Cambio de soporte_Ejemplo_Presentacion.pdf

El concepto de soporte (1)
El soporte es el volumen sobre el cual se mide o se considera
la variable en estudio:
• testigo de sondaje
• unidad de selección minera (“bloque”)
• compósito

El valor de un bloque v se define como el promedio aritmético
de los valores puntuales dentro de este bloque:
La variable z(v) lleva el nombre de variable “regularizada”
sobre el soporte v. El paso de la variable puntual a la variable
de bloques se llama “cambio de soporte” o “regularización”.
donde |v| designa el volumen del bloque v.

=
v
d
)
(
z
|
v
|
1
)
v
(
z x
x

Para que la regularización tenga un sentido físico, se requiere
que la variable en estudio sea aditiva.
Ejemplos:
• acumulación en un elemento de interés
• razón de solubilidad: no es una variable aditiva
• potencia de un estrato
• ¿ley?

El efecto de soporte (1)
Tanto la distribución estadística de los valores (histograma)
como su estructuración en el espacio (variograma) dependen del
soporte considerado.
Este efecto de soporte tiene importantes consecuencias en la
evaluación de yacimientos, pues los datos disponibles (sondajes,
pozos de tronadura) no tienen el mismo soporte que las unidades
a estimar.

El efecto de soporte (2)
Banco de una faena conocido completamente, con altura 12m.
La variable considerada es la ley de cobre.

Efecto del soporte en el variograma (1)
El paso de un soporte pequeño a un soporte mayor es una
operación reguladora (→ “suavizamiento” de los mapas).

Expresión matemática del variograma regularizado gv en función
del variograma puntual g:
con:
vh: bloque v trasladado del vector h
)
v
,
v
(
)
v
,
v
(
)
(
v g
−
g
=
g h
h
  −
g
=
g
v v
2
d
d
)
(
|
v
|
1
)
v
,
v
(
h
y
x
y
x
h
  −
g
=
g
v v
2
d
d
)
(
|
v
|
1
)
v
,
v
( y
x
y
x

Ilustración

Efecto del soporte en el histograma (1)

Propiedades de los histogramas regularizados
→ misma media que la variable puntual
→ varianza menor (efecto de soporte)
  −
=
=
V V
2
d
d
)
(
C
|
V
|
1
)
V
,
V
(
C
]
)
V
(
Z
[
var y
x
y
x
→ forma distinta (simetrización...), regida en parte por la relación de Cartier

La nube de puntos induce los
histogramas para cada soporte
→ estos histogramas están
ligados entre sí
curva de regresión
= diagonal

Curvas de selectividad
Las curvas de selectividad son herramientas alternativas al histograma para
visualizar la distribución de los valores de una variable. Entre ellas, las más
importantes son:
• tonelaje - ley de corte: indica la proporción de los valores (fracción
del tonelaje total) que supera una ley de corte
• ley promedio - ley de corte: indica la media de los valores que superan
una ley de corte
• ley promedio - tonelaje
• cantidad de metal - ley de corte: la cantidad de metal se define como
el producto de la ley promedio por el tonelaje
• cantidad de metal - tonelaje

la jerarquía de estas curvas según
el soporte equivale a la relación de
Cartier; sirve para elaborar algunos
modelos de cambio de soporte.

Objetivos
En el contexto minero, se desea prever la distribución global
de leyes asociada al soporte de la unidad de selección, a partir
de la distribución conocida de las muestras de soporte casi-
puntual:
→ estimar el valor promedio
→ calcular la varianza de las leyes de bloques
→ determinar la forma del histograma regularizado

Evaluación de la media (1)
Se estima la media global con un promedio ponderado de los
datos disponibles {z(xa), a = 1... n}:
Se determina los ponderadores {wa, a = 1... n} con algoritmos
geométricos, para “corregir” los efectos de las irregularidades de
muestreo, atribuyendo un peso mayor a los datos más aislados:
operación de desagrupamiento.
Los ponderadores {wa, a = 1... n} deben ser positivos y sumar 1.

=
a
a
a
w
=
n
1
*
)
(
z
m x

Método de las áreas de influencia
El peso de un dato es proporcional a su área de influencia en la
zona de estudio
→ dificultad en la definición de los bordes de la zona.

