Problema de la XXIX Olimpiada Matemática Thales regional

1. El CIRCO

2. Solución Menú
Problema 3: El CIRCO
Manolín − “¡Qué guay! Acaba de llegar el circo Galileo a la ciudad. Este año
trae muchísimas novedades:
- Amplía su función a dos horas,
- tiene dos gradas con 3 escaleras,
- y las gradas comiezan a girar al inicio del espectáculo.”
Pedrín − “¡Cómo! ¿Se mueven los asientos?”
Manolín − “Comienzan a girar en el mismo sentido lentamente para que
podamos ver el escenario desde todos los ángulos. Los asientos más
cercanos a la pista dan dos vueltas durante el espectáculo mientras
que los externos sólo dan una vuelta.”
¿Cada cuánto tiempo estarán los pasillos
completamente alineados?
Razona la respuesta.

3. Solución:
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Observamos que en la planta de la estructura cada una de las gradas con sus
escaleras forman dos coronas circulares.

4. Solución:
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Observamos que en la planta de la estructura cada una de las gradas con sus
escaleras forman dos coronas circulares.
Para saber cuando volverán a coincidir las escaleras tenemos que calcular
cuánto tiempo tarda la escalera 'interior 1' en alcanzar a la escalera 'exterior
2' una vez comenzado el espectáculo.

5. Solución:
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Observamos que en la planta de la estructura cada una de las gradas con sus
escaleras forman dos coronas circulares.
Para saber cuando volverán a coincidir las escaleras tenemos que calcular
cuánto tiempo tarda la escalera 'interior 1' en alcanzar a la escalera 'exterior
2' una vez comenzado el espectáculo.
Identificamos las escaleras con los segmentos radiales que las dividen por la
mitad.

6. Solución:
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Observamos que en la planta de la estructura cada una de las gradas con sus
escaleras forman dos coronas circulares.
Para saber cuando volverán a coincidir las escaleras tenemos que calcular
cuánto tiempo tarda la escalera 'interior 1' en alcanzar a la escalera 'exterior
2' una vez comenzado el espectáculo.
Identificamos las escaleras con los segmentos radiales que las dividen por la
mitad.
Para saber cuándo las escaleras volverán a coincidir
totalmente, tenemos que determinar el tiempo que
transcurre desde el inicio del espectáculo hasta que el
segmento de la escalera 'interior 1' está alineado con
el segmento de la escalera 'exterior 2'.

7. Solución:
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Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.

8. Solución:
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Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Teniendo en cuenta que los segmentos interiores dan dos vueltas en las dos
horas que dura el espectáculo y los exteriores una vuelta, hallamos las
velocidades con que giran los segmentos:

9. Solución:
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Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Teniendo en cuenta que los segmentos interiores dan dos vueltas en las dos
horas que dura el espectáculo y los exteriores una vuelta, hallamos las
velocidades con que giran los segmentos:
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min

10. Solución:
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Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Teniendo en cuenta que los segmentos interiores dan dos vueltas en las dos
horas que dura el espectáculo y los exteriores una vuelta, hallamos las
velocidades con que giran los segmentos:
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min

11. Solución:
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Teniendo en cuenta que los segmentos interiores dan dos vueltas en las dos
horas que dura el espectáculo y los exteriores una vuelta, hallamos las
velocidades con que giran los segmentos:
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Para continuar elige que tipo de resolución quieres:
Aritmética
Algebraica
Con funciones

12. Tipo de resolución: ARITMÉTICA
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Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Si nos fijamos bien este es un típico problema de alcance:
Cambia tipo de resolución

13. Tipo de resolución: ARITMÉTICA
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Si nos fijamos bien este es un típico problema de alcance:
La escalera 'interior 1' se mueve a 6º por minuto para alcanzar a la escalera
'exterior 2'. Está esta situada inicialmente a 120º y se mueve en el mismo
sentido a 3º por minuto.
Cambia tipo de resolución

14. Tipo de resolución: ARITMÉTICA
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Si nos fijamos bien este es un típico problema de alcance:
La escalera 'interior 1' se mueve a 6º por minuto para alcanzar a la escalera
'exterior 2'. Está esta situada inicialmente a 120º y se mueve en el mismo
sentido a 3º por minuto.
La velocidad de aproximación es 6 – 3 = 3º por minuto.
Cambia tipo de resolución

