Bloque i

Bloque I: Funciones de varias variables
Matemáticas II

Josefa Tomás

Departamento de Fundamentos del Análisis Económico

2011-12

Tomás (UA) Bloque I 2011-12 1 / 82

1.1 Algunos conceptos topológicos
En la recta real (conjunto de números reales) hablamos de: valor
absoluto, distancia entre dos puntos e intervalos. Para extender estos
conceptos al plano R2 o, en general, a Rn vamos a definir los conceptos:
norma, distancia y bola o entorno.
Definiciones
Se define la norma de un punto del plano como
p
k(a, b)k = + a2 + b2
Se define la norma de un punto de Rn como
q
k(x1 , x2 , ..., xn )k = + x2 + x2 + ... + x2
1 2 n


Definición
Se define la distancia entre dos puntos del plano como la norma
de la diferencia
q
d ((a, b), (c, d)) = k(a, b) (c, d)k = + (a c)2 + (b d)2
De la definición se deduce que la norma de un punto, al igual que el
módulo, representa la distancia del punto al origen de coordenadas.


Deﬁnición
Se llama bola abierta de centro a 2 Rn y radio r > 0 al conjunto de
puntos de Rn cuya distancia al punto a es menor que r.

Br (a) = fx 2 Rn : kx ak < rg

En R2 las bolas abiertas son los discos de radio r

n o
Br (a, b) = (x, y) 2 R2 : k(x, y) (a, b)k < r =
n o
= (x, y) 2 R2 : (x a)2 + (y b)2 < r2


Notar que una bola en R2 es un círculo de centro (a, b) y radio r, sin
considerar la circunferencia de radio r


En R las bolas son los intervalos abiertos
Ejemplo

B1 (5) = fx 2 R : jx 5j < 1g = fx 2 R : 5 1 < x < 5 + 1g = (4, 6)


Deﬁniciones
Sea un conjunto S Rn
1. Se dice que x 2 S, x = (x1 , x2 , ..., xn ), es un punto interior de S si
existe una bola abierta de centro x enteramente contenida en S.
2. Un punto z 2 Rn , z = (z1 , z2 , ..., zn ), es un punto frontera de S si
en toda bola centrada en z hay puntos de S y puntos que no son
de S.
Notar que un punto frontera no tiene porque pertenecer al conjunto,
en cambio, un punto interior sí.


3. Un punto y 2 Rn se llama un punto exterior de S si hay una
bola centrada en el punto, enteramente fuera de S.
La siguiente ﬁgura muestra un ejemplo de cada uno de los puntos
que hemos deﬁnido.


4. Un conjunto S es abierto si todos sus puntos son interiores
Ejemplo
El conjunto S1 = (x, y) 2 R2 : (x 1)2 + (y 1)2 < 1 es abierto
porque cada uno de sus puntos se puede incluir en una bola
contenida en el conjunto.
5. Un conjunto S es cerrado si incluye a su frontera.
Ejemplo
El conjunto S2 = (x, y) 2 R2 : (x 1)2 + (y 1)2 6 1 es
cerrado. Su frontera está formada por los puntos del conjunto
S3 = (x, y) 2 R2 : (x 1)2 + (y 1)2 = 1 que está incluido en
S2 .
Importante: hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados.


6. Un conjunto S se dice que es acotado si

9K > 0 : kxk < K 8x 2 S

gráficamente significa que "existe una bola de radio K lo
suficientemente grande en la cual se puede incluir el conjunto"
7. Un conjunto S se dice que es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
El conjunto S4 = f(x, y) : x + y 1g es cerrado, no acotado.
El conjunto S5 = f(x, y) : x + y 1, x 0, y 0g es cerrado y
acotado, por tanto es compacto.
Un intervalo cerrado en R es un conjunto compacto.


1.2. Funciones de varias variables. Dominio, rango

Definición. Una función real de n variables reales es una regla f
que asigna a cada vector o punto x =(x1 , x2 , ..., xn ) de un conjunto
D de Rn un número real z = f (x1 , x2 , ..., xn ). Notación:

f :D Rn ! R

Definición
Se llama dominio de definición de la función f al conjunto de puntos
D para los que tiene sentido la regla f .
Definición
Se llama rango de la función f al conjunto de valores que toma la
función.


Ejemplo
x+3y
El dominio de deﬁnición de la función f (x, y) = x2 1 es el conjunto de
puntos del plano excepto los de la forma (1, y) o ( 1, y)que son los
que anulan el denominador.
Lo notamos como: D = (x, y) 2 R2 : x 6= 1; x 6= 1 .
El rango de esta función es el conjunto R de los números reales.


