1) El documento describe conceptos relacionados con el variograma experimental y teórico, incluyendo sus propiedades básicas, cálculo, características y ajuste de modelos. 2) El variograma es una herramienta para analizar la correlación espacial de una variable y detectar anisotropías. 3) Las propiedades clave de un variograma incluyen su rango, sill y comportamiento a pequeñas y grandes distancias.
2. ContenidoContenido
• VARIOGRAMA EXPERIMENTAL
• VARIOGRAMA TEÓRICO
• Propiedades básicas
• Definición
• Estudio de modelos de variograma
• Cálculo a partir de los datos
• Características básicas
• Definición
• Ajuste de modelos de variograma
3. Variograma Teórico-DefiniciónVariograma Teórico-Definición
Es una herramienta que permite
analizar el comportamiento espacial
de una propiedad o variable sobre
una zona dada
Detectar direcciones de anisotropía
Ejemplo:
Zonas de influencia y su extensión (correlación
espacial)
Variabilidad con la distancia
10. γ• depende del módulo y de la dirección del vector h
Variograma Teórico-CaracterísticasVariograma Teórico-Características
( ) 2
)]()([
2
1
hxZxZEh +−=γ
• Valor promedio de la diferencia al cuadrado de los
valores de la propiedad en dos puntos separados por
una distancia |h|
γ• es independiente de la localización x
11. ( )hxZ +
1hx +
h
1h
( )1hxZ +
hx+
( ) 2
2
1
)]()([ hxZxZEh +−=γ
( )xZ
x
Detección de
características
que varían según
la dirección y la
distancia
Variograma Teórico-CaracterísticasVariograma Teórico-Características
15. ( ) ∑
=−
−=
hxx
ji
ji
xzxz
hN
h 2*
))()((
2
1
)(γ
• Se escoge una dirección θ
• Se escoge una distancia o lag h
• Se calcula para valores de h,2h,
3h,...,nh
*
γ
• Se grafica versus los valores
h,2h, 3h,...,nh
*
γ
0
1
2
3
4
5
6
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
Distancia
variogramaexperimental
Variograma
experimental
Variograma Experimental-obtenciónVariograma Experimental-obtención
18. Datos Irregularmente espaciados:
• Puede ocurrir que no existan valores de la variable a la distancia h
• Puede ocurrir que no existan valores de la variable en la dirección θ
Variograma Experimental-obtenciónVariograma Experimental-obtención
19. Variograma Experimental-distanciaVariograma Experimental-distancia
• Clases de distancia:
Para cada lag h se define una tolerancia y se utilizan
únicamente los puntos que se encuentran a una distancia mayor o
igual a y menor que
h∆
hh ∆− hh ∆+
( )3xz
h
2h
3h
( )1xz
( )2xz
( )4xz
( )5xz
23. • Clases de dirección :
θθ ∆− θθ ∆+
θ∆θPara cada dirección se define una tolerancia
y se utilizan únicamente los puntos que se
encuentran entre las direcciones y
Variograma Experimental-direcciónVariograma Experimental-dirección
24. θθ ∆−
θθ ∆+
puntos descartados
puntos aceptados
θ
θ∆
Variograma Experimental-direcciónVariograma Experimental-dirección
25. θ
θθ ∆−
θθ ∆+
θ∆
puntos aceptados
puntos descartados
b
b = ancho de banda
Variograma Experimental-direcciónVariograma Experimental-dirección
26. Variograma Experimental-distancia & direcciónVariograma Experimental-distancia & dirección
clase de distancia h
h
2h
3h
θ
θ∆
clase de distancia
2h
clase de distancia
3h
z(x)
28. Variograma Experimental-obtenciónVariograma Experimental-obtención
h: Distancia promedio entre los pozos
A partir del variogram cloud
A partir del variograma omnidireccional
Se escoge como la dirección de anisotropía
de la variable. Se puede obtener a partir
de:
Información geológica, petrofísica, etc
Mapa de variograma
θ:
n: Cuando se calcula el variograma sobre un
dominio D se escoge n de forma tal que:
n*h < | D | / 2
Valor del lag h
Número n de lags
Valor de θ θ∆y
29. 1.20 2.4 2.8 4.9
Lag h muy grande
Lag h pequeño, n muy grande
Variograma Experimental-Variograma Experimental-laglag
1.20 2.4 2.8 4.9
Lag h adecuado, valor de n ?
