Este documento describe medidas de dispersión como el rango, la desviación respecto a la media, la varianza y la desviación estándar. Explica que estas medidas cuantifican cuánto se dispersan los datos alrededor de la media o centro de los datos. Define cada medida y proporciona fórmulas e ilustraciones para calcular y entender mejor estas medidas estadísticas.

1. UNIDAD 3
Medidas de Dispersión
Lic. José Gregorio Alvarado Pérez

2. c. Medidas de dispersión
• Una vez que se ha localizado el “centro” con las medidas de
tendencia central, la investigación en busca de información a partir
de los conjuntos de datos se dirige ahora a las medidas de
dispersión. Estas medidas incluyen el rango, la varianza y la
desviación estándar. Estos valores numéricos describen la cantidad
de dispersión, o variabilidad, que se encuentra entre los datos. Las
medidas de dispersión son:
1. Rango
2. Desviación Respecto a la media
3. Varianza
4. Desviación estándar

3. c.1. Rango
DEFINICIÓN
• Es la diferencia entre las proporciones de datos de mayor valor
(max) y de menor valor (min).
FÓRMULA DEL RANGO
Rango= Máximo – Mínimo
OBTENCIÓN DEL RANGO
Rango= Máx – Min = 8 – 3 = 5

4. c.1. Rango
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL RANGO

5. c.2. Desviación respecto a la media
DEFINICIÓN
• Una desviación de la media, x – media, es la diferencia entre el valor
x y la media.
• Cada valor individual de x se desvía de la media por una cantidad
igual a (x – media). Esta desviación (x – media) es cero cuando x es
igual a la media. La desviación (x – media) es positiva si x es mayor
que la media y, negativa si x es menor que la media.

6. c.2. Desviación respecto a la media
OBTENCIÓN DE LA DESVIACIÓN RESPECTO A LA MEDIA
• Considere la muestra 6, 3, 8, 5, 3. Al usar la fórmula para obtener la
media se encuentra que la media es 5. Luego, cada desviación, se
encuentra restando 5 de cada valor x.
Datos X 6 3 8 5 3
Desviación X – media 6-5 3-5 8-5 5-5 3 -5
Resultado 1 -2 3 0 -2

7. c.2. Desviación respecto a la media
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DESVIACIÓN RESPECTO A LA MEDIA

8. c.2. Desviación respecto a la media
• Para describir el valor “Promedio” de estas desviaciones podría
usarse la desviación media, la suma de desviaciones divida entre n.
sin embargo, como la suma de las desviaciones, Σ(x – media), es
exactamente cero. Debido a quela desviación media siempre es
igual a cero, no es un estadístico de utilidad.
• La suma de desviaciones Σ(x – media), siempre es cero debido al
efecto de neutralización entre las desviaciones de los valores x
menores que la media (que son negativos) y los valores x mayores
que la media (que son positivos). Este efecto de neutralización
puede eliminarse si se hace algo para que todas las desviaciones
sean positivas.

9. c.2. Desviación respecto a la media
• Una forma de eliminar el efecto de neutralización positivo-negativo
es elevar al cuadrado cada una de las desviaciones; todas las
desviaciones al cuadrado serán valores no negativos (positivos o
cero). Las desviaciones al cuadrado se utilizan para determinar la
varianza.

10. c.3. Varianza de la muestra
DEFINICIÓN
• La varianza de la muestra, s2, es la media de las desviaciones al
cuadrado utilizando como divisor a n – 1.
FÓRMULA DE LA VARIANZA DE LA MUESTRA

11. c.3. Varianza de la muestra
NOTAS
• Para encontrar la media se usa la suma de todas las x.
• En el supuesto de que se use el valor exacto de la media, la suma de
las desviaciones, Σ(x – media), siempre es cero. Aplique este hecho
para comprobar sus cálculos.
• Si usa un valor redondeado de la media, entonces Σ(x – media), no
siempre es cero. No obstante, estará razonablemente próxima a
cero.

12. c.3. Varianza de la muestra
OBTENCIÓN DE LA VARIANZA DE LA MUESTRA
• Calculando la varianza de 6, 3, 8, 5, 3 aplicando la fórmula anterior.
Paso 2. Paso 3. Paso 4.
Paso 1. Paso 5. Varianza
Encuentre la Encuentre cada Encuentra Σ(x –
Encuentra Σx de la muestra
media x - media media)2
6 6–5=1 (1)2= 1
3 3 – 5 = -2 (-2)2= 4
8 8–5=3 (3)2= 9
X= 25/5= 5 s2 = 18/4 = 4.5
5 5–5=0 (0)2= 0
3 3 – 5 = -2 (-2)2= 4
Σx= 25 media = 5 Σ(x-media) = 0 Σ(x-media)2 = 18 s2 = 4.5

13. c.3. Varianza de la muestra
MÉTODO DE ATAJO
• El numerador de la varianza de la muestra, Σ(x – media)2, a menudo
se denomina “suma de cuadrados de x” y se simboliza SC(x), así la
fórmula puede expresarse como:

14. c.3. Varianza de la muestra
• Las fórmulas de la varianza pueden modificarse a otras formas para
aplicarlas más fácilmente en diversas situaciones. Por ejemplo,
suponga que se tiene la muestra 6, 3, 5, 8, 2. La varianza de esta
muestra se calcula en la siguiente tabla:
Paso 2. Paso 3. Paso 4.
Paso 1. Paso 5. Varianza
Encuentre la Encuentre cada Encuentra Σ(x –
Encuentra Σx de la muestra
media x - media media)2
6 6 – 4.8 = 1.2 (1.2)2= 1
3 3 – 4.8 = -1.8 (-1,8)2= 4
5 5 – 4.8 = 3.2 (3.2)2= 9
X= 24/5= 4.8 s2 = 22.80/4 = 5.7
8 8 – 4.8 = 0.2 (0.2)2= 0
2 2 – 4.8 = -2.8 (-2.8)2= 4
Σ(x-media)2 =
Σx= 24 media = 24 Σ(x-media) = 0 s2 =5.7.
22.80

15. c.3. Varianza de la muestra
• El procedimiento aritmético para este ejemplo puede volverse más
complicado porque la media contiene dígitos diferentes de cero del
punto decimal. No obstante, la “suma de cuadrados de x”, el
numerador de la fórmula puede volverse a escribir como: