El documento explica las proporcionalidades directa e inversa. La proporcionalidad directa ocurre cuando dos magnitudes varían en la misma dirección, mientras que la proporcionalidad inversa ocurre cuando varían en direcciones opuestas. Se describen las propiedades de cada una y se proveen ejemplos para ilustrar los conceptos.

1. PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA Para seguir estudiando sobre lo que venimos viendo en clase .

2. 1 2 3 4 6 500 1 000 1 500 2 000 3 000 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando al doble una de ellas , le corresponde el doble de la otra, al triple en una, el triple en la otra, al cuádruple en una, el cuádruple en la otra, y así sucesivamente. Se puede decir que cuando una magnitud se multiplica o divide por un numero, la otra también queda multiplicada o dividida por ese número x 2 X 3 x 4 x 6 x 2 X 3 x 4 x 6 De lo anterior concluimos que… Nº MANZANAS (C) 1 2 3 4 6 PRECIO (P)

3. 1 2 3 4 6 500 1 000 1 500 2 000 3 000 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 500 3 000 2 500 1 000 1 500 2 000 1 6 5 4 3 2 Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al representarlas gráficamente obtenemos una línea recta que pasa por el origen. Nº MANZANAS (C) 1 2 3 4 6 PRECIO (P)

4. 1 2 3 4 6 500 1 000 1 500 2 000 3 000 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES P C = 500 1 = 1 000 2 = 1 500 3 = 2 000 4 = 3 000 6 = 500 = k P C = k P = k∙C Dos magnitudes son directamente proporcionales, si están ligadas por un cociente constante, constante de proporcionalidad Nº MANZANAS (C) 1 2 3 4 6 PRECIO (P)

5. Propiedades 1era. Propiedad Si un elemento de la primera magnitud es multiplicado o dividido por un número, el elemento correspondiente quedará multiplicado o dividido por ese mismo número. 2da. Propiedad a la suma de los elementos de una de las variables, le corresponde la suma de los correspondientes de los elementos considerados

6. 3era. Propiedad. La razón entre dos cantidades de una de las magnitudes es igual a la razón entre las cantidades correspondientes en la otra magnitud Veamos un problema para avanzar en esta propiedad:

7. Problema Si dos paquetes de caramelos tienen 20 caramelos, cuántos caramelos habrá en 4 paquetes, sabiendo que todos los paquetes tiene la misma cantidad de caramelos. 2 p ............ 20 c 4 p.............. c? Para resolverlo algunos de ustedes dicen: “ tenés que hacer 4 por 20 dividido 2”

8. ¿Por qué? Lo que estamos diciendo es que: la razón entre 2 y 4 es igual a la razón entre 20 y la cantidad a calcular. De otra forma: la relación que existe entre 2 y 4 paquetes, es la misma que la que existe entre 20 y “x” cantidad de caramelos. 2 = 20 entonces: 20 . 4 = X = 40 4 X 2

9. También Si tenemos en cuenta que en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos 2 = 20 4 X Entonces: 2 . X = 20 . 4, de donde X = 20 . 4 2 X= 40

10. Resolvé las siguientes situaciones en una hoja: 1. dos sacos de papas pesan 80 Kg. ¿Cuánto pesarán 3 sacos? Si de un saco se usaron las ¾ partes, cuántos kilos quedaron en el saco? 2. En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal? 3. Un automóvil gasta 5 litros de nafta cada 100 Km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil? Y con 10 litros? Y para hacer 1000 km, cuánto combustible necesitará si mantiene la misma proporción?

11. Como actividad complementaria… Confeccioná una tabla de valores y la gráfica correspondiente para cada problema anterior.

12. 120 60 40 30 20 1 2 3 4 6 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando al aumentar una al dobel, la otra disminuye a la mitad, es decir si al doble de una le corresponde la mitad de la otra , al triple de una , la tercera parte de la otra , etc. en la misma proporción, y viceversa. ÷ 2 ÷ 3 ÷ 4 ÷ 6 x 2 X 3 x 4 x 6 X = 120 Km. De lo anterior concluimos que… V en Km./h y T en Hrs. VELOCIDAD (V) 120 60 40 30 20 TIEMPO (t)

13. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 20 120 100 40 60 80 1 6 5 4 3 2 Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al representarlas gráficamente obtenemos una curva llamada hipérbola . 120 60 40 30 20 1 2 3 4 6 T V VELOCIDAD (V) 120 60 40 30 20 TIEMPO (t)

14. = k k t = V V · t = k Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si están ligadas por un producto constante. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES 120 60 40 30 20 1 2 3 4 6 V · t = 120 ∙ 1 = 60 ∙ 2 = 40 ∙ 3 = 30 ∙ 4 = 20 ∙ 6 = 120 VELOCIDAD (V) 120 60 40 30 20 TIEMPO (t)

15. Veamos un ejemplo… 2 máquinas producen una tonelada de papel en 72 Hrs. ¿Cuánto tardarán 4 máquinas iguales a la anterior? Maquinas 2 4 18 Horas 72 36 8

16. Otra situación… Un móvil que viaja a 80 Km/h tarda 48 Hrs. en cubrir cierta distancia. ¿Cuánto tiempo tardará si viaja a 160 Km/h? Como deducimos del problema, se trata de una P. Inversa, ya que a mayor rapidez, proporcionalmente necesita menor tiempo para cubrir esa distancia .

17. ¿Resolvamos algunos problemas? 1. Si 3 máquinas necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 máquinas para realizar el mismo trabajo? 2. Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas? 3. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?

18. Teniendo en cuenta estas respuestas hacé un cuadro y sus respectivos gráficos incluyendo tres variables más para cada uno 1. 4 días. 2. 22 días. 3. 50 litros