2) 9
- 215. RétòillaEièrr: En la clasede álgebra, el profe sor pidió a sus alumnos factori zar el polinomio P(ky)=xz+xy+x Juan lo factorizó como P0cy)=x(x+y+ ) . , - | .i I .- : rÍ3i3¿ •-—— - Miguel lo factorizó como . fk r i =x< x+ > '> • María lo hizo como ^ .y) =x(x+y+1) ¿Quién factorizó correctamente el polinomio? Agrupar los términos en un poli nomio no es una tarea fácil. Hay que buscar diferentes formas hasta encontrar una donde apa rezca unfactor común. 53. Identidades Las identidades que se vieron en el capítulo de productos notables son muy útiles para factorizar polinomios. Además, se usan en combinación con los métodos de factor común y agrupación. 5.3.1. Binomio ai cuadrado a. ' ------------------- a~ +lab -i-// = (a -i-b f b. i a 2- l a b i l x ~ ( a - b y ! í___________ :____ J Ejemplos 1. P^=x¿+6x+9 ••• PM=(x +3)2 2. 0 m =x2 - 2 x +1 :?■ • • • o :i,=í.v~ir '(*) 3- P(x; y) = XZ+2xy+y¿ +5(X +y ) P{x.y)= {x +y)2+5{x +y) P{x.y ]=(x +y)(x,+ y)+5(x +y) P,x.y) =(x+y)(x +y+5) .2 4. R¡ . ) =x 2+4xy +4y2+3x +6xy V------------------------------- y------------------------------- / V----------------y - - - - - - - - - - - - - - - - - R{x]y)=(x +2y)2+3(x +2y) R(x;y) =(x+2y){x +2y)+3(x +2y) R(X.y )- (x +2y)(x + 2y + 3) 5. =a2+2ab+b2+6a+6b+9 Q(a:b)=(a+b)2+6{a +b) +9 ••• o(0,w =(a+b+3)2
- 216. Capítulo 6 Factorlzaciónde polinomios 5.3.2.Diferencia de cuadrados 8. R{a.b) =az +b2-2 a b -4 % 4 r 4 4 l a "-b ‘ ={a+b){a-b) %-m = (a - b f- (lb 2í Ejemplos R{a.b]= (a-b +7b2){a -b -7 b 2) 1. x2- 3 2=(x+3)(x-3) 9- N(0;6) = 04 - 6 4 2. x2- 5 2=(x+5)(x-5) N(a-.b) =(a2? - { b 2? Nla:b)= (q2 +b2)(a2 - b 2) 3. x2-(3 y)2 =(x+3y)(x~3y) N[a.b)={a2+b2)(a +b){a-b) 4 (y3) - ( y 2) = (x3+ y2)(x 3- y 2) 5.3.3. Suma de cubos 5‘ P [x;y) =x2+2xy +y2~25 ! ¿y ^¿r =(n + d)íi72-ab-r b ) ¡ V P(x;y)=(X+y)2~52 P{x:y)= (x+ y+ S)(x+ y-S) 6. /?(x;y) = x 2- y 2+i0 y -2 5 ' W r * 2- ^ - 5»2 Rlx;y)=(x+ y - 5')(x - (.y - y ) R(x,y)=(X+y - SKX - y +S) 7- M(X;y )==x2- y 2+2x+2-y M(x;y) =(x +y)(x-y) +2(x +y) Ejemplos 1. x3+23=(y+ 2)(x2-2y+ 22) 2. x 3+13=(x +1)(x2-x+ 12) • 3. x3+(3y)3=(y +3y)(y2— 3xy +(3y)2) 4 Q( ^y)=8x3+125y3 ^x;y)=(2x)3+(5y)3 P(x;y) =(2x+3y)((2x)2-(2y)(5y)+(5y)2) Q(jCy)=(2x+3y)(4x2-10x/+25y2) 3- Px.y)— x +27 +2x +6 P (x;y) ~(x +3)(x2- 3x +9)+2(x +3) P(x; y) = ■ ■ (*+3)(x2- 3x +9+2 ) • *- P(X;y) = (* + 3)(x2-3x + 1l) ” A ^ (X;y) =(x +y)(x - y +2)
- 217. 5.3.4. Diferencia decubos ! a3- Ir =(o~b)ía2+ab +b?) Ejemplos 1. x3-13=(x-1)(x2+x+ l) 2. x3-2 3=(x-2)(x2+2x +4) 3. P(;f:y) =(x+1)3-27 P(x;/) = (x +1)3-(B)3 P(x;y ) =<X+1-3)((X +1)2+3(X +1)+32) P(x;y) =(x -2 )(x 2+2x +1+3x +3+9) • • • P,x;y)= (x-2 )(x2+5x +13) 4. P(x;r)=8x3-125y6 P(x:y)=(2x)3-(5 y 2)3 X .J S + ' P(„;y)=(2x-5y2)((2x)2+(2x)(5y2)+(5y2)2) R[x.y) =(2 x-5 y2)(4 x2+10xy2+25y 4) A p lic a c ió n 3 Factorice el polinomio e indique el número de factores primos. Reso lu c ió n Al factor x2-)/2 lo descomponemos como (x +y )(x -y ). Al factor x3- / 3 también lo descomponemos como (x - y) (x2+xy +y 2). Luego W ( * 2- r 2)(* 3- y 3) P[x. y) = (x+y )(x - y)(x - y )(x2+xy +y 2) y P (x;y) =(x+y)(x - y)2(x2+xy +y 2) Notamos que el factor x+y es primo, porque es lineal. En (x -y )2 el factor primo es x-y. Además su exponente solo indica repetición. El factor x2+xy+y2 también es primo, ya que no puede descomponerse como una multipli cación de factores no constantes. Por lo tanto, P ^ .y ^tiene 3 factores primos. A p lic a c ió n 4 Factorice P(x)=x4-81 e indique un factor primo. Re so lu c ió n Aplicamos la diferencia de cuadrados en el polinomio Pl;< y PM=x4-81 Pm=(x2)2-(9)2 P(x)=(x2 +9)'(x2- 9) Observamos que El factor x2+9 es primo. El factor x2-9 se descompone, con la misma propiedad, como (x+3)(x~3).
- 218. Capítulo 6 Entonces Pw =(x2+9)(x+3)(x-3) Los factores x+3 y x-3 también son primos por ser lineales. Por lo tanto, un factor primo de es igual a x2+9. 5.4. Aspa simple Este método se usa para factorizar principalmente los polino mios cuadráticos de una variable y también a otro tipo de po linomios. Consiste en descomponer, los términos extremos como una multiplicación, de modo que al multiplicar en aspa y sumar el resultado sea el término del centro. p(xr(x+ 3 )(x+ 2 ) Cuando un polinomio tiene los coeficientes negativos debemos tener cuidado tanto al multipli car com o al sumar, ya que e5 muy frecuente equivocarse al realizar estas operaciones. 2. R(x)=12x 2 +31x +20 a .. c —► ir>/ 31x Rm =(4x +5)(3x +4) 3. Q(x)=5x2+7x +2 7x /. Qw =(5x+2)(x+1)
- 219. * ' 1IHMMIIU llllllillii'í' iM lliiPII i Vrur iifir'" -¡ y11 i ”'m :r ... ~ — COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores 4. M{x)=2xz+9x-35 9x Hm =(2x -5 )(k+7) Para aplicar el método del aspa doble especial, el polinomio oeoe estar ordenado decrecien temente y si falta algún término : e debe completar con cero. Ejemplo P(x)=JÍ'i+)<2+1 Completamos los términos que le faltan y tendremos P(x )=x4+Ox3+x2+Ox+1 5. A/m =x2-5x -36 x • ..- 9 -9x X ' 4 —> 4x J -5x N (x f=(x-9)(x+4) 7M=5x2-26x-24 5x +4 4x X -6, — -30x -26x ... rM = (5x+ 4)(x-6) 7- r)= 3>^' •x X * x -3 y --- -15xy - c -14xy Ahora ya podemos usar el método del aspa doble especial. i i (*) =x4+0x3+x2+0x+1 A /> = (x2 +x+l)(x2 -x + l) /. Ax;y) =(5^+y)(^ —3y) 8. B( v=x4+lx ¿y z+12y4 y y . 3 * y x2 '' ^ 4y2 —► 4x2y 2 e(x;y) = (-^2 +3y 2) (x2 +4r 2) 9. PM= / - 3 f- 1 0 x2 J - 5 — » -5 X 2 x2 ' ' 2 —* ► 2X2 * - 3 X 2 Pm = (x 2 - 5 ) ( x 2 + 2 )
- 220. 10. ffM=x3+5x2+3x'+15 X2. 3 3x X5 - Sx1' s/+3x P(x) =^ X2+3)(x +5) 11- M()cy)=xy+2x+3y+6 X , 3 -> 3y y"" 2 -► 2x * 2x +3k ••• =(x+3)(y+2) ÿ v 12. Bm =x4- 5/4-4 -5 x2 Entonces Sm =(x2-4)(x2-1) fíM=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1) Aplicación 5 Indique la suma de factores primos no comunes en • Pw =*2+3x +2 • Qm=2x2+7x+5 • /?w=3x2+4x+1 . R e s o l u c ió n Factorizamos con el aspa simple. * Pw =x2+3x+2=(x+2)(x+1) • Q{x)=2x2+7x+5 =(2x+5)(x+1) « /?f;,-=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1) El factor en común es x+1. Los demás factores x+2; 2x+5 y 3x+1 son los factores no comunes. /. (x+2)V(2x-r5) +(3x+1)=6x+8 A p l i c a c i ó n 6 Factorice el polinomio P(y)=x(x+1)(x+2)(x+3)-24 e indique la suma de los términos lineales de sus factores primos. R e s o l u c i ó n Como el orden de los factores no altera el producto, entonces reordenamos Pw =x(x+1)(x+2)(x+3)-24 Multiplicamos convenientemente. P{x) =xjx+3) (x +1)(x +2)- 24 P(x)= + (x2+3x +2)- 24 Ahora, hacemos el siguiente cambio: x2+3x= m
- 221. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores . . . . ' ’ ' k ■ " . ■ * * i ^ ¿i.* ' *V ,! • Cuando se aplica el método del ; i • -i ' aspa doble especial, al inicio, es difícil saber cóm o descom poner los términos. Por este motivo, se deben analizar distintas posibili dades hasta encontrar una que cumpla con el método. I i I ; Luego P(x)=(x2+3x)(x2+3x +2 )-2 4 m m P{x)={m){m+2)-24 P(X)=m2+2rr?— 24 PM=(/7)+6)(m-4) Reemplazamos m por^ +Sx. P{x)=(m+6)(/n-4) 1 •n • -» S sá & ÍW ’ 4 *I> X JA Luego P(X )=(x2+3x+bíGr2+3 x-4) y +4 y ^ - 1 P(y)=Gr2+3x+6)(x+4)(x-1j Observamos que el factor x2+3x+6 no puede descomponerse con el aspa simple, entonces es primo. Asimismo, los factores x+4 y x-1 son primos por ser lineales. Además, hay 3 factores primos y nos piden la suma de sus términos lineales. Factores primos Términos lin fa u s x 2+ 3x +6 3x x+4 x x-1 x 3x+x+x=5x
- 222. Capítulo 6 Factorizacíónde polinomios 5.5. Aspa doble especial Este método lo usamos para factorizar polinomios de cuarto grado y de una variable. Ejemplos El siguiente polinomio lo factorizaremos con este método. P(x)= /+ 5y3+15)í2+23y-i-20 Descomponemos los términos extremos como una multi plicación. En el caso de x4 va como y en el caso de 20 va como 5x4. Pm =x4+5x3+15x2+23x +20 i i x2 5 x2 ....4 Multiplicamos.en aspa y luego sumamos para obtener 9X2. P(x)=x4+5X3-f15x2+23x+20 ,•9X2 y. f & 'fr Posteriormente restamos el término central con -9X2. p m = A L~ .cc— I +23x+20 5 4 9X2 x2 ^ x2 Y tendremos 15x2-9 x2=6x2 Este nuevo resultado, que es 6X2 será descompuesto en el centro. P(x)=x4+5x3+15x2+23x+20 x2 2x 5 x2 3x 4 ^óx2 i‘.Multado de I V -9*“ cuando se descomponen los ( términos se debe tener cuidado h con los signos. Ejemplo * U -20=Í+5H~4). El numero cero se descompone como 0=0x0 pero también como 0=0x ( ) A * -o 4 í^ > i f ¡Cuidado! y
- 223. COLECCIÓN ESENCIAL bi divisor tambiéna un factor lineal. El objetivo de esta descomposición de los términos, es que al final se cumplan las siguientes aspas simples: Pm-/+5x3+ 1 5 x2+ 23x+ Z0 I 6X2 Los factores de P{x) son los siguientes: x2+2x+5 a x2+3x +4. P(x) = {x2 +2x +s){x2+3x +4) 2. P(x)=x3(x-t-5) +28x+ 30+17,y2 Operamos y ordenamos P^ = f+ 5x3+17x2+28x+30 i? '‘í'i'tiú * 4 * 'v > Descomponemos ios términos extremos convenientemente y tendremos ;; Pw=x4+5x3+17x2+28x +30 i x2 . 3x 5 x2< ^ 2x ^ ^ 6 yGx2 resultado r.r#l7.v" - 11.2 P(X )=Gr2+3x+5)(x2+2x+6) 3. P(x)=x4+3x2+2x+12 Observamos que falta el término cúbico; por ello hay que completar P(x) con Ox3. Aplicamos el método del aspa doble especia!. IcSC p J r;oi1 los extremos) P(x)=x4+0x3+3x2+2x+12 x2 x2 r2x ... 4 2x ' 3 7-4X2 7X2 ( resultado de ~7.0 A y2- A (aspa con 2^2 los extremos) 7X2 P^^ix2— 2x+4)(x2+2x+3)
- 224. 4. P(x )=x4+5x3+10x2+11x+3 x2 x2^ 2x 3x 6 / /3X2 x2 4x2 c resultado de 10a -A y P(x)=^ 2+2^+3)(x2+3x+l) 5. P(x)=3x4+2x^-7x2-8x-20 Aplicamos el aspa doble especial. P(x)=3x4+2X3- 7X2- 8x- 20 3X2 2x +5 Sx2 ¡¿ ^ ■ O ^ C ^ - 4 -1 2 / f & r---- Jp .o / l-Jjñ ? iéri¡V - (I '■ / . ¿ 3 ? / ^•StíiSU' £'/?:* :i I m I s %- M P '■ ¡.aspa )s exi't - 'v ' X- ' Luego P (x)= (3x2+2x+5)(x2+J3^-4) P (x) = (3x2+2.x +5)(x2 - 4 ) ‘ & ^ > ■ 1'•f j 'i/. /. P (x) = (3x2+2x+5)(x +2)(x-2) í> . A p l ic a c ió n 7 Factorice P(x)=x4-2x2+16x-15 e indique el número de factores primos. R e s o l u c ió n Aplicamos el aspa doble especial. Pw =x4+0x3-2 x2+16x -15 x2 -2x 2x -4X2, 5 - - 5X2 -3 - -3X2 2 X2 < ■ :v ) - ay) La raíz de un polinomio puede ser cualquier tipo de número, pero para el método de j divisores binómícos solo nos interesarán las raíces que sean números racionales. L
- 225. Los divisores deun entero pue den ser tanto positivos como negativos. Ejemplo • Los divisores de 6 son 1; 2; 3; 6; -1; -2 ;- 3 ;-6 .pósrlvos . 'n -e g a îT /a s importante Un número es la raíz de un. polinomio cuando al evaluando en dicho número obtenemos cero. Luego PM =(x2- 2 x +5) ( x 2 +2 x - 3) * .. ¡ +3 PM=Gf2-2x+ 5)(x.+B)C*--1 ) factor primo factores primos cuadratice Inaaies Por lo tanto, el número de factores primos es igual a 3. 6. DIVISORES BINÓMiCOS Desarrollaremos un método para factorizar los polinomios de una variable de grado mayor o igual que 2, principalmente po linomios cúbicos. g % . , Con ese fin, necesitamos conocer el concepto de raíz de un polinomio y una propiedad conocida como teorema del factor. 6.1. Conceptos*previig^'“' p. , . 6.1.1. R a í? d e un p o lin o n ^ Q ^ ^ m : . Sea P(x ) un polinomio no constante, diremos que el valor r es una raíz de P(x ) si P(r) =0. Ejemplos 1 . P(x )=^-7x+12 Observamos que P(3)=32-7(3) +12=0 Como P(3)=0, entonces 3 es una raíz de P(x). P(4)=42— 7(4)+12=0 Por lo tanto, 4 también es una raíz de P(x). 2. pM= / - 9 El valor 3 es una raíz de P(x), ya que P(3)=32-9=0. Otra raíz de P(x ) es -3, ya que P(_ 3 ) también es igual a cero. 23i
- 226. 3. ¿Es 2una raíz de P^=)¿-8? Sí lo es, ya que P(2)=23-8=0. Aplicación 8 Si 2 es la raíz de PM=x3-5x2+mx+4, calcule m+m2. Resolución Como 2 es la raíz de P(x), entonces P(2 ) es igual a 0. Luego P(2)=23- 5(2)2+ m(2)+4=0 2m-8=0 2m=8 ’> ..VP ' ' m -4 ■ v- •v¿5/ m +m 2=4+42=20 6.1.2. C á lc u lo de raíces r^cionáíes ' Una raíz racional está representada por un número entero o una fracción. P r o p i e d a d e s ^ En un polinomio no constante PM, de coeficientes enteros se cumple lo siguiente: a. Si PM tiene una raíz entera, esta debe ser un divisor de su término independiente (TI). b. Si P(x ) tiene una raíz que es una fracción, esta se obtiene al dividir un divisor del término independiente entre un divi sor del coeficiente principal (CP). Según estas propiedades las Posibles Raíces Racionales (PRR) de un polinomio se calculan como nnn divisores del TI PRR ■ " t. • i * p. divisores del CP ; Si un polinomio es mónico, sus raíces enteras se hallan al evaluar el polinomio en los divisores del término independiente. Buscar una raíz racional es una tarea laboriosa, ya que se deben analizar las posibilidades y ver con cuál de ellas al evaluar en el polinomio, se obtiene cero como resultado. l 'v .■ : •
- 227. COLECCIÓN ESENCIAL 's^éSas&a • V-.:? n jCüidsda! Hay casos donde los polinomios no tienen una raíz radonal. Ejemplos P(x) = 2x3+x+T: PRR = ± divisores del divisores de 2 1 PRR=±— W PRR=±1;— 2 Reemplazamos estos valores en _ P(l)=2(1)3+1+1 = 4 • =2(-1)3+(— 1)+1=-2 I 1 P/ Ti) • Tt ) Con ninguno de estos valores obtuvimos cero, entonces PMno tienes ninguna raíz racional. Ejemplos 1. Pm =x3- 3 x +2 Buscamos la raíces enteras de P(x). Si P(x) tiene una raíz entera, esta debe ser un divisor de su término independiente que es 2. Posibilidades: 1 ; 2; -1; -2 divisores de 2 Reemplazamos estos valores en P (y). P 0 )= 1 -3(1)+2=0 Como P m = 0, entonces 1es la raíz de P(x). (D P(2,=23-3(2) +2=4 No resultó cero, entonces 2 no es la raíz de P (xy P(_1}=(-1) -3(-1)+2=4 Tampoco resultó cero, así que -1 no es la raíz de P(x). • P{_¿)=(- 2)3- Bc-2)+2=0 0 ^ 0 $ ^ Obtuvimos como resultado cero, entonces -2 es la raíz de P t Por lo tanto , P(x) tiene 2 raíces en teras que son 1 y - 2. 2. Qw=2x3+5x2-10x-3 Buscamos las raíces enteras de Q(x). Posibilidades: T; 3; — 1 ; — 3 ---- v -----* d vigores :ie-l tormiio Reemplazamos estos valores en Q(x). • O(l)=2(1)3+5(1)1-10(1)2-3= -6 No resultó cero, entonces 1 no es la raíz de Q(x). • Q(3j=2(3)3+5(3)2—10(3)—3=66 No resultó cero, entonces 3 no es la raíz de Q(v). • 0 (_1)=2(-D3+5(-1)2-10(-1)-3=10 No resultó cero, entonces -1 no es la raíz de Q(x). • C?(_3j=2(— 3)3+5(— 3)2— 10(— 3)— 3=18 No resultó cero, entonces -3 tampoco es raíz de Q(x).
- 228. Capítulo 6 Factorizacíónde polinomios Hemos probado todas las posibilidades y al reemplazarlas en ningún valor resultó cero. Esto significa que no tiene raíces enteras. Pero aún queda la posibilidad de que tenga una raíz que sea una fracción la cual si existiera, se obtiene al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente principal. Posibilidades: 2 2' 1_.3_._3 2 ' 2 ' 2 Reemplazamos estos valores en Q{x). -10 • < fy = 2 í l ) s ( 1 X 2 ( a • < ? r1^= 2 2 f i f C 2y 2 ) +5 1 V 2 J 3= 2 í 1A2 1 ^ 2 ) ■10 f 2"| ’ 2, - 3=3 3 # i ^¡) =2 l 2 j +5l l X? -10 ,2 -3 = 0 Q, = 2 * 3'f f 3Y 3 n +5 — -10 . 2 ,) i l -2 : l 2y -3 =— 2 Observamos que solo con - el resultado fue cero. Por lo 3 • - > Jt tanto, - es la única raíz racional de Q(y). 3. R{x)=2xs +x+5 Hallamos las posibles raíces racionales (PRR) al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente principal. divisores de 5 divisores de 2 Conocer la raíz de un polino m io, nos proporciona un factor para ese polinomio. 3 -> x-3 5 -> x-5 1 1 - — » x — 2 2 -2 -> x+2 1*5 PRR =±-L- 1,2 PRR = ± 1,2 5; | Reemplazamos estos valores en /?(v )
- 229. • R0)=2(1)3+1+5=8 • Rh)=2(-1)3-1 +5=2 • R(5 j=2(5)3+5+5=260 • R,_5)=2(-5)3-5 +5=-250 i f 1 • C 2 3 + -+ 5= — 2 4 n J 1 ? 1 r V Rr — 2| — 1 ----1-5- — i j 2 ) 2 4 R,5^ 2 Í5 f 5 c 155 - + -+ 5= --- U J 2 4 * P/" r>=2 c 2, L 2) --+ 5 =- — 2 f ¥ a Con ninguno de estos valores obtuvimos cero. Por lo tanto, este polinomio no tiene ninguna raíz racional. < ÍV , 6.1.3. Teorema del factor En un polinomio P(x) no constante se cumple que si r es una de sus raíces, entonces x — r será uno de sus factores. ' Ejemplos Como P(3)=32-9= 0, entonces 3 es una de sus raíces y por el teorema del factor, x -3 será uno de sus factores. 2. P( x)=x3+x2+x -3 Tenemos P(l)=13+12+1-3=0 Observamos que 1 es una raíz P(x) y por el teorema del factor, (x-1) es su factor. P(x)=(x~y'f(x) El factor f{x) es desconocido, pero lo pode- P mos calcular si dividimos -^-L x-^ Como x - í es un factor de P(x), entonces Aplicamos la regla de Ruffini. i 1 1 1 - i 1 | : 1 2 1 2 3 0 "V El factor es el cociente de esta división. Entonces fM= / + 2 x + 3 P(x)= (x - 1 )(x 2 + 2X+3) Observamos que el polinomio PM está fac- torizado. Este procedimiento es la base del método de factorización que veremos a con tinuación. b ...........tocio <Je rhvisores bmor Para factorizar un polinomio P (x) de grado mayor o igual a 2 y con coeficientes enteros, aplicamos en el siguiente procedimiento: • Debemos encontrar una raíz racional de P(x), Supongamos que encontramos que r es una raíz de este polinomio. • Por el teorema del factor si r es raíz de P(x), entonces x-r es su factor.
- 230. Capítulo 6 Factorizaciónde f El polinomio P(x ) quedará expresado como PM= (x-r)fM P Para hallar dividimos —— . El factor f,x).representa el co ciente de esta división. x - r Ejemplos PM=; Buscamos una raíz racional de P 1 p{x r^ +2^+2x-5 M * El valor x=1 es una raíz de P(x )debido a que P(i)-° Luego, x-'] es su factor. Entonces Plx,=(x-V-fM El factor lo obtenemos si dividimos -^ L, entonces aplicamos la regla de Ruffini. x - 1 1 2 2 ■W 1 ✓n « .- ..v .1 / 1 3 X 4 1 3 5 0 El factor es el cociente de esta división. Entonces fM=X +3x+S Finalmente Pm =(x -1)(x 2 +3x +5) 2. P(x)=2x 3+5x2+x2-2 . Observamos que « , ' = 0 1 Entonces - es una raíz de Pw. El teorema del factor es muy importante porque es la base para desarrollar el método de divisores binómicos. Para encontrar una raíz racional evaluamos el polinomio en los valores 1o - 1. Si no es ninguno de ellos, debemos intentar con las otras posibilidades.
- 231. Luego, x -j es un factor y para hallar el p otro, dividimos —— y aplicamos la regla x — de Ruffini. ^ 2 5 1 - 2 1 X- — 1 3 2 2 ____¡ 2 6 4 0 El otro factor que representamos como f( es el cociente de esta división. W Entonces fw=2x2+6x+4. Luego & ,4> . / . ! v-?V . y '.. V P(x )" P(x)=[ x - r |(2x2 +6x+4) 2x-1 ( ¿ Í { x 2 +3x +2) w y P(x) =(2x -1)(x 2 +3x +2) • V' *Wr Factorizamosx2+3x+2 con el aspa simple. x2+3x+2=(x+2)(x+1) X . ! .2 X/' M Pw =(2x-1)(x+2)(x+1) Aplicación 9 Al factorizar el polinomio P(x)=x3 -3x2 +5x-6 se obtiene (x2-x+a)[x+b). Calcule a+b. Resolución Observamos que P(2)=23- 3(2)2+5(2)- 6=0, Entonces, 2 es Ja raíz de P(x) yx-2 es su factor. Luego P(x)=(x~2yf(x) Para hallar fM dividimos con Ruffini — -. w x-2 1 -3 5 x=2 2 - 2 - 1 -1 3 0 Entonces # W r ^ -.i lí - .2 Luego P^ =(x - 2)C*2- * +3) Entonces 0=3 y ¿>=-2. a+b=1 Aplicación 10 Si x -a es el factor común de los polinomios p m =J(3- x2- 4 Qm =x3-5 x +2 a+1 M calcule a-1 Resolución Aplicamos el método de divisores binómicos. Con el polinomio P(x )tendremos P(x)=x3- x2+0x - 4
- 232. El valor x=2es la raíz de P(x ), porque P(2)=0. 1 -1 0 c=2 I 2 ______ 2 V _ - 1 1 2 0 Entonces P{x)={x- 2)(x2+x+2). Con el polinomio Q(x ) tendremos Qw=x3+0x2-5x+2 El valor x=2 es la raíz de Q(x ) porque Qm=0. (2)" JT '1 o -5 t =2 * ! • % o c. 1 • 4 1 2 -1 i 0 , Entonces 0 m =(x - 2) ( / Í S - Í ) i & 0%.f/ . . Ai 1* En ambos polinomios se repite el factor (x-2), el cual es el m ‘ * m . factor en común. Como (x-a) es el factor en común, entonces a=2. % %íY a +1_ 2+1 a -1 ~ ~2-1 =3 Cuando se divide un polinomio entre uno de sus factores, la división es exacta, es decir, el resto es igual a acero. 1 En vez de reemplazar _ en el 3 polinomio y ver sí resulta cero o no, dividimos el polinomio entre 1 x - - . Si su resto es igual a cero, entonces es una raíz. Si su resto no es cero, no es raíz. Entonces 6.3. Criterio para identificar un polinomio primo Un polinomio cuadrático o cúbico es primo cuando no tiene ninguna raíz racional. Ejemplos 1. P(x)=x2+3x + 1 Sus posibles raíces racionales son 1 o -1. Al evaluar esté polinomio con ninguno de sus valores obte nemos cero, entonces P(x ) no tiene raíces racionales. Por lo tanto, este polinomio cuadrático P(x ) es primo. 3 5 1 0 -4 1 3 1 2 4 3 6 1 2 0 Notamos que el resto es igual a cero, entonces i es una raíz del 3 1 polinomio y además x - - es su factor.
- 233. tí; ■ 2. R^=)^+2)¿+x+3 Posibles raícesracionales: ±1; 3 Al evaluar el polinomio con ninguno de estos valores obtenemos cero, entonces /?M no tiene raíces racionales. Este polinomio cúbico R^ no tiene raíces racionales, por lo tanto, es primo. 3. Q(x) =x3+x +1 Sus posibles raíces racionales son 1 o -1. Al evaluar este polinomio Q(x) con ninguno de estos valores, obtenemos cero. Enton ces este polinomio no tiene raíces raciona les y por lo tanto es primo. Niels Henrik Abel Nadó el 5 de agosto de 1802 en la isla de Finnoy, Noruega. Su familia fue pobre y él también lo fue durante toda su corta vida. Sus precoces aptitudes matemáticas le valieron el apoyo de uno de sus maestros de la escuela, quien tras la muerte de su padre, financió sus primeros años en la universidad. Sus trabajos iniciales le dieron prestigio, pero murió producto de la tuberculosis, apenas a los 27 años. Mientras vivió no pudo disfrutar de los beneficios del prestigio y el reconocimiento que sus trabajos de investigación. Su historia es una de las más tristes e injustas que se cuentan entre los matemáticos. Sus principales aportes están en la teoría de integrales elípticas, aunque es más conocido por su prueba de la imposibilidad de la solución algebraica de la ecuación de quinto grado por radicales. Este es un problema que se conocía desde la época de Cardano y en el que grandes matemáticos como Euler fracasaron en solucionarlo. Tuvo que llegar Abel y luego Galois, para darle solución definitiva a este problema.
- 234. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Consisteen descomponer un polinomio en una multiplicación de otros polinomios. Factor de un polinomio Cuando un polinomio PM se factoriza como P{x)= f(x )' 9 {x) A los polinomios y se les llama factores de PM Propiedad Cuando un polinomio se divide entre uno de sus factores, exacta. la división es Factorización sobre Z Tanto el polinomio a factorizar como sus factores deben tener coeficientes enteros. No se consideran otros casos. Polinomio primo Se llama así cuando solo puede descom ponerse como la multiplicación de un factor constante por otro no constante. Métodos de factorización r Factor común P(*r> 0 =5*+5y pocyr5(*+ y) Agrupación Identidades P ( x r ¿ +xy+2x +2y ■ ■ = > < ¿_ 52 Pw=x(x+y) +2(x+y) ; Pw =(x.+y)(x+2) W Pw=(x+5)(x-5) • Aspa simple Aspa doble especial Divisores binómicos P(x )=a2+3x+2 PM=x4+4x3+8X2+9x+6 Pw=x3+x2+x-2 — x 2 x2 2x 3 ; X 1 x2 X 2 raíz 1 1 1 - / Pm=(x+2)(x+ 1 ) P(*)=í*2+3x+3)(x2+x+2) x=1 1 2 3 x 1 2 3 0 x¿ +2x +3 pM=(^-1)(-^+2x+3)
- 235. RESOLVEMOS JUOTOS Problema N.”1 Seael polinomio p(x-,yi=2xy(x2- y z) Factorizamos P(x.y) P{x.y ) = 2 x y ( x + y ) (x - y ) factor tactores pornos constante (por .ter '¡nenies) indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F), según corresponda. ’ I. Un factor primo de P es 2. II. Un factor primo de P es xy. III. El polinomio x2- / 2 no es un factor primo de P. IV. Tiene 4 factores primos. I „ WrÀsmrA* 1 ’ I § A) W F F B) FVVV C) FVFV D) FFVV E ) FFVF '* / Resolución I. Falso ' • ». % . ■ % El factor 2 el ser constante no es primo. El polinomio P ^ y) tiene 4 factores primos, los cuales son: x; y x+y, x -y . Clave Problema h : 2 Factorice el polinomio PM=x3+3x2-4 x e indique cuál no es un factor de P(v). ytj. A) x ‘ í • B) x2+4x C) x2 - x D) x 2 +3x-4 ;> E) x+3 '% ** t fttéoUkicfcP > ■‘¡.p- Observamos que P(x) tiene a x como factor común. Entonces P(X )=x3+3x2-4x PM=xix¿ +3x-4) II. Falso El factor xy no es primo, debido que es la multiplicación de x con y (factores no cons tantes). III. Verdadero El factor / - / se descompone como (x + y ) ( x - y ) , entonces no es primo. IV. Verdadero Descomponemosx2- / como (x + y )(x - y). El factor x2+ 3 x-4 se logra descomponer con el método del aspa simple. x 2+3x-4=(x+4)(x-1) Luego Pm =x(x +4)(x -1) Observamos que los factores primos de P{x) son x; x+ 4 y x-1.
- 236. Si combinamos estosfactores entre sí, tendre mos más factores de P{x). x (x + 4)= x 2+4x x(x-1) =x2- x [x +4)(x -1) =x2+3x - 4 x(x - 4)(x -1) = x3+3x2- 4x Por lo tanto, x+3 no es un factor de P(v > . Clave Problema N/ 3 Indique un factor primo de p(x-,y)=xZy s (x2+2xy +y 2 A) x2 B) y3 D) xy Resolución Notamos que el factor xz+2xy+y2 es igual a (x +y)2 lu e g o P {x;y) = x ¿ -y 5-(x + y ) z . Los factores primos son y, (x+y) y x. Los exponentes de estos factores no se toman en cuenta ya que solo indican repetición. x2=x-x * se ?epd.e dos veces y 3= y -y .y (x +y)2=(x+y)(x +y) i Por lo tanto, un factor primo de P(A :y) es x+y. C/ove Indique un factor primo de p(a;ór8^ 4- 12o3¿3- A) 4o2 8) 'o3 Q ab D) b E) 2a-3b Extraemos los factores en común. P(0;ó )=8í72¿4- 12o3¿3 ¿5“4Í2O 2b4- 303¿ > 3) P(o ;w =4cr(2¿r-£>-3aíp) P(0; ¿) =4ar{2b3■ b -3 a b 3) P ^ b y^ t^ U b Sa ) El factor 4 por ser constante no es un factor primo. Los factores o; b y 2b-3a por ser lineales sí son factores primos. Los exponentes de los factores ay b solo indican repetición. Por lo tanto, un factor primo es igual a b. Clave Q x2+2xy+y2 E) x+y i 1
- 237. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N,' 5 Indique un factor primo del polinomio. 3 p p p p 0 3 M(X ;y) = x y - x y +x y - xy A) x+1 B) x-1 C) y+1 D) y - 1 E) x-y Resolución Extraemos los factores en común. M( )= x3y 2- x2y 2+x2y 3- xy3 M ( * ;y )”*(*2 y 2 - *y2+*y2 y-y2-y) l TT yV M(x;y) =>y 2 (^2 - ^ + ^ X - y ) Aplicamos el método de agrupación en el polinomio x2-x+xy-y para factorizarlo de la siguiente manera: x2- x + x y-y =(x-1)(x+y) A Í / - ! ; / • / — 1 ; t _____ x _*o r Luego M(x,y) = ^ 2(y_1)(y +y) Sus factores primos son x; y; x-1; x+y. Por lo tanto, un factor primo es igual a x-1. Clave i Problema N,‘6_________ __________ i Factorice : P(a- ibf 0 2-b2+ m + 2 S e indique la suma de sus factores primos. í A) 2ÍJ+10 B) 2o+10 C) o -10 j D) 2o-10 E) 2a+2b í Resolución Agrupamos de la siguiente manera: P(a-,t,f(a2+Wo+25)-b2 Tengamos en cuenta que o2+10o+25=(o+5)2 Luego PteX= (0+5)2- b 2 Aplicamos la diferencia de cuadrados, i P{G , b^(a-rS +b)(a+S-b) Los factores a-b-r5 y a-b +S son primos por ser lineales. (o+b+5)+(o— b+5)=2o+10 Clave ; Problema N/ 7 Indique el factor primo común de P(x)=x2+7x +6 Qw =2x2+ 5x +3 I A) x+6 B) 2x+3 C) x+3 i D) x+1 E) x+2
- 238. Resolución Factorizamos ambos polinomioscon el aspa simple. P(X )=x2+7x+6=(x+6)(x+1) Qw=2x2+5x+3=(2x+3)(x+1) 2x 3 x 1 Por lo tanto, el factor común en ambos poli nomios es x+1. Clave Problema N.° 3_________ Indique un factor primo de P^=mnx2+(m2+n2)x+mn. A) x+m B) x+n C) mx+1 D) mx+n E) nx+1 Resolución ^ Factorizamos con el aspa simple. PM =mnx2+{m2+n2)x +mn n2 x m2 x +n2)x Luego PM=(mx+n){nx+m) Los factores mx+n y nx+m son primos por ser lineales. Por lo tanto, un factor primo es mx+n. Clave Problema N.’ 3 Indique un factor primo de P(x) =(x - j)2(x- 3)2+(x2- 5x+6; A) x-1 B) x+1 C) x+2 D) x+3 E) (x-3)2 2 Observamos que x2-5x+6=(x-2)(x-3) x -2 x /v -3 Luego PM =(x-1)2(x-3)2+((x-2)(x-3))2 Pf/fix- 1 ) V 3)2+(x-2)2(x- 3)2 Extraemos el factor común. pm = (x -3 )2 ((x -1)2 +(x -2 )2) Operamos Pw =(x -3 )2(x2-2 x +1+x2- 4 x +3) Pm=(x-3)2(2x2-6x+4) Aplicamos el aspa simple. P,x) = (x -3 )2(2)(x2 - 3 x + 2 ) x: -1 X -2 PM=2(x-3)2(x-1)(x-2) Los factores primos de P{x) son x-3; x-1 yx-2. Por lo tanto, un factor primo es x-1. Clave á
- 239. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.* 10 Factorice el polinomio P(x)=2x2-(3a+4)x+o2+2a e indique la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. A) a+2 D) -a+2 B) 2a+1 C) - a - 2 E) -o+1 Resolución Factorizamos con e! aspa simple. P(x)=2x2-(3o+4)x+a2+2a 2x -a -JL m i ■ -(o+2) -(2o+4)x -(3o+4)x Luego P(x)=(2x- a)(x- (o+2)) geL Los factores 2x-o y x-(o+2) son primos por ser lineales. Nos piden ia suma de coeficientes de uno de ellos, entonces calculamos en ambos. Factor primo coet. i 2x-o 2; -o JÜMA DF COEf -o+2 ~ T~ 1 x-(o+ 2) 1; -(o +2) 1-(o +2)=-o-1 !___ _____L________I.............—- J Por lo tanto, la suma de coeficientes de uno de sus factores primos es - o+2. *Clave Problema N.° 1 1 Indique el número de factores primos del siguiente polinomio: P(X) =(x2+5xf -4+(15 +3x)(x) A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 Resolución Observamos que (15+3x)(x)=3x2+15x -> 3(x2+5x) Luego P(x) =(x2+5x) - 4 +3(x2+5x) Comox2+5x se repite, entonces cambiamos a la forma x2+5x=m Reemplazamos P(xp(x^ +Sx)2 - 4 +3 (x^+Sx) Tenemos P(x)=m2-4 +3m P(v)=m2 +3m-4 m m +4 -1 P(x)=(m+4)(m-1) Reemplazamos m=x2+5x Luego P(x)=(m+4)(m-1) l i C r !> .< / t i» P(x)=(x2+5x+4)(x2+5x-l)
- 240. Al factor x2+5x+4lo descomponemos con el aspa simple como (x+1)(x+4). El otro factor x2+5x-1 no podemos descom ponerlo con el aspa simple, entonces es primo. Luego P(x)=(x+1)(x+4)(x2+5x-1) T T ~T~ factores primos Por lo tanto, hay 3 factores primos. Clave Problema 12 Luego de factorizar el polinomio P(x)=(x2-x ) -1o(x2-x)+24 indique la suma de sus factores primos. A) 3x-2 D) 4x-1 B) 4x+1 C) 3 x-6 E) Áx-2 Factorizaclón de polinomios Reemplazamos a porx2-*. Pw=(o-2)(o-12) y -x Pw =(x2- x - 2 )(x2- x -1 2 ) x - 2 x - 4 x ' 1 x ' 3 Luego PM= (x-2)(x+ 1)(x-4)(x+3) rftcro.es' (x-2 ) + (x+1) + (x-4 ) +(x+ 3)= 4x-2 Clave j r *¡t p ; Faaorice P(x)=/3+sOc2+2x+4) - 8 e indique la mayor suma de coeficientes que tiene uno de sus factores primos. Resolución % , / Á ; Como x2-x se repite, hacemos el siguiente cambio: x2-x=o I Reemplazamos Pm =(x2- x)2-10 (x2- x)+24 a a - i o2-10o +24 ° > k 2 I a / -12 (o-2)(o-12) A) 3 D) 6 B) 4 C) 5 E) 7 Resolución Tenemos P(x )=x3+5G r2+2x+4)- 8 Agrupamos convenientemente. P(y)=(x3- 8)+síx2+ 2x+4) NO OLVIDE o3 - b3=(o- b)(a2+ab+b2)
- 241. COLECCIÓN ESENCIAL Entonces x3-8=x3-2 3=(x-2)(x2+2x+4) Luego P^={x-2)(x2+2x+4)+5Íx2+2x+4) factor común P(X )=Gt2+2x+4)(X-2+5) Pw=(x2+2x+4)(x+3) El factor x2+2x+4 es primo porque no puede descomponerse con el aspa simple. Asimismo, el factor x+3 es primo por ser lineal. 1-x2+2x+4 1-x+3 .... / 1 ¿pr x ásl • 3 ..... " • V * i 1+2+4=7 . 1+3=4 Aplicamos la propiedad de la diferencia de cuadrados. > 2 2 . .,2 pu ;y )= (4 + y 2- tf-(2xyr P U;y)~(x2+y2-1+2xy)(x2+y2-1-2xy) Ordenamos convenientemente. P,, . 2 2 - 2xy+y2-i)(x2-2xy+y2- í) p^,y)={(x+y f - ^ - y f -') Aplicamos la diferencia de cuadrados. (x +y)2-12=(x+y +1)(x+y-1) (x - y)2-12=(x- y +1)(x- y -1) ' • . P o r lo tanto, la m ayor sum a de coeficientes de un factor primo es igual a 7. Clave y Problerna N;‘ 14 ;• Factorice P(Jf;y) =(x2+y2-i) -4 x2y 2 e indique cuántos factores primos tiene. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 R e s o lu c ió n Tenemos 4x2y 2=(2xy)2 Luego P(*:y)4x2+y2- t f- £ x y ? P¿y)=(*+y +V +/ ~1 )U-y+1)(x -y -1 ) ~ T____ 1 f > ;.s,t/ factores primor U-on lineales,' Por lo tanto, P( ^tiene 4 factores primos. Clave Problema N.* 15 Si x-3 es factor de PM=x3+2x2-5x+m, halle m. A) -27 D) 24 B) 18 C) -30 E) 30
- 242. Como x-3 esun factor de P(x ), cuando p dividamos |a división será exacta. x-3 p Es decir, el resto que resulta de dividir —— , . , x-3 sera igual a cero. Aplicamos la regla de Ruffini. Resolución 1 2 -5 m x=3 4 ______ L I I 3 15 30 ■ V - 1 5 10 0 ✓ resto / Calculamos el resto m+30=0 -+ m=-30 m= -30 1 ^ ' Clave■j# % ’* * * ' * ■ ' & > 'V ^ • 'i'A .t if Problema N.’ 1G _______ Si el polinomio P^=xi +2x¿+mx-2 se factoriza como P^={x-2)f^xy halle f(x)+/77. ' ^ Bx+ S B) x2+4x+1 C) x2+4x-6 '2+3x - 6 E) x2+4x+8 Resolución Como P{x)=(x-2)f{xy entonces calculamos f[x) si p dividimos Es decir, fM es el cociente de x -2 w P(X) x3+2x2+mx-2 x -2 x -2 Aplicamos la regla de Ruffini. 1 2 m -2 2 bt I 2 8 2 /7 7+16 S: 1 4 m+8 2m+14 El cociente de esta división, que es f{x) es igual a f[x)=xz+4x+(m+8) Esta división es exacta debido a que x-2 es un factor de P(x). Entonces, el resto 2m+14 debe ser igual a 0. 2/n+14=0 — » m--7 Luego en tenemos que f{x) =x2+4x +(/ 7 7+8) i;. f fw=x2+4x+1 ? í✓+ .v áv ,- .J^ + m = / + 4 x - 6 Clave Problema N.’ 17 Factorice P (x)=x 3- 6 x2- x + 30 e indique la suma de sus factores primos. B) 3x-5 A) 3x-6 D) 3x+4 Resolución C) 3x+7 E) 3x-1 Debemos buscar una raíz racional de P(v ), las posibilidades a analizar son los divisores de 30 y si probamos con esos valores encontramos que P(3)=33-6(3)2-3+30=0
- 243. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores El valor 3 es una raíz de P^ y su factor es x-3. Para hallar dividimos —— con la regla de Ruffini. X ^ 1 -6 -1 30 x=3 f I 3 -9 -30 V —1 -3 -10 0 Luego fM=x2-3x-10 Entonces P(x)=(x-3)(x2-3x-10) Ahora, el factor x2-3x-10 se puede descom- ■ I ' « *’ ■ ■ > » i poner con el aspa simple. ^ À iÈ fiy f x2-3x-10=(x -5)(x+2) -5 - 2 Resolución Buscamos una raíz racional entre los divisores del término independiente que es 20. Notamos que 2 es una raíz de P(x ). P(2)=23-5(2)2-4(2) +20=0 Como 2 es la raíz de P(x ), entonces x-2 es su factor y luego PM=(x-2)fM Hallamos f(x ) al dividir Ruffini. r(x) x - 2 con la regla de 1 -5 - 4 | 20 x=2 * f r 2 -6 - j 20 I . S 1 -3 -10 I 0 ■ » Entonces Pw=fc3)(x- 5)(x+_2) y ,. m , v- ? ■ factores primos (son lineales) (x- 3)+(x- 5)+(x+2)=3x- 6 Problema N.‘ 18 ; Clave Si f(x ) es un factor primo de P(x )=x3- 5X2- 4x+20, halle el menor valor de f(1 ). A) 3 B) 1 D) -4 C) -2 E) -1 El factor f{x) es el cociente de esta división. [ C í / ¡^ 5 3 X - 1 0 Descomponemos con el aspa simple. "' t - f(x)=x2-3x-10=(x-5)(x+2) -5 2 Luego P(x)=(x- 2)(x- 5)(x+2) Calculamos el menor valor de donde f(x ) representa uno de estos tres factores primos. POSISiLlDADtS PAMA f(v, /,n ....._ x r2 __ L _ 1— 2=— 1 ! x-5 1— 5=— 4 x+2 1+2=3 _____ Por lo tanto, el menor valor de f^es -4. C/ave
- 244. Capítulo 6 Factorizationde polinomios ebáSfóS -'i ifrr Problema N.* 19 Factorice P{x)=4x4+11x2-3 e indique el número de factores lineales. Resolución El polinomio Plx) no puede descomponerse con el aspa simple. A) 0 B) 2 C) 3 D) 1 E) 4 Entonces P^=x4+5x¿+9 Resolución Aplicamos el aspa simple. =4x4+11x2-3 PM=(4x2-l)(x2+3) Al factor 4x2-1 lo descomponemos con la propiedad de la diferencia de cuadrados. 4x2-1=(2x)2-12 -» (2x+1)(2x-1) Observamos que el factor x2+3l por su forma; es primo. Luego PM=(2x+1)(2x-1)(x2+3) L _ T y factores primos factor primo C v lineales cuadratico Por lo tanto, P(x ) tiene 2 factores lineales. C/oi/e * ................................*r Problema N.* 20_______________ _____________ Factoríce Pw=x4+5x2+9 e indique la suma de coeficientes de sus factores primos. A) 1 B) 2 C) -2 D) 4 E) 5 Sumamos y restamos x2. P(x)=x4+5x2+x2+9-x2 P(x)= U 4 -f 6 * 2 + 9 ) - x 2 P(x)=(x2+3) -^ 2 Aplicamos la diferencia de cuadrados. P{x)=C y2+3+x)G f2+3-x) P^- (x2+x+3)'(x2- x +3) Debemos calcular la suma de coeficientes de uno de estos factores primos. x2+x+3 1+1+3=5 xz-x+3 1-l+3=3 Por lo tanto, la suma de coeficientes de uno de sus factores primos es igual a 5. Clave 9
- 245. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema NP 21 Factorice p (x) + 3X3 + 4X2 + 5 x + 2. Calcule la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. A) 1 D) 5 B) 2 C) 4 E) 6 Resolución Al evaluar P(x ) en x =-2 obtenemos P(_2)=0, además -2 es una raíz de P(x ) y asimismo x+2 es su factor. Entonces P(x)=(x+2)-fM. 'to para hallar f(x ) dividimos rM x +2' 1 3 4 5 2 ; f - ’ r^-2 i T -2 -2 -4 ________________z á -2 X ^ 1 1 2 1 0 Luego f( ^ )=xi +x¿+2x+' Este polinomio es primo porque no tiene ninguna raíz racional. Entonces PM={x+2)(x3+x2+2x+l) tdCÍC fi'os c ACTO P f - l * .1 0 s S u m ' De e o e -. x + 2 1+ 2=3 x3+x2 + 2x+1 1+ 1+ 2+ 1 = 5 Por lo tanto, la suma de coeficientes de uno de sus factores primos es igual a 5. Clave Problema M.‘ 22____________________________ Factorice P(x)=x6- 4 x 4 - x 2 + 4 e indique el número de factores primos. A) 6 B) 2 D) 4 C) 3 E) 5 Ÿ. : .b-.v.. Agrupamos convenientemente. Pív] =x6- 4x4- x 2+4 Pm=x4(x2-4 )-(x2-4) PM=(x2-4)(x4-l) Aplicamos la diferencia de cuadrados. x2-4=(x+2)(x-2) x4-1=(x2+l)(x2-l) — > G^+lJíx+Díx-l) Luego PM=(x+2)(x-2)Gt2+l)(x+1)(x-1) Por lo tanto, hay 5 factores primos. Clave Debemos calcular la suma de coeficientes de uno de sus factores primos.
- 246. Problema M.‘ 23Problema N.° 24 Factorice P(*;y) =(^ +1 ) +(x +y)(xy+2) +xy+'l e indique un factor primo. A) xy+1 D) x+y B) x+2 C) y+2 E) xy+2 Resolución Expresamos P(x;y) convenientemente. ptov>=p y+ rf+o<+rt{w++v+xy+ ' ■ P(x;y)=™ +(* +y)(m+1 )+m A % ■ ;.$ % , y . . Afo. { U VA yi '> ? y y ¥ /y P (x; y) =Cl j +B +(x +y){m +1 ) 4 y / V w / * ' P(x;y) =m(rn+1)+(x+y)(m+1) :omun Luego P(^;y)=(m+1)(/n+x +y) * V .v■ xy + i P(x;y) = (XK + 1+ 1)(xy + 1+ X + y ) P(x;y) =(XK+2)(*y +X+y.tj) Y(y'+!j xíy+1) T ____ T 1actor común P{x.y)=(xy+2){y+Wx+h) Por lo tanto, un factor primo es xy+2. Clave Factorice el polinomio Pm=x2+90x+2016 e indique la mayor suma de coeficientes que tiene uno de sus factores primos. A) 47 D) 49 B) 40 Q 56 E) 51 ReEolüdón Aplicamos el aspa simple. Pm =x2+90x+2016 x v j +48 xf; • +42 ptfj-(x+48)(x+42) Calculamos la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. 2% %. ,♦ £% í/i:' • < > 7 < Pr-.i í.•!. ,-r . , v. . f , r . C J t 1-X+48 1+48=49 1-X+42 1+42=43 Por lo tanto, la mayor suma de coeficientes que tiene uno de sus factores primos es 49. Clave Problema N.' 25 Si x+a y x+(3son factores primos del polinomk P(y)=(x+5)(x+4)-6, calcule a^+(3a. A) 150 D) 145 B) 154 C) 32 E) 177
- 247. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores • - - V ’ ' ' • ' . ' . - • * ... - ‘ I - • . ¿ M . V. I e ... Resolución Tenemos P(x)=(x+5)(x+4)-6 Operamos P(X) =(x2+9x +2o)- 6 Pw=x2+9x+14 Aplicamos el aspa simple. P(x)=x2+9x +14 a x +7 x +2 Pm =(x +7)(x +2) A* Los factores primos de P^ son:X+7.y x+2. Entonces a=7 y p=2. x x0r .4 a p+Pa=72+27=49+128=177 " i Clave y tí %. V . '».V m * ■ Problema N.’ 26 Si x-2016 es un factor del polinomio P (x)=(x + 9 ) 3-/77, calcule ^/m-1- Reemplazamos ?(2016)=(2016 + 9) ' ~ m = 0 (2025) -/7)=0 m=(2025); ^ 7-1 =^(2025)^ -1 ^77=^2025-1 -> ^/m=45-1 ^ 77= 44 Clave M& ¡// * ' • ^-Íkiís! ' *777 ^ k - iUu'V&.í'áe# t„. Z / Calcule el número de factores primos del polinomio Pm =x6-6 x4+11x2-6. A) 2 D) 5 Resolución B) 3 C) 4 E) 6 A) 25 B) 44 C) 24 D) 30 E) 36 Hacemos el siguiente cambio: xz=m Resolución Como x-2016 es un factor de P(x )( entonces 2016 es una raíz de P(x). ^(2016)=0 Reemplazamos en P{x). P(Xj =(x2)3- 6(x2)2+1l(x2)- 6 Pw= /773-6m2+11m-6
- 248. Aplicamos el métodode divisores binómicos. Si /7?=1, entonces Pm =13-6(1)2+11(1)-6=0 Con este valor de m aplicamos la regla de Ruffini 1 -6 1 1 t m=1 4 1 i . -5 f i V í- 1 -5 6 0 Luego P(X)=(m-1 ) {m2- 5 m+6) m “ 3 m /' -2 Pw=(m-1)(/n-3)(m-2) Reemplazamos m=xz. Pm =(x2-1)(x2-3)(x2- 2) PM =(x+1)(x-1)(x2- 3)(x 2-2 Í fací Por lo tanto, hay 4 factores primos. Clave Problema NT 28 ___________________ Factorice el polinomio P(x .^=6x2+xy-40y2 e indique la menor suma de coeficientes que tiene uno de los factores primos. A) -2 D) 2 B) -6 Q 6 E) -3 Aplicamos el aspa simple. píky)=6x2+ ^ -4 0 / 3x Jr8y 2x^> -5y P(x.^ = (3x+ 8y){2x-5y) Debemos calcular la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. 3x+8y 2x-5y 3+8=11 2-5=-3 Por lo tanto, la menor suma de coeficientes que tiene uno de sus factores primos es -3. C/C , ( " r Clave ■ x ' ' ' Indique un factor primo del polinomio P(x)=(x+ a)2+ (x+p)2-x2+ 2aP~ a2 A) x+a B) x+a+P C) x+a~P D) x+P E) x-a -p Tenemos que PM=(x+a)2+(x+P)2-x2+2ap-a2 Operamos: P(x) =[x2+2ax+a2)+ [x¿ +2px+p2) - ; / +2ap- jet P(X)=x2+2ax+2px+p2+2ap
- 249. V Agrupamos convenientemente. P(X)= (x2+2(3x+ p2)+ (2ax + 2ccp) P(X )=(x+P)2+2a(x+p) PM=(x+p)(x+p+2a) Problema N.-31 Factorice el polinomio Pm =x4+2*2+9 e indique la menor suma de coeficientes que
- 250. Capítulo 6 Problema N.*32_____________________________ Indique el número de factores primos del polinomio. Pm =x5+14x4-4 0 x3-560x2+144x +2016. A) 2 B) 3 Q 1 D) 5 E) 4 Resolución Aplicamos el método de agrupación. PM =(x5 +14x4 )-(40x3 +560x2) + +(144x + 2016) Factor¡ación de polinomios Pm = /(x +14)-40x2(x +14)+144(x +14) P[x)={x +14)(x4 -4 0 x 2+144) Aplicamos el aspa simple. P(x)=(x+ 14)(/-40x2 +144) 4 x2 -36 x2 - -4 Pw =(x + 14)(x 2 - 3 6 ) ( x 2 - 4 ) Aplicamos la diferencia de cuadrados. P(x)=(x+ 14)(x+ 6 )(x - 6 )(x + 2 )(x - 2) Por lo tanto, hay 5 factores primos. Clave
- 251. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO 1.Factorice el polinomio (o ; fa )=(0+2)+(0+2) ¿ > luego, indique un factor primo. A) 3 D) 5 B) 4 C) 7 E) 8 A) 6 D) a +6 B) 0 +1 C) o E) 6 +1 ?.. Al factorizar P(o;b)=66+3a6+2+c? indique un factor primo. B) 6 +1 A) 2 +o D) o +b 3. Luego de factorizar C) 36 +2 E) o+36 Q(m ; n)=2m+2n+m¿+mn indique el número de factores primos. A) 1 D) 5 4. Factorice B) 3 y .y C) 4 E) / ,=4m¿n-8m +3mn-6m¿ %f "% r Q(m; n ) e indique la suma de coeficientes-efe un factor primo. A) 9 D) 7 B) O C) -2 E) 4 5. Factorice H(x)=81x2-1 e indique un factor primo. A) x +1 D) 3x+1 B) x-1 C) 9x+1 E) 3x-1 6. Factorice Rm =(x +3)2-4 e indique el término independiente de un factor primo. 7. Luego de factorizar H{x.y]=(x +2)2-(y + tf indique un factor primo. A) x+2 D) y+1 B. Factorice B) x-y-2 C) x-y+1 E) x-y M(x)=125^+1 e indique la suma de coeficientes de un factor primo. A) O B) 24 D > 9. Luego de factorizar R(x,yy-> ?+6xy +Qy z C) 21 E) 30 indiqué un factor prim o. f & -f .. . B) x+y A) 3y D) x-3y 10. Factorice Hm =(x +3)2+8(x +3)+16 e indique un factor primo. C) x+3y E) x +2y A) x-4 D) x 11. Factorice B) x +5 C) x-6 E) x +7 PM=22x +45x2-3 y halle la suma de los términos indepen dientes de sus factores primos. A) 4 D) 2 B) 6 C) -5 E) -2
- 252. Factorización de polinomios 12.Factorice P(x)=(x+1)2-5(x+1)+4 e indique un factor primo. A) x+4 D) x+1 B) x C) x-2 E) x-5 13. Con relación al esquema del aspa simple M(x)=18x2+31x+mo 3 o x +2 2x +b halle a2-b2+m. A) 6 D) 8 B) 5 C), 2 E) 4 y ;> V Á 14. Factorice w(y)=/+2y3+4K2+3y+4 e indique la mayor suma de coeficientes de un factor primo. s* d íW 17. Factorice M( x )=x3- x2- 3-5x e indique el número de factores primos. B) 3 A) 2 D) 0 C) 4 E) 1 18. Factorice R{x)=x2(x- 2)- 3(2x+1) e indique el factor primo que tenga la mayor suma de coeficientes. A) x-1 D) x+ 3 B) x +1 C) x-2 E) x +2 19. Factorice el polinomio Q(x)=2x3+x2- x - 2 e indique el término lineal de un factor primo. W ... fr V £ Ay 2x. B) 3x C) -2x D) -x E) -3x 9 W ,, ■ Luego de factorizar A) 5 D) 2 B) 1 C) 4 ¿ * '' E) 3 % w * | . ’M(x j=xá-/-4x+ (o -2) 15. Luego de factorizar /?w=6X3+6x+7X 2+1+x4 calcule la suma de los términos indepen dientes de sus factores primos. A) 2 D) 1 B) 6 C) 7 E) 4 16. Indique el número de factores primos luego de factorizar el siguiente polinomio: /?(x)=x4-3x2-x3+2+x A) 1 D) 5 B) 2 C) 3 E) 4 se obtiene como factor a x2+x-2. Halle el valor de a. A) 4 D) 6 B) -4 C) -2 E) 2 21. Si (x+5) es factor de ^ (x)“X3+10x2+mx+30, halle m. A) 24 D) 30 B) 27 C) 31 E) 25 22. Luego de factorizar R^=óx2+(5a+16)x+o2+7o+10 halle la suma de factores primos. A) 5x+a+7 B) 5x+7 D) 5o+16 C) 3x+2o E) 5x+2a+7
- 253. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 23. Luego de factorizar Pw=x(x+1)(x+2)(x+3)-15 indique la menor suma de coeficientes de un factor primo. A) 5 D) 10 24. Factorice B) 1 C) 9 E) 4 M (y) =3y(y2+6y +8 )-y (y 2+7y +12) e indique el término independiente de un factor primo. A) 3 D) 5 B) 2 C) 1 E) 7 /y ? 25. Factorice / M, h ,=o3-3a2b-2b3+3ab (a' D) f ! e indique un factor primo. - ^ Æ TÆ • I . * t A) a2-ab +b B) o-2b2 C) a2- b D) a2-a +b2 E) o-2b ./.T % , * - 26. Factorice p(x- iy)=xy(a2+b2} +ab{x2+y 2) e indique un factor primo. A) bx+a D) by+a B) ox+by C) ax+b E) a+b 27 Al factorizar el polinomio M(o)=3o3+18-21o se obtiene M(0)= 3(C7+/77)(0+/l)(0+p). Halle n+p+m. A) 0 D) -2 B) 3 C) 2 E) 1 28. Indique el término independiente de uno de los factores primos de P . =5 +(x +y -4 )2+18(x +y). ( x ; y ) A) 5 D) 2 B) 4 C) 9 E) 7 Indique uno de los factores primos de P „ f*4- 5^+4. A) x-5 D) x+5 B) x-3 C) x+2 E) x+4 30. Indique un factor primo luego de factorizar /?M ) =(a2-6ab +b2) -4£7b(a+b)“. A) q2-fb2 y . ■ X). a2-4ab+b2 D) ,ar-6ab ’ % # E)4;b2+4ob Factorice el polinomio P(x)=x4+20x^-2016 calcule la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. A) -5 D) -35 B) -20 C) 8 E) 37 32. El polinomio Pw=(x+2015)(x-2015)+2x+1 se factoriza como Pw=(x+m)(x+n). Calcule m+n. A) 2015 D) -2 B) 2016 C) 2 E) 0
- 254. Capítulo 6 Factorízaciónde polinomios 33. Sean los polinomios Pm =x2-2x -48 Qm=x2+2x-80 Si fr+m) es su factor en común, calcule A) -3 B) -4 o Z 2 D) 4 E ) - | 34. El polinomio P^=4x2+x-150 se factoriza como PM=(mx+n)(px+q). 37. Factorice el polinomio P^)=xí +2x2+2x + 1 Si uno de sus factores primos esr+mx+n, calcule mn. A) 2 B) 3 C) -2 D) 1 . E) -1 38 Si (x-a) y (x-(3), donde a; (3 e Z+ , son factores primos del polinomio PM=x3-5x2-4x+20, 1 1 calcule a (3 Calcule m+n+p+q. A) 19 D) 24 B) 21 S ¿¿Z C) 26 / # 2 2 l% f ¡ 35. Factorice el polinomio P(x)=((*+2016)(x+ 2014)+1)2-20252 e indique uno de sus factores primos. ~ C) x+2016 A) *+2025 D) x+2015 B) x+2060 E) x+4030 36. Si x-2 es factor de x100-2x"+3x-m, calcule m2+m+‘]. A) ! 01 i v B) 1 c) L 10 E) ! 39. Factorice el polinomio t f ( i ) 2x(xZH-X-l) « f ,e indique el número de sus factores primos. íi £ C-A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 0 40. Factorice el polinomio P(X)=x4+3x2+4. Calcule la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. A) 31 D) 35 C laves B) 21 C) E) 43 48 A) -3 D) 3 B) 1 Q - E) 2 1 6 D 1 1 D : 16 2 1 C 26 B 3 1 36 2 A 7 r 12 B 17 22 F . i 27 32 37 3 8 ■ c 13 c : 18 23 28 : 33 38 4 1 9 9 n 14 ( : 19 24 29 34 39 5 10 t - 15 A 20 25 ¡ 30 B I 35 40
- 256. La ecuación cuadráticatiene muchas aplicaciones en ia ¿ i ú ' M ' Í X i í - vida real, por ejemplo, una parábola es la trayectoria que describe una pelota al ser lanzada por un jugador de fútbol, y para poder calcular el punto de su lanzamiento y luego el punto donde recae al tocar el césped por primera vez, es necesario poder resolver ecuaciones cuadráticas. Actualmente hay marcadas evidencias de que los babilonios (1600 a. n. e.) ya conocían un método para resolver ecuaciones de segundo grado, aunque no tenían una notación algebraica para expresar la solución. Luego, los egipcios las usaron para redefinir los límites de las parcelas anegadas por el Nilo, en sus crecidas. Posteriormente, los griegos resolvían ecuaciones de segundo grado con métodos geométricos, ya que también las utilizaban para resolver algunas ecuaciones de grado superior. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham Bar Hiyya, en su obra Líber Kembadorum. Asimismo, el matemático indio Bhaskara escribe su famoso Siddhanta man en el año 1150. Este libro se divide en cuatro partes: ilavati (Aritmética), Vijaganita (Álgebra), Golandhyaya (Globo celestial) y Grahaganita (Matemáticas de los planetas). Es aquí donde aparece la fórmula general que permite resolver una ecuación de segundo grado. ip Á R is 'v AMOR A S®f)ív&ndiza[es esperadus i I V • Identificar y diferenciar las ecuaciones lineales, cuadráticas y bicuadradas. • Aplicar el teorema de Cardano en ecuaciones, cuadráticas y cúbicas. • Resolver problemas de ecuaciones mediante sus distintos métodos y propiedades. o u s es ni ce so este co Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en el álgebra. Adquirir la habilidad para resolverlas resulta de suma importancia, por cuanto logra facilitar la solución a múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones del mundo de las matemáticas en diferentes niveles.
- 257. Cuando haya queresolver una ecuación será preciso determi- nar el conjunto solución. i 1. CONCEPTO Las ecuaciones representan una igualdad entre dos expresio nes matemáticas, en la que participa, al menos, una variable conocida como la incógnita. Ejemplos • 3 x + 5 = 0 • x¿=x+'2 • Vx=X +3 Si a es solución de una ecua ción, entonces, podemos reem- plazar a en la ecuación. 2. S<DLU . I . JN Es aquel valor que toma la variable para verificar la ecuación. Ejemplo j Sea la ecuación x2=x+12. M ¿y , v.. V v % j'- Los valores que verifican son los siguientes: x=4 — > 4 =4+12 y" x=-.3 -> (-3r=-3+12 Luego, x=4 y x=-3 son las soluciones de la ecuación x =x+12. Rato ni scbüi' Si a es solución de x2+3x-3=0, halle a2+-~. a ' J 3. CONJUNTO SOLUCIÓN ÍCS) Es el conjunto formado por las soluciones de una ecuación. Ejemplo En la ecuación x3-4x=0, los valores que verifican la ecuación son los siguientes: x=0 -* 03-4(0)=0 x=2 -+ 23— 4(2)=0 T ri I II (— 2)3— 4(— 2)=0 i CS={0; 2; -2}
- 258. 4. ECUACIÓN LINEAL Esaquella ecuación de primer grado. De la forma Aplicación 2 Resuelva la ecuación 2(1-x)= 3(1+2*)+5. ! „ j P{/ =ax+o=0; o + 0 Ejemplo Resuelva la ecuación 2x+3=0. Tenemos que 2x+3=0 2x=-3 _ _ 3 2 Al resolver estas ecuaciones debemos ubicar los términos con * en el lado izquierdo de la ecuación y pasamos los términos constantes a la derecha de la misma. Aplicación 7 Resuelva la ecuación 3x-4(6-x)=15-6x. Resolución De la ecuación Resolución De la ecuación 2(1— x)=3(1 +2x) +5 Efectuamos las operaciones. -2x=3+6x+5 Agrupamos las variables y las constantes. -6x-2x=3 +5-2 •8x=6 6 x = - 8 — > x =— ' 4 Aplicación 3 Resuelva la ecuación z ,3 —=—z +7. 5 10 Resolución Nos piden resolver z 3 - =— z +7 5 10 3x-4(6-x)=15-6x Efectuamos las operaciones. 3x-24+4x=15-6x Agrupamos las variables y las constantes. 3x+4x+6x=15 +24 13x=39 39 - * = — -> x=3 13 Agrupamos los términos que tienen a z. — z =7 5 10 Operamos 10z-15z =7 50 -5z=7-50 z =——— — > z=-70 y 5 CS={3} CS={— 70}
- 259. COLECCIÓN ESENCIAL Aplicación 4 Resuelvala ecuación 2x~7 =c 3x -2 3 4 ' Resolución Para eliminar las fracciones, multiplicamos am bos miembros por el MCM(3; 4)=12 y simplifi camos. 12 Luego 2 x-7 =12(5)— 12 3 x-2 4(2x-7)=60-3(3x-2) 8x-28=60-9x+6 Agrupamos los términos. 8x+9x=60 +6+28 17x=94 94 X = ' $ n Jk, : : ■ V p 6 /W v> ■ 17 , e s - i 5 ! A p l i c a c i ó n 5 Resuelva la ecuación ^ y ^ =]/- 2z z 2 7 3 "Á. ’v » / v R e s o l u c i ó n Para eliminar las fracciones, multiplicamos am bos miembros por el MCM(2; 3)=6 y simplifi camos. / 6 V 5/ - ® L 6 ( y ) - 6 ( 7 - / Luego *T N 3(5y-6)=6y-2(2-y) 15y-18=6y-4+2y Pasamos los términos con x al lado izquierdo y los constantes al derecho. 15y-6y-2y=18-4 7y=14 14 0 y= y -> y=2 CS={2} 5. DETERMINACION DE UNA VARIABLE EN TÉRM lM reBfe LAS OTRAS y :-í> ,v ¡?„ Ahora veamos una serie de ejemplos que des pejan'una.variable en términos de la otra. ... | Ejemplos 1. Determine la variable M en la siguiente ecuación: F = 6 mM Aislamos a M y consideramos a las otras variables como si fueran números. F = r 2 j M F-r2=[6-m)M F-r‘ 6-m = M M = 6 m
- 260. 2. Determine coentérmino de las otras varia- Entonces bles en la siguiente ecuación: _1_ _L +_L A=20co+2cd /7+20/7 i R R ^ Rz Aislamos a co y tratamos a las otras varia- ------- = — : R R R bles como si fueran constantes. 2 1 A=2Go )+2c o /7+2C/i i A -2 ü /?=2Cü)+2c o /i i A-2Qh=(2f}+2h)(ü A -20/7 co=-------- 20+2/7 3. Resuelva la siguiente ecuación para la variable indicada. ax +b _ ------ =2; para x. cx +d Apartamos a x y consideramos a las otras variables como si fueran constantes. ox +^ . -2 — > ax +b =2(ex +d) cx +d ax+b=2cx+2d ax-2cx=2d-b R-][R 2- R )= R R 2 5. Despeje x en la siguiente ecuación: ax ------ = ¿> . 5x +3 Aislamos a x y analizamos a las otras varia bles como si fueran constantes. ax=(5x+3)¿> ax=5bx+3b ax-5bx=3b ty - {a-5b)x=3b 3b .-. x =.------ a-5b xla-2c)-2d-b x = 2d -b a-2c Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma x = 2d -b a-2c 4. Calcule la ecuación para la variable indicada. 1 1 1 D —=— +— ; para Rv R R ^ Rz ' 1 donde a; b y c son números reales con a * 0. Ejemplos • 3x2 + 5x + 6= 0 • x 2- 7 x + 3= 0 • x 2- 4 = 0 Apartamos a y tratamos a las otras varia bles como si fueran constantes.