Método de las celdas
Se divide la zona en celdas rectangulares de igual peso; el peso
de cada celda se reparte entre las muestras que pertenecen a esta
celda.
El resultado depende del origen de la
red de celdas, así como de su tamaño y
orientación

→ Para un muestreo preferencial en las altas leyes, se suele tomar el tamaño de
celda que minimiza el valor de la media desagrupada
→ Para un muestreo cualquiera, se puede tomar un tamaño convencional, por
ejemplo, el que corresponde a la separación promedio entre muestras.

El resultado depende de varios parámetros:
→ el origen de la red de celdas (elegido al azar)
→ la orientación de las celdas (en general, según los ejes de
coordenadas)
→ el tamaño de las celdas

→ Para un muestreo preferencial en las altas leyes, se suele
tomar el tamaño de celda que minimiza el valor de la media
desagrupada.
→ Para un muestreo cualquiera, se puede escoger un tamaño
convencional, e.g. la separación promedio entre muestras.

Precisión de la estimación
Se mide la precisión de la estimación de la media por una varianza de estimación,
la cual se puede expresar por medio del variograma de la variable regionalizada:
 
 
 −
g
−
−
g
w
+
−
g
w
w
−
=
−
=
a
a
a
=
a =


a

a
D D
D |
D
|
|
D
|
D y
x
y
x
x
x
x
x
x d
d
)
(
1
d
)
(
2
)
(
)]
(
Z
Z
[
var 2
n
1
n
1
n
1
*
Esta expresión se simplifica cuando
• se toma ponderadores iguales
• el muestreo es aleatorio uniforme / estratificado o regular
Los factores que influyen en la varianza de estimación son
• la regularidad espacial de la regionalización
• el número de muestras
• su disposición geométrica: la estratificación reduce la varianza de estimación

Ejemplo: muestreo regular
La varianza de estimación de la media se calcula a partir de la
siguiente fórmula aproximada:
n
)
V
|
(
2
E 

donde V es la celda de la grilla de muestreo
)
V
|
(
2
E 
 es la varianza del error cometido al estimar el
valor de la celda por el valor de su muestra central
n es el número total de muestras

Estimación de la varianza
Se define la varianza de dispersión como la esperanza matemática de la varianza
experimental: ambas dependen del soporte de la muestra y del tamaño del dominio
muestreado. En el marco estacionario, ambas convergen hacia la varianza a priori
(meseta del variograma) cuando el tamaño del dominio muestreado aumenta; en
caso contrario, crecen infinitamente.
varianza experimental s2(o | V), de dispersión D2(o | V) y
varianza a priori 2, en función del tamaño del dominio V

Expresión de la varianza de dispersión
• muestra puntual
• muestra de soporte v no puntual
)
V
,
V
(
)
V
|
(
D2
g
=

)
v
,
v
(
)
V
,
V
(
)
V
|
v
(
D2
g
−
g
=
Fórmula de Krige o relación de aditividad
)
v
|
(
D
)
V
|
(
D
)
V
|
v
(
D 2
2
2

 −
=
Permite calcular la varianza de los bloques a partir de varianzas puntuales,
sin recurrir a un modelo variográfico (usando las varianzas experimentales).
Alternativa: regularizar el modelo de variograma puntual

Determinación del histograma de la variable puntual
Se puede definir un histograma experimental acumulado que tome en cuenta
los ponderadores de desagrupamiento.
sin desagrupamiento con desagrupamiento
El histograma estándar se deduce por derivación o diferencias finitas.
Existen algoritmos que permiten suavizar el histograma experimental; hay
que prestar atención en los límites inferior y superior permitidos.

