Este documento resume las funciones y sus propiedades fundamentales. Define una función como un conjunto de pares ordenados que cumplan ciertas características. Explica el dominio, rango e imagen de una función. Presenta ejemplos de funciones especiales como la constante, lineal, identidad, afín, valor absoluto, cuadrática y cúbica.

1. 2021-2
7.2
PREUNIVERSITARIO
TEMA
FUNCIONES 1
8.1

2. 2
9/05/2021 Cepreuni 2020-2
TEMAS
FUNCION
DOMINIO, RANGO
PROPIEDADES
FUNCIONES ELEMENTALES

3. 3
9/05/2021 Cepreuni 2020-2
Una función f es todo conjunto de
pares ordenados que posea la
siguiente característica:
dos pares ordenados que tengan
la misma primera componente,
tienen también la misma
segunda componente
Observación:
x = a ∧ y = b
x; y = (a, b)
x ≠ a ∨ y ≠ b
x; y ≠ (a, b)
f es función x; y , a, b ∈ f ∧ x = a → y = b
Es decir, si
Definición:

4. 4
9/05/2021 Cepreuni 2020-2
Son funciones cada uno de los siguientes conjuntos de pares
ordenados:
 f = { ( 2; 5), ( 4; 7), ( 6; 8) }
 k = { ( 2; 5), ( 2; 5), (4; 9) }
 h = { ( 2; 5), ( 5; 5), ( 7; 5) }
 g = { ( 2; 5), ( 5; 5), ( 2; 9) }
Ejemplo:

5. 5
9/05/2021 Cepreuni 2020-2
Halle el valor de “a” para que el siguiente conjunto de pares ordenados
sea una función
Como (2, 𝑎2
) , ( 2; 𝑎 + 6)
pertenecen al conjunto, tenemos
De esto resulta
a2=a + 6 ≡ a2 − a − 6=0
≡ a − 3 a + 2 = 0
Para 𝐚 = 𝟑. En este caso el conjunto
no representa una función. Pues,
f ={(2; 9), (3; 7), (3; 8)}
Para 𝐚 = −𝟐. En este caso el conjunto
sí representa una función:
f ={(2; 4), ( −2; 7), ( 3; 8)}
f = ( 2; a2), ( 2; a + 6), ( a; 7), ( 3; 8)
Ejemplo:
Resolución:
a = 3 , a = −2

6. 6
9/05/2021 Cepreuni 2020-2
Definición:
El dominio de una función f es el
conjunto Dom(f) en el que se
constituyen todas las primeras
componentes de los pares ordenados
que la componen,
El rango de una función f es el
conjunto denotado por Rang(f) y
conformado por todas las segundas
componentes de los pares ordenados
que la componen, esto es
Se dice que “La imagen de 𝐱 es 𝐲”, y escribimos 𝐟 𝐱 = 𝐲, cuando x, y ∈ f.
𝐱, 𝐲
Elemento del dominio
Elemento del rango Notacion: y = f(x)
𝐃𝐨𝐦 𝐟 = {𝐱|∃ 𝐲 𝐭𝐪 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐟} 𝐑𝐚𝐧𝐠 𝐟 = {𝐲|∃ 𝐱 𝐭𝐪 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐟}

7. 7
Ejemplo: Determine el dominio y
rango de la función
f = 2; 5 , 4; 7 , 6; 8
Indique, además, la imagen y = f(x)
de cada elemento x del dominio
Dom f = {2,4,6}
Rang f = {5,7,8}
f 2 = 5, f 4 = 7, f 6 = 8
Resolución
Ejemplo: Determine el dominio y
rango de la función
f = { 4; 5 , 6; 9 , (7; 9)}
Indique, además, la imagen y = f(x)
de cada elemento x del dominio
Resolución
f 4 = 5, f 6 = 9, f 7 = 9
Dom f = 4,6,7
Rang f = {5,9}

8. 8
Función de 𝐀 en 𝐁
Todo elemento de 𝐀 se empareja
con algún elemento de B.
Elementos de A
Elementos de B
(x , y)
Es posible que existan elementos
en B que no estén emparejados
con ningún elemento de A
Definición:
Es de un uso extendido representar una función de
A en B como f: A → B, y decir que esta está definida
como f x = y, para indicar que el par ordenado
x, y es un elemento de la función.
Una función f se dice
función del conjunto
A en el conjunto B si
Notación:
 Dom f = A,
 Rang f ⊂ B