- 261. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores (Cuidadoí C o n c u a lq u ie r m é to d o q u e se utilice e n la reso lu ció n d e una e cu a c ió n cu ad rática, d e b e m o s red u ciría a su fo rm a g en eral. Ejemplos • 3x 2 t 5x + 2 = 3 x 3 > r + 2 x + 2 = 0 (form a g eneral) • 5x 2 + 7 x + 6 = 4 x + 5 5 / + 3 x + 1 = 0 (form a g eneral) _________________________________ J Propiedad del producto nulo 6.1. Resolución Existen tres métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: mediante la factorización, con la fórmula general y al completar los cuadrados. 6.1.1. Por factorización Una ecuación cuadrática se puede resolver si aplicamos los métodos de factorización. A p l ic a c ió n 6 Resuelva la ecuación x2-8*4-15=0. R e s o l u c ió n Factorizamos el polinomio por el método del aspa simple. x2-8 x +15=0 / ---- » i u> h x 5 >4 - , 0 ? * (x-3)(x-5)=0 0W AW í É Æ ? § %I > f Luego obtenemos 'W J x-3=0 o- , x-5=Ó x=3 o x=5 ■ ' . f . k ' % s? CS={3; 5} s % A p l ic a c ió n 7 Resuelva la ecuación x2+4x=21. R e s o l u c ió n Reescribimos la ecuación, de modo que el segundo miembro sea igual a cero y aplicamos el método del aspa. x2+4x-21=0 x 7 x ^ -3 (x+7)(x-3)=0 Luego x+7=0 o x-3=0 x--7 o x=3 CS={-7; 3}
- 262. A p lic a c ió n 8 Resuelva la ecuación x2-16=0. R e s o l u c ió n Factorizamos por la diferencia de cuadrados. x2- 4 2=0 (x+4)(x-4)=0 Luego x+4=0 o x-4=0 x --4 o x=4 A p l ic a c ió n 10 Resuelva la ecuación 3(x2+1)=5(1-x). R e s o l u c ió n Expresamos la ecuación en su forma general y con ese fin procedemos a eliminar todos los paréntesis. A p l ic a c ió n 9 Resuelva la ecuaciónjr-4x=0. / % R e s o l u c ió n h, _ 1 Factorizamos por el criterio del factor común. /. CS={4; -4} vsmmtt Raíz de un polinom io La raíz de un polinomio es aquel valor de la variable que anula el polinomio, es decir a es raíz de P(x) P{2)=0 Ejemplo Las raíces del polinomio P (3)=32-9 = 0 P (_3)=(~3)2-9 = 0 son 3 y -3 Luego 3x2+3=5-5x 3x2+5x+3-5=0 3x2+5x~2=0
- 263. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores ■ Cuando una ecuación no tiene solución su conjunto solución es vacío. CS={ }=(» Ecuación cuadrática Toda ecuación cuadrática siem pre tiene dos raíces. Además, esta ecuación puedetener, como máximo, dos soluciones. Factorizamos por el aspa simple. 3x2+5x - 2=0 3x -1 x ^ 2 (3x - 1)(x4-2)=0 3x— 1=0 v x+2=0 A p l ic a c ió n 77 Resuelva (2x 4-3)(3x - 1)=4. R e s o l u c i ó n Reducimos la ecuación a su forma general, mediante la multi plicación. óx2- 2x+ 9 x - 3+4=0 6)¿+7x+']=0 Factorizamos bx¿+lx+^=Q 6x 1 x ^ 1 (6x-f 1)(x+1)=0 Luego 6x 4-1=0 v x 4-1=0 1 x=-1
- 264. Capítulo 7 6.1.2.Por fórmulageneral Las raíces de la ecuación ax¿+bx+c=0; a^O están dadas por la siguiente fórmula: í~ ~ pr---- -b±yjbí-- 4 ac x - ----------------- 2a y --------------------------. Para resolver una ecuación cuadrática, aplicamos la fórmula de la siguiente manera: Reducimos la ecuación a su forma general, es decir, oxz+bx+c=0. Identificamos a; b y c, que son los tres coeficientes que aparecen en la forma‘general. -:% % Reemplazamos estos coeficientes en la fórmula general. Ejemplos Halle las soluciones de las siguientes ecuaciones: f ¿ y & i»¿r , $ , V V ' , P X %%. * 1. 3 x (x -5 )= 1 Reducimos la ecuación 3 x(x-5 )= 1 a su forma general. 3 x (x -5 )= 1 Sean x, y x2 las raíces de la ecuación ^-/x+^O , halle el valor de E=x1+x2 A) 7 B) 10 C) 9 D) > /5 E) 12 UNFV 2000-II 3x 2-1 5 x -1 = 0 Comparamos el resultado con la ecuación general ox2+óx+c=0. 3x 2-1 5 x -1 = 0 Donde
- 265. Reemplazamos todos loscoeficientes en la fórmula general. _ - 3 2 , , _ -H 5)± 7(-15)z -4(3)(-1) 2-3 15± V237 6 15+V237 15-^237 ----------- v x =---------- 3. x2+2x+2=0 Observamos que la ecuación x2+2x+2=0 está en la forma general. Ix2* 2x+ 2=0 2. 4x2+12x+9=0 Observamos que la ecuación 4x2-fÍ2x-r9=0 está en su forma general. Donde 4x2+12x+9=0 Reemplazamos los coeficientes en la fórmula general. x = x =- — 12±/l22-4{4)(9) 2(4) -12±Vo V • t> # donde irunidad imaginaria Reemplazamos los coeficientes en la fórmula general. x = _ -2±^22-4-1-2 2-1 x =■ -2 ± -4 X = -2 ± 2V -1 =-1 ±V-1 X = ■ -12 X = -1 + / v X = -1 - !
- 266. 7. EL DISCRIMINANTE Eldiscriminante de una ecuación cuadrática ax¿+bx--c=O se define de la siguiente manera: Ejemplo Halle el discriminante de 3;r-2x+5=0, donde * a=3 * b=-2 • c=5 Observamos A=(-2)2- 4 - 3-5=4-60 /. A=-56 7,1. Análi-x : unan h Dada la ecuación cuadrática ax +bx+c~0, de coeficientes rea les y raíces xv x2, se cumple lo siguiente: Las raíces xv x2 son números rea les y diferentes. La raíces x1y x2 son números reales e iguales (única solución). Las raíces x1y x-¿ no son números reales (sen imagi narios conjugados) En las siguientes ecuaciones aplicamos el discriminante para determinar cuántas soluciones reales hay: Ejemplos 1. x2-x-3= 0 El discriminante es A=(-1)Z-4(1)(-3) A=1 +12 A=13>0 Observamos que la ecuación tiene dos raíces reales y dife rentes las cuales son 1-VÍ3 -------- A 2 1+VÍ3 2 Para encontrar ¡a diferencia ce las ra'ces de une ecuador, cua drática se utiliza 'a óentidad ce Legenpre.
- 267. 2. 4x2+4x +1=0 Eldiscriminante es A=42-4-4-1 A=0 La ecuación tiene dos raíces iguales (solu ción única) las cuales son 2 A 2 3. x^-Zx+S-O El discriminante es A=(-2)2-4-1 •5 A=-16 < 0 Por lo tanto, la ecuación no tiene solución real, porque sus raíces son los siguientes números complejos. f JL. xl=1-2í v x2=1+2i | " ^ '^ 4 0 % 8. PROPIEDADES DE LAS (TEOREMA DE CAR DAÑO) V * , / En la ecuación a^ +bx-t-c=0; o ^ 0 de raíces x, % .r y x2, se cumple lo siguiente: Por lo tanto, aplicamos el producto de raíces. ,JX % < /* a. Suma de raíces % «,‘v ^1^2 _ 3 8x2- x +14=0 Comparamos la ecuación con la ecuación general, donde a=8; b-~ 1y c=14. x1+x2 =- H ) _ 2 8 8 14 7 X^ 2 “ 8 - 4 3x2+5x +9=4x +11 Reducimos la ecuación a su forma general. 3x2+5x +9-4x -11=0 ....r+ x-2= 0 S ? Comparamos la ecuación 3^+x-2=0, f peón la;ecuación general, donde a=3; b=1; "'c= -2 ,^ Aplicamos la suma de raíces. x1+x2=- l Por lo tanto, aplicamos el producto de raíces. b. Producto de raíces X-iX-j = - - 1 2 3 Ejemplos 1. 3x2+6x-1=0 Comparamos esta ecuación con la ecua ción general, donde a -3; b -6 y c=-1 Aplicamos la suma de raíces. *1 +* 2 = - 3 = - 2 Aplicación 12 Si a y p son las raíces de la ecuación 3x2-7x+2=0, determine el valor de —+—. a p Resolución 1 1 Nos piden —+- , a p donde a y p son las raíces de 3x2-7x+2=0.
- 268. Capítulo 7 •, -‘-ó •:. Ecuaciones Aplicamos el teorema de Cardano. ct+p =- Luego 1 1 gc+{3 ---1 -- = ------ cu (3 a(3 7 ± +± = 3_=J J i = Z [ J _ a + |3 2 3 - 2 / 2 3 1 1 7 • I i, ' a ' p 2 A p l ic a c ió n 13 Sean a y b las raíces de 3x2-br+18=0, tal que a2+b2=13. Determine el mayor valor de Z r. R e s o l u c ió n Nos piden el mayor valor de k. Datos: ay b son las raíces de 3x2-kx+18=0 Aplicamos el teorema de Cardano. , k a +b =- 3 < 18 c ab =— =6 3 Como a +b =- , elevamos al cuadrado. (a +b) = 3, Luego a2+2ab +b2=— 9 Observamos 0 7 k2 ¿ +b^+2qb =— k 2 13 + 2-6 =— 9 Z'2 25 =— -> =225 9 Zr=15 v k= - 15 Por lo tanto, el mayor valor de k es igual a 15. SX.'DeíinícióTtcle raíces simétricas y jecíproras. ' La ecuación cuadrática ox2+ó>r+c=0, de raíces x, y no nulas se definen en Raíces simétricas x^+x2=0 Raíces recíprocas ;qx2=1 Ejemplos • La ecuación 3x2-5=0 posee raíces simétri cas, ya que x + x = - - =0 1 2 3 • La ecuación 6x2-^0x+6=0 posee raíces 6 , reciprocas, ya que x}x2 =- = 1.
- 269. A p lic a c ió n 14 La ecuación 2X2+(¿>-3)x+2c-10=0 tiene raíces simétricas y recíprocas. Halle el valor de b+c. R e s o l u c ió n Nos piden b+c. Raíces simétricas R e s o l u c ió n Nos piden la ecuación cuadrática de raíces. O C+1 A (3+1 Aplicamos el teorema de Cardano. a+(3=1 a oc(3=1 —-- 3)=0 -> -b +3=0 -> 3=b iuma de raíces Raíces recíprocas Nos piden x2-[(cc+1) +(p+1)]x+(a+1)(P+1)=0 x^— (c¿+(3+2)x +(cc+(3+cí(3+ I)— 0 2c-10 producto de raíces —1 — » 2C—10 = 2 .«gm*»*,. -+ 2c=12 -> c=6 , I JÉw ju . b+c=3+6=9 i W J m M I 8.2. Reconstrucción de una cuadrática %£ La ecuación cuadrática de las raíces x1 y>xj’Xt se reconstruye de la siguiente manera: ‘ X m x ¿- (1 + 2)x + (1 + 1+ 1)=0 o ,# ;r-3x+3=0 ■ (y .+ )x t YA-, - 0 V * f? :'A> ■- i fe xv xC % •. - ’ * r<¿ í s Las ecuaciones 5 ? %Jí y ¿p Óx2+£>x+c=0; abe * 0 mY2+ nx+ p= 0; mnp * 0 son equivalentes, entonces Ejemplo La ecuación de raíces x^ 2 y x2=9 está dada por x2-(2+9)x+2-9=0, es decir y2-11x +18=0 A p l ic a c ió n 15 Determine la ecuación que tenga como raíces a a+1 y (3+1, si a y (3 son raíces de la ecuación x¿-x+'=0. Ejemplo Las siguientes ecuaciones son equivalentes. 3x2+y -2=0 9x2+3y -6=0 3 _ 2 = -2 9 3 ~ -6
- 270. A p lic a c ió n 16 Si las ecuaciones cuadráticas ox2+(o+b)x+2=0 bx2+30x+3=0 tienen el mismo conjunto solución, determine el valor de a-b. R e s o l u c i ó n Nos piden a-b. Se cumple que a _ a+b _2 ~b~~30~~3 De la igualdad, obtenemos a+b _ 2 / $^1+0; a+b=20 - =- -> 3a =2b b 3 3o = 26 a+b =20 Resolvemos el sistema de ecuaciones. o=8 a 6=12 /. o-6=8-12=-4 9 ECUAC IONES DE GRADO SUPERIOR Son de la forma PM= a/'+ a/-'+ ...+ an.-lx+an=0; o0 * 0 Ejemplos • 2x 3+ 4x2 + 5 x -1 = 0 • 4x 4 + 5x 2 + 6= 0 A p l ic a c ió n 17 Resuelva la ecuación x3-2 x2-9 x +18=0. R e s o l u c i ó n De la ecuación, tenemos x3-2x2-9 x+18=0 Factorizamos por el método de agrupación. x2-2x2-9 x +18=0 x2(x -2 )- 9(x -2 )=0 (x -2 )(x 2-9 ) =0 (x- 2)(x+ 3)(x- 3)=0 Luego x=2 v x=-3 v x=3 CS={-3; 2; 3} A p l i c a c i ó n 1 8 Resuelva la ecuación x3-4 x2+6x -4=0. R e s o l u c i ó n Factorizamos por el método de divisores binómicos. 1 -4 6 -4 2 2 -4 4 1 -2 2 0 Obtenemos (x -2 )(x2- 2 x +2) =o x-2 v x 2- 2 x + 2 = 0 '--------y --------> Luego x=2 v x=1+/ v x=1— / J CS={2; 1+/; 1-0 5
- 271. A p lic a c ió n 19 Resuelva la ecuación ; x3-6 x2+11x -6=0. Importante Si xv x2, x3son raíces de la ecua ción ax3+óx2+cx+d=0; ad* 0 Entonces x1' x2 ' x3 son las raíces de la ecuación tíx^+cx2+óx+o=0; a d * 0 1 _____ _— R e s o l u c ió n De la ecuación x3-6 x2+11x -6=0 Factorizamos por el método de divisores binómicos. I Os 11 ¡ - 6 1 1 - 5 i 6 1 - 5 6 ¡ 0 Obtenemos (x -1) (x2- 5x +6)=0-v x-1=0 v x2j »É x+6=0 /,r.. V, . x -.3 • i i ' §f (x~3)(x~-2)=0 Luego A% W •V . „ | Xx ■" ■■■/ ■y ... & * % ’ x=1 v x=3 v x=2 . . . r c « . n , | •• CS={1, 2, 3} #¡% ‘íj < * - . V ^ 9.1. Teorema ck; Cms'¡íño % i r Sea la ecuación cúbica •4 * a x' + b>:~+ cx +d =0 de raíces x,; x2; x3, se cumple Suma de raíces *, +*.• +* I V ___________ Suma de producto*, binarios y /r.
- 272. Capítulo 7 Ecuaciones Productode raíces - : ^ A p l ic a c ió n 20 Sea la ecuación 2x3+5x2+7x+6=0, de raíces a, p, y 0. Calcule las siguientes operaciones: • a+p +0 • aP +oc(3+a0 • ap0 R e s o l u c ió n La ecuación 2x3+5x2+7x+6=0 está en su forma general. • Identificamos los coeficientes. a -2; b -5; c-7; d- 6 Aplicamos el teorema de Cardano. • e x+P+0=— • aP +a0 +P0 = ^ • aP0 =- | =-3 A p l ic a c ió n 21 Sea la ecuación 2x3+x2-x+3, de raíces a, p, 0. Calcule las siguientes operaciones: • a+P+0 • aP+«0+p0 • aP0 R e s o l u c ió n La ecuación 2x3+x2-x+3=0 está en su forma general. Identificamos los coeficientes. o=2; 6=1; c=-1; d=3 Aplicamos el teorema de Cardano. 1 • a+p +0=— 2 • a.p+a0 +P9=--^ - • ape = - | A p lic a c ió n 22 Sea la ecuación 4x3+7x2+6x=6x+5 de raíces xv x2; x3. Calcule las siguientes operaciones: • x1+x2+x3 » x1 x2+xlx3+x2x3 * W b Re s o lu c ió n La ecuación 4x3+7x2+6x=6x+5 debe cambiar a su forma general. 4x3+7x2+6x-6x-5=0 4x3+7x2-5=0 (forma general) Identificamos los coeficientes. o=4; b=7; c=0; d=- 5 Aplicamos el teorema de Cardano. 7 X, +Xn +X, = --- 1 2 3 4 x,x2+x-x3+x2x3=—= O X1 X?X3 =-- (=5) = 5 4 4 9 2. Teorema de paridad de raíces a. En toda ecuación polinomial de coeficien tes reales y grado n > 2 se cumple i (O *~b( c$ fd-Z «-» C~ bi os raíz
- 273. Si o; by c son raíces de la ecua ción x*-px2+qx-r=0, donde r * 0, halle el valor de T 'b 2+c2 A) q2+2pr r2 B) q2-Zpr o r C) q2-2p r2 D) q2+Zp r2 E) q2+2r UNM SM2011-1 ______________1 b. En toda ecuación polinomial de coeficientes racionales y grados n > 2 se cumple Ejemplos • Si una raíz es x1= 2 +V3, entonces la otra es x2 = 2 - /3. • Si una raíz es entonces la otra es x2=-5+/7. • Si una raíz es x1=2+7/, entonces la otra es xz=2-7i. • Si una raíz es x1=-3+4í, entonces la otra es > r2=— 3— 4i. __ [I Ilir*in ^ i,. 10. ECUACIÓN AD Í A ¿T = 0 xvariable /> ' ” ‘-y . v " Ejemplos " ...... ... ■ 2x4+3x2+1=0 • x4+7x2+5=0 • 4x4+7x2-2=0 10.1. R e so lu ció n c a r in a e cu a ció n b i Raíz de multiplicidad Dado el polinomio % decimos | que a es raíz de multiplicidad k si y solo si Pw=(x-a)^w tal que q(a) * 0 10.1.1 P o r fa c to riz a c io n Aplicamos el método del aspa simple. A p l ic a c ió n 23 Resuelva la ecuación x4-29x2+100=0. R e s o l u c ió n Factorizamos el polinomio. x4-29x2 +100=0 x2 -25 x2 -4 (x 2 -2 5 )(x2 - 4 ) = 0
- 274. Capítulo 7 Ecuaciones Aplicamosla diferencia de cuadrados. (x+5)(x-5)(x+2)(x-2)=0 x=2 v x=-2 v x=5 v x=-5 ••• CS={2; -2; 5; -5} 10.1.2. Por carnbio.de variable El cambio que se realizará es x2=y. A p l ic a c ió n 24 Resuelva la ecuación x4-4x2+1=0. R e s o l u c i ó n Cambiamos las variables x2=y en la ecuación x4- 4 x2+1=0. // É Sm * Entonces y2-4y+i=o | , v . y / 1 v n . a / v /, • . | ? ■ i ¿ . ' # Resolvemos y^-4y+1=0 con la fórmula ge-/ neral, porque la ecuación no acepta el aspa simple. -(-4)±V(-4)2-4-1(D y _ 2-1 4±VÍ2 4 ±2^3 y= 2 1 2 Luego y = 2+V3 1 v y =2-y¡3 I X 2 =2 +y/3 v x2 =2 - V3 Tenemos x = jz + J i v x = ~¡2+¡3 ^ W 10.2. Propiedades Dada la ecuación ax4+bx2+c=0; abe * 0. a. Las raíces tienen la forma a; - a ; |3; -p c. 2n2 C a |3 =- o Ejemplos 1. Sea la ecuación x4+5x2+9=0, entonces podemos aplicar la propiedad “a”. x ,|a x2=-a tV" 2. Sea la ecuación 2x4+5x2+7=0 de raíces a, 3, calcule • a2+p2 • a2■ p2 v x =-j2-y¡3 C S = {V 2 + V 3 ;-^ 2 + V 3 ;V 2 -^ ;-V 2 -n /3} La ecuación 2x4+5x2+7=0, está en su forma general. Identificamos los coeficientes. o=2; b=5; c=7 Aplicamos las propiedades “b"y “c” respecti vamente. * a2 +p2 = - - 2 • a2p2 =- 2
- 275. A p lic a c ió n 25 Calcule el valor de o2+1 si la ecuación bicua drada x4-(o+10)x2+(o+1)2=0 presenta dos raíces positivas cuya suma es 6. Por propiedad a 2+p2=o+10 a 2(32=(o+1)2 Luego, a+(3=6. a$=a+1 R e s o l u c ió n De la ecuación bicuadrada x4-(a+10)x2+(a+1)2=0 sean las raíces positivas a y p además, a+p=6. Elevamos al cuadrado. oc2+(32+2ap=36 a+10 +2(a+1)=36 3a=24 — » o=8 a2+1=65 ># _ W 'IW .5 " # % # i# 4 $ - « ‘afta Gerolamo Cardano - - a% M 1 ; -? K r ___ ------ Nació en Italia en el año 1501. En 1536 se trasladó a Milán, donde empezó a ejercer como profesor de Matemáticas. En 1539 publicó su primera obra Práctica de matemáticas y mediciones individuales, en la que recogió el contenido de sus clases. En 1545 publicó su obra científica más importante, el Ars magna, donde se recoge un exhaustivo estudio de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas, y en la que se ofrece la regla para la resolución de las mismas que lleva su nombre. Por la publicación de dicho resultado fue duramente criticado por el también matemático Tartaglia quien se lo había revelado con la condi ción de que lo mantuviera en secreto. Los últimos años de su vida estuvieron plagados de desgracias, desde la ejecución en el año 1560 de uno de sus hijos, acusado de asesinato, hasta un proceso de herejía por el que llegó a ser encarcelado (1570). Absuelto un año después, pero privado del derecho de publicar obra alguna, se trasladó a Roma donde redactó su autobiografía Mi propia vida, que concluyó poco antes de su muerte.
- 276.
- 277. *1=- -b + yfû 2a ax2+bx+c=0 Siel discriminante Jos es positivo soluciones -b S x? =— ----- ¿ 2a hay X=■ -b± V ?-4ac 2a casos ! ______ t>. ■ ■■ ■ ' ,V ; ■ - , V .:V , 1, 4 • * $ - ■ V •v; V h % - / Si el discriminante una es igual a cero solución -b x, =x, =— 2o (doble) í-- - " ^ No existe Si el discriminante entonces—; soluciones es negativo reales V k ecuación QX^+C-0 Que faite el término enx queda se resuelve Al despejar lax 1 Que falte el término independiente la ecuación queda se resuelve ox2+bx=0 Al sacar el factor común r L x=0 las soluciones son _ _ b a
- 278. Resuelva la siguienteecuación: 4x+7 +9x=19+4(3x-2) Problema N/1 • ______________ 14x-9x=35 5x=35 2(7x)-3(3x)=36-1 A) {5} D) {1} B) {2} C) {4} E) {6} Resolución Efectuamos las operaciones. 4x+7+9x=19+4(3x-2) 4x+7+9x=19+12x-8 Pasamos los términos que tienen x .al lado izquierdo y las constantes al derecho.. Así tenemos que 4x+.9x-12x=19-8-7 x=4 /. CS={4} Clave x =* x=7 35 Clave Problema f í< ’3 _________ Resuelva la siguiente ecuación: 5(2x-4)=2(3x+4) A) 6 _ B) {7} D) -f! ,f i> v C) -5 E) {-5} r^é Oc 00 Efectuamos las operaciones. Problema f‘!. 2 Determine el valor de x que verifica la ecuación . 7 x 3 x 1 lineal —----—= 6 - - . 3 2 6 A) 2 D) 7 B) 6 C) 1 E) 8 Resolución Para eliminar las fracciones, multiplicamos ambos miembros por 6. 5(2x-4)=2(3x+4) 10x-20=6x+8 Pasamos los términos que tienen x al lado izquierdo y las constantes al lado derecho. 10x-6x=8 +20 4x=28 _ 28 * 4 x =7 6 lf H f l = 6-6- v6 CS={7} Clave
- 279. Capítulo 7 Ecuaciones '■w Í'.V A Resuelva la ecuación lineal 10 r 1 +2=6 6 + 5 h 2 e indique la suma de cifras de su solución. B) 12 A) 36 D) 2 Resolución Efectuamos las operaciones. C) 9 E) 1 ( í x Ì fx ) — 1 +2 = 6 U J 1.6 ) jC # ** 4L 2x-10+2=x+30-2 2x-x=30-2+10-2 x=36 Por lo tanto, la suma de cifras de la solución i 4mw , * | 'W jm rA, I g «Y * Á > , -> £ 1 « k w * ' I Luego 20(x-1) +12(x+5)-15(x-2)=240 20x-20+ 12x+60-15x+30=240 20x+12x-15x=240+ 20-60-30 17x=170 170 m 17 Por lo tanto, la solución aumentada en la uni dad es igual a 11. Clave Problema N/ 6 Resuelva la ecuación lineal en la variable x 2 x . „ 5x _ a +—=a(a +1)----; a^0. ¿& K > ,;V■ a A' " B Í B) i ? es igual 9. . roblema N, 5 _ Resuelva la ecuación x —1 x +5 x - 2 ir ¿f , Clave ■ .j.% o r : A - < -v 0 3i C) i ? E) i - 4 n - ' ---- ----- v % > % X / =4 3 -5 4 e indique la solución aumentada en la unidad. A) 10 d í To B) 11 C) — 10 E) 266 17 Resolución Con el objetivo de eliminar las fracciones, multiplicamos ambos miembros por 60. 60M +60 í X +5i -60 í X _ 2 i l 3 J l 5 J l 4 ) Para eliminar las fracciones, multiplicamos ambos miembros por 2 y simplificamos. 2o2+2—=2a(a+1)-— -2 2 2 +x = 2 ^ +2a- 5x x+5x=2o Luego C T 2o 6x=2a — > x =— 6 a x =— 3 CS = 4 = 4-60 Clave
- 280. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores ______________ Calculeel valor de Xg-1 si se sabe que x0 es la solución de la siguiente ecuación: 4 - x 18- x 48- x Problema N. 7 ____________________________ 12 = 0 A) 143 D) 80 B) 120 C) 63 E) 122 Resolución Nos piden hallar Xg-1. Multiplicamos por 12. 12 2 6 ' -=0-12 Efectuamos y obtenemos 6(4-x) +2(18-x)+48-x=0 24-6x+36-2x+48-x=0 24+36+48=6x+2x+x 108=9x 108 . „ ----= x — > x =12 A í fSr -y*- Resolución Nos piden hallar-A Tenemos que x ~8 - t +_ — -1 =0 37 56 x - 8 - 3 7 x +11-56 _ ---------------- + ------------------= 0 37 56 x -4 5 x-4 5 37 -+ ■ 56 =0 Luego 1 1 (x — 45)l — +— .37 56 qua: ’---------- = 0 a 0 diferente x-45=0 — > x=45 í-,/*''> <-A j . = " 9 9 '■ • y -r < />W Clave Luego *0=12 x|-1=122-1=n43 Problema N. 3______ Si x0 es la solución de x - 8 x +11 37 56 = 2, halle el valor de - X A) 45 D) 5 B) 9 Clave C) 19 Problema N.* 9 Resuelva la ecuación si o2x+(o-1)=(o +1)x; para x. A) {0} B) {1} D) 1-o .0 - 0 + 1 Resolución Efectuamos la ecuación. o2x+(o-1)=(o+1)x o2x+o-1=ox+x o2x-ox-x= 1-o C) - .o E) {o2+1}
- 281. Ecuaciones (o2-o -l)x= 1-o 1-o x= CS = a¿ - a - 1 1-o a¿ - 0-1 Clave Problema H.° 10 Resuelva la ecuación cuadrática 5x2+1=11x -2 x 2-3. Indique la menor solución. A) 1 B) -1 i - . 3 4 W 4; Y 4¥ D)í Resolución Observamos que 5x2+2x2-11x +1+3=0 7x2-11x+4=0 %% < í. 4 Factorizamos por el aspa simple/1;, 7x-11x+4=0 7x - 4 x / 4 - 1 (7x-4)(x-1)=0 Tenemos que 7x-4=0 v x-1=0 < 0*4 4 x =— 7 v x=1 Las soluciones son x =y v x=1. 4 Por lo tanto, la menor solución es igual a Clave Problema N.° 11 Resuelva la ecuación cuadrática 7x2-2x-1=0. Indique la menor solución. A) 1-2V2 B) 1+2 ^ C) 1 D) 1-2V7 E) I - 2V2 7 Resolución La ecuación 7x2-2x-1=0 no acepta el aspa simple. Aplicamos la fórmula general. 7x2-2 x -1=0 donde o=7; ¿>=-2; c=-1 > 0 0 0 0 0 0 0 -A > NO OLVIDE 4 ox2+¿>x+c=0 ( * É 1 A 3 t / -6± Vá2-4oc 2a OX X X > C - V " ; V * Reemplazamos en la fórmula. x = - (-2) ±V(-2)2-4 (7 )(-l) 2-(7) 2 ± Æ 2 ± 4 y¡2 X = --------- -> X = X = 14 1±2V2 14 Las soluciones son las siguientes: 1+2>/2 - 2J 2 Por lo tanto, la menor solución es 1-2V2 7 Clave
- 282. Problema N.* 12 Resuelvala ecuación 4x2-5x+6=3x2+x-2. A) {4; 2} B) {-2 ;-4 } C) {2;-4} D) {-2; 4} E) {1; 8} Resolución De la ecuación, tenemos 4x2-5x+6=3x2+x-2 4x2-3 x2-5 x - x +6 +2=0 )?-6x+Q=Q U - 4 -2 Fáctorizamos, por el aspa simple. x2-6 x +8=0 x x (x-4)(x-2)=0 x-4=0 v x-2=0 x=4 v x=2 CS={4; 2} Problema N.”13 y#“* V é jS& fr „ / o . ■ % , % c t I » I l "4*u ¿á& f' < • ' I - v ■ v ^ y C/ove *v . ; ;: ■ ...............■ Sjf f v- Resuelva la ecuación x2- 6x+7=0 e indique la diferencia entre la mayor y menor solución. V-. v ^'. Reemplazamos en la fórmula. x = -(-6)± V(-6)2 -4(1)(7) 2(1) 6±78 6±272 X =------- -> x =— -— 2 2 x =3±V2 Las soluciones son 3+V2 y 3 - V2. 3_W | - (3j-V2) =2V2 mayor menor . solución solución Problema N.° 14 C/ove Resuelva la siguiente ecuación en x: 4x2+(2a-6)x-3ó=0; o * -3 rAÍ4 :- ; B ) f l 5 .# f 13 O .D) I j l - j C) l - f ; f E) $ A) 2 D) 1 B) 72 C) 372 E) 272 Resolución Datos: ¿7=1; b=-6; c=7 La ecuación no acepta el aspa simple, enton ces aplicamos la siguiente fórmula: Importante x =-¿>±yib2- 4oc 2a Resolución Aplicamos el método de la factorización. 4x2+(2¿7-6)x - 3¿7=0 2x ¡ a 2x (2x+o)(2x-3)=0 Luego 3 2 1=0 V a . — V 2 { _ £ . 3) 1 2 * 2Í Clave
- 283. Capítulo 7 Ecuaciones ProblemaN.‘ 15 Determine los valores que puede tomar k para que la ecuación cuadrática x2 + 4 x +25 =0 presente raíces iguales. A) 20; 40 B) -20; 40 D) 40;-40 C) 20;-20 E) 10; -10 Resolución Nos piden los valores de k. Si la ecuación tiene raíces iguales, entonces A=0. c k x - -4(25) =0 % v2 2 k2 -100 =0 -> - 4 4 k=20 v k=- 20 / i i ¡.t- l¿ '> ■ < /;%w ,';<?/$£ i. -----100 =0 -» — =100 -V M 2=400 I / Clave ............. Problema N.‘ 16 f % V ^ V 'jfc . Dada la ecuación cuadrática x -9x+/r-0'ind¡- que el valor de k, de modo que una raíz sea el doble de la otra. A) 18 D) -18 B) -20 C) 20 E) 16 Resolución Nos piden el valor de k. Sean las raíces x1= a ;x2=2a Aplicamos la propiedad de Cardano. -(-9) *i+ *2 = — -» Xi +x-j=9 Reemplazamos a+2a=9 3a=9 -» a=3 Luego Xi=3; x2=6 k x*x9=- - 12 1 k=18 Problema 17 xyxz =k i i y t Clave Si a y (3 son raíces de la ecuación cuadrática x2+6x +3=0, determine un valor de a - (3. A) Ve B) -Ve o - 2Ve ..... vx* / -r .« í/ D) ¿ 9 E) 277 .^% ? * . s j * Jr w 4^;% " ‘li. | Nos piden un valor de a - ¡3. Aplicamos la propiedad de Cardano. a+P=-6 a ex(3=3 Importante (a+P)2-(a-P)2=4a(3 Reemplazamos en la fórmula. (-6)2-(a-P )2=4-3 36-12=(a-(3)2 (a-P)2=24 a - P =±V24 a - p = ±2V6 a - p =2Vó v a - p =-2V6 Clave
- 284. Problema M . 18Problema N.’ 19 Si m es ia solución entera de la ecuación 3x2-7x+2=0, i i 2m“ '1 calcule A) -2 B) D) 2 m2-m « i E) 1 Resolución De la ecuación 3x2-7x+2=0 Factorizamos por el aspa simple. 3x2-7x+2=0 3x -1 X -, r ' x ' -2 (3x-1)(x-2)=0 3x-1=0 v x-2=0 Efectuamos y obtenemos v x=2 1 X ~ 3 Las soluciones son 2 y i Luego m-2 Hallamos 2/77-1 m2-m Reemplazamos m=2 2(2)-1 _ 3 22-2 2 2/77-1 3 m -m Clave Si la ecuación mx2+mx+m=0', m * 0 presenta las raíces o y ¿ > , determine el valor de a2+b2. A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 Resolución Nos piden a2+b2. Aplicamos la propiedad de Cardano. , m a+b =----=-1 n , m ab =— =1 m No OLVIDE y (a+b)2=a2+b2jr2ab Reemplazamos (-1)2=o2+b2+2-1 1=q2+ó2+2 1-2=a2+b2 -1=a2+b2 a2+b2=-1 Clave Problema Ti; 2 N ' 1 Si una de las raíces de la ecuación x2-bx+b+2=0 excede a la otra en dos unidades, indique el valor de b. A) 6 o -2 D) 2 B) 4 C) -4 E) -6 o 2
- 285. Resolución Nos piden hallarel valor de b. Sean las raíces a y p, entonces a~P=2 Aplicamos el teorema de Cardano. Por dato: { “ +P = fc [cxp = b+2 Importante (a+p)2-(a -p )2=4ap V , i Reemplazamos b2-2 z=4(b+2) bz~4=4b +8 o n co l l -O + • I O J -O 62-4¿>-12=0 í % b -6 V Aplicamos la propiedad de Cardano. fa+p =3 W =1 Nos piden (a-4)(P-4) +7=a|3-4cí-4|3 +16+7 (a-4)(P-4)+7=«P-4(a+P ) +23 (a-4)(P-4) +7=aP-4(a+P) +23 t ~r ... (cx-4)(P-4)+7=1-12+ 23=12 Clave nm -i. ■ Si m y n son raíces de la ecuación x2-x+1=0, (b-6)(b+2)=0 Luego 0-6=0 v 0+2=0 b=6 v b=-2 - - calcule rnm+n+nn+m. ; K '> . v . : . ; 1 A) 0 B) 1 J D>:3 ' f Nos piden mm +n+rin+m. C) 2 E) 4 Clave Problema N.° 21 Si oí y p son raíces de la ecuación x2-3x +1=0/calcule el valor de (oc-4)(p-4) +7. A) 1 D) 12 B) 2 C) 7 E) -5 Resolución Nos piden el valor (a-4)(p-4)+7. Datos: en la ecuación x2-3x+1=0 sus raíces son a y p. Dato: m y n son raíces de la ecuación x¿-x+l=0 Aplicamos la propiedad de Car.dano. jm +n =1 mn =^ Luego, nos piden mm+n+nm+n m]+n} m+n=1 m+n , „n+m m +n =1 Clave
- 286. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.‘ 23 __ ’ ________ Dada la ecuación cuadrática 3x2+2x+5=0 de • 1 i raíces a y b, indique el valor de —+—. a b A) f D ) - f Resolución B ) í C ) 1 E) 1 1 Nos piden el valor de — . a b Datos: ay b son raíces de la ecuación 3x2+2x+5=0 Aplicamos la propiedad de Cafaano^ É ig r / a+b — — I 3 % 5 i V ° ' ° = 3 Hj, .. . . 1 1 a +b Nos piden - +- = ----- . a b ab Reemplazamos 2 3 • $ y i % 1 1 -- 1 —---- — > o b 5 1 1 -^(3) V - o + b~ 3-5 1 1 = _ 1 o + b 5 Problema N.* 24 ! C/ove Si a y (3 son soluciones de la ecuación x2+x -5=0, determine el valor de cc2+[32+a+p. A) 5 D) 0 B) 20 C) 10 E) -10 Resolución Nos piden a 2+p2+a+p. Datos: a y (3 son soluciones de la ecuación x2+x -5=0. Entonces Si a es solución a 2+a - 5=0 -> a 2+a=5 Si (3es solución p2+p-5=0 -4- p2+p=5 a 2+p2+a+P=10 Clave { P rcb le p i^ 25 Calcule el valor-de — —- si se sabe que -6 es #■ ¿y J - f una raíz.déjá ecuación ye+(o+3)x+a +2=0. V 'Kín ■ V§. 5v > < •v> Ñ < Z y ' D) 4 Resolución B) 5 C) 1 E) 0 Nos piden o-1 Dato: sea -6 una raíz de la ecuación x2+(o+3)x+o+2=0. Entonces (-6)2+(o+3)(-6)+o+2=0 36-6o-18+o+2=0 36-18+2=6o-o 20=5o o=4 (o— 1)-^3=1 Clave
- 287. Problema N .* 2GProblema N.’ 27 ( 0 r a + - + P+ V o j p^ Calcule el valor de si se sabe que a y P son las raíces de la siguien te ecuación en x. nvr-3mx+m=0] m> 0. A) 3m D) -6 Resolución B) m¿- 1 C) 6 E) 1 r o ra i í a + — + p +— V a) l p J í JmíF ¿ É s » Datos: sean cc y p las raíces de la ecuación í m » w c JP 'M I ^ ik m rjé 0 ¿ mx2-3mx+m=0. " • *' Æ '& y £ / # 4 ¡r * y 7 Aplicamos la propiedad de Cardáftcw»«^ aP = — — > ap =1 m a +p =Á -ÉH ll _> «+P =3- m J L V * %k % . S » %. .s* ftk. % .*> Nos piden 1 „ 1 0 1 1 a + - + p + - = a + p + - + - a p a p ' a+P a 3 a+p+~ í F “ 7 í 1i a + — + v a j í 1Ì P+ ¿ V P J =3+3=6 Clave Calcule el valor de — si se sabe que a y b son 4 raíces de la ecuación x2+n(n+3)x+n2=0, ade- 2 2 más, - + t =1- a b A) -1 B) 2 C) -8 D) 16 E) -2 Resolución Nos piden Datos: Sean a y b las raíces de la ecuación xz+n(n’+3)x+n2=0 2 _ .{£ á 2I r % J*¿ < *> f i 4 # , y U ;/ Aplicamos la propiedad de Cardano. ^ M o +b =-n{r¡+3) job =n2 Luego en (*) 1 + 1 =1 -> 12± 11 =1 -> 2(a+b)=ab a b ab 2[-n{n+3)]=n2 -> 2{-n2-3n)=n2 -2n2-6n=n2 -6n=n2+2n2 -6n=3n2 -> -2 n=n2 n2+2n=0 -+ n(n+2)=0 Luego n=0 v n=-2 3 n = -2 Clave
- 288. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.* 28 Determine al menor valor de n para que la ecuación x2-(3x+1)x+(2n+3)=0 presente raíces iguales. « 3 D) -1 C) 1 E) -9 > 4 . r Resolución Nos piden el menor valor de n. Observamos que la ecuación x2-(3 d +1)x +(2/i +3)=0 tiene raíces iguales. Entonces / A=0 [-(3n+1)]2-4(2n+3)=0 (3n+1)2-8n-12=0 9n2-+6n +1-8/7-12=0 Tenemos 9n2— 2/7-11=0 9n ^-11 n ^ 1 Luego (9/?-11)(/7+1)=0 9/7— 11=0 v /7+1=0 11. , n=— v n=— 9 Por lo tanto, el menor valor de n es -1 Clave .7 f Problema N.' 29 Con respecto a la ecuación cuadrática 2x2-6x +1=0 de raíces a y P, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. L oc+P=3 II. 0Cp=1 III. Si a > (3, entonces a -{3 =^7. A) VFF 8) V W C) FVF D) FFF E) VFV Resolución Los valores a y (3son raíces de la ecuación 2>r-6x+1=0. Aplicamos la propiedad de Cardano. a+(3=3 < * # , r i > Entonces {a +P)2-(a -P )2=4a(3 32-(a-(3)2=4- 2 i u 9 -(a -P )¿=2 9-2=(a-p)2 -> (cí-(3)2=7 a-(3 =V7 Por lo tanto, la secuencia correcta es VFV. Clave Problema N.* 30 En la ecuación cuadrática k2x¿+x+3k=0 de raíces a y ó, se verifica que a+b=2ab. Indique el valor de k. A) 1 B) - 1 C) 1 4 6 6 D, - i E) 0
- 289. Resolución Nos piden elvalor de k. Datos: La ecuación k2x2+x+3k=0 de raíces ay b. Además, a+b=2ab (*) Aplicamos el teorema de Cardano. , -1 a+b =— k2 . 3/r , 3 ab =— -> o ¿>=- k2 k Luego en (*) a+b=2ab A j í k2 k -k=6k2 — > 6k2+l<=0 k{6k+^=0 Luego k=0 v 6X+1=0 k=0 v A r=- - 6 Como la ecuación es cuadrática, entonces /c^O. .mm Nos piden la ecuación cuadrática de raíces 2o y 2b. ■ {2a+2b)x+(2a)(2n)=0 (*) Aplicarnos el teorema de Cardano. a+b=a+3 — > b =3 aó =12 — > o-3=12 o=4 Luego en (*) x2- 2(o +b)x + 4o¿>=0 x2-2(4 +3)x +4-4-3 =0 i ,y w . I ’ - 5 Problema K*.“31 C la v e x2-14x+48=0 % C la v e % . j Si las ecuaciones cuadráticas Si el conjunto solución de la ecuación cuadrá tica x2-(o+3)x+12=0 es {o; ó}, indique la ecua ción cuadrática de raíces 2o y 2b. A) x2+4x +T=0 B) 2x2~14x +1=0 C) x2-10x+1=0 D) x2-14x +48=0 E) x2-2 x +1=0 8x2-(2 o-1)^+2=0 4x2-6x+5b+2=0 son equivalentes, determine el valor de A) -13 B) 65 C) 13 D) ® , E) 3 2 Resolución Nos piden el valor de —. b Dato: las siguientes ecuaciones son equiva lentes: 8x2- ( 2o- 1)x +2=0 4x2-6x+5b+2=0 Cr | Q
- 290. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Aplicamos el teorema de ecuaciones cuadráti cas equivalentes. 8 = -{2o-1) 2 4 — 6 5b+2 De la expresión obtenemos 2 = 2o-1 12=2o-1 13=2o 13 o = — 2 / = 1= i 5b+2 1 5b+2 504-2=1 5b=-1 b =~ l / Luego nos piden —. b 13 a _ 2 _ 65 5 Pfnh!rsrnn i ^ « 5 i ¡ Ll4.i í I e* i » > V ..I f l # ív t Am? 1 v y v v . C/ove "i .......... <T^ " V % w V / V Resolución Nos piden hallar el conjunto solución. Dato: x2+(b-3)x+4b=0; donde a y {3 son raíces. Además (*) “ = É =_? Pa Aplicamos el teorema de Cardano. |a+P =-(b- 3) Iap =4b Luego en (*) a (3 — f — P a a p _ —+—=-2 f fTp S .7 C / y t P ^ 2 a P I v a 2+P¿ ap = -2 « ; 'VVx/ .2 vÓ 2 Dada la ecuación en la variable x, x2+(b-3)x+4b=0 de raíces a y P, se cumple a p - que - + - =-2 . p a Determine el conjunto solución de la ecuación anterior. A) {2;-2} B) {12} C) {12;-12} D) {2- V3; - 2V -3} E) {2V3/; -2>/3/} a -rp +2ap=0 (a+p)2 =0 [-(b-3)]2=0 (6 -3)2=0 -> 6=3 Luego, en la ecuación x2-r(b-3)x-r4b=0 ir t >r+12=0 — > ^=-12 x =±V-12 — > x =±2¡3i CS={2n & ;-2V3/} Clave
- 291. Capítulo 7 Problema N.’34 Calcule el valor de n si la ecuación 2x2-(n +5)x+2n+1=0 tiene como conjunto solución a {a; 2a}. A) 7 D) 15 B) 4 C) ! i 4 E ) i Resolución Nos piden el valor de n. Datos: tenemos la ecuación 2> f2-(n +5)x+2n+1=0; CS={af2a} Aplicamos el teorema de Cardano.,-, a+ 2a = n +5 ͧv é M a-2a- 2 2n +1 — > a-- n +5- :6 / 2 2n+TK V " " ' — » a =------ ( + n2+10n +25_ 2n +1 ^ / n2+10n+25=18n+9 n2-8n+16=0 2n +1 jr% í % % & -4 -4 Luego (n-4)(n-4)=0 n- 4 Problema N.°35 Dada la ecuación cuadrática x¿+bx+2c=0 y da raíces a y J3, se cumple que b =8c. Calcule el valor de 1+g2 1+P2 B) 1 A) 0 D) 3 Hesolucsón Nos piden el valor de 1+cd C) 2 E) 4 (*) 1+P2 Datos: x¿+bx+2c=0 de raíces a y P Además, ¿2=8c £ Í| Hallamos el discriminante de la ecuación. sü,#A=¿)2-4-(2c) X "r' +,/-X A = b 2-8c ’ c ^ y r 'v 8c-8c Á=0 La ecuación tiene raíces iguales es decir a=p. Luego en (*) 1+a 1+a ¿ 1+p2 1+a2 = 1 Clave Problema N.‘36 Resuelva la siguiente ecuación: xi -x2+x-'=0 Clave A) {-1; i: -i) B) {1; i) D) (1;-2/; 2/} C) {1;-/; < } E) {1+i; 1-0
- 292. COLECCIÓN ESENCIAL ■H Resolución Por dato,tenemos la ecuación x3-x 2+x-1=0 Agrupamos convenientemente. x3-x 2+x-1=0 ^(^1)+1(x-1) (x - l)(x 2+l) =0 x-1=0 v x2+1=0 x=1 v x2=1 X = y ¡ - V X =-/^1 X=1 V x=i CS={1; í ; -/'} Problema N.° 37 V f ?Clave > : V . - i . S í. V -;-v. ó - í> V* *v.v. X' En todas las ecuaciones calcule la suma de raíces, la suma de productos binarios y 'el — producto de raíces. a. 2x 3 + 5x 2+ 6 x - 9 = 0 b. x3+x+3=0 c. x 3+ x 2 +5= 0 d. 2x3+7x2+4x=x2+3x-2 Resolución a. La ecuación 2x3+5x2+6x-9=0 tiene las raíces a; p; 6. 2x 3+ 5x 2+ 6 x - 9 = 0 Aplicamos el teorema de Cardano. a+ p + 0 _ J 2 s af3+aP+a0 =- =3 a p 0 = (-9) 9 b. La ecuación x3+x+3=0 tiene las raíces a, P; 0. 1-x3+0-x2+1 x +3=0 i l Aplicamos el teorema de Cardano. a+ p + 0= --= O 1 aP +a0 +P0 =- =1 ape =- - =-3 c. La ecuación x3+x2+5=0 tiene las raíces á; P; 0. - :■ .■ ■ 1 - x 3 -rfí.*^+0x+5=0 í í Aplicamos el teorema de Cardano. a+p+0 =- - =-1 0 ccP+a0 +p0 =- =O ap0 =~ =-5 d. De la ecuación 2X3+ 7X2+4x=x2+ 3 x - 2 Efectuamos 2x 3+ 7x2 + 4 x - x2- 3 x + 2 = 0 2X3+6x 2+x + 2= 0 tiene las raíces a ; [5 y 0. 2x3+6x2+1x +2=0
- 293. Capítulo 7 Ecuaciones Aplicamosel teorema de Cardano. a+|3 +0 =- - =-3 ocp+a0+P9 =i ap0 = - | = -1 Problema N.° 38 Si la ecuación x3+>r+3=0 tiene como raíces a Xy x2y x3, calcule el valor de x3+x3+x3. A) -9 B) -5 C) -4 ■ :" X D) -3 / E) -2 . / . | ití Resolución | ^ y Nos piden x j+ x |+ x |. Dato: la ecuación x3+x+3=0, de raíces x{, x2; x3. Aplicamos el teorema de Cardano. x1+x2+x3= - j =0 x1 x2x3- ^- 3 'A NO OLVIDE Sa+b+c=0 — » ai +bi +c‘=3abc Tenemos que x1+y2+x3=0. Xi3+x23+x33=3x1 x2x3 x1 3+x23+x33=3(-3)=-9 Clave Problema M° 39 Si xv x2; x3 son las raíces de la ecuación 2x3+4x2+x +2=0, determine el valor de la expresión j_ j _ ji_ vx1+ x2 + x3 A) 0 D) 2 X .+ X . +X; B) -1 ;)• C) 1 E) 0,5 Resolución Tenemos la ecuación 2x3+4x2+x +2=0 de raíces xv x2, x3 Aplicamos el teorema de Cardano. xv+x2t x 3=-2 X1 X2+XjX3+x2x3- 2 á 2 2 x1 x2x3=-1 Nos piden f 1 1 1 X , x?x"i l xi*í [ x- x? I X1 X2X3 X1 X2X3 X 1 X2X3 J (x, +x2+x3) ^X2X3 + X 1 X3 +X.|X2 V X1X2X3 (x1+x2+x3) 2 1-17 (- 2) = r i l(- 2,=1 Clave
- 294. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.° 40 Si 1+2/ es una raíz de la ecuación de coefi cientes reales x3+2x2-nx+m=0, halle el valor de m+4n. A) 32 D) 30 B) 34 C) 31 E) 39 Resolución De la ecuación x3+2x2-r?x+m=0 de raíces Xy x2; x3, por dato una raíz es x,=1+2f Entonces x2=1-2< es otra raíz. Aplicamos el teorema de Cardano. x 1+ x 2+ x 3= - 2 1+J2Í +1- / 2Í +^3= -2 2+x3=-2 x 3= - 4 £ £ I m,^ 4 ¡¡F A 1 5~ v # w j$ W / V -•'V Como -4 es una raíz, entonces Remplazamos en la ecuación. Resolución De la ecuación (x+1)3=3x2, efectuamos x 3 + > / + 3 x +1 = ^ x 3+ 3 x + 1=0 (raíces a; b y c) Aplicamos el teorema de Cardano. a+b+c=Q ab+cic+bc=3 obc=-1 2 u2 2 .. . . , O ¿ (T Nos piden g + d + c + - — + — + — . be oc ao Homogenizamos las fracciones. , .# o3 b3 c3 a+# *S^ fibc r abe habe ■ y m - y . ^= ¡1 > f'5 t ¿3- = - ;, 3 3 +C # $a%b+&é<r (-4)3+2(-4)2-n(-4)+m=0 -64+32+4n+m=0 4n+m=64-32 4n+m=32 ¿¡c. % & A. '! Clave { ñ Problema N.° 41________________________________ Calcule el valor de o2 b2 c2 a+b+c+— +— +— be ac ab si se sabe que a, bycson las raíces de la ecua ción (x+1)3=3x2. A) 0 • > s C) 3 D) -3 E) 1 ,/ 'L.i* ¿7+ D + C + ----------- V abe 3ptíc ptíc =0+3=3 , a2 b2 c2 0+0+c+— +— +— =3 be ac ab Clave [ C } Problema N.”42 Si xv*x2; x3; x4 son raíces de la ecuación 2x 4 - x 2 + 2 = 0 , determine el valor de la expresión i ) + ( x i2 + x 22 + x 32 + x 42 (*13+x2J +x3J +x4 )• A) 0 D) -2 B) 1 C) 2 E) -1
- 295. Resolución Tenemos la ecuaciónbicuadrada 2x4~x2+2=0 cuyas raíces son x,=a; x2=-a; x3=fí; x4=-(l. Hallamos 3 3 3 3 *1 +*2 +*3 +*4 Reemplazamos a 3+(-a )3+p3+(-p)3 a 3- a 3+p3-p 3=0 • Problem a NT 43 Calcule la mayor solución de la ecuación /-13^+36=0. A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 6 Resolución Luego xi +x2 +x$ +x4=0 Por otro lado, tenemos ? 2 2 2 xf+x¿+x3 +x4 Reemplazamos a2+(- a)2+ 1 3 2+(- P)2 a2+ a 2+P2+P2 2a2+2|32 Z.(ct +P ) - € ■ ’ 2 . v_2+yJ + x/ =1 § m x- ¿ ■ % I m i « i -• ■ -Á , ; De la ecuación a,4-13x2+36=0 Factorizamos / - 1 3 x2+36=0 (x2-9 )(x2-4 ) =0 Aplicamos la diferencia de cuadrados. (x-j-3)(x- 3)(x+2)(x-2)=0 Luego ■ x--3 v x=3 v x--2 v x=2 Por lo tanto, la mayor solución es igual a 3. Clave 3 > , Problema NT 44 Calcule el menor valor de m, si se sabe que en la ecuación bicuadrada x4-2m2 xz+m=0 el producto de 3 raíces es m. X Z+X2 +X3 +X4 X,3 +X ,3 +X ,3 +X43+X,2 +x22+x33+X43 =1 I ^ ____ — V -■ ■ ■ — " A) -1 D ) - - B) 3 2 E) 1 Clave Resolución Tenemos la ecuación bicuadrada xA~2m2x2+m=0 cuyas raíces son x^a; x2= -a; x3={3; x4=-P
- 296. COLECCIÓN ESENCIAL Aplicamos laspropiedades b y c, respectiva mente. oc2+p2=2m2 a 2p2=m . El producto de 3 raíces es m. x- ]x 2x3=m Entonces a(-a)&=m - a 2p=m crp=-m ! Probl.r??77 ' Y ,v : Lumbreras Editores ; La ecuación cúbica x3+2x+b=0 tiene raíces x-¡; i x2; x2. Determine el valor de x 2+x22+x32. A) 1 D) -4 B) 2 Q 3 E) 4 Resolución En x3+2x+b=0 sus raíces son *2; x3. Aplicamos el teorema de Cardano. Luego a 2p2=m a 2 -p-P =m .-y. f ?S 5 ít , ; W S S ' / ^ y *^ « fíK S « S i» iíW = -> -3=1 a 3=-i Como 3=-1 es la raíz de la ecuación, entfncel- x4-2m2 xz+m=0 % X , é ‘ Reemplazamos (-1 )4- 2 m 2(-1 )2+m=Ó 1-2m2+m=0 2m2-m -l=0 2m +1 X ^ X 2 + X3 =0 x y 2+x.]x2+x2x3-2 x1 x?x3=-b Luego ^ ! f 3 - % *' * * * * * * + ¿m & y i £ ' +2(x,x2 +X f M 1 X3 +X2Xi ) ..^¿XReemplázámos % i :1 % / C F J X 02=Xi2+x^ 2+a,^ 2+2(2) 0=x.,2+x22+x32+4 x1 2+a'22+x32=-4 Clave m -1 (2m+1)(^-1)=0 1 i m = - r v /W =1 Problema N.* 46 Si X{, x2; x3 son las raíces de la ecuación 2x3+x2-3 x +2=0, calcule el valor de A „ 1 1 1 M — -----+----- +— Por lo tanto, el menor valor de m es 1 2 Clave D) 1 X1 X2 *1*3 *2 *3 1 B) 1 C) -1 2 2 E) -2 3
- 297. Capítulo 7 Ecuaciones Resolución En laecuación 2X3+xz-3x+2=0, sus raíces son xv x2; x3. Aplicamos el teorema de Cardano. x^+X2+X3— X}X2 + X^X3 + X2X3 = - - X1 X2X3 = 1 1 1 Nos piden M = -----+----- +----- ■ X1 X2 XiX3 X2X3 V f a . & I '22 4P i ■ y#r y Homogenizamos las fracciones. X -3 X2 X -j M =— — +— — + ■ X1 X2X3 X1 X2X3 X1 X2X3 M = x3+* 2+x1 XX2X3 M =— 2 2 -1 M = 1 ¿¿t& ¿y „. S jp M . J 7 . Í Í . r '-• x ví ,J Clave y .,-;.-
- 298. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Resuelva la ecuación 2(3+5x)=-3+28x e indique la solución aumentada en dos. « i D)i B) - 2 C) E , i 2. Luego de resolver la ecuación _x__ T 7 _2 x 27 9 27' halle la solución disminuida en 11. A) 2 B) 6 D) 10 2x+3[x- (1- x )+2] +x=12 A) {2} B) {1} D) {4} j r f '■ rv-'' ’I^ A k P j> mpW # «fe* Y Arò ja ^ ó n :^ ;p V C) {12}. J - # ;. 4. Resuelva la ecuación E) {- % x - 7 x - 9 9 7 A) {10} D) {16} E) {18} Resuelva la siguiente ecuación: 2ax+4b=ax+5b+1 A) {a+b} D) B) m C) b+1 l o E) {a-b} 6. Resuelva la ecuación lineal x 1 2 1 . n - + - =— a, b*0. a b a b A) 2(fi a) B) {o+b} b b+a 0) 2b O E) '2(b-a) 7. De la siguiente igualdad a(b+1)=c(a-f-1)+b(a+1), despeje la incógnita a en función de b y c. b +c b+1 A) o =-----7 B) a=ob+c C) a = be- 1 • D) ,0 - “ : E) C 7= c +1 ¿)+1 c-1 ' v - ./• v V -vU ¡7 * 4 ^ • » V- #. * / S¡tetes la solución de la ecuación lineal * / c > W + 1 x - 2 _ t i. + t i ' determine la solución aumentada en 2. 2 7 2 9 2. A) — 3 = , i C) B) {12} C) {14} D) 2 E) 9. Resuelva la ecuación lineal mx2+2mx=3^+m+1. A) {3} D) {2} B) 0 !l E) 7 .6 J
- 299. Halle el denominadorde la solución de la siguiente ecuación: 2x +g ^ x - b _ 3ax+(o - b)2 ab a A) o D) o+b B) b C) ab E) a2 Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización: a. x2+x-'2=0 b. x¿-lx+M =0 c. 2y2+7y+3=0 d. 6x(x-1)=21-x Y Resuelva las siguientes ecuaciones por la fórmula general: a. xz+2x-S=0 b. xz-4x+2=0 c. 2x2+8x+1=0 d. 3x¿ - 6 x ^ = 0 1. V 'f y .2% , Dada la ecuación cuadrática (a-3)x2-ox+15=0, determine el valor de a para que las raíces de la ecuación sumen 2. Dada la ecuación cuadrática x 2-2ax+a2~X a e R + indique la mayor solución. A) 1 D) -1 B) <7-1 C) o+1 E) -o-1 Si el conjunto solución de una ecuación cuadrática ax2-ax+1=0 es {x0}f calcule el valor de o-x0. A) B) - 2 D) 1 C) 2 E) 4 17. C ,-rv;. ? Sea la ecuación cuadrática x -3x+5=0. v % ' Si sus raíces son r y s, halle el valor de (2r+1)(2s+1). A) 730 D) 18 B) 27 C) 14 E) 20 18. Si las raíces de la ecuación (2x-3)(x+5)=3(1-x) son a y (3, determine el valor de a+p+ap. A) 6 D) 4 B) 1 C) 3 E) -1 A) 14 D) -14 B) -28 C) 28 E) 20 Si la ecuación cuadrática 2x2+Xx+n=0, donde el CS={2; A+1}, calcule el valor de X'D. Si a es la solución de la ecuación X2 —y¡2.X +1=0, ? 1 calcule el valor de a +— y. or A) -2 D) 2 B) -1 C) 8 E) 3 A) 2 D) 0 B) 4 C) 1 E)
- 300. COLECCIÓN ESENCIAL V ,: ' ■ * - Si la ecuación cuadrática (¿>-1)x2+2i?x+4=0 presenta raíces iguales, ¿cuál es el valor de £ > ? A) 16 D) 4 B) -4 C) -16 E) 2 Si en x3-.y2- x - 1.5=0, cuyo CS={3; a; {3} donde a * p * 3, indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. a+P=-2 II. ap=5 III. 3a+3p+ap=1 A) W F B) VW f C) FFF D) FFV ( Í 0H 4W r a fir l 4 22. Si las raíces óex^+nv^+nx+m-Q' % «* son proporcionales a 2; 3 y 4, indique el valor de n. « i D) B) 39 39 Arí C) — f ■ • 4 / V - £) ^4 ,/* ; Si una de las raíces de la ecuación cúbica x3+ox2+¿?x=7 donde {a; b) eQ es 3+V2, calcule el valor de (a+b)2. A) 4 B) 25 C) 36 D) 49 E) 81 i. Sean x1 ;x 2;x 3 las raíces de x3+/r?x2+3x+/r?2-1=0 y además x1+x2+x3=0. Calcule el valor de *1*2*3’ 25. En la ecuación 2x3-3x-1=0 sus raíces son a; P y 0. Calcule el valor de 1 1 1 1 1 1 — }-—-j— i— —-i---- f-— — a P 0 ap a0 P0 A) 1 D) - B) - 3 C) - 2 E) -3 26. Si 0] byc son las raíces de la ecuación x3+3x2-3x=9, calcule el valor de a2+b2+c2. A) 10 D) 20 B) 15 C) 18 E) 25 Las raíces de la ecuación cúbica x3+9x2+,ax+15=0; donde oeQ , están en progresión aritmética. Calcule el valor de a. ai W £.¿% £ W A ) ’13 B) 21 C) 22 !% £yD);;23;^ E) 24 , 2 28. f i la ecuación polinomial^ +o>r+5x-¿)=0; donde o a ¿ > g R. Si una raíz es igual a 2 - V i, calcule el valor de a-b. A) 4 D) -4 B) -6 C) 5 E) 6 B) 3 C) 0 E) -3 29. Si la ecuación cúbica x3-4x2+mx+n=0; donde {m; n) e R. Además, una raíz es (1+/); /= V— 1, halle una ecuación cuadrática de raíces m y n. A) x2+2x+24=0 B) x2+2x-8=0 C) x2-2x+24=0 D) x2-2x-24=0 E) x2+24x-2=0 A) 2 D) 1
- 301. Resuelva la ecuación a,4-5x2-36=0. A) {3;-3; 2 ;-2 } B) {3 ;-3 ;V 2 ;-V 2 } Q {3; -3; 2¿; D) {V 3 ;-V 3 ;2 ;-2 } E) í} Dada la ecuación bicuadrada x4-4 x2+1=0 halle /Ay B, donde • El valor A es la suma de los cuadrados de sus raíces. / A • El valor B es el producto de los cuadra dos de sus raíces. A) 8 a 4 B) 8 a 1 C) -8 a 1 D) 8 a -4 E) -8 a 8 32. Si a y P son las raíces de la ecuación xz-5x+2=0, indique la ecuación bicuadra da de raíces a y (3. A) x4+21x2+4=0 B) x4-21>r2-4=0 C) x4-217+4=0 D) x4-21x+4=0 E) x4-21x2+1=0 33. Construya una ecuación cuadrática cuyas , 1 raíces son 5 y - - . 7 3 A) 3x2-14x -5=0 B) 3x2+14x +5=0 C) 3x2-14x +5=0 D) x2-14x-5=0 E) 3x2-5x-14 Si las ecuaciones xz-Sx+6=0 3x+n =15 tienen una raíz común, halle el mayor valor de n. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 35. Si {5} es el conjunto solución de la ecuación Zy2-mx+n=0, halle el valor de m+n. A) 70 B) 75 C) 80 D) 90 E) 100 C l a v e s 1 6 1 1 16 21 26 31 2 7 i 12 17 22 27 32 3 8 13 18 23 28 33 4 9 14 19 24 29 34 5 10 15 20 25 30 35 Problema sin alternativas
- 303. En !a vidacotidiana solemos hacer muchas comparaciones como cuando vamos a una tienda y queremos establecer paralelos con los diferentes precios que hay para un artículo, o cuando establecemos similitudes con nuestros amigos o familiares en cuanto a la altura y vemos quién es más alto o quién es más bajo. La acción de comparar datos o elementos resulta ser una ac tividad muy frecuente y por eso es importante hacerlo ade cuadamente. Las matemáticas nos brindan las desigualdades como herramientas para comparar cantidades; por ello debe mos estudiarlas y aprender todo lo relacionado a ellas. • Conocer los cuatro tipos de desigualdades que existen. • Estudiar las propiedades básicas de las desigualdades. Aprender sobre los intervalos y las operaciones entre ellos. problemas sobre ¡as variaciones. Desarrollar problem as sobre m áxim os y m ínim os. ASOFIA Las desigualdades son útiles para comparar cantidades. Por ejemplo, cuando comparamos los precios de un artículo que se vende en distintos lugares y determinamos cuál es mayor o cuál es menor; o cuando un ingeniero civil mide y compa ra distintas longitudes para efectuar la construcción de una carretera nueva, puente, edificio u otra estructura. Asimismo las desigualdades son básicas para desarrollar los temas de inecuaciones y funciones donde usaremos las pro piedades que serán de mucha utilidad.
- 304. J • El signo> se lee: “mayor que”. • El signo < se lee: “menor que”. Desigualdades no estrictas • El signo > se lee: “mayor o igual que”. • El signo < se lee: “menor o igual que”. cuando a-b es positivo. Ejemplos . El número 5 es mayor que 2 porque 5-2=3 es positivo. • El número -3 es mayor que - -7 porque -3 -(-7)=4 es positivo. 1. DEFINICION Las desigualdades son las relaciones que sirven para poder comparar dos cantidades, es decir indican cuáí es el mayor o el menor entre ellas. Asimismo, incluye, la posibilidad de que ambas cantidades sean iguales. Primer caso La desigualdad o > b, la cual se lee: “a es mayor que b". Ejemplos • El número 5 es mayor que 3, se escribe 5 > 3. • La expresión 7 > 2 se lee: “7 es mayor que 2”. Segundo caso La desigualdad a < b, la cual se lee: “a es menor que b' Ejemplos ■ * ' ”X • La expresión 5 <6, se lee: “5 es menor que 6”. • El número 4 es menor que 10, se escribe 4 < 10. x . v* ' í? 0 .-v r < ■ • > > . A La desigualdad a > b, la cual se lee: “a es mayor o igual que b Ejemplos • 5 > 3 La desigualdad 5 L 3 se lee: “5 es mayor o igual a 3”. Como se cumple que 5 > 3, entonces la desigualdad 5 > 3 es ver dadera. • 7 > 7 La desigualdad 7 > 7 se lee: “7 es mayor o igual a 7”. Como se cumple una de las dos posibilidades (7=7), enton ces es verdadera. • 3 > 6 La desigualdad 3 > 6 se lee: “3 es mayor o igual a 6". Como no se cumple ninguna de las dos posibilidades, en tonces es falsa. La desigualdad a <b, se lee: “a es menor o igual que bn . Ejemplos • 3< 8 La desigualdad 3 < 8 se lee: “3 es menor o igual a 8". Es verdadera porque se cumple que 3 < 8, aunque no se concrete la igualdad.
- 305. Capítulo 8 Desigualdades -4 < 4 La desigualdad 4 < 4 se lee: “4 es menor o igual a 4”. Es verdadera porque se cumple que 4=4, aunque no plas me la otra posibilidad. * 8 < 2 j La desigualdad 8 < 2 se lee: “8 es menor o igual a 2”. Es falsa, porque no se cumple ninguna de las dos posibili dades. 1.1. Otras definiciones j 1. La desigualdad a < b equivale a b> a. Ejemplos e La desigualdad 5 > 2 se escribe también como 2 <5. 9 La desigualdad 3 < 7 se escribe también como 7 >3. 2. La desigüaldadá < b < c equivale a o < b y b < c . Ejemplos , ^ 1 > * O • La desigualdad 2 < x < 5 equivale a 2 <x a x < 5. Se lee; “x es mayor que 2 y a la vez menor que 5”. • La desigualdad 3 < x< 8 equivale a 3 < x a x <8. Se lee: “x es mayor que 3 y a la vez es menor que 8”. A p l ic a c ió n / '|5> Indique verdadero o falso según corresponda. | 3 < 7 III. 2 < 4 < 5 ||. 6 > 6 IV. 3 < 5 e-> 5 > 3 R e s o l u c i ó n I. Verdadero Porque se cumple que 3 < 7. II. Verdadero Porque se cumple que 6=6. III. Verdadero Porque 2 < 4 y 4 < 5. < Entre 20152015 y 2016Z015, ¿.cuál | es el mayor? La desigualdad a < b implica dos posibilidades: una es a < b y la otra es a-b. Si se cumple una de estas dos posibilidades, la desigualdad será verdadera. Esta posibilidad también ocurre con la desigualdad a > b IV. Verdadero La desigualdad 3 < 5 equivale a la desigualdad 5 > 3.
- 306. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Los radicales inexactos repre sentan números irracionales. Ejemplos • 75 [ . 75 ? . 75 : . 74 2. NUMEROS REALES Los números reales resultan de la unión de los .números racio nales e irracionales R=Q u I. Los números racionales son los enteros y las fracciones (cociente dos enteros). Los números irracionales se representan como números con infinitos deci males no periódicos, los cuales no pueden convertirse a frac ción. Ejemplo Se muestran los siguientes números: -2; 2 ; - 1 ; 0; 6; ^3; - ^5; 7t ¿Cuáles son números racionales y cuáles son irracionales? ^ '' • Los números -2; 0 y 6 son enteros, entonces son racionales. I i /f • Las fracciones^ v -— también son racionales. • Los números 73, -7 5 y jí no son enteros ni pueden expre- A* v íj 1 sarse como fracción, por lo tanto, son números i < ¡ x %J^ ‘ p tí !f, irracionales. L_____ .& 'V ;■ A * * ** v Enteros: -2; 0; 6; Fracciones: - ; 3 2 75=1,73... -75 =-1,70... (No son enteros y no pueden expresarse como fracción). 2.1. Recta numérica rea! Los números reales se representan geométricamente en la recta numérica real. 4 -3 -2 - 1 0 1 2 f‘ I* - neq.ifiv -
- 307. En esta rectaestán ubicados todos los números reales, tanto racionales como irracionales. Además, están ordenados de menor a mayor, en el sentido de izquierda a derecha. Esto quiere decir que si “a está a la izquier da de b” significa que “a es menor que b”. Ejemplos < — > El número 0 está a la izquierda de 5, entonces 0 < 5. 0 i 1 2 v ¿ 0,5 1,41 " f% , I— * ] / — El número - está a la izquierda de v 2, entonces - < v 2 . / 2 ' | ¡g fo Æ & , , > | ----- ' ■v ' El número -2 está a la izquierda de 0, entonces -2 < 0. V . *,4^ # 1^ #' . , j . £ i “ • 4- ti < f 7 4 tv.7 ■K y -3 0 El número -3 está a la izquierda de 7, entonces - 3 < 7. •8 :> s^ 0 El número -8 está a la izquierda de -5, entonces -8 < -5. A plicación 2 Ubique los siguientes números reales en la recta numérica. —; tí) yíZ; -1; -0 ,2 ; -5 R e s o l u c i ó n D e b e m o s u b icarlo s en la recta num érica, en o rd en d e m en o r o mayor. Entonces tendremos lo siguiente: ¿Cuántos números reales están comprendidos entre 3 y 7? En la recta numérica se observa lo siguiente: • Un número positivo es mayor que cero. • Unnúmeronegativoesmenor que cero. • Unnúmeronegativoesmenor que uno positivo. • En el caso de dos negativos, el más grande estará ubica do en la recta a la izquierda del otro y por ende, será el menor entre ellos. 1 - 0,2 0 ! 2
- 308. OLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores sá t ia b c E E Í valores reales de x verifican con la desigualdad X*+1 > 0? Si un número real no es positi vo ni negativo ni tampoco cero, ¿entonces qué es? ^Importante Los números positivos tienen la siguiente propiedad: La suma o el producto de nú meros positivos también es po sitivo. 2.2. Números positivos y negativos En la recta numérica, los números positivos están ubicados a la derecha del cero, es decir, son mayores que cero, y los números negativos están ubicados a la izquierda del cero, o sea, son menores que cero. Entonces tendremos en cuenta los siguientes puntos: 1. Cuando un número real x es positivo, escribiremos x > 0. 2. Cuando un número real x es negativo, escribiremos x<0. 3. 'Cuando un número real x es positivo, entonces su opuesto, -x, será negativo. Ejemplos • Como 5 es positivo, se escribirá 5 > 0. / á, ° Como 2 > 0, significa que 2 es positivo. ■r f : , • Como -7 es negativo, se escribirá -7 < 0. • Como -4 < 0, significa que -4 es negativo. w / f * £ x . • Como 3 es positivo, entonces -3 es negativo. 2.3. Ley de tricotomía V* Los números reales son de tres tipos: los positivos, los negati vos y el cero. *. 1. " Es decir, si xes un número real, entonces se cumple solo una de las siguientes posibilidades: x < 0 v x=0 v x > 0 ! s ____________________ ____ _______J Ejemplos • Si un número real no es negativo, entonces solo podrá ser cero o positivo. • Si un número real no es positivo ni negativo, entonces solo le queda la opción de ser cero. • Si un número real es diferente de cero, entonces será positivo o negativo.