Determinación del histograma de la variable regularizada
Los análisis anteriores permiten calcular la media y la varianza de la variable
regularizada, por ejemplo, la ley de cobre de las unidades de selección. Se
requiere un modelo para conocer la forma de su histograma y, por ende, las
curvas de selectividad asociadas a estas unidades.
Ejemplo (datos de cobre): distribuciones puntuales y regularizadas a 10m  10m

Ejemplo con los datos de cobre
Dos modelos de distribución de leyes de los bloques 25m × 25m, obtenidos a
partir de la distribución puntual por corrección afín y corrección lognormal
→ es importante escoger un modelo de cambio de soporte adecuado

Otros modelos de cambio de soporte
• corrección mosaica
• simulaciones condicionales
• modelo gaussiano discreto
• modelos isofactoriales discretos

Aspectos prácticos
1) Determinar el histograma de las muestras (media, varianza, forma)
• irregularidades de muestreo: desagrupamiento
• cuidado con el modelamiento de los valores extremos
2) Determinar la varianza de los bloques
• ya sea gracias al variograma modelado de las muestras
• o bien por la fórmula de Krige
3) Escoger un modelo de cambio de soporte (por ejemplo, la corrección
afín) y deducir el histograma de los bloques. Esta decisión va más
allá del modelamiento del variograma.

Evaluación de la varianza (1)
Para evaluar la varianza de los valores de bloques, existen dos
alternativas:
1) a partir de un modelo variográfico (varianzas teóricas)
→ se modela el variograma g de los valores muestreados (casi-
puntuales)
→ se deduce el variograma gv de los valores regularizados
→ la varianza buscada es la meseta de este variograma:
)
v
,
v
(
)
(
)
(
v g
−

g
=

g

Evaluación de la varianza (2)
2) a partir de las varianzas experimentales
→ las varianzas experimentales dependen de dos factores:
el soporte de las mediciones y el dominio muestreado
→ la fórmula de Krige o relación de aditividad plantea lo
siguiente:
varianza de un bloque en el dominio
= varianza de las muestras en el dominio
− varianza de las muestras dentro del bloque
→ necesita un muestreo relativamente denso

Modelamiento de la forma (1)
Los análisis anteriores permiten calcular la media y la varianza
de la variable regularizada, por ejemplo, la ley de cobre de las
unidades de selección.
Para poder seguir adelante, se requiere un modelo para conocer la
forma del histograma regularizado.
El punto de partida es el histograma desagrupado de las muestras,
al cual se aplica una transformación para obtener un modelo de
histograma regularizado.

Ejemplo (datos de cobre):
distribuciones puntuales y regularizadas a 25m  25m

Modelo de corrección afín
Este modelo mantiene la forma del histograma puntual. No toma
en cuenta la simetrización que acompaña el cambio de soporte.
histograma de [z(x) – m] / x = histograma de [z(v) – m] / v

Modelo de corrección lognormal
histograma puntual = lognormal de media m y varianza x
2
histograma regularizado = lognormal de media m y varianza v
2

Modelo de corrección lognormal
La transformación matemática es:
con b = [ln(1 + v
2 / m2) / ln(1 + x
2 / m2)]1/2
a = m1−b [1 + v
2 / m2]−1/2 [1 + x
2 / m2]b/2
histograma de z(v) = histograma de a [z(x)]b

Modelo de corrección lognormal indirecta
Aplica la corrección lognormal (aunque el histograma puntual
no cumpla la lognormalidad), luego ajusta el parámetro a de
modo que la transformación no altera la media:
con b = [ln(1 + v
2 / m2) / ln(1 + x
2 / m2)]1/2
a calculado de manera que z(x) y z(v) tengan igual media
histograma de z(v) = histograma de a [z(x)]b
El método de corrección lognormal indirecta no es riguroso
(no respeta exactamente la varianza de los bloques).

Ejemplo con los datos de cobre
Comparación de la distribución de leyes reales de los bloques de
25m × 25m, con las distribuciones obtenidas por los modelos de
corrección afín y corrección lognormal.

Otros modelos
Existen modelos más complejos para especificar la forma del
histograma de los bloques:
• modelo gaussiano discreto: generaliza la corrección lognormal
• modelos isofactoriales discretos, basados en distribuciones de
probabilidad distintas a la distribución gaussiana.
También se puede usar las técnicas de simulación condicional,
que entregan una solución numérica.

Modelo gaussiano discreto (1)
Se transforma los valores medidos en las muestras en valores
cuyo histograma es gaussiano, de media 0 y varianza 1:
)]
(
y
[
)
(
z x
x 
=


Los valores de los bloques también pueden transformarse en
valores gaussianos de media 0 y varianza 1:
)]
v
(
y
[
)
v
(
z v

=
v

Para cada muestra x ubicada en un bloque v, se supone que el
par de valores {y(x),y(v)} sigue una distribución bigaussiana
de coeficiente de correlación r.