Ejemplo
q
x+y
El dominio de deﬁnición de la función z es el conjunto:
n o n o
D = (x, y, z) 2 R3 : x + y 0, z > 0 [ (x, y, z) 2 R3 : x + y 0, z < 0

El rango de esta función es R+ , es decir, los reales positivos.
Ejemplo
El dominio de la función f (x, y) = Axα y1 α , 0 < α < 1, es el conjunto
D = f(x, y) : x 0; y 0g


1.3. Representaciones geométricas. Curvas de nivel

Definición. La gráfica de una función z = f (x, y) es el conjunto de
puntos (x, y, z) 2 R3 tales que z = f (x, y)
Ejemplo. La figura muestra la gráfica de la función z = x2 + y2 cuyo
dominio es R2 y cuyo rango es R+


Curvas de nivel de una función de dos variables

Definición
Se llama curva de nivel de altura C de la función z = f (x, y) al conjunto
de los puntos del plano que verifican la ecuación f (x, y) = C.
Para calcular las curvas de nivel de la función f (x, y) debemos pués
resolver el sistema:

z = f (x, y)
z=C
Interpretación geométrica
Una curva de nivel se puede visualizar como el resultado de "cortar" la
superficie f(x, y, f (x, y)), (x, y) 2 Dg con el plano horizontal z = C y
"dejar caer" el corte sobre el plano XY.


Ejemplo
Curvas de nivel de la función f (x, y) = x2 + y2

Notarp son circunferencias x2 + y2 = C, centradas en el origen, de
que
radio C


Ejemplo
La siguiente ﬁgura muestra la superﬁcie z = x2 y2 y sus curvas de
nivel


1.4. Límites y continuidad. Propiedades

Definición
La función f (x), x = (x1 , x2 , ..., xn ) se dice que es continua en el punto
a = (a1 , a2 , ...an ) si se cumplen las tres condiciones siguientes:
a) Existe f (a) (la función está definida en a)
b) Existe limx!a f (x) (el límite nos da un número finito)
c) limx!a f (x) = f (a) (ambos números coinciden)
Cuando alguna de las tres condiciones no se cumple decimos que la
función es discontinua en el punto a.


Continuidad en dos variables

La función f (x, y),se dice que es continua en el punto (a, b) si se
cumplen las tres condiciones siguientes:
a) Existe f (a, b) (la función está deﬁnida en el punto)
b) Existe lim f (x, y) (el límite nos da un número ﬁnito)
(x,y)!(a,b)
c) lim f (x, y) = f (a, b) (ambos números coinciden)
(x,y)!(a,b)


El problema de la continuidad en dos o más variables aparece en
el cálculo de límites.
En una variable solo hay dos formas de acercarse al punto, el
cálculo es fácil. En dos o más variables las formas de acercarse al
punto son inﬁnitas.
Solo es fácil decir cuándo no existe el límite. Si encontramos dos
formas distintas de acercarnos al punto para las cuales la función
tenga distinto límite, podremos concluir que el límite de la
función, en el punto, no existe.


xy
Ejemplo. Calcular lim x2 +y2
(x,y)!(0,0)
Calculamos los límites reiterados:
xy 0
lim lim x2 +y2
= lim x2
= lim (0) = 0
x!0 y!0 x!0 x!0
xy 0
lim lim x2 +y2
= lim y2
= lim (0) = 0
y!0 x!0 y!0 y!0

Si alguno de estos límites es distinto, concluiremos que no existe el
límite doble.
En este caso son iguales por lo que no podemos concluir que no existe
el límite.
Pero comprobamos que si nos acercamos al (0, 0) siguiendo la
dirección y = x tenemos
xy x2 1
lim = lim 2 =
(x,y)!(0,0) x2 + y2 x!0 2x 2
x=y

Como nos da distinto de 0, podemos concluir que el límite doble no
existe

Ejemplo
Sea la función z = x2 + y2 .
El valor de la función en el punto (0, 0) es cero, además

lim x2 + y2 = 0.
(x,y)!(0,0)

Decimos que la función es continua en (0, 0). También lo es en
cualquier otro punto de R2 , por qué?
Ejemplo
xyz
Sea la función f (x, y, z) = x+y+z
Esta función es continua en el punto (1, 0, 3) ya que el valor de la
función en este punto es 0 y además
xyz
lim =0
(x,y,z)!(1,0,3) x + y + z

Esta función será continua en todos los puntos excepto en los que
anulen el denominador, es decir, en todo su dominio de deﬁnición.

Propiedades de las funciones continuas

La suma de funciones continuas es continua
El producto de funciones continuas es continua
El cociente de funciones continuas es continua en los puntos que
no anulan el denominador.
El logaritmo es una función continua en su dominio de deﬁnición.
La composición de funciones continuas es continua.


Regla

Cualquier función de n variables que se pueda construir como
suma,diferencia, producto, división o composición de funciones
continuas, será continua en todos los puntos en los que esté deﬁnida.


Ejemplos
La función f (x, y) = x2 + y2 es continua porque la obtenemos
como suma de funciones continuas en su dominio de deﬁnición
R2 .
xyz
La función f (x, y, z) = x+y+z será continua en todos los puntos de
R3 excepto en los que anulan el denominador.
xy
La función f (x, y) = x2 +y2 +1 es continua en todo R2 , que coincide
con su dominio de deﬁnición.


1.5. Derivadas parciales de primer orden. Vector gradiente

Recordemos la deﬁnición de derivada para una función f (x) de
una variable

f (a + h) f (a)
f 0 (a) = lim
h!0 h

Tasa de cambio de la función respecto a la variable x en el punto a.
Geométricamente representa el valor de la pendiente de la
tangente a la curva en el punto (a, f (a))


Derivadas parciales para una función de dos variables:

Si la función es de dos variables tendremos dos derivadas parciales.
Derivada parcial de f con respecto a x :

∂f (a, b) f (a + h, b) f (a, b)
= lim
∂x h!0 h

Tasa de cambio de la función respecto a la variable x en el punto (a, b).

