3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Reconocer las diferencias entre magnitud y cantidad.
1
Conocer las relaciones Directamente Proporcionales e
Inversamente Proporcionales y su aplicación a situaciones
de la vida real.
2
Conocer las propiedades de las magnitudes proporcionales
y aplicarlas en la resolución de problemas
3
OBJETIVOS
DE
LA
SESIÓN
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C U R S O D E A R I T M É T I C A
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Cuando nos realizamos un examen médico, miden diferentes parámetros que
resultan indicativos de nuestra salud.
Introducción:
MAGNITUD:
Es una propiedad o atributo
observable que pueden ser
medida ya que es susceptible a
cambiar sus valores.
Ejemplos:
• Talla
• Temperatura
• Masa
• Cantidad de personas
CANTIDAD:
Son los valores o intensidades
en la que una magnitud se
expresa.
Ejemplos:
• 1,75 m
• 37 °C
• 68 kg
• 42 personas
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Si se compra una mayor cantidad de chompas, deberemos pagar una mayor
cantidad.
Imaginemos por un momento que se desea comprar varias chompas, por
tanto podríamos construir el siguiente cuadro:
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP):
Cantidad a pagar S/ 90 S/ 180 S/ 270 S/ 405 S/ 540
Cantidad de chompas 2 4 6 9 12
× 𝟐
× 𝟐
× 𝟑
× 𝟑
×
𝟑
𝟐
×
𝟑
𝟐
× 𝟐
× 𝟐
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De la información anterior podemos calcular el valor de cada chompa:
90
2
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐴
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐵
= 𝑘
Para dos magnitudes A y B que son DP
Se cumple que:
=
180
4
=
270
6
=
405
9
=
540
12
= 45
Dos magnitudes serán directamente proporcionales (DP) si
al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los
valores correspondientes de la otra magnitud también
aumentan o disminuyen en la misma proporción.
De lo observado podemos decir que:
𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒂 𝒑𝒂𝒈𝒂𝒓
𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒉𝒐𝒎𝒑𝒂𝒔
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Aplicación 1:
Si las magnitudes A y B son DP,
cuyos valores son 150 y 90,
determine el valor de B si A
aumenta 50 unidades a su valor.
Resolución:
Nos piden determinar el valor que toma B.
Por dato:
150
90
=
150 + 50
𝑥
𝑥 =
200 × 90
150
𝑥 = 120
Rpta. 120
𝐴 𝑫𝑷 𝐵
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐴
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐵
= 𝑘
Así tendremos:
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Un bus interprovincial parte de la ciudad de Lima con rumbo a la ciudad de
Ica.
Al momento de planificar el viaje, el chofer del bus observa que al relacionar
la velocidad y el tiempo obtiene el siguiente cuadro:
Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP):
Velocidad del bus (km/h) 100 50 150 30 120
Tiempo empleado (h) 6 12 4 20 5
÷ 𝟐
× 𝟐
×3
÷3
÷ 𝟓
× 𝟓
× 𝟒
÷ 𝟒
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C U R S O D E A R I T M É T I C A
De la información anterior podemos determinar la distancia que debe recorrer el bus:
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎
𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐴
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎
𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐵
= 𝑘
Para dos magnitudes A y B que son IP
se cumple que:
100 × 6 = 50 × 12 = 150 × 4 = 30 × 20 = 120 × 5 = 600
Dos magnitudes serán inversamente proporcionales (IP) si
al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los
valores correspondientes de la otra magnitud disminuye o
aumentan en la misma proporción.
De lo observado podemos decir que:
𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 = (𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅)(𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐)
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Aplicación 2:
Sabiendo que la cantidad de
albañiles es IP al tiempo que toma
en construirse un edificio,
determine cuántas semanas le
tomará a un grupo de 50 albañiles
construir un edificio, si cuando se
emplea a 75 albañiles la obra
demora 6 semanas.
Resolución:
Nos piden determinar la cantidad de semanas que se emplean en
construir el edificio.
Por dato sabemos que:
75 × 6 = 50 × 𝑡 𝑡 =
75 × 6
50
𝑡 = 9
Rpta. 9 semanas
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙𝑒𝑠
𝐼𝑃
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎𝑙𝑏𝑎ñ𝑖𝑙𝑒𝑠
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠
= 𝑘
Así podemos decir que:
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Propiedades:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐴 𝑦 𝐵 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝐷𝑃
𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑀 𝑦 𝑁 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝐼𝑃
𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝐴 𝑫𝑷 B ↔ 𝐵 𝑫𝑷 𝐴 𝑀 𝑰𝑷 𝑁 ↔ 𝑁 𝑰𝑷 𝑀
𝐴 𝑫𝑷 B ↔ 𝐴𝑛 𝑫𝑷 𝐵𝑛
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑛 ∈ ℚ 𝑦 𝑛 ≠ 0 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑝 ∈ ℚ 𝑦 𝑝 ≠ 0
𝑀 𝑰𝑷 𝑁 ↔ 𝑀𝑝 𝑰𝑷 𝑁𝑝
𝐴 𝑫𝑷 𝐵 ↔ 𝐴 𝑰𝑷
1
𝐵
𝑀 𝑰𝑷 𝑁 ↔ 𝑀 𝑫𝑷
1
𝑁
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸
𝑞𝑢𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑔𝑢𝑎𝑟𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:
𝐴 𝐷𝑃 𝐵 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑡𝑒𝑠
𝐴 𝐼𝑃 𝐶 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐵, 𝐷 𝑦 𝐸 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑡𝑒𝑠
𝐴 𝐷𝑃 𝐷 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐸 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑡𝑒𝑠
𝐴 𝐼𝑃 𝐸 (𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑡𝑒𝑠)
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝐴 × 𝐶 × 𝐸
𝐵 × 𝐷
= 𝑘
𝐵
× C
× 𝐷
× 𝐸
= 𝑘
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Aplicación 3:
Sean A, B y C tres magnitudes que
guardan las siguientes relaciones de
proporcionalidad:
• 𝐶 𝑰𝑷 𝐵 (cuando A es cte.)
• 𝐴 𝑫𝑷 𝐶 (cuando B es cte.)
Determine 𝑥 + 𝑦 , a partir de la
siguiente información:
𝑨 8 𝑥 8
𝑩 3 3 6
𝑪 32 18 𝑦
Resolución:
Nos piden determinar: 𝑥 + 𝑦
Dado que:
• 𝐶 𝑰𝑷 𝐵 (cuando A es cte.)
• 𝐴 𝑫𝑷 𝐶 (cuando B es cte.) 𝐴2 𝑫𝑷 𝐶
Entonces:
𝐶 × 𝐵
𝐴2
= 𝑘
𝐶 𝑫𝑷 𝐴2
Reemplazando los valores correspondientes:
32 × 3
82 =
18 × 3
𝑥2
𝑥 = 6
=
𝑦 × 6
82
𝑦 = 16 𝑥 + 𝑦 = 6 + 16 = 22
Rpta. 22
