Introducir los conceptos básicos del cálculo matricial: inversión de matrices, cálculo de determinantes, descomposición LU; y presentar métodos directos e iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales
El método de Gauss-Seidel es una técnica para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Funciona iterando los valores de las incógnitas y actualizando uno por uno basado en el coeficiente dominante en cada ecuación, convergiendo a una solución cuando los coeficientes cumplen ciertas condiciones. El documento provee los pasos del método y un ejemplo numérico para ilustrar su aplicación.
El método simplex primal es una herramienta matemática para resolver problemas de optimización lineal mediante la construcción y solución de una matriz. Se identifican la función objetivo y restricciones, se construye un modelo de programación lineal en forma estándar y una matriz asociada, la cual se resuelve iterativamente mediante eliminación de Gauss-Jordan hasta alcanzar la solución óptima.
Este documento presenta los resultados de un grupo de estudiantes sobre ejercicios de movimiento en dos y tres dimensiones. Incluye la solución a un ejercicio sobre el lanzamiento de una moneda a un platillo, y las componentes de la velocidad de la moneda antes de caer. También presenta la solución a un ejercicio sobre la aceleración de un pasajero en una rueda de la fortuna, encontrando que es hacia arriba en el punto más bajo y hacia abajo en el punto más alto.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
El documento describe el Hessiano Orlado, una variante de la matriz Hessiana utilizada para encontrar máximos y mínimos en problemas de optimización con restricciones. Explica los pasos para usar el Hessiano Orlado: 1) definir la función y restricción, 2) formular el lagrangiano, 3) calcular derivadas parciales, 4) igualarlas a cero, 5) encontrar puntos críticos, 6) calcular segundas derivadas en esos puntos, y 7) evaluar la matriz Hessiana para determinar si los puntos son mínimos o má
El documento resume los conceptos clave del método simplex para resolver modelos lineales de programación lineal. Explica que el método simplex requiere que el modelo esté en forma estándar y sistema canónico, e involucra iteraciones para moverse entre puntos extremos hasta encontrar la solución óptima maximizando o minimizando la función objetivo.
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde verificar si una función es solución de una ecuación diferencial hasta resolver ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y de orden superior usando diferentes métodos como separación de variables, sustituciones apropiadas y condiciones iniciales. El documento provee instrucciones detalladas para cada tipo de ejercicio.
Una persona se encuentra en una habitación a 20°C. Se debe determinar la transferencia de calor entre la persona y las superficies circundantes en verano (23°C en las superficies) e invierno (12°C en las superficies) mediante radiación. En verano la transferencia de calor es de 84,21 W y en invierno es de 177,21 W, más del doble que en verano debido a la mayor diferencia de temperatura.
El método de Gauss-Seidel es una técnica para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Funciona iterando los valores de las incógnitas y actualizando uno por uno basado en el coeficiente dominante en cada ecuación, convergiendo a una solución cuando los coeficientes cumplen ciertas condiciones. El documento provee los pasos del método y un ejemplo numérico para ilustrar su aplicación.
El método simplex primal es una herramienta matemática para resolver problemas de optimización lineal mediante la construcción y solución de una matriz. Se identifican la función objetivo y restricciones, se construye un modelo de programación lineal en forma estándar y una matriz asociada, la cual se resuelve iterativamente mediante eliminación de Gauss-Jordan hasta alcanzar la solución óptima.
Este documento presenta los resultados de un grupo de estudiantes sobre ejercicios de movimiento en dos y tres dimensiones. Incluye la solución a un ejercicio sobre el lanzamiento de una moneda a un platillo, y las componentes de la velocidad de la moneda antes de caer. También presenta la solución a un ejercicio sobre la aceleración de un pasajero en una rueda de la fortuna, encontrando que es hacia arriba en el punto más bajo y hacia abajo en el punto más alto.
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
El documento describe el Hessiano Orlado, una variante de la matriz Hessiana utilizada para encontrar máximos y mínimos en problemas de optimización con restricciones. Explica los pasos para usar el Hessiano Orlado: 1) definir la función y restricción, 2) formular el lagrangiano, 3) calcular derivadas parciales, 4) igualarlas a cero, 5) encontrar puntos críticos, 6) calcular segundas derivadas en esos puntos, y 7) evaluar la matriz Hessiana para determinar si los puntos son mínimos o má
El documento resume los conceptos clave del método simplex para resolver modelos lineales de programación lineal. Explica que el método simplex requiere que el modelo esté en forma estándar y sistema canónico, e involucra iteraciones para moverse entre puntos extremos hasta encontrar la solución óptima maximizando o minimizando la función objetivo.
Este documento contiene una serie de ejercicios de ecuaciones diferenciales organizados en varias secciones. Los ejercicios van desde verificar si una función es solución de una ecuación diferencial hasta resolver ecuaciones diferenciales exactas, homogéneas y de orden superior usando diferentes métodos como separación de variables, sustituciones apropiadas y condiciones iniciales. El documento provee instrucciones detalladas para cada tipo de ejercicio.
Una persona se encuentra en una habitación a 20°C. Se debe determinar la transferencia de calor entre la persona y las superficies circundantes en verano (23°C en las superficies) e invierno (12°C en las superficies) mediante radiación. En verano la transferencia de calor es de 84,21 W y en invierno es de 177,21 W, más del doble que en verano debido a la mayor diferencia de temperatura.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales mal condicionados. Explica que estos sistemas producen resultados muy sensibles a pequeños errores en los datos o cálculos. Presenta un ejemplo donde un cambio menor en un coeficiente produce un cambio significativo en la solución. Introduce conceptos como la norma de una matriz, el número de condición y provee una cota para estimar el error en la solución debido a errores en la matriz de coeficientes.
Deducción del método de Newton Raphson para 3 ecuaciones con 3 incógnitasFrancisco Reyes
Este documento presenta el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas. Explica cómo calcular las derivadas parciales, determinantes y realizar iteraciones para aproximar las raíces de las ecuaciones. Luego aplica el método a varios ejemplos numéricos de 2 y 3 ecuaciones con 2 y 3 incógnitas.
