Este documento describe tres métodos para aproximar el valor numérico de una integral: la regla del rectángulo, la regla del trapecio y la regla de Simpson. Explica cómo calcular las aproximaciones usando cada método y cómo estimar el error de cada aproximación. Además, proporciona ejemplos numéricos para calcular las integrales ∫(x2) dx y ∫(cosx) dx usando los tres métodos.
El documento presenta cuatro ejemplos de probabilidades de Bernoulli. El primero calcula la probabilidad de sacar la carta 9 de un mazo de 9 cartas. El segundo calcula la probabilidad de seleccionar al alumno 16 de una clase de 16 alumnos. El tercero calcula la probabilidad de ganar un automóvil al sacar el boleto 342 de una urna con 342 boletos. El cuarto calcula la probabilidad de sacar cruz al lanzar una moneda. En cada caso se presentan las fórmulas de probabilidad de Bernoulli.
Archivos apuntes comandos comunes de matlab para el procesamiento de imágenJuan Ra
Este documento proporciona una guía de los comandos básicos de Matlab para el procesamiento de imágenes, incluyendo cómo cargar, visualizar e implementar operaciones con matrices de imágenes, así como utilizar transformadas de Fourier, filtros digitales y funciones estadísticas. También explica el uso de bucles for, condicionales if y otras herramientas para el procesamiento digital de imágenes.
Este documento presenta 5 ejemplos de distribuciones de probabilidad, incluyendo distribución de Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Explica cada distribución con un ejemplo numérico y calcula las probabilidades relevantes usando la herramienta Epidat 3.1. También incluye ejemplos de distribución gamma y cómo calcular probabilidades, tiempos medios y otros valores estadísticos para esta distribución.
Aplicaciones de la derivada maximos y minimosHedwyn Lizarazo
Este documento describe cómo usar la derivada para calcular máximos y mínimos de una función. Explica que para encontrar un máximo o mínimo, la derivada de la función en ese punto debe ser cero y la segunda derivada debe ser negativa para un máximo y positiva para un mínimo. Incluye ejemplos gráficos de funciones con máximos y mínimos.
Este documento presenta un tutorial sobre el uso de MATLAB para aplicaciones numéricas. Introduce conceptos básicos como variables, vectores, matrices, funciones, polinomios y representación gráfica. Explica cómo crear y manipular este tipo de objetos matemáticos en MATLAB así como realizar cálculos y visualizaciones numéricas. El tutorial contiene numerosos ejemplos paso a paso para ilustrar el uso de las principales funciones y comandos de MATLAB.
Este documento presenta 36 problemas y ejercicios para elaborar diagramas de flujo. Los problemas cubren una variedad de tareas matemáticas y lógicas como ordenar datos, calcular expresiones, resolver ecuaciones, encontrar máximos y mínimos, y más. Se pide que cada diagrama de flujo incluya los datos de entrada, pasos de cálculo, y resultados.
Este documento presenta las instrucciones para un laboratorio sobre circuitos lógicos. Los estudiantes aprenderán a diseñar, minimizar e implementar circuitos lógicos usando álgebra de Boole y mapas de Karnaugh. Analizarán funciones lógicas como FA, FS y comparadores binarios de 2 bits. Usarán el simulador PROTEUS ISIS para validar los circuitos diseñados.
Este documento contiene 18 preguntas de opción múltiple sobre geometría. Cada pregunta presenta una figura geométrica y solicita calcular el valor de un ángulo o longitud desconocida a partir de la información dada en la figura.
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Este documento presenta un programa en Matlab para resolver un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico. Se define un dominio para la variable x y las funciones y1 y y2. Luego se grafican y1 y y2 en la misma figura y se encuentran los índices donde se intersectan, lo que indica las soluciones del sistema. Finalmente se imprimen los índices y valores de las soluciones.
Introducción al Calculo Diferencial de una Función Real ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
1) El documento habla sobre la derivada de una función real y sus aplicaciones. 2) La derivada representa la pendiente de la recta tangente a una función en un punto y puede usarse para calcular razones de cambio. 3) Las derivadas se usan para encontrar máximos y mínimos de funciones.
