Problema de la XXIX Olimpiada Matemática Thales regional

1. FRACTALES

2. FRACTALES
A Rocío e Isa les gustan mucho unas figuras
geométricas llamadas fractales, y le proponen a sus
compañeros que les ayuden a resolver el siguiente
problema con el fractal que ellas mismas han construido.
Se considera un triángulo equilátero MNP de
área 1 m2
.
Primer paso: En el triángulo MNP, se forma el
triángulo ABC uniendo los puntos medios de sus lados y a
continuación se trazan segmentos que unen,
respectivamente, los vértices A y C con el baricentro O,
creando así el triángulo de color OAC.
Segundo paso: se repite el proceso con el
triángulo PAC.
Y así sucesivamente.
a) ¿Cuál es el área del triángulo de color
O”A”C” creado en el paso tercero?
b) ¿Cuál es la suma de las áreas de los
triángulos de color del fractal construido desde el primero
hasta el cuarto paso incluido?
c) Una vez superada esta prueba y sabiendo
que un FRACTAL es un objeto geométrico cuya estructura
básica, regular o irregular, se repite a todas las escalas,
dibuja otro fractal diferente del anterior.
Razona las respuestas.
Solución Menú

3. MenúEnunciado
Solución:
a) ¿Cuál es el área del triángulo de color O”A”C” creado en el paso tercero?
Calculamos el área en el primer paso:
El triángulo ACB que contiene al primer triángulo de color tiene de área
Por tanto, el área del triángulo AOC será la tercera parte del área anterior:
2
m
4
1
2
m
12
1
4
1
3
1
=⋅

4. MenúEnunciado
Solución:
Razonando del mismo modo en el segundo paso, se tiene que:
El triángulo A’B’C’que contiene al segundo triángulo de color tiene de área
y el área del A’O’C’ será la tercera parte :
Por tanto, el área del tercer triángulo de color A’’O’’C’’ será:
2
2
m
16
1
4
1
=
2
m
48
1
16
1
3
1
=⋅
2
3
m
192
1
4
1
3
1
=⋅

5. b) ¿Cuál es la suma de las áreas de los triángulos de color del fractal construido desde
el primero hasta el cuarto paso incluido?
Primero calculamos el área en el 4º paso que no la teníamos. Siguiendo el mismo
proceso que en el apartado anterior:
El área del cuarto triángulo de color será
Obsérvese que las áreas en los diferentes pasos son :
En el paso n-ésimo el área será
La suma que nos piden es:
Solución:
2
4
m
768
1
4
1
3
1
=⋅
768
1
,
192
1
,
48
1
,
12
1
2
m
4
1
3
1
n
⋅
2m
768
85
768
1
768
4
768
16
768
64
768
1
192
1
48
1
12
1
=+++=+++
Enunciado Menú

6. Solución:
Enunciado Menú
c) Una vez superada esta prueba y sabiendo que un FRACTAL es un objeto geométrico
cuya estructura básica, regular o irregular, se repite a todas las escalas, dibuja otro fractal
diferente del anterior.
El triángulo A1 tiene de área
El triángulo A2 tiene de área
El triángulo An tiene de área
2
m
8
1
4
1
2
1
=⋅
2
m
32
1
4
1
2
1
2
=⋅
2
m
4
1
2
1
n
⋅
HEMOS ENCONTRADO
UNA SOLUCIÓN...
¿Habéis encontrado otra?
¿Hay más?

7. Solución:
Enunciado Menú
c) Una vez superada esta prueba y sabiendo que un FRACTAL es un objeto geométrico
cuya estructura básica, regular o irregular, se repite a todas las escalas, dibuja otro fractal
diferente del anterior.
El triángulo A1 tiene de área
El triángulo A2 tiene de área
El triángulo An tiene de área
2
m
8
1
4
1
2
1
=⋅
2
m
32
1
4
1
2
1
2
=⋅
2
m
4
1
2
1
n
⋅
HEMOS ENCONTRADO
UNA SOLUCIÓN...
¿Habéis encontrado otra?
¿Hay más?