Solver es una herramienta en Excel que resuelve problemas de optimización lineal mediante métodos numéricos. Busca los valores óptimos para celdas objetivo al cambiar celdas variables, sujeto a restricciones. El usuario especifica la función objetivo, variables, y restricciones, y Solver encuentra valores para las variables que optimicen la función objetivo cumpliendo las restricciones.
Este documento presenta varios ejemplos de cómo diagonalizar matrices. Explica los pasos para encontrar los valores y vectores propios de una matriz y usarlos para formar las matrices P y D que diagonalizan la matriz original cuando es posible hacerlo. También muestra casos en que una matriz no se puede diagonalizar debido a que no tiene suficientes vectores propios linealmente independientes.
Este documento describe varios métodos para optimización sin restricciones, incluyendo la minimización o maximización de funciones de una o más variables. Explica conceptos como funciones cóncavas, convexas, cuasicóncavas y cuasiconvexas, y presenta métodos de búsqueda lineal como la búsqueda uniforme, dicotómica y de la relación áurea. También cubre búsqueda multidimensional usando derivadas y matrices definidas y semidefinidas.
Este documento describe dos variantes del método simplex para resolver problemas de programación lineal con restricciones de igualdad o desigualdad: 1) el método de la Gran "M" penaliza la función objetivo para tratar las restricciones; y 2) el método de doble fase resuelve primero un problema auxiliar de minimización (Fase I) antes de resolver el problema original (Fase II).
Este documento describe los métodos numéricos de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales. Explica cómo aproximar derivadas con expresiones algebraicas más simples y cómo aplicar esto para resolver la ecuación de calor. También compara tres métodos: explícito, implícito y Crank-Nicolson, discutiendo sus ventajas y desventajas para este problema.
La máquina opera entre una temperatura alta de 15°C y baja de -5°C. Si recibe 5000 kW de potencia, su coeficiente de realización es 13.4. El calor de la fuente alta es 72000 kJ/s y el calor de la fuente baja es 67000 kJ/s. El cambio de entropía de la máquina es cero.
Este documento contiene 10 ejercicios de vectores y producto escalar resueltos. Los ejercicios involucran hallar simétricos, vértices de triángulos, normalizar vectores, calcular ángulos entre vectores, proyecciones, clasificar triángulos y expresar vectores en bases. Para cada ejercicio, se provee la solución resuelta de manera concisa.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de conjuntos de soluciones, soluciones generales de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas. Define un conjunto fundamental de soluciones como un conjunto de soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea. Explica que la solución general de una ecuación diferencial homogénea es una combinación lineal de las soluciones del conjunto fundamental, y que la solución general de una ecuación no homogénea es la suma de la solución particular y la solución
Este documento presenta los conceptos básicos de la estática de cuerpos en equilibrio. Explica los principios del equilibrio de partículas y sistemas de fuerzas, así como el análisis de momentos y el cálculo de tensiones en cables y estructuras. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los diferentes conceptos presentados.
Clase 07 ecuaciones diferenciales de segundo ordenJimena Rodriguez
El documento presenta los conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones para obtener sus soluciones generales y cómo resolver problemas de valor inicial asociados a estas ecuaciones. Además, proporciona ejemplos para ilustrar los métodos de resolución.
El documento describe el método del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales. Este método involucra reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y luego generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. Se presenta la existencia y convergencia del método, así como un algoritmo y ejemplos para ilustrar el cálculo numérico de raíces.
Este documento presenta conceptos relacionados con las integrales definidas, incluyendo longitud de arco, área de superficies de revolución y trabajo mecánico. La profesora Emma Yendis explica las fórmulas para calcular estas cantidades y provee ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta información sobre el método de programación lineal conocido como simplex. Explica los pasos para aplicar este método a problemas de optimización lineal, incluyendo la construcción del tablero inicial, la selección de la variable pivote y fila pivote en cada iteración, y los cálculos para actualizar el tablero hasta alcanzar la solución óptima. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método.
Se presenta la solución de varios problemas sobre el análisis de esfuerzos en vigas, normales por flexión y cortante, aplicando los conceptos básicos de la mecánica de materiales
Este documento presenta información sobre dinámica de partículas. Incluye definiciones de aceleración, velocidad y fuerza. También explica la segunda ley de Newton y cómo expresar fuerzas y aceleraciones en componentes. Finalmente, presenta varios ejemplos resueltos de problemas de dinámica aplicando la segunda ley de Newton.
El documento explica los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones lineales representados en forma matricial, incluyendo la matriz aumentada, operaciones elementales entre filas de una matriz, y cómo reducir una matriz a forma reducida mediante dichas operaciones.
El documento describe el método simplex para resolver problemas de programación lineal. El método simplex es un procedimiento iterativo que examina los vértices de un conjunto factible para encontrar la solución óptima. Consiste en dos fases: la fase I identifica una solución inicial básica factible, mientras que la fase II se mueve sistemáticamente entre soluciones básicas hasta encontrar la solución óptima.
El objetivo principal de este libro es proporcionar al estudiante una presentación clara y completa de la teoría y las aplicaciones de la ingeniería mecanica
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo descomposición LU, el algoritmo de Thomas, descomposición de Cholesky, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Estos métodos utilizan iteraciones para aproximar la solución de sistemas expresados como matrices. El método de Gauss-Seidel converge más rápido que el método de Jacobi al utilizar las aproximaciones más recientes en cada iteración.
Operaciones de renglon y reduccion de gauss jordanBeth Gómez
El documento describe las operaciones de renglón y reducción de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo intercambiar renglones, sumar un múltiplo escalar de una fila a otra, y multiplicar una fila por un número distinto de cero. Aplica estas operaciones para resolver el sistema X=2, Y=2, Z=-1.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales mal condicionados. Explica que estos sistemas producen resultados muy sensibles a pequeños errores en los datos o cálculos. Presenta un ejemplo donde un cambio menor en un coeficiente produce un cambio significativo en la solución. Introduce conceptos como la norma de una matriz, el número de condición y provee una cota para estimar el error en la solución debido a errores en la matriz de coeficientes.
