Problema resuelto sobre máximos y mínimos: Maximizar área cercada. Solved problem about derivative applications

1. Aplicaciones de la derivada. licmata@hotmail.com
Alumno: _________________________________
Grupo: ____ Sección: _____ Fecha: ___________
Problema: Cercar terreno (tres lados). Material para 100 m.
Diagrama y análisis del problema.
Sólo es necesario cercar tres lados del terreno.
El proceso de análisis consiste en elegir una me-
dida para el ancho y luego calcular la longitud.
x Si el ancho es de 10 metros, la longitud será de
100 - 2(10) = 80
100-2x El área que se obtiene es de 10 x 80 = 800
Conforme vamos cambiando el ancho del te-
Cruza el eje equis en: 0 y 50 (Gráfica) rreno el área va aumentando, hasta un cierto
Tabular hasta 50/2 +10 = 35 ó 40 valor, donde comienza a disminuir.
Valores de tabulación: 5, 10, 15, …, 35
Tabulación en la que se observa el punto crítico de interés (Máximo o mínimo)
Ancho del Longitu del El área máxima se obtuvo, en primera ins-
Área del terreno (y)
terreno (x) terreno tancia, cuando el ancho del terreno es de 25
0 100 0.0 m, obteniendo un área de 1250.
5 90 450.0 Tomando valores cercanos, no se obtiene un
mejor resultado, por lo que consideramos
10 80 800.0 que la solución es tomar un ancho de 25 m.
15 70 1050.0 Para obtener la ecuación se toma como
20 60 1200.0 equis el ancho del terreno, por lo que el
25 50 1250.0 área es:
30 40 1200.0
A  x(100  2 x)
35 30 1050.0
40 20 800.0 A  100 x  2 x 2
28 44 1232.0
23 54 1242.0
x (100  2 x) x(100  2x)
Máximos y mínimo relativos de una función Formato 15

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Gráfica.
Función que se va a derivar: Derivada: Igualar a cero la derivada:
y  2 x  100 x
2
y  2 x 2  100 x dy 4 x  100  0
 4 x  100
dx
Puntos máximos y mínimos de interés. Análisis de la gráfica: Ceros de la función, otros máximos y mínimos.
La curva corta al eje equis en: x = 0 y x = 50 porque si se toma un
x  25 Máximo ancho de 0, no se forma ningún rectángulo, algo similar sucede si se
toma un ancho de 50, se termina todo el material en dos lados.
Solución del problema: Se deben cercar un terreno que tenga 25 m de ancho.
El ancho del terreno es de 25 m; la longitud, 50 m para obtener un área máxima de 1250 m2.
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