Este documento presenta conceptos básicos sobre la derivada de funciones de una variable, incluyendo su definición, sentido físico y geométrico, reglas para calcular derivadas de funciones elementales y operaciones con funciones, derivadas de funciones compuestas, el teorema del valor medio, la regla de L'Hôpital, y cómo encontrar valores máximos, mínimos, puntos de inflexión, y determinar si una función es creciente o decreciente.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
UNEFM UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA I
DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE
UNA VARIABLE
Ing. Jocabed Pulido (Esp.)
Santa Ana de Coro, Noviembre de 2014

2. LA DERIVADA
I   I f : a
Sea un intervalo, una función y . Se dice
que f es diferenciable o derivable en “a” si
existe.
   
x a
f x 
f a

lim
a x 
f a
Este límite se denota como y se le denomina derivada
de f en a
f x  x a  3
Ejemplo Nº1: Hallar la derivada de en
1
3

x
lim 
3

x
x3

3. SENTIDO FÍSICO Y GEOMÉTRICO DE LA DERIVADA
a) Sentido Físico
  af    x f y 
La derivada es la razón instantánea de cambio de
con respecto a x cuando x tiende al valor “a”.
b) Sentido Geométrico
La derivada de f en a representa la pendiente de la recta
tangente de f en el punto
a, f a

4. REGLA DEL CÁLCULO DE LAS DERIVADAS
RELACIONADAS CON LAS OPERACIONES
ARITMÉTICAS SOBRE FUNCIONES
El proceso de obtener la derivada de una función se
conoce como derivación o diferenciación.
A continuación se muestran algunos teoremas que
permiten calcular la derivadas de funciones de forma
rápida sin tener que recurrir a la definición.

5. TEOREMA Nº1: Derivadas de Funciones Elementales
Sea f : , entonces para toda x
se cumple que
  c x f  c   0   x f
1) Si , , (Función Constante), entonces
f x  x f x 1
2) Si , (Función Identidad), entonces
  n f x  x   1   n f x nx
3) Si , (Función Potencia), entonces
Ejemplo Nº 3:
3 2 f x f ´ 3x x x   
   2 ´  0 x x f f    

6. TEOREMA Nº1: Derivadas de Funciones Elementales
4) Si , (Función Seno), entonces
f (x)  senx f (x)  cosx
5) Si , (Función Coseno), entonces
f x  cos x f x  senx
  x f x  e   x f  x  e
6) Si ,(Función Exponencial), entonces

7. TEOREMA Nº2: Propiedades de la Derivada
Sean f y g funciones definidas en un intervalo y sea
, entonces
1)


2) con
3)

f   
 
f x . g x f x .
g x
gx 0
4) Siempre que
  b a,
xa,b
 f 
g x f x gx
kf x  k f x
.   k
 f . g x f x . gx f x .
gx
 
       
 g  x
2 
x
g


 

 


8. Ejemplo Nº4:
Encontrar la derivada de las funciones
4 6 1 2 y  x  x  x y x .e 3 
1) 2)
y  8x  6 x x y 3x .e x .e 2 3   
R1) R2)

9. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA:
Teorema: Regla de la Cadena
y  f u u  gx
Si diferenciable en “u” y es diferenciable
en x, entonces la función compuesta f o g es derivable en
x y se cumple que
( f  g)(x)  f (g(x)) g(x)
La derivada de una función compuesta es el producto de
la derivada de una función externa por la derivada de la
función interna.

10. Ejemplo:
Encontrar la derivada de    2 3 f x  x 5
     
  3  5 .  5 2 2 2 f x x x
f  x  3x 2 2 
5 .2x

x 2 
5 
2x

11. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
    b a f , :   ba,
  ba,   b a c , 
Sea una función continua en , y derivable
en , entonces existe un tal que
 
   
b a
f b f a
f c


 
Este Teorema garantiza la
existencia de una recta
tangente paralela a una
recta secante

12. REGLA DE L`HOPITAL
Sean f y g funciones diferenciables y cerca de a
excepto posiblemente en a. Si
1) y
2)
Entonces
gx  0
lim f x  0
a x 
lim gx  0
a x 
lim f x  
a x 
lim gx  
a x 
 
 
f 
 x

g x
f x
g x

lim  lim
xa xa

13. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES
Punto Crítico:
Un número crítico de una función f es un número c del
dominio f tal que f c  0 o f c
no existe.
c, f c
En este caso el número es un punto crítico

14. Ejemplo:
f x  x3
Sea la función . Demostrar que 0 es un número
crítico de f
  3 0 0 2 f  x  x  f  

15. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES
La función f tiene un máximo absoluto en un intervalo
si existe algún número c en dicho intervalo tal que
para toda x en el intervalo
f c f x
f c
El número es el valor máximo absoluto en el
intervalo

16. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES
La función f tiene un mínimo absoluto en un intervalo
si existe algún número c en dicho intervalo tal que
para toda x en el intervalo
f c f x
f c
El número es el valor mínimo absoluto en el
intervalo

17. EJEMPLO:
f x  x2
La función definida para tiene
dos puntos x
  1que producen un máximo absoluto en
A y el único punto que produce un mínimo
absoluto en A
x A: 1,1
0  x

18. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES
Máximo Local:
Una función f tiene un máximo local en un punto p si
para toda x alrededor de dicho punto.
Mínimo Local:
Una función f tiene un mínimo local en un punto p si
para toda x alrededor de dicho punto.
f p f x
f p f x

19. FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Sea f una función continua en un intervalo I y
diferenciable en todo punto interior del intervalo
f x  0
Si en todo punto interior de I, entonces f es
creciente en I
f x 0
Si en todo punto interior de I, entonces f es
decreciente en I

20. f x  x
Por Ejemplo la función es creciente en el
intervalo
  , 0
De acuerdo a lo indicado en la definición anterior
f x x0,
para toda
  0
2
1
  
x

21. CONCAVIDAD
Sea f una función dos veces diferenciable en un intervalo
abierto I
f x  0
1. Si para todo punto x interior de I, entonces el
gráfico de f es cóncavo hacia arriba en I
f x 0
2. Si para todo punto x interior de I, entonces el
gráfico de f es cóncavo hacia abajo en I

22. PUNTOS DE INFLEXIÓN
c, f c
Un punto sobre la gráfica de f es un punto de
inflexión si f es continua en c y f cambia de concavidad en
c.

23. Ejemplo:
Hallar los puntos de inflexión del gráfico de la función
f  x  x
f  x  x
Si
Si
1
    3
f x  x
2
1 
  3
3
 2 
5
  3
9
f x  0 x  0
f x 0 x  0

24. POR SU ATENCIÓN