Problema de la XXIX Olimpiada Matemática Thales Provincial

1. 16 - 3 - 2013

2. SoluciónSolución MenúMenú
Enredando con la fecha:
Hoy es sábado 16 de Marzo del 2013. En Todolandia no
paraban de darle vueltas a los números que formaban la
fecha de la olimpiada: 16-3-2013, y nos han propuesto lo
siguiente: ¿Sabrías decir cuál es la última cifra de cada una
de las siguientes cantidades?
a) 2013 3
-16 3
b) (2013:3) 16
c) 16 2013
+ 3 2013
Razona las respuestas.

3. Solución:
Comenzamos contestando a los diferentes apartados
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Para el primer apartado multiplicamos 2013 tres veces
considerando solo la última cifra.
3x 3 x 3 = 27, por lo que acabará en 7
También multiplicamos 16 tres veces, fijándonos
en la última cifra igualmente.
6x6x6 = 216, acabando en este caso en 6
Así pues la respuesta es: 7-6 = 1

4. Solución:
Continuamos con el segundo apartado
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Dividimos en primer lugar
2013 : 3 = 671
Ahora multiplicamos 671, 16 veces, fijándonos al
igual que antes en la última cifra.
1x1x1x1x1…(16 veces)….x1 = 1
Así pues la respuesta vuelve a ser: 1

5. Solución:
Veamos el tercer cálculo
MenúMenúEnunciadoEnunciado
En el primer caso si multiplicamos 16 hasta un total de 2013 veces.
16 x 16 x 16 x …(2013 veces)…… x 16 x 16 = ___6
El final del producto será siempre 6, ya que cualquier potencia de
6 siempre acabará en 6.
En el caso de la potencia de base 3 debemos calcularla paso
a paso para poder razonar la respuesta, veamos las primeras
potencias de 3.

6. Solución:
MenúMenúEnunciadoEnunciado
31
= 3
32
= 9
33
= 27
34
= 81
35
= 243
36
= 729
37
= 2187
38
= 6561
39
= 19683
…
…
…
RELACIONAMOS EXPONENTES
CON TERMINACIONES
Si nos damos cuenta
cada cuatro exponentes se
repiten las terminaciones.
Por lo que haremos será agrupar
el exponente 2013 de cuatro en cuatro.

7. Solución:
MenúMenúEnunciadoEnunciado
Así pues agrupados de 4 en 4 obtenemos
3 2013
= 3 4
x 3 4
x ….(503 veces)…. 3 4
x 3 4
x 3 (que es el resto)
Que acabará en 1 x 1 x 1 x 1 x ….. x 1 x 1 x 3
Acabando la potencia que buscamos en 3.

8. Solución:
Entonces: 16 2013
acabará en 6 y 3 2013
acabará en 3.
Por lo que la suma 16 2013
+ 3 2013
acabará en
6 + 3 = 9
MenúMenúEnunciadoEnunciado

9. Solución:
MenúMenú
HEMOS ENCONTRADO
LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá otra forma de resolverlo?
EnunciadoEnunciado
20133
-163
(2013:3)16
162013
+ 32013
Acaba en 1
Acaba en 1
Acaba en 9

10. Solución:
MenúMenú
HEMOS ENCONTRADO
LAS SOLUCIONES...
… pero ¿habrá otra forma de resolverlo?
EnunciadoEnunciado
20133
-163
(2013:3)16
162013
+ 32013
Acaba en 1
Acaba en 1
Acaba en 9