Deducción del método de Newton Raphson para 3 ecuaciones con 3 incógnitasFrancisco Reyes
Este documento presenta el método de Newton-Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales simultáneas. Explica cómo calcular las derivadas parciales, determinantes y realizar iteraciones para aproximar las raíces de las ecuaciones. Luego aplica el método a varios ejemplos numéricos de 2 y 3 ecuaciones con 2 y 3 incógnitas.
Solver es una herramienta en Excel que resuelve problemas de optimización lineal mediante métodos numéricos. Busca los valores óptimos para celdas objetivo al cambiar celdas variables, sujeto a restricciones. El usuario especifica la función objetivo, variables, y restricciones, y Solver encuentra valores para las variables que optimicen la función objetivo cumpliendo las restricciones.
Este documento presenta varios ejemplos de cómo diagonalizar matrices. Explica los pasos para encontrar los valores y vectores propios de una matriz y usarlos para formar las matrices P y D que diagonalizan la matriz original cuando es posible hacerlo. También muestra casos en que una matriz no se puede diagonalizar debido a que no tiene suficientes vectores propios linealmente independientes.
Este documento describe varios métodos para optimización sin restricciones, incluyendo la minimización o maximización de funciones de una o más variables. Explica conceptos como funciones cóncavas, convexas, cuasicóncavas y cuasiconvexas, y presenta métodos de búsqueda lineal como la búsqueda uniforme, dicotómica y de la relación áurea. También cubre búsqueda multidimensional usando derivadas y matrices definidas y semidefinidas.
Este documento describe dos variantes del método simplex para resolver problemas de programación lineal con restricciones de igualdad o desigualdad: 1) el método de la Gran "M" penaliza la función objetivo para tratar las restricciones; y 2) el método de doble fase resuelve primero un problema auxiliar de minimización (Fase I) antes de resolver el problema original (Fase II).
Este documento describe los métodos numéricos de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales. Explica cómo aproximar derivadas con expresiones algebraicas más simples y cómo aplicar esto para resolver la ecuación de calor. También compara tres métodos: explícito, implícito y Crank-Nicolson, discutiendo sus ventajas y desventajas para este problema.
La máquina opera entre una temperatura alta de 15°C y baja de -5°C. Si recibe 5000 kW de potencia, su coeficiente de realización es 13.4. El calor de la fuente alta es 72000 kJ/s y el calor de la fuente baja es 67000 kJ/s. El cambio de entropía de la máquina es cero.
Este documento contiene 10 ejercicios de vectores y producto escalar resueltos. Los ejercicios involucran hallar simétricos, vértices de triángulos, normalizar vectores, calcular ángulos entre vectores, proyecciones, clasificar triángulos y expresar vectores en bases. Para cada ejercicio, se provee la solución resuelta de manera concisa.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de conjuntos de soluciones, soluciones generales de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas. Define un conjunto fundamental de soluciones como un conjunto de soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea. Explica que la solución general de una ecuación diferencial homogénea es una combinación lineal de las soluciones del conjunto fundamental, y que la solución general de una ecuación no homogénea es la suma de la solución particular y la solución
Este documento presenta los conceptos básicos de la estática de cuerpos en equilibrio. Explica los principios del equilibrio de partículas y sistemas de fuerzas, así como el análisis de momentos y el cálculo de tensiones en cables y estructuras. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar los diferentes conceptos presentados.
Clase 07 ecuaciones diferenciales de segundo ordenJimena Rodriguez
El documento presenta los conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Explica cómo resolver este tipo de ecuaciones para obtener sus soluciones generales y cómo resolver problemas de valor inicial asociados a estas ecuaciones. Además, proporciona ejemplos para ilustrar los métodos de resolución.
El documento describe el método del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales. Este método involucra reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y luego generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. Se presenta la existencia y convergencia del método, así como un algoritmo y ejemplos para ilustrar el cálculo numérico de raíces.
Este documento presenta conceptos relacionados con las integrales definidas, incluyendo longitud de arco, área de superficies de revolución y trabajo mecánico. La profesora Emma Yendis explica las fórmulas para calcular estas cantidades y provee ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta información sobre el método de programación lineal conocido como simplex. Explica los pasos para aplicar este método a problemas de optimización lineal, incluyendo la construcción del tablero inicial, la selección de la variable pivote y fila pivote en cada iteración, y los cálculos para actualizar el tablero hasta alcanzar la solución óptima. También incluye un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método.
Se presenta la solución de varios problemas sobre el análisis de esfuerzos en vigas, normales por flexión y cortante, aplicando los conceptos básicos de la mecánica de materiales
Este documento presenta información sobre dinámica de partículas. Incluye definiciones de aceleración, velocidad y fuerza. También explica la segunda ley de Newton y cómo expresar fuerzas y aceleraciones en componentes. Finalmente, presenta varios ejemplos resueltos de problemas de dinámica aplicando la segunda ley de Newton.
El documento explica los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones lineales representados en forma matricial, incluyendo la matriz aumentada, operaciones elementales entre filas de una matriz, y cómo reducir una matriz a forma reducida mediante dichas operaciones.
El documento describe el método simplex para resolver problemas de programación lineal. El método simplex es un procedimiento iterativo que examina los vértices de un conjunto factible para encontrar la solución óptima. Consiste en dos fases: la fase I identifica una solución inicial básica factible, mientras que la fase II se mueve sistemáticamente entre soluciones básicas hasta encontrar la solución óptima.
El objetivo principal de este libro es proporcionar al estudiante una presentación clara y completa de la teoría y las aplicaciones de la ingeniería mecanica
El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo descomposición LU, el algoritmo de Thomas, descomposición de Cholesky, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Estos métodos utilizan iteraciones para aproximar la solución de sistemas expresados como matrices. El método de Gauss-Seidel converge más rápido que el método de Jacobi al utilizar las aproximaciones más recientes en cada iteración.
Operaciones de renglon y reduccion de gauss jordanBeth Gómez
El documento describe las operaciones de renglón y reducción de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo intercambiar renglones, sumar un múltiplo escalar de una fila a otra, y multiplicar una fila por un número distinto de cero. Aplica estas operaciones para resolver el sistema X=2, Y=2, Z=-1.