1) El documento presenta ejemplos de diferentes distribuciones de probabilidad como Bernoulli, binomial, Poisson, normal y gamma. Incluye ejemplos numéricos para calcular probabilidades usando cada distribución.
2) Se explican conceptos básicos de cada distribución como la probabilidad de éxito, el número de ensayos, la media y desviación estándar.
3) Los ejemplos cubren temas como lanzar monedas, dados, tiros al blanco, solicitudes de préstamo y tiempos de viaje, entre otros. Se calculan probabilidades para
El documento presenta los pasos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica cómo encontrar la solución general y particular, y presenta modelos para crecimiento exponencial, logístico, costos marginales, enfriamiento de Newton y difusión de una noticia. Como ejemplo, modela la difusión de una noticia en 1000 personas y encuentra la solución particular cuando y(0)=0 y y(1)=100. Luego, usa el modelo de enfriamiento para calcular la temperatura de un objeto a los 15 minutos y el tiempo para enfriarse a 21°C
Este documento contiene 21 ejercicios de geometría sobre triángulos, cuadriláteros notables, congruencia, relaciones métricas, trapecios y circunferencias. Los estudiantes deben calcular valores angulares y de longitudes desconocidas. El objetivo es que practiquen conceptos geométricos básicos como ángulos, lados, teoremas y propiedades de figuras planas.
Este documento contiene información sobre fechas de entrega y procesos de evaluación para grados 10 y 11 en el colegio Ciudad de Cartago. Los estudiantes deben entregar sus trabajos el 16 de abril en el cuaderno grande de talleres. Quienes tengan bajo rendimiento académico deberán hacer una sustentación oral. El 50% de la evaluación proviene de talleres y tareas, y el otro 50% de evaluaciones y sustentaciones.
Este documento presenta varios métodos numéricos utilizados en ciencias e ingeniería, incluyendo:
1) Programas para calcular factoriales, números primos y funciones trigonométricas en Matlab.
2) Métodos gráficos, bisección, falsa posición y puntos fijos para encontrar raíces.
3) Método de Newton-Raphson, secante y métodos para raíces de polinomios como Müller y Bairstow.
El documento presenta los conceptos básicos sobre la presentación de resultados de mediciones, incluyendo la expresión del valor medido, su error absoluto y relativo. Explica que el resultado debe expresarse con su incertidumbre y cómo tratar los errores cuando el resultado proviene de una fórmula con varias variables.
Graficas de las funciones trigonometricasfabianvidal
Este documento describe las características de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Explica que el dominio de todas las funciones es el conjunto de los números reales y que el período del seno y coseno es 2π, mientras que el período de la tangente es π. También indica que el seno y coseno toman valores entre -1 y 1, mientras que el dominio de la tangente son los números reales.
El documento trata sobre el concepto de derivada y sus aplicaciones en ingeniería de sistemas e industrias. Explica que la derivada es fundamental para desarrollar fórmulas aplicables en ciencia e innovación industrial. Luego presenta ejemplos de cómo se usa la derivada en ingeniería de sistemas, como para diseñar programas que involucren velocidades. Finalmente, propone ejercicios resueltos sobre maximización de funciones y cálculo de puntos críticos para encontrar máximos y mínimos.
Este documento presenta dos problemas de teoría de probabilidades. El primero involucra calcular varias probabilidades asociadas a un canal de comunicaciones ternario. El segundo involucra calcular la probabilidad de que dos teléfonos comprados no sean defectuosos, dado que el 30% de los teléfonos fabricados son defectuosos y los robots de calidad tienen una probabilidad de 0.9 de detectarlos y 0.2 de marcarlos como defectuosos si no lo son.
Cinco ejemplos de aplicación de las distribuciones de probabilidad.leonardo19940511
Este documento presenta ejemplos de las principales distribuciones de probabilidad: Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Incluye 5 ejemplos para cada distribución ilustrando cómo calcular la probabilidad de diferentes eventos. Por ejemplo, calcula la probabilidad de obtener determinados resultados al lanzar una moneda o sacar boletos de una urna usando la distribución de Bernoulli o binomial.