31. Variograma OmnidireccionalVariograma Omnidireccional
Variograma Omnidireccional:
Es aquel que no depende de la dirección
Se obtiene al escoger la tolerancia angular θ∆
de forma tal que las direcciones θθ ∆+ y θθ ∆−
sean opuestas y perpendiculares a la dirección θ
Se puede pensar como el promedio del variograma
experimental en todas las direcciones posibles
33. Variogram CloudVariogram Cloud
( ) ∑
=−
−=
hxx
ji
ji
xzxz
hN
h 2*
))()((
2
1
)(γ
Variogram Cloud:
( ) ∑
=−
−
=
hxx
ji
ji
xzxz
hN 2
))()((1
2
Al graficar el valor de
los pares versus la
distancia se obtiene el
variogram cloud
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7
Distancia
34. Variogram CloudVariogram Cloud
Variogram Cloud:
Permite detectar valores
atípicos o cambios bruscos
Permite escoger un valor
inicial del lag
Permite observar la dispersión
alrededor del valor de
*
γ 0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7
Distancia
36. Mapa de VariogramaMapa de Variograma
Mapa de Variograma :
Es una herramienta que
permite determinar las
direcciones de anisotropía
de la variable en estudio
37. 0
0
Mapa de VariogramaMapa de Variograma
Definir una malla (2n+1)*(2n+1)
h
Definir el valor del lag h
Asignar a cada bloque el valor
de
*
γ
43. ( ) )]()([)]()([
2
1 22
hxZxZEhxZxZEh +−=+−= σγ
Si para una distancia dada d las variables Z(x) y
Z(x+h) son no correlacionas entonces el variograma
es constante
2
σ=
Rango:
Distancia a partir de la cual
no hay correlación
Sill:
Varianza de la función aleatoria Z
Variograma-Rango & Sill
45. COMPORTAMIENTO A PEQUEÑAS DISTANCIAS
Comportamiento
1) DISCONTINUO
2) LINEAL
3) CUADRÁTICO
Permite estudiar cuán rápido puede variar la
variable en estudio a pequeñas distancias.
Básicamente el variograma presenta las 4 formas
siguientes:
4) HÍBRIDOS
46. Comportamiento discontinuo
( ) )]()([
2
1
hxZxZvarh +−=γ
( ) 00 =γ
Puede ocurrir que para
distancias cercanas a cero el
valor del variograma no se
aproxima a cero
Efecto pepita o nugget effect
47. Comportamiento discontinuo
Interpretación del nugget effect
1) Variable muy irregular a distancias cortas
( ) 2
)]()([
2
1
hxZxZEh +−=γ
0≈h
Z(x) y Z(x+h) difieren mucho
no se aproxima a cero
49. Interpretación del nugget effect
Comportamiento discontinuo
3) presencia de estructuras o
ausencia de valores en distancias
inferiores a las que se tomaron las
muestras
50. Comportamiento Lineal
Comportamiento lineal
Indica que para
distancias pequeñas, el
variograma tiene un
comportamiento lineal.
Representa variables
continuas pero no
diferenciables. Así, la
propiedad puede
cambiar rápidamente
de un punto a otro.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0
1,5
3
4,5
6
7,5
9
10,5
Distancia
Variograma
51. Comportamiento lineal
La variabilidad de la
propiedad dependerá de
la pendiente de la recta
en el origen
A mayor pendiente,
mayor variabilidad
A menor pendiente,
menor variabilidad
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distancia
Variograma
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Distancia
Variograma
Comportamiento Lineal
52. Comportamiento Cuadrático
Comportamiento Cuadrático
Indica que para distancias
pequeñas, el variograma tiene
un comportamiento cuadrático.