Una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas. Existen diferentes tipos de matrices como triangulares, bandadas, simétricas y diagonales. Se pueden realizar operaciones como suma y multiplicación con matrices siempre y cuando tengan la misma dimensión.
El documento habla sobre el concepto de trabajo decente. Explica que la Organización Internacional del Trabajo (OIT) introdujo este concepto en 1999 para referirse a un trabajo con derechos que permitan una vida laboral digna. Desde entonces, la OIT ha desarrollado y consolidado este concepto, promoviendo la creación de empleo, los derechos laborales, la protección social y el diálogo social. El documento también analiza cómo diferentes religiones ven el trabajo y los valores como la dignidad humana que comparten con la noción de trabajo decente defend
A l'invitation de sa présidente Emma Marcegaglia et du président de Confindustria, Giorgio Squinzi, Pierre Gattaz a participé aujourd'hui à Rome, au conseil des présidents de BUSINESSEUROPE. L’association représente les organisations d’employeurs, et à travers elles 20 millions d'entreprises de toutes tailles de 33 pays d'Europe.
BUSINESSEUROPE joue un rôle essentiel pour proposer des projets susceptibles de relancer la croissance européenne et mener un dialogue social dans le cadre européen.
BUSINESSEUROPE a adopté les 10 actions prioritaires qu’elle attend de la nouvelle Commission pour relancer l'investissement, la croissance et l'emploi.
Les propositions du MEDEF pour la conférence économique et sociale TPE PME de juin 2015
Soutenir l’emploi dans les TPE‐PME
1. Sécuriser le contrat de travail
2. Assouplir le contrat de professionnalisation
3. Relever les seuils d’effectifs
Soutenir la création et la croissance des TPE‐PME
1. Faciliter le financement des TPE‐PME
2. Améliorer les relations avec l’administration
3. Simplifier les relations avec l’URSSAF
4. Simplifier la facturation électronique
5. Favoriser la reprise d’entreprise par les salariés
6. Soutenir la création d’entreprise
7. Libérer l’activité entrepreneuriale
8. Valoriser l’engagement des entrepreneurs
Este documento presenta el plan de articulación por ciclos para el segundo periodo académico de 2012. Incluye las asignaturas de inglés, ciencias naturales y artística para primer grado, con sus respectivos ejes temáticos, contenidos, estrategias metodológicas y referencias. También incluye el plan de inglés para tercer y cuarto grado, con sus temas, habilidades y actividades. Finalmente presenta sugerencias para inglés desde quinto a octavo grado.
Este documento resume y analiza el Real Decreto-Ley 8/2014 aprobado por el gobierno español. Consiste en una norma de 172 páginas que modifica numerosas leyes sin una relación clara entre ellas. El autor argumenta que se trata más de una "ley de acompañamiento" que de un decreto de urgencia. También critica que se ignore la soberanía parlamentaria y que será difícil debatir tantos temas en poco tiempo. Finalmente, analiza algunas medidas laborales incluidas que parecen carecer de desarrollo o tener erro
Etude PwC Changement climatique et électricité (déc. 2014)PwC France
http://bit.ly/CarbonFactor-dec14
L’objectif de cette étude est d’identifier, de consolider, d’homogénéiser et de présenter une information complète sur les émissions de CO2 des principaux producteurs d’énergie européens, et d’analyser les principales variations entre les années 2001 et 2013. La majorité des données publiées sont directement accessibles à partir du site Internet des entreprises analysées ou dans leur rapport annuel et/ou dans leur rapport Environnement/Développement durable. Si certaines données peuvent être approximatives, PwC estime que la marge d’erreur ne dépasse pas 10% sur les émissions de gaz à effet de serre directes. PwC ne fournit ni commentaire ni opinion sur les prix de l’énergie ou sur l’impact du CO2 sur l’évaluation des sociétés étudiées.
El Tribunal Supremo confirma las competencias autonómicas en materia de autorizaciones iniciales de trabajo. El documento analiza dos sentencias del Tribunal Supremo que confirman las competencias de las comunidades autónomas de Murcia y Madrid en materia de autorizaciones iniciales de trabajo para extranjeros, de acuerdo con el Real Decreto 1162/2009. Asimismo, resume el contenido y alcance de dicho real decreto y el dictamen del Consejo de Estado al respecto.
15 conseils que j’aurais aimé avoir en début de carrièreCharles Beauchemin
1) Starting a career can be challenging but focusing on learning, gaining experience, and developing professional relationships will help you improve and advance over time. 2) Work hard, be humble, and open to feedback to continuously grow in your role while looking for opportunities to take on more responsibilities or find a new job that is a better fit. 3) Maintain a positive attitude and take care of your mental health and well-being as you navigate your career journey.
Journées ABES 2014 - session parallèle "Colodus, un an après"ABES
Christophe Parraud et Camille Dumont (ABES) -"Colodus, un an après" . échanges au sujet de Colodus, application web professionnelle conçue pour la gestion (création, modification, suppression) des exemplaires liés aux notices bibliographiques du catalogue Sudoc - http://www.abes.fr/Sudoc/Produire-dans-le-Sudoc/Colodus
Los estudiantes deben diseñar barajas marcianas en grupos de color. Cada grupo elegirá un nombre y describirá un planeta ficticio, incluyendo su ubicación, temperatura, gravedad, relieve y composición. Luego traducirán la descripción al inglés y diseñarán 10 tarjetas bilingües con el planeta y su descripción.
Este documento resume la evolución histórica de la regulación del trabajo y la aparición del derecho laboral. Explica que el trabajo estuvo regulado por regímenes de esclavitud y feudales hasta la revolución industrial, cuando surgió la relación capital-trabajo y el Estado comenzó a intervenir tutelando a los trabajadores, dando lugar al derecho laboral moderno.