Muestra de algunas páginas de la presentación final gráficas senoidales y sus características. Espero que sea de provecho esta pequeña muestra. Si desean la presentación completa favor visitar www.matematicaspr.com. Tambien tenemos en el blog de www.matematicaspr.com esta publicación con link a la presentacion interactiva.
Este documento presenta una guía sobre el trazado de gráficas de funciones utilizando las herramientas de la diferenciación, como criterios de primera y segunda derivada. Explica cómo obtener información de una función a partir de sus derivadas para determinar puntos críticos, intervalos de crecimiento, máximos, mínimos, puntos de inflexión, concavidad y trazar la gráfica. Incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos para que los estudiantes apliquen los conceptos.
Este documento presenta una introducción a las puertas lógicas y su uso en circuitos electrónicos de control. Explica los símbolos y tablas de verdad de puertas como AND, OR y NOT. Luego describe métodos para implementar funciones lógicas usando puertas, incluyendo la simplificación mediante mapas de Karnaugh. El objetivo es proporcionar las herramientas básicas para analizar y diseñar circuitos digitales.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica, incluyendo:
1) El plano cartesiano y cómo representar puntos y figuras geométricas en él.
2) Cómo calcular la distancia entre dos puntos usando el teorema de Pitágoras.
3) Cómo encontrar la pendiente de un segmento y su relación con la tangente del ángulo formado con el eje X.
Este documento presenta 5 ejemplos para ilustrar la aplicación de las distribuciones de Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Explica conceptos como probabilidad de éxito, probabilidad de fracaso, variables aleatorias y parámetros asociados a cada distribución. Los ejemplos incluyen lanzar monedas, dados y otros experimentos aleatorios para calcular probabilidades bajo cada distribución.
Este documento presenta conceptos clave sobre funciones y gráficas. Explica qué es una función, cómo se representa gráficamente y cómo se determinan el dominio y el recorrido. Además, introduce conceptos como la continuidad, las funciones periódicas y las simetrías. El objetivo es que el estudiante aprenda a reconocer e interpretar las características principales de las funciones y sus representaciones gráficas.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver integrales definidas e indefinidas, incluyendo cambio de variable, división de polinomios, integración por partes e ILATE. Explica cómo aplicar estos métodos para expresar integrales en formas más simples de integrar.
Este documento presenta la resolución de 6 problemas relacionados con números complejos y ecuaciones. Los problemas incluyen calcular raíces y valores de expresiones complejas, hallar áreas definidas por desigualdades de módulos de números complejos, y determinar el número de soluciones de una ecuación cuadrática. Cada problema contiene los pasos de resolución detallados.
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3) Los ejemplos cubren temas como lanzar monedas, dados, tiros al blanco, solicitudes de préstamo y tiempos de viaje, entre otros. Se calculan probabilidades para
El documento presenta los pasos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Explica cómo encontrar la solución general y particular, y presenta modelos para crecimiento exponencial, logístico, costos marginales, enfriamiento de Newton y difusión de una noticia. Como ejemplo, modela la difusión de una noticia en 1000 personas y encuentra la solución particular cuando y(0)=0 y y(1)=100. Luego, usa el modelo de enfriamiento para calcular la temperatura de un objeto a los 15 minutos y el tiempo para enfriarse a 21°C
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1) Programas para calcular factoriales, números primos y funciones trigonométricas en Matlab.
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Este documento explica cómo resolver integrales mediante fracciones parciales e identidades trigonométricas. Presenta ejemplos de integrales que involucran factores cuadráticos, funciones trigonométricas y raíces cuadradas, y muestra los pasos para descomponerlas y encontrar la solución utilizando sustituciones y propiedades de las funciones.