Derivada parcial de f con respecto a y :

∂f (a, b) f (a, b + h) f (a, b)
= lim
∂y h!0 h
Tasa de cambio de la función respecto a la variable y en el punto (a, b).


Derivadas parciales (continuación)
Si la función es de n variables, la derivada parcial respecto a la
variable xi se deﬁne:

∂f (a1 , a2 , ...an ) f (a , ...ai + h, ...an ) f (a1 , ...ai , ...an )
= lim 1
∂xi h!0 h

y representa la tasa de cambio de la función cuando cambia la variable
xi en el punto (a1 , a2 , ...an ).


Ejemplo
xy ∂f (1,1)
Dada la función f (x, y) = x2 +y2 +1
, calcular ∂x .
1+h 1
∂f (1,1)
= lim f (1+h,1h
) f (1,1) 2 3
∂x = lim 2+(1+h)
h
=
h!0 h!0
3+3h 2 (1+h)2 h(1 h) (1 h) 1
lim 3h(2+(1+h)2 ) = lim 3h(2+(1+h)2 ) = lim 3(2+(1+h)2 ) = 9
h!0 h!0 h!0


Derivadas parciales (continuación)

Recordemos que para calcular las derivadas en los puntos de
interés, primero se calcula la función derivada y luego se
sustituye el punto.
Para calcular una derivada parcial se aplican los métodos de
derivación de una variable. Exceptuando la variable con respecto
a la que se deriva, el resto de las variables se considera constante.


Ejemplo
xy
Dada la función f (x, y) = x2 +y2 +1
, para calcular la derivada parcial
∂f (1,1)
∂x
Primero calculamos la función derivada parcial

∂f (x, y) y(x2 + y2 + 1) 2x2 y y3 + y x2 y
= = 2
∂x ( x2 + y2 + 1 ) 2 ( x + y2 + 1 ) 2
∂f (1,1) 1
Después sustituimos el punto ∂x = 9
Ejemplo
Sea la función f (x, y, z) = Ln(x2 + y2 + 1), sus derivadas parciales son

∂f (x, y) 2x ∂f (x, y) 2y
= 2 2+1
, = 2
∂x x +y ∂y x + y2 + 1
∂f (1, 0) ∂f (1, 0)
= 1, =0
∂x ∂y

Ejemplo
p
f (x, y, z) = xy + y3

∂f y ∂f x + 3y2
= p , = p
∂x 2 xy + y3 ∂y 2 xy + y3
Ejemplo
f (x, y, z) = exyz

∂f ∂f ∂f
= yzexyz , = xzexyz , = xyexyz
∂x ∂y ∂z


Interpretación geométrica de las derivadas parciales

Si y = b,entonces f (x, b) representa la curva intersección de la
∂f (a,b)
superﬁcie z = f (x, y) con el plano y = b, y la derivada parcial ∂x la
pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (a, b, f (a, b)).


Interpretación geométrica de las derivadas parciales

Si x = a, entonces f (a, y) representa la curva intersección de la
∂f (a,b)
superﬁcie z = f (x, y) con el plano x = a y la derivada parcial ∂y la
pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (a, b, f (a, b)).


Plano tangente

Las dos rectas tangentes definen el plano tangente a la superficie en el
punto (a, b, f (a, b))
La ecuación del plano tangente es:

∂f (a, b) ∂f (a, b)
z f (a, b) = (x a) + (y b)
∂x ∂y
Es importante comparar con la ecuación de la recta tangente para
funciones de una variable

y f (a) = f 0 (a)(x a)
¿Qué pasa si en el plano tangente tomamos x = a ? ¿y si tomamos
y = b?
Ejemplo
Dada la función f (x, y) = xy
El plano tangente a la superficie en el punto (1, 3) es:
z 3 = 3(x 1) + (y 3) ! z = 3x + y 3

Derivadas parciales como tasa de cambio

Igual que en una variable, las derivadas parciales representan la
tasa, velocidad o razón de cambio instantáneo de la función
respecto a la variable que cambia.
Ejemplo
Consideremos la función f (x, y) = 4 x2 y2 en el punto (1, 1)
∂f (1,1)
La derivada ∂x = 2, signiﬁca que el valor de la función en el
punto (1, 1) disminuirá (aumentará) dos unidades por cada unidad de
aumento (disminución) en la variable x.


Derivadas parciales como valor marginal

∂f (a,b)
∂x ' f (a + 1, b) f (a, b). Cambio marginal de la función respecto a
la variable x.
∂f (a,b)
∂y ' f (a, b + 1) f (a, b). Cambio marginal de la función respecto a
la variable y.
Ejemplo
Sea la función de utilidad f (x, y) = xy + x2 donde x e y representan las
cantidades de los productos consumidos
∂f (x,y)
La utilidad marginal del producto x es ∂x = y + 2x
∂f (x,y)
La utilidad marginal del producto y es ∂y = x
En el punto x = 2; y = 3 la utilidad marginal del producto x será 7 y la
utilidad marginal del producto y será 2.