El documento resume un Real Decreto de 2011 que regula la inclusión en la Seguridad Social de personas que participan en programas de formación. El decreto desarrolla una disposición de una ley de 2011. El decreto establece que las personas en programas de formación vinculados a estudios universitarios o de formación profesional, que incluyan prácticas en empresas y paguen una contraprestación, se considerarán asimiladas a trabajadores por cuenta ajena a efectos de la Seguridad Social. El decreto regula también los trámites de afil
Este documento describe el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica cómo transformar la matriz aumentada del sistema en una forma triangular superior resolviendo el sistema resultante. Incluye la formulación matemática del método, un ejemplo numérico, análisis de la eficiencia computacional y la implementación en MATLAB usando pivoteo para mejorar la estabilidad numérica.
Este documento describe un método para resolver sistemas lineales singulares con más variables que ecuaciones. Estos sistemas tienen una o más filas nulas en la matriz de coeficientes y no tienen una solución única. El método reduce la matriz aumentada a una forma escalonada para identificar variables libres, que pueden asignarse valores arbitrarios, y variables dependientes. Se ilustra con un ejemplo de asignación de recursos para la producción de cuatro productos usando tres materiales.
Soluciòn de sistemas de ecuaciones lineales con excelVictor Lara
Este texto nos muestra la teoria necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales de polinomios de diferente grados, aplica para resolver sistemas de ecuaciones de n incognitas por n variables, claro esto se lleva a cabo en excel.
Este documento describe diferentes estrategias de pivoteo para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss. Explica que el pivoteo tiene como objetivo evitar divisiones entre cero y reducir errores de redondeo. Luego detalla tres tipos de pivoteo: pivoteo máximo por columna, pivoteo total y pivoteo escalado de fila. Finalmente, presenta ejemplos numéricos ilustrando la aplicación de estas técnicas.
Este documento describe varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica métodos directos como el método de Gauss y métodos iterativos como los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. También cubre técnicas como las estrategias de pivoteo, la factorización de matrices, y el esquema compacto para resolver múltiples sistemas compartiendo la misma matriz.
Este documento presenta los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones con incógnitas. Explica cómo expresar un sistema de ecuaciones en forma matricial y describe métodos para resolver sistemas como el método de Gauss y la regla de Cramer. Finalmente, clasifica los sistemas según el número de soluciones en determinados, indeterminados e incompatibles.
Este documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo el método gráfico, método de la matriz inversa, regla de Cramer y método de Gauss-Jordan. Explica cómo usar cada método para determinar si un sistema tiene una solución única, infinitas soluciones o no tiene solución. Proporciona ejemplos detallados de cada método.
Sistemas de Ecuaciones Lineales por Gauss simple. Presentación diseñada por ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento explica el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce el método, muestra un ejemplo completo del proceso de escalonamiento de una matriz aumentada, y explica las operaciones fundamentales como intercambiar, sumar y multiplicar renglones para obtener la forma escalonada equivalente. El objetivo final es hallar las soluciones de las incógnitas mediante sustitución hacia atrás.
Este documento describe el método iterativo de Jacobi para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que el método convierte el sistema en un proceso iterativo que genera una secuencia de vectores que convergen a la solución. Luego, detalla los pasos del algoritmo de Jacobi y presenta un ejemplo numérico. Finalmente, establece condiciones suficientes para la convergencia del método, como que la matriz sea estrictamente dominante por filas.
Este documento resume los principales contenidos de álgebra que se verán en Matemáticas II, incluyendo la resolución de sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss, el cálculo de determinantes, el estudio de matrices y su aplicación a la resolución de problemas. Se explican conceptos como el rango de una matriz, la discusión de sistemas lineales dependiendo de parámetros y el uso de la regla de Cramer. Finalmente, se indican los contenidos que se tendrán en cuenta en las pruebas de acceso a la universidad.
El método de Gauss consiste en aplicar operaciones elementales entre renglones y columnas para triangularizar una matriz y así resolver sistemas de ecuaciones de manera eficiente. Además, permite calcular el determinante y realizar la factorización LU de una matriz. Sin embargo, puede haber problemas de redondeo cuando los coeficientes de la matriz están mal condicionados o el determinante es cercano a cero.
Solución de sistemas de ecuaciones linealesMaikel Sequera
El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación Gaussiana, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR, el método de Gauss-Seidel y el método de Jacobi. Cada método tiene ventajas y desventajas dependiendo del tipo de sistema de ecuaciones.
El documento describe el método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica que el método simplex es un procedimiento iterativo que examina los puntos en las esquinas de manera metódica hasta encontrar la mejor solución. También describe cómo se introducen variables de holgura y artificiales, y los pasos para construir y operar la tabla simplex hasta alcanzar la solución óptima.
Matrices y sistemas de ecuaciones presentación grupalYeferson11
El documento resume conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de matriz, operaciones entre matrices como suma y multiplicación, traspuesta, inversa y su cálculo mediante el método de Gauss-Jordan. También explica cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales usando este método, el cual consiste en convertir la matriz ampliada en forma escalonada reducida para obtener la solución.
El documento resume los principales conceptos y pasos del método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo se formula el modelo matemático incluyendo variables, restricciones y función objetivo, y cómo el método simplex itera entre soluciones básicas factibles hasta encontrar la solución óptima maximizando o minimizando la función objetivo.
El documento resume los principales conceptos y pasos del método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo se formula el modelo matemático incluyendo variables, restricciones y función objetivo, y cómo el método simplex itera entre soluciones básicas factibles hasta encontrar la solución óptima maximizando o minimizando la función objetivo.
El documento presenta una tabla con 14 columnas que se utiliza para tabular y analizar datos recolectados. La tabla incluye información como la amplitud de intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia relativa, desviación y desviación al cuadrado para cada rango de datos. El propósito es realizar cálculos estadísticos básicos como promedios y desviaciones sobre los datos ordenados en intervalos.
El documento presenta los pasos para tabular datos recolectados. Incluye 14 columnas para organizar la frecuencia absoluta, frecuencia relativa, desviación, y otros valores estadísticos. El objetivo es realizar análisis estadísticos básicos como promedios y desviaciones sobre los datos.
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
Metodología - Proyecto de ingeniería "Dispensador automático"cristiaansabi19
Esta presentación contiene la metodología del proyecto de la materia "Introducción a la ingeniería". Dicho proyecto es sobre un dispensador de medicamentos automáticos.