Representa variables sumamente
continuas e infinitamente
diferenciables. Así, la propiedad
NO puede cambiar rápidamente de
un punto a otro. 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
1
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
Distancia
Variograma
53. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18
Distancia
Variograma
Comportamiento Híbrido:
Variación más suave a
distancias cortas
Variación más fuerte a
distancias grandes
Indica presencia de
estructuras actuando a
diferentes escalas
Comportamiento Híbrido
54. Comportamiento-grandes distancias
NO TODOS LOS VARIOGRAMAS
POSEEN UN RANGO Y UN SILL
FINITO
Distancia
Variograma
INDICA LA PRESENCIA DE
UNA DERIVA O DRIFT
VARIABLE NO ESTACIONARIA
Comportamiento a grandes
distancias :
57. Anisotropías
Anisotropías :
Generalmente cuando el variograma
experimental es calculado en distintas
direcciones presenta distintos comportamientos
con la variación de la distancia.
Anisotropía Geométrica
Anisotropía Zonal
Anisotropía Híbrida
58. Anisotropía Geométrica
Anisotropía Geométrica :
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones presenta el
mismo sill pero rangos
distintos
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0,0 0,9 2,0 3,0 4,1 5,1 6,2 7,2 8,3 9,3 10,4 11,4
Distancia
Variograma
N-S
E-O
Mayor continuidad espacial
en la dirección de mayor
rango
Menor continuidad espacial
en la dirección de menor
rango
61. Anisotropía Zonal :
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones presenta el
mismo rango pero diferente
sill
Presencia de diferentes
estructuras
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,94 1,99 3,04 4,09 5,14 6,19 7,24 8,29 9,34 10,4 11,4
Distancia
Variograma
Anisotropía Zonal
63. Anisotropía Híbrida :
Es aquella en la que el
variograma en distintas
direcciones presenta
rangos diferentes y
distintos sill.
Presencia de diferentes
estructuras
Característico de variogramas
horizontales y verticales
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 0,6 1,2 1,8 2,4 3 3,6 4,2 4,8 5,4 6 6,6 7,2
Distancia
Variograma
Anisotropía Híbrida
65. COVARIANZA VS VARIOGRAMA
• El variograma se puede utilizar para modelar
fenómenos no estacionarios y la covarianza no, por
el desconocimiento de la media.
• Cuando la media es constante pero desconocida
no se necesita para el cálculo del variograma, pero
si para el de la covarianza.
•Si la función tiene varianza infinita (no estacionaria)
la covarianza no está definida en 0, sin embargo el
variograma si y es idénticamente nulo
66. Comentarios
CORRELACIÓN VS VARIOGRAMA
• La correlación estadística usual es
calculada a distancia cero (dos
observaciones en el mismo punto
del espacio) y puede no ser
representativa
• El variograma toma en cuenta el
espaciamiento y por lo tanto permite
”correlacionar espacialmente”
Fuente información 1
Fuente información 2
67. LIMITACIONES DEL VARIOGRAMA
• Es un estadístico de 2 puntos
Comentarios
• Utilizar técnicas multipuntos y
reconocimiento de patrones
70. Ajustar
POR QUE HAY QUE CONSTRUIR
MODELOS DE VARIOGRAMA ?