Gradiente

Se llama gradiente de una función de dos o más variables al vector
cuyas coordenadas son las derivadas parciales de la función, se
!
representa como rf (x) donde x = (x1 , x2 , ...xn )

! ∂f ∂f ∂f
rf (x) = , , ...,
∂x1 ∂x2 ∂xn

Ejemplo
!
El gradiente de la función f (x, y) = xy en (x, y) es rf (x, y) = (y, x).
El gradiente de la función f (x, y) = xy en (3, 1) es
!
rf (3, 1) = ( 1, 3).
Ejemplo
¿Cuál es el gradiente de la función f (x, y, z) = xy + Ln(yz) en el punto
(0, 1, 1)?


1.6. Regla de la cadena (derivada de la función compuesta)

Supongamos que la producción de una empresa Q(x, y) depende
del capital x y del trabajo y que, a su vez, dependen del tiempo

x = x(t)
Q(x, y)
y = y(t)

¿Cómo afectarán los cambios temporales a la producción? La
respuesta pasa por calcular dQ
dt
Dada la función f (t) = f (x(t), y(t)) se tiene:

df ∂f dx ∂f dy
f 0 (t) = = +
dt ∂x dt ∂y dt

Siempre que las funciones que intervengan sean derivables con
continuidad: existen las derivadas parciales y éstas son continuas
(también se dice que las funciones son de clase C1 ).

Ejemplo
Dada f (x, y) = x2 + y2 , con x = t2 , y = 2t
df (t) ∂f dx ∂f dy df (t) 3
dt = ∂x dt + ∂y dt = 2x 2t + 2y 2 ! dt = 4t + 8t
Notar que el resultado lo dejamos solo en función de la variable t.

Ejemplo
df
¿Cuál es la dt si f (x, y) = xLny + yLnx;con x = et , y = e t ?


Forma general de la regla de la cadena

Dada la función f (x1 , x2 , ...xn ). Supongamos que cada una de sus
variables depende de otras variables t1 , t2 , ...tm .
"El cambio que experimenta la función cuando cambia tj es la suma de
todos los cambios provocados en f debidos a los cambios en cada una
de sus variables xi ”

∂f ∂f ∂x1 ∂f ∂x2 ∂f ∂xn
= + + ... +
∂tj ∂x1 ∂tj ∂x2 ∂tj ∂xn ∂tj
Ejemplo
f (x, y) = x2 + 2y2 ; x = t, y = ts

∂f ∂f ∂x ∂f ∂y
= + = 2x 1 + 4y s = 2t + 4ts2
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
∂f ∂f ∂x ∂f ∂y
= + = 2x 0 + 4y t = 4t2 s
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s


1.7. Derivada direccional
Derivada direccional para una función de dos variables

Reescribamos las derivadas parciales de una forma conveniente:

∂f (a, b) f (a + h, b) f (a, b) f ((a, b) + h(1, 0)) f (a, b)
= lim = lim
∂x h!0 h h!0 h
∂f (a, b) f (a, b + h) f (a, b) f ((a, b) + h(0, 1)) f (a, b)
= lim = lim
∂y h!0 h h!0 h

Sustituyamos los vectores (1, 0) y (0, 1) por un vector v =(v1 , v2 )
unitario (de longitud uno, kvk = 1).
Deﬁnición
Llamamos derivada direccional de la función f en el punto (a, b) y en
la dirección del vector v al límite si existe
f ((a, b) + h(v1 , v2 )) f (a, b)
Dv f (a, b) = lim ; kvk = 1
h!0 h


Derivada direccional (continuación)

(x, y) = (a, b) + h(v1 , v2 ) = (a + hv1 , b + hv2 )
Si llamamos:
F(h) = f (x, y) = f (a + hv1 , b + hv2 )
La derivada direccional se puede escribir como:

f ((a, b) + h(v1 , v2 )) f (a, b) f (x, y) f (a, b)
Dv f (a, b) = lim = lim
h!0 h h!0 h
F(h) F(0)
= lim = F0 (0 )
h!0 h


Derivada direccional (continuación)

Debemos calcular F0 (0), lo hacemos aplicando a F(h) la regla de la
cadena:

∂f dx ∂f dy ∂f ∂f
F0 (h ) = + = v1 + v2
∂x dh ∂y dh ∂x ∂y
si hacemos ahora h = 0 tendremos
∂f (a, b) ∂f (a, b) !
F0 (0 ) = v1 + v2 = rf (a, b) (v1 , v2 )
∂x ∂y

con lo que la derivada direccional se puede escribir como:
!
Dv f (a, b) = rf (a, b) (v1 , v2 )

Notar que el resultado es: "Para una función de clase C1 la derivada
direccional es el producto escalar del vector gradiente por el vector
de dirección normalizado".

Derivada direccional, generalización

Sea f (x) = f (x1 , x2 , ...xn ) y un punto a = (a1 , a2 , ...an ) se llama derivada
direccional de la función en el punto a y en la dirección del vector
v = (v1 , v2 , ..., vn ), kvk = 1, al límite si existe

f (a + hv) f (a)
Dv f (a) = lim ; kvk = 1
h!0 h

Si la función es derivable con continuidad (de clase C1 )
!
Dv f (a) = rf (a) v; kvk = 1

"La derivada direccional es el producto escalar del vector gradiente
por el vector de dirección normalizado".


Ejemplo
Sea la función f (x, y, z) = y2 +x2 +1 .Calcular la derivada direccional de la
z
función en el punto (1, 1, 1) y en la dirección del vector v = (2, 2, 1).

Primero, si la norma del vector v no es uno, se normaliza el vector.
Para ello dividimos las coordenadas del vector por su norma, con lo
que tenemos un vector que nos marca la misma dirección pero
unitario.
En este caso como kvk = 3, tomamos el vector normalizado
2
v = ( 3 , 32 , 1 ).
3
Segundo, calculamos el gradiente de la función en el punto (1, 1, 1)
Tercero, mutiplicamos escalarmente los dos vectores.


! 1 2xy 2xz
rf (x, y, z) = ( , , )
y2 + z2 + 1 (y2 + z2 + 1)2 (y2 + z2 + 1)2
! 1 2 2
rf (1, 1, 1) = ( , , )
3 9 9

1 2 2 2 2 1 12 4
Dv f (1, 1,
1) = ( , , ) ( , , )= =
3 9 9 3 3 3 27 9
¿Cuál es el signiﬁcado del resultado?


Derivada direccional máxima

La derivada direccional se puede escribir como
! !
Dv f ( a ) = r f ( a ) v = r f ( a ) kvk cos α, siendo α el ángulo que
forman el gradiente y el vector de dirección.
Como 1 cos α 1 y kvk = 1 la derivada direccional máxima se
alcanzará cuando cos α = 1, pero esto se cumple cuando α = 0, lo que
signiﬁca que el vector de dirección y el gradiente forman un ángulo de
cero grados, tienen la misma dirección.
Consecuencia: La derivada direccional máxima se alcanza cuando nos
!
movemos en la dirección del gradiente y su valor es rf (a) .
¿Cuál es la derivada direccional mínima? ¿En qué dirección se
alcanza?
¿Qué pasa si nos movemos en una dirección perpendicular al
gradiente?


1.8. Funciones implícitas. Derivada de la función implícita

Si consideramos la función f (x, y) = x2 + y, sus curvas de nivel son
de la forma

x2 + y = C
Para esta función, cualquiera de sus curvas de nivel deﬁne una función
de una variable que podemos escribir como:

x2 + y = C (1)
y = x2 + C (2)
La diferencia entre las expresiones (1) y (2) es que en (1) la varible y
aparece de forma "implícita" (no está despejada) y en (2) aparece de
forma "explícita" (despejada).
¿Siempre pasa lo mismo?
El siguiente teorema nos da condiciones para saber cuándo una
ecuación deﬁne una función de una o más variables.


Teorema de la función implícita (caso de dos variables)

La ecuación f (x, y) = C define implícitamente una única función
derivable y = y(x) en un entorno del punto (a, b) si se verifican las
condiciones siguientes:
1 f (a, b) = C
2 Tanto la función como sus derivadas parciales son continuas en
un entorno del punto (a, b).
∂f (a,b)
3
∂y 6= 0
Con estas condiciones se puede demostrar que la ecuación define una
función y = y(x) en un entorno del punto (a, b) que cumple y(a) = b y
además en este entorno se tiene:
∂f
0 ∂x
y (x) = ∂f
∂y


Ejemplo
La ecuación xyLn(xy) = 0 deﬁne una función y = y(x) en un entorno
del punto (1, 1) porque si llamamos f (x, y) = xyLn(xy) se tiene:
1 f (1, 1) = 0
2 2
2
∂f
∂x = yLn(xy) + xy = yLn(xy) + y; ∂y = xLn(xy) + xxyy =
xy
∂f

xLn(xy) + x son continuas en un entorno del punto (1, 1) porque
lo son siempre que xy > 0
∂f (1,1)
3
∂y = 1 6= 0
Se cumple el teorema de la función implícita, además, podemos
cacular la derivada de esta función en el punto (1, 1);
∂f
yLn(xy)+y
y0 (x ) = ∂x
∂f = xLn(xy)+x
! y0 (1 ) = 1
∂y
La derivada de la función implícita y0 (x) nos da la pendiente de la
recta tangente a la curva de nivel en el punto. Por abuso de lenguaje se
dice la pendiente de la curva de nivel.


Ejemplo
p
Dada la función f (x, y) = x y. Obtener la pendiente de la curva de
nivel 2 en un punto cualquiera.


Teorema de la función implícita (caso general)

La ecuación f (x1 , x2 , ..., xn , y) = C deﬁne la variable y como función de
(x1 , x2 , ..., xn ) en el punto (a1 , a2 , ..., an , b) si:
1 f (a1 , a2 , ..., an , b) = C
2 La función y sus derivadas parciales son continuas en un entorno
del punto (a1 , a2 , ..., an , b)
∂f (a1 ,a2 ,...,an ,b)
3
∂y 6= 0
Con estas condiciones se puede demostrar que la ecuación deﬁne una
función y = y(x1 , x2 , ..., xn ) en un entorno del punto (a1 , a2 , ..., an , b) que
cumple y(a1 , a2 , ..., an ) = b y además, en este entorno, se tiene:
∂f
∂y ∂xi
= ∂f
∂xi
∂y


Ejemplo
Dada la ecuación x3 + y3 + z3 3z = 0, si aplicamos el teorema de la
función implícita sabemos que la ecuación deﬁne la función z(x, y) en
un entorno de cualquier punto (x, y, z) que cumpla la ecuación y que
∂f (x,y,z)
veriﬁque ∂z 6= 0, siendo f (x, y, z) = x3 + y3 + z3 3z.
Podemos calcular las derivadas parciales de la función z(x, y)
utilizando las parciales de la función f .

∂f
∂z ∂x 3x2
= =
∂x ∂f 3z2 3
∂z
∂f
∂z ∂y 3y2
= =
∂y ∂f 3z2 3
∂z


Diferencial de una función de dos o más variables

Dada la función z = f (x, y) el incremento de la variable x se nota
como 4x y el incremento de la variable y como 4y.
El incremento de la función se nota como 4z y se define como
4z = f (x + 4x, y + 4y ) f (x, y)
Definición
Para una función de dos variables z = f (x, y) se define la
diferencial total o diferencial de la función como
∂f (x, y) ∂f (x, y)
dz = df (x, y) = dx + dy
∂x ∂y

Donde dx = 4x y dy = 4y


Esta deﬁnición se puede generalizar a funciones de tres o más
variables. Por ejemplo si w = f (x, y, z), entonces dx = 4x,
dy = 4y, dz = 4z y la diferencial de la función es:

∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z)
dw = df (x, y, z) = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z


Ejemplo
Hallar la diferencial de la función z = 2xy 3x2 y2

dz = (2y 6xy2 )dx + (2x 6x2 y)dy

Hallar la diferencial de la función w = x2 + y2 + z2

dw = 2xdx + 2ydy + 2zdz

Hallar la diferencial de la función z = 2xy 3x2 y2 en el punto
(1, 1)

∂f (1, 1) ∂f (1, 1)
dz = df (1, 1) = dx + dy = 4dx 4dy
∂x ∂y


Aproximación lineal

Recordemos que una función de una variable se dice que es
diferenciable si se puede utilizar la diferencial dy = f 0(x)dx como
una aproximación del valor del incremento
4y = f (x + 4x) f (x) para 4x pequeños.
Geométricamente signiﬁca que aproximamos la función mediante
la recta tangente.
Vamos a generalizar este concepto para funciones de dos variables.
Deﬁnición
Una función de dos variables z = f (x, y) se dice que es diferenciable
en el punto (a, b) si 4z se puede expresar de la forma
∂f (a, b) ∂f (a, b)
4z = 4x+ 4 y + E1 4 x + E2 4 y
∂x ∂y
Donde E1 y E2 ! 0 cuando (4x, 4y) ! (0, 0).
La función se dice diferenciable en una región, cuando lo es en
cada uno de sus puntos.

Aproximación lineal (Continuación)

Notar que, si la función es diferenciable, el incremento de la
función es aproximadamente la diferencial de la función en un
entorno del punto. Ya que dx = 4x y dy = 4y ! 4z ' dz.

∂f (a, b) ∂f (a, b)
4z = f (a + 4x, b + 4y) f (a, b) ' dz = dx + dy
∂x ∂y


Aproximación lineal (Continuación)
Geométricamente signiﬁca que estamos aproximando el valor de
la función en los alrededores del punto (a, b) mediante el valor del
plano tangente.

∂f (a, b) ∂f (a, b)
f (a + 4x, b + 4y) ' f (a, b) + 4x+ 4y
∂x ∂y
Si en esta expresión llamamos a + 4x = x; b + 4y = y, obtenemos

∂f (a, b) ∂f (a, b)
f (x, y) ' f (a, b) + (x a) + (y b)
∂x ∂y
el valor de la función aproximado mediante el valor del plano
tangente.
Para funciones de una variable ser derivable es equivalente a ser
diferenciable. Este resultado no se tiene cuando cuando las
funciones son de dos o más variables. En este caso, si la función es
diferenciable es derivable pero el recíproco no se cumple.

Ejemplos
Dada la función z = f (x, y) = x2 + y2 , calcular aproximadamente
el incremento de la función en el punto (2, 1), para dx = dy = 0.01

∂f (a, b) ∂f (a, b)
4z ' dz = dx + dy
∂x ∂y
dz = 2xdx + 2ydy
4z ' dz = 4 0.01 + 2 0.01 = 0.06

Calcular el valor de la función en el punto (2.01, 1.01) y veriﬁcar
que el resultado es aproximadamente 5 + 0.06 = 5.06.


Utilizar la diferencial para aproximar el cambio (incremento) de la
función z = x2 + y2 cuando nos desplazamos del punto (1, 1) al
punto (1.01, 0.97). Comparar esta aproximación con el cambio
exacto de z.