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
Aletas de Transferencia de Calor o Superficies Extendidas.pdfJuanAlbertoLugoMadri
Se hablara de las aletas de transferencia de calor y superficies extendidas ya que son muy importantes debido a que son estructuras diseñadas para aumentar el calor entre un fluido, un sólido y en qué sitio son utilizados estos materiales en la vida cotidiana
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
2. OBJETIVO
El objetivo de este capítulo es introducir al
estudiante a los conceptos básicos del
cálculo matricial. Al final del capítulo el
estudiante será capaz de hacer operaciones
básicas sobre las matrices (inversión,
determinante, descomposición LU) y de
resolver sistemas de ecuaciones lineales por
diferentes métodos. El estudiante será
igualmente capaz de diagnosticar la calidad
de la solución obtenida
4. PROPIEDADES
• Matriz cuadrada: m = n.
• La suma de matrices es conmutativa:
A+B = B + A
• El producto de matrices NO es
conmutativo:
A·B B·A
• El producto es distributivo con respecto a la
adición:
• C(A+B) = C·A + C·B
13. TRAZA Y RANGO
• Se llama traza de una matriz a la suma de
los valores pertenecientes a su diagonal.
• El rango de una matriz es la mínima
dimensión de la misma tal que sus filas y/o
columnas sean linealmente independientes.
14. INVERSO DE UNA MATRIZ
• Se llama inverso de una matriz a la matriz
denotada A-1 tal que su producto por la
matriz A sea igual a la matriz identidad.
I=AA 1-
17. RESOLUCIÓN DE
SISTEMAS LINEALES
• Calculando el inverso de la matriz A. Poco
recomendable (x = A-1 b).
• Utilizando métodos directos. Los más
convenientes.
• En caso de que los métodos directos no
funcionen, se pueden utilizar los métodos
iterativos.
18. Métodos directos
Método de Gauss (triangularización)
• Método eficiente para resolución de
sistemas lineales.
• Se basa en un método de sustitución.
• El objetivo es reemplazar por elementos
nulos todas las posiciones por debajo de la
diagonal.
19. Sustitución Gaussiana
• El método se basa en obligar a que ciertos
valores de una línea o de una columna se
vuelvan nulos, combinando hábilmente las
filas(o las columnas) entre sí.
nm3n2n1n
m3333231
m2232221
m1131211
ij
a...aaa
.....
.....
a...aaa
a...aaa
a...aaa
}a{][AA
20. Método de Gauss (triangularización)
Primera reducción
11
1i
j1ji
1
ji a
a
aaa
con i1 y 1jn+1
11
1i
1i
1
i a
a
bbb con i1 y 1jn+1
21. Método de Gauss (triangularización)
1
1
3
1
2
1
3
2
1
11
3
1
2
1
3
1
33
1
32
1
2
1
23
1
22
1131211
.
.
.
.
.
...0
.......
.......
...0
...0
...
nnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaaa
22. Método de Gauss (triangularización)
Segunda reducción
1
22
1
2i1
j2
1
ji
2
ji
a
a
aaa
1
22
1
2i1
2
12
a
a
bbb ii
2
2
3
1
2
1
3
2
1
22
3
2
3
2
33
1
2
1
23
1
22
1131211
.
.
.
.
.
...00
.......
.......
...00
...0
...
nnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aa
aa
aaa
aaaa
23. Método de Gauss (triangularización)
Fórmula general
1k
kk
1k
ki1k
jk
1k
ji
k
ji
a
a
aaa 1k
kk
1k
ki11
a
a
bbb k
k
k
i
k
i
1
2
3
1
2
1
3
2
1
1
2
3
2
33
1
2
1
23
1
22
1131211
.
.
.
.
.
...000
.......
.......
...00
...0
...
n
nn
n
nn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa
24. Método de Gauss (triangularización)
Resolviendo x
1n
nn
1
a
b
x
n
n
n 2-n
1)-1)(n-(n
n
2n
1)n-(n
2n
1n
1n
a
xab
x
1-i
ii
n
1ij
j
1i
ji
1i
i
i
a
xab
x
28. Método de Gauss-Jordan
(diagonalización)
• Es una modificación del método de Gauss.
• Las sustituciones se hacen sobre todas las
líneas, excepto las del pivote.
• El objetivo es obtener una matriz diagonal.
29. Método de Gauss-Jordan
11
1i
j1ji
1
ji a
a
aaa
11
1i
1i
1
i a
a
bbb
1
1
3
1
2
1
3
2
1
11
3
1
2
1
3
1
33
1
32
1
2
1
23
1
22
1131211
.
.
.
.
.
...0
.......
.......
...0
...0
...
nnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaaa
30. Método de Gauss-Jordan
1k
kk
1k
ki1k
jk
1k
ji
k
ji
a
a
aaa 1k
kk
1k
ki11
a
a
bbb k
k
k
i
k
i
2 2 2
111 13 1 1
1 1 1 1
222 23 2 2
2 2 2
333 3 3
2 2 2
3
0 ...
0 ...
0 0 ...
.
.. . . ... . .
.. . . ... . .
0 0 ...
n
n
n
nn nn n
xa a a b
xa a a b
xa a b
xa a b
31. Método de Gauss-Jordan
1
11 1 1
1 1
22 2 2
2 1
33 3 3
1 1
0 0 ... 0
0 0 ... 0
0 0 ... 0
.
. . . ... . . .
. . . ... . . .
0 0 0 ...
n
n
n
n n
nn n n
a x b
a x b
a x b
a x b
1k
kk
1k
ki1k
jk
1k
ji
k
ji
a
a
aaa 1k
kk
1k
ki11
a
a
bbb k
k
k
i
k
i
32. Método de Gauss-Jordan
• El vector solución se obtiene directamente
desde la última transformación como:
xi=bi
n-1/aii
n-1
33. Problemas Gauss y Gauss-Jordan
• División entre 0, esto debido a la presencia
de un pivote nulo.
• Errores de redondeo, depende del número
de cifras significativas usadas.