0
1
2
3
4
5
6
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
Distancia
variogramaexperimental
Variograma
experimental
0
1
2
3
4
5
6
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
Distancia
Variograma
experimental
Modelo de
variograma
El variograma experimental no
se puede evaluar en distancias
o direcciones intermedias
Una interpolación entre los puntos del
variograma experimental no garantiza la
existencia y unicidad de la solución del
sistema de kriging
La interpolación no satisface las
condiciones que todo variograma debe
satisfacer
El variograma experimental no satisface
las condiciones que todo variograma
debe satisfacer
*
γ
71. Variograma Teórico-propiedades
LOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIÓN QUE
DEPENDA DE LA DISTANCIA Y LA DIRECCIÓN NO NECESARIAMENTE ES UN
VARIOGRAMA
1) ( ) 00 =γ
2) ( ) ( )hh γγ =−
El variograma calculado en la dirección de h es igual al variograma
calculado en la dirección de -h
h-h
72. 3) Todo variograma es una funcion definida positiva condicional
Para cualquier n, cualesquiera nxxxx ,,,, 321 puntos en el espacio y cualesquiera
nλλλλ ,,,, 321 valores tales que ∑=
=
n
i
i
1
0λ se tiene que
( ) 0
1 1
≥−− ∑∑= =
n
i
n
j
jiji xxγλλ
Esta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones
lineales de funciones aleatorias
( ) αβ
βα
α
α
γλλλ −=Zvar
Variograma Teórico-propiedades
73. 4) Relación con la función de covarianza
Para funciones aleatorias estacionarias se tiene que ( ) ( ) ( )hCCh −= 0γ
Distancia
Variograma
Variograma
Covarianza
Variograma Teórico-propiedades
74. ( ) 02
=
∞→ h
h
lim
h
γ
4) Si γ es el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrínseca entonces
En particular para h suficientemente grande existe una constante c tal que ( ) 2
hch ≤γ
Criterio para el comportamiento del variograma a grandes distancias
Criterio para detectar un comportamiento no estacionario
Variograma Teórico-propiedades
75. 4) Combinacion lineal de variogramas
( ) ( ) ( ) ( )hhhh Nγγγγ ,,,, 321 Si son modelos de variograma y αααα N,,,, 321
son valores positivos entonces
( ) ( )hh
n
i
i i∑=
=
1
γαγ
Permite modelar/ajustar las estructuras imbricadas (nested structures)
Permite modelar la anisotropía zonal
Variograma Teórico-propiedades
79. Modelos de Variograma
Modelos de variograma isotrópicos más comunes:
Modelo Efecto Pepita Puro
Modelo Esférico
Modelo Exponencial
Modelo Gaussiano
Modelo Cúbico
Modelo Seno Cardinal
Modelo Potencia
80. Modelo Efecto Pepita Puro
S
Distancia
Variograma
≠
=
=
0
00
hsis
hsi
hγ
Este modelo representa a
un fenómeno
completamente aleatorio, en
el cual no hay correlación
espacial
No importa cuán cerca se
encuentren los valores de
las variables, siempre serán
no correlacionados
82. Modelo Exponencial
( )
−−=
a
h
sh exp1γ
DistanciaVariograma
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a 3a
as /3Pendiente igual a
Representa fenómenos continuos
pero no diferenciables
Comportamiento lineal en el origen
83. Modelo Gaussiano
( )
−−=
a
h
sh 2
2
exp1γ
Distancia
Variograma
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a a3
Comportamiento cuadrático en el origen
Representa fenómenos continuos
infinitamente diferenciables (sumamente
continuos)
85. Modelo Seno Cardinal
( )
( )
−=
ah
/ah
sh
/
seno
1γ
Distancia
Variograma
Sill s que alcanza asintóticamente
Rango aparente igual a a
Rango experimental igual a 3a
Comportamiento cuadrático en el origen
Se utiliza para representar fenómenos
continuos con periodicidades
86. Modelo Potencia
( ) p
hsh =γ
Distancia
Variograma
s=2.5, p=0.4
s=0.4, p=1.8
s=1.15, p=1
s se denomina factor de escala
20 <≤ p
El comportamiento en el origen
depende del valor de p
Representa fenómenos no
estacionarios
88. Modelo Anisotrópicos
( )h1γ Variograma isotrópico de sill 1 y rango 1
( )
+= 2
2
2
2
1
y
y
x
x
R
h
R
h
sh γγ Variograma anisotrópico de sill s con rango xR
en la dirección del eje X y rango yR en la dirección
del eje Y
xR
yR
X
Y
Los ejes de anisotropía coinciden con los
ejes de coordenadas
89. X
Y
Modelo Anisotrópicos
Los ejes de anisotropía NO coinciden con los
ejes de coordenadas
xR
yR
X’
Y’
θ
1) Transformar los puntos del sistema
de coordenadas XY al sistema de
coordenadas X’Y’
Rhh =' R= matriz de rotación
T
2) Proceder como antes para ajustar la
longitud de los ejes de anisotropía
'Th = matriz para transformar
las distancias
3) Evaluar el variograma isotrópico en el
resultado.