- 309. Capítulo 8 Desigualdades 3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES 3.1. Tricotomía Dados dos números reales x y y, se cumple solo una de las siguientes posibilidades: x < y v x - y v x > y Ejemplo Cuando comparamos el número real x con el número 2, tendremos solo tres posibilidades que se excluyen entre sí, las cuales son x < 2 v x=2 v x> 2 3.2. TransitividacU^* a }< z y < z J , Ejemplos • Si x < 2 y 2 < 5, entonces x < 5. • Si x < 3 y 3 < 10, entonces x < 10. 3 3. M onotonía de la sarria Si a una desigualdad se le suma un número real a ambos miembros, esta mantiene su sentido. ----------- - > , x < y g IR — > X+C<y-rC _J Ejemplos l A la desigualdad 2 < 5 le sumamos 8 y tendremos 2+8 < 5+8 10 <13 Observe que se mantiene el sentido de la desigualdad. 2. A la desigualdad 3 < 7, le sumamos 10 y tendremos 3 +10 < 7 +10 13 <17 Observe que se mantiene el sentido de la desigualdad. C . ■ ■ E:Dato:curioso La transitividad se usa en la vida real. Por ejemplo, si Juan es mayor que Raúl, y Raúl es mayor que Pepe, ¿qué po demos decir de Juan y Pepe? Podemos decir que Juan es mayor que Pepe. En este caso, hemos aplicado la transitividad. El conjunto de los números reales positivos se represen ta como R + . El conjunto de los números reales negativos se repre senta como R~. A 3
- 310. ' Dato curicr« Jorgetiene 20 años y es el hermano mayor de Miguel que tiene 15 años. ¿Si pasan 30 años Jorge seguirá siendo mayor que Miguel? Sin importar el tiempo, Jorge siempre será mayor que Miguel. Estas ideas en términos de desigualdades se expresan como • Al inicio: 20 > 15 • Pasan 30 años: 20 + 30 > 15+30 • Al final: 50 > 45 La desigualdad se mantiene si se suma el mismo número a ambos miembros de la desigualdad. Si a es un número real negativo, entonces su inversa — también será un número real negativo. Simbólicamente Si a es un número real positivo, entonces su inversa — también será un número real positivo. Simbólicamente Sí a-0, entonces no tiene inversa. 3.4. Monotonía de la multiplicación Si a una desigualdad se le multiplica por un número positivo, la desigualdad mantiene su sentido. Ejemplo A la desigualdad 3 < 7, la multiplicamos por 10. (3)00) < (7)(10) 30 <70 Observamos que se mantiene el sentido de la desigualdad. Otras propiedades a. , < y ex > c y Si multiplicamos por un número negativo a ambos miem bros de una. desigualdad, esta cambia de sentido. % iw i/i Ejemplo y Si a la desigualdad 2 < 6 la multiplicamos p o r-5 , tendremos (-5)(2) > (-5)(6) ^ X y -10 > -30 Observamos qué cambia el sentido de la desigualdad. b. Al invertir los números, la desigualdad cambiará de sentido. En ambos miembros, los números deben ser del mismo signo. Ejemplos 1. En la desigualdad 2 < 5, ambos extremos son positivos, entonces aplicaremos esta propiedad. Invertimos 1 1 —>- 2 5 Por lo tanto, la desigualdad cambió de sentido.
- 311. Capítulo 8 Desigualdades 2.En la desigualdad -3 < -2 , ambos extremos son del mismo signo, entonces aplicaremos esta propiedad. Invertimos 3 > 2 Por lo tanto, la desigualdad cambió de sentido. c. 0 < x < y — > x2 " 1 / *1 ~ rr < y ; n e Si ambos extremos son positivos y se elevan a un exponente par, mantendremos el sentido de la desigualdad. Ejemplos 2 < 3 ,2i<; 32 3 < ÉL< 5 is é*%w 4 d. _______ k í -------- H , . . r 4 o Si ambos extremos son negativos y se elevan a un expo nente par, la desigualdad cambiará de sentido. Ejemplos % I jffyt&SSiP H. y? X ^ . -7 < -2 — K . (-7)2 > (-2)Z . -5 < -3 -» (-5)4 >(-3)4 o¿^ Si los extremos de una desigual dad son de signos opuestos, al invertir ambos extremos, no puede aplicarse la propiedad la cual es válida solo cuando los extremos tienen el mismo signo. e. j x <y ' < / Sin importar los signos de x yy, al elevarlos a un exponente impar, la desigualdad mantendrá su sentido. Ejemplos . 2 <3 — > 23<33 . -5 <1 -» (-5)3<13 . -3 < -2 -» (-3)5<(-2)5 5
- 312. En una desigualdad,si los ex tremos tienen signos opuestos, no es válido elevarlos a un ex ponente par. Ejemplo -5 <4 -> (-5)2<42 ¡ERROR! Es incorrecto proceder así < y '2 -> x < y No es válido cancelar el expo nente par sin conocer los signos de x y y- Encuentre los valores reales de x, [ tal quex2 < 9. También es válido el proceso de regreso. Por ese motivo, cuando el exponente es impar, lo podemos cancelar y la desigualdad mantendrá su sentido. Ejemplos 0 (-7)/ 3<(-6)3 — > - 7 < - 6 * 4/ < 5 ^ - > 4 < 5 • XW Í <2W Í * <2 y 4. INTERVALOS Se llama intervalo al conjunto que agrupa a todos los números reales comprendidos entre dos extremos, los cuales pueden ser números reales o los símbolos +00o — °°. Ejemplos 1. ¿Qué conjunto agrupa a todos los números reales com prendidos entre 2 y 5 sin contar estos extremos? Debemos tener en cuenta que entre 2 y 5 hay infinitos números reales y e conjunto que los agrupa es el intervalo abierto de 2 a 5 que se representa como A=(2; 5). 2. ¿Qué conjunto agrupa a todos los números reales com prendidos entre 3 y 7 si se cuenta a ambos extremos? B --- --------- ■ ■.»---- K 3 7 El conjunto que los agrupa es el intervalo cerrado de 3 a 7, que se representa como B=[3; 7]. 3. ¿Qué conjunto agrupa a todos los números reales mayores que 4? El conjunto que los agrupa es el intervalo de 4 a +«», que se representa como C=(4; + < *> ).
- 313. 4.1. Clasificación Sean oy b números reales, tales que a<b. Los intervalos se clasifican en los siguientes tipos: Intervalo abierto (a; b) (a; ¿>)={xe R /a <x< b) Intervalo cerrado [o; b [a; b]={xe R/a<x<b) Inten/alos (a: b] (o; b]={x f£ R/a <x<b) semiabiertos [a: b) [a; b)={x e ¡R/a <x<b} (a; + < *> ) (o; +<»>={x e R /x > a) [a; +°o) [a; +o o )=(x g R /x > a) Intervalos no "v %í^ o b)={x e R/x<bj acotados <-°°; b) • <-°°; b] (~oo; b]-{XG R/x < bj +“ > # I., (joo; +oo)-R . /X JO * • 4.1.1. I n t e r v a l o • - Se caracteriza por no incluir a los extremos. Ejemplo V 4=(3; 5) T r:.. p % W A %' ■ + ? ------ o---------o------ — ► ^ 3 3 Este intervalo agrupa a todos los números reales comprendidos entre 3 y 5, sin contar a estos valores. Es decir, 3 y 5 no pertenecen a este intervalo. 4.1.2. Intervalo cerrado Se caracteriza porque incluye a los extremos. Ejem plo A=[2; 6] /A * . «-----------------♦ ------- -— ► 2 6 Este intervalo agrupa a todos los números reales comprendidos entre 2 y 6 incluyendo a estos valores. r~ . .Importante En la recta numérica real • •••: 0 1 2 . — El símbolo +oo no es un núme ro real, así que no es correcto establecer desigualdades con este símbolo. El símbolo +oo se usa para indicar que los números reales positivos aumentan ilimitada mente, lo mismo ocurre con el símbolo -oo. Tenga en cuenta que entre 2 y 5 hay infinitos números reales. Entre ellos están los enteros 3 y 4, y además números decimales como 2,1; n; 4,9;... • •. "T rt d .n No cometamos el error de contar solo los números enteros. V
- 314. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 4.1.3. Intervalo semiabierto Se caracteriza porque incluye a un extremo y al otro no. Cuando un extremo es +°° o el intervalo se llama inter valo no acotado. i Los extremos +«. o siempre se representan de forma abierta. No olvide intervalos denominados 1o, cerrado y semiabierto imán intervalos acotados. Ejemplo A=[2; 9) A < -----♦ -------------o-----> 2 9 Este intervalo agrupa a todos los números reales comprendidos entre 2 y 9 e incluye al 2 (porque es cerrado), pero no al 9 (porque es abierto). Es decir, 2. e 4 y 9 g A. 4.1.4. Intervalos no acotados Se caracterizan porque uno de sus extremos es infinito positivo o infinito negativo. Ejemplos * 4 = [3 ;-feo) 5] 4 ' r ^ 3 • :* M :----------# ^ . >...• 'm j~~------------ — ' • %— — - - > 4.2. Representación geométrirí-á ' ',4.^’ ’ Un intervalo acotado geométricamente representa a un seg mento. En cambio, un intervalo no acotado representa una se mirrecta o toda la recta. Ejemplos • El intervalo A=[3; 5] es el segmento que va de 3 a 5. • El intervalo B=[2; +«») es la semirrecta que va de 2 a -foo. *----- »---------------------------r----------*. 4.3. Longitud de un intervalo El intervalo A =[o; ¿> ] geométricamente representa un segmento. A ◄ #— -------------------*
- 315. Su longitud sedefine com o Q{A)=b-al donde 0(4) significa: “longitud del intervalo A”. Ejemplos • A=[2; 5] -> 0(4)=5-2=3 h • fl=[3;8] -> fi(fi)=8-3=5 • C=[4; 5] -4 fi(Q=5-4=1 • D=[1; 9] % 0(D)=9-1=8 ., :i .. ■ " Cuando graficam os los intervalos A = {2; 5] y fí=<3; 7], ambos representan segmentos. 4 ._C > O ----- • ------------ •— » - O bservam os que se hace confuso diferenciar qué gráfico es de /A y cuál es de B. Por ese motivo, los representaremos de la siguiente manera: o • o • De este modo, se distinguen los gráficos de ambos intervalos. Cuando se grafiquen dos o más intervalos juntos, se hará de esta manera, pero sin olvidar que esta es solo una representa ción por conveniencia, ya que los intervalos realmente son los segm entos de la recta. Si alguno de los extremos de un intervalo es abierto, su longitud se calcula de la misma manera que en un intervalo cerrado. Ejemplo A={2] 10] -> í(/4)=10-2=8 0 » 1 ---------- ---------------i Los intervalos no acotados como B=(2; +“> } no presentan longitud. En cambio, los intervalos acota dos sí tienen longitud.
- 316. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores 4.5.Operaciones Los intervalos son un tipo especial de conjunto y como tal se pueden realizar operaciones entre ellos, como la unión, la intersección, la diferencia o el complemento. 3 / 4.5.1. Unión Dados dos intervalos A y B, su unión A u B es el conjunto que agrupa a los elementos de A y también a los elementos de B. : : ^ A u B = { x £ 2 / x ¿ A v x £ B ] | l_____________________________________ J Ejemplos 1. Se tienen los intervalos A=(2; 5] y B=(3; 7]. Su representación en la recta numérica es '■ /í AuB=(2;7] 2. Se tienen los intervalos 4=[5; 9) y B-{3; 10J. En la recta n um érica, ten em o s ' Á 4 V . .. I 9 10 Observamos que 4 está incluido en B, entonces su unión es el intervalo A. A yj B=(3; 10] 3. Se tienen los intervalos 4=<2; 4] y B=[5; 6). En la recta numérica Estos intervalos son disjuntos y en tal caso su unión queda representada de la siguiente manera: ¿ u f í = (2 ;4 ]u [2 ;4 )
- 317. 4.5.2. Intersección Dados dosintervalos A y B, su intersección Á n B agrupa a todos los elementos en común de A y fí. A n B-{x e R j x e A a x e B ) V __ ___ J Ejemplos 1. Se tienen los intervalos A =(3; 6] y B=[5; 8] En la recta numérica, tenemos B — • A ,— ---------------- -♦ . c____ j L -i________ i «—l-------- 1 — i--------- I—> 3 5 6 8 Ejemplos 1. Se tienen los intervalos A=(3; 5] y B=[4; 9], En la recta numérica, tenemos 4 B 3 4 5 A n B=[4; 5] 2. Se tienen los intervalos A=(2; 9] y S=<3; 4). En la recta numérica, tenemos —¡ t 2 3 4 9 Como B está incluido en A, su intersección es el intervalo B. A n B=B=(3] 4) Á 3. Se tienen los intervalos A=<2; 3) y B=(S; 6). En la recta numérica, tenemos ~> 4 „ oJLo 2 3 Estos son intervalos disjuntos, ya que no tienen ningún elemento en común. A n 5=0 4.5.3. Diferencia Dados dos intervalos A y B, la diferencia A-6 agrupa a los elementos que están solo en A. C 1 ; A -B~{> 2 ./> e A a x / B ) Cuando calculamos A-B, el extremo de B cambia. En B, el extremo 5 está cerrado; pero en A-B, este extremo será abierto A-B=(3; 5) Se tienen los intervalos A=<5; 9] y B=(6; 8], En la recta numérica, tenemos B X Al calcular A-B, los extremos de B sí cam bian. En B,-e extremo 6 está abierto, pero en A-B será cerrado. En B, el extremo 8 está cerrado, pero en A-B será abierto. A-B=(5; 6] u (8; 9] 4.5.4. Complemento El complemento de A denotado como Ac es el conjunto que agrupa a todos los números reales que no pertenecen a A. ~ ) 4 “={x e R /x *¿A] | Ejemplos 1. Se tiene el intervalo A=<3; +«>). En la recta numérica, tenemos 4 AC En A, el extremo 3 está abierto, pero en A( será cerrado. ¿ c=<-~; 3]
- 318. El c om p le m e n t o de A también se p u e d e d e fin ir c o m o A C = R - A E n A y A c n o d e b e h a b e r n in g ú n e le m e n t o e n c o m ú n . Sí A y A están unidos, deben fo rm a r t o d o R (total de la recta). 2. Se tiene el intervalo A={2; 5]. En la recta numérica, tenemos — o o A ► A. Ac A ---------- 2 5 *c /i En A, el extremo 2 está abierto, pero en Ac será cerrado. En A, el extremo 5 está cerrado, pero en Ac será abierto. /4C={— «o; 2] kj (5; +°°) 4.6. Relación de los intervalos con las desigualdades Caso 1 x e (a; b) < -» a <x<b Ejemplos / x e 3 < x< 4 > • 2<x49 ' W ^ : x é ^ 2 ; . 0 ' f * 'Z/' Jj Caso 2 ¿ s* w Á f j / » , X! . ,-r - x e [a; b] < -» a < x<b , ^0, Jf 4 r , Ejemplos i ' } %• ' jf N > . x ) ’ V • x e [1; 6] < -> 1<> r< 6 ;i % m s • 3 < x < 4 < r4 x e.[3; 4] Caso 3 x e (a; b] o <x<b Ejemplos • x e < 1; 8] 1 <x < 8 • 2 < x < 3 x e <2; 3] Caso 4 x e [a; b) < -> a < x<b Ejemplos • x e [4; 5) < -» 4 < x < 5 • 7 ^ x < 9 < -> x e [7; 5) . ■ i ■ í __________________ a
- 319. Caso 5 x e(a ;+00} x >a Ejemplos * x e <3; + 00) <_> y > 3 * x > 5 < -> x g (5;+ co ) Caso 6 xe<-co;6) o x < b Ejemplos 0 x g ( - 00; 4) < -> x < 4 * x < 7 < -> x e (— 7) Caso 7 i-ye/ / x e 5] h x e (-<>3 ; 8] 5. PRO BLEM AS SOBRE VARIACIO N ES Estos tipos de problemas consisten en lo siguiente: • Sea una expresión matemática que depende de la variable x. • La variable x toma los valores de un conjunto A, (A c R) el cual g e n eralm en te será un intervalo. • La variación de es el conjunto que agrupa a todos los valores de cuando x varía en A. • El problema consiste en hallar la variación de f(x). x g [a; +°o) < -» x > a í Cuando operamos con des igualdades hay que aplicar sus propiedades para no incurrir en errores.
- 320. COLECCIÓN ESENCIAL VÍ^^Ss^iMKiá^3s£Ái^> &*z.#3kr¿x±i'•.■»iX'v..- Aplicación 3 Halle la variación de fM=5x+1 cuando x e (2; 3]. Resolución Formamos fM a partir de los valores de x. Lumbreras Editores .vi ¿Ste (I ' . i t i ' . 2 < x< 3 10 < 5x< 15 11<5x-f-1<16> fM e (11; 16] Graficamos Si 2016x+1 G < 1; 2), determine la variación de x+2016. * .L .- .- J ^ — 4 ] 16 Por lo tanto, el conjunto que agrupa a los valores de f[x) es el intervalo (11; 16], ei cual representa su variación. 5.1. Cuando umpoíinomio lineal , • ' Para hallar la variación de f(x) Propiedades • Cuando se suma o se resta un número a una desigualdad, esta mantiene su sentido. • Cuando se multiplica o divide por un número positivo a una desigualdad, esta mantiene su sentido. • Cuando se multiplica o divide por un número negativo a una desigualdad, esta cambia de sentido. Aplicación 4 Halle la variación de f^=-Sx+2 si x e (-4; 5]. Resolución Formamos a partir de los valores de y. -4 < x < 5 (-5)(-4) > (— 5)(x) > (-5)(5) Observamos que cambió el sentido de la desigualdad debido a que hemos multiplicado por un número negativo.
- 321. Operamos 20> -5x> -25 j 22 > - S x + 2 >-23 -23<-5x +2<22 Graficamos ->ó- T7 Por lo tanto, la variación de es [-23; 22). A p l i c a c i ó n 5 ' " ■ k x - S Halle la suma de valores enteros de g ,x) =— -—si x e (-1; 13] f J0&'J m ? - % v 1 12#% R e s o l u c i ó n < ' Formamos f S a partir de los valores de x. -1 <x< 13 - 6 < x - 5 < 8 % ■ ! 6 x - 5 % ----< < — 2 2 2 - 3 < P m ¿ 4 Graficamos Para hallar la variación de una expresión fraccionaria, esta debe expresarse conveniente mente. Ejemplos ^ 5x +2 Í 5x +2 x +1 l X +'] 5x+2_ ^ +2 - ^ - 5 x +1 x +1 + 5x +2 x +t -3 x + 1 +5 6 x+2 x +4 6x +2 x +4 +6 6x+2 f r ú + 2 - 0 - 2 4 „ ----------- - = --------------------------------------------- +6 x+ 4 x+4 6x+ 2 -22 r ------ =------+6 x +4 x+ 4 La variación de es (-3; A). Los valores enteros de g (x) son -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4. El extremo -3 no cuenta porque está abierto, pero el extremo 4 sí porque está cerrado. ... + jyí) + / + / + 3 + 4 = 7
- 322. Ejem p los 11 • O< x < 5 — » —> - x 5 • 0 < x < 6 — > —>— x 6 • 0 < x < - -+ x >2 2 Reto at saber Si x e <2; 5> , halle la variación de 12 x - 2 ........................J 5.2. C u a n d o f , es una e x p re sió n fra c c io n a ria Se podrá hallar la variación de cuando tenga la forma / _ /•v1- a x + ó ex+ d ' c±Q entonces usaremos lo siguiente: Propiedad. Cuando tenemos a < x < b donde oyó tienen el mismo signo, 1 1 1 al invertir obtenemos a x b Con esta propiedad la desigualdad cambia de sentido. A p l i c a c i ó n 6 2 Halle la variación de =— - si x e < 1 ; 3). ,'Á?':/ X " l O fi R e s o l u c i ó n Formamos fw a partir de los valores de x. x e (1; 3)-. y Cf ", ,... ; ’ 1< x < 3 6 <x+5 < 8 Invertimos 6 x +5 8 ] X2 2 2 2 / - > ------ > - 6 x+5 8 Observamos que cambió el sentido de la desigualdad. Luego 1 1 í 2 2 ^7 < —--- < — 7 JA x +5 fS 4 3 1 / 1 4 < Ó ) < I Por lo tanto, la variación de f{x) es
- 323. Capítulo 8 Desigualdades Ap l ic a c ió n 7 3x+1 Halle la variación de =----- si x e (3; 5]. X “ u Invertimos y cambiamos el sentido de la desigualdad. 1 1 1 - > ------> - 1 x - 2 3 R e s o l u c ió n A la expresión le restamos el coeficiente principal de x en el numerador, el cual es 3, y para que no se altere, también le sumamos la misma cantidad. x - 2 3 10>— +3> —+3 x - 2 3 / 7 . / 3x4-1 Tenemos fw= x-2 Restamos y sumamos 3. — <— — f -3 < 10 3 x - 2 3X +1 X -2 ¡/ ¿v sjg sg í' V i É Wr A % . % Ê f rjè^ Æ - I J*4'' Por lo tanto, la variación de fM es -3 4-3 w Æip' *açr £ f / f ; ’0 Operamos ^ 4 -1 -^ 4 -6 Aplicación 8 T ¿ _V I %¡g? + -c?- ^ , ,íwjAíHaÍle:la variación de í , . =-----— si x e (1; 2l. V a ✓ • O * +1 ... .¿if -y. 5X4-3 f(x) - ' kx) x_2 x -2 4-3 +3 W ' R e s o l u c i ó n ’:-v. Restamos y sumamos 5 a f[x). Hemos conseguido eliminar la variable x del i numerador, ahora se encuentra en el denomi- • ; nador. Ahora, formaremos fM a partir de los i valores de x. j Tenem os que x e < 3; 5]. 3 <x^ 5 1< x-2 <3^ f[x) ~ kx)~ 5x4-3 -5 X4-1 ‘ +5 5 ¿ + 3 - & í- 5 hx)~ x +1 x+1 +5 +5 Form am os fw a partir de los valores de x. 1 < X £ 2 2 <X4-1 <3
- 324. COLECCIÓN ESENCIAL — Liti¡nerbante. Proceso decompletar cuadra dos en una cuadrática. Tenemos P{x)=xz+mx+n. Le sumamos y restamos v = * 2+mf+(f ) +n~ lf Agrupam os convenientemente PM ~ r+m x+1 — a m +n - l y Finalm ente ........ Invertimos ■ ■ ■ ■ Lumbreras Editores 15» -*I.;.C p r -~r*- ■ ■ 1 1 1 _ > ----- > - 2 x+1 3 2 2 ^ 2 — < 2 x +1 3 2 2 -1<- < x +1 3 2 2 4< — — +5<--+5 x +1 3 13 4 < fW S 3 / 13 Por lo tanto, la variación de es (4; y ''' /í'/fÜ y K 5.3. Cuando X es una cuadrática | X X 0$?J W | Para hallar la variación de f ^ J s ^ > , ¿y Propiedades'^ ■ > . f , a. b. E je m p lo s * • 2 <x < 5 22<x2 <5 4 <x2< 25 • 3< x< 7 -> 32<x2<72 9 <x2<49 Cuando a y b son negativos j a < x < b — > ¿r < ./ < n E je m p lo s • - 5 < x < - 3 -> (-3)2 < x 2<(-5) • -7 <x <-2 — » (-2)2<x2<(-7)2
- 325. E je mp lo s • - 3 < x < 5 -» 0 < / < 2 5 a - l < x < 2 0 < x z <49 Para aplicar correctamente cada una de estas propiedades hay que fijarse en los signos de los extremos antes de elevar al cuadrado. A p l ic a c ió n 9 Halle la variación de fw ^ + b x + 'l s x e < 1; 2). R e s o l u c ió n Expresamos f{x) convenientemente. f{x) =1-x2 + 6x+1 Sumamos la mitad del coeficiente del término lineal, que es 6 f (T2 elevado al cuadrado, es decir, 11 j y también le restamos esta misma cantidad para no alterar la expresión f{x). Tenemos / ¡ , ) = ¿ ± S í ± 3 - 9+ 1 /^=(x +3)2- 8 +1 O Intente completar cuadrados en las siguientes cuadráticas: 1. P(t} +10jf'-r1 2. 3. Q0r)=2x2+ 4 x + 9 Eviternos este error al aplicar la propiedad c. Ejemplos • - 2 < x < 3 -* (— 2) <Jd 2< 3 ¡ERROR» • -2 < x < 3 — > 0 5 x2 < 32 ¡ERROR!
- 326. 1 COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores uisidsda! Para hallar la variación de >?+2x, cuando x g (-2; 0> , el siguiente procedimiento es incorrecto. I. -2 < x < 0 -> 0 <x2< 4 ||. — 2 < x < 0 -> -4 < 2x< 0 - 4 <x2+2x <4 El intervalo (-4; 4) no es la variación dex2+2x. Formamos fM a partir de los valores de x. 1<x< 2 4 <x+3 < 5 ^ Elevamos 4¿ < (x+3)2 < S2 sío,adrMi 16 < (x+3)2<25 8<(r+3)2— 8<17 » J " Graficamos 8 17 Por lo tanto, la variación de es < 8; 17). A p l i c a c i ó n 10 Halle la variación de fM = 2x2+6x+5 si x e (-4; -3). R e s o l u c i ó n Como no es un polinomio mónico, primero factorizamos su coeficiente principal. k x ) ~ 2 ( x 2+3x +- Luego completamos cuadrados, es decir, le sumamos la mitad ( 3 y también le restamos la misma de 3 al cuadrado, o sea, 2 ) cantidad para que no se altere f(x). r , í r f M fM = 2 2 f 3 Ÿ f3'f 5Ì x" +3x+ - - 1 U J ,2 ,1 2 ) '< *> -< *+ !) +12
- 327. Capítulo 8 Desigualdades Formamosa partir de los valores de x. -4 <x <-3 - 4 + ! < x + f < - 3 + - '..2 2 v_2 5 3 3 -~ < x+ -< --- 2 2 2 : í - 3 ' 2 l 2. I 3Ÿ T + 2, ' - - i , 2, Operamos 3 x +- 2 2 ) 25 9 f 3 Y 25 —<2 x + - <— 2 l 2 2 9 1 3 .2 2 l 2; 2 1 25 1 , H — < 1 — 2 2 2 5 5 < f(x) < 13 /(x)e < 5' 13> A p l ic a c ió n 11 Halle la variación de fM = -x ¿ - 6 x +1 si xe(-5; 0). R e s o l u c ió n Expresamos f{x) convenientemente. /w = -(x2+6x - l) ^ )= -í y2+6y+( ! ) - ( ! ) - 1 , V /Jx, = - { x 2 + 6 x + 9 - 9-l) fM=-(jf+3)2+10 io Formamos fM a partir de los valores de x. -5 <x< 0 -2 <x+3 < 3 Elevamos al cuadrado y como los extremos son de signos contrarios tendremos 0 < (x+3)2< 9 0 >-(x+3)2>-9 10 >-(x+3r+10 >1 + 10 1<f(,)<10 Por lo tanto, la variación de f[x] es (1; 10]. 6. P R O B LEM A S S O B R E M A X IM O S Y M ÍN IM O S Para resolver este tipo de problemas, tenemos: P ro p ied ad es a. r > u; x e R ~i J Esta propiedad indica que x2 solo puede ser positivo o cero, pero en ningún caso negativo. También significa que el mínimo valor de x2 es igual a cero. b. S l Z z t á - . o . b e L 2 Esta propiedad, conocida como desigual dad de las medias, indica que la media aritmética de o y ó que es es mayor o igual que su media geométrica que es Ja b . __________
- 328. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Sea la cuadrática P^ =ax2+bx+c, donde x e R 1. Cuando a > 0, P(x) tiene un mínimo, el cual es P(_b, 2. Cuando a < 0, tiene un máximo, el cual es P , by i.2o J • Ejemplo P(x)=Vx2+4x+7;xe R Como t?=1 >0, P(x) tiene un valor mínimo el cual se calcula como; -P t Mmín -4 2(1 ) ^ w = p(- 2) w , = 1<-2)2+4(- 2)+7 A p l ic a c ió n 12 Halle el mínimo valor de f^ = x ¿ + 8 x + 5 si x e R. R e s o l u c ió n Completamos cuadrados. /m = x 2 + 8 x + b J l'8'l U J +5 f{'<) ~ F 2 + 8x h- 16-16 + 5 f [x]= {x + 4 )2 - 1 1 Como x e R, entonces (x + 4 )¿ > 0. Luego (X + 4)2 > 0 , | (x +4)2-11>0-11 ^ ........v J í .>-% vv Graficamos / • # ■# M :Á í % . > X 1 / < 6 * ^ .. * c - % i * Observamos que/^ varía en el intervalo [-11; +00). Por lo tanto, el mínimo valor de es -11. A p l ic a c ió n 13 Halle el máximo valor de f^ = ~ x ¿ + lOx-h3 si x e R. R e s o l u c ió n Completamos cuadrados fM = - x 2 + 10x+3 f{x)= - (> c - 10x-3) hx) = " f fiof (iof _ x2-10x+ — - — -3 V I 2 ; V 2 ; J
- 329. fM = -( x 2 - IOx+25- 25- 3) (JÍ-5Y fM= -(x-5 )2+28 Como x e R, entonces (x-5)2>0. (*-5 )2>0 - (x -5 )2<0 - (x -5 )2 +28<28 fM - 28 Gfatica mos A S.-y l ■ ■ a: '(;W' /y'& ■ ■ ■ 1 28 Observamos que/^ varía en (-«»; 28]. W J m A / __ ¿{y.l Por lo tanto, él máximo valor de es 28. - * - v A p l i c a c i ó n 14 ¿ X r J ' Si xy= 9, con x; y e R +, halle el mínimo valor de x+y. R e s o l u c i ó n Como x y y son positivos, aplicaremos la desigualdad de las medias. Tenemos que Como xy= 9, entonces ^ > V 9 2 x + y 2:3 2 - x+ y ^ 6 Otra desigualdad muy útil en los problemas de máximos o míni mos es la siguiente: Para Lo que implica que para x>0, x +— , como mínimo es 2. x o Halle el mínimo valor de 2 7 7 2 2 2 r x + y x“ +z y ¿ + z¿ xy xz yz si x ; y z e R + . Por lo tanto, el mínimo valor de x+ y es 6.
- 330. TiJirf— rn:;.i ^fc^vw .- - ______- COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores u m i ■ UúM ytú¿. Otras desigualdades 1. a 2+ b 2+<? >a b + a c+ b c a; b; c e R ; 2. (o+¿>)(o+c)(6+c) ¿ Qabc a; ¿> ; c g R + 3. [ab >y ^ j - ; o; b e R + :s i o + b ¡a2 +b2 ^ a + b , _ + 4. J — -— o) b) e R s¡ a2+b2=1; halle la variación de 30+40. A p l ic a c ió n 15 Si 2x+5y=3, con x¡ y e R + , halle el máximo valor de xy. R e s o l u c i ó n Aplicamos la desigualdad de las medias. Como 2x+5y=3, entonces - > ^ 0 x y Elevamos al cuadrado. 9 :10x y 40 > x y 1. ' ,£mXA ... giY¿m, x y s — 7 40 9 v -- '”^,í ^ 4 # / W S # 1 . # / * ■ ■ ■ ■ r O v v e Por lo tanto, el máximo valor de xy es — . , ^ 40 V A p l ic a c ió n 16 f _ x 2+9x +4 Halle el mínimo valor de /(X) - “ si x e R . R e s o l u c ió n Expresamos f,x) convenientemente. x2+9x +4 _ x2 9x 4 '(x) ~ x x + x +x f(x) =x +9+^ h*)~ x +- +9 V x )
- 331. I Capítulo 8 Aplicamos ladesigualdad de las medias. 4 ^ y Operamos 4 x + — — ■ ~ > 2 4 ' x + —> 4 +9 x + —+ 9>13 x f(x) HF* » JwW j. % JÊ? I sBTjÆ ^æ ê l 1 l / l Por lo tant|?, el í|»p im ^áíd r de fM es J |f | ? ‘y s :■ . - ■ A p l ic a c ió n 77 Halle el mínimo valor de (x) % % a2 + 5x +1 X ¿nL V * m ,^ si x > 0. % ✓ tf ,v%®¿ rf g ? R e s o l u c ió n Expresamos E convenientemente. r x2 5 x 1 E —-------1 --------1 — x x x r 1 £=x+5+— x £=I x+—|+5 x. Como x > 0, entonces el mínimo valor de x + —es 2. £ mín= 2 + 5 = 7 Desigualdades Desigualdad de Cauchy Paraa,£x,y e R+se cumple que {ax+byj2<(a2+b2)(x2+y2) f. :’;y Desigualdad do las m edias Para 3 valores Q+b- >iabc: a, b:c ’à ' ■ JiV - 'l-MI i !, i ; I v ; / V - x ' Para n valores X , + X -, ______ LL> n i , •X -v donde xc x2; ... ; x_ e R+ l v ¿) ?r? 1 1 -
- 332. COLECCIÓN ESENCIAL A pl ic a c ió n 78 Halle el máximo valor de x yz si x+2y+4z=12 y x; y , z e R + . R e s o l u c ió n Aplicamos la desigualdad de las medias. M A> M G Lumbreras Editores Como x+3y+9z=12, entonces y > t f í x y z 4 >2ifx y z Elevamos al cubo. 2 > l[xy z x y z < 8 Por lo tanto, el máximo valor de x y z es 8. / , ■ ? * XiáW ! > W JM ÍP # . m ■ & i % M % % ¿ * * * % l& / .S ? < • > % Louis Cauchy Nadó el 21 de agosto en París, Francia. Estudió en la Escuela Politécnica de París, donde obtuvo el título de ingeniería. Luego se dedicó a la investigación científica y su principal logro en esa época fue la demostración del teorema del número poligonal de Fermat, logrando el éxito donde otros matemáticos, como Gauss, fracasaron. Cauchy fue un analista prolífico que estudió diversas áreas de las matemática como la convergencia de series infinitas, teoría de grupos, determinados, probabilidades, física matemática, pero principalmente es reconocido por presentar las bases del análisis matemático. Además, pro cesó los conceptos de función, límite y continuidad que le dieron una base sólida al análisis infinitesimal. Antes de él, dichos conceptos eran ambiguos e imprecisos, apoyados principalmente por la intuición geométrica.
- 333. DESIGUALDADES Son relaciones quecomparan dos números reales que son >, <, >y <. Números reales En cada punto de la recta numérica está ubicado un número real. -co - 2 - 1 0 1 3 ... +co Número positivo y negativo • x > 0 < -> x es positivo • x < 0 x es negativo Ley de tricotomía Un número real x tiene una de las siguientes tres posibilidades: x>0 v x=0 v x>0 Propiedades de las desigualdades Monotomía de la adición y | multiplicación # iu | • x<y a ceR -> x+oy+c . • ex> cy Transitividad x < y a y <z —> x<z /— ~-... —....1 :f f. -f*.............— Problemas sobré variaciones l , .............. ¡ Variación de una expresión lineal 1. Al sumar o restar un número a una desigualdad, esta mantiene su sentido. 2. Al multiplicar por un número positivo, la desigualdad mantiene su sentido. 3. Al multiplicar por un número negativo la desigualdad cambia de sentido. y ; Variación de una ■ expresión fraccionaria Al invertir en una desigualdad se cumple . 1 1 1 a <x<b -» a x b , donde o y b son números reales del mismo signo. Variación de una cuadrática ’ Al elevar al cuadrado, se cumple lo siguiente 1 . Cuando a > 0 a b > 0 a < x < b a2<x2<b2 2. Cuando a <0 a ¿><0 a < x < b -» b2 <x2<a2 3. CuandoocO a ó>0 a<x<b — > 0 á x2< mayor {o2 ; ó2} Problemas sobre máximos y mínirnos r~ ________ l______ Para todo a e R, se cumple que a2> 0. { ..... _______ • ..... í Desigualdad de las medias >Jab, donde a; b e R + 2 Cuando a e R + , a + - como mínimo es 2. a
- 334. R ES OLV EM O S JU STO S Problema N.* 1 _______________________ Indique cuántas proposiciones son correctas. I. 8 <8 IV.— 6 >— 5 II. 9 >11 v . ^ < $ III. i > I 5 7 V. Correcta La proposición y¡2 < /3 es correcta, ya que . si elevamos al exponente 12 obtenemos 24<33 o 16 <27 verdadero ...... ; C/ove i r: / A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 Resolución I. Correcta En la proposición 8 <8se cumple una de las dos posibilidades. En este caso sí se cumple la igualdad. | J J II. Incorrecta En 9 > 1 1 no se cumple ninguna de las dos posibilidades. Incorrecta % % En la proposición observamos que ^(3)(7)>(5K5) 5 7 _ . falso Problema M.° 2___________________________ __ Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) respecto a las siguientes proposi ciones: I. [2; 6]={2; 3; 4; 5; 6} II. 3 e (3; 5] III. 7 e [7; 9} IV. (3;;+oo)'={xe R / x > 3} A) VFW B) VVVF C) FVVF D). FVFV E) FFW Resolución I. Falsa El intervalo [2; 6] agrupa a todos los nú meros reales comprendidos entre 2 y 6, incluyendo estos extremos. Es un error muy común contar solo los enteros y olvi darse de los demás números reales. IV . I n c o r r e c t a La p r o p o s ic ió n -6>-5, es in c o rre c ta , ya q u e al u b ic a r en la re c ta te n e m o s El número que está ubicado en el extremo izquierdo es menor, por ende, lo correcto será -6 < -5 . M -----•---♦— --•-----•-----♦.....* 2 3 4 J 5 } 6 En el intervalo [2; 6] no solo están los números enteros 2; 3; 4; 5 y 6. También hay decimales como 4,1 o 5,4 por nombrar algunos. Al contar los decimales notamos que hay infinitos números reales en este intervalo.
- 335. II. Falsa El intervalo< 3; 5] está abierto en 3, lo cual significa que 3 no pertenece a este intervalo. III. Verdadera El intervalo [7; 9) está cerrado en 7, lo cual significa que 7 pertenece a este intervalo. IV. Verdadera El intervalo < 3; + < *> ) agrupa a los números reales que son mayores que 3 y simbólica mente se expresa como {* e R/x >3}. C la ve Problema N.' ■ % > Sean los intervalos A ={-<*>] 5] y B = (0;"+°°)^ | Halle la suma de los elementosyenteros de J A n B. w Problema N.‘ h Sean los conjuntos /4={xe R/5 <x< 9} B={x<= R / 2 < x < 7 ) Calcule A - B . A) (2; 5) D) < 7; 9) B) [7; 9) C) < 5; 9) E) (2; 9) En el conjunto A , tenemos A = { x e R./5 <x < 9}=[5; 9) -----1 — •.. / ' | &^ $ En el. conjunto B, tenemos A) 14 D) 15 Reooladón B) 10 C) 12 E) 20 S=(xeR/2 <x< 7}={2; 7) ’ ‘ v , .< ¿ k ^ Importante 1+2+3+...+/ 7= á i » n(n +1) Calculamos Á n B. Calculamos A - B . A n B = (0; 5] Sus elementos enteros son 1; 2; 3; 4; 5. (5)(6) ,% 1+2+3+4+5= =15 El conjunto A - B es lo que queda en A, luego de quitar B. El extremo 7 está abierto en B, pero en A - B será cerrado. Esta es una regla que se cumple cuando se hace la diferencia de intervalos. A -B = [7 ; 9) Clave Clave
- 336. Halle >4-6 sise sabe que A = { x + 1e R /-3 <x< 5} 6={2x+10e R / - 3 < x < 5 } A) [2; 5 > D) (-4; 4) B) (-2; 5] C) [-2:4] E) [-2; 4) Sean los conjuntos A = (3; 5] B = [7;10> C=[4; 9) Calcule el número de elementos enteros de (4 u 6) n C. Resolución A) 5 B) 3 C) 6 En el conjunto A = { x +1e R /-3 <*< 5} D) 4 E) 7 debemos calcolar x+1. -3 <x< 5 Hallamos 4 u B. 1 - 2 < x+1 < 6 4=[-2; 6) ' En el conjunto 8 = {2 x+ 1 0 g R / - 3 <x <5} debemos calcular 2x+10. - 3 < x < 5 - 6 < 2x < 10 4 < 2x+10 < 20 6=[4; 20) Calculamos A - B . f¡ ■ %; l á w , í ■ 1; dm?? X• > /: 'V ,.v. ; I# - Kk''/ wir £• ■ i y- ■ • • • > .' 4 / ? * ■ v ? f .•4 u 6=<3; 5] u [7; 10) - ■ # ... i J « Calcularnos (4u 6) n C. ' . J (4 u 6) n C=[4; 5] u [7; 9 > Por lo tanto, hay 4 elementos enteros que son 4; 5; 7 y 8. C la v e 20 Problema N. 7 Si 4=(2; 10) y 8=(8; 14), calcule (4-8)c u 4. 4 -£ M -2 ;4 > Clave A) < 2; 8] B) < 0; 8] D) (2; 14) C) R-{2) E) R l
- 337. Capítulo 8 Desigualdades Resolución CalculamosA - B . A B 10 14 A - B = ( 2; 8] •cerraao en 3 Calculamos (A - B ) c . A - B y--------------- 2 ¡á Z-------------> ( A - B y JtémP/A ¿‘¿i/ .4% » » • .í> . . Al calcular el complemento, observamos que ^ ¿ W $ X ' Jm f ¿ v v y los extremos cambian. ( A - B ) c = ( - co; 2] u < 8; +~) Calculamos ( / 4 - f lf u A A ' 'A’ y r y ,r / ífc - ¥ '- ' f V% ¡ (A-8)C < > ---— --------- % M —------— < —CO ¿ 8 10 +~ •. ( A - B ) c u A=<-°°; -h»)=R Clave Problema N.' B Calcule la suma de los elementos enteros de A - B si A = ( - n ; 2 n ] y fl =(-V2; V I). Resolución Calculamos A-5. A A - B = ( - n ; -V 2 J u[V2; 2te] Ubicamos los elementos enteros de A-8. A-5 A-e o----------------© • ---------------♦ *71 '3 - 2 -V 2 T Í' 2 3 4 5 6 2n -3.14/ia%a' S Lt,‘n... M #ios elementos enteros de A - B son -3; -2; 2; 3; 4; 5; 6. 1 ' S .X J r + (^2) + ^ + X +4 +5+ 6 = 15 C la v e Problema M .’ 9 Sean los intervalos A ={ xeR/ 2<í± 5 } fí={x e R /-7 <2x-3 <13} Halle la longitud de A n B. C) 21 E) 12 A) 9 D) 6 B) 8 A) 18 D) 16 B) 15 C) 13 E) 7
- 338. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Resolución En el conjunto A, tenemos Problema N.' 10 2< x + S Operamos 6 < x + S 6-5 <* 1 < x *> 1 Gráficamos Sean los conjuntos A = { x e R / 2 x + 1 > 3 a 3x - 4 < 8 } fl=|3*+1eRy/|e/lj Halle el número de elementos enteros de B. B) 15 .:• • 1 +oo A=(1; +oo) En el conjunto B, tenemos -7<2x-3<13 -4 < 2x< 16 -2 < x < 8 Gráficamos ■ B +3 j. • ; | * "i t W j É F ! y _ 9 #C.% 5=(-2; 8] Calculamos A n B. A) 18 D) 20 Resolución En el conjunto A, tenemos 2^+1>3 a 3x-4<8 2 x > 2 a 3* <12 *>1 a x < 4 < < •4 A=<1; 4] „ w'jr % |mjel conjunto B, tenemos S = j3 x +1 e R / | e 4 f ,w * ’ fí ¡> — ------------------------- ’ A . _ r ■ ' _ 2 1 8 +°° A n B=(1; 8] Debemos calcular la longitud de A n B, la cual obtenemos si restamos los extremos. C (A -B )= 8 -1 = 7 P o r lo tanto, la longitud de A n Be s 7. Clave )<2 h C) 16 E) 15 Hallamos 3x+1. * A £A ¿ e ( i ; 4 ] 1<—<4 2 2 < x< 8 6 <3x <24 7 <3x+1 <25‘ B = (7; 25] Los elementos enteros de B son 8;9; 10;...;25. '------ ----- ---/ Por lo tanto, B tiene 18 elementos enteros. Clave
- 339. Problema N." 1 1 Six e (-2; 5], halle la variación de f _15-3x '<*>----- T ~ - . Problema 12 Si x e [1; 3), halle el número de valores enteros , f _ 24 de f(y - {x) 2x + Y A) 2 . 5 ' 4 '4 ; B) [0; 5) C) 0 1 H E) (0; 21 Resolución Formamos f {x) a partir de los valores de x. -2 <x< 5 6 >-3x> -15 21 >15-3x> 0 21 15-3x — > -------- >0 4 4 / { - 3) 415 - 4 .af JT /'i % X ) Luego 21 4 , 21 ° - f e < 4 Graficamos . J i 21 4 Por lo tanto, la variación de f{x) es 0; 21' 4/ Clave A) 2 D) 3 B) 5 C) 4 E) 6 Resolución Formamos f M a partir de los valores de x. 1<x< 3 2 < 2x< 6 3 <2x+1 <7 Invertimos { + # i 1 - -, 31 2Affi 7j % ì;| 5 » > J | £ ^ 2 4 " V * * 3 /~2x +1> 7 24 7 8 H x ì > — 24 , y < ^ ) - 8 Graficamos 24 4 5 6 7 8 7 1 3,4 . Los valores enteros de f(v) son 4; 5; 6; 7; 8. V Y Ü Por lo tanto, /L toma 5 valores enteros. Clave
- 340. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.’ 13 Halle la variación de f(x)=x2-4x+7 si x e (0; 5]. A) [0; 12] D) [3; 12) B) [7; 12] C) [4; 7] E) [3; 12] Resolución Como es una cuadrática, debemos comple tar cuadrados. / ■ (x)=x2- 4 x +7 L , =* 2- 4X+4+3 (x~2)':- fM=(x-2)2+3 Formamos /(x) a partir de lo| valorësd e x T | 0 <x< 5 r-' -2 < x-2 < 3 - 2 Luego 0 < ( x - 2 f < 9 3< (x-2)2+3<12 Resolución El conjunto A está formado por los valores de , x+5 la expresión —-----. x 2 -25 Simplificamos x+5 . 1 x2-25 > f S ) ( x - 5 ) x -5 Tenemos que 8<x+2<9 y a partir de ahí formamos — . x-5 8 <x +2 <9 6 <x< 7 1 < x -5 .<2 Invertimos v x y i 1 > - +3 f (X ) %, IP Por lo tanto, la variación de f{x) es [3; i Clave Problema N.‘ 14 Determine el equivalente del conjunto A = i X+. L /8 < x +2<9] í2 -25/ « CH / 1 r D) 5'5/ B) 1;1, Q 1;1/ E ) ( B a / „ O p íi-5 2 1 • % ^ 1 - < 2 x-5 2 ;1y <1 C lave Problema N.’ 15 Determine la suma del máximo y mínimo valor entero que puede tomar fM = 3x +5 x — 1 si X E (2; 3> . A) 14 D) 18 B) 15 C) 16 E) 20
- 341. Capítulo 8 Desigualdades Resolución Expresamosconvenientemente. fe) ~ 3x +5 v x-1 — 3+ 3 f e )“ _ M + 5 - M + 3 x-1 +3 8_ x-1 fe) = “ ^ +3 Tenemos que x e (2; 3) y a partir de ahí forma- mos f(x). 2 < x < 3 1 <x-1 < 2 Invertimos - i 1 1 1>— - > - x-1 2 8> — >4 x-1 11> — +3>7 x -1 7 /ó 7 </(*)<11 Gratamos . . . c z ----------------i — 7 8 9 10 1 1 El mayor valor entero de f {x) es igual a 10. El menor valor entero de f(x) es igual a 8. /. 10+8=18 Clave Problema N.° 16 Si x e (-3; 0), halle la variación de f - ^ [(X) - x +2x+5 A> h » H » n c i H E) 1-1 8 '4 Resolución Expresarnos f^ x) convenientemente. f - 1 . 1 M x 2 + 2 x + 5 (x2+2x + l) +4 f =— !— (X +1)2+4 Tenemos que xe(-3; 0) y a partir de ahí formamos f{x). -3 < x < 0 -2 < x + 1<1 Luego 0<(x +ir< 4 4<(x+ir+4<8 r Invertimos 1 > _ 1 1 > - 4 (x +1)2+4 8 1 , . 1 8 < M ~ 4 f e ^ T 8 4 C la v e
- 342. COLECCIÓN ESENCIAL Problema N.*17 S¡ X E 5 17 halle la longitud del intervalo que representa la variación de f(X) = ^ ■ 3x-1 A) 2 D) — 2 B) f C) 4 0 f Resolución Expresamos f(x) convenientemente. _ 3x-1 ' { x ) ~ 2 x - 3 / Restamos y sumamos -. hx) b x - 3 ^ 2 7 Í T JÉ* i +■ Simplificamos 0 ^ -2 - ^ +9 [ 3 ^ )" (2x-3)(2) 2 7 3 ^(*) 4x - 6 2 Tenemos que x e formamos f{x). 5 17 -< x< — 2 2 10 < 4x <34 4 <4x-6 < 28 I Z j y a partir de ahí Invertimos 1 > . 1 1 > 4 4x-6 28 1 > ^ - > L 4 4x-6 28 x 7 H > 7 3 7 +- > - 4x-6 2 . 4 La variación de f(x) es '7.13 A ' 4 J Debemos calcular la longitud de este intervalo si restamos los extremos. 1 3 _ 7 = 6 = 3 * * * 4 A f y 4 ~ 2 I C la v e '- . : ) ¿ g y'y ' aA j & 's- 'V ~ . J*.! * % ,> ' 'T Halle el máximo valor de ^x)= -x4+6x2 six e [-1; 1]. A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 Resolución Expresamos convenientemente. fW = - x 4 - 6x2 Entonces / ¡x H * 4- 6*2) / ■ m =- ( x 4 - 6 x2+ 9-9) /m =4 x 2 -3 )2 +9
- 343. ( 3 + 5 entoncesforma- Operamos f . =(x2+2x +l) +(x2+4x +4) '(X) f M =2)¿+6x+5 —^2 2 - i 1 ^ 37- * + 2J + 2 ^ 2 ■ 5■ „"iiífe S á
- 344. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Graficamos Extraemos la raíz cuadrada. fM = 3+V*2+4x +8 f , , = 3+ Vx2+4x+4+4 /(X) '--------- --------- 3 + V(^+2)2+4 Como x e R, entonces (x+2)2>0. (x + 2 ) 2 > 0 )‘ 4 O / (x+2r +4 > 4 D) 21 Resolución Hallamos el mínimo valor de A . A = / - 2 x + 9 A = x 2 -2x+1 +8 /A=(x - 1)2+8 -4 4mln=8 E) 24
- 345. Hallamos el máximovalor de B. B = óx-x2 B = - ( x 2 -6x) B = - ( x 2 -6x +9-9) (x^3)2 fi =-((x-3)2-9) B = - ( x - 3)2+9 -> B - =9 > . max max-O /¿ 1 ‘mín+ ^máx ®+ 9 ^ f C l a v e l Problema N.° 22 9 . Halle el mínimo valor de 4 x + — s ix e R . x A) 13 D) 12 Resolución B) 36 C) 6 E) 14 No olviOe > yjab; a, b e R+ 2 Reemplazamos la variable a por 4x y b por X Operamos 4x +- ------—>6 4x +—>12 x Por lo tanto, el mínimo valor de 4x4 —es 12. x C la v e > m aN. “ 2 3 Halle el máximo valor de x f{x) x24 5x4 9 si x e R 1 9 B) - 1 1 C) 1 5 1 14 E) 1 15 D) Resolución Dividimos entre x el numerador y el denomi nador. f{x)~ x x 1 4X4 — I . ( q^ — - * - > J4 (/) Á ) x2 45x49 x2 5x 9 --------------------------------- — + — +_ X X X X 1 hx)~ g X 4- — 4-5 X Para que fM sea el máximo valor, el denomina dor debe ser mínimo.
- 346. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Aplicamos la desigualdad de las medias. 9 * + - I x - t . A y A J 9 x +— 2 ^ ~ 3 x +-- >6 x / x +- =6 X ^m ín Reemplazamos f,(x)máx ••• i(x)máx~ ^ '1 - Clave ....W"" Como x-3 es positivo, aplicamos la desi gualdad de las medias. (x-3)+ x-3 +- x r i > 3 x-3 +---- >6 x-3 Luego x +— —>6+3 x — 3 v { L f J ® ?rvamos que • 'V . '■ > x+- V x-3 >9 - 9 Problema N/ 24 Por lo tanto, la variación de f{x) es [9; +<»). Determine la variación de /M = *+¿ h six>3- A) [9; +°°) B) h2; +co) C) [0;+°°> D) (3; +°°> ^ Resolución j C o m o x >3, entonces x -3 > 0, es decir, x -3 es A) 1 D) 2 positivo. Clave Problema N.’ 2B Halle el mínimo valor de f(x)= x + _ SI x> 0. B) 6 C) 4 E) 3
- 347. Capítulo 8 Resolución Expresamos convenientemente. r3 1 1 1 f< x) = * + - + _ + _ Aplicamos la propiedad de la desigualdad de las medias para cuatro valores. *3+i +i +i m f-i -Ì IxJVxJ vxy Operamos 3 3 xJ +— 3 3 x + - X a — * > 1 4 x 3+ —>4 x Por lo tanto, el mínimo valor de x3+ - es 4. x Clave Problema N. 2G Halle el menor valor de la expresión fM ={x+1)2+(x +3)2 s i x e R . Desigualdades mam Resolución Tenemos que f(xf(x+ 1)2+(x +3)2 Operamos f(X) = (x2+2x +1)+(x2+6x +9.) f^=2x2+8x +10 Completamos cuadrados. =2(x2+4x +4-4) +10 /(xp2(x+2)2-8 +10 f{x)=2(x +2)2+ 2 Corno xe R , entonces (x+2)2>0. (X+ 2)2 > 0 2(x+2)2>0 2(x +2)2+2 > 2 f(x)~2 Por lo tanto, el menor valor de f[x) es 2 C la v e Problema N.‘ 27* l ) Halle el máximo valor de la expresión , 1 1 hx)= ------ ó — si x e R. l ) x2+1 x2+3 A) 2 B) 1 C) 3 ; A) 3 B) 2 D) 4 E) 1 2 D) — 3 s> !
- 348. •‘r : j. là,; Invertimos - KOOOOOOO» No OLVIDE 1 1 x>m 0< —<— x m ''-O O C < X »X ;C H X K K > 0 0 < > 0 < V X K V :> C O O * > X V D < 0< (x2 + 2r .< 1 x 2 0 < — 1 — <-2 (x 2 +2) -1 3 Operamos f- 1 1 M x2+1 • x2+3 f + 3 )-U ^ + l) W ~ (x2+l)(x2+3) (x) x4+4x2+3 Expresamos f,x) convenientemente. ° < ^ 5 Por lo tanto, el máximo valor de es - C la v e (x) (x4+4x2+4)-1 2 f(x) " ( x 2 + 2 ) 2 - 1 Como x e R, entonces x2>0. ; Problema W ;#2S fi Si 2-x e(3;7j, halle la variación de x(x-2). A) [3; 35) C 'B ) < 5; 35] C) (5; 35] * : D) (-1; 35] i Resolución Hallamos x. 2 -x e <3; 7] 3 < 2 - x < 7 1 < - x < 5 -1>x>-5 * E) < 3; 35] x2>0 x 2 + 2 > 2 (x2+2)22 4 (x2+2)2-1> 3 x e [-5; -1) Expresamos x(x-2) convenientemente. x(x -2)=x2-2x x(x-2) =x2-2x+1-1 V"“ 1 ^ x(x-2) =(x-1)2-1 . r rjd
- 349. Formamos esta expresióna partir de los valores de x. x e [~5; -1) -5 <x<-1 -6 <x-1 <-2 Elevamos al cuadrado. . 4 < (x-1)2< 36 3 < (x-1)2-1 < 35 i i xíx-2) x(x-2) e (3; 35] ; C la v e Problema 29 Sean los conjuntos /4= | x - ^ j < 2 x +1<17j fì =]x 2+—<x +2<4 Calcule > 4n B. A) (5; 6) D) [3; 7] B) (4; 6) Resolución En el conjunto A , tenemos 11< 2x+1 < 17 ; 1 10 <2x< 16 S <x <. 8 Formamos x - 1 . 4 <x-1 ^7 Cff' < ■ - * 3 C) < 3; 6) E) < 5; 7) Entonces A=(4; 7] En el conjunto B, tenemos 3 <x+2 <4 1<x< 2 J Formamos x2+2. 1 ^x2 < 4 3 < x2+2 < 6 Entonces B = [3; 6) Finalmente, calculamos/4 n B. B -------------* , _____ k _____ —!_ _ L . A r i fí=<4; 6} r ' * P ?¿;.ku t3 M.* 30 Calcule la suma de valores enteros de , 3x +1 . f(x)= ~r~C s i xe <2; 10). C la v e x — 1 A) 18 D) 15 B) 16 C) 12 E) 14 Resolución Expresamos convenientemente. f(x)~ 3x4-1 ^ V x — 1 -3 +3 f ¥ x 4-1- +3 f(x) = --------- ------ +3 x — 1 x — 1 4-3
- 350. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores - ____________________________________________________________ Formamos a partir de los valores de x. 2 <x< 10 1 <x-1 <9 Invertimos 1 1 —< 9 x-1 <1 4 4 . , - < ---- <4 9 x-1 31 4 , 7 ; 9 x-1 31 9 r Graficamos 3,4 •. 4 +5+6=15 r 1 I G 'tÉ k J T valores enteros deH % Problema N.° 31 C la v e ¿C ......... # S ¡ i l i 3. e (o; -Y halle la variación de/+1. x +4 6/ A) [1; 10) B) [1; 6] C) [5; 10) D) [6; 10) E) [3; 10) Tenemos que n x +3 5 0 < ------< - x+4 6 „ x+3 . 5 . - 1< ------------ 1< — 1 x + 4 6 Operamos 1 J + 3 - / - 4 ; 1 x + '4 6 i 1 1 - 1 c --------< — x + 4 6 1> • v, > - :x x -k4 6. Invertimos J - ,.1 <x+4 <6 -3 < x < 2 Hallamos la variación de x2+1. 0 ^x2<9 j 1 <^+1 <10 Por lo tanto, la variación de ^+1 es [1; 10). C la v e
- 351. Indique cuántas proposicionesson verda deras. I. 5 > 2 II. -7 >-3 III. 9 <9 IV. 0 >-2 ■A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 . E) 4 ~ Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I I > ¿ 4 6 . ,n Q S ;n , f . ,gt $ Ssw . • II. i l i < 4 z | ;í> t€r .¡Mr $03k j¡&. I III. -0,5>-3 'W " • ¿fjF 4 IV. -1 < -- 3 A) VFVV D) FVVV B) FFVV C) VFfI ^ fe)., FVVF 3. Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. En el intervalo (2; 5) solo hay dos ele mentos, que son 3 y 4. II. El número 4 es un elemento de (4; 7]. III. El número 5 es un elemento de [5; 6). IV. En el intervalo < 3; 4) hay infinitos núme ros reales. A) VFVF B) VFFV C) FFVV D) FVVF E) VVFV 4. Sean los intervalos /4=[-2;7) y £=[3; 9]. Halle la suma de los elementos enteros de A n B. A) 18 B) 21 C) 15 D) 25 E) 28 ! 5. Sean los intervalos j A = (- Z ; 8) i B = {- 5; 2] Halle el número de elementos enteros de i A n B. ll A) 4/ % B ) 5 Q 6 ji t y a fc '? , E) 8 ? ♦ ■ 'if > ' ■ ?« g s * . Sean los conjuntos A-{x-€ R / 2 <x <8} ig ji? 4/ B = {y g Z/5 <x <9) Señale a qué es igual A n B. A) [6; 7) B) [5; 8) C) [6; 8> ! • D) [6; 7] E) {6; 7} Sean los conjuntos ; A={xe R/2 <x< 8} B = { x e R/3 <x< 9} C = {x e . R/5 <x< 10} Halle A n B n C. A) < 3; 10] B) < 5; 9) ! D) [2; 10) C) <5;8> E ) (3; 8 >
- 352. Sean los intervalos /A=(— °o;7]; fi=(8; +oo) Calcule Ac r>Bc. A) (|) D) [7; +oo) B) (7; 8) C) [7; 8] E) < 7; 8] 9. Sean los conjuntos A=(1; 5] B=(1; 6) Calcule (A-8) u (8-A). A) $ D) < 1 ; 5) B) < 1 ; 6) ■ ' w d b '* . ' ’ . áÉt 1 •fe#* /A-y í ■ -y.' 10. Dados los intervalos & A =(-VS; 3te) y 8=[jc ; 2^),%, halle el número de elementos enteros de 3 c %# N A A n 8 c. A) 10 D) 8 B) 1 1 C) 9 ^ ^.f* Sftv. . ' ;ÍV Si x e (-3 ;2 ), halle el número de valores enteros de /Jx)=4x+1. A) 20 D) 19 B) 21 C) 15 E) 18 . s¡ X e [ - 2 ; 1), halle la suma de valores 13-10x enteros de g (x) = — -— • Halle la variación de f(x)=5x+2 si (x+3) e < 1 ; 2). A) <~3; -2) B) <-8;-2> C) <-5;-2> D) (-5;-3) E) (-8;-3 ) 14. Si la variación de - ■ - es halle la variación de x. 13 29 2 ‘ 2 , A) <-2;-1> B) (-3; -1] C) (-3;-2) D) [-3; -1> E) <-3;-1> .15. Sean los conjuntos A={xg%/-1<5-2x<3} R/2x+1 e A} j-v § S ^ Calcule A - B . r - ¿ 4 - i • » ^ > A) < ! > B) < 1 ; 2) D) < 1 ; 3) C) < 0; 2) E) < 1 ; 2] 16. Sea el conjunto A={x e R/x-5 >-1 a 3-2x > 1} Halle su equivalente. A) < 1 ; 4) D) < 1 ; 4] B) [1; 4) C) [1; 4] E) ó A) 115 D) 135 B) 125 C) 136 E) 120 20 17. Halle la variación de f{x) = -----si x e(1; 2]. 3 x Indique la suma de su mayor y menor valor entero, A) 30 D) 31 B) 32 C) 29 E) 28
- 353. 18. Si f 1 2x+6 varíaen el intervalo _1_ 2 .12'2 J' halle en qué intervalo varía x. A) [-2; 2] B) [-2; 3] C) [-3; 2] D) [-2;6] E) [-3; 1] 22. La variación de f^ -2x2+ 6x -5 cuando x c R e s [m; +°°). Calcule m. 19 15 ^ 13 A - V B - C “ T 2 2 2 _ 15 19 2 E) — 2 23. Calcule la longitud del intervalo de la varia lo dòn de — --------cuandox e (-5; -3). x 2+4x +5 ¡9 Halle la variación de , 5x +2 'M =~ z ~ rSlxe < 4; 5> - x - 3 1 19 i_A: _ /13 ?27 I A) 2 ;22/ A ) B) y : f / C) D) f J 2 2 20. La variación de f(x) = 3x +1 (x) 4x +3 % A) 5 D) 8 B) 6 C) 4 E) 10 24, Indique qué proposiciones son correctas. I. X jfe % < H > X < 2 fe # C/% 1 1 1 IL ^ 2 < X :< 3 ' < -> 2 x 3 W ü # “ O 2 0 1 5 o *<3 I ^ I O ' 1 i IV. 0 <x < 2 < -> - ;— X 2 cuando x e (0; 1), es (a; b). V X / Calcule a+b. A) — B) — } 21 21 0 « 21 19 D) — ) 21 20 E) — 21 Determine la variación de f(y)=x2+8x+1 si x e (-3; 0). A) todas B) I y III C) I, II y III D) solo III E) III y IV 25. Indique verdadero (V) o falso. (F) según corresponda. I. El mínimo valor de x2+6x es igual a -9. II. El máximo valor de 4X-X2 es igual a 4. III. El máximo valor d e—-— es iqual a 3. x2+2 . r ~ - IV. El máximo valor de x2-8x es igual a 16. A) [0; 1) B) <-3;1> C) < 1; 34) D) <0; 1) E) (-14; 1 > A) VVFF B) FVFV D) VFVF C) FFVV E) VWF
- 354. . ¡ v• - 9 . Halle el mínimo valor de xa— si x e R + x A) 9 D) V3 B) 3 C) 6 3 E) El mínimo valor de x-f---- cuando x>1 x — 1 es k. Calcule Ir-k . A) 24 D) 20 B) 16 C) 18 E) 25 5ob Halle el máximo valor de —----- cuando a2+b2. a, b e R . A) " * ! C) "5 E) 1 Halle el máximo valor de f = 8 hx) 1+(x2+5)(x2+s) A) 4 1 B) 2 C) 1 D) E) Halle el máximo valor de E = (x +1)(x +4) cuando x e «1 B) C ) 1 5 D ) 4 E) I 9 -': ; i* : 4 31. Si 2x+1 e (7; 9], halle la variación de 2-x. A) (-2; 1) B) [-2; -1) C) (-2; 1] D) [-1; 2) E) (-1; 2] 32. Si e [42; 56), halle el número de x +1 valores enteros de x. A) 14 D) 12 B) 10 C) 9 E) 1 1 Halle la variación de x ¿ +5 . x¿ +1 si x e [-2; 3). A) ( | ; s B> 2 ;5 c) H D) E) ( f ; 5 La variación de la expresión ^x ~ r^ es ^ a; p] x - 2 cuando x e [3; 5). Calcule o c+(3. A) 16 32 B) 8 C) 10 D) 6 1 Halle el mínimo valor de la expresión x2+2x+7 si x e (-5; 4). A) 14 D) 6 B) 22 C) 7 E) 13
- 355. 36 Halle lavariación de la expresión x2+3x+1 si x e R. A) 6 B) 8 D) 9 C) 1 1 E) 7 A) ^ __;+00) g) ~ 4 '+ / C) 39. Halle la variación de x +x +2 x +1 Indique su menor valor entero. si x> -1 . 3 /„ Halle e! máximo valor de 5-x(x-4) si x g R. • A) 13 B) 8 C) 4 D) 5 E) 9 38 Halle el menor valor de X +- +2 si x e R + x A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 40. Halle el mínimo valor de x 2+— si x e R +. x A) 1 2 B) 1 2 C) 3 D) 2 E) 1 C la v e s A 1 7 13 19 25 31 37 2 8 : 14 20 j 26 32 38 3 9 15 21 27 33 39 4 10 16 22 28 : 34 40 5 1 1 17 23 29 35 6 12 18 24 30 36
- 357. para , JVM ORA SOFIA Lejos quedaron aquellos tiempos en los que los celulares te nían un uso muy básico. Con la llegada de los smartphones, esto cambió radicalmente. Ahora los usamos para estar co nectados con nuestros amigos mediante las redes sociales, para el trabajo, para hacer transacciones bancadas,- para estar informados al momento, etcétera. Los operadores de telefonía ofrecen planes tarifarios para to dos los gustos y bolsillos, y debemos tener en cuenta muchos factores para elegir el plan que mejor se ajuste a nuestro pre supuesto y forma de vida. Al comparar planes y decidir cuál de ellos escogeremos, estamos resolviendo inecuaciones. ik prendo z ateses«aerados ■ J v S • Entender qué es una inecuación y qué significa resolverla. • Saber resolver inecuaciones lineales. ° Saber resolver inecuaciones cuadráticas. • Saber resolver inecuaciones polinomiales de grado supe rior y fraccionarias. ¿Por que es necesario este conocimiento? Al calcular cuánto dinero debemos presupuestar mensual mente para cubrir nuestros gastos diarios, usamos inecuacio nes; para resolver problemas de programación lineal cuando se calculan costos mínimos o ganancias máximas para una empresa, usamos inecuaciones. Su conocimiento es básico para resolver problemas propios del álgebra como el cálculo del dominio o el rango de una función.
- 358. Inecuación f’o olvida Las desigualdadesson: • mayor que (>) 1 • menor que (<) • mayor o igual que (>)] • menor o igual que (<)J 1. CONCEPTO Es una desigualdad en la que hay una incógnita, la cual gene ralmente se representará con la letra x. Ejemplos . x +5> 2 . * 2 +i < i • yJx+ 2 < X . (x +3)(x +2) > 1 1.1. Objetivo en la inecuación Hallar todos los valores de la incógnita que verifican la des igualdad en la inecuación. La desigualdad 5+3>7 no es una inecuación porque no tiene una incógnita. Debe haber una incógnita para que se llame inecuación. Ejemplos 1. En la inecuación 2x+5>13, debemos hallar los valores de x que verifican la desigualdad. Hallaremos dichos valores despejando x de la siguiente manera: 2x+5>13 2x>13-5 2x>8 8 x >— 2 — > x>4 Encontramos que los valores de x que son mayores que 4 verifican la desigualdad en la inecuación.
- 359. Lo comprobamos reemplazandoalgunos valores enteros de x mayores que 4. X 2x+5>13 5 2(5)+5>13 6 2(6)+5>13 7 2(7)+5>13 9 • En una inecuación, los valores de la incógnita que buscamos son números reales. No solo los valores enteros de x verificarán la desigualdad, también lo harán los valores de x que sean números decima les mayores que 4, como se pueden ver a continuación: ; ' “ •’* . . r/ • - V 1 X 2x+5>13 , 2(4,1)+ 5>13 1 v j.. >vr: avores . 5,3 2(5,3):+5 >13 '--— v----' '" ■ ■ y - ’-P Cuando resolvemos una inecuación, los valores de la incógnita no solo serán números enteros, sino que en general serán nú meros reales, lo que incluye a los enteros y decimales. Representamos estos valores de x en la recta numérica. o Respecto a la inecuación -----<0 x -5 indique las proposiciones que son verdaderas o falsas. I. El valor 5 es una solución. II. El valor 2 es una solución. III. Tiene 3 soluciones enteras. IV. Presenta infinitas soluciones reales. El intervalo <4; +°°) agrupa a todos los valores de x que verifican esta inecuación.