• Sistemas mal condicionados
• Sistemas singulares, posee 2 ecuaciones
linealmente dependientes, determinante
nulo
34. Gauss y Gauss-Jordan con Pivote
• Se utiliza la técnica del pivoteo para evitar la
división entre 0 o entre números pequeños
• Pivoteo parcial: se intercambian filas de tal forma
que el pivote es el mayor, en valor absoluto,
elemento de la columna (equivale a cambiar el
orden de las ecuaciones)
• Pivoteo total: Se intercambian filas o columnas
para que el pivote sea el mayor posible. Al
intercambiar columnas se intercambia el orden de
las variables
35. Método de Gauss (Pivote Parcial)
11 12 13 14 1 1
1 1 1
22 23 24 2 2
1 1 1
32 33 34 3 3
1 1 1
42 43 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
11 12 13 14 1 1
1 1 1
42 43 44 2 4
1 1 1
32 33 34 3 3
1 1 1
22 23 24 4 2
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Pivóte Máximo
36. 11 12 13 14 1 1
1 1 1
22 23 24 2 2
1 1 1
32 33 34 3 3
1 1 1
42 43 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Método de Gauss (Pivote Total)
11 13 12 14 1 1
1 1 1
23 22 24 3 2
1 1 1
33 32 34 2 3
1 1 1
43 42 44 4 4
0
0
0
a a a a x b
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Pivóte Máximo
37. Método de Gauss para
matrices simétricas
• Las matrices simétricas tienen datos
redundantes.
• Se puede almacenar la mitad de la matriz en
un arreglo monodimensional, ahorrando la
mitad de la memoria.
38. Método de Thomas para
matrices tridiagonales
• Este método de resolución de matrices
tridiagonales se basa en un método
tradicional de sustitución.
• Debido a la poca densidad de términos en
este tipo de matriz, la secuencia de cálculos
puede ser conducida de tal forma que se
reduzca considerablemente el número de
operaciones.
40. Método de Thomas
• Este sistema de ecuaciones es equivalente a:
nnnn1n1nn
i1i1iiiii1i1ii
1221111
bxaxa
.....................
bxaxaxa
.....................
bxaxa
41. Método de Thomas
• El proceso de sustitución que se aplica a
cada línea es equivalente al método de
Gauss con pivote, pero se simplifica debido
a la presencia de los numerosos ceros:
1i1-i
1-ii
i1-iii
'
ii
a
a
aaa
1i1i
1ii
1iii
a
a
bb'b
42. Método de Thomas
• Los ai i-1 transformados son siempre nulos
(posición por debajo del pivote) y los ai i+1
quedan inalterados por que el valor en la
posición superior a ellos es también siempre
nula. El sistema se transforma en:
n
1n
2n
3
2
1
n
1n
2n
3
2
1
nn
n1n1n1n
1n2n2n2n
2n3n
33
2322
1211
'b
'b
'b
.
.
'b
'b
b
x
x
x
.
.
x
x
x
'a00...000
a'a0...000
0a'a...000
..a......
......0..
000...'a00
000...a'a0
000...0aa
43. Método de Thomas
• Una vez terminada la fase de sustitución en
todas las ecuaciones, se puede proceder al
cálculo del vector solución mediante las
ecuaciones:
nn
n
n
a'
b'
x
ii
1i1iii
i
a'
xa'b
x
44. Método de LU
• En el método de Gauss tradicional, el hecho
de que se pueda llegar a una forma
triangular simplifica sustancialmente los
cálculos al tener solamente una sustitución
inversa que realizar. La premisa del método
LU es justamente la descomposición en
matrices triangulares, razón por la cual esta
característica pueda ser aprovechada.
45. CÁLCULO MATRICIAL
MÉTODO LU (lower y upper)
• Técnica muy utilizada en la resolución de
sistemas de ecuaciones.
• El objetivo es descomponer una matriz en
dos triangulares equivalentes, tal que se
cumpla que:
A = L U
46. Método de LU
El problema a resolver es:
Ax=b
La introducción de la descomposición LU
conduce a:
LUx=b
Si ahora se introduce la variable
intermedia z igual al producto Ux, se llega
a:
Lz=b
47. Método de LU
• Esta última ecuación permite obtener por
simples sustituciones el vector z ya que
z1=b1/l11, z2=(b2-l21z1)/l22 y así
sucesivamente.
n
3
2
1
n
3
2
1
nn3n2n1n
333231
2221
11
b
.
.
b
b
b
z
.
.
z
z
z
l...lll
.......
.......
0...lll
0...0ll
0...00l
48. Método de LU
• Una vez conocido el vector z, es muy fácil
utilizar una técnica similar para obtener x ya
que
n
3
2
1
n
3
2
1
nn
n333
n22322
n1131211
z
.
.
z
z
z
x
.
.
x
x
x
u...000
.......
.......
u...u00
u...uu0
u...uuu
53. Método LU
• De esta forma:
1 1
1 1 11
1
1
1
1
Fila 1 de U: ( )
Col. 1 de L: ( )
Fila i de U: ( , 1, 1)
Col. j de L: ( , 1, 1)
j j
i i
i
ij ij ik kj
k
j
ij ij jj ik kj
k
a u j
a l u i
a u l u j i i j
a l u l u j i i j
54. MÉTODOS ITERATIVOS
• Los métodos iterativos se basan en hacer
una sustitución de una de las variables
(distinta para cada ecuación) y expresar esta
variable en función de las otras.
• El problema se transforma en un proceso
iterativo ya que se requiere tener un primer
estimado de lo que podría ser la solución.
55. MÉTODOS ITERATIVOS
• Con este primer vector solución se puede
calcular un nuevo vector modificado de la
solución.
• Al repetir estas operaciones numerosas
veces, se obtiene una aproximación cada
vez mejor de la solución.
• El proceso iterativo se detiene cuando la
solución es suficientemente estable entre
dos operaciones consecutivas.
56. MÉTODOS ITERATIVOS
• El primer estimado que suele usarse para
hallar el vector solución es el vector nulo.
• Entre los métodos iterativos se encuentran
el de Jacobi, Gauss-Seidel y relajación.