( ) ( )TRhsh 1γγ =
Es un variograma anisotrópico en la dirección θ
con eje mayor igual a xR y eje menor igual a yR
91. Variograma Cruzado
Si Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma
cruzado de ellas se define como :
))]()(())()([(
2
1
)( hxYxYhxZxZEhZY +−+−=γ
( )
))()(())()((
2
1
)(*
ji
hxx
jiZY xyxyxzxz
hN
h
ji
−−= ∑
=−
γ
Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental
92. Variograma Cruzado-propiedades
1) ( ) 00 =ZYγ
2) ( ) ( )hh ZYZY γγ =−
3) ( ) ( )hh YZZY γγ = El variograma cruzado es una función simétrica
4) Relación con la función de covarianza cruzada
( ) ( ) ( )( )hChCCh YZZYZYZY +−=
2
1
0)(γ
( ) ( )( ) ( )( )[ ]YZZY mhxYmxZEhC −+−=
93. 4) Desigualdad de Hölder
Variograma Cruzado-propiedades
( ) ( ) ( )hhh YZZY γγγ ≤2
El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de
cada uno de los variogramas individuales
Consecuencias:
El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el
cuadrado del sill del variograma cruzado
YZZY SSS ≤2
94. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )hwhwhwh
hvhvhvh
huhuhuh
mmYZ
mmY
mmZ
γγγγ
γγγγ
γγγγ
+++=
+++=
+++=
2211
2211
2211
Variograma Cruzado-propiedades
4) Modelo lineal de coregionalización
0>ju 0>jv 02
>− jjj wvu
mjj ,,1, =γ modelos de variogramas
Permite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas
individuales
96. Funciones Indicadoras
La función indicadora de la facies F se define como
( )
∈
=
nosi
Fxsi
xF
0
1
1
Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su función indicadora es una
función aleatoria que puede ser estacionaria o no.
En lo sucesivo asumiremos que la función indicadora de F es estacionaria
( ) ( ) ( )( )2
11
2
1
xhxEh FFF −+=γ
97. Funciones Indicadoras
Propiedades
1) ( )( ) [ ]1,0)(1 ∈=∈= pFxPxE F
( )( ) ( )ppxF −= 11var
2) ( ) 5.0≤hFγ
El sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.5
3) Relación con la función de covarianza
( ) ( ) ( )hCCh FFF
−= 0γ
( ) ( )[ ] ( )[ ]( )pxphxEhC FFF −−+= 11
( ) ( )( ) ( ) 25.0110 ≤−== ppxC FF var
98. ( ) ( ) ( )2121 hhhh FFF γγγ +≤+
Funciones Indicadoras
4) Desigualdad Triangular
En particular ( ) ( )hh FF γγ 22 ≤
Consecuencia :
Un variograma con comportamiento en el origen de la forma 1>ph
p
no puede ser el variograma de una función indicadora
99. ( ) )( FhxyFxPhF ∉+∈=γ
Funciones Indicadoras
5) Rango y Anisotropías
Distancia
Variograma R1R2