- 360. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 2. En la inecuación x2<4 debemos hallar los valores de x que verifiquen la desigualdad. Es decir, debemos encon trar números que elevados al cuadrado resulten meno res que 4 o iguales a 4. Dichos valores se observan en el siguiente gráfico: --- --- • ■— ■ - • — ■ ------ - mayores que 4? Son'infinitos números, ya que no solo se cuentan los enteros, sino también los números decimales, los cuales representan números racionales e irracionales. Resolver una inecuación signi fica hallar su conjunto solución (CS), es decir, hallar todas sus soluciones. - 4 -—--- T- - 2 - 1 0 1 2 v _______________ v --------------- ^ valores de a tales q u e x ,:<4 El intervalo [-2; 2] agrupa a todos estos valores. 1.2. Solución y conjunto solución de una inecuación Al valor de la incógnita que verifica la inecuación se le llama solución de la»inecuación, y al conjunto que agrupa a todas las soluciones se le llama conjunto solución de la inecuación. % ' éW ' y ■ ' ■■ y Ejemplos § 1. En la inecuación del ejemplo anterior, 2x+5>13, encontra mos que los valores de x que la verifican.son los valores de x mayores que 4 (x>4). Estos valores de x son las solucio nes de esta inecuación y el conjunto que las agrupa, que es el intervalo <4; +<»), es su conjuntó solución. % Hallaremos las soluciones de la inecuación 2x+3<10 des pejando x. 2x<10-3 2x<7 -> x < - 2 7 Los valores de x que sean iguales o menores que - verifican la inecuación y por ello son sus soluciones. V^o olvide Cuando resuelva una inecuación, tome en cuenta que el objetivo es que se verifique la desigualdad. No trate a una Inecuación como si fuera una ecuación. r
- 361. Su representación enla recta numérica es — 5 -1 O 1 v3Íor(rS de ,v que verifican la inecuación (incluye enteros y decim ales; 7 +oo 3,5 • • CS=f— ; I B. En la inecuación x*<9, la idea es encontrar los valores de x, tal que x2 sea menor o igual que 9. Los hallaremos reemplazando algunos valores de x de la siguiente manera: 4 m W M , . 4 / M w g ^Pvalorercie ¿y 7 K ..Xr<¡ye amb^%^r^'rio^ JP %‘ ?r & / / <' f ? v p X ... - 4 -3 - 2 -1 0 1 2 2,5 3 4 ... x2 ... 16 9 4 , v 0 1 4 6,25 9 16 ... % V X <q X / Se puede obsen/ar que, para que se verifique ^<9, los valores de x deben estar de -3 hasta 3, contando ambos extremos. Su representación en la recta numérica es | 0 1 2 3 + CO i * . ■/-•Mt.rnn n / :■'0 (inriuyt* Un erro r co m ú n con re sp e cto a la in e cu a ció n x*< 9 es p ro c e d e r ¡' a resolverla c o m o si fu era una ecu ació n . Ejemplo x2< 9 Vx2 < y¡9 x< 3 Este proceso es incorrecto. X - : o D e term in e las p ro p o sicio n e s q u e son co rre cta s re sp e cto a la in e cu a ció n x2 ^ 5. I. El valo r -Js es u n a so lució n . II. Se verifica para cu alq u ie r v alo r d e x, tal q u e x £ J í. III. Tiene 5 soluciones enteras. IV. El valo r -y¡5 es su m en o r so lució n . CrV
- 362. Importanter £5 .... .• ..... . . • • • La inecuación x2<a2, donde o>0, se verifica si y solo si - a < x < a . La inecuación x2> o2, donde a>0, se verifica si y solo si x < - a v x>a. Un procedimiento erróneo para resolver la inecuación xz > - 4 es x2>-4 Vx2 > >/-4 x> V-4 x > - 2 ¿Dónde están los errores? 4. En la inecuación xz>-4, la idea es encontrar los valores de x, tal que x2 sea mayor que -4 . Recordemos quex2 siempre es positivo o cero, pero nunca negativo. Entonces x2 siempre será mayor que -4, ya que, al ser siempre positivo o cero, será mayor que cualquier número negativo. Comprobemos esto con una tabla de valores. Lar^o'íjfítrt.'A. es cualquier ¿f'"'numero real {perivo. tero c -W I • - v„- & - & X ? X~ -3 9 -2 4 -1 1 0 0 v 1 1 2 4 . 3 9' - - En la tabla se observa que x2 siempre resulta positivo o cero, por ende, será mayor que cualquier número negativo. En nuestro caso, x2 siempre será mayor que -4 . Entonces la inecuación x2>-4 se cumple para cualquier valor real de x. Cualquier valor real de x es solución de esta inecuación, por lo tanto, el conjunto R es su conjunto solución. 5. Resolvamos la inecuación x2+'<0. Tengamos en cuenta que x2 solo puede ser positivo o cero, pero nunca negativo. Entonces x2+1 siempre resultará positivo, ya que al ser x2 positivo o cero, al sumarle 1, que es una cantidad positiva, el resultado siempre será positivo. En la inecuación x2+1<0, la idea es encontrar los valores de x, de tal manera que x2-^ sea menor que cero, es decir, que sea negativo. Pero esto no es posible, ya que, como explicamos, x2* ! siempre será positivo.
- 363. x2+1 < O Entoncesesta inecuación no tiene solución, es decir, nin gún valor real de x la verifica. Por lo tanto, su conjunto so lución será el conjunto vacío. 6. y _ 0 Resolvamos la inecuación---- - < 0 x2+1 En esta inecuación, la idea es encontrar los valores de x, tal que la fracción —— sea menor que cero, es decir, de x 2 +1 signo negativo. Como la expresión x2-!-! siempre es positiva, entonces para que se verifique esta inecuación, la expresión del numerador, que es x-3 , debe ser negativa. “ 5— = - = ( - ) > - I X2 -f1 (+) I •f í 9 a 3 w . Luego, como x - 3 <0, entonces x<3. v X. ¡r Estos valores de x son las soluciones de esta inecuación y el intervalo 3) es su conjunto solución. 1.3. Clasificación de las inecuaciones Una inecuación de incógnita x se representa de la siguiente manera: donde £w es una expresión matemática y el símbolo £ repre senta una de las siguientes desigualdades: <, >, < o >. Haremos una clasificación de las inecuaciones de acuerdo al tipo de expresión matemática que representa £(x). Cuando una inecuación no tiene solución, su conjunto solución es el conjunto vacío, el cual se representa como < * > . En la inecuación -2x> 5 multiplicamos cada uro de los miembros por [ - - (-2x)< - - (5) 1 Se obtiene x< -~ . Tenga cuidado con el sentido de la desigualdad: cuando se multiplica por un número nega tivo, esta cambia de sentido
- 364. Tenemos los siguientescasos: • Es una inecuación polinomial cuando es un polinomio no constante. • Es una inecuación fraccionaria cuando es una expresión fraccionaria. • Es una inecuación irracional cuando es una expresión irracional. Ejemplos 2x+3<0 (lineal) x2+5x+1>0 (cuadrática) x3+2x+1<0 (grado superior) x4 +x +2>0 (grado superior) / a x +3 . ----- <1 .*+ 5 / jg-gr í $ ^ Éjrv' A íranonir (expresión con radicales) También hay otros tipos de inecuaciones/ como aquellas que incluyen valor absoluto o aquellas que incluyen logaritmos, las cuales se tratarán en su respectivo capítulo. En este capítulo solo trataremos las inecuacio nes polinomiales y las fraccionarias. 2. INECUACIÓN LINEAL Para a] b e R, con a±0, la inecuación lineal de incógnita x es aquella de la forma f a x +¿K 0 i !_____ __„ J x +1 +5>0 ^ + *< 7 2 3 Método de resolución Para resolver una inecuación lineal, seguire mos el siguiente procedimiento: 1. Pasamos al primer miembro de la inecua ción todos los términos que contengan a la incógnita y al segundo miembro todo lo demás. 2. Realizamos las operaciones correspondien tes con el fin de despejar la incógnita de la inecuación. 3. El conjunto de valores de la incógnita que obtenemos es el conjunto solución de la inecuación. A p l ic a c ió n 7 Resuelva 2x+1<x+ 9. R e s o l u c i ó n El procedimiento para resolver una inecuación lineal consiste en despejar*. 2x+1<x+9 2x-x<9-1 x<8 Su representación en la recta numérica es Ejemplos • 2x+S<0 Los valores de * menores que 8 son las solu ciones de esta inecuación. 3x+7>0 CS=(-~;8>
- 365. A p lic a c ió n 2 Resuelva 5x+2<3x+10. La desigualdad cambió de sentido y se obtiene x>-4. R e s o l u c ió n Despejamos x en la inecuación. 5x+2<3x+10 5x-3x<10-2 2x<8 8 x < - 2 x<4 Su representación en la recta numérica es (x<4) í Su conjunto solución es CS=(-o®; 4), el cual agrupa a todos los valores de x menores que 4, los cuales son las soluciones de esta inecuación. A p l ic a c ió n 3 Resuelva 2x+5<5x+17. R e s o l u c ió n Despejamos x en la inecuación. 2x+5<5x+17 2x-5x<17-5 -3x<12 Debemos pasar a dividir el coeficiente -3 al otro miembro; pero como es negativo, al ha- * cerlo, la desigualdad cambiará de sentido. -3 x< 12 (-3 pasa a dividir) ___ S Su representación en la recta numérica es • ----------- - - /. CS=[-4;+co) 3. INECUACIÓN CUADRÁTICA Para o; b; ce R, con a * 0, la inecuación cua drática de incógnita x es aquella de la forma f 'i a:c +bx +c 5 0 . Ejemplos e x2+3x -5>0 C/í 3x2+x -2<0 ,- x2+9x <2 • 3x 2 + 1 Forma simplificada Por conveniencia, haremos que la inecuación cuadrática tenga la siguiente forma: >r+mx +n 5 0 | Llamaremos a esta forma, la forma simplificada de una inecuación cuadrática. Observe que en esta forma la cuadrática está en el primer miembro y en el otro miembro está cero. Es decir, la cuadrática se está comparando con cero, lo cual nos resultará conveniente, ya que reducirá el problema a un análisis de signos. También observe que el coeficiente principal de la cuadrática es uno.
- 366. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Si una inecuación cuadrática no está en esta forma, debemos hacer lo siguiente: 1. Pasamos todos los términos a un solo miembro, de modo que en el otro miembro quede cero. Ejemplo En la inecuación x2+3x<5, debemos pasar todos los términos a un solo miembro. x2+3x <5 Pasa restando a! otro miembro. Entonces tendremos x2+3x -5 < 0 Observe que en el segundo miembro que dó cero, con lo cual ya está en la forma simplificada. 2. Si el coeficiente principal de la cuadrática es diferente de 1, dividimos ambos miembros de la inecuación entre dicho coeficiente. Al hacer esto, tengamos en cuenta que si dicho coeficiente es positivo, se mantendrá el sentido de la desigualdad; y si es negativo, cambiará el sentido de la desigualdad. Ejemplos • En la inecuación 3x2+6x+9 < 0, la cuadrá tica tiene coeficiente principal 3, el cual es diferente de 1. * La inecuación -2x2+4x+10 < 0 la dividimos entre el coeficiente principal de la cuadrá tica, que es -2. n 2 , n -2x2 4x 10 0 -2/+4x+10 < 0 -» ----- +— +— >— -2 -2 -2 -2 La desigualdad cambio sentido Se obtiene x2-2 x -5 > 0 , con lo cual ya está en la forma simplificada. 3.1, Resolución de la inecuación cuadrática Se presentan tres casos, de acuerdo a la forma que tiene la inecuación cuadrática. 3.1.1. Primer caso Cuando es posible llevar la cuadrática xz+mx+n a la forma (x-a)(x-(3), donde a y (3g IR, y además a^(3. Tengamos en cuenta que a y (3 representan las raíces de la cuadrática y estamos conside rando que son reales y diferentes. A p lic a c ió n 4 Resuelva x2-5x+6 < 0. R eso lu c ió n Factorizamos la cuadrática utilizando el méto do de aspa simple. Dividimos entre 3 ambos miembros de la desigualdad. 9 3x2 6x 9 0 3x2+6x + 9< 0 -* X + Y +5 < 3 Se obtiene x2+2x+3<0, con lo cual ya está en la forma simplificada. x2-5 x +6=(x-2)(x-3) x A - 3 Luego, tendremos x2-5x +6 < 0 (x~2)(x-3) < 0 i
- 367. Capítulo 9 Tenemos que(x-2)(x-3) debe ser menor que cero, es decir, debe ser negativo. Ahora, para que un producto de dos factores sea negativo, dichos factores deben ser de sig nos distintos (uno positivo y el otro negativo). Analicemos las posibilidades. • Cuando x=2 o x=3, el producto (x-2) (x-3) será igual a cero. Sin contar estos valores, quedan tres posi bilidades, las cuales son x < 2 v 2 <x < 3 v x > 3 • Si x<2, se tendrá que x-2 es negativo y también x-3 será negativo. Así que su pro ducto (x-2)(x-3) resultará positivo. Cuando x<2: (x-2)(x-3) (-} h -A !+ ) q ,; A f c JA • Si 2<x<3, se tendrá que x-2 es positivo; en cambio, x-3 será negativo. Así que su producto resultará negativo. Cuando 2<x<3: (x-2)(x-3) H H ------ T -----' {-) . Por último, si x >3, se tendrá que ambos, (x-2) y (x-3), serán positivos. Así que su producto resultará positivo. Cuando x> 3: (x-2)(x-3) Inecuaciones Resumimos este análisis de posibilidades en la siguiente tabla: X x-2 x-3 (x-2) (x-3) x<2 (-)(-)= (+ ) x=2 0 -1 (0)(-1)=0 2<x<3 » - (+)H=H x=3 1 0 (1)(0)=0 x>3 + + (+)(+)=(+) La inecuación (x-2)(x-3) < 0 se verifica cuando el producto (x-2)(x-3) es negativo, y eso ocurre cuando 2 <x < 3. Así que estos valores de x son las soluciones de la inecuación y el conjunto que las agrupa, que es el intervalo (2; 3), es su conjunto solución. A p lic a c ió n 5 Resuelva la inecuación x2-7x+6 > 0. R e s o l u c i ó n Factorizamos la cuadrática con aspa simple. x2-7x+ 6=(x-6)(x-1) Se obtiene (x-6)(x-1) > 0. Buscamos que (x-6)(x-1) sea mayor que cero y que también sea igual a cero. Para que el producto (x-6)(x-1) sea igual a cero, los valores dex deben serx=6 ox=1. Y para que el producto (x-6)(x-1) sea mayor que cero, es decir, positivo, los factores deben tener el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), lo cual ocurre cuando x> 6 ox<1.
- 368. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores — — ------- _'i Podemos ver esto en la siguiente tabla: X x— 1 x -6 (x-1)(x-6) X<1 - - (-)(-)=(+) X=1 0 -5 (0)(— 5)=0 1<x<6 + - (+)(-)=(-) x=6 5 0 (5)(0)=0 x>6 + + (+)(+)=(+) Observe que la inecuación (x-6)(x-1)>0 se verifica cuando x>6 o x<1. Estos valores de x son las soluciones de esta inecuación. • En la siguiente tabla se pueden observar los signos de los factores (x-a) y (x-p), y de su producto, en cada zona. X i x - a ----- X-P (x-a)(x-P) x < a I - (-)(-)=(+) a < x < P + [ (+)(-)=(-) - x >(3 + - + (+)(+)=(+) • Colocamos los signos de (x-a)(x-(3) en la recta numérica (cada signo en su respecti va zona). Su representación en la recta x<1 - ° ° 1 6 ... CS=<— °o; 1] u [6; + o o > a. Método de puntos críticos Para resolver la inecuación cuadrática (x-a)(x-(3)^ 0 aplicaremos el llamado método de puntos crí ticos, que consiste en los siguientes pasos: . Ubicamos a y p, que son las raíces de la cuadrática, en la recta numérica. Para ello supongamos que a < (3. ♦---- — — •— • a p + o ° • Separamos la recta en tres zonas, como se muestra a continuación: < * Si queremos resolver la inecuación V (x-a)(x-p)<0, que significa que el pro ducto debe ser negativo, elegimos la zona con ese signo. Entonces el intervalo (a; (3) será su con junto solución. Si queremos resolver la inecuación (x-a)(x-(3)>0, donde el producto (x-cc)(x-(3) debe ser positivo, elegimos las zonas con ese signo. .......... O 9 a p ■ * • « » Entonces el intervalo (-«>; a) u <P; + < »>será su conjunto solución.
- 369. Capítulo 9 Inecuaciones " •¿i .' Ysi en lugar de las desigualdades estrictas (< o >) tuviéramos las desigualdades no estrictas (< o >), ocurriría lo mismo, con la única diferencia que los extremos a y (3, en lugar de ser abiertos, serían cerrados. En síntesis, este método consiste en lo si guiente: (x-a )(x-(3 )£ 0 '---------V ---------' p ' tV ) Elegimos las zonas donde está el signo posi tivo. Además, hay que incluir las raíces -7 y 4 como soluciones de la inecuación, así que di chos extremos deben ser cerrados. CS=(-oa;-7]u[4;+oo> A p lic a c ió n 7 Resuelva x2-Zv-4< 0. -f -----—---- - — + - C X > (y ( 3 . + « P^ < 0 > CS— (C X ,‘ (3) P(x) - 0 -> CS=[cc; [3] - P(X ) > 0 — > CS=(-°o; a)u(|3;+oo) - P(/) > 0 CS=(-oo; a]u[p; +co) A p l ic a c ió n 6 Resuelva x2+3x-28 > 0. R e s o l u c ió n Factorizamos con aspa simple. x¿+ 3x-28 >0 x +7 x R e s o l u c ió n La cuadrática xz-2x-4 no puede factorizar- se con aspa simple, así que la factorizaremos usando la propiedad de diferencia de cua drados. x2-2x-4< 0 x 2- 2 x +1 -4 -1 < 0 V -----v ------ (x-1)2-5<0 Expresamos 5 como V5 y reemplazamos. (x -1)2-V 5 2 <0 v diferencia de cuadrados (x -1 +V5) (x -1 - V5) <0 Se obtiene (x+7)(x-4)>0. Aplicamos el método de puntos críticos. Hallamos sus raíces. x + 7 = 0 — > x = -7 ) J - raíces x - 4 = 0 x = 4 J Ubicamos estas raíces en la recta. Aplicamos el método de puntos críticos. Hallamos sus raíces. x-1 +/5 =0 x =1 - V5
- 370. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Elegimos la zona con signo negativo, además, será cerrado en los extremos. ••• CS= [l-V 5;1+ V 5] b. Relación con el discriminante Usamos el método de puntos críticos cuando la cuadrática tiene raíces reales y diferentes. Este tipo de raíces está relacionado con el dis criminante de la cuadrática (A) mediante la si guiente propiedad: Raíces reales y diferentes A > 0 c. Otra forma de hallar las raíces Cuando factorizamos una cuadrática con aspa simple o con diferencia de cuadrados, lo hace mos con el fin de hallar las raíces (que en este caso son reales y diferentes). Sin embargo, tenemos otra alternativa que es hallar las raíces usando la fórmula general de la cuadrática, la cual es - j v 'w * - b ± J A Xv^ x - ---------- 2 o ____________ / Calculamos el discriminante. A=(-2)2-4(1)(-4) A=20 Como A > 0, usamos la fórmula general de la cuadrática para hallar las raíces. -(-2)± V20 ------------- 2(1 ) 2 De este modo obtenemos las raíces 1+V5 y 1->/5 directamente. Luego aplicamos el méto do de puntos críticos y obtenemos el conjunto solución [ í -7 5 ; I+V5]. A p lic a c ió n 9 Resuelva x2-3x+'] > 0. R e s o l u c i ó n Hallamos su discriminante. A=(-3)2-4(1)(1) -> A=5 Como A > 0, usamos la fórmula general de la cuadrática para calcular las raíces. Usaremos esta fórmula solo cuando el discri minante es positivo (A=0). _ -(-3)±V5 3±V¡ 2 2 Aplicamos el método de puntos críticos. A p l ic a c ió n 8 En el ejemplo anterior, las raíces se pueden ob tener directamente usando la fórmula general. Tenemos que x2-2x -4 < 0 i , C S = (~ ;3- ^ ] u 4. 2 J 3+V5
- 371. 3.1.2. Segundo caso Cuandoes posible llevar la cuadrática x^+mx+n a la forma (x-a)2, con a c R . En este caso, la cuadrática es un cuadrado per fecto. A p lic a c ió n 10 Resuelva x2-6x+9<0. R e s o lu c ió n Observe que x¿- 6x +9 =[x- 3)2 Reemplazamos en la inecuación y tendremos (x-3)2<0. Tenemos que (x-3)2debe ser menor que cero, es decir, debe ser negativo. Pero esto no-es posible, ya que, por ser un cuadrado perfecto, solo puede ser positivo o cero, pero en ningún caso negativo. En otras palabras, no hay ningún valor de* que verifique la inecuación (x-3)2<0. Esta inecua ción no tiene solución, por ende, su conjunto solución es CS=p. A p l ic a c ió n 11 Resuelva x2-10x+25>0. R e s o l u c ió n Observe que x2-10x+25=(x-5)2es un cuadra do perfecto. Reemplazamos en la inecuación y tendremos (x-5)2>0 Esta inecuación significa que (x-5)¿ debe ser positivo o cero, lo que se cumplirá para cualquier valor real de x. Esto se debe a la siguiente propiedad de los números reales: Entonces cualquier vaior rea! a'e x es solución de esta inecuación. CS=R Aplicación 12 Resuelva yr-4.x+4>0. R e s o l u c i ó n Observe que ;c-4x-¡-4=(x-2)¿ as un cuadrado perfecto. Luego tendremos (x-2)2>0 Buscamos que [x-2)~ sea mayor que cero, es decir, que sea positivo, lo cual ocurre con cual quier valor reai de*, con la única excepción de x=2, ya que con este valor la cuadrática {x-2)2 no será positivo, sino que será igual a cero. Entonces cualquier valor real dex, a excepción de x=2, verifica la inecuación, así que estos va lores serán sus soluciones. /. CS=R-{2} A p lic a c ió n 13 Resuelva x¿-Qxa-6<0. R e s o lu c ió n Observe que x2-8x-r16=(x-4)2 es un cuadra do perfecto. Luego tendremos (x -4 )2<0 y á 5
- 372. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Esta inecuación implica que (x-4)2 sea menor que cero o que sea igual a cero. Pero (x-4)2 no puede ser menor que cero, ya que eso significa que debe ser negativo, lo cual no es posible porque se trata de un cua drado perfecto. Entonces solo queda la opción de que (x-4)2 sea cero. Eso ocurre cuando x=4, que será la única solución de esta inecuación. ••• CS={4) a. Cuadro de posibilidades Podemos resumir todas las situaciones que se presentan en este caso en el siguiente cuadro: ---- T :V~. . . . . . . . T ' ' ■ --. t-“' : ' V; (x-a)2>0 V Se verifica para todo * e R. CS=R Se verifica para « jy (x-a)2>0 todo x e R, a CS=R-{oc} excepción x=a. * {x-a)2<0 Ningún valor dex lo verifica. C S= < > (x-oc)2<0 Se verifica solo para x=cc CS={a} b. Potación con el discrim inante Cuando la cuadrática es un cuadrado perfecto x2+mx +n =[x -a )2 esta se descompone como (x-a)(x-a) y en tonces sus raíces serán iguales. Esto ocurre cuando A=0. 3.1.3. Tercer caso Cuando la cuadrática x2jrmx+n puede llevarse a la forma (x-h)2+k, donde h e R y b O . En este caso, la cuadrática tendrá signo positi vo para cualquier* e R. Esto ocurre porque (*-/?)“ solo puede ser po sitivo o cero, además, estamos considerando que k>0. (x-h)2+k =(+) A p lic a c ió n 14 Resuelva x2-2x+5<0. Otros ejemplos . (x-8)2 > 0 -} n oo II . (x-8)2 > 0 CS=R-{8} . (x— 8)2 < 0 CS=4> . (x-8)2 ¿ 0 -^ CS={8} R e so lu c ió n Observe que la cuadrática >r-2x+S puede lle varse a la forma x 2- 2x +5=x2- 2x+1+4 s . V"- - x2-2x +5=(x-1)2+4
- 373. Capítulo 9 Reemplazamos enla inecuación y tendremos (x-1)2+4<0 Buscamos que (x -í 1)2+4 sea menor que cero, es decir, nega tivo. Pero esto no es posible, ya que para cualquier valor de x esta cuadrática siempre será de signo positivo. siempre l» Inecuaciones (x -1)2+4 < 0 Cs imposible que sea m enor que cero. Entonces la inecuación (x-1)2+4 < 0 no tiene solución. CS=<|> A p l ic a c ió n 75 j j P k k lg ~ iWig % 8 r . ' * -é' Resuelva x2-4x+10 > 0. R e s o l u c ió n / Expresamos la cuadrática convenientemente. x2-4 x +10 > 0 x 2- 4 x +4 +6>0 "• "¡i> , ? C x— 4 )~ '"kífr -> (x -4 )2+6>0 Buscamos que (x-4)2+6 sea mayor que cero, es decir, que sea positivo. Pero por la forma que tiene esta cuadrática, siempre será de signo positivo. (*-4 )2+6 " ---i-- * Í1 -) 0 (+ ¡ ñ Usaremos el método de puntos críticos para resolver una inecua ción cuadrática solo cuando el discriminante de la cuadrática sea de signo positivo. iCuidadol Es un error resolver la inecua ción (x-4)2<0 de la siguiente manera: (x-4)2 <0 x-4<0 x<4 ya que su conjunto solución no es el intervalo 4y s¡no el conjunto vacío. - Entonces cualquier xe R es solución de esta inecuación. CS=R
- 374. Emportante - ¿Por quéla cuadrática x^mx+n siempre es positiva cuando su discriminante es negativo? Completamos cuadrados. P(X )~>^+mx+n P{x) = x ¿ +mx + f m f I' m' — +n- 12 ) c 2 , „ . m 2 4 n -m 2 PM = X + J ) + m Ÿ mz -4n x +y J 4 Como m2-4n es el discriminan te (A), tendremos Observe que cuando A< 0 ocu rre lo siguiente: x 2 +mx +n Se observa que cuando A < 0, la cuadrática xz+mx+n es de • signo positivo para todo xe R. a. Relación con el discriminante Para que la cuadrática pueda llevarse a la forma (.x-h)2+k, donde k>0, su discriminante debe ser negativo (A<0). Esto puede corroborarse en los siguientes ejemplos: • x2-2x+5=(x-1)2+4 A=(-2)2-4(1)(5) A=-16 < 0 • x2-4x+10=(x-2)2+6 A=(— 4)2— 4(1)(10) A=-24 < 0 • x2-6 x +10=(x -3 )2+1 A=(-6)2-4(1)(10) A=-4 < 0 Entonces podemos afirmar que una cuadrática x~+mx+n pue de llevarse a la forma {x-h)2+k, donde k > 0, solo cuando su discriminante es negativo (A<0). Esta afirmación está basada en una propiedad de la cuadrática conocida con el nombre de teorema del trinomio positivo. b. Teorema del trinomio positivo La cuadrática x2+mx+n, donde m y n e R , es de signo positi vo para todo x e R si y solo si su discriminante A=m2-4n es negativo. f I / r / m - n>0 rx e R < -> A<0 Ejemplos 1. P(x)=x2+2x+5 Calculamos su discriminante. A=22— 4(1)(5)=—16 Como A<0, entonces la cuadrática jc +2x + 5 es de signo positivo para todo x e R.
- 375. Capítulo 9 2. Q^ x^ -'Sx+ l Calculamos su discriminante. A=(-3)2-4(1)(7)=-19 Como A<0, entonces la cuadrática )?-3x+7 es de signo positivo para todo x c R . ■ Regla práctica Para resolver una inecuación cuadrática, usaremos el teore ma del trinomio positivo en la siguiente forma: Cuando A < 0, la cuadrática xz+mx+n es de signo positivo para todo valor real de y. A p l ic a c ió n 76 Resuelva la inecuación ^2-2x+7<0. R e s o l u c ió n Calculamos el discriminante. A=(-2)2-4(1)(7)=-24 , X 'y Como A<0, la cuadrática x2 -2x+7 es de signo positivo para todo x e R. En la inecuación buscamos que x2-Zx+7 sea menor que cero, es decir, negativo. Pero esto no es posible, ya que, como indi camos, esta cuadrática siempre será de signo positivo. Entonces la inecuación no tiene solución. /. CS=(j) Para darle a la cuadrática P^x^+mx+n la forma (x-h)2+k, donde k> 0, debemos completar cuadrados. El proceso de completar cua drados consiste en lo siguiente: Sumamos y restamos [ y j a P'y P ^ + m x + l j I +n • • • PM Í x +j ) +n- ( j Ejemplo Rw=x2+3x+5 Sumamos y restamos | ^ j a Pw = 3x+|2 | ^5-| - " p <*>'l*+f) +7 . Para cualquier cuadrática El teorema del trinomio positivo aplicado a una cuadrática cualquiera consiste en lo siguiente: i ox: +¿?x + c > 0; Vx e R a > 0 a A < 0 j Esta propiedad indica que la cuadrática ax2+bx+c será de signo positivo para todo x e R si verifica dos condiciones: A < 0 y a > 0. Trinomio no negativo o^ +bx+c^O; V x e R a >0 a A ^0 ------------ — w a* u m m »
- 376. COLECCIÓN ESENCIAL A pl ic a c ió n 17 Resuelva la inecuación 3x*-2x+8 > 0. R e s o l u c ió n Calculamos el discriminante. A=(-2)2-4(3)(8)=-92 El coeficiente principal es a=3. Como a > 0 y A < 0, entonces la cuadrática 3xz-2x+8 es de signo positivo para todox e R. En la inecuación buscamos que 3x2-2x+8 sea mayor que cero, es decir, positivo, lo cual ocu rre para todo valor real de x. CS=R Lumbreras Editores A p l ic a c ió n 18 Halle la variación de m si x2+6x+/r? > 0; Vx e R . R e s o lu c ió n La relación x¿+6x+m>0'l V x e R, se cumple si y solo si £ 7=1>0 A A < 0 Resolvamos A < 0. A=62-4(1)(m) < 0 36-4/77 < 0 4/77 >36 — » m > 9 /. m e <9; + < *> ) 3,1.4.Resumen de.todos los^:asoj^ ^ ,A . j? En el siguiente cuadro se resumen todos los casos que se presentan en una inecuación cuadrática. ' '' '3 f ------ . •?.'»/ . 4) (» 1 Primer caso A >0 PM=l*-a)t*-P)conayPrealésyd¡- .. Q cs=(;a; p) ferentes (a<P). Usamos'el método-/ v de puntos críticos. "c * CS-[a, p ] PM>0 -» CS=(-oo; a>u(p;+ oo) M PMa0 CS=(— a] u tP; +°°) • (x-a)2<0 -> CS=0 Segundo caso PMes un cuadrado perfecto. (x-a)2<0 CS={a} > ii o PM=(x-a)2 , dondeaeR. (x-a)2£ 0 -> CS=R • (x-a)2>0 — > CS=R-{a) • x2+mx +n>0 -> CS=R • X2+ /7)X+/7^0 — > CS=R Debido al teorema del trinomio --v--— ' Tercer caso positivo, lacuadrática PM=x2+ /77x+ /7 A<0 es de signo positivo para todox e R. x2+mx+n<0 -> C S = < > v . . ---v ■■ ■ ■ ■ > • x2+ /77x+n^0 -> C S = < >
- 377. 4. INECUACION POLINOMIALDE GRADO SUPERIOR Tiene la forma general donde P^ es un polinomio de grado mayor o igual que 2. Hallamos las raíces de la cúbica. o I I rvi I - > rj I I O I I n o I — > > c I I (JO x +1= 0 — > X = — 1 Ubicamos estas raíces en la recta numérica, en la cual quedarán determinadas cuatro zonas como se muestra a continuación: Ejemplos • x3+Sx2+2<0 • x4+2x-3>0 • x3-2x+1<0 • x5+2x2+x-3>0 A p l ic a c ió n 79 Resuelva x3-4x2+x+6<0. R e s o l u c ió n Factorizamos la cúbica con el método de divi sores binómicos. 1 -4 1 6 x=2 * T 2 -4 -6 ---- ^ x 1 -2 -3 0 Se obtiene x3-4 x2+x +6=(x -2)(x2-2 x -3). La cuadrática xz-2x-3 puede factorizarse con aspa simple. x ^ 2 x - 3=(x-3)(x+1) x -3 * < 1 Luego x3-4 x2+x +6=(x -2)(x -3)(x +1) En cada zona, los factores (x-2), (x-3) y (x+1) tienen un signo definido y su producto tam bién. En la siguiente tabla indicamos todas las posibilidades: (x+_1)(x-2 ) (x-3 ) x <— 1 (x+ 1)(x-2)(x-3) -1 < x < 2 2 <x< 3 U +1)(x-2)(x-3) x> 3 Ubicamos los signos de este producto en la recta numérica (en cada zona). Reemplazamos en la inecuación y tendremos (x-2)(x-3)(x+1)<0
- 378. COLECCIÓN ESENCIAL ' Lumbreras Editores Buscamosque el producto (x+1)(x-2)(x-3) sea menor que cero (negativo), y esto ocurre cuandox<-1 v 2<x<3. Estos valores de x son las soluciones de la inecuación (x+1)(x-2)(x-3)<0. ••• CS=(-oo; -1>u<2; 3> 4.1. Método de puntos críticos Para resolver la inecuación (x - a )(x - b )(x - c )^ 0 -------------------- > p donde a; by c son las raíces reales y diferentes de P{x]l procedemos de la siguiente manera: 1. Ubicamos estas raíces en la recta numérica, la cual quedará dividida en cuatro zonas. Supondremos que a<b<c. a -.X<b a >c ------ < ------ - — oo o b _ c ^ :o o x a b<x< c En cada zona analizamos ,;v os signos producto (x-o)(x-ó)(x-c). x<a (x - a)(x-b ) Cx-c) =(-) H H H a<x<b (x - a)(x-ó ) (x -c ) =(+) (‘) (-) (-) b<x<c (x-o ) (x-b ) (x -c ) =(-) ( r ) [-) x>c ( x - 0)(X-Ò) (x -c ) =(+) 3. En la recta numérica, ubicamos los signos del producto (x-a)(x-¿0(x-c), cada signo en su respectiva zona. 4. Luego, dependiendo del tipo de desi gualdad, se presentan las siguientes posi bilidades: 5: A O zona con signo (-) y abierto CS=(-°°; a)u(b; c> ~ o IA O zona con signo (-) y cerrado C S = (-°o ; a]u [b; c] PM>° zona .con signo (+) y abierto CS=(o; b)u(c; +°°) PM*° zona con signo (+) y cerrado CS=[a; b]u[c; +“ ) A p l i c a c i ó n 2 0 Resuelva (x-2)(x-5)(x+4)>0. R e s o l u c i ó n Hallamos las raíces x - 2 =0 -> x =2 x -5 =0 -> x =5 x+ 4= 0 x = -4 Aplicamos el método de puntos críticos. Debido al tipo de desigualdad, elegimos las zonas con signo (+); además, los extremos -4; 2 y 5 serán cerrados. CS=[-4;2]u[5;+oo>
- 379. Capítulo 9 Inecuaciones Ap l ic a c ió n 21 Resuelva (x-3)(x+2)(x-5)(x+7)<0. R e s o lu c ió n Hallamos las raíces. x - 3 =0 — > x =3 x +2 =0 -> x =-2 o ii LD I — > x =5 x +7 =0 — > x =-7 Aplicamos el método de puntos críticos. Debido al tipo de desigualdad, elegimos las zonas con signo (-); además, los extremos -7; -2; 9 y 5 serán abiertos. /. CS=(-7; -2 ) u (3; 5) -4.2. Casos especiales Para la inecuación polinomial de grado supe rior PM^0, tendremos los siguientes casos: 4.2.1. Cuando Píx) tiene un factor positivo Supongamos que P(x) se factoriza como p (x)=f(x )'3 (x y donde f(x) es un factor de p (xy que es de signo positivo para todo x e R. Para resolver la inecuación 0, usamos la siguiente propiedad: Esta propiedad indica que el factor positivo f{x) se cancelará. A p l i c a c i ó n 22 Resuelva (x2+S){x-2)<0. R e s o l u c i ó n Como ^+5 es un factor positivo (es positivo para todoxe R), entonces lo cancelamos de la siguiente manera: ix H s ]{x - 2 )< 0 Nos queda x-2<0, de donde se obtiene x<2. Su conjunto solución es 2>. A p l i c a c i ó n 23 Resuelva (x2-2x+6)(x2-3x+2)>0. R e s o l u c i ó n El factor x2-2x+6 es de signo positivo para todo x e R, debido al teorema del trinomio positivo. Entonces cancelamos este factor. (+ ) Nos queda x2-3x+2>0. Lo factorizamos con aspa simple. % ¿0 | i-------------i t Somantiene el sentirlo. x2- 3x + 2 > 0 -1 (x-2)(x-1)>0
- 380. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Aplicamos el método de puntos críticos. 1 2 - - - CS=(— © o ; 1] u [2; -reo) 4.2.2.Cuando P .. tiene un factor con expo nente impar Supongamos que P(x. se íactoriza como P(X )=[(/w)]n-g(x), donde n es impar. Para resolver la inecuación > 0, usamos la siguiente propiedad: Esta propiedad indica que cancelaremos el exponente impar. Es válido también oara las otras desigualdades (<, <y>). A p l ic a c ió n 24 Resuelva (x-3)'(x-2)< 0. R e s o l u c ió n El factor (x-3)5 tiene exponente impar. (x-3 )V -2 )< 0 Cancelamos dicho exponente y queda (x— 3)(> r— 2) <0 Luego, usamos el método de puntos críticos. A p l ic a c ió n 25 Resuelva (x-2)5(x-4)7(x+2)>0. R e s o l u c ió n Cancelamos los exponentes impares de los i factores (x-2)5 y (x-4)7, y tenemos que (x- 2)(x- 4)(x+ 2) >0 : Aplicamos el método de puntos críticos. CS=[-2; 2] kj [4; r » ) Supongamos que P!x) se factoriza como ; PM=(/r w)n-< ?W J donde n es par. Se presentarán dos situaciones dependiendo de si la desigual- : dad en la inecuación es estricta o no. : a. Desigualdad estricta ' - o > ) Usamos la siguiente propiedad: <0 ^ r Esta propiedad indica que cancelaremos el factor con exponente par. Para la desigualdad > procedemos de modo similar. A p l ic a c ió n 26 Resuelva (x-3r(x-8)< 0. R e s o lu c ió n Cancelamos (x-3)4 porque tiene exponente par y queda (x-8)<0, de donde se obtiene x<8. /. CS=(2; 3)
- 381. Además, ponemos lacondición x^3, ya que si x=3, la inecuación no se verifica. x-3=0 v x-5> 0 x=3 v x>5 CS=(-o=; 8> — {3} A p l ic a c ió n 27 Resuelva (x -6)8(x -5)>0. R e s o l u c i ó n Tenemos que (*76) (x-5)>0 x-6^ 0 a x-5> 0 x ^ 6 a x>5 6 CS=<5;+oo>-{6} a. Desigualdad no estricta .(< o >) Usamos la siguiente propiedad: Para la desigualdad > procedemos de modo similar. A plicac ió n 2 8 Resuelva (x-3)4(x-5)>0. Re s o lu c ió n Tenemos que p.ir „ (x-Z)(x-S)>0 CS =[5 ;+ -)u {3 } Aplicación 29 Resuelva (x-5)6(x-3)<0. Resolución Tenemos que (* 7 8 ) (* - 3 )< 0 x-S= 0 v x-3< 0 x=5 v x<3 CS=(-=o; 3] u {5} 2. INECUACIÓN FRACCIONARIA Una inecuación fraccionaria tiene la forma P Q donde P(x) y Q(x) son polinomios, y Q{x] es no constante. Método de resolución • Ponemos la condición Qw *0. • Factorizamos Pw y Q^, y luego procede mos de modo similar a la resolución de la inecuación polinomial.
- 382. COLECCIÓN ESENCIAL A plic a c ió n 30 Resuelva la inecuación x 2-3 x +2 n ----------- — < 0 . x - 5 R e s o l u c ió n Ponemos la condición x-5^ 0, de donde x a 5. Luego factorizamos y obtenemos (x -1)(x - 2 ) ^ q x -5 Hallamos las raíces de los polinomios, tanto del numerador como del denominador. X 1 II o — > X = 1 x - 2 = 0 — > C J II X ► r7 i:.es ¿ r o II LD 1 X — > x =5 / A .> Aplicamos el método de puntos críticos. Luego tenemos en cuenta lo siguiente: • Como x*5, entonces en 5 será abierto. • Como la desigualdad es no estricta (^), los extremos 1y 2 serán cerrados. • Como la desigualdad es < elegimos las zonas con signo (-). CS=<— ; 1] u [2; 5> A p l ic a c ió n 31 Resuelva la inecuación x ^ 7 x ± É > 0 . x 2 -9 R e s o l u c ió n Ponemos la condición x2-9^0, de donde x*-3 y x a 3. Lumbreras Editores Factorizamos los polinomios del numerador y el denominador. . x2 - 7 x + 6=(x -6)(x -1) • x2-9=(x +3)(x -3) La inecuación queda como (x -ÓKx - D ^q (x+3)(x-3) Hallamos las raíces, tanto en el numerador como en el denominador. x -6 =0 X II C h x-1 =0 — > X =1 x +3 =0 — > X II I (JU o ll m 1 X — > x =3 Aplicamos el método de puntos críticos. Tengamos en cuenta lo siguiente: • Como x*3 y xst-3, los extremos 3 y -3 serán abiertos. • Como la desigualdad > es no estricta, los extremos 1y 6 serán cerrados. • Como la desigualdad es >, elegimos las zonas con signo (+). CS=<-®®;-3) [1; 3>w [6; +««> A p lic a c ió n 32 Resuelva la inecuación x+5 x+1 x - 2 _ x +3 ‘
- 383. R e so l u c ió n Ponemos la condición x-2^ 0 y x+3*0, de donde se obtiene x*2 y x^-3. Pasamos todo al primer miembro. x +5 x +1 x - 2 ~ x +3 x +5 x+1 0 ------------- <0 x - 2 x+3 Operamos (x +5)(x +3 )-(x-2 )(x +1) (x-2)(x+ 3) Hallamos las raíces. 17] 9x +17= 0 -+ x = ---- 9 x - 2 =0 -> x =2 X+O= 0 — > X —~0 Aplicamos el método de puntos críticos. 9x +17 (x-2 )(x +3) <0 cs={—;- 3 )u 1. Construya un tablero como el que se muestra a continuación: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. Arme 12 fichas rectangulares de la siguiente manera: En cada ficha habrá una inecuación que indicará uno de los números del tablero. Ejemplo Esta ficha indica el número 4. Menor solución entera de 2x +1>7 3. El juego consiste en resolver el problema que hay en cada ficha para luego ubicarla en la casilla correspondiente en el tablero. El juego es individual y se termina cuando se completa el tablero.
- 384. Solución Valor de laincógnita que verifica la inecuación. INECUACIÓN Es una desigualdad en donde hay al menos una incógnita. Tipos de inecuación Conjunto solución Agrupa a todas las soluciones de la inecuación. inecuación lineal ax+b<0 Cuando a>0 ax+b<0 (La desigualdad mantiene su sentido) Cuando o<0 ax+b< 0 (La desigualdad cambia de sentido) Inecuación de grado Inecuación fraccionaria superior £ - a >Q (x-a)(x-p)(x-0)£o x - P < __________ __________ / Método de resolución Método de resolución Pm=(x--a)(x-p)(x-0) n _*-CX • _ + - + X -p a P 0 ' + — + P(x)>0 — > signo (+) y abierto a P -> signo (+) y cerrado P{*)>0; -> signo (+) y abierto en a P(x)<Q — ^ signo (-) y abierto P^¿L0 • — >•signo (+) y cerrado en e x P< A¿0 -> signo (-) y cerrado P(x)<® signo (-) y abierto en « P[x)^0 — > signo (-) y cerrado en a En todos los casos, en (i es abierto, ya que x*p. Inecuación cuadrática ax2+bx+ 0 A>0 Método de puntos críticos A=0 Se usa la siguiente propiedad: o2>0, VaeR A<0 Se usa el teorema del trinomio positivo. Teorema del trinomio positivo x 2+bx+c> 0, Vxe R < -> A<0 COLECCIÓN ESENGAL
- 385. RESOLVEMOS JUNTOS Problema N/1 Resuelva la inecuación x-1 x+3 x-1 ----- i----- <----- B 2 6 A) <-°o;-2] B) [-2;+~> D) Resolución Tenemos que x-1 x -r3 x-1 ---- ----- < ----- 3 / 2 6 2(x-1)-i-3(x-r3)< x-1 jó ~ ,6 2 (x -1 )+ 3 (x + 3 ) < x-1 2x-2-r3x-¡-9<x-1 5x+7<x-l Problema N.‘ 2_______________ Resuelva 2(x+3)-1 > 7(x+3) +2. Resolución Despejamos x en la inecuación. 2(x+3)-1 >7(x+3)-2 2x+6-1 >7x-r21-2 2a'-t 5 > 7a "+19 2x-7x> 19-5 -Sx > 14 Para despejar x, debemos pasar a dividir el coeficiente-5 al otro miembro; pero, como es negativo, al hacerlo la desigualdad cambiará de sentido. r5 x> 14 (-5 pasa a dividir) 5x-*< -1-7 4x<-Q — > x<-2 La desigualdad cambia de sentido y se obtiene . 14 x < ---- 5 Su representación en la recta numérica es Graficamos CS=(-<»; -2] ’ Clave Clave
- 386. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores ! f A . 'r- *- Problema N.‘ 3 Resuelva la inecuación 5 - x x-10 . x — —<------<4 — 2 3 3 e indique la suma de sus soluciones enteras. A) 17 B) 38 C) 45 D) 27 E) 52 Resolución Tenemos que 5 - x x-10 . x ----- <-------<4 — 2 3 3 5 - x x-10 x-10' x ----- < ---------- A —-— < 4 - — 2 3 . 3 3, '-----------------------v ----------------------J v ’“ M t De (I) 5 - x x-10 ----- < ------- Multiplicamos en aspa y tendremos 3(5-x) < 2(x— 10) 15-3x<2x-20 15+20<2x+3x 35<5x x> 7 -> S1=<7;+oo> De (II) 3 ~ 3 x-10 x . . ------ +—<4 3 3 x-10 +x ----------<4 3v y 2x-10<12 2x<22 x < 11 -> 52=<-°°; 11] El conjunto solución se obtiene así: CS=51n S2 O ... :■ , CS=(7; 11] Las soluciones enteras son 8; 9; 10 y 11. 8+9+10+11=38 Clave Problema N.‘ 4 La siguiente inecuación: 1 2 U(x - 1)+1 -1< -2 tiene como conjunto solución a (-«>; n]. Indique el valor de n. A) -12 D) -15 B) -10 C) -30 E) -28
- 387. Capítulo 9 Inecuaciones Resolución Tenemosque -1<-2 ( 3V- (x - 1 )+1U - 2+1 1 n -(x-1)+1 3V4 <-1 -U-1)+1<(-1)(3) ( x _ 1 ) + 1 < _ 3 4 —(x — 1)<— 3— 1 4 —(x-1)< -4 4 x - 1<(-4)(4) x-í< -16 x<-16+1 x <-15 Graficamos 1 -15 CS=<-c°; -15]=<-°°; n] Por lo tanto, n es -15. Clave Problema N. 5 Halle la mayor solución entera de la inecuación x x - 6 . — + ------ < 2. 53 47 A) 53 B) 47 D) 46 Resolución Tenemos que x x-o _ — + --------- < 2 53 47 x 53 x-o -1< 2 -1 - x-53 A '— 6— 47 53 47 x-53 . *-53 53 47 + I ro I L T » i ) <0 <0 (x-53)< 0 C) 52 E) 42 Como x-53 debe ser negativo, entonces x-53<0 — > x<53 Por lo tanto, la mayor solución entera es 52. Clave
- 388. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.* 6____________________________ Resuelva x +3 , 3x +1 T +1<— A) <10;+«) B) <21;+«) Q (24;+«) D) <23;+oo) E) (15;+«) Resolución Operamos x +3 . 3x+1 ---- +1< ----- Problema N.’ 7 Resuelva el sistema 2* J * A) [1; 3] 5) [H> ° ( D) 2 E) 2 . L (I) (II) x +3+2 3x +1 ^ . ---------<------ 2 5 x +5 3x +1 ----- < ------ 2 5 ^ J Multiplicamos en aspa. 5(x+5)<2(3x+1) 5x+25<6x+2 5x-6x<2-25 - x < -23 Multiplicamos por -1 y por ello cambia el sen tido de la desigualdad, y se obtiene x > 23 Su representación en la recta numérica es así: ______________L . -------- ~ +■----- - 23 Los valores de x mayores que 23 son sus soluciones. /. CS=<23; +«) Clave Resolvamos en (I). x -2 2 < 3 -x x-2<2(3-x) x— 2<6-2x x+2x<5 +2 3x<8 x <- — » S, = • 8 1 Resolvamos en (II). 2x 8x ---------s <-6 + — 3 3 c 8x -5+6< — 3 2x 3 1< 6x T 1<2x 1 x > - 2 u j | c o
- 389. Capitule 9 Inecuaciones Elconjunto solución del sistema se calcula como CS=51n S2 ■ 4 ---- ------- L 2 3 j Clave . Problema N.° 3 Considerando que b<0<a, resuelva la inecua ción de incógnita x. 2b(x+2b)<a(a+x) A) <-oo; a +2b] B) (-«>; a-2b] C) [a +2b; +°°> D) [-a-2b;+°o) E) [-a-b; +°°) Resolución Tenemos que 2b(x+2b)<a{a+x) 2bx+Ab2<a2+ax 2bx-ax<a2-Ab2 [2b-a)x< (a+2b)(a-2b) Para despejar x debemos enviar 2b-a a dividir al otro miembro. Para ello hay que saber cuál es su signo. Del dato se tiene que b<0 y a>0, entonces 2b-a es negativo. á i Cuando un número negativo pasa al otro lado a dividir, la desigualdad cambia de sentido. Entonces ( 2 o - o)x< [a + 2b)(a - 2b) ' (a + 2 b ) ( a - 2 b ) x > -------------------- 2 b - a (a + 2 b ) £ b ^ a ) 2-br^a x > - a - 2 b CS=[-o-2¿¡;+ = < > > Clave Problema N. 9 Resuelva x2-2x-24<0. A) [-4; 6] B) [-6; 4] C) [4; 6] D) E) [-6 ;-4 ] Resolución Factorizamos la cuadrática con aspa simple. xz-2 x-24 < 0 Se obtiene (x-6)(x+4)<0.
- 390. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Aplicamos el método de puntos críticos. Para ello hallamos sus raíces igualando cada factor a cero. * - 6 =0 -> x = 6 j * +4 =0 x =- 4] Ubicamos estas raíces en la recta. <— Como el coeficiente de x2 es negativo, debe mos multiplicar por (-1). Así tendremos (-D (-*2+2*+15)<(0)(-1) *2-2*-15<0 * -5 x x * +3 — > (x-5)(x+3)<0 Aplicamos el método de puntos críticos. Buscamos que la cuadrática sea menor que cero, entonces elegimos la zona con signo ne gativo. /. CS=[-4;6] Clave CS=(-S; 5) Clave Problema N/ 10 Resuelva el sistema Resuelva la inecuación < K a IV 2x(x+1) +15>3x2. x2+5x<0 (II) A) (-°°; 5) u <3; +°°) A) <2; 5) B) (-5; 2] C) (-5 ;-2 ] B) (- 00; -3>u <5; +00) D) < — ;-2 ] E) (-2:5] C) (-5; 3) D) (-3; 5) i Resolución E) (-3; +°°) Resolvemos en (I). x2>4 Resolución Tenemos que (x+2)(x-2)>0 2*(*+'l) +15>3*2 ,_— 2*2+2*+15>3*2 /' X X' i- ♦ ™------► 2*2-3 x2+2*+15>0 _> - x2+2x +15>0 Sy=(-°0; -2] u [2; +~>
- 391. Resolvemos en (II). x2*5x<0 Suma de raíces -> (x)(x+5)<0 52=<-5; 0) . El conjunto solución del sistema se calcula como CS=51n S2 CS=(-5; -2] ; Clave } Problema 12_____________________________ Si (— oo; a) u (b; +°°> es el conjunto solución de la inecuación 2x 2- 6 x +3>0, calcule a2+b2. A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 12 Resolución Como a) u (ó; -h») es su conjunto solu ción, entonces a y b son las raíces de la cua drática 2x2-6x+3. Corno a y b son las raíces de la cuadrática, podemos aplicar las propiedades de Cardano. a +b =- t V =3 Producto de raíces ab =- 2 Para calcular ac+b , hacemos lo siguiente: a2+bz=az+b2+2ab-2ab a2+b2={a+bf-2ab Luego reemplazamos a+b-3 y ab--. a2+b2=(3)2-2 a2+b2- 9-3 a2+b2=6 12 Clave Problema N.° 13 Luego de resolverx2<2x+2, indique el núme ro de soluciones enteras. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Resolución Tenemos que x 2 < 2 x + 2 x2-2x -2<0 No puede factorizarse con aspa simple, así que calculamos su discriminante. A=(-2)2-4(1)(-2)=12
- 392. COLECCIÓN ESENCIAL tí ir LumbrerasEditores __________________ Como A>0; la inecuación se resuelve con el método de puntos críticos, pero para ello ne cesitamos las raíces de la cuadrática, las cuales podemos calcular con la fórmula general de la cuadrática. -b±yjA , , N * = — ----- (raíces) 2a x J - Z)±^ - k £ 2(1) = 1±VÈ Ubicamos estos valores en la recta y aplicamos el método de puntos críticos. cs= [1-V 3 ; 1+V3] Las soluciones enteras son 0; 1; 2. Por lo tanto, esta inecuación tiene tres solucio nes enteras. Clave Problem a N. 14 _________________________ El intervalo [3; 5] es el conjunto solución de la inecuación 2/-ax+ b< 0. Calcule ab. A) 160 D) 320 B) 240 C) 480 E) 340 Resolución Como su conjunto solución es [3; 5], entonces 3 y 5 son las raíces de la cuadrática 2x^-ax+b. Aplicamos las propiedades de Cardano. I. Suma de raíces: (-a) 3+5 =~ — » o = 16 II. Producto de raíces: (3)(5) =— — > < 6=30 o¿»=(16)(30)=480 Clave V . : ■ ■ : El intervalo es el conjunto solución de la inecuación ( ^ - l ) x 2-3 x +/3+1<0. Calcule (o-1)2. A) 1 D) 4 Resolución B) 2 C) 3 E)‘ 9 Como es su conjunto solución, en tonces - y o son las raíces de la cuadrática 2 (V 3 - l)x 2-3 x + V3+1. Usamos el teorema de Cardano para calcular la suma de raíces. a (-3) — + 0 = — 7=— 2 s/3-1
- 393. r . 1| • • ! !0c'-ir;,"'M Ì£ Calculamos el valor de o. a+2a _ b (% /3+l) 2 = (7 5 -l)(7 5 + l) X7 _ i (V3+1 ) í ~ í -> 0=75+1 (0- 1 )2= (75+1- 1 )2=752=3 Clave Problema ¡!. 16 / 4;fi% — #----t íf A f r , ;> .V v Resolución 'V - Para que el conjunto solución sea {a}, la inecuación debe ser de la forma (x-a)2<0. Entonces la cuadrática mx2- 12x+-18 debe ser un cuadrado perfecto. La condición para que sea cuadrado perfecto es A=0. A=(12)2 .-4(/7?)(18)=0 144-72m=0 144=72/7? /77 = 144 72 /77 =2 Reemplazamos m=2 en la inecuación y luego la resolvemos de la siguiente manera: ¿ x 2+)¿ x + )é < 0 6 9 x2+6x +9<0 v -----y ---- / (x+ 3)2< 0 Esta inecuación se verifica solo sí x=-3, de donde el conjunto solución es {-3} y, por ende, a=-3. a+/n=-3+2=-1 Clave 'i : El conjunto solución de la inecuación /77x2+12x+18<0 es {a}. ’ / i Calcule a+m. A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) 0 , 1 .. .7 t í v. , l >32Í r 'v t . Resuelva x2-6x+10<0. $ ,é/ A) R . B) R + C) R- E) ó Resolución Expresamos la cuadrática convenientemente. x 2 - 6 x + 1 0 < 0 x2-6 x+ 9 +1<0 -4 (x -3)2+1<0 Buscamos que (x -3 )2+ 1 sea menor que cero o igual que cero, pero ninguna de las dos op ciones es posible, ya que, por la forma que tie ne, (x -3 )2+1 siempre será de signo positivo. Entonces esta inecuación no se verifica para nin gún valor de x e R, es decir, no tiene solución. CS=cj) Clave
- 394. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.' 13__________ Si {n} es el conjunto solución de la inecuación *2“ (^+1)x +2X-2<0, calcule nX. Problema N.’ 19 El conjunto solución de la inecuación mx2-(2m-3)x+m>0 es R -{a }. Calcule m. A) 4 D) 6 Resolución B) 2 C) 3 E) 8 Para que el conjunto solución sea {n}, la inecuación debe ser de la forma {x-n)2<0. Entonces tendremos x2-(X+1)x +2 -2 ={x-n )2 Es decir, la cuadrática es un cuadrado perfecto y eso ocurre cuando A=0. A=(X+1)2-4(1)(2X-2)=0 a2-¡-2X+1-8X+8=0 A2-6X+9=0 (A-3)2=0 A- 3=0 — > X-3 V %% Reemplazamos X=3 en la inecuación y la re solvemos. x2-(3+1)x +2(3)-2<0 x2-4X + 4S0 ------- V ------X ( x -2) 2S 0 A) 1 D) - i B ) i C ) ! E) - ! Resolución Para que el conjunto solución sea R -{a }, la n inecuación debe ser de la forma (x-a) >0. Esto ocurre bajo las siguientes condiciones: m >0 a A=0 Resolvamos A=0. " A=(— (2m - 3))2- 4(m)(m)=0 Jfrí2 -12/71+9 - Afr? =0 -12/t?+9=0 — > 12/n=9 3 m — — 4 Clave Problema N.’ 20 El conjunto solución de la inecuación 2x2+3>6x+k es R. Halle la variación de k. Su conjunto solución es {2}, entonces n=2. i A) R " B) R C) R + /. nX=(2)(3)=6 ! D) E) ( - C/ove ■ ; +oo
- 395. Capítulo 9 Inecuaciones ____ Resolución Tenemosque 2x2+3>6x+k 2x2-6x+(3-/r)>0 Si su conjunto solución es R, entonces 2x2-6x+(3-/r) debe ser positivo (mayor que cero) para todo xe R, lo que ocurre bajo la condición A<0, debido al teorema del trino mio positivo. Esto significa que la cuadrática debe ser de signo positivo para todo x e R, lo que ocurre cuando A<0, como en el problema anterior. Resolvamos A<0. (— 5)2— 4(2)(1 — A) <0 25-8+8Á<0 17+8Á<0 8A .<-17 Resolvamos A<0. (- 6)2-4(2) (3- /r)<0 36-24-r8/r<0 12-í-8Ar<0 Qk<-'2 , 12 3 k < ---- — > k <— 8 2 Clave Problema N.‘ 21______________________ ______ Si 2x2-Sx+^>X; V xe R , halle el máximo valor entero de a . A) -3 B) -2 0 1 D) 0 E) - 1 Resolución Tenemos que 2 x 2 - 5 x + 1 > X ; V x e R 2x2-5 x +(1-X) >0; V x e R - O j Por lo tanto, el mayor valor entero de X es -3. Clave Resuelva S x 2+-Jí <2s¡2x. A) R B) R" C) < t > D) R +. E) R -{0 } Resolución Tenemos que /3x2+ y ¡ 2 < 2 '¡2 x •Jlx2- 2V2x +V2 <0 Calculamos el discriminante. A =(-275)2- 4 ( 7 Í ) ( ^ ) A = 8 -4 ^ 6= - 1 ,7 9 ... Observe que A resultó ser negativo.
- 396. Entonces aplicamos elteorema del trinomio positivo que dice lo siguiente: Cuando A < 0, la cuadrática es de signo posi tivo para to d o xc R . Entonces tendremos V3x2- 2V2x +V2 <0 v --------- ' Es (1 ) tOdO S r- ¡R. Como la cuadrática siempre es de signo po sitivo, es imposible que sea menor que cero; entonces la inecuación no tiene solución. Por lo tanto, su conjunto solución es ó- * * * * * * * / : Clave y f m r w A Resolvamos A<0. H ) -4(1) í +k<0 -> k< -1 k e (-co; -1] - - i< 0 4 ) Clave Indique el cardinal del conjunto 4 = {x e Z / -3 < x 2+ x <ó). Problem a 23 % i f " ' - - ' ,ï'X mf Á 0$f v . . — A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 6 1 k Si la desigualdad x¿< x +— no se verifica nunca, indique la variación de k. A) R “ B) R D) <-00;-1] Resolución c) <7°°; i] E) '4-1; 1] Si x 2 <x +— no se verifica nunca, entonces 4 x 2>x +~ se verifica siempre, es decir, se ve- 4 rifica para todoxe R. Entonces tendremos x 2 - x - - > 0 ;V x e R 4 lo cual, por propiedad, se cumple bajo la con dición A^O. ■ % 3 ' v .1 ,-,* 'fi En el conjunto 4 tenemos que -3< x2+x<6 - 3 < x 2 + x a x 2 +x <6 v v ------J '-----v-----' Resolvemos en (I). - 3 < / + x ' O ^ + x+ S x2+x +3>0 Calculamos su discriminante. A=12-4(1)(3)=-11 Luego, la cuadrática x2+x+3 siempre es de signo positivo debido a que A<0.
- 397. Resolvemos en (II). x2+x<6 x2-* - 6<0 x ■J /+ 3 x -2 (x + 3 )(x -2 )< 0 S2=(-3; 2) Finalmente, intersecamos S1con S2. i , ) S, n S2= R n (-3; 2>=<-3; 2> V., * # r > / Luego, el conjunto A quedará así: A={x e Z / x e (-3; 2» -> y4={-2; -1; 0; 1} ^ % Por lo tanto, el cardinal de A es 4 (número de elementos). Clave Problema N. 25_______________ _ Resuelva la inecuación ( x2+ 3x + 5)(x 2 + 9 )< 0 e indique la suma de sus soluciones enteras. B) 4 C) 6 E) 0 La cuadrática x2+3x+5 siempre es de signo positivo, debido a que tiene discriminante negativo. Por propiedad, cuando se tiene un factor positivo, este se cancela de la siguiente manera: ií¿ -rS x + í)(x 2-9)<0 V . _________ __________ / Luego, nos queda x2-9<0. Factorizamos con diferencia de cuadrados. (x+3)(x-3)<0 * ¿v'' f‘ j ~ V ■ * W O O H CS=<-3; 3 > Las soluciones enteras son -2; -1; 0; 1; 2. - 2+-1+0+1+2=0 Clave Problema M.’ 26 Resuelva la inecuación x 3+ 3x 2 + 5 < 9 x . A) (-oo; 1 ] B) <-°o; -5] u [1; +°o) Q (-«*»;-1] D) <-°o; -5] u (1} E) <-~;U-{5) A) 9 D) 1
- 398. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Resolución Tenemos que x3+3x2+5<9x x 3 +3x 2 - 9 x + 5 <0 Factorizamos P^ con el método de divisores binómicos. 1 3 -9 5 X=1 4' * 1 4 — -5 ' V 1 4 -5 0 Luego, tendremos ■ ¿ jk Pm=(*-'|)(*2+4* - 5) Pw=C*-1)C*+5)(*-1) Pm =(x - V 2(x +S) La inecuación queda como (x-1)2(x+5)<0 Luego — V ——— / ± ) f) x-1=0 v x+5<0 x=1 v x < -5 Problema N.* 27_____________________________ Resuelva la inecuación (x-2)s(x- 3)fy-1)V + 2)8<0 e indique la suma de soluciones enteras. A) 6 B) 4 Q -1 D) -2 E) 0 Resolución Cancelamos los factores con exponente pan además, en esos factores tendremos x-3=0 — » x=3 x+2=0 -> x=-2 Estos valores x=3 y x=-2 verifican la inecua ción, así que son soluciones. En los factores con expeneníe impar cancela mos sus exponentes. Luego, la inecuación queda como ( ^ f ( x - 2)5'(x-1)7 <0 x=3 v x=-2 a (x-2)(x-1)<0 ¿----------¡L ¿ -> CS=[1; 2] u {-2; 3} Las soluciones enteras son 1; 2; -2; 3. c s = < -° ° ;-5 ]u{ 1} Clave 1+2-2+3=4 ’ Clave
- 399. Capítulo 9 Inecuaciones ProblemaN.* 28 Resuelva la inecuación x — 1^ x-1 x - 5 x +3 e indique la suma de sus soluciones enteras positivas. A) 10 D) 9 Resolución Tenemos que x-1 x-1 x - 5 x +3 B) 15 C) 3 E) 6 <0 (x-1)(x +3 )-(x-1 )(x-5 ) ^Q (x-5 )(x +3) (x-1)(x +3 -(x-5 )) (x-5 )(x +3) (x-l)Jg ) (x-5 )(x +3) <0 x-1 (x-5 )(x +3) <0 -(jo —3 — ) CS=<-oo;-3)u[1; 5> Sus soluciones enteras positivas son 1; 2; 3; 4. 1+2+3+4=10 i Clave Problema N.c29 Resuelva la inecuación x . 2 x-1 * 2_1 e indique el número de soluciones enteras. A) 0 D) 4 Resolución Tenemos que * < 2 B) 1 C) 2 E) 3 x-1 x2 _ 1 x 2 <0 X-1 x 2 _ 1 x(x+1) 2 (x-1)(x+1) (x+1)(x-1) <0 x(x +1)-2 - (x — 1)(x +1) <0 x + x-2 (x-1)(x +1) <0 (x +2 ){^ 1) , Q i^ 1)(x+ 1) Considerando que x*1, cancelamos el factor x-1 y tendremos x+2 x +1 <0 Aplicamos el método de puntos críticos. CS=[-2; -1>
- 400. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores La inecuación tiene una única solución entera que es-2. Por lo tanto, el número de soluciones enteras es 1. Clave Problema N.‘ 3Q Problema N,' 31 Resuelva la inecuación (x2 +2)(x -3) x - 6 <0. Resuelva la inecuación 1 A) [3; 6] 3) <3; 6] D) <3; -foo) C) <3; 6) E) [3; 6) x +-----<2. x-1 A) R- D) (1; +“ > B) <-«>; l> Q <-»; - i) E).<-T+~> Resolución Tenemos que x +— <2 x-1 / áfisr xM? . i i V X2-X-r1 y - 2 < 0 x -1 -^ x x2-X+1-2X+2 x-1 x 2-3x+ 3 r -» ------ -— su x-1 '4 % <0 La cuadrática ^ -3x+ 3 siempre es de signo positivo, debido a que su discriminante es A < 0. Para que la inecuación se verifique, se debe cumplir que x-1 sea negativo. Entonces x-1 <0, de donde x<1. cs=<-°°; 1 ) Clave Ponemos la condición x-6==0, de donde se obtiene x?6. En el numerador, el factorx2+2 siempre es po sitivo; lo cancelamos y tendremos (y < 2 ){x -3 ) x - 6 <0 r X -3 <0 ' ; Aplicamos el método de puntos críticos. CS=[3; 6) Clave Problema N.’ 32 Resuelva la inecuación 1 X +1 '2 <0. X +x A) <-1;0> D) (1; +«> B) <0; 1] Q H ;1 ) E) 0)
- 401. Inecuaciones Resolución Tenemos que ,2 X 1 X+1w 2 <0 X +x 00 (x2) (*)(x+1) (x)(x +1) 1 <0 x 3-1 000f+1) <0 — > (x +1)(x2+x +l) " 00U +D <0 La cuadrática x2-fx+1 siempre es de signo po sitivo debido a su discriminante (A<0), así que la cancelamos. (x +1 x +1j (*)(* +!) <0 x-1 (X)(X +1) <0 Aplicamos el método de puntos críticos. -oo -1 -foo Entonces CS=<-°°; -1) u <0; 1]. Por lo tanto, un intervalo solución es <0; 1], ;' • • Problema N,* 33 Resuelva la inecuación x2-8 x -2 < 1. Calcule el número de soluciones enteras positivas. A) 6 D) 1 ' B) 3 C) 2 E) 4 Resolución Ponemos la condición x-2^0, entonces x*2. Pasamos todo al primer miembro. x2- 8 x -2 - 1<0 Operamos x ¿ -8 - x - f 2 x^2 <0 x - x - 6 x - 2 <0 Factorizamos el numerador con aspa simple. (x-3 )(x +2) x - 2 <0 Aplicamos el método de puntos críticos. Entonces CS=<-°°; -2] vj <2; 3]. La única solución entera positiva es 3. Por lo tanto, el número de soluciones enteras positivas es 1. : Clave ó :
- 402. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO 1.Resuelva 5(x+2)+3(x-1)-2(x-1)>3. A) [3; +°o) B) [0; +<») C) [2; +<») D) [1;«) E) [-1;+oo> 2. Halle el mayor valor entero que toma x en x - 4 6 x-2 „ —— +------<1. A) 1 D) 2 B) 3 C) 6 E) 4 3. Obtenga el mayor valor entero de x en x(x-*-6) <7+x(x+5). A) 6 D) 8 B) 5 ... > ■ - É )-4 " - í 4»^ 4 w i 4. Resuelva el sistema fx+2<7 [2(x-1)>8 A) <5; +«>) B) {6} D) {5} 5. Resuelva x (x -6)<7. A) (-1; 6) B) <6; 7) D) <0; 6) v% . ■ - ¡rs& ¡* C) <-°°; 5) E) 9 C) (-1; 7> E) <0; 7) 6. Resuelva e indique el menor valor entero negativo dex. x2 <16 A) -2 D) -4 B) -1 C) 0 E) -3 7. Indique el número de soluciones enteras de la inecuación (x-2) <x-2. A) 1 D) 0 B) 3 C) 4 E) 2 8, Resuelva (x-3)¿<0. A) (-«>; 3) B) (-«>; 3] C) {3} D) <3;+~) E) [3;-feo) 9. Resuelva x(x-4)< -4. A) (0; 2) B) {2} D) (-2; 2) C) ó E) (-4; 4) 10. Indique el conjunto solución de (x-4)2>0. A) 97/7; B) {4} C) [4; +°o) E) R D) {0/4} C w & / ; Calcule el mayor valor entero del CS de x-2 sf S¿ x-8 < 0. A) 7 D) 3 B) 6 C) 2 E) 8 12. Indique el menor valor entero del conjunto solución de A) 4 D) 5 - > 1. x -4 B) 1 C) 2 E) 3 13. Resuelva la inecuación x+2 - > 10. x-2 A ) 2 ; 22 D) <2; 10] B) [-2; 2] C) 2; — 9 E) (-2; 22]
- 403. Capítulo 9 Inecuaciones 14.Halle la suma de soluciones enteras positi- , 3 2 A vas de----------- <0. x+1 x-1 A) 15 B) 9 C) 14 D) 1 1 E) 10 15. Resuelva (x-2)2-(x-5)<0. A) <2; 5) B) 2) kj <5; +°°) C) (-8; 5)-{2} D) {-co; 5)-{2} E) R~{2} ^ 16. Halle la suma de soluciones enteras nega tivas de (x— 6)D-(> r— 4)1 1-(x+2) >0. A) -6 B) -3 C) -2 D) -5 E) -1 17. Indique la suma de soluciones enteras de (x+3)17-(x-2)9-(x+5)-x< 0. 19. Halle el máximo valor entero de x en (x2+x+ 3)(x-2)^Q (x-3)(x+1) A) -1 B) 3 C) 0 D) 2 E) 4 20. Halle el mínimo valor entero de x en (x2+x-f2)(x+4) {x2- x +7) A) -2 B) -7 C) -4 D) -9 E) -6 21. El conjunto solución de Gr-9)(x-6)>0 es [-a; a] u [b; +«>). Halle a2+b2. ;v ' A) 34 ( Z " B) 15 C) 45 f ^ D ) - 4 1 E) 39 22. Calcule la menor solución entera negativa de (x2-1Jíx2+6x+^ {x 2+5x+6)<0. A) -3 B) -2 C) -1 D) -5 E) -4 A) -1 B) -3 C) 6 D) 0 E) -6 18. Resuelva (xz-x+S){x+2)[x-7)<0. A) (-2; 7) B) (-2; 6] C) (-2; 5) D) (-2; 7] E) (-2; 5] 23. Halle la mayor solución entera positiva de x3+x2-4x-4< 0. A) 1 B) 3 C ) 4 D) 2 E) 5 24. Indique el número de soluciones enteras positivas de (x+1)3<x+1. A) 2 B) 0 D) 3 C) 1 E) 4
- 404. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 25. Resuelva x+2<2x+4<-x-2. A) (-«o;-2] B). 0 C) {-2} D) {2} E) [-2; 2] 26. Luego de resolver la inecuación, indique la suma de valores enteros de x. 3x x 5x _ —-< -+ 7 < — +5 2 2 2 A) 28 D) 27 B) 21 C) 15 E) 20 27. Resuelva x(x-5) <-3 e indique el valor de si se sabe que su a - Jb a+ Vó' ihuii'Huiimw). Q+b/ CS=( « 1 21 Æip- y-.- .a A i • > '■» é fM y ? 1 ' ¡? P f donde a; bm Z. . 30. Halle el menor valor entero positivo de x en (x3- 13x +12)(x - 1)2(x2+25) A) 1 D) 5 (X + 2Ÿ B) 2 < 0 . C) 4 E) 3 1. Halle la suma de soluciones enteras de la ... (x -5 )(x 2 +2) inecuación A) 15 D) 18 x - 8 B) 13 < 0- C) 19 E) 26 22. Halle la mayor solución entera negativa de ,3 <0- 1 • (2x+3)(x-4)" la inecuación ------- - ----- - t ,:V x B) %s *%, T A) -4 d K B) -3 I V 1 D)?cef* C) 8 % D) 4 28. Halle la menor solución entera de x+1 x - 2 x > x+3 ■ < k '^ V A) -3 D) -1 B) 1 C) -2 E) 2 29. Halle el menor valor natural de xque veri fica la inecuación (x+ 3)(x+ 1)(x-6)^0 (x +5)(2-x) A) 4 D) 1 B) 2 C) 3 E) 6 %■ > p % ¡y *•' S r C) -2 E, 2 2x +1 33. Resuelva la inecuación —— <3 x - 2 e indique el complemento de su conjunto solución. A) 2, D) (3; 1) B) <2; 3) Q (2; 7) !l (i: 34. Resuelva la inecuación >2 x2+1 x - 2 e indique la menor solución entera. A) 2 D) 0 B) 4 C) 1 E) 3
- 405. Capítulo 9 Inecuaciones 35.Resuelva la inecuación 1< x - 2 < 2. A) <2; +oo) B) (3; +© o) C) (1; +<») D) <4; +co) E) (0;+~> 36. Resuelva la inecuación (x-5 )3(x+1)7 n ---------------— <0 ( x - 2 ) 2 e indique la suma de soluciones enteras. A) 8 D) 9 B) 12 C) 10 E) 14 37. Resuelva la inecuación (x-6 )2(x -7 )4 x - 2 <0 e indique el número de soluciones enteras positivas. N - A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 38. Resuelva la inecuación (x2+3x +5)(x2-4 x+ l)< 0 cuyo conjunto solución es < nrr, n) y calcule m+n. -x A) 3 D) 4 Claves B) -1 C) 1 E) -3 39. Resuelva la inecuación Ú 2+i )O 2- 4 ) . 0 x - 6 e indique un intervalo solución. A) {-«>; 4) B) (-«»; 2) C) [2; +°*) D) [6; +co) E) (6; + < *> ) 40. Resuelva la inecuación x - 4 < 1. x4 A) < 1; 4) D) R -{0} B) <0; 4> C) <0;1) E) R Resuelva la inecuación * 4 - 5* 2- 6 <o (x-2 )2 , Luego calcule la suma de sus soluciones enteras. A) -2 D) -3 B) 0 C) 1 E) 2 42. Resuelva la inecuación < 0. (x-6 )b(x-5 y x-,1 Luego calcule la suma de soluciones ente ras positivas. A) 1 1 D) 21 B) 12 C) 9 E) 15 1 E 6 £ 1 1 A 16 B 21 c L. 26 B 31 D 36 A 41 2 D 7 D 12 D 17 B 22 A 27 E 32 C 37 C 42 C ; 3 A 8 C 13 A 18 A 23 O 28 C 33 c 38 D 4 E 9 c 14 C 19 D 24 B 29 D 34 E 39 r L - 5 C 10 E 15 D 20 C 25 C 30 A 35 B 40 D
- 407. En la ingenieríacivil es necesario realizar trabajos topográ ficos antes, durante y después de la construcción de obras como carreteras, edificios, puentes, canales, etc. A partir de estos trabajos se elaboran mapas o planos a escala que re presentan las particularidades del terreno donde se va a rea lizar la obra. Mediante el uso de instrumentos topográficos se toman diversas medidas sobre ángulos y distancias; estas últimas se miden al seguir las líneas rectas. Tales rectas se trazan al unir dos puntos o a partir de un punto fijo, con una dirección dada, y se marcan sobre el terreno con piquetes, pilares o jalones. Para representar la distancia horizontal o vertical de un punto a otro en un plano cartesiano, usamos el valor absoluto. Entender el concepto de valor absoluto de un número real. • Calcular el valor absoluto de una expresión algebraica que depende de una variable. W • Conocer las propiedades básicas del valor absoluto. Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. FÍA ¿P o r qué gg necesario cate conocim iento? El valor absoluto sirve para representar todo tipo de distancias entre un objeto y otro. Podemos verlo cuando simbolizamos figuras en un plano cartesiano y queremos representar la distancia de un punto a otro, y luego resolver problemas geométricos. También podemos usarlo para caracterizar cantidades no negativas, las cuales son muy comunes en problemas de inecuaciones o funciones para representar. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número real que por definición es una actividad no negativa. «ücF
- 408. Valor absoluto COLECCIÓN ESENCIALLumbreras Editores Debido a que e! valor absoluto de un número resi representa una distancia, solo podrá ser una cantidad positiva o cero. Cuando x es un número negati vo, su opuesto -x representa a un número positivo. Desde el punto de vista geométrico el valor absoluto de un número real x, denotado como x es la distancia de x a cero en la recta numérica, como se muestra en ei siguiente gráfico: El valor absoluto de x, según ei tipo de número rea! que repre senta, tiene ios siguientes casos: Cuando x es un número positivo, ¡a distancia d e x a 0 es igual a x, es decir x=x. Para x> 0 Ejemplos • La distancia de 1 a 0 es igual a 1, entonces ¡1|=1. • La distancia de 5 a 0 es igual a 5, entonces |5|=5 Cuando x es un número negativo, la distancia d e x a 0 es igual al valor -x, es decir, |xj=-x. Para x < 0 o
- 409. Capítulo 10 Valorabsoluto Ejemplos • La distancia de -3 a 0 es igual a 3, entonces |-3|=3. }-i' -3 • La distancia de -7 a Oes igual a 7, entonces |-7|=7. 2. DEFIN ICIO N El valor absoluto de un número real x se define como x; x > O lx| = - x ; x< 0 Si x es positivo, entonces |xj=x. Ejemplos ;;C,~ / . . • |2|=2 * 420161=2016 I • | ^ +l| = %/3+1 • p 2 - l] = >/2-1 • |ít+2| = 7t+2 Si x es negativo, entonces |x]=-x. Ejemplos • |-3|=-(-3)=+3 71 +3 71 +3 3> 4 =+— 3 . |-5|=-(-5)= +5 . iw¿i=-(-va=+^ Para calcular e! valor absoluto de un número real se debe conocer si dicho número es positivo, cero o negativo. Un error muy común es pensar que— x es negativo porque tiene un signo (- ) adelante. Tenga en cuenta que x es una variable y el signo de -x depen de del valor de x. Por ejemplo, cuando x es 3. -x es -3 (valor negativo). Pero si x es - 5, entonces -x será -(— 5)=+5 (valor positivo). ............V- - V.’ ■ ■ ■. . : _ Observación Si x es igual a cero, entonces |0|=0.
