Problema de la XXIX Olimpiada Matemática Thales regional

1. UN EXTRAÑO ALGORITMO

2. Solución Menú
Problema CASIO: UN EXTRAÑO ALGORITMO
Ángel es un alumno muy brillante y le gustan los números. Cansado de que
su profesor de Matemáticas, Don Manuel Castro, sea el que siempre
propone problemas, inventa un algoritmo y se atreve a presentárselo:
A partir de un número dado se construye una sucesión de números de la
manera siguiente:
- Cada número es la suma de los cuadrados de las cifras del número
precedente.
- Si el primer número es el 2332011, el segundo es
22
+ 32
+ 32
+ 22
+ 02
+ 12
+ 12
= 28
a) ¿Cuál es el tercero? ¿Y el que ocupa el lugar 2013?
b) ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 2013 partiendo del número 1248?
El Profesor felicitó a Ángel por la iniciativa, animándole a que siguiera
trabajando con los números.
Contesta de forma razonada a las cuestiones propuestas por Ángel.

3. Solución:
MenúEnunciado
a) Si el primer número es el 2332011, el segundo es
22
+32
+32
+22
+02
+12
+12
= 28
¿Cuál es el tercero?
¿Y el que ocupa el lugar 2013?
Empezamos por el número 2332011. Veamos el proceso:
1º.- 2332011
2º.- 2² + 3² + 3² + 2² + 0² + 1² + 1² = 28
3º.- 2² + 8² = 68
4º.- 6²+ 8² = 100
5º.- 1² + 0² + 0² = 1
6º.- 1² = 1
7º.- 1² = 1
8º.- ..........
Nos damos cuenta que desde
el 5º lugar hasta el que ocupa
el lugar 2013, el resultado es 1
Nos damos cuenta que desde
el 5º lugar hasta el que ocupa
el lugar 2013, el resultado es 1

4. Solución:
b) ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 2013 partiendo del número 1248?
Veamos el proceso:
1º.- 1248
2º.- 1² + 2² + 4² + 8² = 85
3º.- 8² + 5² = 89
4º.- 8²+ 9² = 145
5º.- 1² + 4² + 5² = 42
6º.- 4² + 2² = 20
7º.- 2² +0²= 4
8º.- 4²= 16
9º.- 1² + 6²= 37
10º.- 3² + 7²= 58
11º.- 5² + 8²= 89
Enunciado Menú

5. Solución:
Se observa que el resultado se repite cada 8 pasos, quitando los dos
primeros pasos
OCURRE EN LOS PASOS 3º, 11º, 19º, 27º, 35º, …
Así pues, si queremos el número que ocupa el lugar 2013:
Restamos 2013 – 2 = 2011 y dividimos 2011 entre 8 , el resto nos dirá
la posición que ocupa el número que ocupa el lugar 2013.
Como el resto es 3, el número que
ocupa el lugar 2013 coincide con el
que ocupa el lugar 3 + 2, es decir, el
5º.
El resultado es 42
Como el resto es 3, el número que
ocupa el lugar 2013 coincide con el
que ocupa el lugar 3 + 2, es decir, el
5º.
El resultado es 42
Enunciado Menú

6. Solución:
a) ¿Cuál es el tercero? 68
¿Y cuál es el que ocupa el lugar 2013? 1
b) ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 2013
partiendo del número 1248? 42
Enunciado Menú
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES
¿SE PODRÍAN HALLAR DE OTRA FORMA?

7. Solución:
a) ¿Cuál es el tercero? 68
¿Y cuál es el que ocupa el lugar 2013? 1
b) ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 2013
partiendo del número 1248? 42
Enunciado Menú
HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES
¿SE PODRÍAN HALLAR DE OTRA FORMA?