La relación de Cartier permite entonces caracterizar la función
de transformación de los bloques v a partir de aquella de las
muestras :
de donde se deduce la distribución de los bloques
→ modelo matemáticamente consistente
→ generaliza la corrección lognormal
→ simetriza el histograma al pasar de un soporte pequeño a
uno más grande
)
y
r
(
g
)
y
( 2
r
1
v −


=
 (gr: densidad gaussiana de varianza r2)

Las curvas de selectividad
para describir los efectos
de soporte e información

Definición
Las “curvas de selectividad” son herramientas alternativas al
histograma para visualizar la distribución de los valores de
una variable. Entre ellas, las más importantes son:
• ley promedio - ley de corte: indica la media de los valores
que superan una ley de corte
• tonelaje - ley de corte: indica la proporción de los valores
(fracción del tonelaje total) que supera una ley de corte
• ley promedio - tonelaje
• cantidad de metal - ley de corte: la cantidad de metal se
define como el producto del tonelaje por la ley promedio
• cantidad de metal - tonelaje

Curvas de selectividad y soporte (1)
La jerarquía de estas curvas
según el soporte equivale a la
relación de Cartier.

Curva cantidad de metal - tonelaje
La cantidad de metal es una función creciente y cóncava del
tonelaje

El efecto de soporte se traduce en una jerarquía de las curvas
cantidad de metal - tonelaje en función del soporte
→ pérdida de “selectividad” al cambiar de soporte.

La corrección afín asume que la curva metal - tonelaje de los
bloques es un promedio ponderado entre la curva puntual y la
recta límite.

Efecto de información (1)
Las curvas de selectividad representan las reservas recuperables
en un yacimiento (tonelaje, cantidad de metal, etc.). Dependen
de tres factores:
• el efecto de soporte: mientras más voluminoso el soporte,
menos selectividad
• el efecto de información: algunos bloques de mineral son
subestimados y enviados equivocadamente a botadero; otros
bloques estériles son sobreestimados y enviados a planta
• las restricciones geométricas: algunos bloques de alta ley
pueden ser abandonados si los costos para alcanzarlos son
demasiado altos.

La decisión de enviar un bloque a planta o botadero se efectúa
en base a la ley estimada del bloque en lugar de la ley verdadera
(desconocida).

Con respecto al efecto de soporte, el efecto de información
provoca una pérdida adicional de selectividad.
Ilustración: efecto de información producido al estimar la ley
de cada bloque por la ley de su pozo de tronadura central

Varios modelos han sido desarrollados para cuantificar el efecto
de información; entre ellos el modelo gaussiano discreto es el
más operacional.
Un resultado importante es el siguiente: si el método utilizado
para estimar las leyes de bloques no tiene sesgo condicional, las
curvas de selectividad de las leyes estimadas corresponden a las
curvas de selectividad efectivas (incluyendo ambos efectos de
soporte e información).
El kriging es un método de estimación que suele tener poco
sesgo condicional, a diferencia de otros estimadores tales como
el inverso de la distancia o los polígonos de influencia.

Ejercicios
Comparar los mapas, variogramas e histogramas de las leyes de
cobre y oro en los distintos soportes (1m × 1m, 5m × 5m, 25m ×
25m)
Realizar la corrección afín de las leyes de cobre y oro a partir de
las muestras de exploración, luego a partir de los pozos de la
grilla 25m × 25m. Comparar las curvas tonelaje-ley obtenidas
declus, histplt, gammabar, affine, gtcurve, plotem
pixelplt, gam, vargplt, histplt, gtcurve, qpplt
Comparar las curvas ley promedio - tonelaje de los bloques 25m
× 25m, asociadas al efecto de soporte y al efecto de información
inducido al estimar cada bloque por su pozo central
gtcurve, condbias