Este documento introduce las I-álgebras, un tipo de álgebra que generaliza los números complejos y mantiene la conmutatividad y asociatividad. Se define una nueva notación para los elementos de las I-álgebras y se demuestran propiedades como la conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación. Sin embargo, al igual que en las matrices, no existe un inverso multiplicativo generalizado en las I-álgebras. El documento también esboza una posible generalización de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para funciones definidas sobre las I-álgebras
Este documento presenta 8 problemas de programación para un laboratorio de Informática II. Los problemas incluyen calcular raíces de ecuaciones de segundo grado, calcular promedios finales y letras de calificación para una asignatura, calcular promedios generales y por asignatura para 3 materias, realizar operaciones matemáticas básicas con 2 números, calcular promedios y sumas usando bucles, calcular área y perímetro de un triángulo rectángulo, calcular producto, suma y promedio de 4 variables, y generar una tabla de multiplic
El documento presenta ejemplos de resolución de integrales mediante integración por partes y fracciones parciales. Se resuelven integrales del tipo ∫f(x)g'(x) dx utilizando cambios de variable y sumando constantes de integración. También se explica cómo descomponer integrales con factores lineales repetidos usando fracciones parciales.
El documento describe las funciones raíz cuadrada, exponenciales y logaritmo natural. Explica que las funciones raíz cuadrada tienen la forma √(x) y deben satisfacer la desigualdad (x)≥0. Las funciones exponenciales tienen la forma ex y se grafican mediante tabulación. Las funciones logaritmo natural tienen la forma Ln(x) y requieren satisfacer la desigualdad x>0. Incluye ejemplos de cómo graficar cada tipo de función.
Este documento presenta 7 ejemplos de cálculo integral resueltos usando diferentes técnicas como sustitución de variables, completar cuadrado, integración trigonométrica, fracciones impropias, separación de fracciones, multiplicación por una forma de uno, y eliminación de raíces cuadradas. Los ejemplos ilustran cómo aplicar estas técnicas para evaluar integrales definidas.
El documento presenta un examen de matemáticas aplicado a estudiantes de ingeniería. El examen contiene 14 preguntas divididas en 4 secciones: verdadero o falso, completación, selección múltiple y desarrollo. El examen evalúa las unidades 1 y 2 del programa de matemáticas II e incluye instrucciones generales para los estudiantes.
Este documento presenta una unidad sobre integración en cálculo vectorial. La unidad cubre varios temas clave como integrales de línea, integrales dobles y triples, y aplicaciones de estas integrales al cálculo de áreas y volúmenes. Incluye ejemplos y definiciones de conceptos matemáticos fundamentales relacionados con la integración en varias dimensiones.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Existen distintos métodos de aproximar el valor de una integral, y en algunos casos es la
única manera de obtener un valor numérico para ciertas integrales a las cuáles no podemos
encontrarles solución.
Regla del rectángulo
Consiste en elegir un sub-intervalo donde es el número de rectángulos que
usaremos para aproximar, entre más rectángulos se utilicen mas exacta es la aproximación.
La aproximación esta dada por la siguiente expresión:
∫ ( ) ∑ ( )
Llamaremos a la expresión ∑ ( )
Podemos elegir distintos , puede ser un punto a la izquierda, uno a la derecha, o el punto
medio del sub-intervalo .
En caso de que elijamos el punto de la izquierda, queda de la siguiente forma:
( )
En caso de que elijamos el punto de la derecha, queda expresado por:
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
2. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Por último en caso de que elijamos usar el punto medio, queda expresado por:
( )
En toda aproximación se comenten errores, en este caso al calcular el valor de una integral
por el método de los rectángulos con elección de punto medio el error se expresa de la
siguiente manera:
| ( )|( )
| ( )|
| ( )| |∫ ( ) |
a) Calcular por el la regla de los rectángulos la integral ∫ ( ) , con y las tres
maneras distintas de elegir los puntos, además estimar el error.
Primero calculamos , que será el mismo para los tres casos.
Ahora eligiendo los puntos de la izquierda, los puntos son los siguientes:
Lo más conveniente es colocar los en una tabla y calcular ( ), será más ordenado y tenemos
menos posibilidades de equivocarnos.