- 410. V Va o'absoluto de una expresión que depende de una . anatne Para caícuíar f^ r)j donde es una expresión matemática que depende de x, debemos tomar en cuenta los valores que tome la variable x. Por ese motivo,, hay que determinar los valores de x, para los cuales la expresión f.- resulta positiva, cero o negativa. '•r'J Si fíx) resulta positivo, entonces f(x)=f[x> Si resulta negativo, entonces |f{x) =~f{x)- Si fM=0, entonces j^)! = lol =0 ; Cuando f x) toma el valor de cero, este se incluye junto al i caso donde es positivo. Es decir, sí para x e M se tiene que fm>0, entoncesf[r¡|- f{rT A p l i c a c i ó n 1 Calcule lx-5j si x> 5. R e s o l u c i ó n Debemos determinar ef signo de x-5 . Tenemos quex> 5, entonces x> 5 x - 5 > 0 ■ ’ • - ••■ " • ' ;T:p Como x - 5 > 0, entonces x - 5 es positivo. .-. |x-5 |= x-5 A p l i c a c i ó n 2 Calcule jx-o] six < 6. Resolución Debemos determinar el signo d ex-6. Tenemos que x < 6, entonces x < 6 x-6 < 0' “ Como x -6 < 0, entonces x -6 es negativo. [x-6|=-(x-6) x-6=-x+6 [x-6¡=6-x
- 411. Capítulo to Valorabsoluto A p l ic a c ió n 3 Calcule ¡2x-1| si x> 3. R e s o l u c ió n Debemos determinar el signo de 2x-1. Tenemos que x > 3, entonces x> 3 s xZ 2x> 6 J 2 x -1 > 5 ) Como 2x-1 > 5, entonces 2x-1 es positivo. I2x-1|=2x-1 A p l ic a c ió n 4 Calcule |3x-2| si x e (-2; -1), R e s o l u c ió n Debemos determinar el signo de 3x-2. Tenemos que x e <-2;-1)/ entonces -2 < x< -1 f 5 gfug. -6 < 3x < -3 -8 < 3x-2 < -5 * Como 3x-2 está entre -8 y -5, entonces 3x-2 es negativo. j3x-2j=-(3x-2) |3x-2|=-3x+2 |3x-2|=2-3x A plic a c ió n 5 Calcule £=[x-5|+{x-8| si x e (5; 8). Reso lu ció n Tenemos que x e (5; 8). Calculamos |x-5|. 5 < x< 8 0 < x-5 < 3 * Como x - 5 € (0; 3), entonces x-5 es positivo. |x-5|=x-5 Calculamos lx-8|. 5 <x< 8 -3 < x-8 < 0 - Comox-8 e (-3; 0), entonces x-3 es negativo. |x-8¡=-(x-8) Reemplazamos en E. £={x-5[-r|x-8| E=x- 5-(x-8) E = x — 5—x 4-8 =3 E=3 A p l i c a c i ó n 6 Calcule la variación de £=|x-1|+|x-5j; x > 8. R e s o l u c i ó n Calculamos |x-1j. x> 8 x-1 > 7 -> |x— 1|=x— 1 Calculamos [x-5|. x > 8 x-5 >3 — > [x-5]=x-5 Reemplazamos en E. E— x — 1+x— 5 — > E— 2x— 6 Hallamos la variación de E. x > 8 ^ 2x > 16 2x-6 > 10» /. £e(10;+oo> 5
- 412. COLECCION ESENCIAL LumbrerasEditores A p l ic a c ió n 7 Determine |x-3| si x e R. R e s o l u c ió n Tenemos q u e xe R , esto significa quexpuede tomar cualquier valor real. Entonces tendre mos las siguientes posibilidades: Si x > 3, entonces x-3 es positivo. lx-3|=x-3 Si x=3, entonces x-3 es igual a cero. lx-3|=|0|=0 ■ Si x < 3, entonces x-3 es negativo, [x— 3|=-(x-3). Entonces U -3 l = * x -3 ;x> 3 0 ; x =3 -(x-3 ); x<3 Aplicación 8 Determine lx2-25¡ si x e R. Resolución El valor x toma cualquier valor real y además x 2 - 2 5 = ( x +5)(x -5 ), entonces tendremos las siguientes posibilidades: S ix < -5 v x > 5, entoncesx2-25 es positivo. x2 -25l =x2-25 Si x=5 v x=-5, entonces x2-25=0. |x2—25| =|o ]=0 x 2-25 ;x e (-= o ;-5 )u (5 ;+ « ) 0 ; x =5 v x = -5 (x2-2 5 );x e (-5 ;5 ) A p l i c a c i ó n 9 Calcule |x2+s| si x e R. R e s o l u c i ó n Como x s R, entonces x 2 solo es positivo o igual a cero. Es decir, x~ > 0. Luego x2>0 X2-r3>3 Obsedamos que >r+3 > 3 es positivo. V *. |x2 ~ r3) = x 2 + 3 A p l i c a c i ó n 70 Determine f=[x)+lx-3j si x e R. R e s o l u c i ó n Como x toma cualquier valor real, entonces tendremos las siguientes posibilidades: x <0 0 0 <x <3 3 x> 3 Si x < 0, entonces x=-x. Como x-3 < -3, entonces |x-3|= -3-x. Sxe (-5; 5), entonces x2-25 es negativo. |x2-25l =- (x 2-25) Reemplazamos en E. £=-x+3-x E=3-2x
- 413. Si O< x< 3, entonces |xj=x. Como x-3 < 0, entonces |x-3|= 3 -x. Reemplazamos en E. E— x-r-3— x — > E— 3 Si x > 3, entonces |xj=x. Como x -3 > 0, entonces |x-3 = x-3 . Reemplazamos en E. E— X~rX i — ^ t =2x~ f3- 2x; x <0 E = - j3; 0 <x <3 [2x-3;.x>3 Propiedades .< > j , El valor absoluto de cualquier número cero o positivo y en ningún caso regar A plicación 77 Halle los valores de x y y que veril |x -2 |+ |y -5 | = 0. Reso lu ció n Tengamos en cuenta que un valor absoluto solo o positivo. Entonces se presentarán las siguiente CU !x - 2 k |y - 5 ¡ = 0 ( + ) + ( + ) X ( + ) + 0 X 0 + ( + ) X 0 + 0 y Observamos que la igualdad se cumple cuando |x-2 l = 0 A | y - 5 | = 0 x=2 a y=5
- 414. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores b. No olvide Tengamos en cuenta que ixl es la distancia de x a 0 y que i-xl es !a distancia de -x a 0, y dichas distancias son iguales. £ j. A*cTX. >- Ejemplo .3 ‘43C TÍ* ~ - S m á — 1 Importante Para cualquier x e R, se cumple ; x-<A-o-x - Ejemplos • U -2 Í =! 2 - x ! • lx — 6}=fe-xi Para cualquier x real, los valores absolutos de x y de - / son iguales. Ejemplos • |5|=|-S| c. Ejemplos • |5x+10|=j5(*+10)l |5x~10[%¡5f-tx-i-10l /. j5x-r10j=5ix+-10| d. =— * * h zA Ejemplos % « 1 - I1! . x+3 U+3l e. • e R |3x-1| =[-(3x-1)¡={-3x-í-1| lx-2j=¡-x+2| i-2x+6l = |-2-(x-3)¡ |-2x+6}= I-2I-U-3; j—2x+6¡=2-|x-3 x - 2 X -r5 lx-2) lx +5| ; x * - o Si elevamos al cuadrado un número real y si luego a dicho número le tomamos el valor absoluto y luego lo elevam os al cuadrado, entonces ambos resultados serán iguales. Ejemplos • |-3|2=(B)2=9 • x + 2 2 = ( x + |5f=(51)2 |x-1|2=(x-1)2
- 415. Capítulo 10 Valor ab so lu to A p l i c a c i ó n 12 Calcule x de modo que ¡x-r3 =x-f7 R e s o l u c i ó n Tenemos |x-r-3l =|x +7| Elevamos al cuadrado. x-3¿ = |x+7Í~ Aplicamos la propiedad “eC (x-f3)2 = (x-7 )2 Operamos x~ -r6x-r9= -?-14x 9-49=14x— 6x -40=8x =_ ¿ 0 , 8 x=-5 f. -e R Cuando calculamos e Ejemplos . -Jí-s)2 =l-s!=a . % /(x+3)2 =|x+3l J ( 2 x - 3 ? =fer-3 A p l i c a c i ó n 13 Resuelva la ecuación ^=25. R e s o l u c i ó n Extraemos la raíz cuadrada. yf¡¿=>¡25 M=5 Esta igualdad se cumple sí x=5 v x=-S. CS={5; -5>. 9
- 416. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores : E. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO j Propiedades Reto al caber Calcule la suma de res enteros de -E= —. - M 2. Indique el valor de x verifica la ecuación x_ 2 .: , x— 2 x-Z' T rrr-.— : a. | o-b íb> 0 /. Cuando |o| es igual a un número positivo b, ia variable o tendrá en b y en -b a sus valores. Ejemplos • [x| = 3 y =3 v x = -3 • |xi = 5 x =5 v x = -5 • |x¡=7t f-> X=~ V x=-71 • lx| = v2 x =4 l v x = -V2 Aplicación 74 Halle los valores dex que verifiquen la ecuación ¡x-2¡ =7. Resolución Tenemos |x-2|=7 Aplicamos la propiedad “a”. x - 2 = 7 v x - 2=-7 x=9 v x=-5 Por lo tanto, los valores de x son 9 y -5. A plicació n 75 Resuelva la ecuación x2=25. Reso lu ció n Extraemos la raíz cuadrada. 7 7 - n /25 M=5 Esta igualdad se cumple si x=5 v x=-5. CS={5;-5}
- 417. A p lic a c ió n 16 Resuelva la ecuación |3x-l| =6. R e s o l u c ió n Tenemos |3x-1|=6 Aplicamos la propiedad “a”. UJ X I T i O "i V 3x = 7 V 7 x = - V 3 Í7 5 CS=) — 13 3J A p l ic a c ió n 17 Resuelva la ecuación x—2Í+l2-x|-f-|3;<-6l = 20. R e s o l u c ió n Tengam os en cuenta que 2-x = x-2 l3x - 6| = |3 (x - 2)1=31X—2! Reemplazamos en la ecuación. Ix - 2 l+ l2 - x l+ l3 x - 6 | = 20 :,x- ¿ llx - 2 l + llx - 2 l +3 lx - 2 l = 20 (1+ 1+ 3)|x-2l = 20 5 lx -2 l = 20 U - 2 | = 4 Aplicamos la propiedad “a”. x -2 = 4 v x - 2 = - 4 x=6 v x= -2 .v CS={6; -2 } Guardo se tenga -que ca.'cii’a resultada es </-2[ y r.D >-
- 418. COLECCION ESENCIAL LumbrerasEditores Aplicación 18 Resuelva la ecuación x2-5|x|-14 =0. Resolución Tenemos que x^jxj2 Reemplazamos en la ecuación. Ix|2-5|x|-14 =0 Aplicamos el aspa simple. I x f - 51x1-14 =0 Tenemos (M -7 )(lx |+ 2 )= 0 Luego Ul— 7=0 V |x| +2=0 |x | = 7 v Ixl = - 2 De la ecuación |x| =7( obtenemos x=7 v x - - l En la ecuación |xl =-2 no conseguimos ningún valor de x, ya que es imposible que Ixl sea igual a un número negativo. /. CS={7; -7} A plicac ió n 19 Resuelva la ecuación (x -5 )2=16. Reso lu ció n Tenemos (x - 5 ) 2 = 1 6 Extraemos la raíz cuadrada. Tengamos en cuenta que Entonces /(x-5 )2 =v'Í6 I*-5|=4 Aplicamos la propiedad "a". x-5=4 v x-5=-4 x=9 v x=1 • • • CS={9; 1} b. A p l i c a c i ó n 2 0 Resuelva la ecuación |2x+3l =|x +5|. R e s o l u c ió n Tenemos l2x+3l=lx+5l Aplicamos la propiedad "b". 2x+3=x+5 v 2x+3=-(x+5) x=2 v 3x=-8 o 8 x=2 v x =— — ■ ■ ■ “ + - ! ) Aplicación 21 Resuelva la ecuación |x2+13x+19|=lx2- 2 x - 4 | Resolución Tenemos |x2+13x +19| =|x2 - 2 x - 4 | >/(x-5)2 = n /Í6
- 419. Aplicamos la propiedad“b" y tendremos dos casos. L a s o 1 / +13x+19 =/ - 2 x - A 13x+19=-2x-4 15x=-23 -> 15 Caso 2 x2+13x+19=-(x2-2x-4) x2+13x +19+(x2- 2 x -4 )= 0 2x2+11x +15=0 2x 5 . x"'' ^ 3 Luego (2x+5)(x+3)=0 - / áfc ' I é f r . i 1 'Is y %; 2x+5=0 v x-i-3=0 V E 'y ^ | 5 : íf X = — V 2 ; > < ii l uu _ f 23 5 J f "• : CS=i------- ; - — ;-3 l 15 2 J , V i % 4. INECUACIONES O P r o p i e d a d e s - í 7A LO R A B S O LU T O Aplicación 22 Resuelva la inecuación Í2x-5l<7. Resolución Tenemos que ]2x-5| <7. Aplicamos la propiedad "a’. -7 < 2x-5 < 7 -2 < 2x<12 -1 <x< 6 /. CS=(-1; 6) A p l i c a c i ó n 2 3 Resuelva la inecuación jZx-fSl <x-rT3 R e s o l u c i ó n . Tenemos ' , .J2X+15| <X-r13 Aplicamos la propiedad V . -(x+13) < 2x-r15 <x+13 Luego -(x+13) < 2x-i-15 A 2Xt 15<X-t x 13 < 2x+1s x <— -3x < 28 Esta propiedad también es válida si en lugar de la desigualdad < está la desigualdad < Ejemplos • |xi<3 -3<x<3 • lxl<5 « -» -5<x<5 • x^6 «-» - 6 < x <6 • jxj^2 - 2 < x <2 28 x > ----- 3 Intersecamos O O
- 420. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Aplicación 24 Resuelva la inecuación |4x-l|< 6. Resolución Tenemos |4x— 1| < 6 Aplicamos la propiedad "a". -6< 4x-1< 6 - 5 < 4y < 7 * • 4 4 b. >D Esta propiedad también es válida si en lugar de la desigualdad > está la desigualdad > Ejemplos |x|> 8 x>3 V x < -3 x>3 V x< - S x> 2 V x< -2 x> 6 V x< -6 cs= 5 .7 4 '4 . Aplicación 25 í s J& i ¿ g S ? * l i | 1 Resuelva la inecuación Ix— 3{<— 2ic 5. ir y Resolución • - -v S Tenemos |x-3 | < -2 x+ 5 Aplicamos la propiedad “a”. -(-2 x + 5 ) < x - 3 < -2X-+-5 - ' V / Luego -(-2 x + 5 ) < x - 3 a x - 3 < -2 x+ 5 2 x -5 < x - 3 3x <8 x < 2 Intersecamos 3 A p l i c a c i ó n 2 6 Resuelva la inecuación Í3x— 7Í >8. R e s o l u c i ó n Tenemos ", 3x-7 > 8 I V (¥ > Aplicamos la propiedad 4b . f-‘iv 3x-7 > 8 v 3x-7 <-8 , 3x > 15 V x> 5 3x <-1 1 x < - - 3 Unimos los intervalos. CS=< -~ ; -^ }u (5 ; eco) Aplicació n 27 Resuelva la inecuación l5x-2|>2x-r9. Resolución Tenemos [5x— 2| > 2x+9 CS=<-«; 2]
- 421. Capítulo 10 Valorabsoluto Aplicamos la propiedad “b". Sx~2> 2x-r9 v 5 x-2 < -(2 x + 9} 3x >11 5 x - 2 < - 2 x - 9 1 1 * > y 7x < -7 x < — 1 Unimos ios intervalos. A p l i c a c i ó n 2 8 Resuelva la inecuación |3 x -5 l> 2. R e s o l u c i ó n Tenemos ¡3x-5| > 2 Aplicamos la propiedad “ó". 3 x - 5 > 2 v 3 x - 5 < - 2 3 x > 7 3x < 3 x >t x <1 Unimos los intervalos. i A plicació n 2 9 Resuelva la inecuación |2x +9| > 3x-1. Resolución Tenemos |2x+9| > 3x-1 Aplicamos la propiedad “bl 2 x -9 > 3 x -1 v 2x+9 < -(3 x-1 ) 10 > x 2x+9 < -3x+ 1 x < 10 x sí — 5 Unimos los intervalos. CS-(— 10] Obsen/amos que en ambos miembros hay valores absolutos, entonces debemos ele varlos al cuadrado para poder eliminarlos. Esta propiedad también es váida si en ¡_;gar de ía desigualdad <están ¡as desigualdades < >o > A p l i c a c i ó n 3 0 Resuelva ia inecuación Í5x-i-1; < Í2 x-3 ¡. R e s o l u c i ó n Elevamos al cuadrado. l5 x + í < |2 x -3 |2 Eliminamos los valores absolutos. (5x-r1)2 < (2 x-3 )2 Pasamos todo al primer miembro. (5x +1)2 - (2x - 3)2 < 0 Factorizamos [(5x+1)+(2x-3)][(5x+1)-(2x-3)] < 0 Operamos (7x-2)(3x+4) < 0
- 422. Aplicamos el métodode puntos críticos. A p l i c a c i ó n 3 7 Resuelva la inecuación |5-3x|>|2x+l Ejemplos . fl=2 y b=5 [2 ^ =[2M5| ✓ • o --3 y b=-1 l-3 -ll =}-3l +l-ll ^ o=-5 y ¿>= 9 |-5 +9|<|-5| +|9| ^ R e s o l u c i ó n Elevamos al cuadrado. |5 -3 x |2 > |2x+ l|2 Luego (5 -3 x )2 > (2x+1)2 (5 - 3 x )2 - (2 x + 1)2 > O Aplicamos la propiedad de diferencia de los cuadrados. [(5 - 3x) + (2x +1)][(5 - 3x) +(2x +1)] > O (6 -x )(4 -5 x ) > O (x-6)(5x-4) > O Aplicamos el método de puntos críticos. 4 6 5 5 DESIGUALDAD TRIANGNI AR 5.1. Propiedad Esta propiedad es válida si reemplazamos cualquier valor numérico para a y b. Observamos que a+b puede ser menor o igual que |a| +|£ > |, pero en ningún caso a+b es mayor que |o|+|¿> |. A p l i c a c i ó n 3 2 Resuelva la inecuación |x-2| + |2x-5| > |3x-7|. R e s o l u c ió n Tenemos (x-2) + (2x-5)= 3x-7 Luego |x-2| + |2x-5| > |3x— 7| |x-2| +|2x-5| > |x -2 + 2x-5| Hacemos los siguientes cambios de variable: x-2=a a 2x-S=b Reemplazamos a+b > a+b Esta es la desigualdad triangular y se cumple para todo a, b e R . Entonces en la inecuación |x-2| +|2x-5| > |3x-7| se cumplirá para todo x e R. CS=R
- 423. Capitulo 10 Valorabsoluto Aplicación 33 Resuelva la inecuación x -2 > [>r-1|+1. Resolución Tenemos x-2 > [x— |x-2|>[x-1|+[-1| Hacemos los siguientes cambios de variable: x-1=a a -1=6 Reemplazamos |a+6|>|o|+|6| Es imposible que |oa-6| sea mayor que jcj-jó j. Entonces en la inecuación !*-2| > no se cumple para ningún valor de 'x. Es decir, no tiene solución. CS=ó 5.2. Otras propiedades b. o~c~ a - c oc > C Aplicación 34 Resuelva la inecuación |x+5|+|x+2Í>l2x+7l Reso lu ció n Tenemos (x+ 5)t-(y-r2)— 2x -f-7 Luego Jx+5l+|x+2| > |2x+7| ¡x+5| + l£+2j >fer+¿+*+2| Esta desigualdad se cumple de acuerdo a la propiedad "a" si y solo si ab < 0. Como a - x - 3 a b=x-f 2, entonces (x+5)(x+2) < 0 Aplicamos el método de puntos críticos. .* • CS=<-5; -2) A p l ic a c ió n 35 Resuelva la inecuación lx-í-2!+l3x— 2¡ =|4xL Re s o l u c ió n Observamos que si sumamos x^2 con 3x-2, obtenemos Ax. Luego xJ r2W 3x- 2= Í4x! Tenemos a+b = a-b Esta igualdad se cumple de acuerdo a la propiedad “b" si y solo si ab > 0. Si a -x ~ 2 a ó= 3x-2, entonces (jf+2)(3x-.2) > 0 Aplicamos el método de puntos críticos. i a+b>a+b 2?
- 424. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 6. METODO DE ZONAS Hay ecuaciones o inecuaciones con valor absoluto que no pueden resolverse directa mente con las propiedades ya mencionadas. En ese caso, tenemos la opción de aplicar el método de zonas. Ejemplo En la ecuación |x - 2 |+ |x - 5 l = 10 haremos lo siguiente: Igualamos cada valor absoluto a cero. |x - 2 i = 0 - * x - 2 = 0 x -2 ¡x -5 | = 0 -4 x - 5 = 0 — > x=5 Ubicamos los valores 2 y 5 en la recta numérica. zona zo n a i! 'T / zoilá-UJ — o a y 3 : 2 ' X _ j La recta ya ha quedado dividida en tres zonas, entonces resolveremos ;a ecuación en cada una de ellas. Zona 1 Tenemos x< 2 x-2 < 0 |x -2 |= -0 í-2 ) Luego X < 2 - 5 x-S < -3 ‘ ¡£-5j = - (x - 5 ) En la ecuación, tenemos |xc 2 |+ [x ; 5j = 10 -(x-2)-(*-5)=10 -2x +7=10 — 2x=3 — > X — — — Ubicamos el valor hallado de x. zona x- — Observamos que está en la zona I, entonces este valor es una solución de la ecuación. Zona II Tenemos 2 < x< 5 0 < x - 2 < 3 -> !x^ 2] = x - 2 Luego 2 < x< 5 - 3 < x - 5 < 0 -> j x - j j = -{x - 5 ) —> (5-x) En la ecuación, observamos i x - 2j-fjx-5 j= 1 ° x - 2 -f5 -.x = 1 0 —> 3=10 El resultado indica que la ecuación no tiene solución. Zona III Tenemos x > 5 x-2 >3 -a [x-2] =x -2 Luego x > 5 x-5 > 0 -> lx-5j =x -5 Reemplazamos ¡x-2|+[x-5|=10 x-2+x-5=10 2^ '— 7=10 O 17 17 2x=17 -> x =— 2
- 425. Capítulo 10 Valorabsoluto Ubicamos el valor hallado de x. zona III 17 2 17 Observamos que — sí está en la zona entonces es una solución de la ecuación. - «4 H 1 A p l i c a c i ó n 3 6 Resuelva la inecuación 2x+|x-2l •<0. x-6 Reso lu ció n Aplicamos el método de zonas, v : te1 ' Adí ■ k.r ’3 . Jy_ x>2 Zona I Tenemos x< 2 x-2 < 0 Luego ¡x-2¡ =2 -x En la ecuación, tenemos 2x+ 2-x fe * A l :% ■ <0 x -6 Z ii< o x -6 Gratamos x g (-2; 6) o -2 /" + o Intersecamos ------- O ---- O -t---- o _____L Obtenemos S1 =<-2; 2) Zona II Tenemos x>2 x-2 > 0 ¡x-2l =x -2 En la ecuación, tenemos 2x +x -2 x - 6 <0 3v_ 2 '' ——r <0 X-6':. / Graficamos r % K¿0 . _ ‘X X" X * X v ____i - V ~ y —a— o •í-TtO .-N x > " ' 2 6 t sí*. X * o V % dondexe^-; 6)<0. Intersecamos O -------- O 2 2 6 3 Obtenemos S2=[2; 6) Hallamos el conjunto solución de la inecua- cion. CS=<-2; 6)
- 426. Juego de carreras 1.Construya un camino con 100 casilleros de la siouiente manera: 1 2 3 99 100 2. Arme 3 fichas de! siguiente modo: • Cada ficha debe indicar un número que será solución de una ecuación con valor absoluto. Ejemplo • Las fichas indicarán los números del 1 ai 5 y los números negativos del -1 al -3 . 3. Se juega entre dos o más jugadores, por turnos y por rondas. 4. Se ubica a cada jugador en la carilla 1 del camino. 5. Se baraja el mazo de fichas en cada ronda. 6. En cada ronda, el jugador saca una ficha y avanza tantos casilleros como lo indica la ficha. Si esta señala un número negativo, entonces retrocede ese número de casilleros. M=3 donde x es el valer necatívo. 7. Gana el primero en llegar al casillero ICO.
- 427. w = í*;xa o n |-x ; x < 0 VALOR ABSOLUTO r -------------------------------- Interpretación geométrica Valor absoluto de El valor |x| es la distancia de x a 0 en la recta numérica. Se debe conocer e! signo de cual depende ce x. M II t o A . S 0 X i - • D Á i ' Sifw <0 -> |rw b - r « --------------- ^ a=b si y solo si b>0 a (Q-b v a--tí) a=b si y solo si a-b v a= -b Inecuaciones con valor absoluto
- 428. RESOLVEMOS JUNTOS Problema N.'1 Resuelva la ecuación * - ' =2 e indique la mayor solución. A) 4 B) 7 D) -2 Resolución Tenemos x - 1 C) 5 E) 9 =2 mtonces *-1 = 2 v *= -o V X I II I rj 4 V X i ii i co V X II I Por !o tanto, la mayor solución es 9. Clave Problema M.‘ 2 Halle el cardinal del conjunto solución de —+3 -* =*-1 - 2 En la ecuación = x - 1 x o - + 3 - X 2 Aplicamos esta propiedad. x - 1 >0 -> *>1 Luego —+3-*=*-1 v —+3-* =-(*-1) 2 2 x+ 6-/t¿ =-/t¿ +2 *+6=2 x = - 4 x + 6 - 2 x = 2 x - 2 -*+6=2x-2 8=3* 3 * =— 3 Los valores de * deben verificar la condición *>1. 8 * El valor *=- sí cumple esta condición y es una solución. El valor *=-4 no cumple esta condición, por eso no es una solución. cst ! Por lo tanto, su cardinal es 1 . Clave A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) 4 Resolución No OLVIDE d = b bz 0 a - b y a = - b Problema N.* 3 Resuelva la ecuación *-1 +4 3 e indique el producto de sus soluciones. A) 6 D) 18 B) - 6 C) 12 E) -72
- 429. Resolución La expresión Tenemos “ 11+4 *- 1 3 +4 siempre es positiva. T--11+4 Luego £ -1 + 4 *-1 3 * - 1 3 =7 +4 =7 =3 . I J e Entonces ím. • • t 4*? - . w J - - 1 =3 v —-1 =-3 3 3 —=4 3 * 9 —=— 2 3 Como * e{-2; 1), entonces -2 <x <1 -7 <x-5 < -4 Como x-5 es negativo, entonces |x— 5j=— {y— 5) Luego -2 <*<1 -1< -x< 2 0 < 1 -x < 3 Como 1 -* es positivo, entonces &% jP h-x]= i-x ,_0 . •%, Reemplazamos vs x=12 x=-6 CS={12; -6} *. (12)(-6) =-72 X Clave Problema N. h Si x e(-2; 1), indique el valor reducido de x-5+h-x +2x H (x) - q HM = H ( x ) ~ U+5|+h-x|+2x -(x-5)+1-x+2x H(x)~ -x+5+^-x+2x u -¿X+6 +2.X % )= ------ 3------ HM~3 “ 2 A) 3 D) 4 B) 1 C) 2 E) 5 ’• HM~2 Clave
- 430. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.‘ 5 Resuelva la ecuación l5x+15|+|20x - 60|+1 3- x|=26. Halle la suma de las inversas de las soluciones. A) 4 D) - 4 B) 2 C) 6 E) -1 4 Resolución Tenemos ¡5x-15|+|20x- 60Í+1 3- x|=26 5|x-3| +20|x-3| +l|x-3| =26 > £$& /Vi; (5+20+1)|x-3| =26 ¿élx-3l= 2é U-3|=1 - •• .(■ : ■ NO OLVJDE a-b {b > 0 a (a=b v a=-b)) Luego x-3=1 v x-3=-1 x=4 v x=2 CS={4; 2} 1 1 =1 4 + 2 _ 4 Clave Problema N.’ 6 Resuelva la ecuación |3x-6l =3x-6 e indique la menor solución entera. A) 4 D) 0 í r . - B) 1 C) 2 E) 3 Para que |3x-6| sea igual a sí mismo, la expre sión 3x-6 debe ser de signo positivo o igual a cero, es decir, 3 x-6 > 0. Luego 3x-6 > 0 3x > 6 — > x > 2 CS=[2; +oo> Por lo tanto, la menor solución es 2. Clove Problema N.‘ 7 Resuelva la ecuación ^4x2- 4 x + ' = y ](-6 )2 e indique la suma de la soluciones. « i » - j B) 1 Q - | E) 2 Resolución Tenemos >/4x2- 4 x +1=>/(-6)2 V (2 x - 1 )2 = |-6 | _ » |2x -1| = 6
- 431. Importante Luego a-b < h> (ò>0a (a=b v a=-b)) Luego 2x-1=6 v 2>r— 1=—6 (lxl-7)(lxl-2)=0 !xl— 7=0 v lxl-2=0 lxl=7 v |x|=2 *=7 v x=-7 v x=2 v x=-2 2x=7 x 7 2 v 2x=-5 5 v x =— 2 CS={7; -7; 2;-2} Por lo tanto, hay 4 soluciones. 7 2 5Ì 2. Problema N7 8 Clave Resuelva la ecuación x2+i4=g|xl e indique el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0 Resolución Tenemos x2+U-9x x2-9|x|+14=0 Ixl2-9lxl+14=0 Ixl -7 Ixl"''' -2 Clave Resuelva el.sistema de inecuaciones |x-7j<1 / |x-f 2Ì>3 A) [6; 8] B) (-5; 8] C) [6; 7> D) < 1 ; 8 1 E) <-=o; 5) Resolución Tenemos lx-7| < 1 -1 <x-7 < 1 6 <x< 8 S1 =[6; 8] Luego |x+2|>3 x+2 > 3 v x+2 <-3 x > 1 v x < -5 i 35
- 432. Graficamos <-- — oo 1 -f-Co S2=(-°o ;-5) u(1; - h») Calculamos el conjunto solución del sistema. CS=S1n S2 D) 12 E) Graficamos Resolución Tenemos •---- • I I I : l2 x-7 |> x-2 - < ? c --5 1 6 8 +« : . CS=[6; 8] .X ! Entonces Problema N.° 10 i ... • Clavé :í t:" V v .. '• •» • ¿ti* n; % ^ s á r { ■ / j 2 x - l > , x - 2 v x > 5 i # - v X >.5 . v 2x-7 < -(x-2) 3 x < 9 x < 3 Resuelva la ecuación *> - Graficamos ||x-3l+3| =2. J 0 0— j A) <-3;3> B) 0 % : C) {0} X D) {3} X fc v '< ’» • * , : CS =(-= ■ = ; 3) u (íy, +co) Resolución Tenemos — > a = 3 a 6=5 |lx-3l+3|=2 o+6=3+5=8 U-3l+3=2 U -3l =-1 Problema N.“12 • valor absoluto no puede ser igual a un úmero negativo, entonces no tiene solución. CS=M>} Clave Problema N/ 11________ __________ Luego de resolver la inecuación 2x-7>x-2 obtenemos CS=(-<~; a) u (6; +«>). Halle a+b. A) 5 B) 6 C) 8 Clave Luego de resolver U-8| =6x+22, indique la solución. A) -8 D) 4 B) -4 C) -2 E) 10
- 433. Resolución Luego - > c > o o &q < x> o c < ^ 0 '3 0 c > c > £ < > o c * x > c > < v O O C < < H > C < < = C < > C < X > í< > C > O O C 4 5 C < '* > ;* X O O < S ^ Tenemos 6x +2 2 > 0 -* x> 3 Luego . x-8=6x+22 v x-8=-(6x+22) 5x=-30 7x=-14 x=-6 x--2 De estos valores, solo -2 verifica la condición CS={-2} i Clave .. -y P ro b lem a N .’ 13 Luego de resolver |x -6|2+5|x -6| =24 indique el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución Tenemos |x - 6 |2 + 5 lx -6 l-2 4 = 0 (|x~6l+8)(lx-6l-3)=0 |x-6|+8 =0 v U -6 l-3 =0 |x— el=— 8 v Ix-el=3 V ----- V ----- ' >. - 6¡ no puedo x-6=3 v x-6=-3 x=9 v x=3 CS={9; 3} Por lo tanto, hay 2 soluciones. : Clave Problema N.' 14 Resuelva la inecuación |2x-7|<x-2 e indique el número de soluciones enteras. A) 0 B) 1 Q 2 D) 3 E) 4 Resolución Tenemos l2x-7|<x-2 Entonces -(x-2) <2x-l <x-2 -(x-2) < 2x-7 a 2x-7<x-2 -x+2<2x-7 a x<7-2 Luego 9 < 3x a x < 5 3 <x a x < 5 x> 3 a x< 5
- 434. COLECCION ESENCIAL LumbrerasEditores Intersecamos ^------—----------- O O ----------- . ^ — < S — CS=<3; 5) E! valor 4 es la única solución entera. Por lo tanto, el número de soluciones enteras es 1. Clave Problema N. is Resuelva la ecuación l5x-1i=U+3| e indique el cardinal del conjunto solución. .. A) 1 B) 2 ' C) 3 D) 4 E) 5 Resolución Tenemos |5x-1 = lx+3| 5x-1=x+3 v 5x-1=-(x+3) Luego 4*=4 v X=1 v X=1 V CS =H ) Por io tanto, su cardinal es 2. Problema N.' 16______________________ _________ Sea el conjunto A = { x e R/|3x — 6|— 18— 4x1 < —4}- Determine la suma de los elementos enteros del complemento de A. A) 20 B) 6 C) 10 D) 12 E) 18 Resolución Tenemos !3x-6!-|8-4x|<-4 3|x-2f-l4x-8|<-4 3lx-2|— 4|x— 2|<-4 (3-4)¡X-2l<-4 — Sx— 2Í<— 4 |x-2Í>4 Luego x-2> 4 v x-2 <-4 x > 6 v x <-2 Unimos El conjunto A es el conjunto solución de esta inecuación. A - {-=°; - 2) vj (6; + 00} Luego Ac=[-2; 6] Los elementos enteros de Ac son -2; -1; 0; 1; 2;...; 6. -2 -1 +0+1 +2 +3+ 4+ 5 + 6=18 5x-1=-x-3 6x=-2 1 Clave Clave
- 435. Capítulo 10 Valor absoluto ProblemaN.‘ 17 Si m es la suma de elementos de! conjunto 1= {*€.£./!2x-4l+ix-2l = 9}rcalcule 3/r?— 1. A) 8 B) 17 C) 1 1 D) 14 E) 2 Resolución Tenemos T ={xeZ/l2x-4Í-rU-2| =9} Calculamos los valores enteros ce x. 2 lx-2kix-2 | =9 3|x-2| =9 U-2| =3 Luego x-2=3 v x-2=-3 x=5 v x=— 1 T={5; -1} Notamos que m es la suma de elementos de T. m=5+(-1)=4 ... 3m-1=3(4)-1=11 ' Clave Resolución Tenemos |x2-x-36| =6 x2- x - 36=6 v x2- / - 3 6 = - 6 x 2- x - 42=0 v x2- x -3 0 = 0 -i-5 X +6 x ' ' - 5 Luego (x-7)(x+ 6)= 0 v (x+ 5 )(x-6 )= 0 x=7 v x = -6 v x= -5 v x=6 CS={7; - 6 ; - 5 ; ó) Sumamos las inversas de sus soluciones i , i , i i _ i y _ i . y 7 ' ( - 6 ) '(- 5 ) 6 7 ,6 5 + ,6 2_1 =__2_ “ 7 5 35 C/ave Problema N/ 1B_______________________________ Resuelva la ecuación |x 2 —x —36¡ = 6 y calcule la suma de las inversas de las soluciones. A) 2 3 Problema N/ 19___________ Resuelva i'x¿ -2x +5|-5| =0 e indique la mayor solución. B) 2 E) 95 A) 1 D) 4 C) 3 E) 5
- 436. Resolucion Problema FI.’21 MPORTANTE |oj=0 0=0 En '2 ecuación, tenemos x ~ - 2 x + 4 - 5 =0 Acecem os esta oroDieded. .: -2>:-r5 - 5= 0 x — Zx -tdí =5 Entonces x —2x -r 5=5 ;r - 2 x = 0 -» x(x-2)= 0 x=0 v x=2 CS={0; 2} Por lo tanto, ¡a mayor solución es 2. Clave Problema NA 20 Resuelva la ecuación l;r + 4 l =-8 A) {2} D) R B) {-4} C) {8} E) P Resolución No es posible que el valer absoluto sea igual a un número negativo, entonces esta ecuación no tiene solución. CS=0 Clave Halle las soluciones enteras de la ecuación (x2-2lxl-8)0xl+3) =0. A) 1 B) 0 C) 2 D) 3 E) 5 Resolución Tenemos (x 2 - 2 !x! - s) (!x| -i-3) = 0 x 2- 2 Íx l- 8 = 0 v lxi+3 = 0 ¡x!~ -2 ¡x|-8 = 0 v |x|_=-3 W - J / - 4 lx! ' f ;+2 Luego (lxl-4 )([x|-r2 ) = 0 |x }-4 = 0 v lx|+ 2 = 0 ixl = 4 v jxl = -2 x=4 v x= -4 CS={4; -4 } Por lo tanto, la ecuación desarrollada tiene 2 soluciones enteras. Clave Problema NA 22 Al resolver la ecuación i2 x 4 - 8 | x | + 7 = 0 halle la suma de las soluciones negativas. A) -J D) 1-V7 B) 0 C) -Jl E) - I- V 7
- 437. Resolución Tenemos x4 -8|x|2+7=0 x 4-8 x2+7=0 x2 -7 x2- -1 Entonces x=1 v x=-1 A={1; -1} Por lo tanto, el cardinal de A es 2. Clave (x2-7)(x2-l)=0 CS ={%/?; - '/7; 1;- 1} Por lo tanto, la suma de las soluciones negati vas es -1-V7. W " 4 Clave-, • T ' Problema N.‘ 23 Sea =ix-5|-r ¡3- xl Hcüe e! valer de — 1 1 . T5j A) 12 D) -6 3) 6 1 Tenemos ‘ Entonces V T(o ; = ~ =8 fe,=¡2-5j+|3-2i=4 fts) — [5— 5¡+l3—5¡=2 W -3 C 4 Indique el cardinal del conjunto A. A ={xeR/3-|x| =2} A) 0 B) 1 C) 4 D) 3 E) 2 Resolución En el conjunto A, tenemos 3-W - 2 3-2= U I 1 x 1=1 . fmzj i2)8=4 12 fe " 2 ' 2 Clave Problema N.' 25 Halle la variación de f{x) =ix+5l+h-x| sixe<2;5). A) (2; 8} D) (2; 10) B) (-2:4) Q (8; 14) E) (-4; 4)
- 438. Resolución Dato: x e(2 ; 5) Si x +5 es positivo, entonces [x+ 5|=x+5 Si 1 -x es negativo, entonces n-xi=x-i Luego f{x] = lx + d -fh -x ! ^ ) =2x+4 Hallamos la variación de f(x). 2 < x < 5 4 < 2x < 10 8 < 2x + 4 < 14 rM e<3;14> -5 < 2x-p < 5 p-5 < 2x <p +5 p-5 P =5 ------< x < ------ 2 2 /p -5 P jo CS’ 2 ' 2 / Entonces Del problema, leñemos CS=(p; 6) igualamos los siguientes intervalos: P l l 2 p -5 =6 = q p = 7 p=l /. p+q=7+1=8 Clave P ro n i: Clave Halle la diferencia positiva de las soluciones de la ecuación 2 lx -3 i2+ |7 x-2 1 -1 5 = 0. Pro b lem a N. 26 A) 10 8) 6 D) 9 Si iq: Ó), es el conjunto solución de |2x-p]< 5, halle p+p. C) 8 Resolución Tenemos A) 2 B) 4 D) 1 E) 3 2|x-3|2+|7x-2l|-15 =0 Resolución 2Íx -3 Í2 + 7|x -3 Í-1 S = 0 Tenemos 2lx-3| -3 |2x-p|<5 |x -3 l +5
- 439. Luego Entonces (2|x-3|-3)(U-3|+5) =0 2U-31-3=0 v U-3| +5=0 2|x-3| =3 v |x— 3|= — 5 ^ ---- ------ Entonces x - 3 — v x - 3= - 2 3 2 CS = 9 _3 ” 2 2 6 2 =3 Problema N/ 28 __ Resuelva la ecuación ||x2-x + l|-x 2|+lx-l| =2. A) {0; 2} B) {2} D) {0} Clave C) {1; 0; 2} E) {} Resolución Tenemos |x2-x4-t)- x 2l+|x-ll =2 — x+1- +Ix -1| =2 l-x+l|+|x-l| =2 |x-l|+|x-l| =2 2|x— 1 |=2 Ix-l| =1 Luego x— 1=1 v x— 1=— 1 x=2 v x=0 . CS={0; 2} Clave Resuelva el sistema | x2 <9 |lx:>i y calcule la suma de sus soluciones enteras. A) -1 B) 0 C) 1 D) 10 E) 6 Resolución De la primera inecuación del sistema, tenemos x2 < 9 n /x 2 < VÔ |x|<3 -3 <x < 3 S-rl-3; 3] De la segunda inecuación, tenemos |x|>1 x>1 V x<-1 S2=<-«=°; -1] vj [1; + 0 0 )
- 440. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Calculamos el conjunto solución del sistema. Intersecamos CS=S1n S2 Graficamos -3 -1 1 3 +0 -- CS=[-3; -1] u [1; 3] Las soluciones enteras son -3; -2; -1; 1; 2 y 3. (-3)+(-2) +(-1)+1+2+3=0 Clave Problema N.’ 20 CS=[-1;+«o> Las soluciones enteras no positivas son -1 y 0. Por lo tanto, hay 2 soluciones enteras no positivas. Clave ) j Problema N.° 31 Resuelva la inecuación s : |x+l|-3 <Q Resuelva la inecuación |x-2|-2x<5 - ..--r --'4. . |x-l| +2 ■ f :v -• V ■ / ; A) (-2; # ?g B ); (1; 4) C) <-4; 2 > J , . X , . L 6)^-3; 2 r f ~ E) (-2; 3) e indique el numero de soluciones enteras no ;r positivas. A) 1 D) 2 B) 4 C) 3 : E) 6 Resolución Tenemos [x-2|-2x < 5 |x-2|<2x+5 Luego -(2x+5) <x-2 < 2x+5 -(2x+5) <x-2 a x-2 < 2x+5 -2x-5 <x-2 a -7 <x -3< 3x a x> -7 x£ -1 a x 't - l 0 R^iííHftión Observamos que la expresión que está en el denominador de la fracción, por su forma, siempre será positiva. En el denominador, tenemos (£ ^ +2 Luego, en la inecuación |x+l|-3 <0 |x -1| +2 * |x +1|-3<(0)(|x -1| +2) |x+1|-3 < 0
- 441. Capitulo 10 Valorabsoluto Tenemos |x+1| < 3 -3 <x+1 < 3 -4 <x< 2 CS=(-4; 2) Clave Problema N.‘ 32 Resuelva la ecuación ;r-3|x+11+2x+3=0. Calcule el producto de sus soluciones. A) -2 B) 2 Q -6 D) 6 E) 0 Resolución / f Tenemos x2-3lx-r-l]-r2x+3=0 Agrupamos convenientemente. (;r+2x)-3|*+-l|-r3=0 Sumamos y restamos 1. (x2-r2*-rl)-3[*-r1|-r3-1=0 Luego (xt-1)2-3 [x +11+2=0 Como |x+1l2=(*+1)2, entonces 1 x +112-31x +1|+2=0 Aplicamos el aspa simple. |x+1|2-3[x+1|+2=0 t*+1l : . - 2 lx+11 -1 (ix+1l - 2)0x+1| - 1)=0 Cada factor se iguala a cero. l*+1|-2=0 v |x+1|-l=0 [x-r1|=2 V jx+1|=1 x+1=2 v x+1=2 v x+1=1 v x+1=1 x=1 v x=-3 v x=0 v x--2 CS={1; -3; 0;-2} /. (1)(3)(0)(-2)=0 Clave Problema N.‘ 33 Resuelva la ecuación >;~-4=5¡x¡ e indique el número ¿e se cciones enteras. A) 4 D) 5 3) 2 Q 6 E) 3 Resolución Tenemos x^+4=5jx| Ar-5jxj+4=0 Comox^Jx]2, entonces |x]2-5|xj-r4=0 w J -4 M '' -1 Luego (M-4)(M-d =o jxj— 4=0 V jxj— i =0 M=4 V M=1 x=4 v x=-4 v x=1 v x=-l CS={4; -4; 1; -1} Por lo tanto, hay 4 soluciones enteras. Clave .
- 442. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.‘ 34___________ Si el intervalo (a; p) es el conjunto solución de la inecuación x¿+x < 6, calcule ap. A) 4 B) -3 Q -4 D) -6 E) -2 Resolución Tenemos x2+ |x| < 6 x2+Jxj-6 <0 ]xf+[xj-6 < 0 Aplicamos el aspa simple. |x]2-í-|x¡-6 < 0 (M+3)(M-2)<0 Como |x[+3, por su forma siempre es positivo, entonces podemos cancelarlo. Entonces a=-2 A P=2 aP=(-2)(2)=-4 Clave Problema N.‘ 35 Resuelva la ecuación x5a-|> r]= 0 e indique el número de soluciones. A) 6 B) 2 D) 4 Resolución Tenemos x5+{x¡=0 [Xh-X5 NO OLVIDE a=b {b> 0 a (a=b v a--b)) ->r> 0 -> x5< 0 -> x<0 C) 5 E) 3 < f3)(¡x-2)<0 Luego }x|-2<0 M <2 -2 <x< 2 CS=<-2; 2)=(a; P) Luego x=-x5 V X=X5 x5+x=0 v x*-x=Q x{x4+l)=0 v x(x4-l)=0 x=0 v x4+1=0 v x=0 v x4-1=0 Obtenemos los siguientes valores: x=0 v x4=-1 v x4= 1
- 443. Capitulo 10 Valorabsoluto La ecuación x4=-1 no tiene solución, ya que x4 no puede ser un número negativo. Resolvemos la ecuación x4=1. M=1 X=1 V X=~1 Obtenemos los siguientes valores: x=0 v x=1 v x=-1 Pero como x debe cumplir la condición x< O , solo nos quedarán los siguientes datos: x=0 v x=— 1 CS={0; -1} Por lo tanto, la ecuación tiene 2 soluciones. i Clave y } Problema N/ 36____________________________ Resuelva la inecuación ||;r+ x + 3 |- l| > x 2. A) (3;+oo) B) (2;+ »= > > C) D) E) <-2;+°°> Resolución La cuadrática x2+x+3 tiene el coeficiente prin cipal positivo y su discriminante es negativo, como se ve a continuación. A=12-4(1)(3)=-11 < O La expresión cumple con las condiciones del teorema del trinomio positivo, la cuadrática >r+x+3 es de signo positivo para todo x reai. Entonces |x“ -rX +3I= X2-rX +3 Reemplazamos en la inecuación. |x 2 t x + 3¡—1 [ > x 2 |x2-fx-r3-l'>x2 |x 2 t X -í- 2 |> X 2 Nuevamente, debido al teorema de! trinomio positivo, la cuadrática xz+x~2 también es de signo positivo para todo x e R. Entonces [x2 -f X-fr2j = X 2 -rX + 2 Reemplazamos en la inecuación. |x 2 + x + 2 |> x 2 -fx +2> )T Luego x+2 > O x> -2 Graficamos /. CS={— 2; +00) Clave
- 444. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores ProblemaN7 37______________________ _ Si a y P son soluciones de la ecuación |x-2Mx-5|=7, calcule (3 a. A) 1 B) 7 Q 13 D) 3 E) 5 Resolución Aplicamos el método de zonas y a cada valor absoluto lo igualamos a cero. |x-2|=0 -4 x=2 |x-5|=0 — > x=5 Ubicamos los valores de x en la recta. Zona I Tenemos x <2 — » x^2 <0 U - 2¡=— (x - 2) Luego x <2 -» x^5 <-3 ¡x — Sj =— (x — 5) Reemplazamos en la ecuación. [x-2| +|x-5¡=7 - (x - 2 }- (x - 5 )= 7 -2 x + / = ,7 -2 x =0 -> x =0 Verificamos que este valor de x pertenezca a esta zona. El valor x=0 sí pertenece a la zona I, entonces es una solución de esta ecuación. Zona II Tenemos 2< x <5 -4 0<x-_2<3 lx_-_2; =x - 2 Luego 2<x<5 — ■ » — 3<x-o <0 jx-5] =-(x-5) Reemplazamos en la ecuación. |x-2{+jx-5j=7 x-2-(x-5)=7 / - 2 - x +5=7 3=7 La igualdad 3=7 es falsa. Esto significa que en esta zona la ecuación no tiene solución. Zona lll Tenemos x >5 — » x_-_2 >3 [x-_2j = x - 2 =x - 5 lx-5| =x -5 x>5 — >
- 445. [x-2|+|x-5|=7 x-2+x-5=7 2x-9=7 2x=16 -> x=8 Verificamosque este valor de x se encuentre en esta zona. Reemplazamos en la ecuación. o 5 Resolución Tenemos [x|+[x-4| > 2|x-2j |x|+|x-4| > |2x-4| x+x-4 > x+x-4 Si hacemos los siguientes cambios: x=a x-A=b la inecuación queda como Este valor de x sí pertenece a esta zona, enton ces también es una solución de esta ecuación. Finalmente, en todas las zonas hemos encon- trado que la ecuación tiene dos soluciones, las cuales son x=0 y x=8. % " 4 • ' CS={0; 8} a p+pa=08+8°=0+1=1 Clave ; •.............if*^**"- ''7 Problema N.‘ 38_________________ 7 Resuelva la inecuación |x|+|x-4| > 2|x— 2| y calcule el producto de sus soluciones enteras. B) 3 o-rb > ¡O-i-b] Esta desigualdad se cumple si y solo si ab < 0. Reemplazamos a=x y b=x- 4 Luego (x){x-4) <0 Aplicamos el método de puntos críticos. CS=(0; 4) Sus soluciones enteras son 1; 2 y 3 (1)(2)(3)=6 A) -3 D) 6 C) 4 E) -6 Clave
- 446. Si x >4, indique el valor reducido de |x+5|+|4-x| Calcule la suma de todas las soluciones de H(x)~ A) 4 D) 9 2x +1 B) 2 C) 3 E) 1 la ecuación x~+|xi = 5. A) -1 B) 1 D) 4 r n w l* E) 5 Sea la expresión M(x) =|2x-4|+|x-3|. Halle el valor de Lusco ce resolver a ecuac.cn (x-4)z-4jx-4| =5 donde el C5={a; a > 5, A) 6 D) 9 B) 7 3. Resuelva la ecuación |2x-3| =13 e indique un valor de x. ■ A) -1 D) -7 B) -5 4. Obtenga un valor de x en ||x-2l+3|=5. A) 4 D) 1 B) 2 !e ei cardína ce ccnJunio se udón ce E) 7 -" Resuelva la ecuación |3x-6l+5l2-xl+lx-2l =27 y halle el-producto de las soluciones. A) 5 B) -5 Q -6 D) 15 E) 6 Resuelva |3x- 2|=|2x- 5| e indique la menor solución. Resuelva la ecuador. Vx2- 4* =V7Z e indique eí producto de sus seludenes. S) -45 A) 20 D) 28 Q 24 E) -30 A) -3 B) 7 C) D , f E) Resuelva l3 ecuación Ix2- ó!=x e indique eí producto de sus soluciones. A) -9 D) -4 B) 6 Q 35 E) -6
- 447. 13. Resuelva lainecuación |2x-5l<3. A) [2; 5] B) [1; 3] C) [2; 4] D) [3; 5] E) [1; 4] 14. Resuelva en Z la inecuación X -+1 +3 2 e indique la suma de sus soluciones. A) -10 B)-14 C) -11 D) 1 1 E) -15 15. Resuelva el sistema flx— 4l <3 [U+2|>4 ■ A) [2; 5] B) [2; 7] C) < 2; 7) D) [2; 5) E) [2; 7) 16. Determine el complemento del conjunto solución de |3x—9|+|l5x-45|>36. A) [1; 4) B) < 1 ; 5] C) [1; 4] D) < 1 ; 5) E) [1; 5] 17. Luego de resolver la inecuación |2x-5|>x+7 se obtiene como conjunto solución <-°o; -a ) u (b; + « ). Determine 3a+b. 18. Determine el conjunto 4 = {x 6 R +/ l* - 3|2 - 3|x - 3l > 10/. A) [8; +°°) B) (6;+co) C) [6;+=»=) D) <8;+co) E) q 19. Luego de resolver la inecuación l2 x - 3 |> U - 4 | indique la alternativa que no representa una solución. A) 1 B) -2 C) 6 D) -4 E) 7 20. Halle el producto de la mayor y menor solución de la inecuación. x 2 - ¡ 4 x 2 +2 I+8 >0 A) -1 B) -2 C) 4 3 E) 1 21. Resuelva la inecuación ||x2 - x +l | - x 2|> (x -1 )2 e indique un intervalosolución. A) (-2; 2) B) [1;2) C) < 1 ;2> D) < 0; 1 ] E) (0; 2) 22. Resuelva la inecuación |3x-4|< |2x-3|+ U -t A) [4; 5) B) (4; 5) C) < 2; 3] D) (2; 3> E) R 23. Resuelva la ecuación |x— l|+|> í+2| — 5 e indique la suma de sus soluciones. B) 4 A) 10 D) 8 B) 12 C) 14 E) 4 A) -1 D) -4 C) 5 E) -6
- 448. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 24. Si m es la solución positiva de la ecuación |lx-2l-3| =4, halle el valor de m+1. A) 1 1 D) 10 B) 9 Q 8 E) 4 25. Resuelva l5x-12| =12-5x e indique la mayor solución entera. A) 0 D) 3 B) 2 C) 1 E) 4 26. Determine la cantidad de soluciones reales de la ecuación (x2+ U I-6)(lxl3+ii)=o./ .... t - B) 4 A) 5 D) 3 Q 6- E) .2,,^- 27. Resuelva la ecuación |x 2+3x ¡= |x2-9| e indique cuál es la suma de las inversas de las soluciones. A) - B) 0 3 o, f 28. Resuelva la ecuación Q 1 E) i yjx2-8x+16 =8— 3|x— 4Í e indique la menor solución. A) 1 D) 4 B) 2 Q 6 E) 3 ||x2 + 3 |-x | = x 2 - 4 e indique una solución. 29. Resuelva la ecuación A) 4 D) 0 B) 1 C) 3 30. Si el conjunto solución de Í3x-rm ¡<2 es - n - h a l l e m + o. 3/ A) 2 D) 4 3} 1 Q 3 3) 5 31. Resuelva la ecuación tr- 3 '= 9 y calcule la suma de sus solee;: A) 12 A;i - ' 3} 18 D); C C) 2Vi2 E) 2V6 32. Sí a y (3 son la mayor y menor solucló la ecuación ¡c^r|x-1J|=2x+1, calcule a~ -p2. n ce A) 0 D) 8 B) 3 C) 4 E) 1 33. Si el intervalo (m; n) es el conjunto solución de la inecuación l2x+3l-2 |x+ n+3 A) -2 D) - f < 0 , calcule m - n . B) -1 Q - E) - lj i en fJ I
- 449. Capítulo 10 Valor absoluto 34.Resuelva la ecuación lx2-1|=l*-1| y calcule el número de sus soluciones. A) (1; 3) B) < 1;+ oo> C) (2;+*>) D) (3; +») E) (1; 2) 37. Resuelva la inecuación x+|x-1| > 3. A) O B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3-. Resuelve la ecuación |x+5|=2x+1. Si a es su solución, calcule c?+1. A) 26 B) 5 C) 5 D) 10 E) 17 ío . El intervalo (m; n) es el conjunto solución de la inecuación |2016x-r1j < [x-r2016j. Calcule — r . 2016 A) 0 D) 1 3) 2016 C) E) 1 1008 •1 2016 33. Si a es la solución de la ecuación [y - 2 ~ x - 3 = x - l r calcule a ~~. a - 2 A) 3 3) 4 C) - 2 33 Calcuie lasuma de soluciones enteras ce la ecuación }x-1¡ - 5 -x= 5 . A) 20 D} 2¿ i) 15 C) 18 E) 21 Si a y B sen las soluciones de la ecuación ljr-1j+|x’-3|=8, calcule a£ a - B A ^ 2 D )i Bi! Q i E) -3 Claves 1 £ 6 A 1 1 3 16 21 26 31 36 2 o 7 c 12 5 17 22 27 32 37 C 3 8 £ 13 t 18 23 28 33 38 4 A- 9 A 14 P O 19 24 29 34 D 39 5 £ 10 ST 15 i» 20 25 30 35 40
- 451. valores juega unrol importante en la economía de un país, en ella se da una relación entre los inversionistas que buscan colocar su dinero para obtener una ganancia y las empresas que necesitan ese dinero como capital para invertir en el desarrollo de sus negocios. La bolsa de valores es la fuente más importante de suministro de capital a largo plazo. Los operadores de las bolsas de valores observan la evo lución de indicadores bursátiles para saber la mejor mane ra de hacer una inversión. Generalmente, las funciones se representan mediante gráficos que describen sus subidas y bajadas a lo largo de un periodo de tiempo. Conocer el concepto de función. Estudiar los conceptos de dominio rango y regla de correspondencia. Representar gráficamente una fundón en un plano carte siano. ■Reconocer la función constante, lineal, cuadrática y valor absoluto. ¿Poir qué as necesario esto conocimiento? El concepto de función es uno de los más importantes de las matemáticas porque a partir de este se desarrollan otros conceptos fundamentales como las derivadas o las integra les, los cuales son los pilares del cálculo superior. Asimismo, lasfunciones permitencrearmodelos matemáticos que representan algún fenómeno de la realidad con el fin de entender mejor el fenómeno en cuestión, y además resolver los posibles problemas y también hacer predicciones.
- 452. Teoría de funciones Unafundón puede entenderse también como una máquina en la cual se introduce un valor de entrada x y la máquina produce un valor de salida fw. Ejem p lo entrada x=3 .= > r salida f =Q ‘M " i Se refiere al estudio de las funciones, los conceptos relacio- nados a ellas, como dominio y rango, sus representaciones i (mediante una fórmula, tabla de datos, gráfico, etc.) y sus pro- i piedades. En particular, estudiaremos funciones reales como la 1 lineal, la cuadrática, etc. i 1. CONCEPTO OE FUNCION ' La forma más usuai en la que aparece una función es como l dependencia de una variable respecto a otra. Es decir, si una i variable y depende de una variable x diremos que y esté en i función de x. • Ejemplos 1. El área de un cuadrado depende del valor de su lado. Esta relación queda expresada en la fórmula IA - r r donde JA es j el área del cuadrado y £ es el valor de su lado. Como IA depende de Q , diremos que 1A es una función de í. JA=i~ .as calculadoras sirven como ejemplos de una función. zjemplo oj introducir e) valor 9 y el botón > / tenemos elvalor 3. Esta función es la función raíz cuadrada. 2. Juan gana 2 soles por helado vendido y su ganancia G depende del número de helados que venda, es decir • Si vende 1helado, gana 2 soles. • Si vende 2 helados, gana 4 soles. • Si vende 3 helados, gana 6 soles. • En general, si vende x helados, gana 2x soles. La fórmula G=2x expresa que la ganancia G es igual a 2x cuando se vende x helados. Como G depende de x, dire mos que G es una función de x. t 1. Función como asignación Una función expresa una idea más general que la ¡dea de dependencia, es decir, nos referimos a la idea de asignación, donde a los valores de una variable se le asignan los valores de otra.
- 453. Capítulo 11 Teoríade funciones E je m p lo s 1. En un concurso de matemáticas se premia a los tres prime ros lugares. Joel quedó primero, Mario fue segundo y José se ubicó tercero. La relación entre los participantes y ¡os lugares que obtuvie ron en el concurso expresa la idea de una función que asig na a cada concursante el lugar que ocupó en el concurso. 2 . En una reunión por e! Día de la Madre, cada alumno asiste con su mamá. Ambos deben emparejarse para empezar la ceremonia. Así tendremos lo siguiente: Alumnos Madres Como en el ejemplo anterior, esta relación expresa la idea de una función que asigna a cada alumno con su respectiva madre. En la vid a co tid ian a y en d iv e r sas áre a s del co n o c im ie n to se p u e d e n o b se rv a r m u c h o s tip o s d e fu n d o n e s. Ejem plos 1 . El tiempo que demora un auto en recorrer una deter minada distancia depende de suvelocidad. 2. En economía, la demanda de un biendepende del pre cio, de las preferencias del consumidor, de los precios de los bienes sustitutos, etc. 3. Cada ciudadano de nuestro país tiene un documento de identidad (DNl) que el Esta do otorga. Aquí observamos una función que asigna a cada ciudadano su respectivo DNL ; ■ 12. Relación de dependencia como asignación Una relación de dependencia puede entenderse también como una relación de asignación, ya que cuando una varia ble y depende de x podemos entender esta relación como una asignación donde a cada valor de x se le asigna un valor de y .
- 454. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores E je m p lo -n si caso de! ¿rea de cuadrado donde el ¿rea (Ik ) depende de su ¡acó (X ), si !e damos valores a i, obtenemos valores de I k , como se muestra a continuación. Podemos entender- esta relace denos {I k depende oe f) cerne oue ssíona a cada £ur, valor ce i ■ae óepe.o- u.na fundón :¡o* Una función de A en S es una regía que asiona a caca ,r e A uny e 5, dondeA y 8 son conjun tos no vacíos. I. En a siauiente relación: Las fuñe-1 -1 Uoes dsben clrr llamada la cono!icíón C£ U : tablees lo siguie a i t - > c “ Si y ■ x , enton s esta func en d t valor de X, un val:or esrVf en eeee asmnar a cao: E je m p lo En el ares del cuadrado, definida por lafórma la l k = r , ocurre que a un valor oe £íe corres ponde un valor de J k de esa rernta se curre f con Is condición de unicidad. G □ I n _____ri En conclusión, a! hablar de un3 función nos re ferimos a una regia ce asignación, pero no a cuaiquiera, sino a una que cumpla con la con dición ríe unicidad. oeservamos oue a caca x s A le corres ponde un y e S , entonces esta relación es una función. 2. En ia relación f tenemos Observamos que a cada x e A le corres ponde un único y e 8 , entonces esta rela ción es una función.