Derivadas parciales de segundo orden

Dada la función z = f (x, y), si sus derivadas parciales son a su vez
funciones derivables, podemos calcular sus derivadas parciales que
denominamos derivadas parciales de orden dos de la función z.
2 2
1 ∂ ∂f
∂x ( ∂x ) = ∂xf2 = ∂xz = fxx "derivada segunda de f con respecto a x
∂ ∂
2
dos veces"
∂ ∂f ∂2 f ∂2 z
∂y ( ∂x ) = ∂y∂x = ∂y∂x = fxy "derivada segunda de f con respecto a
2

x y con respecto a y"
∂ f 2 2
∂ ∂f ∂ z
∂x ( ∂y )
= ∂x∂y = ∂x∂y = fyx , "derivada segunda de f con respecto a
3

y y con respecto a x"
2
∂2 z
4 ∂ ∂f
= ∂yf2 =
∂y ( ∂y )
∂
∂y2
= fyy "derivada segunda de f con respecto a y
dos veces"
Los casos 2 y 3 se denominan derivadas parciales mixtas o cruzadas


Ejemplo
Calcular las derivadas de segundo orden de la función f (x, y) = exy
Primero calculamos las derivadas parciales:

∂f ∂f
= yexy ; = xexy
∂x ∂y

En segundo lugar derivamos las funciones obtenidas respecto a x y
respecto a y

∂2 f ∂2 f
= y2 exy ; = exy + yxexy = exy (1 + xy)
∂x2 ∂y∂x
∂2 f ∂2 f
= x2 exy ; = exy + yxexy = exy (1 + xy)
∂y2 ∂x∂y

Observamos que las derivadas cruzadas son iguales. ¿Se cumple
siempre esta propiedad?
El siguiene teorema nos da una condición suﬁciente para que las
derivadas cruzadas sean iguales.

Teorema de Schwartz

Si una función f (x1 , x2 , ..., xn ) tiene derivadas parciales de segundo
orden continuas, las derivadas parciales cruzadas son iguales.

∂2 f ∂2 f
= , 8 xi , xj
∂xi ∂xj ∂xj ∂xi

Si se cumple el teorema, no importa el orden de derivación.
En el ejemplo anterior, todas las derivadas segundas son funciones
continuas y, como hemos visto, las derivadas cruzadas son iguales.


Matriz hessiana

Dada la función f (x1 , x2 , ..., xn ) su matriz hessiana recoge todas las
derivadas parciales de orden dos.
0 1
fx1 x1 fx1 x2 ... fx1 xn
B f f ... fx2 xn C
Hf (x1 , x2 , ..., xn ) = B x2 x1 x2 x2
@ ...
C
... ... ... A
fxn x1 fxn x2 ... fxn xn
Si se cumple el teorema de Schwartz (condición que asumiremos en lo
que sigue) esta matriz será simétrica.


Ejemplo
Calcular la matriz hessiana para la función f (x, y) = exy

fxx fxy y2 exy exy (1 + xy)
Hf (x, y) = =
fyx fyy exy (1 + xy) x2 exy


Formula de Taylor de segundo orden

Si la función f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) tiene derivadas parciales de
segundo orden continuas en un entorno del punto a = (a1 , a2 , ..., an ), se
puede demostrar que el valor que toma la función en las proximidades
del punto a viene dado por la siguiente expresión, llamada fórmula de
Taylor de segundo orden:
! 0
f (x) = f (a)+rf(a) (x a) + 1 (x a) Hf(a)(x
2 a) + E2 (x, a)
E (x,a)
limx!a 2 2 = 0
kx ak

!
Donde rf(a) es el gradiente y Hf(a) es la hessiana, ambos calculados
en el punto a.


Esta expresión se puede escribir de forma equivalente tomando
x = a + v como:

! 1 0
f (a + v) = f (a)+rf(a) v + v Hf(a)v + E2 (v, a)
2
E2 (v, a)
lim = 0
v!a k v k 2

La utilidad de la formula de Taylor en esta asignatura es la de
aproximar, mediante polinomios, funciones más complicadas para
estudiar su comportamiento local.


1.12. Formas cuadráticas. Signo de una forma cuadrática
Formas cuadráticas en R2

Deﬁnición
Una forma cuadrática en R2 es una función de R2 ! R
a11 a12 x1
q(x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) = a11 x2 + 2a12 x1 x2 + a22 x2
1 2
a12 a22 x2

La matriz A asociada a la forma cuadrática siempre se puede elegir
simétrica A = A0 .
Ejemplo
q(x1 , x2 ) = x2 + 4x1 x2 + 5x2 es una forma cuadrática. Su expresión
1 2
matricial es:
1 2 x1
q(x1 , x2 ) = (x1 , x2 )
2 5 x2


Formas cuadráticas en R3

Si la forma cuadrática es 0 R3 tendremos1 0 función de R3 ! R
en una 1
a11 a12 a13 x1
q(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 ) @ a12 a22 a23 A @ x2 A =
a13 a23 a33 x3
= a11 x12 + a x2 + a x2 + 2a x x + 2a x x + 2a x x
22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3
En general, una forma cuadrática en Rn es una función de Rn ! R
n
q(x) = x0 Ax = ∑ aij xi xj
i,,j

donde x =(x1 , x1 , ..., xn ) y la matriz A es simétrica.
El interés de las formas cuadráticas reside en que se puede saber el
signo que va a tomar la expresión.