15. Tipo de resolución: ARITMÉTICA
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Si nos fijamos bien este es un típico problema de alcance:
La escalera 'interior 1' se mueve a 6º por minuto para alcanzar a la escalera
'exterior 2'. Está esta situada inicialmente a 120º y se mueve en el mismo
sentido a 3º por minuto.
La velocidad de aproximación es 6 – 3 = 3º por minuto.
Para recorrer los 120º que les separan necesitan:
t = e/v = 120/3 = 40 minutos
Cambia tipo de resolución

16. Tipo de resolución: ALGEBRAICA
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia en el semirrecta r que determina la posición inicial del
segmento 'interior 1', después de x minutos:
r
Cambia tipo de resolución

17. Tipo de resolución: ALGEBRAICA
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia en el semirrecta r que determina la posición inicial del
segmento 'interior 1', después de x minutos:
El segmento 'interior 1' se encuentra a 6x grados de r
y el segmento 'exterior 2' a 120+3x grados.
r
Cambia tipo de resolución

18. Tipo de resolución: ALGEBRAICA
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia en el semirrecta r que determina la posición inicial del
segmento 'interior 1', después de x minutos:
El segmento 'interior 1' se encuentra a 6x grados de r
y el segmento 'exterior 2' a 120+3x grados.
Para calcular los minutos que tienen que pasar para
que los segmentos estén alineados. Tenemos que
resolver la ecuación: 6 x = 120 + 3 x
r
Cambia tipo de resolución

19. Tipo de resolución: ALGEBRAICA
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia en el semirrecta r que determina la posición inicial del
segmento 'interior 1', después de x minutos:
El segmento 'interior 1' se encuentra a 6x grados de r
y el segmento 'exterior 2' a 120+3x grados.
Para calcular los minutos que tienen que pasar para
que los segmentos estén alineados. Tenemos que
resolver la ecuación: 6 x = 120 + 3 x
6x – 3x = 120  3x = 120  x =120/3  x = 40
r
Cambia tipo de resolución

20. Tipo de resolución: ALGEBRAICA
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia en el semirrecta r que determina la posición inicial del
segmento 'interior 1', después de x minutos:
El segmento 'interior 1' se encuentra a 6x grados de r
y el segmento 'exterior 2' a 120+3x grados.
Para calcular los minutos que tienen que pasar para
que los segmentos estén alineados. Tenemos que
resolver la ecuación: 6 x = 120 + 3 x
6x – 3x = 120  3x = 120  x =120/3  x = 40
Coinciden cada 40 minutos
r
Cambia tipo de resolución

21. Tipo de resolución: CON FUNCIONES
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia r, las funciones que determinan los ángulos que forma
'interior 1' y 'exterior 2' con r son y = 6x e y = 120+3x.
r
Cambia tipo de resolución

22. Tipo de resolución: CON FUNCIONES
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia r, las funciones que determinan los ángulos que forma
'interior 1' y 'exterior 2' con r son y = 6x e y = 120+3x.
El punto de corte de sus graficas nos determina cuándo se alinean.
r
Cambia tipo de resolución

23. Tipo de resolución: CON FUNCIONES
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia r, las funciones que determinan los ángulos que forma
'interior 1' y 'exterior 2' con r son y = 6x e y = 120+3x.
El punto de corte de sus graficas nos determina cuándo se alinean.
Cambia tipo de resolución
r

24. Tipo de resolución: CON FUNCIONES
MenúEnunciado
Cada segmento, divide a las coronas circulares en trozos iguales de 120º.
Velocidad del segmento interior: 2·360º / 120 min = 6º/min
Velocidad del segmento exterior: 360º / 120 min = 3º/min
Fijando la referencia r, las funciones que determinan los ángulos que forma
'interior 1' y 'exterior 2' con r son y = 6x e y = 120+3x.
El punto de corte de sus graficas nos determina cuándo se alinean.
r
Coinciden cada 40 minutos
Cambia tipo de resolución

25. Solución:
Cada 40 minutos estarán
los pasillos completamente
alineados.
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