- 455. Capítulo 1 1 3. Enla relación g , tenemos Observamos que 5 e A , pero tiene más de un valor de B, entonces esta relación no es una función. 4. En la relación h , tenemos Observamos que hay un valor de A , el cual no tiene asig nado un valor de B. Por esta razón, esta relación no es una función. 2.1. Notación Una fundón f d e A en B la representamos como f: A B x y donde - El conjunto A es el conjunto de partida. - El conjunto B es el conjunto de llegada. 2.2. Dominio de una función —_ Llamaremos dominio de la función f (representado cor O o m f ) al conjunto A Dom f=A En un3función de A en 3 puede ocurrir que a diferentes valores deA se ¡easigne el mismovalor de 3. Ejem plo La fundón f asigna a diferentes valeres deA e! m ism ova'c-rd e 3. iCuidado! En una función ce A en 3 se exige que se usen todos los ele mentos de A . Pero a! conjunto B no se le hace tal exigencia. Puede ocurrir que use todos los elementos de B o solo una parte de ellos. Ejemplos 0 I - - ' / T v I f 3— T — r -r* , •V? j 3 H"V6 V P A R I S H Pdíd AMOR A SOFIA
- 456. Ejemplos 1 . En lasiguiente función, tenemos Domf. 4={3; 4; 6} 2. En la siguiente función, tenemos 9 Domg: A = {3; 7} 2.3. Rango de una función i;.. Llamaremos rango de la función f represen tado como Ranfal conjunto formado por to dos los valores de B que han sido asignados a algún valor de A , es decir, Ranf= {y e B J y le corresponde a algún x e A ) E je m p lo s 1 . En la siguiente función, tenemos 2. En la siguiente función, tenemos Ranf={3; 9; 8} 3. En lasiguiente función, tenemos Rano=(5; 7; 8} En una funciónf deA en 3, la regla que permite hallaryefí a partir de xe A , se llama regla de correspondencia y se representa como y=f(M . E jem p lo s 1 . Sea f una función de 4 en B, tal que f, donde • 4={3; 4; 5) • B = [4; 9; 16; 25}
- 457. En la función,la fórmula f^ x 2 representa su regla de corres pondencia, la cual nos permitirá obtener los valores dey e B, a partir de los valores de x e A . En una tabla de valores, tenemos * y = f 3 32=9 4 42=16 5 52=25 Los valores que toma x son los valores de! conjunto A , el cual representa su dominio, es decir, Dom/={3; 4; 5}. Los valores de'y obtenidos a partir dey = f(y) forman el rango de la función, es dedr, Ranf={9; 16; 25}. 2. Sea la función f y = ) ? + X x e {2; 4; 0} La fórmula fíx)= > r+1es su regla de correspondencia. Reemplazamos en ella los valores de x para obtener los valores de f [x), los cuales forman el rango. En una tabla de valores, tenemos En una función de A en B, los conjuntosA y B puedensercon juntos formados por números, objetos, personas, etc. Cuando A y B son conjuntos formados por números reales, a la fun ción se le llam a función real de variable real. El dominio de una función poli- nom ial, cuando esta noseespe cifica, es R. Ejemplos * fw=5x+2 — * Dom/=R * 5(x)=x2-3x+1 -» Dovog-R Finalmente Domf={2; 4; 0} Ranf={9; 65; 1 }
- 458. d r UNO01- í es r e a l e s Una función de A en B se llama función real cuando A y B son subconjuntos de R. E je m p lo s 1 En la siguiente función, tenemos Vemos que A y B son conjuntos formados por números reales, entonces esta función f es una función rea!. 2. En la siguiente función, tenemos Observamos que A y 8 n o son conjuntos formados por números reales, entonces esta funcióng no es una función real. 4 * Notación Una función real f s e representa de la siguiente manera: y = f w x e A donde la fórmula y - f M es su regla de corres pondencia y el conjunto A es su dominio. Ejemplos ' 9 m = x 2 - 3 ‘ ’ x e í1 i 5) * h {x) = y ¡ x - 2 ; x ¿ 2 Cuando en una función rea! solo se indica su regla de correspondencia, y no su dominio, este se calcula como Domf={xe R/'f-, está definido en R} A p lic a c ió n 7 2 Calcule el dominio de hY- — - 1 ; X~ D Reso lu c ió n En una fracción, ei denominador no puede ser igual a cero, ya que la división entre cero no está definida. Entonces ponemos la concidón x-5=MD, y obtenemos x*5 . Es decir, x puede ser cualquier número real, pero no 5. Domf=R-{5} A p l i c a c i ó n 2 r 3 x - 1 Calcule el dominio de h Y =^—e ---- { ‘ x-1 x - 2 R e s o l u c i ó n Los denominadores de las fracciones deben ser diferentes a cero. Entonces x - 1 * 0 -» x * 1 x - 2 * 0 — > x ^ 2 La variable x puede ser cualquier número real, a excepción de 1y 2. .*. Domf=R-{i; 2} f(x) =2x+1; xe {3; 5; 7}
- 459. Capitulo ií Teoríade funciones A p l i c a c i ó n 3 Calcule el dominio de f[y) =Vx-5 +2. R e s o l u c i ó n En yx-5 no se puede permitir quex-5 sea negativo, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en R. Esta raíz cuadrada está definida en R cuando x - S es positivo o cero. Debemos poner la condición x-5 >0, de donde obtenemos x> 5. /. D o m f= [5 ;+ ° ° ) 4 - 3. Cálculo del rango Para calcular.el rango de una función f necesitamos conocer el dominio y la regla de correspondencia. En la regla de correspondenciay=/R- reemplazamos iosvalores de xe Domf, para obtener los valores de y. El conjunto que agrupa atodos los valores dey es el rango de f A p l i c a c i ó n 4 H a lle el r a n g o d e la fu n c ió n d e fin id a c o m o 2x+3;xe{1;2; 4; 6}: Re s o l u c ió n D e b e m o s h a lla r lo s v a lo r e s d e y m e d ia n t e el r e e m p la z o d e lo s v a lo r e s d e x e n la fó rm u la 2 x + 3 . T e n e m o s X y=/w=2x+3 1 2(1)+3=5 2 2(2)4-3=7 4 2(4)+3 =1 1 16 2(6)+ -3=15 J i Para hallar el dom inio d e una función se d e b e sab er lo siguiente: 1. La fracció n — está definida x en R si y solo sí x = 0 . 2. La exp resió n V x está defini da en R si y solo si x > 0. RanM5;7;ri;15}
- 460. COLECCIÓN ESENCIAL Aplicación 5 Halleel rango de fM=5^+1; x e (2; 3). Resolución El dominio de esta función es el inten/alo (2; 3). Un inten/alo tiene infinitos valores y no es posible reemplazarlos uno a uno en f {x). Aplicaremos las propiedades de desigualda des para hallar los valores de f(x ). Tenemos x e (2; 3) Entonces 2 <x <3 Elevamos al cuadrado. 4 <x2<9 y ,, 20 < 5X2 <45 o J ‘ ' 21<5x2+1<46 ' Los valores de f(x] forman el rango de lafundón, entonces fMe < 2 1 ; 46) Ran/=(21; 45) A p lic a c ió n 6 Halle el rango de fM = Vx +5-1 si x >4. Res o lu c ió n Como x >4, entonces Domf=[4; +°°>. El dominio de f es un intervalo. Usaremos las desigualdades para hallar los valores de fM . Tenemos que x >4. x>4 x-f5>9 # Extraemos la raíz cuadrada. Vx+5 >V9 JX-r5-1> v'9-l > ^-1 T4- d ;s Graficamos Ran/=[2; -h») A plica ció n 7 Halle el rango ce fM=>r-r5. Resolución La expresión /T,=x2-r5 está definida en R pai cualquier valor rea: de x. Como x e R, entonces x2 > 0 Sumamos 5y obtenemos x2+5>5 G ra n e a m o s RanM5; +°°>
- 461. T . GRAFICA DEUNA FUNCIÓN REAL La gráfica de una función real fes el conjunto formado por ios puntos (x; y), representados en el plano cartesiano, donde x e Domf y y=f(/j. Y k A p l i c a c i ó n 9 : Grafique la función I fM=2*+3;*eR. R e s o l u c i ó n . Como x varía en R, reemplazaremos unos ; cuántos valores en f{. x) y ai unir ios ountos que : obtengamos, dibujaremos un esbozo de la gráfica de esta función. x ...-3 -2 -1 0 1 2... A p l i c a c i ó n 8 Grafique la función f(x)= x¿‘ ^^ [-3; 3]. R e s o l u c i ó n En el intervalo [-3; 3] hay infinitos valores. Reemplazaremos algunos de ellos en f(x ). x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 y =f(X )=x2 9 4 1 0 1 4 9 Ubicamos cada punto (x;y) en el plano y obte nemos la gráfica aproximada de esta función. O b s e r v a m o s su g rá fica . • - ' — / A p l i c a c i ó n 70 Grafique la función f(v)=Vx-1. R e s o l u c i ó n Debemos calcular el dominio. Al ser una raíz I cuadrada, x-1 no puede ser negativo, sino positivo o cero. Entonces ponemos la condi- ; ción x-1 >0, donde x> 1 .
- 462. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Cuando el dominiode lafunción es un intervalo, el gráfico de la función será una línea continua. Ejem plo ^ M =2x+1 x £ [3; 4] El cru*ruryo • es t'jn -Intery’ dta’ • , cjTátio de i ;úpa Uqsa cóPuinua} '-■ I - 7h - En el gráfico de una función se puede observar el dominio y el : ranao de una función. . El dominio es la variación en el eje X . Del gráfico, Dom/=(o; b). • El rango es la variación en el eje Y. Del gráfico, Ranf=[m ; n> . Reemplazamos algunos valores de x en f {x) x 1 2 3 L O n X II ír i 1 o V3 2, Ubicamos estos puntos en el plano y finalmente hacemos un dibujo aproximado de la gráfica de esta función. 5.1. Prueba eje.la recta v.e;-T¡cal Cualquier gráfico en el piano no representa una función. Para que sea así tiene que cumplir la siguiente condición: Cualquier recta vertical (paralela al eje Y) cor ta la gráfica de una función, como máximo, en un punto. : E je m p lo s 1 . En la siguiente gráfica, tenemos Observamos que sin importar por donde se trace una recta vertical, siempre cortará la gráfica de f i como máximo, en un punto. Por lo tanto, f e s una función.
- 463. 2. En lasiguiente gráfica, tenemos Un par o rd e n a d o se re p re se n ta co m o O b s e r v a m o s q u e h a y u n a re c ta v e r t ic a l q u e c o rt a la g rá fic a (a; b) d e g e n m á s d e u n p u n t o . P o r lo t a n t o , g n o r e p r e s e n t a u n a f u n c ió n . U n a f u n c ió n c o m o u n c o n ju n t o fo r m a d o p e r p a r e s o r d e n a d o s s e d e f in e d e la s ig u ie n t e m a n e r a : f = {(*; y ) f x e Domf a y = f{x )] E je m p lo ji-y - / S e a la f u n c ió n 2 x : x e {3; 4; 5} E n u n t a b la d e v a lo r e s , t e n e m o s x 3 4 5 f¿=2x 6 8 10 E s t a f u n c ió n c o m o u n c o n ju n t o d e p a r e s o r d e n a d o s s e r e p r e s e n t a c o m o f= {(3; 6), (4; 8), (5; 10)} P a r a q u e u n c o n ju n t o f, f o r m a d o p o r p a r e s o r d e n a d o s , r e p r e s e n t e u n a fu n c ió n d e b e c u m p lir la s ig u ie n t e c o n d ic ió n : ( x - , y ) e f a (x]z) e f y = z A p lic a c ió n 7 7 Sea f = {(2; 5); (2; m+1 ); (3; 7)}. H a lle m p a r a q u e f s e a u n a fu n c ió n . Un conjunto formado por pares ordenados diferentes es una función si y solo si los primeros componentes son diferentes entre sí. E je m p lo s 1. /= í(3 ;4 ), (2; 7), (8; 9)} C o m o los p rim ero s c o m p o nen tes so n d ifere n tes, e n to n ces f e s un a fu n ció n . 2. g={{2; 7). (3; 5), (3; 6)} C o m o se rep ite el p rim er co m p o n e n te en tío s p are s * o rd en ad o s, e n to n c e s g no es una función.
- 464. wü................... . R es o l u c i ó n En los Duntos (2; 5) y (2; m + 1 ) se repite la primera componente. Por !a condición de unicidad, para que f sea una función debemos igualar sus segundas componentes. Entonces (2; 5) a (2;/7i-r1)ef — » 5=m+l /. m = 4 Una razón por a que las funciones son importantes es porque sirven como modelos para representar algún fenómeno de la Una fundón puede representar se de varias formas distintas. E je m p lo s 1 . Un estudiante ce ia academia Áduni rinde un examen caca Ejem plos • Con una fórmula: f.^=2x • Con una tabla de datos semana. El ena la cuenta de sus resultados y observa que caca vez melera sus notas! Desde la primera hasta la quinta semana sus resultados se muestran en el siguiente cuadro: x 1 2 3 4 _ _ .. - _ ■ 4, 2 4 5 8 _ X --,, ' 1 23 • Con un gráfico 2 27 3 31 .4 35 5 39 • /• : , / • . -aremos un modelo matemático cue nos permita predecir su nota en la semana 6. Observamos que hay una correspondencia entre el número ce semana y su correspondiente nota, tal como se indica en el siguiente diagrama: _ d fw 1 *23=19+4(1) 2 27=19*4(2) 3 *31=19+4(3) 4 *39=19+4(4) 5 -39=19+4(5) La variable x representa el número de semana y el valor f {t. representa la nota que obtuvo en la semana x.
- 465. Esi.a función esun modelo matemático que expresa el comportamiento de las notas conforme pasan las semanas. Su gráfica es Para obtener la posible nota de la semana 5debemos calcular f fcxr4x+19 /(6)=4(6)+19 fe =49 / .o _ Por lo tanto, la nota que podría obtener en la semana 6 sería 43. 2. El ingreso /de una empresa, por la ventada uno de sus productos, depende de su precio c y se calcula como /=50p(10-p) donde /y p están en soles. ¿Para quévalonee p e! ingreso de !a empresa es su máximo? Para responder a esta pregunta, haremos una tabla de valores cara /yp. p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 / 0 450 800 1050 1200 1250 1200 1050 SCO 450 0 El comportamiento de cómo varía / , conforme p va en aumento, se visualiza mejor en la siguiente gráfica:
- 466. Observamos que • Cuandoel precio esp = 0, el ingreso es 1=0. La razón es que sip = 0significa que el artículo es gratis y tiene sentido que no haya ingresos. * Cuando el precio aumenta de p=0 a p = 5, el ingreso se incrementa también de 1=0 a /=1250. Cuando el ingreso aumenta de p = 5 hasta p = 10, el ingreso disminuye hasta llegar a 1 = 0. Cuando p = 5, el ingreso /es el máximo. Por lotanto, el ingreso es el máximocuando el precio del artículo es igual a 5 soles. En una tabla de datos, :enemos '(*) r -2 k - T r i - i i f 3 0 ¿0)=3 1 =i 2 ff2)=3 8. F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S y Las funciones son útiles cuando se quieren modelar situaciones de la vida real. Es importante estudiar ciertas fondones para conocerlas y así podamos hacer un buen uso de ellas. 8 .1. F u n c ió n co n sta n te Es aquella que asigna a cada x real un número real c. Es decir, fes una función constante si E je m p lo s f(x)= 3 ]x e R Esta función asigna a cada x eR la constante 3. En el diagrama, tenemos Su gráfica es --- ------ a—---- é - .--— — ■ * .---— m . *-----•-------- Por lotanto, su gráfica es la recta horizontal que corta al eje Y eny=3. 2. gw=-2; x e R Esta función asignará a cada x real la constante-2. En el diagrama, tenemos
- 467. En la tablade valores, tenemos X 9{x) - 2 9(-2)=Z -1 9(-i r " 2 0 9{o f~ 2 1 9{vr~2 2 9[2r ~ 2 Una función f e s lineal si tiene la forma fM = a x + b ; xeR donde o; b e R a a * 0. E je m p lo s 1 . fw=2x-4;xeR Esta función asigna a cada xeRs u c o r r e s p o n d ie n te y = 2 x - 4 . En la tabla de datos, tenemos X y = 2x- 4 ¿ r % ; Su gráfica es r? * -í- / # 4 - i I m f ; . , > ' - 1 2(-1)- 4 = -6 A * $ ,-:-3 X " . / : 1 , / : 4^ % 0 2(-0)-4 = -4 0 c_ i 1 2 3 :$ V ' , n / 1 ! % ^ v i, r * 1 r j I II I O J . i Æ " ^ " « i / v _ J " W L ~ i ' V > i i Sr -= a . v. 2 2(2)— 4 = 0 • -------------• • 1 1 ■ ,-ii^rS - C . t *•* . ■ , ¿ . . X : — « ----- • -------»------«----- • ---------■* * 3 y = 2(3)-4 = 2 Por lo tanto, su gráfica es la recta horizon- tal que corta al eje Y eny=-2. En el dia9rama' tenemos 3. /)m = 6 ;x g R Su gráfica es Y * b ‘ 1 3 - ¿ -1 1 6 1 2 3 2v-4
- 468. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores ____ Función identidad A la función lineal f^ = x , x e R, se le conoce como función identidad. Tabla de valores x ... - 2 - 1 0 1 2 ... /M - - 2 - 1 0 1 2 ... En el plano cartesiano, tenemos [rTiporfuníe > de corte entre dos rectas las rectas =ax+b =cx+d X El punto de intersección de las rectas y es aquel punto p=(x0; que verifica el siguiente sistema de ecuaciones de incóg nitas x y y. y =ax+b y =cx +d i J Su gráfica es ■ - ■ 2b 1 1 1 1 -1 ¡i ¡-"I T / m 7 - ♦ / / n i- ^ ' A 1 / / A ■7° ;/ - Por lo tanto, la gráfica de f e s una recta inclinada hacia la derecha. -,.. 'X , / ■ ■ .- 2. g ^ = - x + 3; xeR Esta función asigna a cada x e R su correspondiente y=-x+3. , En la tabla de valores, tenemos X y =-x + 3 -1 y=-(-1)+3 =4 0 y =-(0) +3= 3 1 y =-(1)+3=2 2 y =-(2) +3=1 3 y =-(3) +3=0 4 y =-(4)+3 =-1
- 469. En el diagrama,tenemos .1 i. Los obtenemos al resolver la ecuación /i,. =0. 0 —— --- < — 2 lo s obtenemos si la función la evaluamos en x=0. ------------- - E je m p lo s - — — -----— i 1 f w = x - 2 ; x e R Calculamos les ccr.es con los eies. * Punto ce corte con el eje X Su gráfica es f f á - - / J & r . f ^ = x - 2 = 0 f ’ £& *, x = 2 • v 't - r lS v % X''zy: ¿M ?zí-: El punto (2; 0) es el core con el eje X - ' C . * Punto de core con el eje Y » Evaluamos '3ture.ón en x —G * y ~ h o ; y=0-2=-2 Por lo tanto, la gráfica de g es una recta inclinada hacia la izquierda. El punto (0; -2) es el core con el eje Y. Ubica mos estos dos puntos en el plano y mazamos la recta que pesa por esos puntos; per lotanto, dicha recta es la gráfica ce esta función La gráfica de una función lineal es una recta (no es horizontal ni vertical). Para graficar una recta solo se necesita cono cer dos puntos. Podrían ser dos puntos cua lesquiera, pero es preferible que sean los cor tes con los ejes, los cuales tienen su modo de cálculo. í w ff ¿ y % ;; - .
- 470. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 2. g(x )=-2x+3;xeR Calculamos los cortes con los ejes. • Punto de corte con el eje X 2(xr° g(x )=-2x+3=0 3 x — — 2 El punto I « } es el corte con el eje X . Punto de corte con el eje Y Evaluamos idfunción en x=0. • Cuando a <0, la recta está inclinada hacia la izquierda. • El término independiente de fw que es b, indica el corte en el eje Y. E jem p lo s 1 . f{x)= 3x+1;xeR Como a - 3 >0, entonces la recta estará incli nada hacia laderecha. El valor b -1indica el corte con el eje Y. Su gráfica es 8 .2 .2 . I n c lin a c ió n d e u n a re c to Respecto a la gráfica de la función lineal f^ax+b, que es una recta, se cumple que • Cuando o > 0, la recta está indinada hacia la derecha. i / < / ! / / i i _< *_v:^ / ! / / L .................. , ^ v- ”V* / .¿X .. VvY - > i 2. gM=-2x+5;xeR Como a = - 2<0, entonces estará indinada hacia laizquierda. El valor b = 5 indica el corte con el eje Y. Su gráfica es
- 471. Capítulo ii 3 2.5.E c u a c ió n de una recta a partir de dos Sean (x,;y.) y ( x 2; y 2) dos puntos de una recta como se muestra en la siguiente gráfica: / X P a r a h a lla r la e c u a d ó n d e e s ta re c ta p r o c e d e m o s d e la s ig u ie n t e m a n e r a : C o m o e s u n a re c ta in d in a d a , e n t o n c e s r e p r e s e n t a u n a fu n c ió n lin e a l, p o r e s o , su e c u a c ió n s e r á d e la fo rm a y - a x ~ b , o ¿ 0 P a r a h a lla r lo s v a lo r e s d e o y ó, r e e m p la z a m o s lo s d o s p u n t o s c o n o c id o s y (x2; y 2) e n e s t a e c u a d ó n y t e n d r e m o s y^ -ax^ + b Xdh * v*. fe# y 2= ox2+ b L u e g o , r e s o lv e m o s e s t e s is t e m a y t e n d re m o s lo s v a lo r e s d e o y ó. E je m p lo E n la s ig u ie n t e gráfica, t e n e m o s Observamos dos puntos de fa recta: (0; 2) y (1 ; 5). La ecuación de la recta la expresamos en la forma y = a x + b ; a ± 0 Los valores de a y ó se calculan como • Con el punto (0; 2) a ($ ) + b = 2 b=2 • Con el punto (1 ; 5) a(1)+¿>=5 £ 7+ 2 = 5 £7=3 P o r lo ta n to , la e c u a d ó n d e la re c ta e s y = 3 x + 2 . u ,4 ,ec,a S e a n ( y ; y t) y (x y y j) d o s p u n to s c u a lq u ie ra d e u n a re cta < & . La pendiente de esta recta se define com o m s = S u g rá fic a e s Observamos que la pendiente de la recta & representa la tangente del ángulo cl 5
- 472. E je mp lo En la gráfica, tenemos y k I / ' ! /’ . □ i ' : i ! La pendiente de 5?es rrip = 5-2 1-0 Además tana =- =3 1 m^=tana. Relación c o n ia p e n d ie n t e , En una recta cuya ecuación es y = a x + b , se cumple que el coeficiente a es igual a la pendiente de & El coeficiente b indica el corte con el eje Y. E je m p lo En la gráfica de la recta « 0, tenemos Su ecuación es de la formay = a x + b . El coeficiente a es su pendiente y se calcula como ° = m B 4-3 1 Q =---- O —~ Para calcular el valor de b, reemplazamos el punto (2; 3) en la ecuación de la recta y tendremos. y = a x - rb f 1 ^ 1 3 =2¡-¡ +6 b = i 3 Por lo tanto, la ecuación de la recta es 1 7 y = -X + - 7 3 3 .rtp Una función ^es una función cuadrática si 2 = a x r+ b x + c , x e R donde a; ó; ce R y o^O. E je m p lo s 1. fM= M ! +2; * E R Esta función asigna a cada x real su corres pondientey=(x-1)2+2. En una tabla de valores, tenemos x y=(x-1)2 +2 -1 H - 1)2+ 2=6 0 (0-1)2+2=3 1 (1- 1)2+ 2=2 (2-1)2+2=3 2
- 473. Su gráfica esSu gráfica es Observamos lo siguiente:/ La gráfica de esta función es una curva llamada parábola. '--v'./-'-" / El punto (1; 2) es llamado el vértice de ¡a parábola. En este punto cuando x=1, toma su mínimo valor que es 2. 9{x)~ & +1 :x s iR En la tabla de valores, tenemos X y=-C*-2)2 + 1 0 -(0-2)2 +1=-3 1 O II J rvj I T 2 -(2-2)Vi=1 3 -(3-2)z+ 1= 0 4 -(4-2)Vl=-3 Observamos lo siguiente: Su gráfica es una parábola que se abre hacia abajo. El.punto (2; 1 ) es el vértice de la parábola. Cuando x= 2 , g M toma su máximo valor que es 1 . El corte en el eje Y es (0; -3), que se obtiene al evaluar enx=0. Los cortes con el eje X son (1 ; 0) y (3; 0), y se obtienen al resolver la ecuación g ix)= 0. Sea lafundón cuadrática f ^ a x ^ + b x + c , xs R. su gráfica es una parábola que tiene dos posibilidades: • Cuando a > 0, la parábola se abre hada arriba. • Cuando a < 0, la parábola se abre hada abajo.
- 474. En las siguientesgráficas se muestran las dos posibilidades. En ambos casos, su vértice es e¿ púrittr h ; k] donde h y k se calculan como h ~ * A k = f <» E je m p lo s 1. /r M =3x2+4x'+1; x e R Como g=3> 0, la parábola se abrirá hacia arriba. Luego * Puntos de corte con el eje X Resolvemos la ecuación /w=0. f c 3 ¿ + 4 x + U 0 3x 1 x 1 ienemcs (3x+1)(x+1)=0 3x-r1=0 V X-rl =0 1 X = ---V X = - i “v O Les cortes con el ejeX sen ( 1 h — — ; 0 j y (-1; 0). Puntos de corte con el eje Y Evaluamos en x = 0 . y = [r . y=3(0)2-r4(0)-r1 -v y - 1 El corte con el eje Y es (0; 1). Por lo tanto., la gráfica de f e s Su vértice es (ri; k ). Calculamos h y !<como n 2a 23) L u e g o C a lc u la m o s el v é r t ic e . (ri; k ) = ' 2 l 3; 2. g .x,= - i c + 2x+3; x g R Como a=-1 <0, la parábola se abrirá hacia abalo.
- 475. Calculamos el vértice[h; k). Luego *=3m=-12+2(1)+3=4 Su vértice es (/?; /r)=(1; 4). • Puntos de corte con el eje X Resolvemos la ecuación o:V i=0 -x 3 x 1 (-x+B)CJf+1)=0 — x4-3=0 v x 4-1=0 x=3 v x=-1 Los cortes con e! eje X son (3; 0) y (-1; 0). • Puntos de corte con el eje / Evaluamos en x= 0 . y = g ¡C) y=— O 24-2(0)+3 y=3 El corte con el eje '/es (0; 3). Por lo tanto, la gráfica de g es Otra forma de hallar el vértice es expresar la cuadrática en la forma f ^ = a f r - h ) 2 + k . En tal caso, el punto (h; k) es el vértice de la parábola. E je m p lo fw =x2+ 6x4-3; e R Expresamos en la forma indicada. fM = X + 6 x + 3 f(x) = ¿ ± ó x + 9 - 6 /m =Í>í + 3)2- 5 donde o - h =-3y .< = 6. Luego, el vértice es {h; k )= (- 3; -6). Como o=1 > 0, entonces la parábola se abre h a c ia a rrib a .
- 476. 3.3.á. Ecuación deuna paraboia a partir del vértice Cuando tengamos el vértice (/?; k) y otro punto cualquiera (x^y^ de una parábola como se muestra en el siguiente gráfico: Expresamos la ecuación de la parábola de la siguiente forma: y = a ( x - h ) 2 + k ‘. ' . y Luego, los valores d e h y k los obtenemos del v é r t ic e (h ; k), el c u a l e s c o n o c id o . Finalmente, el valor de a lo obtenemos si reemplazamos el punto (xpy,) en la ecuación de la parábola. E je m p lo En la siguiente gráfica J la ecuación de la parábola es y = a ( x - h ) 2+ k De la gráfica, el vértice es (h ; k ) - { 2; 3). h =2 a k =3 El corte con el eje Y es el punto (0; 1 1 ) con el cual calcularemos el valor de a de la siguiente manera: (0; 1 1 ) e f f(or1 1 o(0-2)2+3=11 4o+3= 11 a =2 y=2(x-2)2+3 La raíces de una cuadrática indican los cortes con el eje X de la función f, y se obtie nen cuando resolvemos la ecuación f, .=0 ' w E je m p lo / r w=x2-6x+5; x € R Calculamos sus raíces. fw=x2- 6x+5=0 x -5 x -1 (x-5)(x-1)=0 Sus raíces son x=5 y x=1. Estos valores indican los cortes en el eje X .
- 477. Su gráfica es3. U parábola no certa el e ;e /. La gráfica de una función cuadrática, que una parábola, presenta tres posibilidades: 1. La parábola corta al ejeX en despuntes. entonces A < 0. j~ !c x =R donde n hç k a R v 0=0. 1 . Sea a runden f x e R. En una rabia ¿e caros, tener Esto ocurre cuando sus raíces x. y x~sen reales y diferentes, entonces su discrimi nante debe ser A > 0. 2. La parábola corta al ejeX en unsolo punto. Su c'áñca e 0 1 0 1 Esto ocurre cuando sus raíces x, y x2 son reales e iguales, entonces su discriminante debe ser A=0. Por lo tanto, esta gráfica está formada por dos semirrectas que parten de! punto (0; 0}. a! cual se le llama vértice.
- 478. 2. Sea lafunción fw=|x-2|; x e R. En la tabla de datos, tenemos x ... 0 1 2 3 4 ... f< ¿ ) ... 2 1 0 1 2 ... En la gráfica, tenemos Por lo tanto, esta gráfica mantiene ía misma forma que las anteriores con !a di ferencia de que ahora el vértice está en el punto (3; 1). 4. Sea la función =-jx-1|-r2; x e R. En ia tabla de datos, tenemos X . . . -2 -1 0 1 2 3 4 f<* • •. -1 0 1 2 1 0 -1 En la gráfica, tenemos Por lo tanto, la gráfica mantiene una forma similar al ejemplo anterior, con la diferencia v¿g&F J de que ahora el vértice es él punto (2; 0). 3. Sea la función/r (x )=lx-3|+1;xe R. En la tabla de datos, tenemos « v y.-*v x ... 0 1 2 3 4 %5 ' ó' ... ... 4 3 2 1 2 3 4 ... En la gráfica, tenemos Por lo tanto, la gráfica se abre hacia abajo (a diferencia de los ejemplos anteriores). Esto ocurre cuando el coeficiente del valor absoluto es negativo. Para graficar la función fM = a x - h + k ] x e R hallamos suvértice, el cual es el punto (h; Jt). Luego, según el signodea, se presentará unode los siguientes casos:
- 479. Capítulo 1 1 Teoría defunciones Caso 1 Cuando a > 0, su gráfica es de la forma V't I , í Como a >0, su gráfica es Y i ¡ . f, 0-11 • 5— V 3 Caso 2 Cuando o < 0, su gráfica es de la forma 2. Grafique f(v=-3 |x-1| +2 donde a = - 3 h =1 !<=2 Su vértice es (h ; k )= { 1 ; 2). Como a <0, su gráfica es E je m p lo s 1 . Grafique f {x)= 2 |x— 3|+5 donde o=2, h =3 y /r=5. Su vértice es el punto (/?; /c)= C 3; 5).
- 480. 1. Con lafunciónlinea! y cuadrática se construirá un mazo ce ~2 canes de a siguiente manera: • Cuatro cartas deben representa" auna misma fundó". Diremos c„r se." de: mismo : d o . Ejem plo • Deben tormarse 40 carias en tota!,-meciente 10 ejemolos distintos de funciones lineales o cuadráticas. Como se indicó en el punto anterior cada "unción dece estar representada per cuatro cartas. • Además, deben crearse dos carias comodines de la siguiente manera: i 2. Sejuega entre dos o másjugadores,, por turnes y por rondas. 3. Se reparten cuatro cartas para cada uno y se penen en ura mesa. 4. Si un jugador tiene una carta de! mismo tipo ce una que eme en la mesa se leva las des cartas; caso contrario, debe dejar una carta en la mesa. 5. En caso tenga una carta comodín, puede acumula' camas ce este t po a: ftnal de la rc-da. 6. Cuantío acabe la primera ronda, se repite el proceso desde el paso 3 7. Gana quien al final acumule más canas
- 481. Capítulo 11 TEORÍA DEFUNCIONES Una función de A en 8 asigna a cada xeA un yeB. Notación Regia de Dominio Rango f : A B f x y correspondencia y=fn v ■-. . . . j Conjunto de valores de x Domf-A Conjunto de valeres dey Ranf = { y e B ¡ y = f,(]} Notación Una función real f se representa como y e f{x); xeDom f regiade correspondencia -J Funciones reales Cuando A y B son subconjuntos de R Gráfica de una función Es su representación en el plano cartesiano. Dominio y rango Domf={valores de x) Ranf={valores de Cálculo del dominio Dom/={.veR / f.n está definido en R ) Función como conjunto de pares ordenados f - {fo y ) / x e D o m f a y e Prueba de la recta vertical Condición de unicidad i A la gráfica de una función cualquier recta vertical, como El conjunto de pares ordenados f es una función si máximo, la corta en un punto. i . _ --------.— —' fay) e y a (x,y) e y -+ y =z Funciones elementales Función constante f( x ) = c Y X f^=ox+b; a* 0 J L Y 4 •b a0 - / ' f Función lineal Función cuadrática Función valor absoluto fM=a(x-h)2+k; 0 fw=ax-h^fc, a * 0 J y Y ♦ ! y / J u<0 1 / «J a> 0 h X y. 0 >0 K h X . h X k a<0 ‘h x
- 482. RESOLVEMOS JUNTOS Problema N."1 _______________________________ Sean los siguientes conjuntos: • f = { (4; 8), (2; 9), (3; 9)} • g ={(3; 5), (3; 6), (2; 8)} • h ={(2; 9), (4; 5), (7; 11)} Indique cuáles son funciones. A) h B) g a h C) g a f D) f E) h A f Resolución Como g es una función, en los pares ordena dos donde se repite la primera component debemos igualar las segundas componentes. Así tendremos . (4; 5)=(4; 3m -1) 5=3m-1 6=3m m=2 Resolución • M S ; 8), (Z ; 9), (C3); 9)} Las primeras componentes son diferentes, entonces fes función. . g={(3.; 5), (3.; 6), (2 ; 8)} Se repite las primeras componentes y son pares ordenados distintos, entonces g no es función. Las primeras componentes son diferentes, entonces h es función. Por lo tanto, h y fson funciones. j Clave Problema N.* 2 _______ ____________________ Sea g una función. g ={(4; 5), (2; 8), (4; 3m-1), (7; 11), (2; 4q)} Calcule el valor de m-q. B) 2 * (2;8) =(2;4q) 8=4q q=2 m-q=2-2=0 Clave Problema N.‘ 3________________________________ Halle el dominio de mm = S ^ T s . A) <5;+~> B) [5; +~> C) [-5;+=> D) [-5; 25> E) [-5; 3> Resolución Como se trata de una raíz cuadrada, la condi ción para que esté bien definida es 5x+25 > 0 Luego 5* >-25 x > -5 x e [-5; +oo) A) 0 D) 4 C) -1 E) 6
- 483. El conjunto queagrupa a los valores de x es el dominio de esta función. DomM=[-5; +=») Clave Problema N.* 4 Problema M.' ? 3x +2 Halle el dominio de la función H,v,= ------ . M x+4 A) < ? D) < ~ ;0 B) R u { - 4 ) C) R - f- 4 } E) ( - 4 ;- Obtenga el dominio de la función =V 3 x-2 W 5 - X . A) ó D) Observamos una expresión fraccionaria, en tonces su denominador debe ser diferente a cero. Tenemos x = -4 La variable s puede ser cualquier número real T-í . vi Tenemos dos raíces cuadradas y, en ambas, las a exc^F^on de -4. ‘ 2 v f J ** condidones para que estén bien definidas son . DomH=R-{- 3x— 2> 0 a 5-x> 0 4} Clave 3x>2 a 5 >x x > - a x< 5 3 Intersecamos r roo lema N. Si x e [5,10), calcule el rango de la función g cuya regla de correspondencia es g(x)=3x-8. A) (7; 14) D) [7; 22) B) (10; 18] Q a - 22) E) [7; 14] DomM = Clave Resolución Debemos calcular pw=3x-8 a partir de x e [5; 10). cv] | ro
- 484. Los valores deformarán el rango de la fundón. 5 < x< 10 15 < 3x< 30 7 < 3 x-8 < 2 2 Obtenga el rango de M f )=4x2 + 4 x + 9 . A) [4; 8] B) [-8;+oo> C) [8;+ «) D) [4; 9] E) [9;+co> Rang=[7; 22) Clave Si x e (-4; 6], calcule el rango de / > Tenemos que x e (-4; 6). Como es una función cuadrática, para hallar su rango debemos completar cuadrados. M(X )=4x2+4x +9 M(X) =4x2+4x +1+8 M(x)=(2x+lf +8 Como es una función cuadrática, entonces su dominio es x e R. Entonces x e R — > 2x+1 e R (2x+1)2> 0 (2x +1)2+8>8 '----- ..----- - /. RanM=[8;+=«> - 4 < x < 6 -8 < 2x < 12 -13 < 2x-5 < 7 13 2 x-5 7 ----<-------<— 3 RanR = Clave Problema N #3 Calcule el rango de la función R si /?M=2x2+4x +8. Considere que x e [0; 2> . A) [2; 28) B) [2; 8) C) [8; 20) Clave D) [8; 24) E) <8; 30)
- 485. Resolución Completamos cuadrados. /?M=2x2+4x+8 /?m =2Íx2+2x+4) = 2(x¿ +2x+1+3) RM=2((>r+D2+B) R m =2(x +1)2 + 6 Tenemos que x e [0; 2). Luego 0 < x< 2 1 <x+1 < 3 12 < (x+1)2 < 32 Fin alm en te 1 < (x+1)2 < 9 2 < 2(x+1)2 < 18 8 < 2(x+1)2 + 6<24 • Ran/?=[8; 24) Problema N.* 10 2 x + 6 A) 12 ■ ; +00 B) 16 /1 6 12 D) T : T ;+■» Q (2:4] « f . Resolución Expresamos H( ] convenientemente. * X / A / .Jíp- -V = | f fi:, I I • Í S 7 i *• '• ••. - , - i ' ? i y % y% t K % . ^ H y Hw= 2x+6 > -2 l, x +2 y +2 2 ^ 6 - X - 4 HW - 2 x +2 +2 H» “ x+2 Tenemos que "e [3; 5). Clave S]H M - x +2 tie n e co m o d o m inio al intervalo [3; 5), o b ten g a el rang o d e la fu n d ó n H. 3 < x< 5 % y 5 < x + 2 <7 Invertimos t > — > t 5 x+2 7 2 2 2 * —>----->— 5 x+2 7 |+ 2 > - fi- + 2 > - + 2 5 x+2 7 B > u f i 6 5 - 7 RanH = ( — ; — 7 S J Clave
- 486. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema 1 1 La función f tiene como regla de correspon dencia a Problema N. 12 ^ ______________________ Grafique la función lineal g^- 3x-12. f _ 2x - 6 además, x e [-12; -6]. Halle su rango. A) [12; 18) E) [-4; -1] olución Expresamos fM convenientemente. f _ 2 x - 6 _2 x 6 (x) x x x ^>=2- ! Tenemos que x e [-12; -6]. Luego -12 < x< -6 Invertimos / ¿m' ' i Jw Jk * I ^ W /tW M ' ?’.& / V </ Jt fi C) íX j ..í -r -; ; ‘ «8 /¡ % C/y f * ,f*£> , D) . . < y . w / T/- E) Clave Resolución Hallamos los puntos de corte con los ejes. • Eje X gM=Bx-12=° 3x=12 x=4 Al eje X lo corta en x=4.
- 487. Capítulo ti Teoríade funciones Eje Y Y=g(0) -> y=3(0)-12 y = - 12 Al eje Y lo corta eny=-12. 2 co I c5 II • Por lo tanto, su gráfica es X Y y y Y 0 -1 0 -8 i / x 2 — 0 4 0 Clave Problem a N.* IB Halle el punto de intersección de las siguientes rectas: 3x-2 &2:y =2x-Q V 2 'A) B) C) (20; 28) D) (14; 20) E) (14; 18) Resolución Hallamos los puntos de corte con los ejes para ambas rectas. 3 x-2 Su gráfica es El punto P es la intersección de ambas rectas, el cual se calcula si igualamos sus ecuaciones de la siguiente manera: 3x-2 y = = 2 x-8 3x-2=4x-16 — > x=14 Para calculary, reemplazamos el valor x=14 en la ecuación y=2x-8 y=2(14)-8 y=20 Por lo tanto, el punto P es (14; 20). '■Clave
- 488. COLECCIÓN ESENCIAL Problema N.’14 A partir de ia siguiente gráfica: / t halle q(x)- 3 x-5 A) 5(X) “ B) 9[x) = O 9(x)= ^ 16 3x-15 3 15-3x ^ 3 x-8 ^(x) = — x -5 B) 9{x) ~ ^ Resolución Debido a que la gráfica de g es una recta, entonces debe ser una función lineal. Luego gM=ox+fa El coeficiente a es la pendiente de la recta y se calcula como a = - t a n a = - - El coeficiente b indica el corte con el eje Y, entonces b es igual a 3. 9 I i b= Reem plazam os los valores de a y b en g ^ . 3 5 15-3* 9w =- - x+3 9(x) Clave Prcbloms U.' 15 Si 5 W=2x+3, grafique la función h: .< i = B) V* J 3 E)
- 489. Capítulo 1 1 Teoríade funciones Resolución Hallamos h^. '’m =9M =29w +3 i ^ x) ~ i x) ~ 5x-1 7 5x +40 6 ^x) ~2(2x +3) +3 h(x)=4^+9 Hallamos los puntos de corte con los ejes. 0 9 (corte con el eje Vj 9 I 0 (corte con el eje X) Finalmente, la gráfica de h es i c> h( x r I d) ! E> *kxr 5 x-2 14 5x-10 7 17-2 x 3 Resolución Como la gráfica de h es una recta, entonces h{x)=ax+b Reemplazamos los puntos (1; 5) y (7; 1) en h(y). • Con el punto (1; 5) h^— S — > a+b=5 ♦ Con el punto (7; 1) /i(7)=1 — > 7o+¿)=1 Resolvemos el sistema. 7o+ b =1 a+b =S/ ~ 2 6a=-4 a =— 3 Halle la regla de correspondencia de la función lineal h, cuya gráfica es Reemplazamos el valor de o en la ecuación. 0+0=5 Luego - —+ £>=5 b 17 3 Reemplazamos los valores de a y b en h{ 17-2x 3 Clave E
- 490. COLECCION ESENCIAL Problema N.‘T7 Por lo tanto, la gráfica de f es Graíique la función ftx)=>r-8x-2; x e R . A) 3) C) D) t) Resolución Completamos cuadrados. f(x)= ¿ - 8 x +1 6 -1 6 -2 /m =(x - 4)2-1S Hallamos el vértice. (h: =(4; -18) Como el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba. Hallamos el corte con el eje Y. y=f<.of~2 r, Cüi*¿n Grafique ¡a función f.r =-2Y2-1óx-r1; x e R. A) Q 5C D) W B) E) Clave s~
- 491. Problema 19 Resolución Completamos cuadrados.Grafique la fundón f,,=-{x-4){x+2), x e R. f(x)~ ~ 2X2— 16x4-1 f^=~2(x2+8x)+1 f(x) = - 2 ( x 2 + 8 x + 1 6 -1 6 )+ 1 V ---------------' fM=-2(x+4)2+33 Hallamos el vértice. (h; kM~4; 33) V x - .f S&Áy-'V El coeficiente principal es negativo, entonces la parábola se abre hacia abajo. Hallamos el corte con el eje Y. A o r 1 A) V" B) Y A A ~A ... *./ — LA— i ■ J ' ! 4. 1 y C) v 1 j / ) / •4 A ¿ X D) E) v A * } L j 1 í j 7x A EÜliafeckVn Las raíces de fM son x.,=4 a x2=-2 Estos valores indican los cortes con el eje X. Como su coeficiente principal es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Hallamos el corte con el eje Y. y=/¡0)=-(0-4)(0+2) y=8 Hallamos el vértice (h; k). + 4 -2 2 2 A A i)= -0 -4)(i+2)=9 El vértice es igual a (1; 9).
- 492. COLECCIÓN ESENCIAL m mm m . ■ ■ Lumbreras Editores Por lo tanto, la gráfica de f es ! ( ; c=-2 El punto (5; 83) e f. Entonces f(5f&3 3(5)2+¿>(5)+c=83 Reemplazamos el valor de c y operamos 75 +5¿>-2=83 5¿)=10 b=2 ó-c=2-(-2)=4 C/ave Problema N.° 2* * Halle el área de la región encerrada por la gráfica de la función f(x)=- |x-1| +3 y el eje X. C) 9 E) 12 A) 5 .„ y B) 8 y Rer.óíucíón Tenemos que ^ (X ) =-l^-'ll +3 =(-1 )U -l| +3 O Su vértice es (1; 3). Como a=-1< 0, entonces se abre hacia abajo. • Puntos de corte con el eje X f(*)=0 -|x-1| +3=0 |x-1|=3 Luego x-1 =3 v x-1=-3 x=4 v x=-2 Al eje X lo corta en x=4 y x=-2.
- 493. Capítulo 1 1 Teoríade funciones • Punto de corte con el eje / [o y= -l0 -i|+ 3 P A AM OR Problem a N/ 22____________________ Halle el área de la región encerrada por el gráfico de la función f,y =2x+12 y los ejes coordenados. y=-1+3 A) 15 3) 36 C) 18 D) 20 E) 25 Al eje / lo corta eny=2 Su gráfica es Y 1 Calculamos el área de la región §. r A = 9 Clave Resolución Tenemos X r( s ) 0 12 (cone con el eje Y) / ~ -o 0 (corre con el eje X) Graneamos ia función f(y=2x+12. v/4 ' / * / 1 Halamos e! área de la región encerrada por esta recta y los ejes coordenados. Clave
- 494. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.’ 23_____________________________ Halle el área de la región encerrada por los gráficos de f^ = x + 3; g M - 7 - x y el eje X . A) 21 B) 18 C) 14 D) 10 E) 25 Resolución • Gratam os ¡a función f(x)=x+3. Tenemos x i f 'M 0 3 (corte con el eje -3 0 (corte con el ejeX) y * • Graficamos la función g^=l-x. Tenemos * I g<*i 0 7 (corte con el eje Y ) 7 0 (corte con el eje X ) I Y La gráfica de ambas funciones es Hallamos el punto de intersección P ce ambas rectas. x-t-3— — x 2*=4 x=2 Luego P=(x¡y)={2; 5) Hallamos ei área de ia región §. (5)(10) 2 =25 Clave
- 495. Capitulo 1 1 Teoríade funciones Problema N .‘ 24 Halle el área de la región encerrada por los gráficos de las funciones fw =(x+1| y g(x)=8. A) 28 D) 49 B) 35 Q 45 E) 18 Resolución Granearnos ia función fM=[x+1]. Graficamos la función g^=8. La región encerrada por ambas gráficas es la siguiente: / v / / Hallamos los puntos de intersección de ambos gráficos. f(x )=g( x ) |x|+1=8 M=7 X=7 V x=-7 Luego ■ x=7 y=K7)=8 • x=-7 -» y=f[~7)=8 Los puntos de intersección son ■P=(-7; 8) A Q=(7; 8) ,/7 - a Hallamos el área §. § =í m =49 Clave 99
- 496. COLECCION ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.‘ 25 Sea fw=ox2+bx+c una función cuadrática cuya gráfica es Reemplazamos en f( (*)• fM=a(x-t) +2 Para calcular o usamos el corte con el eje Y, que es el punto (0; 5). f(0)=5 o(0-1)2+2 =5 Calcule oóc. A) -90 D) 80 B) 100 Q 108 / E) -81, I |§k / X'' y '.,: ; / : r A ■ ■ Resolución £s& W ’ M ? f Con eívértice [h; k), la forma d%f(x) es y fw=a(x-h)2+k De la gráfica, el vértice es (h; k)=(1; 2) o+2=5 -+ o=3 Luego fM=3(x-1)2+2 Operamos f(x}=3x2-6x+5 Entonces o=3; b=-6 y c=5 oóc=(3)(- 6)(5)=-90 h=1 a £= 2 Clave
- 497. 1. De lossiguientes conjuntos, identifique cuáles son funciones. • f ={(4; 5), (2; 3), (7; 9)} • g ={(3; 8), (3; 2), (7; 4)} • h ={(2; 9), (3; 8), (2; 9), (7; 6)} A) fy h D) g y h B) fy g C) g E) h 2. Si fes una función f ={(2; m + T ) ,( 3; 8), (2; 11),(3; 3b- 4), (7; 11)} halle el valor de m+b. A) 21 D) 14 B) 13 G) 12 E) 10 3. Halle el dominio de la función h w = ^ 9 . - ^ A) (-«>; -3 ) B) <-co;3) C) (3 ;+ -) D) (— o°; 9] E) [3; h -o o ) 4. Halle el dominio de la función R{x)=ylx-2 +y¡8-x. A) [2; +°°) B) [8;+°°) C) (8; 10) D) [2; 8] E) [2; 8) 5. Determine el dominio de o M “ x - 2 ' A) <2; 4) B) [2; 4] C) <2; 4) D) <2; + < ~ > E) R-{2} 6. Determine el dominio de la función ~~2 ‘ x - 4 A) R B) {2} D) R -{2} C) {-2} E) R-{2; -2} 7. Calcule el rango de fix)- 3x+2 si x e (2; 5]. A) (0; 5] B) <3; 10] Q (8; 17] D) <18; 29] E) <2; 3] 8. Si x e (-2; -1), calcule el rango de :a función H, cuya regia ce correspondencia es '- x h' = M 2 A) ( 0 ;| D) (1 ;| / . 3 B) C) v - i e, (a l ) 2/ 9. Calcule el rango de f si f< S )=xz+2x+3, donde x e [5; 10). A) <38; 123] B) [33; 123) C) <30; 53) D) < 10; 51) E) <43; 123) 10. La función H tiene como regla ce corres pondencia a _ X +2 M “ x+1 y como dominio al intervalo <2; 3). Calcule su rango. b m M> A) 0; »
- 498. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores 11.Sea la función R tal que rm =— M x - 4 tiene al intervalo <6; 10] como su dominio. Indique el rango de la función. A ) 4 D) (12; 4] B) (4; 12) C) 0 12. Grafique la función fM= 2x+ 4;xeR . A) B) h - i- i X - /-• X -->>/ w c > 4K X 13. Halle el punto de intersección de las siguientes rectas: • ^:y=5x+10 • & y y -x =18 A) (1; 20) B) (5; 18) C) (2; 18) D) (5; 20) E) (2; 20) Y 14. A partir de la gráfica f (0: 4 ) ' i ! i 4— i halle la ecuación de la recta SB. . • > 3 x -4 A) 9(X) ^ 12-4x B) 9(x) ~ 3 c) -9M=3x~4 - 4 Dl 3w ~ E) 3¡',;.=4x -3 _*-Í~ - 'vK ^ _ v * 15.”A partir de la gráfica halle la ecuación de la recta S& . '4x +9 A> 9(*) = B> 9W = n 9w = 3 3x-12 2 4 x -5 3 3x +12 D> 4 E) 5 (x)=3x +12
- 499. Capítulo 1 1 Teoríade funciones 16. Esboce la gráfica de la función ^M=*2~6x +12, donde x e R. 18. Grafique la función fM=(x-f6)(x-2). 17. Grafique la función M^=-x2-4x-¡-10, donde x e R. E) □I — ¿1 ¡9 Sea la función f, cuya regla de correspon dencia es y>.=3x2+px-q. que tiene la siguiente gráfica: yt 3
- 500. 20. Grafìque lafunción f{x) =|x-2 Ì+ 1 ;xe R. A) v ‘ B) X A) Y'A B) C) V 'A . X 21. Dada la gráfica de la función f % halle b+k+h. 23 Halle el área de la región encerrada por las gráficas de f^=5-x-3 y gw =-1. A),-28 V 3) 30 C) 24 D) 36 _ .,/ v E) 32 2-. A partir de la gráfica h X donde fíxT*2- 4* * 8 A 5W=2x+3 calcule el valor de A) 7 B) 10 C) 9 D) 8 E) 11 22. Represente la región triangular que encie rran las gráficas de las funciones f y g si rw =W y g M=4- a +b+n+k m+n+p+q A) D) 18 25 15 22 C) E) 16 25 J7 24 » V;
- 501. Capítulo !i Teoríade funciones 25 A partir de la gráfica 2 Halle el área de la región encerrada por los gráficos de las funciones fM=6- k g{x)=x+ 6 y el eje X. A) 12 B) 30 C) 36 D) 18 E) 24 . Halle el área de la región encerrada por el gráfico de la función /r w = 5 -x-2| y el ejeX donde f^x^+bx+c, A) 35 B) 32 C) 28 D) 20 E) 25 calcule el valor de h+k b+c A) -2 D) — 2 B) 2 •: r J 26 Halle el área de la región encerrada por. el gráfico de la función fM=10-2* y los ejes coordenados. Halle el área de la región encerrada por los gráficos de las funciones /w=^ 5 6 y ^w=10- A) 16 B) 14 D) 20 %£ A ^V* ’sai .& C) 18 E) 24 «s • y) -0 Halle el área de la región encerrada por los gráficos de las funciones /¡xrl*- 2 ! yg{x)=^-+2. A) 24 D) 20 Claves B) 35 C) 25 E) 40 A) 8 D) 15 B) 12 C) 18 E) 10 1 6 11 16 21 26 2 7 12 17 22 27 3 8 13 18 23 28 4 9 14 19 24 29 5 10 15 20 25 30 a
- 503. Los logaritmos fuerondescubiertos para acelerar y simpli ficar el cálculo. Napier, inventor de las primeras tablas de logaritmos, refiere así el propósito que ¡e animaba: “En la medida de mis capacidades, me proponía evitar las difíciles y aburridas operaciones de cálculo, cuyo fastidio constituye una pesadilla para muchos que se dedican al estudio de las matemáticas”. En efecto, los logaritmos facilitan y aceleran los cálculos, además que permiten realizar operaciones que serían en extremo complejas si no los aplicáramos (extrac ción de raíces de cualquier índice, por ejemplo). Laplace es cribió con todo fundamento que con la reducción del traba jo de varios meses de cálculo a unos pocos días el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los as trónomos. El famoso matemático se refería a los astrónomos por cuanto se veían obligados a hacer cálculos agotadores y de singular complejidad. Las aplicaciones más famosas de los logaritmos están en las escalas logarítmicas; un ejemplo de estas lo apreciamos en la escala de Richter; que nos da información sobre la energía que se desprende de un terremoto. Richter tomó la idea del uso de logaritmos en la escala de magnitud estelar, usada en la astronomía para describir el brillo de las estrellas y de otros objetos celestes. • Identificar y aplicar las propiedades de los logaritmos. • Resolver problemas utilizando las diferentes propiedades de logaritmos. ¿ P o r qué e s n e c e sa rio e s te c o n o c im ie n to ? Los logaritmos son importantes porque facilitan la resolu ción de cálculos muy complejos, lo que ha contribuido enor memente al avance de la ciencia. Si bien es cierto que son elementos de estudios fundamentales en las matemáticas, la relevancia de los logaritmos está en las posibilidades de aplicación que tienen en la vida real. Por ejemplo, en la eco nomía, en el crecimiento de la población, en la biología, en la música, etc.
- 504. La operación deextraer loga ritmos, también llamada loga- ritmación, es una operación in versa a la potenciación, puesto que, mientras en la potencia ción se trata de encontrar un número llamado potencia, co nocidas la base y el exponente, en la logaritmación se trata de hallar el exponente, conocidas r . la base y la potenciación. En el siglo xv se destaca la arit mética íntegra de Michael Stifel ¡ Á (1487-1567), donde se asoma el concepto de logartimo. Sin * embargo, las investigaciones f profundas sobre los logarit- ¡v mos fueron desarrolladas inde- ¡E pendientes y casi contempo- ráneamente por John Napier (1550-1617)en 1614y Jobst Bürgi { (1552-1632) en 1620. j | 1 En la expresión bn=c puede calcularse una de estas tres can tidades si se conocen dos de ellas, resultando, de este modo, tres operaciones diferentes: potenciación, radicación y loga ritmo. b*=c Ejemplos • 2X=8 -> x=3 • ¿2* =5? Para resolver este tipo de problemas necesi tamos los logaritmos. Para definir un logaritmo podríam os comenzar calculando las siguientes multiplicaciones sin ayuda de la calculadora. • 16x256 • 81x6561 • 256x65 536 Aplicando el algoritmo de la multiplicación, tendríamos bn=x Ejemplos • 23=x — > x=8 • 32=x — » x=9 xn=c Ejemplos • x3=27 — » x=3 • x3=1 -» X=1 2 5 6 x 1 6 1 5 3 6 2 5 6 4 0 9 6 6 5 6 1x _______________8 1 6 5 6 1 5 2 4 8 8 5 3 1 4 4 1 6 5 5 3 6 x ____________________2 5 6 3 9 3 2 1 6 3 2 7 6 8 0 1 3 1 0 7 2 1 6 7 7 7 2 1 6
- 505. Ahora bien, podríamosconstruir una tabla que contenga al gunas potencias de base 2; 3 y 4, como las que aparecen a continuación: i m i «‘ ^ » »< • V • ¿ " ■ 'i: -7 ‘j - 9-j' 1 2 3 4 2 4 9 16 3 8 27 64 4 16 81 256 5 32 243 1024 6 64 729 4096 7 128 2187 16 384 8 256 6561 65 536 9 512 19 683 262 144 10 , 1 0 2 4 59 049 1 048 576 11 2048 177 147 4 1 9 4 304 12 4096 531 441 167 77 216 13 8192 1 594 823 67 ,108 864 Ahora ubicamos en la tabla cada uno de los resultados o b teni dos en la multiplicación. Observamos que todos los resultados se ubican en la fila que corresponde a n=12. Es decir, que 12 es el exponente al que hay que elevar el número 2 para ob tener 4092, o el 3 para obtener 531 441, o el 4 para obtener 16 777 216. Este exponente, en matemática, se denomina logaritmo. En particular diríamos que el logaritmo de 4096, en base 2, es 12 y lo denotamos de la siguiente forma: Forma LOGARÍTMICA log24096=12 212=4096 O que el logaritmo de 531 441 en base 3 es 12 y lo denotamos de la siguiente manera: Forma Forma LOGARITMICA EXPONENCIAL !og3531 441=12 312=531441 El nombre de logaritmo (de loges y arithmo, vale decir, número de razón) se debe a John Napier. En el Micifici ¡ogarithmorvm de 1614, Napier hizo conocer la naturaleza de sus ícgantm os y la tabla de estes. Henry Sriggs (1560-1650) legra ¡a difusión y el perfeccionamiento de los loga ritmos descubiertos por Napier, además de su adaptación al sistema decimal y su respectiva tabla de logaritmo.
- 506. COLECCIÓN ESENCIAL * '’ • e» V • t -: ,v; Lumbreras Editores M H En general [Ciíidsdol El ¡og.,5 no existe. ¿Por qué? Sea lo g ^ x -> 5=1* ¿El número 1 a qué exponente x da 5? No existe ningún valor de x que cumpla la igualdad. Por lo tanto, log.,5 no existe. Mo oS-UÍdc El log2(-4) no existe. ¿Por qué? Sea log2(-4)=x -» -4=2X ¿El número 2 a qué exponente x se debe elevar para obtener -4? No existe ningún valor de x que cumpla la igualdad. Por lo tanto, log2(-4) no existe. j ogbN-x < > o - N Así logbN es el exponente al que se debe elevar la base b para obtener x. Además, N > 0; b > 0 a 1. De la definición de logaritmos se observa que tienen dos formas de expresarse: forma exponencial exponente forma logarítmica exponente I- logax=ÿ base ay=x base Ejemplos 1. Cambiamos las siguientes igualdades a la forma logarítmica: Forma exponencial Forma logarítmica 42=i6 log416=2 5o ii m log381=4 491/2=7 |° g ¿ 9 ? = s 2. Cambiamos las siguientes igualdades a la forma exponencial: Forma logarítmica Forma exponencial log101000=3 logg81=2 log, — = -3 y4 64 103=1000 92=81 4 -3 = — 64 3. Usamos la definición de logaritmo para hallar x. a. log?x=5 < -» x=2s — > x=32 T. ,* b. log?16=x < -> 16=2K — > 24=2* — > x-A ,4 c. log3x=4 < -> x=3‘ x=81
- 507. d. log3243=x ^243=3* -» 3S=3* -> x=5 e. ¡ogx16=4 «-» 16=x4 -» 24= / -> x=2 ! 2 f. log 6 =— 6 = x 2 -» 6 = -> 62 = ú ? -» 36=x 'l 1 - g. log 3= - < -> 3 = *3 3^3;., v — > 3"= yfx 21-X 4. Usamos ¡a definición de lo g a ritm o p a ra r a lla r x. a. Iog3<Jz7 = x b. lo e , s,;32 = x Operamos a. Icg527 = x < h > ^27 = 3'v -» 3 5 =3X 3 - ’• ....... ^ 33 = 3X -» - = x 5 log, y¡27 = - v 5 b. log21¡32 = x e-x ^32=2r -e lk s =2X 5 -> 2^ = 2* -> * = | log2 %/Í2 = | Lo que hemos realizado es resolver logaritmos, expresándolos en forma exponencial. De la definición de logaritmo que hemos pro puesto, podemos resaltar 'a relación tan estrecha que va a surgir entre el logaritmo y las potencias. SoL n■ * Si x=log1 de x. 3^31, halle 7 o A) — 5) ^ C) 7 4 Di ¥ E) UNMSM 2012 ■ ¡ tto olvide El número e= 2,7l823l83... concedo como número de Eu!er fue reconocido y utilizado cor primera vez por ei matemático escocés John Nap-'er. Otra forma de representar este número es 0 , 1 1 1 e = l+ - + — -— - r.. 1 ! 2! 3!
- 508. b > 0;b & 1 Propiedades El promedio de vida de las mujeres estadounidenses desde el año 1907 hasta el 2C07 está dado por la fórmula w(7 )=49,9-7-17,1 log.,7 donde e=2,71 1<7<6 Para 1907 -» 7=1 1927 -> 7=2 1947 -* 7=3 Ejemplos * log,1=0 * log?01=0 • Iog1001=0 b. ■: : =C b > 0; b ± 1 Ejemplos • ícg7o=¡ • log77=1 * lcg5050=1 c. Identidad fundamenta! de logaritmos 1 *J i Reduzca la siguiente expresión: ^2»og23 P =, Ejemplos • 3!c'337 =7 . 9lD" 5 = 5 2. TEOREM AS En este análisis partiremos de ejemplos para escribir la forma- íización de cada uno de los teoremas. Recordemos que el logaritmo de un número es el exponente, el cual se debe elevar la base del logaritmo para obtener dicho número. Teorem a 1 Ejemplo 16x256=24x 2 8=212=4096 De lo anterior, 4 es el exponente ai que hay que elevar el 2 para obtener 16. En otras palabras, 4 es logaritmo en base 2 de 16.
- 509. En símbolos 2H=16 ++log216=4 También con el mismo criterio 2S=256 + -> log2256=8 212=4096 ++ |Og24096=12 Observamos que 4+8=12, lo que podría escribirse como log216+log:5 256=log:,4096 log216+log2256=log216x256 Entonces se tiene que Se lee: ‘ El logaritmo de un producto, en una base dada, es la suma de los logaritmos (en la misma base) dé cada uno de los factores”. Ejemplos % ' • log27-flog23=log27-3=log221 • log9 +log4=log9-4=log36 • Iog27+log25+log23=log27*5-3=log2105 • log37+1=log37+log33 -» log37-3=log321 • log218+3=log218+log28=log2144 No hay regla correspondiente para el logaritmo de una suma, es decir, log0(*+£Xogjr+|cg Ejemplo !cg5C>r+3}X^g5 ^+log53 Un error común es el siguiente: Ejemplo * log34+log3 4=2Iog3 4 * 5log27-«-6íog27=11log27 * log^+Slog^+Slog^lSlog^
- 510. Un error comúnes el siguiente: ogbx-og v |ogby Ejemplo log25-log23Vj|Qg25 og23 ftm fcr'iit-i'S trx .'*------- -—*—— Halle el valor de iog(2-4-6-...-20)— log(9!) A) 10+10log2 B) 1+Í0log2 C) 10log2 D) log2 E) Iog10! i f j Teorema 2 Ahora analizaremos el logaritmo de un cociente. Veamos el siguiente ejemplo: 67108 864 41 3 A . . . =256 Con un análisis análogo al realizado para el producto y tenien do en cuenta el concepto de logaritmo, tenemos 13-9=4 log4(67 108 864)-log4(262 144)=Iog4256 log4(67 108 854)-log4(262 144)=log4 f 67108 864 262144 Con un buen número de ejemplos análogos podemos concluir y generalizar. V " 4 ro: !y •«V .--- Se lee: “El logaritmo de un cociente, en una base dada, es la diferencia entre los logaritmos del dividendo y divisor, en la misma base”. Ejemplos f x log3^—J =log3x - log32 n o i • log310- log32=log3 — =log35 V 2 y log25-1 =log25- log22=log2 AB • log— =logAS-logC=logA+logfí-logC UNM SM2001
- 511. Aplicación 7 Halle elvalor de A. A = log15+2logy49 . 5 log.81 Resolución Hallamos el valor de A. /A=r,ogi 5+2log749 _ 5 r - / /A=^log5_15+2-2 A = [ l ^ lo9s5+4 /4=[-1 -1+4] -4 A=(-1+4)'-4'; 4=3-4=12 log o81 ■ • 5logx-2logx=3logx • 3log52-2log52=log52 L ___________________ ___ Teorema 3 También podemos deducir la propiedad del logaritmo respec to de la potencia si analizamos el siguiente ejemplo: 25=32 o log232=5 Además, 32 se puede escribir como 32=25=2-2-2-2-2 Entonces log232=log225=log2(2 •2 •2 -2 •2) -» log22+log22+log22+log22+log22=5log22 Un erro r co m ú n es el sig u ie n te: lo9n< j ^X^loga * Ejemplos • log25 x ^ J o g 5 x • lo g 43 x ^ 4 Ílo g 3 x lognax =(log0x)r ’ Ejemplos * log25x =(log5xf * log43x =(log3x)4 * log439=(log39)4 =24 =16 l ___ ._____________ 5
- 512. En consecuencia, segúneste criterio, tambiénpodemos escribir log3x2=log3 ^-x -4 log3x+log3 x=2log3x' Considerando los ejemplos anteriores, podemos concluir (regla del sombrero) Se lee: “El logaritmo de una potencia (en una base determina da) es igual al producto del exponente por el logaritmo de la Cuando nos piden hallar x en 3*=5 base de esta potencia’'. Tomamos logaritmos en base 3. Ejemplos & 'ÍX log33x=log35 1. • log^ ^ Sicc^ x-log33=log35 x-1=log35 /. x=log35 » 3log5ó=icg5i?*'-'■ Cuando nos piden hallar x • 6log5o=log3o° en 6*=2 Tomamos logaritmos en base 6. • log23+2lo^5=ÍGg23+logp52 -4 lcg23+log225=Iog275 log66*=,og62 x-log56=Iog62 • 2Iog,7-i-3lcg95=log:> 72+log25J x-1=log62 -4 Iog249-i-log2l25=log249-125=log26125 x=log62 2. Usamos los teoremas de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones: E ¡ J log2(2x)=log22+log2x=1 +log^ log2[x(x-1)]=log2x+log2(x-l) log3C4£2)=log3 ¿ + log3£2=logJ4+2log3fí
- 513. tog3x-y[y= log3x +log3<¡y — >log3x+ log3y 2 = iog3x-r --Ica- y log i x 3y 4 1 =l°g (x3-y4)- logz' — > logx^-flogyT-6togz=3!ogx-r 4!ogy-6icgz 3. Combinamos ¡as expresiones en un solo logaritmo. • 31ogx +—iog(x +1) =Iogx3r-log(x-f-1)2 — > log*3T!og7x+1=logx3-vx-rl Iog35+5iog32 -e» log35+log32^=iog35-rlog332 — 7 log35-32=log3160 N log2^ +log2S-2log2C Iog2/A-S-log2C^=log2^ log12 +Ìo g 7 -lo g 2 =log12 +log72 -log2 log12+logV7- log2=log12••// - log2 * Logaritm o común Ejemplos - !og105=!cg5 - -¡og,017=!cgl7 Logaritm o naturai conde e es el nùmero ce Euler. e=2,718281... Ejemplos - !n 5 = lo g .5 - in20=!cg.20 * Además In1=0 ine=1 Ine^x — » log ^ =log 6>/7
- 514. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores
- 515. "Teorema 4 Cambio debase Ejemplos • log2x = • log5x = Iq 9 3 * log32 log3x log27 _ log?3 log35 = io g 3 7 (cambiamos de la base 2 a la base 3) (cambiamos de la base 5 a la base 3) log5x ■ —=logQx log59 y- C o ro la rio s Ejemplos • log23= l°gx5 1 log32 1 log5x • log29 • logb8 1 log92 1 log8ò x=25 x=32 x=34 x=81 Ejemplos * lnx=5 — > x=es • lnx=-1 — > x-e Ejemplos • !og2x=5 — > • logjX=4 — > — > O Si los primeros términos de una secuencia son; log4, !og9, log25, log49, loga2. !og361, !ogb2, ¡og841 donde 11 < a < 17, halle log(b-a). A) 1 B) 3 Q 2 D) 5 E) 10 UNM SM2 < 3 1 S *I
- 516. b. Regla dela cadena Ejemplos • log2/-!o g 7 -y 9/'Iog^13 = !og213 • log3jO-log -j)-log,A9 = !ogs9 = 2 c. Un error común es el siguiente: log^+íog^+log/^og^-f Ejemplo log35+log5 7+log7 ^Jog39=2 Ejemplos * icg27.'fc-g72=i • lo ^ r-Jg^ = 1 Ejemplos * Iog39-log9x=log3r • log25-log58=log23=3 Regla de intercambio Ejemplos . 5,c923 = 3}o925 . 3Io95jc = ^ 5 3 . 52log23 _ 5ÍOQ232 _ 5tog29 _ g'og25
- 517. ■ Logaritmos Capítulo 12 Aplicación 3 q!o 923a.5.35!o9&^ Reduzcala expresión--------- ------= ------. 4g!ag7V2 Resolución Para este caso, usaremos la siguiente propiedad: o:Cgc ‘=/V En el problema tenemos (23)'°923 +5-(6z)'°96V7 -,3log23_5-g2!og6v'/' y2log7V2 3 r~— 2Io923 +5.6Io36^7 ylog7 v 2 2 2lo32* 27 +5-6log67 y!og7 2 27 +5-7 27 +35 2 2 , — =31 2 Aplicación 4 Determine el valor reducido de M2 M _ 2Ic ;924 +61 o965+|og201i 2014 Resolución Para este caso usaremos la siguiente propiedad: oc'3 fal% = /V En el problema M=2log24 +6l0965 +log20142014 M=4+5+1 M=10 M2=100 A) —3!r>110 3) -ln(1-2-3...101) C) -Bir.p -2 -3...101) D) -3ln101 E) — ini01 UN M SM2012 *
- 518. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Dato curioso La gráfica de la función logaritmo f(x)- log^x tiene dos casos: Caso 1 | f{y>=log,,x ! b > 1 Y 1 t Caso 2 j f. - !o a r / ' 0 <b <1 3. COLOGARITMO Se denomina cologaritmo de un número N (N > 0) en una base [b > 0, b * 1) al logaritmo de la inversa de dicho número en esa misma base. Ejemplos colog39 =log3| - ] =-2 colog2x =log2 Consecuencia ( ^ x j •| cotog¡, y — . - ig c ^.'í 4 Ejemplos • colog5125=-log5125=-3 • colog216=-log216=-4 • colog213=-log213 4. ANTILOGARITMO El antilogaritmo de un número real x, en una base dada b(b> 0 a b*1), es el número que resulta de elevar la base al número. antilog,. x~b7 Ejemplos • antilog25=24 5=32 antilog - ,(— 3) = 2 f V <2, -3 = 23=8
- 519. M I[y Prooiedades >ARIS^ /HVIOR A SOFÍA í í 5.El UmCíOn LOGAk . ¡CA Para resolver ecuaciones logarítmicas se utiliza.'' a menudo siguientes propiedades: Ejemplos • Iog^(3y-2)=2 • log5(2*-1)=!og5(x-r2) A p l i c a c i ó n 5 Resuelva la ecuación íogz{x-2) =5. R e s o l u c i ó n Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencla . es decir lcg2(x+2)=5 *-r2=25 *+2=32 x=30 Comprobamos la respuesta. Reemplazamos jc=30 en la ecuación inicial. log2(30 +2) =5 log232=5 5=5 S- n es un número entero posi tivo y 2 r’-1=log22+log2 4-rfcg28m. ha ie el va’or ae 4lo g . 4 A} D) U N M S.M2012-H I
- 520. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores A p l i c a c i ó n 6 Resuelva log2(25-x)=4. R e s o l u c i ó n Primero reescribimos la ecuación en forma ex ponencial, es decir, log2(25-x)=4 25-x=24 25-x=16 x=9 Comprobemos la respuesta. Reemplazamos x--A en la ecuación ín:c:a!. Iog(-4+2)-rlog(-4-1)=' lcg(- 2) + lcg(-5)=1 Reemplazamos x=3 en la !cg(3 -2) -íog(3-1)=1 lcg5-rlog2=1 ioq10=1 ecuación inicial. Luego, comprobamos la respuesta. Reemplazamos x=9 en la ecuación inicial. log2(25-9)=4 log216=4 4=4 A p l i c a c i ó n 7 Resuelva la ecuación log(x+2) +log(x-1)=1. R e s o l u c i ó n Primero se combinan los términos logarítmi cos usando los teoremas de los logaritmos. log(x+2) +log(x-1)=1 log(x+2)(x-1)=1 Luego escribimos la ecuación en su forma ex ponencial. (x+2)(x-1)=10 a/2+x -2=10 x2+x -12=0 (x+4)(x-3)=0 x = X o x=3 W L ¿Cómo resolver ecuaciones logarítm icas? A plicación 8 Resuelva la ecuac'ón ,'¡ v — . yr ---- " n T D iv j — Resolución Se aísla ei término logarítmico. 4-r3log(2x)=';3 3log(2x)='l3-4 3lcg(2x)=9 log2x=3 Escribimos la ecuación en forma exponencial. 2x=103 Despejamos la incógnita. 2x=1000 x=500 /. CS ={500}
- 521. Comprobamos la respuesta. Reemplazamosx=500 en la ecuación inicial. 4+3log2(500)=13 A p l ic a c ió n W Calcule mn+nmsi iog3(n3+l) = 2 y |ogs 125=5-m . 4+3 loglOOO =13 4+3-3=13 13=13 A p l ic a c ió n 9 Si n es un número entero positivo y 2i°32;:í- 3=log22+logp4+log28+...+logn2i halle el valor de n. Re s o l u c ió n De! dato 2lc929-3=Iog22+log24+ldg28+....+log22/ 9-3=1 +2+3+...n n(n +1) 2 12=n(n+1) n=3 Re s o l u c ió n Nos piden mn+nm. Datos: * log3(n3+l) =2 * logs125=5-m En el problema log3(n3+l) =2 n3+1=32 n3+1=9 n3=8 n3=23 -+ n=2 Además log5 125=5-m 3=5-m m=5-3' — > m=2 Reemplazamos en lo que nos piden. /. mn+nm=22+22=4+4=8 L e o n h a rd E u le r Euler nació en Basilea en 1707 y comenzó sus estudios universitarios a los 13 años. En 1723 recibió el título de maestro de Filosofía. En 1726, a los 19 años de ed2d, finalizó su doctorado y en julio de ese año aceptó el cargo de profesor de Fisiología en la Academia Imperial Rusa de las Ciencias, en San Petersburgo, donde vivió 15 años. En 1741 acep tó un cargo que le ofreció Federico II el G rande, rey de Prusia, en la A cad e m ia d e Berlín. V ivió veinticinco años en Berlín. Euler es considerado como el matemático más importante del siglo xvm y uno de los más grandes de todos los tiempos. Trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Fue uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Si se imprimiesen todos sus trabajos (muchos de los cuales son de una importancia fundamental), ocuparían entre 60 y 80 volúmenes.
