Estadística Descriptiva. Medidas de Dispersión. Análisis de la Desviación Absoluta respecto a la Media Aritmética, Varianza, Desviación Típica y Coeficiente de Variación de Pearson

1. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
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Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

2. Medidas de Posición, Dispersión y Forma
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Cuando disponemos de una distribución de frecuencias asociada a cierta variable estadística, ésta puede
resumirse por unas medidas que dan una idea general de cómo es la distribución sin tener que tratar
todos los datos con frecuencias absolutas o relativas. Dichas medidas se pueden dividir en:
Medidas de posición; estas medidas dan una idea de en qué valores se distribuye la variable estadística:
medias aritmética, geométrica y armónica, mediana, moda y cuantiles.
Medidas de dispersión; estas medidas tratan de medir el grado de esparcimiento de la variable
estadística en torno a una medida de posición, indicándonos lo representativa que es ésta. A mayor
dispersión, menor representatividad de la medida de posición y viceversa. Veremos como ejemplos, entre
otros, la varianza, el recorrido y el coeficiente de variación de Pearson.
Medidas de forma; se distinguen principalmente dos medidas que estudian la simetría de una
distribución (coeficiente de asimetría de Fisher) y el grado de semejanza de la misma a la distribución
campaniforme de Gauss o también llamada normal (coeficiente de curtosis de Fisher).
MEDIDAS DE DISPERSIÓN

3. Medidas de Dispersión
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Las medidas de dispersión nos informan sobre el grado de separación o dispersión de los datos. Existen
medidas de dispersión absoluta y medidas de dispersión relativa.
Las medidas de dispersión absoluta dependen de las unidades de medida de la variable. Las medidas de
dispersión relativa carecen de unidades de medida y normalmente vienen definidas por cociente.
Medidas de Dispersión Absolutas.
a) Reocorrido o Rango
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
    1max mini i rR x x x x   
b) Intervalos intercuantílicos:
- Intervalo intercuartílico:
- Intervalo semiintercuartílico:
- Intervalo intercuartílico relativo:
- Intervalo 10-90 por 100:
- Intervalo 7-93 por 100:
13 QQI 
 3 1
2
Q Q
 3 1Q Q
Me

19 DD 
93 7P P

4. Medidas de Dispersión
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c) Desviación Absoluta respecto a la Media Aritmética (da)
d) Varianza (var(x))
e) Desviación Típica (s)
Medidas de Dispersión Relativa.
f) Coeficiente de Variación de Pearson (cv(x))
Dada una variable estadística X, con N datos, siendo:
- x1, x2, x3, ….., xn los diferentes datos
- n1, n2, n3, ….., nn las frecuencias absolutas

5. Medidas de Dispersión
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Desviación Absoluta respecto a la Media Aritmética
N
nxx
d
i
r
i
i
a


1
Promedio de la suma de las distancias de cada uno de los datos a la media aritmética en valores
absolutos. Mide cómo de separado están cada uno de los datos respecto a la media.
Varianza
Promedio de la distancia de cada uno de los datos respecto a la media, al cuadrado. También mide cómo
de separados están los datos respecto a la media.
 
N
nxx
Xs
r
i
ii

 1
2
2
)var(

6. Medidas de Dispersión
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Desviación Típica
Se corresponde con la raíz cuadrada de la Varianza.
Coeficiente de Variación de Pearson
Cociente entre la desviación típica y la media. Permite comparar dispersiones entre variables estadísticas
distintas.
 
N
nxx
Xss
r
i
ii

 1
2
2
)var(
x
s
xcv )(

7. Medidas de Dispersión
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Es interesante repasar las propiedades de la varianza:
a) La varianza es siempre un valor no negativo: 2
0 s
b) La desviación cuadrática media de una variable estadística respecto a una constante k se hace mínima
cuando k coincide con la media aritmética, en cuyo caso se obtiene la varianza:
 

r
i
ii nkx
N
kS
1
21
)(
c) Si a una variable estadística X la sometemos a un cambio de origen y de escala de la forma Y=a+bX,
entonces la varianza de la variable Y se puede calcular como:
222
xy sbs 
d) Cálculo de la varianza a través de los momentos respecto al origen: 

r
i
ii xnx
N
aas
1
222
12
2 1

8. Medidas de Dispersión
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El cálculo de estos parámetros se simplifica mucho si nos apoyamos en una Tabla Estadística.
xi ni ii nx  xxi  ii nxx  2
)( xxi  ii nxx  2
)(
N   ii nx   ii nxx   ii nxx 2
)(
N
nx
x ii 

N
nxx
d
ii
a


  
N
nxx
Xs
r
i
ii

 1
2
2
)var(
2
ss 
x
s
xcv )(

9. Medidas de Dispersión
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Ejemplo 1. Notas de Examen
xi ni ii nx  xxi  ii nxx  2
)( xxi  ii nxx  2
)(
8 , 6 , 4 , 4 , 5 , 5 , 0 , 2, 9 , 10 , 4 , 8 , 9 , 2 , 1 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
0
3
3
4
1
2
2
1
N=20
0
1
4
0
12
15
24
7
16
18
10
107
N
nx
x ii 

35,5
20
107
x
5,35
4,35
3,35
2,35
1,35
0,35
0,65
1,65
2,65
3,65
4,65
5,35
4,35
6,7
0
4,05
1,05
2,6
1,65
5,3
7,3
4,65
43
N
nxx
d
ii
a
 

15,2
20
43
ad

10. Medidas de Dispersión
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Ejemplo 1. Notas de Examen
xi ni ii nx  xxi  ii nxx  2
)( xxi  ii nxx  2
)(
8 , 6 , 4 , 4 , 5 , 5 , 0 , 2, 9 , 10 , 4 , 8 , 9 , 2 , 1 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
0
3
3
4
1
2
2
1
N=20
0
1
4
0
12
15
24
7
16
18
10
107
5,35
4,35
3,35
2,35
1,35
0,35
0,65
1,65
2,65
3,65
4,65
5,35
4,35
6,7
0
4,05
1,05
2,6
1,65
5,3
7,3
4,65
43
28,62
18,92
11,22
5,523
1,823
0,123
0,423
2,723
7,023
13,32
21,62
28,62
18,92
22,45
0
5,468
0,367
1,69
2,723
14,05
26,65
21,62
142,6
N
nxx
s ii 

)(2
128,7
20
6,1422
s
67,2128,72
 ss
499,0
35,5
67,2
)var( 
x
s
xc
La media es muy representativa

11. Medidas de Dispersión
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Ejemplo 2. Peso de los alumnos
xi ni ii nx  xxi  ii nxx  2
)( xxi  ii nxx  2
)(
N
nx
x ii 

75,81
20
1635
x
N
nxx
d
ii
a
 

4,2
20
48
ad
75,4 85,2 79 87,3 82 84 86,2 80 78,3 81,3 76,2 83,1 82,9 80 80,6 89,8 83,9 82,4 83,9 78,4
Intervalo
[75,78)
[78,51)
[81.84)
[84,87)
[87,90]
76,5
79,5
82,5
85,5
88,5
2
6
8
3
1
N=20
153
477
660
256,5
88,5
1635
5,25
2,25
0,75
3,75
6,75
10,5
13,5
6
11,25
6,75
48
27,56
5,063
0,563
14,06
45,56
55,13
30,38
4,5
42,19
45,56
177,8
889,8
20
8,177)(2




N
nxx
s ii
9816,2889,82
 ss
03647,0
75,81
8916,2
)var( 
x
s
xc
La media es aún más representativa que la media del ejemplo anterior