( ) ( )
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
3. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Entonces podemos aproximar el valor de la integral por
∫ ( ) ∑ ( )
∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Ahora eligiendo los puntos de la derecha, los puntos son los siguientes:
La tabla queda de la siguiente manera:
( ) ( )
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Entonces el valor aproximado de la integral esta dado por:
∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Ahora eligiendo los el punto medio de cada sub-intervalo, los puntos son los siguientes:
La tabla queda de la siguiente manera:
( ) ( )
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
4. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Entonces el valor aproximado de la integral esta dado por:
∑ ( ) ∑ ( ) ( )
Para calcular el error primero se debe calcular ( )para expresarlo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Entonces el error esta dado por:
| ( )|( )
| ( )|
( )
| ( )|
Finalmente:
|∫ ( ) |
Regla del trapecio
Al igual que en la regla del rectángulo debemos elegir un donde es el número de
trapecios que usaremos para aproximar, entre más trapecios se utilicen mas exacta es la
aproximación.
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
5. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
La aproximación esta dada por la siguiente expresión:
∫ ( ) ( ( ) ( ) ∑ ( ))
Llamaremos a la expresión ( ( ) ( ) ∑ ( ))
En la regla del trapecio los quedan de la siguiente forma:
=b
El por la regla del trapecio se expresa de la siguiente manera:
| ( )|( )
| ( )|
| ( )| |∫ ( ) |
b) Calcular por el la regla del trapecio el valor de la integral ∫ ( ) , con y
además estimar el error.
Primero calculamos :
Entonces los puntos son los siguientes:
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
6. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Al igual que en la regla del rectángulo es mejor colocar los en una tabla y calcular ( ):
( )
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
⁄ ⁄
4 -12
Entonces el valor aproximado de la integral esta dado por:
( ( ) ( ) ∑ ( )) ( ( ) ∑ ( ))
( ( ) ( ( ) ( )))
Para calcular el error primero se debe calcular ( )para expresarlo:
( ) ( ) ( )
Entonces el error esta dado por:
| ( )|( )
| ( )|
( )
| ( )|
Finalmente:
|∫ ( ) |
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7. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Regla de Simpson
Al igual que en las reglas anteriores debemos elegir un donde debe ser un
número par, entre más grande sea el valor de , mejor es nuestra aproximación.
La aproximación esta dada por la siguiente expresión:
∫ ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
Llamamos a ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
Los quedan configurados igual que los de la regla del trapecio:
=b
El por la regla del trapecio se expresa de la siguiente manera:
| ( )|( )
| ( )|
| ( )| |∫ ( ) |
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8. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
c) Calcular por el la regla de Simpson de la integral ∫ ( ) , con .
Primero calculamos :
Entonces los puntos son los siguientes:
Construimos la tabla con y ( ):
( )
⁄ ( )
⁄ ( )
( )
⁄ ( )
⁄ ( )
1
Entonces el valor aproximado de la integral esta dado por:
∫ ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ))
Como dato anexo, la integral anterior no se puede calcular por los métodos que conocemos, y
necesitan de un cálculo más avanzado.
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
9. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Como hemos visto, la integral nos permite calcular el área que delimita la función que se
esta integrando con el eje de integración, pero también nos permite calcular el área que
encierran dos o más funciones.
Área encerrada por una curva respecto al eje x
En este caso para calcular el área debemos tener presente que el intervalo [a, b],
representa dos rectas, una es x=a y la otra x=b, entonces el área queda cerrada y es finita.
Entonces:
∫ ( )
En caso de que la curva se mueva por el III y IV cuadrante, la integral que obtenemos es
negativa, por lo tanto esa integral debemos multiplicarla por -1, para poder sumarla al área,
recordemos que en área no existen valores negativos.
d) Calcular el área encerrada por ( ) en el intervalo [ ] respecto al eje
de las x.
Primero hacer un análisis de la función para saber si en algún lugar esta toma valores negativos,
porque en esos casos debemos tratar de otra manera la integral en ese intervalo. Para saber buscamos
las raíces de la función en el intervalo de integración.
