Este documento presenta conceptos básicos de distribuciones de probabilidad, incluyendo variables aleatorias discretas y continuas. Explica las distribuciones binomial, de Poisson, normal y geométrica, definiendo sus funciones de probabilidad y propiedades clave como la media y varianza. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar el cálculo de estas medidas en una variable aleatoria discreta.

1. AUTOR: LCDA. ROSMERY RODRIGUEZ
ROSMERYRODRIGUEZ18@HOTMAIL.COM
0426-8512180
BARQUISIMETO, JULIO 2013
UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL
LISANDRO ALVARADO
DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA.

2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.
 CONCEPTOS BASICOS.
 Espacio muestral: son los todos los resultados del experimento y se denota con S.
 La probabilidad son valores entre 0 y 1y viene dada por:
P(X)=N°de casos favorables/N°casos totales
 VARIABLES ALEATORIAS
 Se define como una función que asocia un numero reala cada elemento del espacio muestral.
 TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS
 Una variable aleatoria es discreta si el numero de valores que toma es contable.
 Una variable aleatoria es continua si sus valores consisten en uno o mas intervalos de la recta
real.
 Ejemplos:
 nº de páginas de un libro → discreta
 tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua
 nº de preguntas en una clase de una hora → discreta
 cantidad de agua consumida en un mes → continua

3.  FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O FUNCIÓN DE DENSIDAD.

 Sea X una variable aleatoria discreta. Llamaremos función de
densidad de probabilidad o función de densidad de X a la función
real definida en de p tal que: p(x)=P(X=x)
 Y satisface las siguientes propiedades:
p(x) se no negativa para todo x
la suma total es igual a 1
 Se dice que una variable aleatoria X tiene una función de densidad
continua si existe una función no negativa f definida en los reales tal
que:
 donde a y b son constante
 Y satisface las siguientes propiedades:
f(x) se no negativa para todo x
=1

4.  Media o esperanza de una variable aleatoria
 Sea X una variable aleatoria discreta, que toma los valores x1, x2, x3.....xn
con función de probabilidad f.
 Se llama media o esperanza (o valor esperado) de X a:
 E(X)=x1f(x1)+x2f(x2)+......+xnf(xn)
 Varianza y desviación estándar (o típica)
 Al igual que para las variables estadísticas la esperanza mide, en cierto
sentido, el “valor promedio" dé X. El concepto siguiente, el de la varianza,
va a medir la dispersión o distanciamiento de X, respecto de la media.
 Sea X una variable discreta que toma los valores, x1, x2, ......xn con función
de probabilidad f. Se llama varianza de X y se designa por var(X) a:
 Var(X)=E(X2)-E(X)2
 Es decir, la media de la variable al cuadrado menos el cuadrado de la
media.
 La desviación estándar o típica se define como la raíz cuadrada de la
varianza.

5.  Ejemplo:
 Considere la variable aleatoria X que asigna la suma de dos números
que se muestran en un par de dados.
 X es una variable aleatoria Discreta ya que se puede tener un numero
exacto de valores.
 Los números que pueden salir en un dado son: (1,1),(1,2),…,(1,6),
(2,1),…,(2,6), (3,1),…,(3,6), (4,1),…,(4,6), (5,1),…,(5,6), (6,1),…,(6,6)
es decir, hay 36 valores pero la suma mínima es de 2 y la máxima es
12.
 Luego la función de probabilidad es buscar la probabilidad de todos
esos valores, vamos a hacer algunos
Para X=2 , es decir que salga el (1,1)
p(2)=P(X=2)=1/36
Para X=3, es decir, (1,2) y (2,1)
p(3)=P(X=3)=2/36
Para X=4, es decir, (1,3), (2,2) y (3,1)
p(4)=P(X=4)=3/36 y así se continua.

6.  La distribución de X es:
 Ahora calculemos la media o valor esperado
E(X)=∑xip(xi)=2(1/36)+ 3(2/36)+ 4(3/36)+ 5(4/36) +6(5/36)+ 7(6/36)+
8(5/36)+ 9(4/36)+ 10(3/36)+ 11(2/36)+1 2(1/36)=7
Así, el promedio es de 7
E(X2)= 22 (1/36)+ 32 (2/36)+ 42 (3/36)+ 52 (4/36) +62 (5/36)+ 72 (6/36)+ 82
(5/36)+ 92 (4/36)+ 102 (3/36)+ 112 (2/36)+1 22 (1/36)=54,83
La varianza, Var (X)= E(X2)-E(X)2 =54,83-49=5,83
 La desviación típica
 δ=√5,83=2,41
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

7. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD DISCRETAS

8. DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
 Una prueba o experimento Bernoulli tiene uno de dos resultados
mutuamente excluyentes, que generalmente se denotan p(éxito) y q
(fracaso). Por ejemplo, al seleccionar un objeto para control de calidad
puede ocurrir que sea defectuoso o no lo sea. El espacio muestral S, de
un experimento Bernoulli consta de dos resultados que sea de éxito o
fracaso
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria (v. a) . Bernoulli,
está dada por: P(x = 1) = p, P(x = 0) = 1 – p = q
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli X está
dada por: X ~ Bernoulli (p)
El valor esperado es: E(X)=p y la varianza es: Var(X)=p.(1-p)=p.q
qppp
xxxx
xf
11
)1()(