- 522. . m m. °V =7T°9b ogba-ogQ C'ogcm=ogbm _,___ _1 _____._ logfa x-logx¿> = 1 > ogcMogfa x=logcx ■ W i¿ . Y W - & COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
- 523. R E SO L V E M O S J U N T O S Problema N.‘ 1 Exprese en forma logaritmica 'as siguientes formas exoonencia.es: a. r= 8 i b. r í = U J c. 8~2=- d. 83 =4 Resolución Para estes casos, usaremos ei siguiente teore: loo^N=x « - = ► N=bx forma exponencial a. 3“=81 forma feoarímica iCO-81=¿ d. 83 =4 Problema N.‘ 2 :ca-4 =- - 3 2 Resolución Para estos casos, utilizaremos el siguiente teorema: Exprese en forma exponencial las siguientes formas logarítmicas: a. Icg216=4 b. lcga7=ó c. !cg3243=5 1 d- log4[ _ |=-2 logbN=x N=b' torma logaritmica forma exponencia a. .00-16=— Ï6=2J * - b. !ogc7=ò 7=aD e. leg,243=5 243=35 c. lc g ,[— =-2 -1 = 4-2 ' V16j io ( l ) 2 ■ ] , b. u ¡ Ípp _ j_ : Resolución v3/ 9 9 J Determinamos c. co i M II !cg: — =-2 a. log..121=2 ï 64 64 Problema N.' 3 Determine e: valor de x en las siguientes ex presiones: lGgx121=2 b. !cq-32=x c. loq ,x=; d. logr =4 121=;r -► 112=x2 x=11 b. Icg232=x 32=2’' 25=^lr /. x =5 c. !og,x=3 -= • x=43 -i x=64 d. log _81_ A 6257 < — = x 81 625 =x | l = X X —— 5
- 524. Problema N/ 4________________________________ ; c- 2109^32+7109^125 : a 5 Calcule el vaior de cada una de las siguientes !
- 525. Capítulo 12 Logaritmos Resolución Desarrollamoslas expresiones. a. log2(2x) log22-i-log2x 1+log^ b. log^íx-l) log ^ + Iog ^ -i) c. logbo2-x ^ ^ 2 . ■°gb° +^q¡^ 2log6a+log¿x d . lo g . a ogbG-og bc ‘ ogbo-2ogbc í „3.3 e . lo g fa P T c J 3 .3 •ogbp q - iog6c 'log^(p#-log6c 3 - lo g ó( p c ? ) - lo g 0c 3 [ l o g ó p + lo g d c y ] - lo g 6 c f. lo g p ,09p (i/a-yfb^) lo g p | o 4 - b A 3 lo g p a 4 + lo g p b A - o g Da + o g Db Problema N.‘ 5 Reduzca cada una de las siguientes expresio nes a un solo logaritmo: a. lcq_/77-;ca„n +lcq,.0 b. 2iog¿a-r3iog0p+1 c. 3¡oga(x+y)-2oga(x-y) d- (a2 - 35)-log¿(a-o) ‘ p rn Jü r'Q ^ Reducimos caca expresión, a. !oq.m-:o;n n-!oq.o nq„ — - og0p i m !33a - v n j b. 2logf c a-3;cg¿lp-í-1 log^+Icg^-rlog^ó ( 2 . 5 !cgba rp -b ^ N c. 3loga(x+y)-2log0(x-y) ■ cg3{x^ yp-[cg(x-y)2 ioq. (x ^ > : (* - y ) d- '09a(a2- 3 6 )- |09 j(0 _ 6) :°9b 'cSj. '- 'i O -oo v o -6 ; (o+6) (0-6) .0—0 3 g .(o + o)
- 526. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema N.‘ 7 Simplifique la siguiente expresión: log?64 log ¿ 8 log525 + log1000 log39'lo9 ^ 4 A) 8 D) -8 B) -1 Resolución Simplificamos la expresión. C) -4 E) 4 rl°9 i log264 , 2 2 V2. log525 Iog1000 •-log-,9-log ¿42 5 fzl 3'iog ! ( ®+____ 2 ± 2 3 --2-log,16 H r - * ‘ ? +1-8=-4 • Clave Problema N.‘ 8__________________ _ Halle el valor de lo g ^ si se sabe que logxy - 2 , logzx=3. A) B) 6 0 9 6 Resolución Nos piden log z. A partir de los datos log.y=2 -> y = .r logzx=3 — » x=z^ Además, y - ) C — > y = l z : i —> y = z z Reemplazamos en lo que nos piden. log z =log , - z =!og az - > z^-z 2' C la v e Problema U.' 9_______________ Reduzca la siguiente expresión: log73-log714-lcg76 A) 1 . B ) 2 C)3 D) 4 E) 5 Resolución Reducimos la expresión. log73+log714-log-6 ? log7(3-14)-log76 i r 3-14^ S — ) Clave E) 26 log77— 1
- 527. Capitulo 12 Problema N.'10 Problema N.‘ 11 Simplifique la expresión/ ¿Cuál es el valor de log45243 si log35=x? J = (log510-I)(log412-1)-Iog35 5 4 A) x +4 B) x +3 C) x +2 A) j B) 3 C) 4 D) A x +5 E) — m x +3 D) 2 E) - 3 Resolución Resolución Para este caso, haremos uso de la siguiente propiedad: logco=1 En el problema J = (log510-l)(log412-l)-log35 7= (log510-log55)(log412-iog44)-log35 J = f ^10^V i°g5 j j io g 4|j ])-|0935 ; =log52-log4/-lo g ¿X Aplicamos la regla de la cadena y se obtiene d=log42=log222 7= t .|0g22 Clave Para este caso, haremos uso de la siguiente propiedad: logc¿V ogbN = logcb En el problema . _ log3243 log-r243 = — ----- log345 — » !og33:) 5-log33 log35-3“ log35+log33¿ 5-1 = 5 x + 2 lo g 33 x +2 Clave Problema N.* 12 Si log182=o, halle el valor de log,s27 en térmi nos de a. A) 1-0 B) -d -o ) C) D) - (1 + 0 ) 1+0 ~2~ E) 0 -1 Resolución Nos piden log1 827=3log1 g 3. Dato: log1 Q 2=o (*)
- 528. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Recordemos que log^o=1. En el problema logl818=log182-32 1=logl82+ log,s32 1=logjg2+2logl83 1-o=2log133 1-a i a - r - =l°9i83 Luego en (*) 3log1g3= 3 l 2 =- 0 - a ) : Clave Problema N.° 13 Si yA=logi — i-2 Io g V16 J ,9 •loa _32_ 243. calcule el valor de antilog (4). A) 2 D) 7 B) 0 C) -2 E) 0,5 Resolución Primero hallamos 4. 4 =log 75 7 fc 2log - +log — 16 J W V243 32 ( 7c'N ( 75^ 4 =logl — -log — +log y lio J v 81 ; ' 32 " .243^ 75 a A =i o g ! f v 81 +loa f 32 ^ .243 ) A - log f 75 -81" 4 =log — lS-,25 3-81 ■floa 32 243 16 ■ lo a'3 2 ^ . 243; 4 =log r 2 4 Í 32 " 16 ¿43 4=log2 antilog(4}=104=10ag2=2 Problema N.‘ 1A Halle el valor de Q. Q= ( 1 > 1+Icg, 35 ■log,70 Clave A) log,3 D) 1 B ) 0 C) -1 E) log,18 Resolución Hallamos el valor de Q. Q = Q= 1 , log22 +log235 1 ' ■log-,70 log,70 •log-^TO 775'n 75 4 = |og U f -'° g - +iog v 16 / v 9 ; 32 243 Q=1 Clave
- 529. Capítulo 12 Logaritmos Problema N/ 15 Halle el valor de P. P = -----1 -----+■ 1 1 A) 2 D) 1 1+log235 1+log514 1+log710 B) 3 C) 4 E) 5 Resolución Para este caso, usaremos las siguientes pro piedades: • log0a=1 1 logbo =logab En el problema 1 P=, 1 log22+log235 log55+log514 1 +- P = 1 1 ■ +:---- — +■ log77+log710 1 log270 log570 log770 P=log702+log705+log707 P=log702 ■ 5 ■ 7=log7070 P=1 Problema N.' 16 Clave Si se cumple que y!og081=38 determine el valor de log7ó. « 4 D) 7 B) 2 C) - 2 E) 1 Resolución Nos piden log7ó. Dato: y* j ° 9 b ñ} = 3 8 sY°9¿?7 =38 (3-),09-7 =3a _ 3 ^ * 7 =33 -> 4logò7=8 -» log07=2 .• log7b=— - — =— y ' lo a,7 2 -'O , Clave Problema N.* 17 Si log-,5=x y lcg2343=9y, halle el valor de ia expresión !og-635 en términos de* y y. A) X +y B) X “ y 2 2 o x - 3y D) X " 3y 2 E) X-,3y 4 » Resolución Nos piden log1535. Datos: log25=x a log,343=9y Lo que nos piden se puede escribir como log1635 log ,35 2M 7 -log235 1 (log25+log27) (*) i3
- 530. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Del dato log25=x; log2343=9y log273=9y 3log27=9y — » log27=3y Luego en (*) 1 1 l°g1635 =t (1o92 5+l°g27) =-(x+ 3y) , r x +3y • • lo9i635 =— r 21 : Clave • Problema N.* 18 determine el valor de log2j — A) 1 - i Resolución Nos piden log- B) 0 C) -1 B ; (*) Primero hallamos el valor de A. A =log242+log243+log2420- log245 i A =log242-3-20-log245 4 2-3-,2(P A =log24 4=1 v X =log2424 à Luego, hallamos el valor de B. g =log36+log39-log312-¡-Icg32 Si se sabe que A=log242+log243+log2420- log245 fí=log36+log39-log312+log32 5 =log36-9-log312+log52 8 =log; 8 =log3 -> B=2 "o jp <12 v jo-9*2^ f!og32 ) Finalmente en (*) =log39 A i 1 log2| - j =log2 - i=log22' 4 * • log2 - =-1 Problema ____________ Si x > 1, simplifique la expresión J. B) 1 Clave * > ! o, f C) 3 ~ 10 Resolución Simplificamos J. 7=logx (xyfx)+og ^ % /x J =logx x +logx r x +log r ifx2 7 =logx x +'logx x^+iog 1/7x l X J = i+ l+ f 2 = 1 + l+ í 3 3 3 3 , 7= * 3 : Clave 5
- 531. Problema N.' 20 Silog123=5, halle log128 en términos de 5. A) |(1 -b) B) |b - 1 Q í± £ D) 55+1 E} -5+1 Resolución Nos piden log-,8. Dato: log123=5 Lo que nos piden se puede escribir como log128=|cg1225=3log.22 (*) Del dato log1P3=ó, además, logl212 lo'g123+2logl22=1 5+2logl22=1 2log122=1-5 log122 = 1— b 2 Luego en (*) log128 =3log122 =3- ••• iog1 ,8 = |d - b ) 1-5 Clave Problema N.' 21________ Dado el sistema íx +y =20 | x - y =5 , calcule lo g ^ (x 2- y 2)3. A) 100 D) 2 B) 1000 C) 12.5 E) 25 Nos piden iofc(+-y2)3=l°g ¿ t i * 2 - y 2 v '° {iñ -> log13(x+y)(x-y)=logT020-5 /. iog100=2 Clave Determine la mayor solución de la ecuación ¡og(x2 - x +8) - logx2 =1. 8 9 A ) 9 - S ) 8 Q - 1 D) 1 ; E) 2 Nos pioen la mayor solución de la ecuación. Dato: log íx 2- x +8) - log x2 =1 Entonces Ioq(x¿ - x +s) =logx2+log10 Iog(x¿ - x +8) =log10x2 x 2- x + 8= 10x 2 10x 2- x 2 + x - 8 = 0 9x2+x - 8=0 9x -8 x 1 (9x-8)(x+1)=0 8 x = g ; = O Por lo tanto, la mayor solución es Clave
- 532. COLECCIÓN ESENCIAL Problema N.'23 Halle el conjunto solución de la siguiente ecuación: 1 log4(2-x)+ log x =—- 2 A) ó B) {1} C ) l 15l .8. D) | 1 | E) < f-1 18J 18J Resolución Hallamos el conjunto solución. log4(2-x)-rlogxx =- - log,(2-x)-¡-1 =—^ / o ■3 lo g ¿(2 -x) = - - -»• 2 - x =4 2 ; 4 4 Ì 2 - x = (22) 2 2 - x =2 i * ) ' 2 - x = 2-3 -> 2 - x =- . 1 15 2- r x , C S H f Clave Problema N/ 24 Si Xq es la solución de la ecuación 1+2logx-log(x+2)=0 determine el valor de x0. A) 1 B) 2 C ) i Lumbreras Editores Resolución Del dato 1 +2logx'-log(x+2)=0 log10+logx2=log(x+2) log10x2=log(x— 2) 10x^=x+2 10x2- x -2= 0 5* ' J x 2 2x -1 (5x-f2)(2x-1)=0 x = - - ; x = - x> 0, pues para x =- - no cumple. x = • Clave Problema IV 25 Halle el conjunto solución de la ecuación (logx2) -4 lo g x-8 . 1 A) 1; 100 3) {100; — ■ C) 10; — 100J l 100 °) E) {100; — 10 Resolución De la ecuación 2 ( logx2) -4logx =8 (2logx) -4logx-8=0 4log2x-4logx-8=0 !og~x-logx-2=0 logx -2 logx/ 1 '
- 533. Capítulo 12 (logx-2)(logx+1)=0 logx=2 vlogx=-1 x=102 v x=10_1 x=100 v x =— 10 CS={ 100; m i Problema N.’ 26 * i f ’i 1 J v-y ’ ! Clave Si 7x'l2+7x=100, determine el valor de E. E=x-log249 A) log16 D) log25 B) log23 C) log47 E) 2 ■ Resolución Del dato 7x+2+7x=100 7x-72+7x=100 49- 7x+7x=100 50- 7x=100 -> 7X=2 Tomamos los logaritmos en base 7. ' log77x=log72 x-log77=log72 — y X— log72 Nos piden x-log249 =log7X-log 249 £=log749 =2 Clave Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: log2(x2-5x) =log, (2x-12) A) {2; 4} B) {9;16} C) (3; 4} D) ó E) {1; 3} De la ecuación lcg2(x~ -5x) =log; (2x-12) x2-5x=2x-12 x2-7x-r12=0 x -3 x - 4 (x-3)(x-4)=0 x=3; x=4 Verifiquemos: x=3 en la ecuación log2(32-5-3J =log2(2-3-12) log2- 6 = lc g , —6 (no cum ple) x=4 en la ecuación l°g2(42-5-4) =lcg2(2(4)-12) log2-4=lcg2-4 (no cumple) Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. Clave Problema N.‘ 2S Resuelva la siguiente ecuación: log5(x+2) +log5(x-¡-3)=lcg2S4 A) {— 1; — 4} B) (-4) D) {-1} C) {1} E) l - l l 2
- 534. COLECCIÓN ESENCIAL Resolución Del dato log5(x+2)+log5(x+3)=log254 log5(x+2)(x+3) =log ¡-yfe ibg^(x2+5/-í-6)= log, 2 x2+5x+6=2 x2+5x +4=0 x +4 x ^ +1 (x+4)(x+1)=0 — > x --4 v x=— 1 (*) Verificamos x=-4 En (*) log5(-4+2)-rlog5(T 5+3)=log254 log5-2+log5- 2 =log,2 (no cumple) x — — 1 En (*) log5(-1 +2) +log5(-1+3)=log254 log51+log52=log52 log52=log52 c s ={-1) Problema N .*29 (sí cumple) Clave Resuelva la siguiente ecuación: 7 '+3_4-7x+1=90 A) {iog72} B) {log72— l} C) {log714} D) {log27} E) {log27 - l} Resolución De la ecuación 1' 3-4-7x'r =90 7r-73-4-7"-7=90 343- T - 28- T =90 315-7^=90 7^ = _90_ 315 r i ; Iog77* =log7í —) ■7) x-log77=log72-log77 x=loq72-1 CS={log?2-1j C la v e r* l I ._. •i n Problema X ’. 30 Resuelva la siguiente ecuación logarítmica: log3X-3=log5 x^ A) Í8; 1 } D ) i9; i B) -¡27; l C) {i; 0} 3j E) í i - l l (3* 3! Resolución De la ecuación logarítmica log^x-3= I093X2
- 535. 2 (log3x)^ — 2log3x — 3=0 A log3x ^ log^ 1 (log3x - 3) (log3x +1) =0 lo g ^ B v iog3x=— 1 x=33 v x=3_l x=27 1 v X —— 3 f i cs= l 27: i Clave Problema N.’ 31 ' . La percepción de la sonoridad 5 (en decibe les, dB) de un sonido con intensidad física / (en W/m2 ) está dado por í / ) 5 = 10Icg — VQ donde lQes la intensidad física de un sonido apenas audible. Encuentre el nivel de decibeles (sonoridad) de un sonido cuya intensidad física / es 100 veces la de lQ . Resolución Nos piden el nivel de decibeles. Dato: La intensidad física / es 100 veces lQ l es decir, /=100/0 Además 5 =10log f / 'o) fí=10log í 100/n 'o ; S=10log100 5=10-2 5=20 Por lo tanto, la sonoridad del sonido es 20 dB. La ley de Ebbinghaus o curva del olvido esta blece que si se aprende una tarea a un nivel de desempeño P0, entonces después de un intervalo de tiempo t, el nivel de desempeño P satisface la relación logP=log5Q -clog(t+1) donde c es una constante que depende del tipo de tarea y t se mide en meses. a. Despeje P. b. Si la puntuación de una prueba es 90, ¿qué puntuación se esperaría obtener en una prueba similar dos meses después y un año después? (Suponga que c=0,2). Resolución a. Nos piden despejar P. Dato: logP=logP0-clog(t+1) logP=logP0-log(t+1)c P logP =log— -— (t +1)c
- 536. - COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores b. Nos piden lo siguiente: • La puntuación después de 2 meses Aquí Po=90 y c=0,2. Luego en (*) 90 P =- (2+1)1 0,2 =72 Se esperaría que la puntuación 2 meses después sea 72. La puntuación después de un año En (*) 90 P = (12+1) 0,2 =54 Se esperaría que la puntuación des pués de un año sea 54. Problema N.‘ 33 R ed u zca la siguiente expresión: J = 1 1+log25 A) !og8 D) !og15 B) log5 C) log510 E) log7 Resolución Recuerde las siguientes propiedades: • log0o=1 1 logbo =ogab De la expresión 1 log22+log25 S = 1 log510 S =log105 5=log5 Clave n s in *í ar? Si log218=m, determine el valor de 2!og23+5. A) m Di m+4 B) m+2 C) m+3 E) m+5 Resolución Nos piden 2log23+5. (*) Del dato log218=m log22+log29=m 1+log232=m 1+-2logp3— m 21og23=/T7— 1 Luego, reemplazamos 2log23=m-1 en (*). 2log23+5=m-1 +5=m +4 ; Clave Problema N.* 35 Calcule el producto de soluciones de la ecua ción logx)O 9V-logx,-2=0. -» -1 A) 1 0 ~ D) 1000 B) 10 C) 100 E) 10"2
- 537. Capítulo 12 Logaritmos Resolución Dela ecuación logx'O9X-logx-2=0 logx-logx-logx-2=0 log2x-logx-2=0 Factorizamos por aspa simple. Iog2x-logx-2=0 logx . ' .. -2 logx'" 1 (logx-2)(logx+1)=0 logx=2 v logx=-1 Por definición de logaritmos, tenemos x-,=102 v x2=10 1 x 1x 2=102 -10_1=10 Clave . I ...............; •• % Problema N.* 36 Resuelva Iog3(5x+2)+colog3(x-2)=2 e indique el valor de log(2x). A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 6 Resolución De la ecuación log3(5x-t-2)+colog3(x-2)=2 log3(5x+2)-log3(x-2)=2 Por propiedad de logaritmos, tenemos ^5x +2 Í log, V x - 2 =2 Por definición de logaritmos 5x +2 x - 2 =9 -» 5x +2 =9x-18 20=4x 20 =x Luego, x-5. Nos piden Iog(2x)=log10=1. log(2x)=1 Clave •fe | Halle la solución de la siguiente ecuación: ant¡log2(x-5)=3colog916. A) 1 D) 7 B) 3 C) 5 E) 9 Resolución De la ecuación antilog2(x-5)=3col°9915 por definición de antilogaritmo y cologaritmo, tenemos 2- X 1 — log916 Luego 2 * - 5 _ 3-log34 2*-s_ 3|og3 4'1
- 538. COLECCIÓN ESENCIAL Por identidadfundamental, tenemos 2X-5=4~1 -> 2x_5=2“ 2 Luego x-5= -2 /. x=3 ; Clave Problem a N.° 33 Si ; 7X =5 í 5y =3 ! halle el valor de xy. A) log73 B) log3 / C) log? D) log72 | E)" log37 7.^. ¡i Resolución Del dato 7X-S log77x=log75 -> x=log75 además 5^=3 log55y=log53 — > y=log53 Nos piden xy=log75-log53 xy=log73 Lumbreras Editores Clave
- 539. P R AC T I Q U E M O S L O A P R E N D I D O 1. Exprese en forma logarítmica las siguientes formas exponenciales. F o r m a F o r m a EXPON f.NCi AL LOGARÍTMICA 32=9 26=54 2. Exprese los siguientes logaritmos en su for ma exponencial. F o r m a / F o r .u§§^, % l o g a r í t m i c a f / j 'p -K .r.c log5125=3 " log264=6 log41024=5 |og15S = | 3. Determine el valor de x en las siguientes expresiones: a. logx144=2 b. log^M c. log216=x d. log5x=3 e. logx3=1 f. log51=x g . '°g, ( | ) = 4 h. logyj9/3 =x 4. Efectúe a. log3/27 b. log4+log25 c. log2160— logp5 d. Iog26-log215+log220 e. !og281 0 f. log(loglO,c0) 5. Use las propiedades de los logaritmos cara desarrollar las siguientes expresiones: a. log3(3x) b. log5 x(x-1) c. !og51 2 d. log5(/Afí-3) e. log3{xíy) g. ny¡3r2z 6. Use las propiedades de los logaritmos cara combinar las expresiones. a. log75+5log72 b. log12+^logl1-log2 c. log34 +logsfí-3log3C d. log7(x2-l)-lo g 7(x - l) e. log(a +£>)+log(a-¿>)-logc f. 2(log5x +2log5y-3 lo g 5z}
- 540. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 7. Si logxa=2, halle el equivalente de log (gx)¿. • : 1 2 . Si log(log(x+ 2))= 0, haile el valo r d e x . A) 4 D) 6 B) 2 C) logx2a E) G 8. Si log(x3-y3)=o, halle el equivalente d$ 6(logx+logy). A) -6 D) 2o B) 6g C) -2a E) 9a 9. Halle el valor de x en la siguiente ecuación: log2(7x-1)-log?(3x-i-5)=1 A) 0,57 B) 1 1 1 D) 1 1 Q í E) 5 10. ¿Cual de las proposiciones es falsa? Considere que los logaritmos están bien Al x-2y=0 definidos. B) x-yc=0 A) log0o=1 C) x-y=2 B) loga(f- n D) x+y=2 C) logG 1=0 E) x-y=100 D) log0(í>+c) =(log0b)(logac) 15. Calcule el val E) lo g i? l =log0fa-!oga c í B/qa lo9o,25| 11, Si Iog5=0,699, determine el valor de Iog50. C) 1,699 E) 0,5223 A) 1 B) 2 C) 0 D) 10 E) 8 Halle una se 5¡ogx-3-:c A) ¡2000 D) i jo _ í * ” T'w> J 14. Si x y y son números reales positivos co: . , , loqx ^ y * 1, ademas, —— =2, ¿aue se cumple? logy ¿_ 7 A) 1 b> C> I E ) f A) 16,99 D) 0,301 B) 6,99
- 541. 'i6. Determíne e!vasor de la expresión I°g2(log38l)-riog35~lo55? A) 1 3) 2 C) 3 D) -3 E) O Determine el valor de !og,y si se cumple qi¡ l09xy+l09yx _13 ogxy~ogy x 12 Á) 2 B) 7 Q 5 D) 3 E) 12 17. Reduzca la siguiente expresión: log25log^ 8 log3V3 A) 2 3) 3 C) 6 D) 7 E) 9 16. Calcule el valor de log¿a-rlogc¿ si se sabe que ogcbo=2. A) 3 B) 2 C) - - 2 » - I E) 4 Determine el valor aproximado ai centesi- ^ xr mal de n si se sabe que ^ j =2. Considere que Iog2=0,30. A) -0,43 B) -0,41 D) -0,4 C) -0,44 E) -0,47 20. Si se cumple que 2*=18 a 2>=12 halle log23 en términos dexyy. A) x+y+l B) jr+y-1 C) -x+y-1 D) x - y - 1 E ) x-y+1 Simplifique la siguiente expresión: log£78-Iog4 G2-log716 Iog2-log¿ 10-!og7¿ b A) 2 3) 7 Q 8 D) 3 E) 12 3 Silog2c ! vne-Iog-(1— Iog71) =!cg1(0,5), y _ 2 calcule la suma de cifras de m~. r^ ; A ):2. B) 4 Q 5 :.D}-9 E) 13 Reduzca lasiguiente expresión: log2781+Iogl2525-log^(0,25) A) 4 B) 6 Q 7 D) 2 E) -1 25. Si {z Q } es el conjunto solución de la ecua ción log3z-log,2=3, calcule ./z0+10. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
- 542. COLECCIÓN ESENCIAL 26. Silog2(x-1)=5, halle el valor de (x+5). B) -35 A) 38 D) 41 Q 32 E) 36 Halle las soluciones de la ecuación log(x2-15x) = 2. A) 15±V233 B) -2 0 ;-5 C) 20;-5 D) 5;-20 E) ±20 28. Resuelva la ecuación / - ~ 4' f ■. Iogx=--log16--l-log8+ ,.... _ i "J í A) {18} D) {30} B) {20} Q {10} E) {25} % : » ' 29. Resuelva la siguiente ecuación: 4log2(x-D=g A) {3} B) {4} Q {5} E) {4;-2} 30. Halle la suma de soluciones de la siguiente ecuación; log2x=5logx-6 B) 11 D ) I A) 10 D) 1000 C) 100 E) 1100 Lumbreras Editores 31. Al resolver la ecuación ¡ogx=2-og¿x, se obtiene como conjunto solución {m; ni), donde m> n. Calcule Ico A) 1 D) 4 ( 2 m n J B) 2 Q 3 E) 0 32. Determine el producto de las soluciones que presenta la siguiente ecuación: iog2(x~ -l) =!og2(x+5) A) -2 D) -5 B) 4 Q -S E) 8 33. Determíne la solución de la ecuación io§4(2-x) - lcg¿<=-cg.2. .1 ' " f/ 1 & V *e: B) ¡2 Q 15 £ E) 1 8 34. Si xQes so’ución de la ecuación log^(4x-9)=2 calcule el valor de Iog,5(4x0+9). A )1 2 D) 3 B) 1 Q ! E) 2 35. Determine el valor de x en la expresión 3!og2X+2!og4x +4logsx=16. A) 32 D) 8 B) 16 C) 27 E) 36
- 543. 36. Algunos biólogosmodelan el número de especies S en un área fija A (como una isla) mediante la relación especies-área logs=logc+/dogA donde c y k son constantes positivas que dependen del tipo de especies y el hábitat. a. De la ecuación, despeja S. b. Use el inciso “a” para mostrar que si k=3, entonces duplicar el área incrementa el número de especies ocho veces. 3o. Analice y determine si las proposiciones son verdaderas o falsas. Considere que todos los logaritmos existen. a. log^ x-yH ogyt-logjy b. log f x ) _ log* yy ¡°g y r a ^ c. log3 — =log3o-2¡og3ó b ' ) - 57. Wilfredo Pareto (1848-1923) observó que la mayor parte de la riqueza de un país la poseen algunos miembros de la población. El principio de Pareto es logP=logC-JldqgW donde W es el nivel de riqueza (cuánto di- . nero tiene una persona) y P es ei número de personas en la población que tiene esa cantidad de dinero. % :> C . v » • v *-v’ a. Resuelva la ecuación para P. ~ -v ' b. Suponga que K=2,1; C=8000 y IV se g%Jf mide en millones de dólares. Use el ini- : ;•> ,h. -logmmm=rn ció para hallar el número de personas x f que tienen dos millones o más, ¿cuán ¡. -mili=lnx tas personas tienen 10 millones o más? d. log3z=ziog3 e. (logP)(logO)=IogP-f íogQ f. — ^ ~ = l o g x - ! o g y logy^ g. (log, 17)* = xlog, 17 C l a v e s 1 V 6 * 1 1 C i 16 2 • 7 D 12 E j 17 3 f c r 8 D 13 A 18 4 é . 9 B 14 5 : 19 5 « 10 n w 15 o ; 20 - 21 26 31 36 c 22 27 32 C 37 ü 23 28 33 38 24 29 34 i X 25 30 35 * Problema sin alternativas
- 545. Los modelos matemáticossobre redes se usan para modelar el tránsito vehicular, una red eléctrica o una red neurona!. Por ejemplo, en el estudio del transito vehicular, se toma en cuenta la circulación de los vehículos y la interacción entre los conductores estableciendo relaciones entre el flujo, la velocidad y la densidad para planificar, diseñar y usar las ca rreteras. La solución de este tipo de problemas implica plan tear sistemas de ecuaciones lineales que fácilmente pueden involucrar cientos o miles de ecuaciones e incógnitas. ¿ - •l itiiiC.... •; • t .. .'. • Conocer qué es un sistema de ecuaciones y saber qué significa resolverlo. • Conocer los métodos de resolución de les sistemas lineales de dos y tres variables. • Representar gráficamente un sistema lineal de dos ecuacio nes con dos variables. • Saber cómo resolver algunos tipos de sistemas no lineales. Los sistemas de ecuaciones se presentan en diversos proble mas de la vida cotidiana que involucren varias variables; por ejemplo, si el administrador de una empresa quiere asignar eficientemente labores a sus empleacos, para ello deberá re solver un sistema de ecuaciones. También están presentes en problemas relacionados con la matemática en sí misma. Es por todo ello que debemos conocer los diferentes métodos para resolverlos. P A R I S ^ • p ara , AM OR A SOFIA
- 546. S i st e m a d e e c u a c i o n e s ÜS'ÍO c Los sistemas de ecuaciones se pueden representar gráfica mente. Ejemplos (’x +y =8 l* - y = 2 1. 2. ¡x +y = 4 ¡x2-f-y2 =10 Los puntos de intersección re presentan las soluciones del sistema. No olvíde tgunos sistemas de ecua ciones no tienen solución y en tal caso se llaman siste m as incom patibles. 1. DEFINICIÓN Es un grupo de dos o más ecuaciones, con dos o más incógni tas en común, que deben verificarse a la vez. Ejemplos 1. ‘‘La suma de dos números es 8 y su diferencia es 2 simbó licamente se representa como j*-y = 8 i x - y = 2 Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas x y y. La idea es encontrarlos valores de xy y que verifiquen ambas ecuaciones a la vez. 2. "La suma de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 10” simbólicamente se representa como x +y =4 x 2 + y 2 =10 Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. 3. fx +y +z =2 2x + y - z =1 3x +2y-f z = 6 4. fy-i-y =5 x2 + y2 =13 y2 - 2y =-2 5. |x + y + z =6 yyz =5 à 5!
- 547. 1.1. S olu ció n de un sistem a En un sistema de ecuaciones con incógnitas x y y, la idea es encontrar el valor de x y el valor de y que verifiquen todas las ecuaciones del sis tema. El par ordenado [xr.y] es la solución del sistema. En caso el sistema tenga más de dos incógnitas, se seguirá esta misma idea para re presentar la solución de este. Ejemplos 1. En el sistema de incógnitas x y y x + y =10 - x - y =4 Debemos encontrar los valores de x y y que verifiquen ambas ecuaciones. Dichos valores son x=7 y y =3, como com probaremos a continuación. Í7+3 =10 [7-3 =4 Como se puede ver, estos valores verifican ambas ecuaciones, así que la pareja forma da por los valores x=7 y y =3, representada como el par ordenado (7; 3), es la solución de este sistema. Pero este sistema tiene más soluciones como se puede comprobar a continuación. x =2 . y = 3 ' x=-3 y =-2 x=-2 y=-3 22+32=13 Solución (2)(3) =6 (x;y)=(2; 3) (-3)2+(-2)2=13 Solución < (— 3)(— 2) =6 (x;y)= (-3;-2) (— 2)z +(-3)2=13 4 Solución (— 2)(— 3) =6 (x;y)=(- 2;-3) 3. En total, este sistema tiene cuatro solucio nes, las cuales son (3; 2), (2; 3), (-3; -2) y (-2;-3). En el sistema x +y =8 ■ x +z =7 y+ z =9 se puede ver que todas las ecuaciones se verifican cuando x=3, y- 5 y z=4. 3 +5=8 •3+4 =7 5 +4 =9 2. En el sistema x2+ y2=13 xy-6 se puede ver que x=3 y y=2 verifican am bas ecuaciones. 32 +22 =13 (3)(2) =6 Entonces el par ordenado (3; 2) es una so lución de este sistema. Así que la terna (x; y z)=(3; 5; 4) es la solu ción de este sistema. 4. El sistema ¡x +y =14 {xy =48 se verifica cuando x=8 y y=6. También se verifica cuando x=6 y y=8. Entonces los pares ordenados (8; 6) y (6; 8) son las soluciones.
- 548. Es el conjuntoformado por tedas las solucio nes de un sistema de ecuaciones. 1. En el sistema -x - 3 y = 6 x+ 2y= 5 x + y =10 x - y - 4 Se llama así cuando alguna de las ecuaciones del sistema no es lineal. CS={(7; 3)} Ejemplos 2. En el sistema x2 y 2=13 < y y = 6 - s -y~ =5 x + y =2 2. CS={(2; 3), (3; 2), (-2;-3), (¿3 ;-2 )} X 3. En el sistema x + y = 8 x + z =7 y + z = 9 CS={(3; 5; 4)} X, K YW Ì • ♦ j T ' / Un sistema de ecuaciones se llama sistema li neal cuando todas sus ecuaciones son ecua ciones lineales. ’ ¿í 4 /r % /?% X Una ecuación lineal con incógnitas xy y es aque lla que tiene la forma ^ ax-vby-c De acuerdo al tipo de ecuaciones que hay en el sistema, los clasificaremos en dos casos. Se llama así cuando todas las ecuaciones del sistema son lineales. Si tiene tres incógnitas, la ecuación lineal será de la forma ax+by-rcz = d En caso de que la ecuación lineal tenga más incógnitas, se sigue la misma idea. Explicaremos estos métodos tomando como modelo el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. íox +¿iy= c |/T)x +ny = p Las ideas que usaremos pueden extenderse a sistemas lineales con más ecuaciones o más incógnitas.
- 549. Capitulo 13 Sistemade ecuaciones 3.1.1. Por eliminación Consiste en lo siguiente: • Elegimos una de las incógnitas del sistema. • Multiplicamos una de las ecuaciones, o ' las dos, por los números convenientes, de modo que los términos que tienen a la incógnita elegida resulten con el mismo coeficiente, pero con signo contrario. • Sumamos las ecuaciones con el fin de eli minar la incógnita elegida. Como resultado obtendremos el valor de la otra incógnita. • Finalmente, dicho valor es reemplazado en una de las ecuaciones y así calculamos el va lor de la incógnita que faltaba. A p l ic a c ió n 7 Resuelva el sistema [2x +3y =16 |4 x +2y =24 R e s o l u c ió n Debemos elegir una de las incógnitas. Elijamos, por ejemplo, la incógnita y. Multiplicamos ambas ecuaciones por los nú meros convenientes. j2 x +3y =16 ... x(2) [4x +2y = 2 4 ... x (— 3) Ahora sumamos las ecuaciones j 4 x + 6 l =32 -X 2 x -4 y = -12 ¿ 4x-12x =32-72 -8x=-40 Para encontrar el valor de y debemos reem plazar el valor de x en una de las dos ecuacio nes del sistema. Reemplazamos x=5 en la primera ecuación. 2(5) +3y=16 10+3y=16 3y=16— 10 3y= 6 6 a y= 3 - y= 2 Finalmente, la solución del sistema, formado por x=5 y y=2, es el par ordenado (5; 2). Esta es, además, su única solución. CS={(5; 2)} A p l ic a c ió n 2 Resuelva el sistema Í3x+5y =17 [2x +3y =1 1 R e s o l u c ió n Elijamos la incógnita y. Multiplicamos por (3) la primera ecuación y por (-5) la segunda ecuación. Í3x +5y =17 x(3) [2x +3y =1 1 ••• x(-5) Se obtiene Í9x+15y =51 10x — 15y =— 55 Ahora sumamos. | 9x+15y=51 [— 10x— j)5y=— 55 - 9x-10x=51-55 -x= -4 x=4 Para hallar y reemplazamos x=4 en una de las ecuaciones.
- 550. Reemplazamos x= 4en la primera ecuación. 3x+ 5y =17 3(4)-i-5y=17 12+5y=17 5y=5 5 2 x - — - 9 -H 1 1 2a = 2é — y= y - hnalmente, !s solución £ Esta es su única solució: o — *_•. :r ordenado (4; 1). 52 11 CS={(4; 1)} { 52 _a solución es Q '<:;//= — i t 3 1 '~1Í/ A p l ic a c ió n 3 3 ? 3 Resuelva el sistema ii iiJ j j2*e < r -5y =S A p l ic a c ió n 4 [x-3 y= 6 Resuene eí sistema R e s o l u c i ó n ix-í-y-z=?j 0) Elijamos la incógnita x_ j •;x-f2y-rz=12 di) Multiplicamos por (-2} a la segunda ecuación. 2x-3y- z - 7 O H ) Í2x-r5y =9 x - 3y =5... x ( - 2 Re s o l u c ió n Este sistema tiene tres incógnitas. Eliminare- Luego, sumamos las ecuaciones. i .OS “ el 1 aS, 0 'j c . nos ia 'incógnita z, la i 2>f-5y=9 ¡y2x-oy= -12x 5y+6y=9-12 11y=-3 3 y= 1 1 R e e m p la z a m o s y =--- en !a primera ecuación. I » 2x+ 5y=9 2jf+5 | - - i =9 cual parece más fácil ce eliminar. Sumamos :as ecuaciones (i) y (lli). j x+ y-h|=10 l 4x-3y-z =7 ' 3x +4y=17 (a) Sumamos las ecuaciones (!l) y (ill). f x +2y +¿ = 12 12x+3y-/z=7 ' 3x * 5y=1R 0 )
- 551. De este modohemos logrado eliminar la in cógnita z y hemos obtenido las ecuaciones (a)yO ). |3 x -4 y =17 (a) ¡3x-5y= 19 (P) Hemos reducido el problema a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta es la idea a seguir cuando se trata de resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas como el de este oroblema. : Ahora hallaremos los valores de x y Restemos las ecuaciones ((3) y (a). y- 3Í+ 5y=19 ( B - ( a ) W , „ [ 3x +4y = i/ 5y-4y=19-17 — > v=2 Reemplazamos y=2 en la ecuación (a). 3x-j-4y=17 3x= 4(2) =17 3x4-8 =17 3x =9 -4 x=3 Tenemos x=3 y y — 2. Nos taita el va¡or de z, el cual podemos obtener reemplazando x y y en la ecuación (I). x=y4Z =10 3+2+z =10 5+z =10 -4 z=5 La solución de este sistema es la terna orde nada (3; 2; 5). /. CS={(3; 2; 5)} Consiste en lo siguiente: • Despejamos una incógnita (cualquiera de ellas) de una de las ecuaciones del sistema. • Luego, la reemplazamos en la otra ecuación. • Finalmente operamos y obtendremos los valores de cada incógnita del sistema. A p l ic a c ió n 5 Resuelva el sistema 2x 4 y =12 (I) 3x =7y = 29 (¡I) R e s o l u c ió n De la ecuación (!) despejamos la incógnita y. 2x 4-y=12 - 4 y =12-2x Luego, la reemplazamos en la ecuación (II). 3x +7y=29 Se obtiene 3x+7(12-2x) =29. La resolvemos y obtendremos el valor de x. 3x+7(12-2x)=29 3x484-14x =29 3x -14x =29-84 -11x =-55 Reemplazamos x=5 en la ecuación (I) para ob tener y. 2x 4y= 12 2 ( S ) 4 y = 1 2 104y =12 — > y= 2 La solución del sistema es (5; 2). CS={(5; 2)}
- 552. A p lic a c ió n 6 Resuelva el sistema 2x +3y =18 (!) ■ * 5 x - y =1 1 (||) Para hallara, reemplazamos y - 4 en 4 ecua ción (0. 2xe-3y= 18 2x-3{4) =18 R e s o l u c ió n De la ecuación (!) despejamos la incógnita x. 2x-¡-3y =18 2x =18-3y _ 18-3y .2 La reemplazamos en la ecuación (II). 5*- y =1 1 o 18- 3 y ’ 2 > =1 1 La resolvemos y obtendremos el valor de y. Multiplicamos por (2) para elim inar a fracción. f (2) (18-3y) * =(11)(2) $ (5) r18-3y , 2 -2'/ =22 2x-e12 =18 2x=5 — > x - 3 La solución dei s'scema es ■* c -/m. fy ^ iV ¿L> —1 LJ í r/J Consiste en lo siguiente: * De ambas ecuaciones, despejamos a mis ma incógnita, cue puede ser cualquiera ds ¡calamos !o oue se obtie' ecuación con :o qu cunda ecuac:ón. Asi se obtendrá el valor c de* sistema. se octene ce A p l ic a c ió n 7 Resue /a el sistema j 2x + 3 y = 4 « i ! 3x - y = 17 (si) 5(Í8-3y)-2y= 22 90-15y-2y=22 90-17y = 22 -17y =22-90 -17y =-68 -68 . y =---- -» y =4 7 -17 7 Re s o l u c ió n Despejamos la incógnita .v ce ambas ecua ciones. De la ecuación (i) 2jr-r3y =4 2x =4-3y _ 4 - 3y
- 553. Capitino 13 Sistemade ecuaciones De la ecuación (II) 3x-y= 17 3x =17~y Ahora igualamos. X = 4 -3 Z = 17± Z 2 3 ca resolvemos y obtendremos el valor de y. 4 -3y,_,1 7 + y 2 3 3(4-3y} =2(17 ~y) ' w« 12-9y= 34-r2y -9y-2y= 34-12 -11y=22 22 y = — -> y =-2 -11 Reemplazamosy=-2 en la ecuación (I). 2x+3y= 4 2x+3(-2) =4 2x-ó =4 2x=10 — > x =5 La solución es (5; -2). C5={(5; -2)} A p lic a c ió n 8 Resuelva el sistema Í3 x+ y =10 O) [2x +3y =17 (II) Resolución Despejamos la incógnita y de ambas ecua ciones. De la ecuación (I) 3x+y=10 — > y=10-3x De la ecuación (II) 2x-f-3y =17 3y =17-2x — > y = 17-2 x 3 Ahora igualamos. y =10-3x 17-2x 3 Resolvemos esta ecuación y obtenemos x. (3)(10-3x)=l7-2x 30-9x=17-2x -9x+2x=17-30 -7x=-13 r =z 13 jf = 13 -7- 7 Reemplazamos este valor de x en la ecuación (I) 3x+y =10 ^ + y =10 7 m 39 31 v =10---- — » v =— ‘w 7 ' 7 La solución es (x; y) =¡ — ; — v ' 1 7 7 CS= 13 31' V 7 ’ 7
- 554. 2.2 Propiedad fundamental de los sistemas lineales En los ejemplos anteriores, todos los sistemas lineales que hemos resuelto tienen una única solución. Sin embargo, hay aún otras dos po sibilidades que no hemos visto, las cuajes son que el sistema tenga infinitas soluciones o que no tenga solución. Reemplazamos x- 5 en la ecuación (I). x+2y=7 5-f 2y=7 2y =2 -> y= 1 La solución es {>r,y)={5; 1). Ahora representaremos gráficamente e tema. Cualquier sistema lineal de ecuaciones tiene solo tres posibilidades: • Tiene una única solución. • Tiene infinitas soluciones. • No tiene solución. Esta es la propiedad fundamental de les siste mas lineales. 3.3 Representación gráfica ' ; Un sistema lineal de dos incógnitas se repre- ; senta gráficam ente en e. plano cartesiano. Cada ecuación lineal del sistema representa una recta. Veamos los tres casos posibles. 3.3.1. Solución única Veamos el siguiente ejemplo: Íx-r2y =7 (I) ¡2 x - y =9 (II) Resolvemos el sistema con el método de eli minación. x+2y=7 2 x- y =9... x (2) [4x-p.y =18 5x =25 — > X— 5 En la ecuación (I) x~ 2 y-l 2 7 0 5 1 En la ecuación (II) 2 x -y = 9 0 -9 9 0 2 0 9 5 5 1 / 2 ¡te sis- x
- 555. Capitulo 13 Sistemade ecuaciones Graficamos ambas ecuaciones juntas. i -9» * En el gráfico se observa que ambas ecuaciones se intersecan en el punto (5; 1), el cual es la solución del sistema. C o n clu sio n e s • Una ecuación lineal de dos incógnitas re presenta una recta en el plano cartesiano. • Un sistema de dos ecuaciones con dos in cógnitas representa dos rectas en el plano cartesiano. • El punto de intersección de estas dos rec tas representa la solución del sistema. • Debido a que las dos rectas se intersecan en un único punto, decimos que el sistema tiene una única solución. ' 1 (*. y i / , ¿ 3.3.2.Infinitas soluciones V eam os el siguiente ejem plo: 2x +2y =10 (I) 3>r + 3 y = 15 (II) De la ecuación (l) 2 x+ 2 y= 1 0 Sim plificam os y se obtiene x + y = 5 De la ecuación (II) 3*+3y=15 Sim plificam os y se obtiene x+y=5 O bserve que am bas ecuaciones se reducen a la misma ecuación, la cual e s * + y = 5 . Cuando esto ocurre, el sistem a tiene infinitas soluciones. Esto es porque hay infinitos pares (x; y) que v e rifican la ecuación x + y = 5. Podem os llegar a esta m ism a conclusión si re presentam os gráficam ente el sistem a. En la ecuación (I) S6V 2x+2y= 10 m Y- j 0 5 1 4 5'? 2 3 1' *4t 3 2 3 4 1 2j 5 0 1i i : Oí 1 5 L X *
- 556. En la ecuación(II) Ü2-3x+3y=15 L Observe que ambas rectas coinciden en todos los puntos y esto es porque a! simplificar las ecuaciones del sistema se obtiene la misma ecuación. Dicho en otras palabras, ambas ecuaciones rep resen tan la m ism a recta, cuya ecuación es x+y=5, y cada punto de esta recta representa una solución del sistema. : Conclusión i Como la recta tiene infinitos puntos y todos i representan soluciones, entonces el sistema i tendrá infinitas soluciones. Veamos e! siguiente ejemplo: x+ y =5 l*+y=2 Restemos amoas ecuaciones. v +y = 5 ' 0 =3 ■ Se obtiene 0=3, lo cual es absurdo. Este absurdo nos indica la imposibilidad de que ambas ecuaciones puedan verificarse 3 la vez. Esta imposibilidad significa que este sistema no tiene solución. Podemos llegar a esta misma conclusión si re presentamos gráficamente el sistema. En la ecuación (I) S£y x+y= 5
- 557. En la ecuación(II) < á'2: *+y=2 m m 0 2 2 0 • Graficamos ambas rectas juntas. En un sistema mea1ce ccs ecuaccres cc dos incoar,cas ax+by = c D 1 l m x - n y = d / -/V V _ j § F / u donde los ccericertas rr n , o ser císt'rtos c ¿H. cero, se cump.e :o s¡gu:ente H a. El sistema tiene única solución si > se'o si Observe que ambas rectas son paralelas y distintas, por ello no tienen ningún punto de intersección. Hemos visto que los puntos de intersección representan soluciones del sistema y el hecho que no tenga ningún punto de intersección significa que el sistema no tiene solución. b. El sistema tier.e infinitas soluciones S’ solo sí Conclusión Cuando el sistema está representado por dos rectas paralelas y diferentes, entonces el siste ma no tendrá solución. c. El sistema no tiene solución si v sc’o s
- 558. Cuando el sistematiene infinitas soluciones, su re presentación gráfica es una sola recta que representa a ambas ecuaciones del sis tema. Para que representen la'misma recta, cuando se simplifiquen, ambas ecua ciones deben reducirse a la misma ecuación, y eso solo es posible si los coeficientes de ambas ecuaciones están en la misma proporción, es decir, cuando a _ b _ £ m n p Cuando el sistema no tiene solución, las rectas son para lelas y diferentes. Por eso la condición es Ejemplos 1. En el sistema Í2x+3y=16 I 3x +5y =25 ^2 Obsen/e la siguiente relación entre ios coeficientes: 2__3 ____ 3^5 Entonces el sistema tiene solución única. La representación gráfica dei sistema sen dos rectas secantes que se cortan en un punto, el cual es su única solución. a _ b ^ c_ m n p • Para que tenga solución única, las rectas deben ser secantes, es decir, no de ben ser paralelas. Ahora, si a b . la condición —=— indica m n que serán rectas paralelas, para que no sean paralelas la condición debe ser — * —, m n con lo cual se garantiza que el sistema tenga solución , . única. ~x. 2. En el sistema 3x-r2y =10 JK, 6x +4y = 20 Se2 Observe la siguiente relación entre los coeficientes: 3 _ 2 _ 10 6 ~ ~4 ~ 20 Entonces este sistema tiene infinitas soluciones.
- 559. Capitulo 13 Sistemade ecuaciones Esto significa que ambas ecuaciones re presentan la misma recta, cuya ecuación es 3x+2y=10. Cada punto de esta recta es solución- cel sistema. V En el sistema f*+y=2 áq i j 2x+2y =10 2 2 1 1 _ 2 observe que - = 2 2 10 Entonces este sistema no tiene solución. Su representación gráfica son dos rectas paralelas y diferentes. 3.5 *< e c; . de Cramer Es un método que nos permite encontrar los valeres de las incógnitas en un sistema lineal que tiene solución única y donde el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. En un sistema de dos ecuaciones con dos in cógnitas que poseen la siguiente forma: fax +by =m cx+dy =n Tendremos • Determinante del sistema a < b A. = - c ú -b c r 'dI * Determinante respecto a x m <b n ' d =m a-bn • Determinante respecto a y a .m A.. = n = an- cm Si suponemos que Ar^0, se cumple que A p l ic a c ió n 9 Resuelva el siguiente sistema: Í2x+3y =9 |4 x -5 y =7 R e s o l u c ió n Calculamos x y y con la regla de Cramer. =(2)(-5)- (3)(4)=-22 =(9)(— 5)- (7)(3) =-66 =(2)(7)-(4)(9) =-22
- 560. COLECCION E5£J*OAt_ LumbrerasEditores _ueao ^ £ ; '- V V ,'V> U n d e te rm in a rte es un a c r q u e se cs'cu ; e c o m o a b '> :.r d Ejem plos |5 7 5 =cd- be _ _ Z: .-*i v— o — ✓ % > — 4- Cl Q ¡=(4>}{9)— (2)f5; =2{ rw. i-- . C El determ inarte de! setena está formado co r ios coeri cen tes de tas ~cógncas / y y. En e* caso del determinan te respecto a r, se cfct-e''e reemplazando la orrrers columna de- ’ A, por loscc-er»- oentes de! segundo bro del sistema. En el caso de detenrman- te respecto a y. se obtiene reemplazando la segunda columna del A, por ios coefi cientes del segundo mem- crc dei rstema A y = -66 = o A. -22 y = = z22 =1 y A. -22 ¡o tanto, ia solución es (x;y)=(3; 1). A p l ic a c ió n 10 Resuelva ei siguiente sistema: 2x +-9y =1 4x +3y =2 R e s o l u c ió n Calculamosx y y con la regla de Cramer. A , ¡2 9 !4 "3 1 . 9 2 '3 - (2)(3) —(4)(9) = — 30 =(D(3)-(2)(9)= -15 2 1 4 '2 =(2)(2)-(4)(1) =0 Lueao y = A... _ -15 _ 1 A, " -30 " 2 _ ^_y__ _0 _ _ o 7 A. -30 I t > i Per lo tanto, la solución es (x;y) = 0
- 561. Capítulo 13 Sistema de ecuacio nes 4. SISTEMAS NO LINEALES Un sistema no lineal se caracteriza por que al menos una de sus ecuaciones no es lineal. Ejemplos 1. J 2jf + y 2 = 1 - • • U + y =3 2. xy = 7 - . - . ,-r . | x - y = 2 3. |logx-rlogy=2 — l*+ y = 6 Este tipo de sistema de ecuaciones no tiene un método General de resolución, .^or ello vere- mos cómo se resuelven solo en aiaunos casos ■ m / particulares. ¿1.1. Sistema no lineal formado per una ecuación cuadrática otra iineai Procedimiento 1 De la ecuación lineal despejamos una de las incógnitas y la reemplazamos en la otra ecuación. 2. Resolvemos la ecuación que resulta de ha cer dicho reemplazo, la cual será una ecua ción cuadrática con una incógnita. 3. Calculamos los valores de dicha incógnita y los reemplazamos en la ecuación lineal para obtener los valores de la otra incógni ta, con lo cual el sistema quedará resuelto. A p lic a c ió n 77 Resuelva el siguiente sistema: x2 +3y =7 x+y =3 R e s o l u c ió n De la ecuación lineal, despejamos la incógnita y. x-i-y=3 y - 3 -x Reemplazamos y en la otra ecuación. 2 T ;r-í-3y=/ x2+3(3-x)=7 Operamos x2+9-3x=7 ¿r-3x-i-2=0 i x -2 x Xv -1 (x-2) (x-1}=0 x-2=0 v x-1=0 x =2 v x=l Reemplazamos estos valores de x en la ecua ción lineal para obtener los valores de y. Tenemos x+ y= 3. • x=2 -> y=3-2=1 • x=1 — » y=3-1=2 Por lo tanto, las soluciones del sistema son Ocy)={2; 1) y (x;y)=(1; 2). A p l ic a c ió n 12 Resuelva el sistema [xy =15 j x - y =2 Reso lu c ió n De la ecuación lineal, despejamos la incógnita x. x-y=2 — >x=2+y !
- 562. COLECCIÓN ESENCIAL Reemplazamos xen la otra ecuación. xy=15 (2+y)y=15 Operamos y2+2y=15 f + ly - 15=0 y : +5 yX-3 (/-5) (y-3)=0 y+ 5=0 v y-3= 0 y = -5 v y - 3 Reemplazamos estos valores de y en la ecua ción lineal para obtener los valores de x. Tenemos que x-y= 2. • y=-5 — » x-(-5)=2 -» x=7 • y=3 — > x-3=2 -» x=5 Por lo tanto, las soluciones del sistema son (x; y)=(7; -5) y (x; y)=(5; 3). 4.2. Sistema no lineal que se transform a en lineal Son sistemas nc lineales que mediante cambios de variable se transforman en sistemas lineales. A p l ic a c ió n 13 Resuelva el sistema 3 Vx - 2 +2sjy +1=8 • yJx-2 - yjy +1= 1 R e s o l u c ió n Hacemos los siguientes cambios de variable: • a =V x-2 • b = y[y +1 Reemplazamos o y b en e1sistema y tendre mos el siguiente sistema lineal: Í3o +2b =3 {o -¿7 =1 Resolvemos este sistema lineal con el método de eliminación. [3o-r2¿> =8 }(o-¿? =1) ... x(2) 3o+.2f} =8 [2o-2 ^ =2'* • 5a=10 — > o=2 En la segunda ecuación a-b=1 2-¿>=1 ¿)=1 Calculamos x y y. . o= J x -2 =2 -> x - 2 =4 — > x=6 • b =yjy-r 1=1 — » y +1 = 1 -> y=0 Por lo tanto, la solución del sistema es (x; y)=(6; 0) A p l ic a c ió n 14 Resuelva el siguiente sistema: l +— =1 x y - 2 x y - 2 R e s o l u c ió n Hacemos los siguientes cambios de variable: 1 • a = — x • b - _ L y - 2
- 563. Reemplazamos a yó en el sistema, y tendre mos el siguiente sistema lineal: 2a+ó =1 i 0 +80 =3 Resolvemos este sistema lineal con el método de eliminación. |(2o+d =1)x(8) |o +8ó =3 16o+.Sd =8 o+.8fí =3- 15o=5 1 -+ G— — 3 En la primera ecuación 2o-i-¿>=1 Calculamos xy y y-¿ i 7=5 Per lo tanto, ia solución de sistema es {x;y)={3; 5) Bteírrcfíi G a b rie l C ra m e r brí s e n lo , geeme- como Nació e! 31 de octubre de 1704 liante; a los 18 años preparó Dos años después dio cátedra en la tría y mecánica. Esto le permitió Bernoullí y Euler. » i i « A r T '/ v 'r c ^ r Í A Su obra fundamental se publicó en 1750 y trató sobre el análisis de curvas algebraicas. En ella enunció su regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales, la misma que ahora lleva su nombre Aunque es justo decir que r.o fue el primero en formular tales investigaciones porque Me Claurin ya las había utilizado antes. La historia suele ser capnchosa cuando atribuye nombres a resultados matemáticos, pues va-ios pueden llegar a conclusiones similares, pero las generaciones posteriores reconocen solo a uno ce e os 7¿; ^ el caso de Cramer.
- 564. SISTEMA DE ECUACIONES Sengrupos ce des o más ecuaciones con dos o más incógnitas que deber, verificarse a a vez. Solución de! sistema El par ordenado (jc,y) es se ución de un sistema ce ecuadores x y y si sus valores verifican todas !as ecuaciones de. sistema a a vez. Conjunto solución Es e. cemento cue a g c a a tecas ¡as so acones ce; s stem-. Sistem a lineal Sistema no lineal Es cuando todas las ecuaciones Es cuando 5 6~GS u-á son lineales. e-ruac en no ^r 2 M étodo de resolución • Por elírdnación Cuando está formado Cuando se • Por sustitución por una ecuación linea! transform a en un * Por igua'sclcn y otra cuadrática sistem a lineal _ Se descela umg mcócrKta c*¿í3r»C3*rb'‘D5 ¿s Propiedad fundamental t_ -U y dE ree""c!aza en .= ecuación Un sistema .'real tiere solo tres cuadrática. ■ jfi sistema rvea' cosibiüdades: • Solución única • Infinitas soluciones • No tiene sduclón Representación gráfica f ax+by=rr¡ y cr+dy^n y * y , . 2 r ? 2 • sc-’joon Cada c - " .; de 3 ree. es scIugcOl ^ 2 j - soLc-: Regla de Cramer ax~by=m cx*dy=n , . t ¡ . y .ilL - A,«0 * , ,y a, ;
- 565. Problema N/ 1 Resuelvael siguiente sistema: 2x+3y =7 4x-f5y =6 Íq 1 7 1 D N1 r. 17yi 8;-— B i 8;-— v 2 J 1 v 2JJ D) J 7 '8 Í I ' 8; Resolución Del dato (2x-í-3y =7)... x(5) (4x-i-5y =6)... x(3) 10x+15¿ =35 12x-r/5y =18 -2x =17 17 A' = — En la primera ecuación 2x+3y=7 Y 17") . 7 2 +3y =7 l -17 +3y=7 3y=24 -> y=8 La solución del sistema es (x;y)= ,cs.lí-2.-. ( 17 'I Q - - 7 »'8 l 2 ) » l ! ;tl 1 * “> i rOUlciTia P«. /. Halle x+y en el siguiente sistema: 3 x-2 y =10 2x +5y = 13 A) 10 B) 4 C) -3 D) 6 E) 5 Del dato (3 x-2 y =10)... x(5) ■ i (2x+5y =13)... x(2) Í15x - 10V =50 { 4x+10y =26 19x =76 -> x =4 En la segunda ecuación 2x+5y=13 2(4)+5y=13 -8+5y=13 5y=5 — > y=1 La solución del sistema es (x;y)=(4; 1). CS={(4; 1)} x+y=4+1=5 Clave 1 n „ u n m .. ti •-3 rrouiemo j*. d Resuelva el siguiente sistema: x +3 y - z =10 ID 2x +y +2z =6 (ID 3 x-2 y + z =4 (III) Clave A) {(3; -2; 1)} B) {(1; 2; 3)} C) «-1; 3; 2)> D) {(3; 2; -1)} E) {(-2; 3; 1)}
- 566. Lu m breras Ed ito re s Resolución Sumamos (i) y (Ili). x + 3 y - i =10 |3x-2y+ z= 4 4x+y =14 (a) Multiplicamos 2 por (l) y le sumamos (II). [2x+6y-2á = 20 2x+y+2z =6 »? 4x +7y = 26 (P) De (a) y (p) 4/+ y =14 u /+ 7 y =26 4 Resolución Sumamos (l), (li) y (W). x+y =6 4x-i-2z =4 4y +3z =5 E) " T -&J&- -6 y = -12 -> y =2 fe, VX ,£ ? ■ ■ ' ; : / ! 5x-5y+ 5z =15 5(x+y+z) =15 — > x+ y+ z =3 Como x+y=6r entonces En (a) 4x+y=14 4x+2=14 -+ x=3 En (I) x+3y-z=10 3+3(2)-z=10 í ¿ C " + %> v V ' % * S*r , ? % ' x+y+'z =3 X X . . í T '6+z=3 — » z=-3 < r,w En'W 4x+2z=4 4x+2(-3)=4 9-z=10 -> z=-1 4x-6=4 — » x =— 2 La solución del sistema es (x;y; z)=(3; 2; -1). En O H ) CS={(3; 2; -D) 4y+3z=5 Clave 4y+3(-3)=5 Problema N.‘ A 4y-9=5 -> Halle xyz si x+ y =6 (0 4x+2z=4 00 4y+3z=5 (lio Clave
- 567. Capítulo 1 3 Problema N.*5__________ Si el par ordenado (5; 3) es solución del sistema x +my =1 1 r?x-2y =14 . , m+n calcule------. mn Resolución Como (2; k) es solución — » x=2 a y-k Reemplazamos estos valores en ambas ecua ciones y tendremos 2(2)-3 k =m 3(2)+2/: =2/n-18 A> ! B) j Q - 4 4 2 D) 1 E ) ! Resolución Como (5; 3) es solución — » x=5 a y=3 En la primera ecuación x+my=1 1 5+3/77=11 — » m=2 En la segunda ecuación nx-2y=14 5/7-2(3)=14 5/7=20 -> n=4 m-ríi _ 2+4 _ 6 _ 3 " mn “ (2)(4)~ 8~ 4 Clave m +3¿ =4 2m -2 k = 24 Restamos ambas ecuaciones. |"m ~3k =4 [ /ri - 2 = 12 4*:=-8 -+ £=-2 Como y =2 — > y=-2 En (I) 2x-3y=m 2(2)— 3(— 2)=m — > m=10 k^rm --2 -10=8 Clave Problema N.‘ 6________________________ Sí el par ordenado (2; k) es solución de Í2 x-3 y =m (I) (3x +2y =2/77-18 (II) calcule /r+m. B) 4 C) 9 E) 6 Problema N.' 7______________ Sea (a; 3) la solución del sistema. 2x +y =c?+1 (i) 3x +2y =o+4 (II) Si a y p son positivos, halle la variación de a A) <4; 5) D) <2; 4) A) 7 D) 8 B) (2; 5) C) 0; 5> E) (1; 4>
- 568. Multiplicamos la ecuación(I) por 2 y le resta mos la ecuación (II). Ax-r2j/ =2a-r2 3 x -i-2 y = 04-4 x - a - 2 En (1) 2x 4-y=a 4-1 2(o-2) +y=a 4-1 2o-4+y=o +1 — > y=5-a La solución del sistema es (o -2; 5-a). entonces a=a-2 y f3=5-o. Como a y (3son positivos., entonces a= a-2 >0 — > o >2 [3=5-a>O — » o <5 Tenemos o > 2 a o < 5 — * 2 <o <5 Por lo tanto, la variación de o es (2; 5). Clave *■(% • "¿¿i'J'íÏS iv * Q . i L. c i í i i <* w Si el sistema '2x4-5/= 1 1 O ) 4x +/ =8 (II) x+ 2y= k (III) tiene una única solución, calcule k. A, — 3 » 7 D) 85 q IZ 9 E) 55 18 f c -*; i■ iF*r ‘ De (1) y (II) 2x4-5/= 11 ... x(2) 4x4- v =8 4^4-10/ = 22 • X 4x + / = 8 9 / = 14 ^ =T En (II) 4x-r/= 8 ■ 14 4 x - — =8 4 x = 8 - — i, o , 58 4 x = --- - 4 X = Q 29 18 En (1 1 1 ) X4-2y=k ^ 2 ¡ ^ W 18 V 9 i , k J - í 18 TOji.Cj.i-j í j.' j Si el sistema í(4n-f1)x4-7/ =4n |2n-r-3/ =9 es incompatible, calcule n+ 1 Clave A)! » ! c> f E ) I
- 569. Resolución Que sea incompatiblequiere decir que el sis tema no tiene solución y en un-sistema lineal esto ocurre bajo la siguiente condición: 4n+1 7 4n 2n ~3*~9 Calculamos el valor de n. 4n+1 _ 7 2n ~3 3(4n +1)=7(2n) 12ne3=14r¡ 3=2n 3 — > n =— 2 Debemos verificar que este valor de n cumpla la condición 7 4n 3^ 9 Reemplazamos n =- ■ 4 l f 7 6 —^— 3 9 Se observa que sí lo verifica, por ende, es correcto este valor de n. 1 3 2 13 ” n*+ n " 2 +3 6 Clave Problema N.° 10_________________ ___ ___ _____ Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto al siguiente sistema: ímx +2y =1 |8x +my =m - 2 I. Cuando m=201ó, el sistema tiene única so lución. II. Cuando m=4, el sistema tiene infinitas so luciones. III. Cuando m=-4, el sistema no tiene solu ción. A) VFV ' S) FW C) WF D) FVF El V W Verdadero única solución " ^ 8 ^ m O peram os m~ = 16 — 7 Esto significa que para cu e el sisl p h ? ‘so ga única solución, m puede ser oua’c valor real a excepción de - y - 4 . A sí que cu an d o m es ig u s a 2016, e! s: ma tendrá única solución, ya que este es diferente de 4 y - 4. Verdadero innnitas ,. , m _ 2 . 1 soluciones 8 m~ m - 2 ste- a.cr Reemplazamos m=4. 4 _ 2 _ 1 8 ~ 4 ~ 4 -2 Se observa que sí cumple esta condición, así que para este valor de m el sistema t eñe infinitas soluciones.
