1) La derivada de una función mide la rapidez con que cambia el valor de la función cuando cambia su variable independiente. 2) Tiene aplicaciones como medir velocidad, estudiar tasas de variación, encontrar máximos y mínimos, y determinar concavidad. 3) El teorema de Rolle establece que si una función continua en un intervalo es derivable en su interior y tiene los mismos valores en los extremos, entonces existe un punto en el interior donde su derivada es cero.

1. Derivadas.
La derivada de una función es una medida de la rapidezcon la que cambia el valor de dicha función
matemática,según cambie el valor de su variable independiente.La derivada de una función es un
concepto local,es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un
cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más
pequeño.Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado
Aplicación de derivadas en las matemáticas.
La derivadatiene unagranvariedadde aplicacionesademásde darnoslapendientede la
tangente auna curva en unpunto.Se puede usarla derivadapara estudiar tasasde variación,
valoresmáximosymínimosde unafunción,concavidadyconvexidad,entre otros.
 Una de susaplicacioneses para medirla velocidad y la distanciade un objeto que se
mueve enlínearecta.
Por ejemplo:
Un objetose mueve sobre unarecta de acuerdoa la ecuacións= 3t2-8t+7
Donde s se mide encentímetrosy t en segundos.
Hallarla velocidaddel objetocuandot=1y cuando t=5
Solución:
Tenemosque V(t)=ds/ dt= 6t-8 (ds/dt= d(3t2
-8t+7) / dt= 6t-8)
Luegov(t)=6(1) - 8= -2 cm/seg(evaluandoparat=1)
y v(t)=6(5) - 8= 22 cm/seg(evaluandoparat=5)

2.  Recta Tangente y normal:
La pendiente de larectatangente auna funciónenunpunto 0x esel valorde la derivada
de la funciónenese punto )( 0xfpendiente  ,así la ecuaciónde larecta tangente auna
curva enun punto 0x es
)()()( 00 oxxxfxfy 
La pendiente de larectatangente auna curva enun puntoes laderivadade la funciónen
dichopunto.
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el
punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

3. La pendientede larectanormal a unacurva en un puntoesla opuestade lainversade la
pendientede larectatangente,porserrectas perpendicularesentresí.
La pendientede larectanormal es laopuestade la inversade laderivada de lafunciónen
dichopunto.
Ejemplo:
Halla laecuaciónde la recta tangente ala funciónf(x) tal que seaparalelaala recta2x-
y+3=0.
1º) Hallamosla pendiente de larecta,para ellodespejamosenprimerlugarlay: y=2x+3,
luegolapendienteserám=2.
2º) Derivamose igualamosala pendiente:f ‘(x)=4x-4=2
3º) Resolvemoslaecuación:

4. 6x-4=2 —> 6x=6 —>x=1=a
4º) Calculamosf(a)=f(1)=3-4+3=-4.
5º) Sustituimosenlafórmula:y-f(a)=f ‘(a)(x-a) —–>y+4=2(x-1)
 CrecimientoyDescrecimiento:
Función decreciente f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal
que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple:
Si f es derivable en a:
Función Creciente. f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a,
tal que para toda x que pertenezca al entorno de a se cumple:
Cuandose tiene lagráficade una funcióncontinuaresulta bastante fácil señalarenqué
intervalolafunciónescreciente,decreciente oconstante.Sinembargo,noresultafácil
decirenque intervalolafunciónescreciente,decrecienteoconstante sinlagráficade la
función.

5. El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente,
decreciente o constante en un intervalo dado
 Máximosy Mínimos:
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0 2. f''(a) < 0
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0 2. f''(a) > 0
Cálculode los máximosy mínimos relativos
f(x) = x3
− 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2
− 3 = 0
x = −1 x = 1.

6. 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los
ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3
− 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3
− 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)
Ejemplo:

7. Estudio de los intervalos de concavidad y convexidad
f(x) = x3
− 3x + 2
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda
y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la
derivada segunda.
Si f''(x) < 0 es cóncava.
Si f''(x) > 0 es convexa.

8. Del intervalo (− ∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f''(−1) = 6(−1) < 0 Cóncava.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x =1, por ejemplo.
f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.
4. Escribimos los intervalos:
Convexidad: (0, ∞)
Concavidad: (−∞, 0)
Ejemplo:
Dominio

9. Convexa
Cóncava
 Punto de inflexión:
En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o
viceversa.
f(x) = x3
− 3x + 2

10. 1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los
ceros de derivada segunda y si:
f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
f(0) = (0)3
− 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Teorema de Rolle.
Demuestralaexistenciade unpuntointeriorenun intervaloabierto parael cual la
derivadade unafunciónderivablese anulacuandoel valorde éstaenlos extremosdel
intervaloesel mismo.Esgeneralizadomedianteel teoremadel valormedio,delque este
esun caso especial.Esunode losprincipalesteoremasencálculodebidoasus
aplicaciones.
Si una función es:
Continua en [a, b]
Derivable en (a, b)

11. Y si f(a) = f(b)
Entonces, existe algún punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.
La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto
en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.