Este documento resume los conceptos de trayectorias y curvas, campos vectoriales e integrales de línea en cálculo vectorial. Define trayectorias como funciones que asignan puntos en un intervalo a un espacio vectorial, y describe cómo calcular la velocidad, tangente y longitud de arco de una trayectoria. Explica que un campo vectorial asigna un vector a cada punto en un dominio, y define la divergencia y rotacional. Finalmente, introduce el concepto de integrales de línea como una forma de integrar funciones a lo largo de trayectorias.

1. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
C´lculo Vectorial
a
Fernando Cede˜o.
n
Fernando Cede˜o.
n

2. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
1 Trayectorias y Curvas
Definici´n
o
Velocidad y tangente de una trayectoria
Longitud de Arco
2 Campos Vectoriales
Definici´n
o
Divergencia y Rotacional de un Campo Vectorial
2 Integrales de linea
Integrales de linea de un campo escalar
Fernando Cede˜o.
n

3. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
Una trayectoria en n es una aplicaci´n σ : [a, b] →
o n
Figura: Trayectoria.
Fernando Cede˜o.
n

4. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
La recta L en 3 que pasa por el punto (x0 , y0 , z0 ) con la direcci´n
o
del vector v es la imagen de la trayectoria
σ(t) = (x0 , y0 , z0 ) + tv
Figura: Ejemplo 1.
Fernando Cede˜o.
n

5. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
La circunferencia de radio 1 x 2 + y 2 = 1 coincide con la trayectoria
σ : → 2 , σ(t) = (cos(t), sin(t)),0 ≤ t ≤ 2π
Figura: Ejemplo 3.
Fernando Cede˜o.
n

6. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
La σ(t) = (t, t 2 ) traza un arco de parabola que coincide con la
gr´fica f (x) = x 2
a
Figura: Ejemplo 4.
Fernando Cede˜o.
n

7. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
Si σ es una trayectoria y es diferenciable decimos que σ es una
trayectoria diferenciable. La velocidad de σ en el instante t se
define como
σ(t + h) − σ(t)
σ (t) = l´ım
h→0 h
Normalmente trazamos σ (t) con origen en el punto σ(t). La
rapidez de la trayectoria σ(t) es s = σ (t) la longitud del vector
velocidad.
Fernando Cede˜o.
n

8. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
Si σ(t) = (x(t), y (t)) esta en 2 se tiene que
σ (t) = (x (t), y (t))
.
Si σ(t) = (x(t), y (t), z(t)) esta en 3 se tiene que
σ (t) = (x (t), y (t), z (t))
.
Fernando Cede˜o.
n

9. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
Si σ (t) = 0 en el instante t el vector σ (t) es tangente a la
trayectoria σ(t) .
Fernando Cede˜o.
n

10. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
Fernando Cede˜o.
n

11. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Trayectorias y Curvas.
Ejemplo:
La longitud de arco de la trayectoria σ(t) = (r cos(t), r sin(t)) para
t en [0, 2π]
Fernando Cede˜o.
n

12. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Campos Vectoriales.
Un campo vectorial en n es una funci´n F : A ⊆ N →
o N que
asigna a cada punto x en su dominio A un vector F (x)
Fernando Cede˜o.
n

13. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Campos Vectoriales.
Figura: Ejemplo 5.
Fernando Cede˜o.
n

14. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Campos Vectoriales.
Ejemplo algunos movimientos giratorios(por ejemplo el movimiento
de un plato que esta rodando) pueden describirse mediante campo
vectorial
V (x, y ) = −y i + xj
Figura: Ejemplo 6.
Fernando Cede˜o.
n

15. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Campos Vectoriales.
El operador nabla definido por
∂ ∂ ∂
=i +j +k
∂x ∂y ∂z
Podemos escribir el gradiente
∂ ∂ ∂ ∂f ∂f ∂f
f = (i +j + k )f = i +j +k
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
Fernando Cede˜o.
n

16. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Divergencia.
La Divergencia es
div (F ) = ·F
¿Qu´ es?. Un campo escalar.
e
¿A qui´n se halla?. A campos vectoriales en general.
e
¿D´nde existe?. En el espacio tridimensional.
o
Fernando Cede˜o.
n

17. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Divergencia.
Si F representa el flujo de un fluido, entonces la divergencia ,
representa la tasa de expansi´n por unidad de volumen bajo el
o
flujo del fluido.
Si el div (F ) < 0 se est´ comprimiendo.
a
Si el div (F ) > 0 se est´ expandiendo.
a
Si el div (F ) = 0 es incompresible.
Conforme el fluido se mueve el volumen (´rea) de control se
a
comprime, expande o queda igual.
Si div (F ) = 0 para todo punto del dominio el campo se llama
incompresible.
Fernando Cede˜o.
n

18. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Rotacional.
El Rotacional es
rot(F ) = ×F
¿Qu´ es?. Un campo vectorial
e
¿A qui´n se halla?. A campos vectoriales tridimensionales.
e
¿No se puede hallar a campos bidimensionales?. Si,
consider´ndo su tercera componente cero.
a
¿Es ortogonal a F?. No necesariamente.
Fernando Cede˜o.
n

19. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Rotacional.
Si F representa el flujo de un fluido, entonces el rotacional, en
un punto, es el doble del vector velocidad angular de un
cuerpo r´
ıgido que gira como el fluido cerca de ese punto.
Si el rot(F)=0 en un punto significa que el fluido no tiene
rotaciones en ese punto, es decir no tiene remolinos. Una
rueda con aspas r´ıgidas en el fluido se mover´ con el fluido
a
pero no girar´ alrededor de su eje.
a
Si rot(F)=0 para todo punto del dominio, el campo se llama
irrotacional.
Fernando Cede˜o.
n

20. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Integrales de linea.
La integral de f (x1 , x2 , . . . , xn ) a lo largo de una trayectoria σ
definida como σ : [a, b] → n
b
fds = f (σ(t)) σ (t) dt
σ a
Ejemplo: sea σ la h´liceσ : [0, 2π] → 3 , σ(t) = (cos t, sin t, t) y
e
sea f (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 evaluar la integral
σ f (x, y , z)ds
Fernando Cede˜o.
n

21. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Integrales de linea.
supongamos que la imagen σ : [a, b] → 3 representa un
alambre y f (x, y , z) es la densidad de masa entonces la
integral de f sera la masa total del alambre
supongamos que la imagen σ : [a, b] → 3 representa un
alambre y f (x, y , z) indica la temperatura entonces la integral
de f sera la temperatura media del alambre
Fernando Cede˜o.
n

22. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Integrales de linea.
Integrales a la largo de trayectorias planas σ : [a, b] → 2
f (x, y )ds
σ
Figura: Ejemplo 6.
Fernando Cede˜o.
n

23. Trayectorias y Curvas
Campos Vectoriales
Integrales de linea
Algoritmo A.
Entrada N,σ (t) , a ≤ t ≤ b y σ(0)
b−a
Calculamos h = N
Para i = 1 . . . N
σ(i) = σ(i − 1) + hσ (a + h(i − 1))
Fin Para
Retorna σ
Fernando Cede˜o.
n