9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
 Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número
de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como:
Juegos de azar.
Control de calidad de un producto.
En educación.
En las finanzas.
 La distribución binomial posee las siguientes propiedades esenciales:
1.- El espacio muestral contiene n ensayos idénticos.
2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos de
muestreo. Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una
población infinita sin reposición o de una población finita con reposición.
3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como
éxito E o fracaso E’, las cuales son mutuamente excluyentes es decir E ∩E’ = 0.
4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en un ensayo se mantienen
constantes, durante los n ensayos.
5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier
otra observación. La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E'
ocurra (n - x) veces en n ensayos independientes está dado por la fórmula binomial:
qp
knk
k
n
kXP

10. DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
 La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos
en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado
deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de
esta manera . También implica la existencia de una dicotomía de posibles
resultados y la independencia de las pruebas entre sí.
 Proceso experimental del que se puede hacer derivar
 Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o
de Bernouilli en el que tengamos las siguientes características
 · El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos
separados o separables. El proceso concluirá cuando se obtenga por
primera vez el resultado deseado (éxito).
 · Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no
A
 · La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de
obtener un resultado no A es q
siendo (p + q = 1).
 Su función de densidad esta dada por:
su valor esperado viene dado por: E(X)=1/p y la varianza es: (1-p)/p2
qp
x
xXP
1

11. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
 Esta función de distribución de variable discreta se emplea para
calcular las probabilidades asociadas a la variable aleatoria dentro de
un intervalo continuo de tiempo o espacio; este intervalo es
generalmente una unidad de medida conocida: cm2, km, gramos, litros,
pulgadas, etc.
 Algunos de los problemas que presentan como un fenómeno con
distribución de Poisson son:
Número de llamadas por hora.
Los embotellamientos que se producen por día.
Defectos por m2 de tela.
Número de defectos por lote de un proceso de producción.
Número de negocios cerrados por semana.
A este tipo de problemas se les conoce el número de éxitos x obtenidos
por unidad de medida en n ensayos; pero es totalmente imposible
conocer el número de fracasos (n - x).

12.  Se dice que se da un proceso de Poisson si se pueden observar
eventos discretos en un intervalo continuo en forma tal que si se acorta
el intervalo lo suficiente:
1.- La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es
estable.
2.- La probabilidad de observar dos o más éxitos en el intervalo es cero.
3.- La ocurrencia de un éxito en cualquier intervalo es estadísticamente
independiente de que suceda en cualquier otro intervalo.
La distribución de Poisson se expresa mediante la siguiente fórmula.
 donde:
n = Número de ensayos, x = Número de éxitos esperados en n ensayos, e =
2.71828..., = n p = Constante igual al número de éxitos promedio por unidad
de medida
p = Probabilidad constante durante el proceso igual al número de éxitos promedio
por unidad de medida.
 El valor esperado viene dado y la varianza
!
)(
x
e
xXP
x
)(XE
2
)(XVar

13. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD CONTINUA

14. DISTRIBUCIÓN NORMAL
 En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de
Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad
de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
 La grafica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es
simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce
como campana de Gauss.
 La importancia de esta distribución radica en que permite modelar
numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los
mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son
desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en
ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo
que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas
independientes.
 La distribución normal también es importante por su relación con la
estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más
simples y antiguos.
 Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que
siguen el modelo de la normal son:
caracteres morfológicos de individuos como estatura;
caracteres fisiológico como el efecto de un fármaco;
caracteres sociológico como el consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos;

15.  nivel de ruido en telecomunicaciones;
 errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
 La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia
estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias
muéstrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la
población de la cual se extrae la muestra no es normal. Además, la
distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones
con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección
natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en
términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más
extendida en estadística y muchos test estadísticos están basados en
una supuesta "normalidad".
 Esta distribución se estandariza
 Los valores de la distancia normal no es tabulado, mientras que la
variable normal estándar “Z” si, en donde ella esta definida de la
siguiente forma:

X
n
n
X
Zc
/

16. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO
2
1
2
1
n
i
i
n
i
i
X
Z
Distribución Chi-cuadrado, también denominada Chi-cuadrado de Pearson, es
una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los
grados de libertad de la variable aleatoria, donde Zi son variables de distribución
normal, de media cero y varianza uno.
Se suele usar la denominada prueba Chi-cuadrado como test de independencia y
como test de bondad de ajuste.
La función de densidad Chi-cuadrado es
Donde, x >= 0.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución Chi-
cuadrado son E[X] = k V[X] = 2k
La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más
conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de
independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de
varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de
una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente
de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de
Student.

17. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT
 Esta distribución tiene la característica de que puede ser usada en
aquellos casos en los que el tamaño de muestra esta limitado, debido a
las características del experimento a realizar.
 Por ejemplo. En la industria es común encontrarse con productos que
debido a los materiales y/o proceso son sumamente caros y para
realizar la prueba es necesario destruirlos.
En estos casos el tamaño de la muestra debe ser pequeño cinco a ocho
partes. Una limitación en la aplicación de este estadístico es que la
población de la que se toma la muestra tiene una distribución normal.
 Supongamos que Z es una variable aleatoria normal con media 0 y
varianza 1 y que es una variable aleatoria Chi cuadrada con n
grados de libertad; suponer también que Z y son independientes.
Entonces si se define una nueva variable aleatoria T que es igual a la
razón de Z entre la raíz cuadrada de ( /k), entonces esta nueva variable
aleatoria se distribuye como una t con k grados de libertad.
1
2
n
Z
t
2
2
2

18. DISTRIBUCIÓN FISHER
 Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una
distribución de probabilidad continua. También se la conoce como
distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como
distribución F de Fisher-Snedecor.
 Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente
cociente:
F=
 donde
 y siguen una distribución chi-cuadrado con n1 y n2 grados de
libertad respectivamente, y
y son estadísticamente independientes.
 La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de
una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
n
S
n
S
n
n
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2