Archivos de parámetros
de los programas GSLib

Mapa de datos en grilla (1)
Parameters for PIXELPLT
***********************
START OF PARAMETERS:
Grilla_25x25.dat -file with gridded data
4 - column number for variable
-1.0 1.0e21 - data trimming limits
pixel_pozos25_Cu.ps -file with PostScript output
1 -realization number
16 12.5 25.0 -nx,xmn,xsiz
24 12.5 25.0 -ny,ymn,ysiz
11 11.0 12.0 -nz,zmn,zsiz
1 -slice orientation: 1=XY, 2=XZ, 3=YZ
10 -slice number
Leyes de cobre - pozos centrales -Title
Este -X label
Norte -Y label
0 -0=arithmetic, 1=log scaling
1 -0=gray scale, 1=color scale
0 -0=continuous, 1=categorical
0.0 3.0 0.5 -continuous: min, max, increm.
2 -categorical: number of categories
1 3 Code_One -category(), code(), name()
2 1 Code_Two
Color Codes for Categorical Variable Plotting:
1=red, 2=orange, 3=yellow, 4=light green, 5=green, 6=light blue,
7=dark blue, 8=violet, 9=white, 10=black, 11=purple, 12=brown,
13=pink, 14=intermediate green, 15=gray

Parameters for PIXELPLT
***********************
Grilla_5x5.dat -file with gridded data
5 - column number for variable
-1.0 1.0e21 - data trimming limits
pixelplt_Cu_5m.ps -file with PostScript output
1 -realization number
80 2.5 5.0 -nx,xmn,xsiz
120 2.5 5.0 -ny,ymn,ysiz
11 11.0 12.0 -nz,zmn,zsiz
1 -slice orientation: 1=XY, 2=XZ, 3=YZ
10 -slice number
Soporte 5m x 5m -Title
Este [m] -X label
Norte [m] -Y label
1 -0=gray scale, 1=color scale
0 -0=continuous, 1=categorical
0.0 3.0 0.5 -continuous: min, max, increm.
2 -categorical: number of categories
1 3 Code_One -category(), code(), name()
2 1 Code_Two
Color Codes for Categorical Variable Plotting:
Mapa de datos en grilla (2)

Parameters for GAM
******************
Grilla_5x5.dat -file with data
3 4 5 6 - number of variables, column numbers
-1.0 1.0e21 - trimming limits
gam_Cu_grilla5x5.out -file for variogram output
1 -grid or realization number
80 2.5 5.0 -nx, xmn, xsiz
120 2.5 5.0 -ny, ymn, ysiz
11 11.0 12.0 -nz, zmn, zsiz
1 40 -number of directions, number of lags
1 0 0 -ixd(1),iyd(1),izd(1)
0 -standardize sill? (0=no, 1=yes)
3 -number of variograms
1 1 1 -tail variable, head variable, variogram type
type 1 = traditional semivariogram
2 = traditional cross semivariogram
3 = covariance
4 = correlogram
5 = general relative semivariogram
6 = pairwise relative semivariogram
7 = semivariogram of logarithms
8 = semimadogram
9 = indicator semivariogram - continuous
10= indicator semivariogram - categorical
Variograma de datos en grilla (1)

Parameters for VARGPLT
**********************
gam_Cu_grilla5x5.ps -file for PostScript output
3 -number of variograms to plot
0.0 201.0 -distance limits (from data if max<min)
0.0 0.5 -variogram limits (from data if max<min)
0 1.0 -plot sill (0=no,1=yes), sill value)
Variogramas asociados a soportes distintos -Title for variogram
gam_Cu_grilla5x5.out -1 file with variogram data
1 0 0 1 10 - variogram #, dash #, pts?, line?, color
Color Codes for Variogram Lines/Points:
Variograma de datos en grilla (2)

Parameters for DECLUS
*********************
muestras.dat -file with data
1 2 3 4 - columns for X, Y, Z, and variable
declus.sum -file for summary output
declus.out -file for output with data & weights
1.0 0.25 -Y and Z cell anisotropy (Ysize=size*Yanis)
0 -0=look for minimum declustered mean (1=max)
1 48.0 48.0 -number of cell sizes, min size, max size
10 -number of origin offsets
Desagrupamiento (1)