( ) ( )( ) ⇒
Dividimos el intervalo de integración en tres para este caso (en general se divide en 1+n, donde n es
el número de raíces (mayores a uno) únicas que posee la función), buscamos cualquier punto en esos
intervalos y evaluamos la función en ese punto para saber que signo toma la función en ese intervalo,
para ello usamos una tabla:
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
10. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
( )
[ ]
[ ]
[ ]
Gracias a la tabla nos ahorramos realizar el gráfico de la función y sabemos que la integral tendrá
valores positivos en los intervalos[ ] y [ ], y valor negativo en el intervalo [ ], por lo tanto
podemos expresar el área como la suma de tres integrales (porque son 3 intervalos), la cuál nos queda
expresada:
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
La segunda integral la sumamos con signo negativo, porque de la tabla se obtuvo que su valor es
negativo, entonces para poder sumarla al área debemos multiplicarla por -1, resolviendo por STFC,
obtenemos:
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ( )) ( ( ))
( ) [ ]
Área encerrada por una curva respecto al eje y
Para este primero que todo debemos fijarnos que ya no trabajaremos con ( ), ahora como
es respecto al eje y usamos ( ), también los límites de integración cambiaran. Se realiza el
mismo análisis del signo de la integral, pero en este caso si la función ( ) se mueve por el II y
el III cuadrante, tiene un valor negativo.
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
11. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
Entonces:
∫ ( )
e) Calcular el área encerrada por ( ) ( ) en [ ] respecto al eje y.
Como la curva a integrar esta en función a x, lo primero que hay que realizar es dejarla en función a
y, además calcular el nuevo intervalo.
( )⇒ ⇒ ⇒ ( )
Ahora calculamos el nuevo intervalo, y buscamos si ( ) posee raíces en el intervalo [0, 3]:
⇒ ( )
⇒ ( )
Entonces la única raíz que tiene en el intervalo pedido es y=ln(5) por lo tanto, sólo tenemos un
intervalo y estudiamos su signo:
( )
[ ( ) ( )] ( )
Por lo tanto el valor de la integral es positivo, entonces finalmente calculamos el área de la función
respecto al eje y:
( )
( ) ( )
∫ ⇒ ( ) ( ( )) ( ) [ ]
( )
Área encerrada dos o más curvas
Para calcular el área encerrada por dos curvas, hay que tener cuidado con curva se
encuentra sobre otra, ya que si tenemos dos funciones y ( ) la expresión que nos permite
obtener el área encerrada por las dos curvas en un intervalo [a, b] es:
∫ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca
12. Cálculo II
Ayudantía 08/ Integración numérica y cálculo de áreas
En caso de que ( ) ( ) en un intervalo [a, c], ( ) ( ) en un intervalo [c, d] y
( ) ( ) en un intervalo [d, b], o sea las funciones se cruzan, para obtener el área
encerrada por ambas curvas en el intervalo [a, b] hay que usar la expresión:
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
Si no se tiene conocimiento sobre la gráfica de las funciones, lo aconsejable es hacer una
tabla con los sub-intervalos y así obtenemos que función va sobre la otra, también es
importante el estudio del signo, tiene el mismo tratamiento que el cálculo de áreas anteriores,
por último si son más de dos funciones el estudio debe hacerse para las que sean necesarias.
f) Calcular el área determinada por ( ) , ( ) y ( ) .
Primero hay que calcular los límites de integración, para esto debemos ver donde las curvas se
intersectan.
⇒
⇒
⇒
Entonces tenemos dos intervalos de integración [-1,0], [0,1], realizamos una tabla para averiguar
que curva es la superior:
( ) ( ) ( )
[ ]
[ ]
Obtenemos que ( )e esta bajo ( ) en el intervalo [-1,0] y ( ) esta bajo ( ) en el intervalo [0,-1],
la única intersección entre ( ) y ( ) es 0, por lo tanto no encierran área, sólo delimitan el intervalo,
con todo esto el área se expresa por:
∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( )
Resolviendo la integral y aplicando segundo teorema fundamental del cálculo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )
[ ]
Francisco Mateo Elgueda / Universidad de Talca