9. 9
¿ ¿f es función de 𝟒; 𝟔 en 𝟑; 𝟓; 𝟔; 𝟗 ?
una función de 𝟐; 𝟒; 𝟔 en 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟗
Dom f = 𝟐; 𝟒; 𝟔
Es lícito que en el conjunto de
llegada hayan elementos que no se
emparejan con ningún elemento del
dominio
Ejemplo:
f = { 2; 5 , 4; 7 , (6; 7)}
2
4
6
3
9
5
7
Rang f = 𝟓; 𝟕 ⊂ 𝟑; 𝟓; 𝟕; 𝟗
¿f es función de 𝟐; 𝟒; 𝟔 en 𝟓; 𝟕 ?
Es
?
Resolución: Sí. Porque

10. 10
función de {𝟏; 𝟐; 𝟑} en 𝐚; 𝐛; c; 𝐝; e
Una manera diferente de
denotar a esta función es así:
𝟏
2
3
a
c
e
b
d
A B
Es lícito que en el conjunto de llegada
hayan elementos que no se emparejan
con ningún elemento del dominio
Ejemplo:
EL conjunto de pares ordenados
f = { 1; b , 2; a , (3; d)}
Es
Observación:
f: {1; 2; 3} → {a; b; c; d; e}
f 1 = b,
f 2 = a,
f 3 = d
definida como

11. 11
Función real de Variable Real
Una función real de variable real es cualquier función de la forma f: D → ℝ,
donde D es un subconjunto no vacío de los números reales
Una función real de variable
real puede ser graficada en el
Plano cartesiano: cada par
ordenado se identifica con
un punto en el plano.
La grafica de una función
f: D → ℝ , donde D ⊂ ℝ, es el
conjunto
Graf f = { x, f x ) x ∈ D}
Definición:
Observación:
Definición:

12. 12
f = { 1; 1 , 2; 1 , 3; 2 , 4; 3 , 5; 2 }
Dom(f) = {1,2,3,4,5}
Ejemplo:
Resolución:
Graficar la función
Tenemos que
Rang f = {1,2,3}.

13. 13
Teorema
Sean A y B conjuntos no vacíos contenidos en ℝ, y consideremos el conjunto
de pares ordenados
Y supongamos que cada x ∈ A se empareja con un elemento y ∈ B, es decir
Entonces,
f es una función de A en B
toda recta vertical corta a la
gráfica en a lo más en un punto.
f = { x, y) x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ P(x, y)}
f no es una función de A en B
Existe una recta vertical que corta
a la gráfica en dos o más puntos
x ∈ A → ∃y ∈ B tq x, y ∈ f

14. 14
Consideremos A = [−2,2] y B = ℝ, y el conjunto de pares ordenados
Existe al menos una recta vertical que
corta al lugar geométrico dos puntos
f no es una función
Ejemplo:
f = x, y ) x ∈ −𝟐, 𝟐 ∧ y ∈ ℝ ∧ 𝐱𝟐 + 𝐲 − 𝟏 𝟐 = 𝟒

15. 15
Consideremos A = ℝ, B = ℝ y el
conjunto de pares ordenados
Toda recta vertical cortan al lugar
geométrico en un punto a lo más
Este conjunto de pares ordenados
representa un lugar geométrico en el
plano cartesiano:
f = x, y ) x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ ∧ y = x2
f es una función
Ejemplo:

16. 16
Funciones especiales
Definiremos algunas funciones reales de variable real que son de suma
importancia por su frecuente ocurrencia en matemáticas o por su utilidad
para ilustrar propiedades de otras funciones:
Constante
Lineal
Identidad
Afín
Valor absoluto
Raíz cuadrada
Cuadrática
Signo
Cúbica
Recíproca
Máximo entero

17. 17
Función constante
La función constante es aquella función f: ℝ → ℝ definida como f x = c,
cualquiera que sea el valor x ∈ ℝ.
Dom f = ℝ
Rang f = {c}
Definición:

18. 18
Función lineal
Una función f: ℝ → ℝ se dice función lineal
si esta satisface las siguientes condiciones:
Para todo x, y ∈ ℝ se cumple que
Para todo  ∈ ℝ y x ∈ ℝ se cumple que
Definición:
f x + y = f x + f y
f λx = λf x

19. 19
Dom f = ℝ
Rang f = ቊ
ℝ ; m ≠ 0
{0} ; m = 0
En la figura se aprecia la grafica de una función
lineal de pendiente 𝐦 > 𝟎
Observación:
f: ℝ → ℝ es lineal Existe m ∈ ℝ tal que f x = 𝐦x
Se le llama pendiente
de la recta.
Explicación:
f x = f x 1 = x𝐟 𝟏 = 𝐦x

20. 20
Función identidad
La función identidad es
aquella función lineal f: ℝ → ℝ
de pendiente m = 1, esto es
Dom f = R
Rang f = R
Definición:
f x = x

21. 21
Función afín
Una función f: ℝ → ℝ se dice función afín
si esta es la traslación vertical de alguna
función lineal; es decir si existen
constantes m y b tales que
Dom f = ℝ
Rang f = ቊ
ℝ ; m ≠ 0
{b} ; m = 0
Se llama pendiente de la recta
Definición:
f x = 𝐦x + b
En la figura se aprecia la grafica de una
función afín de pendiente positiva.