Parameters for HISTPLT
**********************
declus.out -file with data
4 7 - columns for variable and weight
hisplt_Cu_declus.ps -file for PostScript output
0.0 3.0 -attribute minimum and maximum
0.17 -frequency maximum (<0 for automatic)
30 -number of classes
0 -0=frequency, 1=cumulative histogram
0 - number of cum. quantiles (<0 for all)
2 -number of decimal places (<0 for auto.)
Histograma desagrupado de las muestras -title
1.5 -positioning of stats (L to R: -1 to 1)
-1.1e21 -reference value for box plot
Desagrupamiento (2)

Parameters for GAMMABAR
***********************
25.0 25.0 12.0 -X,Y,Z size of block
11 11 1 -X,Y,Z discretization
2 0.06 -nst, nugget effect
1 0.18 0.0 0.0 0.0 - it,cc,ang1,ang2,ang3
100.0 100.0 100.0 - a_hmax, a_hmin, a_vert
2 0.20 0.0 0.0 0.0 - it,cc,ang1,ang2,ang3
40.0 40.0 99999 - a_hmax, a_hmin, a_vert
Corrección afín (1)
El valor de salida es igual a la diferencia entre la varianza
de las muestras y la varianza de los bloques
)
v
,
v
(
g
El factor de reducción de varianza para la corrección afín vale:
)
(
)
v
,
v
(
)
(

g
g
−

g
=
f

Parameters for AFFINE
*********************
declus.out -file with data
0.52 0.98 -reduction factor f and mean
afin_Cu_declus.out -file for output
**********************
afin_Cu_declus.out -file with data
afin_Cu_declus.ps -file for PostScript output
Correccion afin a partir de las muestras -title

Parameters for AFFINE
*********************
Grilla_25x25.dat -file with data
0.64 0.93 -reduction factor f and mean
afin_Cu_pozos.out -file for output
**********************
afin_Cu_pozos.out -file with data
afin_Cu_pozos.ps -file for PostScript output
Correccion afin a partir de los pozos -title

Parameters for GTCURVE
**********************
declus.out file with data
4 7 columns for grade and weight
-1. 1.0e21 trimming limits
100.0 clipping limit (upper limit)
gtcurve_Cu_declus.ps file for Postscript output
30 0.0 3.0 Cutoff: num, min and max
0.0 1.0 Tonnes: min and max
0.0 5.0 Grade: min and max
Curvas Tonelaje-Ley [muestras]
**********************
afin_Cu_declus.out file with data
gtcurve_afin_Cu_declus.ps file for Postscript output
Curvas Tonelaje-Ley [afin muestras]

**********************
afin_Cu_pozos.out file with data
gtcurve_Cu_pozos.ps file for Postscript output
Curvas Tonelaje-Ley [pozos]
**********************
afin_Cu_pozos.out file with data
gtcurve_afin_Cu_pozos.ps file for Postscript output
Curvas Tonelaje-Ley [afin pozos]

Parameters for PLOTEM
*********************
gtcurves_Cu.ps -output file
2 2 -number of plots in X and Y
gtcurve_Cu_declus.ps -first plot file
gtcurve_afin_Cu_declus.ps -second plot file
gtcurve_Cu_pozos.ps -third plot file
gtcurve_afin_Cu_pozos.ps -fourth plot file
Parameters for QPPLT
********************
afin_Cu_declus.out -file with first set of data (X axis)
grilla_25x25.dat -file with second set of data (Y axis)
qpplt_afin_Cu_declus.ps -file for PostScript output
0 -0=Q-Q plot, 1=P-P plot
0 -number of points to plot (<0 for all)
0.0 3.0 -X minimum and maximum
0.0 3.0 -Y minimum and maximum
Correccion afin a partir de las muestras -Title

**********************
Grilla_25x25.dat file with data
gtcurve_Cu25_reales.ps file for Postscript output
Curvas Tonelaje-Ley [bloques]

**********************
Grilla_25x25.dat file with data
gtcurve_Cu25_estimados.ps file for Postscript output
Curvas Tonelaje-Ley [bloques estimados]
CONDBIAS: Conditional Statistics
********************************
Grilla_25x25.dat Input data file
4 5 column for estimate, true
-1.0 1.0e21 tmin,tmax
condb_Cu25_regresion.out Output for conditional bias
20 number of classes
condb_Cu25_leyesmedias.out Output for mean above cutoff
31 0.0 0.1 number of cutoffs, start, inc

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