Signo de una forma cuadrática

Dada la forma cuadrática q(x) = x0 Ax = ∑n aij xi xj diremos que:
i,,j

La forma cuadrática es definida positiva si q(x) > 0, 8 x 6= 0
La forma cuadrática es definida negativa si q(x) < 0, 8 x 6= 0
La forma cuadrática es semidefinida positiva si q(x) = 0, 8 x 6= 0
y existe al menos un x 6= 0 con q(x) = 0
La forma cuadrática es semidefinida negativa si q(x) 5 0, 8 x 6= 0
y existe al menos un x 6= 0 con q(x) = 0
La forma cuadrática se dice indefinida para cuaquier otro caso


Ejemplo
q(x1 , x2 ) = 2x2 + 2x1 x2 + x2 es una forma deﬁnida positiva porque
1 2
2x2 + 2x1 x2 + x2 = x2 + (x1 + x2 )2 es positivo para cualquier vector
1 2 1
(x1 , x2 ) 6= (0, 0). Se anularía solo cuando x1 = 0, y x1 + x2 = 0 pero en
este caso también x2 = 0 y (x1 , x2 ) = (0, 0).
Ejemplo
q(x1 , x2 ) = 2x2 2x1 x2 + x2 es deﬁnida positiva porque
1 2
2x2 2x1 x2 + x2 = x2 + (x1 x2 )2 es positivo y solo se anula cuando
1 2 1
(x1 , x2 ) = (0, 0).


Ejemplo
q(x1 , x2 ) = x2 2x1 x2 + x2 es semideﬁnida positiva porque
1 2
x2 2x1 x2 + x2 = (x1 x2 )2 es mayor o igual que cero y se anula para
1 2
los vectores con x1 = x2


Criterio de los menores principales noroeste

Dada la matriz cuadrada
0 1
a11 a12 ... a1n
B a21 a22 ... a2n C
A=B
@ ... ...
C
... ... A
an1 an2 ... ann
Llamamos menores principales noroeste a los siguientes
determinantes:
a11 a12
D1 = ja11 j = a11 , D2 = ,
a21 a22
a11 a12 ... a1n
a11 a12 a13
a21 a22 ... a2n
D3 = a21 a22 a23 , ..., Dn =
... ... ... ...
a31 a32 a33
an1 an2 ... ann


Criterio de los menores principales noroeste (continuación)

Si los menores Di 6= 0, i = 1, ..., n 1, la forma cuadrática q(x) = x0 Ax
se puede escribir como:

D2 2 D3 2 Dn 1 2 Dn 2
q(x) = D1 z2 + z2 + z3 + ... + zn 1 + z
1
D1 D2 Dn 2 Dn 1 n
Se puede probar el siguiente criterio


Criterio de los menores principales noroeste (continuación)
1 Di > 0, 8i () q(x) es definida positiva
2 D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, ..., ( 1)i Di > 0 () q(x) es definida
negativa
3 Dn 6= 0 y q(x) no es definida ! q(x) es indefinida
4 Dn = 0 y Di > 0, i = 1, ...n 1 ! q(x) es semidefinida positiva
5 Dn = 0 y D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, ..., ( 1)i D1 > 0, i = 1, ...n 1
! q(x) es semidefinida negativa
6 Dn = 0 y Di 6= 0, i = 1, ...n 1 y q(x) no es semidefinida ! q(x)
es indefinida
Notar que sólo las dos primeras son condiciones necesarias y
suficientes, las otras cuatro son solo suficientes por lo que si no se
cumplen no podemos concluir nada respecto al signo de la forma
cuadrática.


Ejemplo
Clasiﬁcar la forma cuadrática q(x) = 2x2 + x2 + x2 + 2x1 x2 + 2x1 x3
1 2 3

La matriz asociada a la forma cuadrática es
0 1
2 1 1
A=@ 1 1 0 A
1 0 1

2 1
y sus menores noroeste son D1 = 2 > 0, D2 = = 1 > 0,
1 1
D3 = j A j = 2 1 1 = 0
La forma es semideﬁnida positiva.


Ejemplo
Clasiﬁcar la forma cuadrática q(x) = 2x2 + x2 + x2
1 2 3 2x1 x3
La matriz asociada a la forma cuadrática es
0 1
2 0 1
A=@ 0 1 0 A
1 0 1

2 0
y sus menores noroeste son D1 = 2 > 0, D2 = = 2 > 0,
0 1
D3 = j A j = 2 1 = 1 > 0
La forma cuadrática es deﬁnida positiva.


Formas cuadráticas restringidas

Sea q(x) una forma cuadrática en Rn y sea S un subconjunto de Rn
decimos que
q(x) es definida positiva (negativa) en S si: q(x) > 0(< 0) 8x 2 S,
x 6= 0
q(x) es semidefinida positiva (negativa) en S si: q(x) 0( 0)
8x 2 S, x 6= 0 y existe al menos un x 2 S, x 6= 0 con q(x) = 0
q(x) es indefinida en S si no es ni definida ni semidefinida.


Ejemplo
Clasificar la forma cuadrática cuya matriz asociada es
0 1
4 3 0
A=@ 3 1 0 A en el conjunto S = f(x, y, z) : x y = 0g
0 0 4
Puesto que en el conjunto S se cumple x = y, tendremos que clasificar
la forma 0 10 1
4 3 0 x
q(x, y, z) = (x, x, z) @ 3 1 0 A @ x A = 11x2 + 4z2
0 0 4 z
11 0
La matriz asociada a la forma restringida es B = que es
0 4
indefinida, por tanto la forma cuadrática restringida es indefinida.


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