Este documento presenta los conceptos de máximos y mínimos de funciones, incluyendo definiciones de extremos relativos y absolutos. Explica los criterios para hallar máximos y mínimos utilizando la primera y segunda derivada de una función, incluyendo pasos para derivar la función original, igualar la derivada a cero para encontrar puntos críticos, y determinar la naturaleza de dichos puntos. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de estos conceptos en biología y otras áreas.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE DE GROHMANN
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA PROFESIONAL DE BIOLOGÍA-MICROBIOLOGÍA
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

2. Funciones exponenciales
Definición
Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una
función decreciente y cuando a > 1, es una función creciente.
Empleamos las siguientes fórmulas de derivación
que involucran a las funciones exponenciales.
Criterios
Una función exponencial es aquella en que la variable
independiente x aparece en el exponente y tiene de base una
constante a. Su expresión es:

3. Rpta: En el instante t:5 días, la población del plancton crece a un ritmo de 625 organismos por día.
Ejercicio de Aplicación a la biología de derivada de función exponencialc

4. Máximos y Mínimos
Conocidos colectivamente como extremos de
una función, son los valores más grandes o más
pequeños, que toma una función en un punto
situado ya sea dentro de una región en particular
de la curva o en el dominio de la función en su
totalidad.
Definición Extremos relativos o locales
Son los puntos donde una función adquiere un
máximo o mínimo valor posible, en
comparación a los puntos de un entorno cercano
a ellos, a este tipo de puntos se les llama
extremos.
i) Si existe un intervalo abierto I en el que f(c)
tiene un máximo, entonces f(c) se llama un
máximo relativo o local de f.
ii) Si existe un intervalo abierto I en el que f(c)
tiene un mínimo, entonces f(c) se llama un
mínimo relativo o local de f.

5. Extremos absolutos
Un punto máximo absoluto es un punto en donde
la función adquiere su valor máximo posible. De
forma similar, un punto mínimo absoluto es un
punto en el que la función adquiere su valor
mínimo posible.
Sea f(x) una función definida en un intervalo I,
los valores máximo y mínimo de f en I (si los
hay) se llaman extremos de la función.
i) Un número f(c) es un máximo absoluto de f si
f(x) ≤ f(c) para todo x en el intervalo I.
ii) Un número f(c) es un mínimo absoluto de f si
f(x) ≥ f(c) para todo x en el intervalo I.
En la gráfica:
● Los mínimos relativo en x=
a,X2,X4,X6
● Los máximos relativos= X1,X3,X5,b
● El máximo absolutos= b
● El mínimo absoluto= X4

6. Criterios para hallar máximos y mínimos
Criterios de la primera derivada Criterios de la segunda derivada
Paso 1: Derivamos la f(x) (función de “x”)
Paso 2: Igualamos la f'(x) (derivada de la función de x) a 0.
➔ Pendiente general, la cual nos ayudará a encontrar
los máximos y mínimos de la f(x).
Paso 3: Hallamos los puntos críticos.
Paso 4: Encontramos la naturaleza de los puntos críticos
(Intervalos decrecientes y crecientes).
Paso 5: Hallamos las intersecciones de la función original
(f(x)) (Gráfico).
Paso 1: Derivamos la f(x) (función
de “x”)
Paso 2: Igualamos la f'(x) (derivada
de la función de x) a 0
f'(x) = 0
Paso 3: Hallamos los puntos críticos
Paso 4: Sustituir los puntos críticos
en nuestra función original (f(x)).
Paso 5: Hallamos la naturaleza de
los puntos críticos
Paso 6: Derivamos por segunda vez
(f''(x)).
Sustituimos en la variable x nuestros
puntos críticos al derivar por
segunda vez, para obtener que
signo tiene.
● Al ser positivo (+), significa
que es un mínimo.
● Al ser negativo (-), significa
que es un máximo.
Paso 7: Igualamos a 0 la función de
la segunda derivada (f''(x))
Paso 8: Reemplazamos el valor de
x de la (f''(x)) en la función original.
Paso 9: Hallamos los grados de
concavidad.
Paso 10: Graficamos y ubicamos
las coordenadas de la función.

7. Criterios para hallar máximos y mínimos

8. Aplicación
● Se utilizan para optimizar sistemas que
se expresan mediante funciones más o
menos complejas.
● Hallar los valores máximos y mínimos
de ciertas expresiones.
● Hallar los intervalos de crecimiento de
valores de interés.
Ejemplo:
Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de
individuos en una población de paramecium en un medio
nutritivo y obtuvo el modelo f(t)=ln(t2-2t+5) donde “t” se mide en
días y “f(t)” es el número de individuos en el cultivo. Indique
después de cuánto tiempo el número de individuos en la
población es mínimo.
En biología, mecánica,
medicina
bacteriológicas, etc.

9. Resolución

10. Resolución