22. 22
Función valor absoluto
La función valor absoluto es aquella
función f: ℝ → [0, +∞[ definida como
Dom f = ℝ
Rang f = [0, +∞[
f x = ቐ
−x ; x > 0
0 ; x = 0
x ; x > 0
Definición:

23. 23
Raíz cuadrada
La función raíz cuadrada es
aquella función f: [0, +∞[→ ℝ
definida como f x = x
Dom f = [0, +∞[
Rang f = [0, +∞[
Definición:

24. 24
Función cuadrática
La función cuadrática es aquella función
f: ℝ → ℝ definida como
f x = ax2 + bx + c,
donde y a, b, c son constantes reales, con a ≠ 0
Observación:
Dom f = ℝ
Rang f = −
𝚫
𝟒𝐚
, +∞
a < 0
Rang f = −∞, −
𝚫
𝟒𝐚
+∞
−∞
−
Δ
4𝑎
a > 0
Definición:

25. 25
Este caso corresponde a a = 1 y b = c = 0.
Rang f = −
Δ
4𝑎
, +∞ = [0, +∞[
En este caso se tiene
Caso más simple posible:
f x = x2

26. 26
= a x +
b
2a
2
−
b2 − 4ac
4a2
f(x) = ax2 + bx + c
= a x2 +
b
2a
x +
c
a
= a x2
+
b
2a
x +
𝐛𝟐
𝟒𝐚𝟐
−
𝐛𝟐
𝟒𝐚𝟐
+
c
a
= a x +
b
2a
2
−
b2 − 4ac
4a
= −
Δ
4a
+ a x − −
b
2a
2
f x = ax2 + bx + c,
Caso general: donde a, b, c, son arbitrario, con 𝑎 ≠ 0.

27. 27
f x = −
Δ
4a
+ a x − −
b
2a
2
≥0
Por tanto:
Caso: 𝐚 > 𝟎
x = −
b
2a
.
En este caso se tiene
Rang f = −
𝚫
𝟒𝐚
,+∞
Luego, el menor elemento del
rango es
y = −
Δ
4a
,
Este se da cuando

28. 28
Este se da cuando
Caso: 𝐚 < 𝟎 En este caso se tiene
f x = −
Δ
4a
+ a x − −
b
2a
2
≤0
Rang f = −∞, −
𝚫
𝟒𝐚
En este caso
Luego, el mayor elemento del
rango es
y = −
Δ
4a
,
x = −
b
2a

29. 29
Función cúbica
La función cúbica es aquella función f: ℝ → ℝ
definida como
Observación:
Dom f = ℝ
Rang f = ℝ
Definición:
f x = ax3 + bx2 + cx + d,
donde a, b, c, d son constantes reales, con a ≠ 0.

30. 30
Caso mas simple posible:
Este caso corresponde a a = 1 y b = c = 0.
f x = x3

31. 31
Para determinar el rango y gráfica de la función cúbica general hacemos
f x = ax3 + bx2 + cx + d
De la teoría de polinomios sabemos que todo polinomio de grado
impar admite una raíz real, es decir existe r1 ∈ R tal que f r1 = 0. Este
hecho permite reescribir la función como
De eso se sigue que
f x = a x − r1 x2 + Bx + C
primo o no primo
Caso general: f x = ax3 + bx2 + cx + d, donde a, b, c, d arbitrarios, con a ≠ 0.
x3 +
b
a
x2 +
c
a
x +
d
a
=
Rang f = ℝ
=
B2
− 4C ≥ 0
B2 − 4C < 0
a x − r1 x − r2 x − r3
a x − r1 x2 + Bx + C

32. 32
𝐲 = 𝐚 ℓ ℓ ℓ
𝐲 = 𝐚 ℓ𝟐 ℓ
𝐲 = 𝐚 ℓ𝟑
𝐲 = 𝐚 ℓ 𝐜
Positivo o negativo
Se presentan los
siguientes casos

33. 33
Esbozamos algunas gráficas de algunos casos particulares de la
función cúbica

34. 34
Función recíproca
La función recíproca es aquella función
f: ℝ − {0} → ℝ definida como 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
.
Dom f = ℝ − 0
Rang f = ℝ − 0
Definición:

35. 35
Función signo
La función signo es aquella función
sgn: ℝ → {−1,0,1} definida como
Dom f = ℝ
Rang f = {−1,0,1}
sgn x = ቐ
−1 ; x < 0
0 ; x = 0
1 ; x > 0
Definición:

36. 36
La función máximo entero
Se llama función máximo entero a
aquella función
x es, de entre todos los números enteros
menores o iguales que x, el mayor. Es decir,
Si n es un número entero, entonces todo
número real x ∈ [n, n + 1[, es tal que x = n
Observación:
Definición:
x = máx n ∈ Z n ≤ x}
, ∶ ℝ → ℤ,
cuya regla de correspondencia es dada
por

37. 37
Si ¿Cuál es el máximo entero de
un valor 𝑥 tal que −1 < 𝑥 < 0?
-1 es mayor número entero de entre
todos los números enteros que son
menores o iguales que x
Ejemplo:
−1 ≤ x < 0
entonces
[[ x ]]= −1
Es decir:

38. 38
1. Sea n un numero entero. Entonces, x = n ⟺ n ≤ x < n + 1
2. ∀x ∈ ℝ: x ≤ x < x +1
3. ∀n ∈ Z: x + n = x +n
4. ∀x, y ∈ ℝ: x + y ≤ x + y
5. x < y ⟹ x ≤ y
6. ∀n ∈ Z: ] − ∞, n + 1[= x ∈ ℝ| x ≤ n
Propiedades:
Es inmediato
comprender que
 Dom , = ℝ y Rang , = Z
 ∀x ∈ R: 𝑥 ≤ x
 𝑥 = x ⟺ x ∈ Z

39. 39
Rpta: Rang f = {1}
f x = x − x + 1
¿Cuál es el rango de
la función
f x = x − x + 1?
Ejercicio:
Determine el rango de la siguiente función

40. 40
f = { 1; 2 , 2; 2 , 3; 5 , 4; 6 , 2; a − b , (4; 3a + 2b)}
Del hecho que 𝑓 sea una función deducimos el
siguiente sistema de ecuaciones
de donde resulta
ቤ
a − b = 2
3a + 2b = 6
Ejemplo:
Solución:
Considere la función
Determine f(2a − b).
f 2a − b = f 2 2 − 0 = f 4 = 6
Con esto tenemos
a = 2 y b = 0

41. 41
Determine el rango de la función f de Q en Q+
dada por
Para 𝐱 = 𝟏/𝟒 obtenemos
f = { 7, x , 7,2x , x, 4x , x2; x , x3, x }
Solución: Como f es una función tenemos que x = 2x, de donde x = 0 o x =
1
4
.
Para 𝐱 = 𝟎 obtenemos que f = { 7,0 , 0,0 } . Pero esto no cumple la
condición f ⊂ Q × Q+
. Entonces x = 0 no es la solución que buscamos.
Ejemplo:
Rang f =
1
2
,
1
4
, 1
f = 7,
1
2
,
1
4
, 1 ,
1
16
,
1
4
,
1
64
;
1
4
Lo cual cumple la condición inicial
Por tanto

42. 42
Verifique que el siguiente conjunto de pares
ordenados representa una función de ℝ en ℝ.
f = {(2y − 1, y)|z ∈ ℝ}
Para esto hacemos x = 2y − 1. Despejando resulta
Y esto sí representa una función f: ℝ → ℝ definida
como
y =
x + 1
2
Luego, el conjunto de pares ordenados puede
escribirse como
f = (x, y)|y =
x + 1
2
f x =
𝑥 + 1
2
Ejemplo:
Solución:

43. 43
Debemos tener que
x − 1 ≥ 0 y 2 − x ≥ 0.
De esto resulta que x ∈ 1,2 . Ahora,
como cada sumando dentro del radical
mayor es no negativos, tenemos que
A = [1,2].
Determine el conjunto A ⊂ ℝ, más grande posible, para cuyos elementos x la
siguiente expresión es un número real
Entonces, según lo expuesto es lícito
considerar la función f: 1,2 → ℝ,
definida como
y = f x
f x =
x − 1
6 − x − 1
+
3 − 2 − x
5 − x
+ 3x + 1
Ejemplo:
Solución:

44. 44
Rpta: Rang f = {−1,0}
f x =
x
x2 + 4
Ejercicio: Determine el rango de la siguiente función
f x =
x2 − x + 4
x − 1
x > 1
Ejercicio: Determine el rango de la siguiente función
f x = x − 5 + x + 1 5 − x
Ejercicio:Determine el rango de la siguiente función
f x = − 2x − x
Ejercicio: Determine el rango de la siguiente función
x ∈ [1,9]