Este documento describe las funciones inyectivas y sus funciones inversas. Explica que una función es inyectiva si cada valor de salida tiene un único valor de entrada correspondiente. Muestra cómo encontrar la función inversa de una función uno a uno intercambiando las variables x e y. También define la función logarítmica, sus propiedades y leyes logarítmicas.

2. FUNCIONES
Cristian Camilo Penagos Torres
Mag´ıster en Docencia
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS INYECTIVIDAD
FUNCI ´ON INYECTIVA O UNO A UNO
Una funci´on f es llamada una funci´on uno a uno, si nunca toma el mismo
valor dos veces, es decir,
f(x1) = f(x2) siempre que x1 = x2
TEST DE LA RECTA HORIZONTAL
Una funci´on es uno a uno si y solo si ninguna recta horizontal intersecta su
gr´afico m´as de una vez.
EJEMPLO
La funci´on f(x) = x3 es inyectiva.
Si x1 = x2, entonces x3
1 = x3
2 (dos n´umeros diferentes no pueden tener el
mismo cubo). Si que f es inyectiva

4. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS INVERSA
EJEMPLO
La funci´on g(x) = x2 no es inyectiva.
g(−2) = 4 = g(2)
por lo que 2 y -2 tienen la misma salida.
Adem´as, podemos argumentar que g no es inyectiva debido a existe una recta
horizonal que corta a la gr´afica de la funci´on en dos puntos o m´as.
Figura 1. Funci´on no inyectiva.
Tomada de Stewart (2012)

5. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS INVERSA
INVERSA
Sea f una funci´on uno a uno con dominio A y rango B. Entonces la funci´on
inversa f−1 tiene dominio B y rango A y est´a definida por
f−1
(y) = x ⇐⇒ f(x) = y
para todo y ∈ B.
Figura 2. Una funci´on f y su inversa g .
Tomada de Zill (2011)

6. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS INVERSA
OBSERVACI ´ON
Dom(f−1) = Ran(f)
Ran(f−1) = Dom(f)
(f ◦ f−1)(x) = x, para toda x ∈ B
(f−1 ◦ f)(x) = x, para toda x ∈ A
C ´OMO ENCONTRAR LA FUNCI ´ON INVERSA DE UNA FUNCI ´ON f UNO A
UNO
1. Escribir y = f(x)
2. Resolver esta ecuaci´on para x en t´erminos de y (si es posible).
3. Para expresar f−1 funci´on de x, intercambiamos x por y. La ecuaci´on
resultante es y = f−1(x)

7. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS INVERSA
EJEMPLO
Encuentre la funci´on inversa de f(x) = x3 + 1
Empezamos escribiendo
y = x3
+ 1
Despu´es, despejamos x
x3
= y − 1
x = 3
y − 1
Finalmente, intercambiamos x y y:
y = 3
√
x − 1
Ahora, la funci´on inversa es
f−1
(x) = 3
√
x − 1

8. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS INVERSA
La gr´afica de f−1 se obtiene reflejando la gr´afica de f sobre la recta y = x.
El principio de intercambio de x e y para encontrar la funci´on inversa tambi´en
nos da el m´etodo para obtener la gr´afica de f−1 a partir de la gr´afica de f.
Figura 3. Una funci´on f y su inversa f−1 .
Tomada de Stewart (2012)

9. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS INVERSA
EJEMPLO
La inversa de f(x) = x3 + 1
X−2 −1 1 2 3 4
Y
1
2
3
4
f(x)
f−1(x)
y = x
Figura 4. La Funci´on f y su inversa f−1

10. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS LOGAR´ITMOS
FUNCI ´ON LOGAR´ITMICA
La funci´on logar´ıtmica con base b > 0, b = 1, se define por :
y = loga x ⇔ x = by
PROPIEDADES DE LA FUNCI ´ON LOGAR´ITMICA f(x) = logb x
1. El dominio de f es el conjunto de n´umeros reales positivos; es decir,
(0, ∞)
2. El rango de f es el conjunto de n´umeros reales; es decir, (−∞, ∞)
3. La intersecci´on con el eje X de f es (1, 0). La gr´afica de f no tiene
intersecci´on Y .
4. Para b > 1 la funci´on f es creciente sobre el intervalo (0, ∞).
Para 0 < b < 1 la funci´on f es decreciente sobre el intervalo (0, ∞).
5. El eje y, es decir, x = 0, es una as´ıntota vertical para la gr´afica de f.
6. La funci´on f es uno a uno.

11. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS LOGAR´ITMOS
PROPIEDADES DE CANCELACI ´ON
I. loga(ax
) = x, para todo x ∈ R
II. aloga x
= x, para x > 0
La figura muestra las gr´aficas de y = loga x con varios valores de la base
a > 1.Todas las funciones logar´ıtmicas pasan por el punto (1, 0).
Figura 5. Una funci´on f y su inversa f−1 .
Tomada de Stewart (2012)

12. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS LOGAR´ITMOS
LEYES LOGAR´ITMICAS
Si x e y son n´umeros positivos, entonces
1. loga (xy) = loga x + loga y
2. loga
x
y = loga x − loga y
3. loga xr = r loga x
EJEMPLO
Use las leyes de los logaritmos para evaluar
log2 80 − log2 5
log2 80 − log2 5 = log2
80
5
= log2 (16)
= 4

13. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS LOGAR´ITMOS
LOGARITMO NATURAL
Al logaritmo con base e se le llama logaritmo natural y tiene una notaci´on
especial:
loge x = ln x
Figura 6. Las funciones ln x y ex.
Tomada de Stewart (2012)
PROPIEDADES DE CANCELACI ´ON
I. ln(ex
) = x, para todo x ∈ R
II. eln x
= x, para x > 0

14. FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS LOGAR´ITMOS
REFERENCIAS
Stewart, J. (2012). C´alculo de una variable, trascendentes tempranas.
M´exico: Cengage Learning.
Thomas, G. (2010). C´alculo de una variable. M´exico: Pearson.
Zill, D. (2011). Matem´aticas 1, C´alculo Diferencial. M´exico:
McGraw-Hill.