- 570. COLECCION ESENCIAL Verdadero No tienem _ 2 ^ 1 solución. ' Reemplazamos m=-4. -4 ¿ 8 - 4 -4 -2 6 _ m — n - T - — / -T ^ í l 4 / v 4 ¿ i — » m =~— 7 / ■ om = "_2 1 v z A 2 ■ Clave 2 2 5 Se observe cue sí curre e así cue para este vaio.' ce tiene solución. Problem a N.‘ 11 El sistema x —6y - m (o + 2 )x + 4 y = _ es compatible mdeterni ina: Prnhfons ’ ' ' 17 r (UULelíid ih . .¿ A ) f D) 14 B) * 1 R e s o lu c ió n Que sea compatible indeter o'r que tiene infinitas soleen bajo la siguiente condición: 1 _ 0 +2 4 7 Entonces —L_ =- - -> 4=-6 (o -2) 0+2 4 8 - 0 =' 2 esta cond'dón, m el sistema no -. so u¡ente s ; .e~ a - - l—i i— *— s ce una [a—1)>r+3y=5 Clave 2x - { b - 1)y = 2 r^ 'n lies /n” * * 1—r- -3iCUIc 0 £ i A ) f 3 i ü C ) - | o ) 4 E) | i/ RésoLudón Calcule cm. : Si tiene más ce una so oden y es un 5 J!0fTi3 i neal entonces necesariamente sen infinitas C) 21 soluciones. Y esto ocurre bajo :a s guíente E) 47 condición: o - l 3 6 2 _ b - 1 ~ 2 'nado quiere de- Entonces es y esto ocurre c -1 6 „ • -----= — — > o - i =a 2 2 — > G=, 6=o(ó-1 b-1 2 -» b =2 -i . -i 1 1 9 o +¿> = - +- = — 7 2 14 Clave
- 571. Capítulo 13 Problema N.‘13 El sistema x-¡-y =5 (O x+my =1 (ID m xV y =14 (III) es compatible determinado. Calcule x+m A) 18 B) 11 Q 15 D) 13 E) 12 Resolución Que un sistema lineal sea compatible deter- minado significa que tiene una única solución. Es decir, las tres ecuaciones deben verificarse para los mismos valores de xy y . De (II) y (III) x+my =1 mx-~y =14' (m+'1)x+{m+'1)y =15 (/r7+1)(x-y)=15 De (1) tenemos quex+y=5, entonces (m+1)(5)=15 1=3 — » m=2 Calculamos los valores .de x y y usando ias ecuaciones (I) y (II) de la siguiente manera: / + y = 5 +my= 1* (1-/T?)y =4 y = 1-m Reemplazamos m=2. 4 y= 1-2 — » y =-4 En (l) x+y=5 x-4=5 x=9 x+m -y=9 +2-(-4}= i5 Clave i Indique ei conjunto solución del siguiente sis tema: í 2x -r6 y =4 1- . :dx~ ü y = iO .A) {(t, t+3)/í eR} 3) {(p t- 3)/: e R} Q {(P ,2-í)/feR } D) ((p2-3r)/t€R } - {(' 2 - * ' ' Ì yllri 3 _ ' - R i Resolución Observe que ios coeficientes de ambas ecua ciones están en la misma proporción, es decir, 2 = 6_= 4_ 5 ~ 15 “ 10 Cuando esto ocurre, el sistema tiene infinitas soluciones. Ooserve lo siguiente: De (I) Zx-r 6y = 4 -» x-r3y =2 De (II) 5x+ 15y= 10 -> x+ 3y =2 Ambas ecuaciones se reducen a la misma ecuación. Cuando es as¡, para resolver el sistema se pro cede de la siguiente manera:
- 572. COLECCIÓN ESENCIAL Sea x=t. Reemplazamosx=t en !a primera ecuación y calculamos el valor de y. x+3y=2 2 -t r+3y=2 -» y =^ - ( 2-t^ Luego,, la solución es (;cy)=í t; -—1 i, donde : V 3 / representa cualquier número real. ff -y_J.' / CS-- t; - —- ¡i e R > i* 3 J/ j Clave Problema ¡SI.* 15 El sistema | 2x->r3y =n [4x e-my=10 tiene infinitas soluciones. Determine su con junto solución. A) {(5-o ;o )/o eR ) B) {(5-2c: a)/a e R) C) {(4-5c; c)/c e R} D) {(5=£ :« ) / « R j E) Resolución Como tiene infinitas soluciones, se cumple la siguiente condición: i - 2 - =— 4 m 10 Operando se obtiene m- 6 y c=5 Ambas ecuaciones del sistema se reducen a la siguiente ecuación; 2* +3y=5 C) Para resolver el sistema procedemos de ’a si guiente manera: Sea y=c. Reemplazamosy=a en (*) y calculamos e1valor Ge x. 2c-3y=5 2>:+3c=5 Zy=5-3o — ? c = u-uc Luego, ia solución es (x: y)= - - 2o ó ■ ; o conce c reo.-esenta cualquier número rea!. rf5 -3 c ; o a e R Clave . -Lkrv.a i'i/ L'C Indique el orático que mejor representa a! sis tema. f3r-r-2y =5 i x - 2 v =1 1 A) H A o * . V D) y 1 E)
- 573. Resolución Cada ecuación delsistema representa una recta. Hallamos los cortes con los ejes para ambas rectas. Recta «22: 3x+2y=5 * y Recta x-2y=11 X y 0 1 1 2 11 0 - Calculamos la solución de! sistema. 4^ =16 ->• x - A En la primera ecuación 3x+2y=5 3(4)+2y=5 -» y =- j La solución de este sistema es el pur el cual representa el punto de intersección de ambas rectas. El gráfico de este sistema es el siguiente: V'4 Clave Problema 11 , 17 El gráfico representa al sistema x - 2 y = -2 A P - Ax^m y-n . St- - , i O~rb calcule--------- . . m~n-f4 i . B) f C) 4 ii 11 11 6 E) 7 1 1 ÌÌ R e s o l u c i ó n En la recta Ax-rmy=n, reemplazamos los puntos (3; 0) y (0; 4), los cuales aparecen en el gráfico. Con el punto (3; 0): 4(3) + rp{0) =n -> n=12 Con el punto (0; 4): ${<jj +m(4)=n 4 m=n 4m=12 — > m=3 El punto de intersección de ambas rectas, el cual es el punto (a; b) como aparece en el grá fico, representa la solución del sistema.
- 574. Vamos a resolverel sistema para calcular ay b. | * - 2 y =-2 x(3) 4x +3y =12 x(2) Í3 x -6 ¿ = -6 |8 x+ /y = 24 ------ —-------- - iq 11x =18 -> x =— 11 En la primera ecuación x-2y= -2 18 o o 20 ---- 2y =-2 -+ y - — 11 3 J 11 La solución del sistema es a +b ( 18 20 , entonces a= I n ' 11J 18 , 20 38 1 1 ‘ 1 1 . 11 _ 2 4 3+12+4 19 11 1 1 20 11 Clave Problema N.’ 18 El gráfico Y* j TI v ! i • K , / , y . y i « 2 representa el sistema j 2x +5y =10 [2x +my =n Calcule m+n+k. C) 27 E) 25 Resolución Como las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución y la condición para ello es 2__5^ 10 2 m n Luego 2_S_ 2 m Para hallar k usamos el punto {0; k), que es el corte con e! eje / de la recta J 1 SBy. 2x+5y=10 2(0)-5£=10 -+ k-2 Para hallare?, usamos e; punto (0; 2k), que es e corte con e! eje / de ia recta Sk. 2x-rmy=n ¿@)+5{2k) =n 5[4)=r, -» n=20 m n ~,L=5+20 - 2=27 Clave Problema N/ 19 La solución del sistema mx +ny =10 (1) i px +qy =20 (II) está representada per la recta iTi / * Calcule m +n +p+q. A) 25 D) 21 A) 26 D) 18 B) 23 B) 18 C) 19 E) 24
- 575. Resolución Cuando una solarecta representa el sistema, es porque esta representa ambas ecuaciones y en tal caso el sistema tiene infinitas soluciones. En la ecuación (I), usamos los puntos (0; 2) y (5; 0) que aparecen en el gráfico de la recta & para calcular los valores de m y n. Con el punto (0; 2): rp{<3) +n{2)=10 — > n=5 Con el punto (5; 0): m(5) +p$)= 10 — > m=2 Luego, debido a que el sistema tiene infinitas soluciones, se cumple la siguiente condición: m _ n _ 10 / P q 20 | Reemplazamos los valores de m yn. 2 _ 5 _ 2 P Q 2 Operamos y se obtiene p=4 y g=10. m +n +p +q=2 +5 +4 +10=21 C/ove v■ Problema N.* 20 ____________________ Respecto al sistema fax +my =p [ bx+ny =q usando la regla de Cramer se obtiene 5 m x = 13 n 3 2 5 3 Calcule el valor de y. Resolución Con la regla de Cramer, el valor de x se calcula como x = P m I < 1 q n As " a m b n Del dato, tendremos x = p m a n m n a m b n 3 2 5 3 Igualamos y se obtiene p=5; q=13; a=3; b=5; m=2y n=3. Calculamos el valor ce y con la regla de Cramer. t é > a P - y O r- , D : b q 5 13 39-25 a m n O% 2 " 9-10 : b n 5 . 3 y=-14 Clave thlp En el sistema f(o +2)x+3y =5 [ x+ay =6 se cumple que las componentes de su solu ción son negativas. Determine la variación de a. B) <-3;0> C) (-3:1) A) ' 6 '1 C) 12 E) 15 » - * 4 A) -14 D) -11 B) 13 E) <-~;-3>
- 576. 5 3 50-18 50-18 Resolución Hallamosxy y con la regla de Cramer. ;Ol C t x = 5 a y= 0 +2 3 • 1 0 0+2 5 1 6 0+2 3 1 a (0+2)(0)-3 (0+3)(0-D 60+7 (o+3)(0-D Halle el número de soluciones del siguiente sistema. x2 + y2 = 29 (D xy =10 00 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 np-Qlución De (II) Las componentes de la solución del sistema son los valores de x y y. Estos valores son ne gativos, entonces xy=io -+ y = — En 0) 50-18 n x = -------------<0 (o+3)(0-1) . a ¿y .y. -r SiSSr « •* /f:*'. * X ■ ■ ■'"Kfrrg tf ■ - f l f | ; / '* = > ! » ■ - . x2+y2=29 ? ÍÍD Io x~+*-,+- / '=2¿ , f vX j -■y 0 e (-<»;-3) uy1; — 60+7 ■ kJ :| . ¡tr 5 , > . % y= (0+3)(0-1) •<0 V Intersecamos 0 -3) X i-'-l— í> * A.Vw 2 ,al-2S> r +100=0 -25 x2 -4 O r-25)Gr-4)=0 • >r=25 x=5 v x=-5 . x2=4 — ■ > x=2 v x=-2 En (II) xy=10 • x=5 -» y=2 • x=-5 — » y=-2 • x=2 — > y=5 • x=-2 — > y=-5 Las soluciones del sistema son: (5; 2), (-5; -2), (2; 5), (-2 ;-5 ). Por lo tanto, hay 4 soluciones. C /ave Clave
- 577. Problema N.‘ 23 Elsistema x 2 + y = m (|) . *+ y =5 (||) no tiene solución. Calcule el máximo valor en tero de m . A) 5 B) 4 C )3 D) 2 E) 1 Problema N,‘ 24_____________________________ Resuelva el sistema x 2 + x y + y 2 = 19 (I) x 2 - x y + y 2 = l (II) e indique la suma de todas las componentes de todas sus soluciones. A) 10 B) 0 D) 6 C) 26 E) 12 Resolución De (II) x + y = 5 — » y - S - x En (I) x 2 + y = m x 2 +S - x = m x 2- x + ( 5 - m ) = 0 vA Como el sistema no tiene solución, esta ecua- ción cuadrática no debe tener soluciones rea les. Eso ocurre bajo la condición A <0. Resolución Sumamos (I) y (II). x 2 + x 'U y 2 =19 x 2- l y ^y 2 - 1 " .• ,2x2+2y2=26 í ; x 2 +y 2 =13 Restamos (I) y (II). x f +x y + y j =19 y2-xy+ y2=7 2xy = 12 xy = 6 (a) (0) A = (-1 )2-4(1)(5-/77) < 0 1—4 (5 —/tí) < 0 1 - 2 0 + 4/7? < 0 De (a) y (P) x 2 -r y 2 =13 1 , x y - 6 4/77<19 — » 19 m < — 4 Se verifica cuando x - 2 a y=3, y también cuando Por lo tanto, el mayor valor entero de m es 4. x = 3 a y=2 x = - 2 a y=-3 x=-3 a y=-2 Clave
- 578. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Soluciones: (2; 3), (3; 2), (-2; -3) y (-3; -2) Por lo tanto, la suma de todas las componen tes de estas soluciones es (2+3) +(3+2)+(-2-3)+(-3-2) =0 Clave Problem a N.° 25 Resuelva el sistema 2015 2016 x + y x - y 2016 2015 =1511 x + y x - y y halle x2-^ . A) — 20 D) 16 =1520 ¿ , $ S g f J w - I V V J0& B) — 15 C) — 12 ^ V , % 1 o l yy ■ 25 ; Resolución Hacemos los siguientes cambios de variable: 1 1 =o y •= ó x+ y ' x - y Los reemplazamos en el sistema y tendremos 2015<3+2016b=1511 2016(3+20150 =1520 3031o+30310=3031 j303lí(o+ó) =¿03Í -+ o+ò =1 2015o+2016¿»=1511 2016o+2015¿»=1520 ; - a + b = - 9 — > a - b = 9 Luego resolvemos el siguiente sistema: o+¿> = 1 a - b = 9 Se obtiene o=5 y ¿>=4. Luego 1 c 1 o = ------= 5 — > x +y = - x +y 5 1* 1 b= ■ ->= 4 — > x - y = — ¿ te - rW 4 ,- y --i;/ y - I / f / • ti. d - v a fe - -c-r ^ y - y 2=(^+y)(^-y)= - ' ' ^5y / ? r U 1 v 4 20 Clave Problema N.‘ 2G Resuelva el sistema 10(x+y) =7xy 2(x+z) =5xz 5(y +z) =11yz y calcule xy z. (I) (ID (III) A) 1 D) 4 B) C) 5 E) fJ | OJ
- 579. Resolución De (I) 10(x+y)=7xy y +y = 7 1 1 _ 7 yy 10 x y"io De (II) 2(x+z)=5xz x + z 5 1 1 5 _ — — > — i— - — xz 2 x z 2 De (III) 5(y+z)=11yz y + z _11 2 +l _ ] 2 yz 5 y z 5 De (a), (P) y (y) — > 1 1 =Z x + y 10 1 1 _ £ ' x + z 2 1 1 = 11 ’ y + z " 5 / 1 1 11 v - + — + — x y z / 1 1 1 = 27 x y z 10 54 10 (a) (P) (Y) Reemplazamos (a), (p) y (y) en esta ecuación de la siguiente manera: 1 1 7 7 1 27 1 * —+—=— — » — +—=— -> z —— x y 10 10 z 10 2 1 1 5 5 1 27 —H — = — — > —+ — :- --- — ^ X z 2 2 y 10 1 1 11 1 11 27 ---1 ---— — — > —4— _ - -— — ^ y 2" 5 X r ~ D 10 y = 5 x = 2 xyz=(2)(S) = b Clave Problem a N.' 27 Resuelva el sistema x 2 + x 2y ¿ + y 2 = 49 (I) x + xy + y = 11 (II) y calcule ef mayor valor de x - y . A) 7 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2 Resolución De (II) x+xy+y=11 x+y=11-xy Elevamos al cuadrado. (*+ y)2=(11-xy)2 x2 -r-y2+ 2xy=121-2 2 xy +x2/ x2 + ^ = 121-24^ +x2y2 (a) De (I) X2 +x2y2 +y2=49 x2 +y2= 49-x2y2 (P)
- 580. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores De (a) y (p) 121-24x y +x^y2=49- / y 2 / x 2y 2 - 7 4 x y + 7 ^ = 0 x 2y 2-12xy-i-36 =0 '--------.--------' (xy-6)2=0 x y - 6=0 — > xy=6 En (I) x + x y + y =1 1 x+y+ 6=11 — » x+y=5 Luego, tenemos x y = 6 — > x +y = 5 x =3 a y -2 x —2 / y = 3 O f- y ) máx=3 - 2=1 * 1 C/ove Problema N,‘ 29 Resuelva el sistema x +>/x+y =5 (I) y + j x + y =10 (II) y calcule xy. A) 15 D) 16 B) 20 C) 10 E) 14 Resolución Sumamos (I) y (II). x+^/x+y =5 )* y + j x + y =10 x + y + 2 y j x + y =15 Como x + y = yjx + y , entonces ■ sjx+ y^ +2^]x + y -15 = 0 i N /x + y +5 I 3 V * + y Igualamos a cero. j x + y + 5 = 0. v <Jx + y - 3 = 0 y j x + y = - S v y ¡ x + y = 3 A.ab surd o x+y=9 En (I) x+ yx+ y =5 x +V i =5 x+3=5 — » x=2 En (II) y + J x + y = 5 y W 9 =10 y+3=10 — ) y=7 xy=(2)(7)=14 Clave
- 581. Sea el sistema 3x+ 2 y = 12 5x+ 3y= 19 Calcule x y. A) 8 D) 25 B) 9 Q 16 E) 27 La terna (cq ß; 0) es solución del sistema 2 x + y + z = 3 x + 3 y - z = 12 3 x - y - z = 2 Calcule aß0. A) - 6 D) 18 f a N i J p y / . B) 6 [ ~q 12 v I j J . 3. Si (3; 2) es solución del sistema ax+by = 13 |x+ (b+ 1)y = ISo calcule a + b. / -.-JT V # V i 5. Determine ¿ t2— ¿ > 2, de modo que el sistema (o-3)x+(ó-4)y=15 < 4x-r3y =5 tenaa infinitas soluciones. A) 48 D) 51 B) 30 Q 45 E) 56 Determine m para que el sistema m x + y = 3 * 5 x + ( m - T ) y =2/7? sea inconsistente. A) 3 .DÌ -3 -v 2 B) -3 V 3 r y s i í.:f C) -2 E) 5 'C Calcule n en el sistema. /"-A f h *-i-y+z =3 2x+ 3y-r5z = 4 4x +9/+25z =8 A) 3 D) 6 B) 4 Q 5 E) 7 A) 0 D) 3 B) 1 C) 2 E) 4 Determine X, de modo que el sistema lineal 14x+ 3y = 13 3 x - 2 y = 16 X x + y = 1 tenga solución única. B) 5 Q 6 E) 8 i: El sistema k x - 6 y = 5k+3p ( k - 4 ) x - 2 y = 4k+ 3 es indeterminado. Calcule p + k. A) 16 D) 24 A) 4 D) 7 B) 17 C) 18 E) 23
- 582. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores _____________ Si (m; n) es solución del sistema 4~s 7 - r x± -r y =1 v3 yj6 V3 V5 c - t=x — ¡= y= 6 W 2 Vio calcule mz. 13. ¿Para qué valores de m el sistema tiene una solución de componentes positivas? x.+y =4 - x - y = 2 m A) 1 D) 6 B) 4 O 9 E) 35 En el sistema lineal [2x - m y = 1 ¡x+ y =m se cumple quey <0. Si m eZ~ calcule xy. A) -1 D) 3 B) 2 r ' x •''•'y ... i 1 % ? V q - fv ..¡¿5 * -^ ;r /S?;: "«a* . y':'- A) m > -2 B) m<2 D) -4<m<4 Q -2 < m < 2 E) m>4 Si el sistema 7x-3y =5 <m x+ ny= 5n 2 x + 4 y = 16 tiene solución única, calcule m/n. Q -1 E) 1 V v k p-' El sistema de incógnitasx y y nx +(m+n2)y =m-1 ■< x+(n-2)y =n tiene más de una solución. Calcule m2+n2. B) 1 i. A) 2 B) 3 1 D) f j j &tH X.x”i J Resuelva i,- ' •i t W 4 •2- W 1 11 X v/" x+ 2'y x + y 14 / < ; S 3 , 5 _ 47 x + y ’ x + 2y 14 A) 13 D) 8 Resuelva el sistema Í ox+3y =5 2x+oy =3 y calcule (x+yXo2^ ). O 20 E) 5 y calcule xy. A) 2 « i ® i ° i « 5 :5. Resuelva yjx+y +y]x-y =5 2^x +y +3yjx-y =1 1 y calcule x2-y2. A) Sa-19 D) 8 0 -I B) 80-17 Q 80+19 E) 80+1 A) 5 D) 15 B) 12 Q 6 E) 16 lW k
- 583. Capitulo 13 17. Representegráficamente el sistema 2*-e4y =5 x - y =6 A) B) *9. La recta 5? Q D) i.7 La gráfica E) / » •* < "N : i V * ¿átP / y * • > " V " 'enrásente a solución a x - b y = '2 m x - n y = '.z Oa'cuie c - z - m - n . ce s'Sterra A) 10 D) 13,- _ _a créñca *. > L f > , c y o representa el sistema 2x +my =1 1 nx-3y =6 Calcule mn. B) 7 C) 8 E) 10 representa e sistema [mx -i-ny=6 2 1 j ûx T b y —12 &2 Si se sabe cae S B J I S - . ca’cule m-n-rk Q-rb - I D )! s>! a - E ) f 3 A) 16 D) 6 fj i
- 584. representa el sistema y- x = 3 ■ x + y =7 a x + b y =12 Calcule a + b + n . A) 20 B) 9 D) 18 E) 21 22 El sistema x + y = 4 ■x + 2 y = 5 x - y = - 1 * v v 'i está representado por la gráfica 4 Calcule la suma de los componentes de los puntos P, Q y R. A) 6 B) | C) D) - E) 11 2 23. En el sistema m x+py = a nx-ray = b con la regla de Cramer se obtiene m 10 n 3 y= 7 3 2,, 6 C=!cu!e2ü± 2 z£ )l b)y „y í W A>? » 5 » I Q 7 E) 1 2- El sistema [m x-(m + 1)y = 2 [ ( / 7 i- 1 ) x - / 7 iy = 1 tiene una solución cuya primera compo nente es positiva y su segunda componen te es negativa. Determine la variación de m . A) < 1 ; +«>) B) <2;+=o> q a 2) D) <-<»; 1) vj ( 2; +<») E) (0;+cc>
- 585. S x yy son reales positivos, tal que el sis tema " J x + 2 y fÿ = 8 ' x - 4 y =-32 x + y = a Dado el sistema Í x ~ y - r I r / ^ , vx-rl-^/y-rl V— X-re -— yjy ~ i - 4 presenta única solución, calcule cxy. siculi 2 i r i A) 368 B) 133 D) 408 Q 4-63 A) 52 3) -60 Q -25 E) 555 D) 55 E) 42 El sistema x2 -i-y2-> -z2=2x-r3-a " x = — y = — z x =yz x ! presenta solución ùnica; Calce-te e! menor valor de a. A) 3 B) 2 Dado el sistema 0 ^y-r-22 x-r2 = —------ y + 3 l r - 2 calcule y jx y - 1. ( I ' .C) "4 ' r ? 2 x~-y - =1 -{ y 1? y -l. v —ryj , f ----- ! J p rs s e n ta solución única. Calcule la de valores de m. A )’ £ B) 0 o 2 ■ i 1 C " I PA' A E) -1 ■ Resuelva e; sisteme xy+2x-i-3y =19 •xz+5x-r3z =30 ,y ¿ + 5 y - 2 z = 35 y calcule x y z . A) 2 B) 3 Q 4 D) 5 E) 1 A) 15 D) 20 B) 24 Q 32 E) 30 I 3Wp ~ 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 1 1 15 4 8 12 16 17 21 25 29 18 22 25 30 19 23 27 20 24 28
- 586.
- 587. i: pcU d ^ AM O R A S O F I A En 1946 comenzó e! largo periodo de la Guerra Fría entre la Unión Soviética (URSS) y las potencias aliadas (principalmen te Inglaterra y Estados Unidos). Uno de los episodios más importantes se produjo a mediados de 1943, cuando ía URSS bloqueó las comunicaciones terrestres con la ciudad de Ber lín desee ¡as zonas alemanas en poder de los a!:ados. Los aliados solo tuvieren dos posibilidades: romper el bloqueo terrestre por la fuerza c llegar a Berlín cor el a:re. Se adoptó la decisión de programar jna demostración técnica; para tai efecto, se organizó un gigantesco puente aéreo para abastecer a la ciudad. En diciembre de '946 se aseaban transportando 4500 toneladas diarias de víveres; en marzo de 1949 se llegó a :as 8000 toneladas, tanto como se transoortaba por carretera y ferrocarril antes del corte de las comunicaciones. En la planificación de ios suministros se utilizó la programación lineal. E! 12 de mayo de 1949, los soviéticos levantaron el blc-oueo. • Analizar el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales graneando la región relacionada con el sistema. • Calcular los vértices ce la región factible resolviendo el sistema asedado de ecuaciones lineales. • Resolver problemas de programación lineal aplicados a la vida cotidiana. La importancia de la programación lineal no solo radica en el procedimiento matemático, sino en la herramienta financiera que sir/e de soporte para la toma de decisiones en cualquier organización, pues la programación lineal busca la asignación eficiente de los recursos asignados para maximizar las utilidades y minimizar los costos.
- 588. .» *íÍi ► " íü f r l H I R « P r o c i r a m a c i o n ¡íneai Para graficar la fundón y= 2x+3 hacemos lo siguiente: 1. IN ECUACIO N ES LIN EALES CON DOS VARIABLES Una inecuación lineal con dos variables, x y y, es una expresión que puede escribirse de alguna de las siguientes formas: • a x + b y > c • a x + b y < c • a x - r b y > c » a x + b y < c Primero, tabulamos. E je m p lo X / Las siguientes expresiones son inecuaciones lineales con dos 0 3 variables: - i 0 ‘ i • 3 x + 5 y < 4 ^ " ^ 2 • -x-r3y>5 Luego, ubicamos los puntos * 5x-6y> y (0; 3) y 0j en el plano. 2 G_RAF.CDE ■J^#tCL]/.CION> !;4< ^Cpgf[?O S : VARIABLES ^ , ' . O ' Para graficar una desigualdad lineal con dos variables necesita mos indicar el conjunto de puntos del plano cuyas coordena- 9 das satisfacen la desigualdad. A p l ic a c ió n 7 Represente la región correspondiente a la siguiente inecuación Finalmente, trazamos la recta lineal: x-f 2y <4 • R e s o l u c ió n Primero graficamos la recta de la ecuación • x+ 2y= 4 Si x=0, entonces 2y=4 y= 2 Luego, la recta pasa por el punto (0; 2). Si y= 0, entonces x=4; luego, la recta pasa por el punto (4; 0). ÉÉÉ jjL _ % ■ .
- 589. Graficamos la recta. V* Después,para determinar la región correspon diente a la inecuación lineal, debemos tomar un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo, el punto (1; 0). Para que dicho punto sea solución, se tendrá que cumplir x+2y<4, por lo que sustituimos en la inecuación el punto (1; 0), 1+2-0 <4, es decir, 1 <4. Como esta desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el punto (i; 0} es solu ción; por lo tanto, el semipleno que contiene a (1; 0) es la solución, es decir, el semipleno infe rior, como vemos en el siguiente gráfico; Y 4 Si y=0, entonces 0=-3x+6 x=2 Luego, la recta pasa por el punto (2; 0). Graficamos la recta. Después, para determinar la región correspon diente a la inecuación lineal, debemos temar un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo, el punto (3; 0). Para que dicho punto sea solución se tendrá que cumplir q u e y > -3 x + 6 . por lo que susti tuimos en la inecuación el punto (3; 0). 0 > -3(3)+ 0, es decir, 0 > - 9. Como esta desigualdad es evidentemente cierta, concluimos que el punto (3; 0) es solu ción; per lo tanto, el semiplano que condene a (3; 0) es la solución, es decir, el semiplano superior, como vemos en el siguiente gráfico; A p l ic a c ió n 2 Grafique la región correspondiente a la des igualdad y >-3x+6. Re s o lu c ió n Primero graficamos la recta de la ecuación, es decir,y=-3x+6. Si x=0, entonces y=6. Luego, la recta pasa por el punto (0; 6).
- 590. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores 2.1. Tipos de gráfica de una inecuación lineal Gráfica de y > a x + b V /A r x y= ax+ b Gráfica de y < a x-rb Kt X Gráfica de y> a x + b X Gráfica de y < a x - r b - S f . v. ; w w / ! A J y = a x ~ c ' . •J- % Siy=0, entonces 2x=50 x = 2 5 Luego, la recta contiene el punto (25; 0). Luego, graneamos la ecuación de ;a recta 2x-r5y=50. Después, pera determinar la región cc.mespon- diente.aña inecuación .'¡rea' cebemos despe jar^ . , n 2xe5y <50 >V ^ • nX 5 y < 5 0 - 2 x € 50 —2jc — r — o - ■ > / A p l ic a c ió n 3 Grafique la siguiente inecuación: 2x+5y< 50 R e s o l u c ió n Primero, graficamos la recta de la ecuación 2x+5y=50 Si x=0, entonces 5y=50 y=10 Luego, la recta contiene el punto (0; 10). La última inecuación tiene a forma y < m x + b , cor lo tanto, el conjunto ce puntos correspon dientes a la desigualdad Idea! está formado por la reaa de la ecuación 2x-e5y=50 y por la región que se encuentra debajo ce la recta.
- 591. Capitulo 14 Programaciónlineal A p l ic a c ió n 4 Grafique la región correspondiente a la inecua ción y < 2 x - 6. R e s o l u c i ó n Primero, graficamos la recta de la ecuación y - 2x-6. Si x = 0 , entonces y=-5. Luego, la recta pasa por el punto (0; -5). Siy=0, entonces 0= 2*-5 x = 3 Luego, la recta pasa por el punto (3; 0). Luego, graneamos la ecuación de la recta V = 2 x - o . 2.2. Ecuación, de ;; fo» r la x - a : Recta vertical -6 / 0 i s Las gráficas de las d rectas verticales son esígualdades asociadas las siguientes: • Gráfica de x < b • Gráfica c e x < b VA • 1 ' ' i b T- jifP l - " -• • • i • Gráfica d e x > b • Gráfica de * > b La ¡necuadóny< 2*-ó es del tipoy <a x + b . Por lo tanto, el conjunto de puntos correspon diente a la desigualdad lineal está formado por la región que se encuentra por debajo de la recta y=2x-6. Recta horizontal l
- 592. Las gráficas deías desigualdades asociadas a c. x < - 3 rectas horizontales son las siguientes: • Gráfica d e y > o • Gráfica de y > a '/ á y 1 i ----------- c r o : X : d. y < - 3 • Gráfica d e y < a * Gráfica d e y < a - - r -:, i : - - - Ejemplo Grafiquemos las regiones correspondientes a las siguientes desigualdades: a. x > 5 c. x < - 3 b. y > 5 d .y < - 3 a. x > 5 b y > 5 i, bibitr-v- J t 1 i- i - . í-hlxo C O fi C e " d c W Un sistem a de inecuaciones lin ea’es es un co n junto de inecuaciones de! tipo anterior m or ejem plo. y> ax+ b); en este caso Cebem os resolver gráficam ente cada inecuación, rep re sentar a solución en una m ism a gráfica y a solución total será .a parte com ún a todas as soluciones. Aplicación 5 Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones: j x + y < 3 x ~ y > 1 Resolución Representamos x-ry < 3. Primero graficamos x-ry=3. Si x=0, entonces y=B. Luego, la recta pasa por (0; 3). Siy=0, entonces x=3. Luego, la recta pasa por (3; Q).
- 593. Finalmente, intersecamos lagráfica d e x + y < 3 y x - y > 1. A! resolver la inecuación para y, obtenemos y < - x + 3, que tiene la forma y < m x + b ; por lo tanto, la región está formada por la recta x-¡-y=3 y por el conjunto de puntos bajo la recta. Va Ahora representamos x - y > 1. Primero, graficamos la frontera x - y - 1. Si x=0r entonces -y= ¡ y=-1 Luego, la recta pasa por (0; -1). Siy= 0, entonces x=1. Luego, la recta pasa por (1; 0). Al resolver la desigualdad para y, obtenemos y < x - i qUe tiene la forma y < mx+b; por lo tanto, la región está formada por la recta x - y = 1 y por el conjunto de puntos bajo la recta. X '/i Aplicación 6 Resuelva el sigílente sistema: j 2x -f 3 y = Í5 [x -r2 y = 12 Resolución De! dato 2x-r3y=1 (0 x-s-2y=12 (ID Multiplicamos cor 2 a la ecuación (II). 2 x -rA y = 24 2x + 3y = 15 v ^ y = 9 Para hallar el valor de x, reemplazamos el valor de y=9 en la ecuación (II) y se obtiene x-r2(9)=12; luego obtenemos que x= -6. Por lo tanto, la solución del sistema es (-6; 9).
- 594. A p lic a c ió n 7 Del gráfico, halle el punto P. Aplicación 8 Grafíque la función y < S x-3 . Resolución Para hallar el punto ?, debarros Igualar !as funciones: 1.a función: y=3x-r1 > 3 , 1 4 -2 * 2 función: y = — -— Igualando las funciones, tenemos O 1 K ~ 2x 3 x+ 1 = -------- 9x+3=14-2* 11*=11 Resolución Primero craficamos la recta y - 3 x - 3. Tabulamos 0 y < 5x -3 Se obtiene 0 < - 3 (no (0; 0) (no verifica) es solución) x=1 Par lo tanto, sombreamos el semip'ano cue no contiene el punto (0; 0). Para hallar el valor y, reemplazamos *-1 en la primera función. y=3(1)+1 — » y=4 Por lo tanto, el punto P es (1; 4).
- 595. - Capítulo 14 pfcí'pjgjffitfM Y1íltfifT'^ -;"• 'f| A pl ic a c ió n 9 Grafique el siguiente sistema de inecuaciones: y < 5x-3 ■ x> 0 y >0 R e s o l u c ió n Para graficar un sistema de inecuaciones, pri mero graficamos cada inecuación y luego la intersecamos. • y < 5 x - 3 Su gráfica es Su gráfica es Y V A • y > 0 Su gráfica es X Es un método de optimización cuya finalidad es maximizar o minimizar funciones lineales de variables positivas, sujetas a unas restricciones determinadas por inecuaciones lineales. 4.1. f’/iodeio de program ación linea! en forma general Es la representación general de! modelo de programación linea! con dos variables de de cisión y n números ce restricciones, y es una función objetivo que hay que maximizar o m i nimizar según sea el caso. z=ff A=ax-¡-by-rC * Sujeta a las restricciones a]x + b.y ^ q a2x-r cuy £ c- * c * ” ~ w anx + br.y % cn Las condiciones de no r.egatividad son x > 0 y y > 0. Aplicación 10 Dado el problema de programación lineal 4 ;y )=3x+2y sujeta a las restricciones y + x <4 (D y < x (ID x > 0 y >0 halle el máximo y el mínimo de ¿ Luego, intersecamos los tres gráficos anterio res y obtenemos r /
- 596. COLECCION ESENCIAL X '< SsíálSte> Re s o l u c i ó n De (I) y < - x + 4 Y ‘ De (II) y < x / X D e x > 0 y y > 0 se tiene el primer cuadrante. X Luego, intersecamos los tres gráficos anteriores. / X Ahora evaluamos en la función objetivo f(x. .. =3x+2y los puntos resaltados. (0; 0)' I (1;0) C (2; 0)' f,ft(#=3-0+2-0=0 .,=3-1+2-0=3 f v m=3-2+2-0=6 f „ ~=3-3+2-0=9 P j /m ,.= 3-4-2-0= 12 v "^ d; V f — =3-1 =2 - ¡= ' (2; 1)= 3 - 2 - r ¿ * ;= Ó T(3; í =2 -3 + 2 ' = i 3 /(3; 25=3‘ 2=2*2=10 Observando los resultados, tenemos lo si guiente: • El máximo es 12 y se obtiene en el punto (4; 0). ♦ El mínimo es 0 y se obtiene en e! punto (0: 0). En ei ejemplo ar,tenor, el máxime y mínimo fueren obtenidos en los vértices ce la reg:én sombreada. 4.2. Región factible Es el conjunto de puntos A=(xc; y j que satisfa ce todas las restricciones y puede ser acotada y no acotada. V'*
- 597. 4.3. Solución optima Alpar ordenado P=(x0;y 0), que pertenece a la región factible y maximiza o minimiza la fun dón objetivo, se le llama solución óptima. 4.4. Valor óptimo Es el valor máximo o mínimo que adquiere la función objetivo. Además, en una región con vexa se distingue los siguientes puntos: / Sea 5 la región factible formada por las res tricciones de un problema de programación lineal, entonces el máximo o mínimo de ia función objetivo f{r v* se alcanza en ios puntos extremos. SI hay una solución óptima, esta se encuentra en un punto extremo ce la región factible. Sí hay ¡nimias soluciones óptimas, estas se encuentran en un lado ce :a región factible, incluyendo ios puntos extremos. George Bernard Dantzig Nació el 8 de noviembre de 1914 en Portland, Oregon, EE.UU. Fue un ma temático reconocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el padre de la programación lineal. Dantzig se graduó en matemáticas en 1936 en la Universidad de Maryland, donde enseñaba su padre. Obtuvo el màster en ciencias en 1937, en la Universidad de Michigan. Este no dis frutaba con las matemáticas puras, pues señalaba frecuentemente que scio disfrutó de los cursos relacionados con la estadística. Durante la Segunda Guerra Mundial, Dantzig dejó los estudios y paso a traba jar de 1941 a 1946 en la llamada Combat Anaiysis Branca de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos, donde obtuvo reconocimientos por su labor. Su tra bajo era coleccionar y analizar datos sobre misiones aéreas, efectividad de los bombardeos y pérdidas de aviones. Esta actividad se caracterizaba por el desarrollo de planes minuciosos llamados 'programas’ . Al final de la guerra, George pasó a la Universidad de California, en Berkeley, pero el Pentágono le hizo una oferta mejor pagada, así que se dedicó a la labor de mecanizar el proceso de planeamiento como asesor matemático en el Departamento de Defensa. En 1947, Dantzig hace su más famosa contribución e! método simplex de optimización. Este fue el resultado de una labor que buscaba simplificar les usuales métodos de planeamiento que utilizaban calculadoras de mesa Le llamó ‘ programación* por e! término usado en el argot militar.
- 598. PROGRAMACIÓN LINEAL Asignación eficientedestinan1.1 de recursos icptesent.Kión mediante un I tiene como fin Modelo matemático suselementos í.om Satisfacer ciertas metas a través de la descripción de un problema. Objetivo m atem áticam ente Función objetivo descripción Es aquella función que se debe maxmnizar o minimizar. Recursos limitados matemáticamente Restricciones descripción Por lo general, son inecuaciones (< £) e incluso igualda des (=). Asignación eficiente matemáticamente 1 I * Condición de no negativldad /ívT" descripción Las variables son mayores o iguales que cero (v- £ 0). Actividades conocidas i I mntemátic.miente Variables de decisión además de _________ 1 __________ • Coeficientes de costos • Coeficientes tecnológicos • Recursos ___________ ..i____ ______ __ Métodos de solución son I • Método gráfico • Método analítico
- 599. RESOLVEMOS JUNTOS Problema N.‘1 Resuelva el siguiente sistema: Í5 x+ 3 y = 21 l* + y = 5 A) (3; 2) D) (1; 4) Resolución Del dato: 5*+3y=21 x+y=5 B) (1 ; 5) Q (3; 7) E) (2; 7) (I) (II) Multiplicamos por 3 la segunda ecuación. 5x + 3y = 21 3x + 3y = 15 o — > 2.x = 6 x = 3 Para hallar el valor dey, reemplazamos x=3 en (II). Se tiene 3-i-y=5; luego, y=2. Por lo tanto, la solución es (3; 2). Clave •..................íj — • Problema N.' 2 Del gráfico, halle el punto M. A) (1; 2) D) (4; 1) 2' 2J E )'H Resolución Para hallar el punto M, debemos igualar las funciones: 1. a función:y= x 2. a función: y= -5 x+ 3 Igualando funciones, tenemos x= -Sx~ 3 , . 1 OX— i — > x —— 2 - 1 Para hallar e! valor d ey, reemplazamos x = — -j 2 en la Drimera función: y = - 2 ( - i - i Por lo tanto, el cunto M es I —; — 12 2 Clave Problema H7 3 Del gráfico, halle los puntos M y N, respecti vamente. A) (0; 3) y B ) (0; 5) y l±;0 C) [0 ;-J y (5;0) D) (0; 1 ) y (3; 0) E) (1; 1) y (2; 7)
- 600. I Lumbreras Editores COLECCION ESENCIAL Resolución Primero,bailaremos el punto N. Esto implica ha llar el punto de cene de la función con el eje x. Reemplazamos y=0 en la funcióny=-2x-r5. 0= -2x+ 5 x = — 2 Por lo tanto, el punto N es i 0 . L2 J Luego, hallaremos el punto M. Esto implica hallar el punto de corte de la función con el eje y. Reemplazamos x=0 en la función y=-2xe-5. y= -2(0 )+ 5 — » y=5 Por lo tanto, el ounto M es (0; 5). La respuesta es (0; 5) y | j- ;0 J. Clave P ro b lem a N .‘ A______________________________ .... Grafrque la inecuación y > 3x-i-7. Y* / D) V* E) Y * Resolución Primero, graficamos la recta y= 3x+ 7. Tabulando 0 } ^ 1 * 7 0 3 Ubicamos dichos puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta, obteniendo el siguiente gráfico: Yf Luego, para ver qué semiplano sombreamos, sustituimos, por ejemplo, el punto (0; 0) en la inecuación. y > 3x-i-7 f T 0 0 0 > 7 (no verifica) — > (0; 0) (no es solución) Por lo tanto, sombreamos el semiplano que no contiene al punto (0; 0). Y !
- 601. Capítulo 14 Programación lineal ... ProblemaN.‘ 5______________________________ Grafique ei siguiente sistema de inecuaciones. y >3x+7 • x > 2 .y - 0 A) y A Resolución _ ,, Para granear un sistema de inecuaciones, pri mero graficamos cada inecuación y luego las intersecamos. • y ^ 3xt 7 Su gráfica es • x> 2 Su gráfica es • y > 0 Su gráfica es y i X Luego, intersecamos los tres gráficos anterio res y obtenemos C la v e Pi&áefha N .* 5 Halle el valor máximo y el valor minimo de la función objetivo C=3x-f 2y+5 en la región de! gráfico. Dé como respuesta ¡a sum3 de tales valores. A) 24 D) 36 B) 28 C) 32 E) 39
- 602. Resolución : Del dato,la función objetivo C r ^=3x+2y-f5. Recuerde que para hallar los máximos y mí nimos se evalúan los puntos extremos de la región factible. Evaluamos en • (0; 2): Q 0; 2p3(0)-r 2(2)-f 5=9 es el mínimo valor • (3; 5): C(3; 5)=24 • (6; 2): C,5. 2)=27 es el máximo valor. • (5; 0): C(5; 0)=20 j (2; 0): CK 0)=11 .• ..y Nos piden la suma del máximo con el mínimo, entonces la respuesta es 9+27=36. Clave Graficamos el sistema de inecuaciones y ob tenemos Reemplazamos los puntos del vértice en la función objetivo, es decir, Z(1;0)=3(1)+2(0)=3 Z(o;1)=3«))+2(1)=2 Z l0;C)=3(0)+2(0)=0 Por lo tanto, el máximo valor es 3. T .'f ■ " • I'- Clave Problem a N.' 7 >> Determine el máximo valor de la fundón ob jetivo Z=3x+2y sujeta a x + y < 1 x > 0 y > 0 Halle la solución gráfica de las siguientes inecuaciones: a. 2y+x > 5 b. 2 x -3 y > -2 c. 2x+ 3y> 5 A) - 2 B) 0 Q 2 D) 3 E) 4 Resolución Dato: función objetivo Z=3x+2y Restricciones - y < 1 -x x > 0 y >0 3. 2y+x > 5 Graficamos la recta de la ecuación 2y+x=5
- 603. Capítulo 14 r ProgramacJón lineal Paradeterminar la región correspondiente a la inecuación lineal, debemos despejary. 2y + x > 5 2y > 5 - x -> y > — 7 2 Y* b. 2 * - 3 y > - 2 Graficamos la recta de la ecuación 2 *-3 y = -2 . y ▲ % 1 Para determinar la región correspondiente a la inecuación lineal, debemos despejary. 2 * - 3 y > - 2 c. 2x+ 3 y> 5 Primero graficamos la recta de la ecuación 2x+3y=5. r 0 2 Y 1 Luego, para determinar la región corres pondiente a la inecuación lineal, debemos despejary. 2*+ 3y> 5 5 - 2 * 3 y > 5 -2 * -» y > -—— 7 3 2 *+ 2 > 3 y 2*+ 2 3 ^ y Y*
- 604. COLECCIÓN ESENCIAL Problema N.‘5____________________ Halle la solución gráfica del sistema. j2 x + y < 3 { x + y > 1 A) y* B) Y | Reoolución , Í2x +y < 3 Sea el sistema < [ x + y > 1 Primero, graficamos la inecuación 2x + y < 3. Lumbreras Editores Luego, graficamos la inecuación x + y > 1 . 0 1 : 1 ! 0 y x Finalmente, para hallar la solución gráfica del sistema, intersecamos las dos soluciones an teriores. Y f
- 605. ;;TT ' 'Ml'- ta M ■ Halle la solución aráfica del sistema. Luego, graficamos la inecuación (II). 5x+10y<5 -> x+ 2y< 1 Í2 x - y > 1 (!) [5 x+ 1 0y< 5 (ID 1 0 2 A) B) 1 0 Q / , y j?. í . -, ■ ? ^ ■ . Nàm jfy? / ,4'k > -• D) E) .4 — ' : V • - ■ ¡ V Finalmente, para hallar la solución gráfica del sistema, intersecamos las dos soluciones an teriores. Primero, graficamos la inecuación (I), es decir, 2x - y > 1 -1 0 Clave . H bB¡
- 606. Luego, gradeamos lainecuacióny <-x+3. Haile la solución gráfica del sistema. y < x-i-2 y < - x + 3 x> Q o 3 __________L _ ¿ _______. ■ 3 0 A) B) Después, granearnos las inecuaciones / jr / y y > 0 a y > 0 i / Q D) E) - r.ai m e n te , p ara h a lla r ¡a s o lu c ió n g rá fica d e l sis- io s tre s G rá fico s a n te rio re s. Primero graneamos la inecuación y < x~ Z 0 2 -2 0 Clave P , -i ■
- 607. Problema N.* 12Luego, graficamos la inecuación x > - 2 . Señale cuál es la región que mejor represente al sistema dé inecuaciones. y-2x>1 • x > - 2 y< 4 . Después, graficamos la inecuación y < 4. X Finalmente, para hallar la solución orática del s tema, intersecamos los tres gráficos anteriores Resolución Primero graficamos la inecuacióny - 2 x > 1. Y Clave
- 608. Problema N.’ 13 Indiquela inecuación cuya solución es e! si guiente semipleno: Luego, la ecuación de la recta es Luego, del gráfico, la región sombreada está encima de la recta, y no toma la frontera; en tonces Clove A) y > 2 - x 2 B) y > 3 x - 2 Q ' 2y >"- ,v -1 / D) y > | + 2 í t) y * | > ? J Resolución X. Primero hallamos la ecuación de la recta que pasa por el punto (4; 0) y (0; 2). Seay=G x+b (ecuación de la recta). Determine gráficamente el conjunto solución deí sistema.. ¡ x - y > 4 y [3x-2y <3 y “ 1 A) ' B) y* 4 0 0 2 ■ y= axJrb — » 0=4a-rb (*) y=ax-rb — > 2= a-0~b -» b -2 D) E) En H
- 609. Capítulo 14 Resolución Primero, graficamosla inecuación x - y > 4. • x - y =4 V a X V í A I 0 -4 I 4 0 A, X -A Luego, graficamos la inecuación 3x-~2y< 3. • 3 x+ 2y= 3 Indique la inecuación cuya solución es el siguiente semiplano: A) y > ~ l 3) 3 y > x - l Q 2y<4-1 D) 3y<*-3 E) y > - — Resoludon P rim e ro , h a lla m o s !a e c u a c ió n d e la re c ta q u e p a sa p o r lo s p u n t e s (3; 0) y (0 ; - 1 ) . S e a y = a x ~ o (e c u a c ió n d e la re c ta ). » f 1 0 - 1 Finalmente, para hallar la solución gráfica del sis tema, intersecamos los dos gráficos anteriores. v1 Clave y = a x ~ b 0=3a+b (*) y = c x - o —f -1=3-0+b -> b =-1 En (*) 0=3o— 1 — > o=— 3 Luego, la ecuación de la recta es y =- x - 1 3 Entonces, en el gráfico, la región sombreada está encima de la recta y no toma la frontera. • • • y > r i Clave
- 610. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores Problema NV 15 Halle la solución gráfica del sistema. 2 x + y < 3 x + y > 1 A) Y * 3 1 Q Resolución Primero graneamos la inecuación 2x ~ y < 3. • 2x+y=3 Y x Luego, graneamos la inecuación x + y > 1. • x+ v= 1 Y Á F in a lm e n te , p ara ha 'a ria s c i u c c n g rá fica de! s :s- te m a r in te rs e c a m o s :c s d o s g rá n e o s a n te rio re s. Y k C la ve Problema N.* 17 Determine el máximo valor que asume 2x + y ! y< x+ 2 yS-x+ 3 x > 0 y >0 A) ó B) 14 D) 20 6 Q 15 E) 30 i UJ
- 611. Resolución Nos piden elmáximo valor de f,r /,=2x ~ y . Dato: Las restricciones son y < x + 2 y < - x + 3 x>0 y> 0 Primero graficamos las restricciones. Luego, hallamos los vértices y obtenemos y t g í 1 5i 6S1.2' 2/ , en la función objetivo f(ry ^=2x+yl los puntos de los vértices. :+ y 3)+2=2 3)+0=6 ( U ) 2U J 2 ” 2 2 v.2’2/ C la va Determine e: máximo va or de .=-xeoy !> :- 2y <5 5 x - 3 y <15 ix >0 iy>0 5) 9 sujeta a < A) 8 D) 10 í U V-./ w -/ 0 13.28 Nos piden maximizar f r .. =4x +3y. Dato: Las restricciones son x-i-2y < 6 5 x - 3 y < 15 x> 0 y > 0 Primero graficamos las restricciones.
- 612. Luego, hallamos losvértices. i¿ A -.•nT- ------- Finalmente, evaluamos en los vértices. * /(3;or4(3H3(0)=12 * f(0; 3)=4(°)+3(3)=9 ■ J r A / v— y i2^i y 15 f( V j £ 4L 7 J‘? '3 l7 1 13,28 T 7; -, :? Por lo tanto, el máximo valor es 13,28. , Clave Resolución Nos piden maximizarz=3x+6y. x+ y <80 4z-i-y <160 Dato: « *>0 y >0 Primero, graneamos las restricciones. A . y # i ; Luego, hallarnos los vértices. s * » í A »lome N.‘ 15 Halle el máximo valor de z=3x'+6y, tal que x + y <80 2.x+—<80 2 x > 0 y >0 A) 200 D) 480 B) 300 C) 400 E) 600 Finalmente, evaluamos en los vértices. • z=3(40) +6(0)=120 • z=3(0) J-6(80)=480 (?M ¥)- ' • « T f u / • • • ^^(0-801=480 80+320=400 Clave
- 613. n- i í Un sastretiene 80 nr de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un temo requiere 1m¿ de algodón y 3 m ~ de lana; y un vestido requiere 2 de cada una de las telas. Calcule el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar les beneficios si un traje y un vestido se venden a! mismo precio. A) 10 trajes y 20 vestidos 3) 20 trajes y 10 vestidos Q 30 trajes y 20 vestidos D) 20 trajes y 30 vestidos E) 20 vestidos y 30 trajes Datos: Sean • x. n.° de trajes • y . n.° de vestidos Ademas 1 2 80 3 2 120 De la tabla, tenemos x+ 2 y <80 ■ 3 * +2y< 120 x >0 a y ^ 0 Sea k el precio de cada prenda, entonces la fundón objetivo será Primero, graficamos las restricciones. Luego, hallamos ios vértices. Finalmente, evaluamos en los vértices. Alcanza su máximo valor en .x=20;y=30, o-es ^ (40cQ }=^^ £2ü;30)=-0'< Por lo tanto, debe confeccionar 20 trajes y 30 vestidos. f í s . X k U + y ) C la ve
- 614. Una editorial planeautilizar una sección ce planta para producir dos libros de textos. La utilidad unitaria es de S/.2 para el libro 1y ce S/.3 para el libro 2. El texto 1requiere 4 h para su impresión y 6 h para su encuademación. El texto 2 requiere de 5 h para su impresión y 3 h para su encuademación. Si se dispone ce 200 h para imprimir y 210 h para encuadernar, determine la máxima utilidad que se puede obtener. A) S/.70 B) S/.110 Q S/.12Q D) S/.140 E) S/.15D Luego, -b camos ios vértices ce la región "X : i3CtÍbc. « a * * * • r ,vm -rtniiir’fin / 1 Nos piden la máxima utilidad que puede cb- .J +Lí tenerse. i ,;v f y- . ^ .:= --yyL y Datos: 4 5 200 ¿r 6 3 . .: 210 ---- — ------------ t -— -— ----- Sean • x: número de unidades del texto 1 Después e.eiuamos en los vértices. • y. número de unidades del texto 2 • u < x y r2 x + 3 y 4x+5y<200 ■ ^ .„ = 7 0 Restricciones • 6x+3y <210 x >0 y >0 • a(C:JC=izo * L/(25 >-=50+50=110 Por lo tanto, la máxima utilidad es S/.120. La función objetivo es u ^ / , = ^ y C la v e
- 615. Finalmente, evaluamos losvértices en ¡race la región S definida por las restricciones dadas. Halle el valor mínimo de C en 5. C=3x+6y 2x-r3y>12 2>:-i-5y>16 5 = x>0 y>0 C :k v = 3x~ 6Y • C-g. 0.=3(8)-r6(0)=24 • C3:2,=3(3)— 6(2)=21 • C lM =3(0)+5 -^5=19,2 'C:—i ' V5 ; Por lo tanto, el valor mínimo es 19,2. A) 12 B) 16 Q 19 D) 21 E) 19,2 C la ve N os piden e! mínimo de 3x-r6y. Dato: Las restricciones son 2 x - 3 y > 1 2 —> j2 x - 5 y > 1 6 — > |x > 0 [y- 0 Prim ero, graneam os las restricciones. Luego, hallamos los vértices. Halle ei valo r m ínim o de :a función ob jetivo j .r ., =¿,v-r6y, sujeta a las restnccione¿ 2x-3y >12 x + 3 y > 9 x > Q ,y>0 A) 15 3) 16 Q 18 D) 21 E) 24 Nos piden el máximo de fU: ..= 2 x~ 6 y. Dato: Las restricciones son Í2x-r3y>12 'x-3y >9 x>0 y>0 Primero, graneamos ¡as restricciones. y > 4 - - x 16 2 y > --------x 5 5
- 616. COLECCIÓN ESENCIAL LumbrerasEditores __ ■ _______________ ,_____________________ ES________________ 1 .____ .____________________1:______________________________________ i__ Luego, ubicamos los vértices de la región factible. Finalmente, evaluamos en ios vértices. * /(O ;4)“ 24 * /(3;2)=18 * f(9; O r 18 / ,-v Por lo tanto, el mínimo de f e s 18. Gave Un estudiante dedica parte de su tiempo ál reparto de propaganda publicitaria. La empre sa A le paga 5 soles por cada impreso reparti do; y la empresa B, con folletos más. grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es ca paz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es lo siguiente: ¿cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? A) 50 impresos tipo A y 100 tipo B B) 110 impresos tipo A y 100 tipo B C) 100 impresos tipo A y 50 tipo B D) 30 impresos tipo A y 20 tipo B E) 0 impresos tipo A y 50 tipo B Sean • x=r.° de impresos diarios tipo A repartidos • y=n.° de impresos diarios tipo B repartidos La función objetivo es f ^ y = Sx+ 7y. Dato: Las restricciones son x + y <150 j x <120 *y <100 * > 0 a y > 0 La gráfica es 5:- Evaluamos los pumos del vértice en la función objetivo: /p o o -,o)=7-100=700 * ^ (50;100)=5‘50+7-100=950 máximo * ^ (1 2 0 , 30)=5'120t 7-30=810 * f m o,=í> *',20=6oo Debe repartir 50 impresos tipo A y ICO tipo B para una ganancia máxima diana de 950 soles. Clave
- 617. Problema N.’ 25 En una granja de pollos se da una dieta “para engordar” con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco uni dades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 soles y el del tipo II es de 30 soles. De la tabla obtenemos las siguientes restric ciones: x+5y >15 5xey >15 x>0 y >0 La función objetivo es z=10x-r30y. Debemos hacer mínima esta función, sujeta a ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo? Dé como respuesta el costo mínimo. las restricciones anteriores. Graficamos las restricciones. A) 100 soles / * i XBgx a B) 40 soles / a . V Q 90 soles % D) 50 soles - j w / E) 110 soles ^ Jr N,.. Resolución V | Sean £ * • x: las unidades que se compran de tipo I ♦ y. las unidades que se compran.de tipo II Resumamos los datos en una tabla. ■ 7 x x 10x y 5y y 30y x+5y 5x+y 10x+30y El mínimo se alcanza en el punto ce ntersec- , íx-i-5y =15 cion de-' [5x-f y =15 es decir, en (2,5; 2,5). Por tanto, hay que comprar 2,5 de hipo I y 2,5 de tipo II. El precio será de z=10(2,5) +30(2.5)=‘00 soles. Clave
- 618. P R AC T IQ U E M O S L O A P R E N D ID O 1. Halle la región del plano determinada por la inecuación y-x< 3. A) Y y B) f A C) / X D) E) Y t . 1 - . y | W j m ¿Z:J J&SW / % ■ •y ,S w / 4&- / 2. Halle la región del plano determinada por la inecuación x+2y <16. A) Y g- b) y t < A x x Q Y X X D) Vf E) Represente gráficamente el conjunto solu ción del siguiente sistema de inecuaciones: 6 x-y <1 x+y >-1 [ y - 2 A) VA Y L B) v f A X C) / t i D) Y % i? i ' í % tj? E) X ,■ > T - A X .. /Represente gráficamente el conjunto solu- ¡f w ! ¿ ción deí siguiente sistema de inecuaciones: _ _ x +3y <9 2x+y<8 x>0 y >0 A) / f B) Y C) Y D) Yf
- 619. 5. D ete r m in e el m á x im o v a lo r d e la fu n c ió n f(x-,y)= x + 3y, su je ta a las s ig u ie n te s r e s t r ic c io n e s : x>0 ■ 0 < y<2 2x +y<4 x+y <120 3y< x ' x> 0 y >0 7. Maximice la función f ^ y)= 2 5 x+ 20 y, some tida a las siguientes restricciones: A) 1 B) 2 C) 7 D) 4 E) 5 A) 950 B) 2900 C) 2700 D) 2850 E) 1425 6 . R e p r e s e n te la re g ió n d e fin id a por el si g u ie n te s is te m a d e in e c u a c io n e s : x>0 y>3 x+y <10 2y >3x 8. Minimice la función /r (x. y)=2x+3y con las siguientes restricciones: x +y <5 x-¡-3y >9 x>0 y >0 - A) 15 B) 12 C) 9 D) 3 E) 1 9. R e p r e s e n te la re g ió n lim ita d a p o r la s s i g u ie n te s in e c u a c io n e s . Dé c o m o r e s p u e s t a el á re a d e la re g ió n lim ita d a .x x +y <27 •x>12 y >6 A) 2250 B) 1440 C) 1020 E) 1800
- 620. B) x > 0 y> 0 3y <24- 2x y + 2x<12 Maximice la función z=3x+2y, sujeta a las siguientes restricciones: A) Q A) 0 B) 19 C) 21 D) 25 E) 30 Determine el máximo valor de la función ftey>=y + x‘ suJeía 3 ¡as siguientes restric ciones: *>0 J*’" V ^ ^ > 0<y <2 s * .ic e s « ' v . i /í#' * 2x +y <4 * j&gÉr A . * .'-X A f i v4- * r• * 'r‘ y - § -S-k & ¿dlp' i A) 2 B) 3 V C) 'S tr / D) 9 E> - 20-^ Maximice la función z= 3x+ 2y, sujeta a las . siguientes restricciones: fe , m . x+ 2 y<6 y > 3x +2y <12 x>0 y >0 A) 12 B) 20 C) 35 D) 17 E) 39 Halle la región del plano determinada por el siguiente sistema de inecuaciones: 3x + y > 3 x + 2y2t4 x > 0 y >0 Determine las restricciones que represen tan a Ja siguiente región factible: . y U A) Q D) y<-3x+3 B) y >-3x+3 •y<2*-f2 y <2x -í-2 y >0 y >0 y <-3x+3 ■ y >2x +2 y >0 y>3x+3 ^ y £ 3 x-3 y <2x +2 y £ 2 x - 2 y >0 L y >0
- 621. U1 A) (0; 1)B) (3; 0) Q (A; 5} Tenemos dos clases de mesas: una de tipo A con 2 m2 , de madera, 1hora de trabajo y un beneficio de S/.SO cada una; y otra de tipo B con 1m2de madera, 3 horas de tra bajo y S/.50 de benencio. Si hay 600 rrri de madera y un máximo de 900 h, determine el máximo beneficio. A) 5000 B) 18 000 C) 23 000 D) 26 400 E) 50 C00 Un orfebre fabrica dos tipos ce joyas. La unidad de tipo A se hace con 1c de oro y 1,5 g de plata, y se vende a 25 soles; La de tipo B se vende a 30 soles y . eva 1,5 g de oro y 1g de plata. Si sólo se espone de' 750 g de cada meta!, ¿cuál es. e. máximo beneficio que obtendrá? E) ^ 5 . 4 3 '3 Se va a organizar una planta de un ta ller de automóviles, donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya ma yor o igual número de mecánicos que de electricistas. En tota! hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa, por jornada, es de 150 so les por electricista y 120 soles por mecá nico. ¿Cuántos trabajadores de cada dase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? A) 15 electricistas y 17 mecánicos B) 22 electricistas y 27 mecánicos Q 20 electricistas y 20 mecánicos D) -27 electricistas y 30 mecánicos E) 25 electricistas y 20 mecánicos. A) 16 00 soles B) 16 500 soles C) 170C0 soles D) 17 500 soles E) 18 000 soles Determine el vértice C de la siguiente región: Resuelva e! siguiente problema de pregra- madón lineal: Maximice f ^ ^ - x - 2 y íx-i-2y>8 - 2 x - y > -10 sujeta a { x > 0 y > 0 A) -8 B) -20 Q 0 D) 5 E) 20
- 622. Una fábrica producepo!os y pantalones. Tres máquinas —de cortar, coser y teñir— se emplean en la producción. Fabricar un polo representa usar la máquina de cortar una hora; la de coser, tres horas; y ia de teñir, una hora. Fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora; la de coser, una hora; y la de teñir, ninguna hora. La máquina de teñir se oue- de usar durante tres horas; ia de coser once y la de cortar, siete. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho soles por cada polo y cinco pe." cada pantalón. ¿Cuál es el beneficio máximo? A) 40 soles B) 41 soles C) 42 soles D) 43 soles E) 44 soles Una fábrica elabora dos tipos de produc tos; A y B. El tipo A necesita 2 obreros que trabajen un total de 20 horas para as* obte ner un beneficio de S/.150Q por unidad. El tipo B necesita 3 obreros que trabajen un total de 10 horas un beneficio de S/.1000 por unidad. Si disponemos de 60 obreros y 480 horas de trabajo, determine la can tidad de unidades de A y B que se deben fabricar para maximizar el beneficio. A) 6 y 21 B) 21 y 6 C) 35 y 12 D) 12 y 35 E) 5 y 9 Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo cual usa tres ingredientes, A B y C. Dispone de 150 kg de A, 90 kg de B y 150 kg de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kg de A, 1 kg de B y 2 kg de C; mientras que para hacer una tarta T2 necesita 5 kg de A. 2 kg de B y 1 kg de C. Si se venden las tanas T1 a 10 soles, y las tartas T2 a 23 soles ¿qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingreses? A) 50 de. tipo TI y 30 deltipo T2 B) 45 de tipo TI y 25 deltipo T2 C) 30 de tipo TI y 30 deltipo T2 D) 40 del tipo T1 y 20 de!tipo T2 E) 50 cel tipo TI y 20 deltipo T2 Una fabrica quiere producir bicicletas de paseo y ce montana. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 <g de aluminio. Para construí? una bicicleta de paseo se nece sitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio; y para construir una bidcleta de montaña se necesitan 2 kg ce acero y otros 2 !< g de aluminio. Si las bicicletas de paseo se ven den a 2C0 dólares y las de montaña a 150 dólares, ¿cuántas bicicletas de cada tipo se deben construir para que el beneficio sea máximo? A) 20 bicicletas de paseo y 30 bicicletas de montaña B) 20 bicicletas de paseo y 40 bicicletas de montaña C) 25 bicicletas de paseo y 30 bicicletas de montaña D) 30 bicicletas de paseo y 20 bicicletas de montaña E) 10 bicicletas de paseo y 35 bicicletas de montaña i
- 623. Se requiere promocionaruna marca des conocida (D) de aceite, utilizando una marca conocida (C). Para ello, se hace la siguiente oferta: “Pague a solo 2,5 soles el litro de aceite C y a 1,25 soles el litro de aceite D siempre y cuando compre en total 6 litros o más, y la cantidad de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D. Dispo nemos de un máximo de 31,25 soles”. Acogiéndonos a la oferta, ¿cuál es la mí nima cantidad de aceite D que podemos comprar? A) 2 litros B) 3 litros C) 4 ¡¡tros D) 5 litros E) 6 litros Se quiere organizar un puente aéreo en tre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1600 personas y 96 toneladas de equipaje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 1 1del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipa je, cuesta 40 000 euros; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar a 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta 10 000 euros. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el cos to sea mínimo? A) 4 aviones tipo A y 8 aviones tipo B B) 5 aviones tipo A y 8 aviones tipo B C) 4 aviones tipo A y 2 aviones tipo B D) 6 aviones tipo A y 6 aviones tipo B E) 7 aviones tipo A y 5 avionestipo B 26. Un negociante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500 soles. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0,5 soles el kg y las de tipo B a 0,8 soles el kg. Sabemos que solo dispone, en su furgoneta, de espacio de transpor tar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kilo de naranjas de tipo A a 0,58 soles y el tipo B a 0,9 so les. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener beneficio máximo? A) 200 kg del tipo A y 450 kg del tipo B B) 250 kg del tipo A y 450 kg del tipo B C) 300 kg del tipo A y 500 kg del tipo B D) 200 kg del tipo A y 500 kg del tipo B E) 200 kg del tipo A y 400 kg del tipo B :_2T. Un fabricante de pelotas obtiene una uti lidad de S/.15 por cada pelota de fútbol y S/.8 p o r cad a p elo ta d e vó le y. Para s a tisfacer la demanda de los distribuidores, la producción diaria de pelotas de fútbol debe ser de 10 a 30; y entre 30 y 80 pe lotas de vóley. Con el fin de conservar la máxima calidad, el total de pelotas pro ducidas no debe ser mayor de 80 diarias. ¿Cuál es la máxima utilidad que se puede obtener? A) S/.900 B) S/.950 C) S/.850 D) S/.800 E) S/,1000
- 624. ".3 Un empresarioquiere invertir 100 000 so les en dos tipos de acciones': A y B. Las de tipo A tienen más riego, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% nomi nal. Decide invertir como máximo 60 000 soles en la compra de acciones A y; por lo menos, 20 000 soles en la compra de ac ciones B. Además, quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. Si invierte 100 000 soles, ¿cuál es el beneficio anual máximo que obtendrá? A) 9000 soles B) 8800 soles C) 7500 soles D) 1000 soles E) 7600 soles y , i í-t> . ¿te* /A sf i ■ . 29. Una dieta debe contener ai menos 16 uni dades de carbohidratos y 20 unidades de_ ,L proteínas. El alimento A con tiene 2 uni dades de carbohidratos y 4 de proteínas,-' el alimento B contiene 2 unidades de car bohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta S/.1,20 por unidad y el alimen to B, S/.0,80 por unidad, ¿cuál es el costo mínimo? A) S/.9,5 B) S/.9 C) S/.8 D) S/.8,5 E) S/.11 :o. Un ómnibus Lima-Tacna ofrece plazas para fumadores al precio de 100 soles y a no fumadores al precio de 60 soles. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador de 20 kg. Si al autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg, ¿cuál es el beneficio máximo? A) 7800 soles B) 8000 soles C) 7500 soles D) 10 000 soles E) 9000 soles Las restricciones pesqueras impuestas por la Comunidad Económica Europea obligan a cierta empresa a pescar, como máximo, 2000 kilos de merluza y 2000 kilos de lenguado; además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de los 3000 kilos. Si la merluza se logra vender a 10 dólares el kilo y el lenguado a 15 dólares el kilo, ¿cuál es el máximo ingreso que se obtiene? A) $40 000 8) 550 000 Q S30 000 D) 535 000 5} 518 000 En lea, una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro veces la producción de vino es siempre menor o igual que 18 unidades. Halle' el número de unidades de cada producto que se debe producir para alcanzar un beneficio máximo si se sabe que cada unidad de vino deja un beneficio de 8 soles y cada unidad de vinagre, 2 soles. A) 3 de vino y 2 de vinagre B) 1de vino y 2 de vinagre Q 4 de vino y 2 de vinagre D) 2 de vino y 2 de vinagre E) 3 de vino y 4 de vinagre
- 625. 33 Una compañíafabrica mesas y sillas. Por cada silla se necesitan 20 pies de madera y 4 horas de mano de obra. Por cada mesa se necesitan 50 pies de madera y 3 horas de mano de obra. El fabricante dispone de 3300 pies de madera y de 380 horas de mano de obra. Además, obtiene una utili dad de 3 dólares por cada silla y 6 dólares por cada mesa. ¿Cuántas mesas debe fa bricar para maximizar su ganancia? A) 15 B) 30 Q 44 D) 56 E) 40 3-t Un joven reparte propaganda publicitaria en su tiempo libre: La empresa A le paga 1 sol por impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 2 soles por impreso. El estudiante líe'/a dos bol sas: una para los impresos de tipo.A, eni la que caben 120, y otra para los de tipo B, en la que le caben 100. Ha calculado que- cada día puede repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos habrá de re partir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? A) 50 soles B) 100 soles Q 250 soles D) 350 soles E) 400 soles 3: La compañía Taliona requiere producir dos clases de recuerdos de primera comunión: del tipo A y del tipo B. Cada unidad tipo A genera una ganancia de $2, mientras que una del tipo B genera una ganancia de $3. Para fabricar un recuerdo tipo A necesitan 2 minutos en la máquina 1y 1minuto en la máquina 2. Un recuerdo tipo B requiere 1 minuto en la máquina 1y 3 minutos en la máquina 2. Hay 3 horas disponibles en la máquina 1y 5 horas disponibles en la má quina 2 para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo se deben producir para maximizar.la ganancia? f j T '¿»y** A r A=48; B=84 [ Á ) -Á=40; B=68 í ) A=60; B=32 D) A=72; B=50 E) A=62; B=40 Claves 1 6 1 1 16 21 26 31 2 7 12 17 22 27 32 3 8 13 18 23 28 33 4 9 14 19 24 29 34 5 10 15 20 25 30 35
- 626. A ! adición: Operación matemáticaen !a que se unen dos o más cantidades. álgebra: Rama de ia matemática en la que se usan símbolos, letras y números para expresar relaciones entre exoresiones aue representan números. binomio: Polinomio que consta exactamente de dos términos. desigualdad: Relación entre tíos números rea les que permite compararlos, es decir, permite indicar cuál es mayor o menor. divisibilidad: Un polinomio es divisible por otro si su división es exacta. exponente: Es un número que indica cuantas veces debe usarse la base como factor. identidad de la división: Relación que esta blece que el dividendo en una división es igual al producto del divisor con el cociente, suma do con el residuo. inecuación: Desigualdad en donde hay una incógnita. inverso multiplicativo: Si a es un número real y c > 0, entonces ^/a es el elemento inverso multiplicativo de o. monomio: Es un polinomio de un solo término. plano cartesiano: Sistema formado por dos ejes coordenados. polinomio primo: Polinomio que no puede descomponerse como la multiplicación de a! menos dos factores r.o constantes. sistema de coordenadas cartesianas: Es un sir.ema gráfico que divide el plano en cuatro cuadrantes. Los puntes en el plano se identifi can mediante pares ordenados. sustracción: Es la operación matemática opues ta a la adición. El primer número ce la sustrac ción se llama minuendo, el segundo se llama sustraendo y el resultado se llama diferencia. trinomio: Es un polinomio que consta exacta mente de tres términos. variable: Una variable es un símbolo que re presenta un número de un conjunto dado de números.
- 627. E L IO G R A F I A • ACADEMIA CESAR VALLEJO. A lg e b ra y principies del análisis. Lima: Lumbreras Editores, 2001. • ACADEMIA CESAR VALLEJO. C o m p e n d io cccd é m ico de m atem á tico. Á lgebra. Lima: Lumbreras Editores, 2003. • ANGEL Ai’en R_A lgebra interm edia. México: Pearson Educación, 2003. • ANTON o> '< erd. Introducción ai algebra linea'.. México: Editorial Limusa, 2C06. • CARVALHO, P_; LIMA E.: WAGNER, E. y A MORCADO (2000). La m a tem á tica d e le e n se ñ a n za m e d ia (ve;. I, II y ill). Urna: IMCA • GROSSMAN, Stanley.Á la eb ra UneoL México: McGrav/ Hill. 20C8. • HAEUSSLER, Ernest F. M atem á tica s p a ra adm inistración y e co n o m ic. México D. Pearson Education, 2008. • LACES, Elcr.g. M i profesen d e m oierr. ática y o c a s historias. Lima: Instituto de Matemática y Gandas ATr.es, UNI, 1993. • LARSON, Roland; HOSTETLER, Robert y Bruce EDWARDS. Cálculo. México: Editorial McGraw Hill, 19S8. • LEHMANN, Charles. A lgebra. México: Editorial Limusa, 1955. ■ LETTHOLD, Louis. Á lgebra y trigonom etría con geom etría analítica (27 edición). México: Haría, 1994. • POTAPOV, M.; ALEXANDROV, V. y ?. PASICHENKO. A lg eb re y análisis de fun ciones elem en ta les. Moscú: Editorial MIR, 1980. • SAAL César. Introducción al cálculo. Urna: Editorial Gómez. 1995. • STEWART, James y Lothar REDL1N. Precálculo. México: Editoria! Progreso, 2C07. • SULLIVAN, Michael. Precálculo (47 edición). México: Prentice Hall, 1997. • TSIPK1N, G. M a n u a l de en se ñ a n za d e la m atem ática m edia. Moscú: Editorial MIR, 1985. • ZILL Dermis G. y Jaccudire M. DEWAR. Á lgebra y trigonom etría (2.2edición). México: McGraw Hífl, 1992.