57. Método iterativo de Jacobi
• De todos los métodos iterativos, el método
de Jacobi es el más sencillo de aplicar y
comprender.
• Sin embargo no es un proceso muy eficiente
en cuanto a la obtención del resultado.
58. Método iterativo de Jacobi
• La ecuación matricial puede ser modificada
y reescrita de la forma:
0...xaxabxa
...................
xa...0xabxa
.....................
xa...xa0bxa
2n211nnnnn
nn21122222
nn12211111
59. Método iterativo de Jacobi
• Este conjunto de ecuaciones puede ser
escrito en forma matricial si se descompone
la matriz A en la suma de tres matrices (una
triangular inferior con ceros en la diagonal,
una diagonal y una triangular superior con
ceros en la diagonal). A = L + D + U.
• De la igualdad original correspondiente al
sistema lineal A x = b se puede entonces
obtener:
60. Método iterativo de Jacobi
• (L+D+U)x=b
• Dx=b-(L+U)x
• Esta última forma indica que el vector x
puede ser obtenido a partir de un estimado
inicial del mismo vector x.
• Esta forma, conocida como forma implícita,
permite obtener en forma iterativa una
aproximación cada vez mejor del vector x
solución del sistema lineal.
61. Método iterativo de Jacobi
• Para diferenciar las etapas sucesivas de
cálculo del vector x, se le suele indicar el
orden de la iteración como superíndice. La
expresión anterior se transforma entonces
en:
• x(k+1) = D-1(b-(L+U)x(k))
62. Método iterativo de Jacobi
• Siendo la matriz D una matriz diagonal, su
inverso se obtiene simplemente
reemplazando el termino de la diagonal por
su propio inverso (1/aii).
• En cuanto a la operación de cálculo
propiamente dicho, su expresión es:
ii
n
ij
1j
)k(
jiji
)1k(
i
a
xab
x
63. Método iterativo de Jacobi
• Como se había mencionado anteriormente,
si bien este método es sumamente sencillo
para ponerlo en funcionamiento, su
rendimiento en cuanto a número de
iteraciones hace poco interesante su uso.
64. Método iterativo de Jacobi
• En lo que se refiere a convergencia, una
condición suficiente (pero no necesaria) es
que la matriz A inicial sea diagonalmente
dominante.
• Esta condición se cumple si:
n
ij,1j
ijii aa
65. Método iterativo de Jacobi
• En realidad, estos sistemas lineales pueden
llegar a converger aún si todas sus líneas no
cumplen con este requisito.
• En los nuevos programas usando
procesadores en paralelo, se está usando el
método de Jacobi por permitir separar la
información y procesarla en forma paralela
(Smith, 1992).
66. Método iterativo de Gauss-
Seidel
• El método de Gauss-Seidel es una simple
modificación del método original de Jacobi.
• Se diferencia solamente por el hecho de que
cuando se quiere calcular el elemento xi
k+1
del vector x se conoce a este nivel del
cálculo todas las estimaciones recientes de
xj
k+1 (con j<i).
67. Gauss-Seidel
• Si el proceso es convergente estos valores
de xj
k+1 son más cercanos a los anteriores
xj
k , razón por la cual el proceso de
convergencia debe ser mejor.
• La escritura matricial correspondiente al
método de Gauss-Seidel es:
• (D+L)x(k+1)=b-Ux(k)
69. Gauss-Seidel
• El método de Gauss-Seidel disminuye
sustancialmente el número de iteraciones.
• El criterio de convergencia es similar al
criterio fijado por el método de Jacobi.
• Sin embargo muchos problemas que
convergen con el método de Gauss-Seidel
no convergen con el método de Jacobi.
70. Gauss-Seidel
• De forma general si converge con Jacobi,
converge más rápidamente con Gauss-
Seidel.
• Esto se debe sin lugar a dudas al hecho que
el vector solución se ve forzado a acercarse
a la solución real y por ende entra más
rápidamente en el dominio de convergencia.
71. Método iterativo de relajación
• El método de relajación es un método
propuesto por Frankel en 1950 para reducir
el número de iteraciones en los cálculos de
soluciones de sistemas lineales por el
método de Gauss-Seidel.
72. Relajación
• Se basa en obtener en cada iteración un
promedio ponderado (solamente para los
elementos del vector anteriores a la posición
de cálculo) de la solución del método de
Jacobi y de la solución del método de
Gauss-Seidel.
74. Relajación
• El método de relajación puede ser calculado
cualquier sea el valor de >0.
• En el caso que sea igual a 1, el método es
equivalente al método de Gauss-Seidel.
• Se denomina sub relajación al método
cuando <1 y super-relajación cuando >1.
75. Relajación
• Se podría decir que si 0 el método se
acerca al método de Jacobi, sin embargo la
expresión específica ha de ser usada en este
caso.
• Para reducir el número de iteraciones es
recomendable utilizar valores de entre 1,1
y 1,3.
76. Relajación
• No tiene mucho sentido buscar para la
solución de un solo sistema lineal el
coeficiente de relajación óptimo que
minimice el número de iteraciones.
77. Relajación
• Pero en caso de necesitar resolver muchos
sistemas lineales parecidos (por ejemplo
para un estudio de sensibilidad de los
parámetros térmicos en problemas de
diferencias finitas o elementos finitos) esta
inversión en tiempo de cálculo puede ser
recuperada en la solución de todos los
sistemas que se resuelven en el desarrollo
del proyecto.
78. CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• Como se ha señalado anteriormente, es
claro que cualquiera de los métodos
numéricos ya expuestos permite obtener un
valor aproximado de la solución y no la
solución algebraica.
• Esto se debe fundamentalmente a que en el
cálculo, se ha utilizado una representación
finita de los números.
79. CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• Esto implica que se puede cometer errores
en las asignaciones mismas de los números
de la matriz a las variables binarias de la
computadora cuando los números no son
enteros.
• Por otra parte, en la secuencia de los
cálculos, se genera un segundo tipo de error
en las divisiones, sumas y restas con
número de magnitud distinta.
80. CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• La condición de una matriz:
)(cond1
AAAIAA 1
• Si la condición de A es cercana a 1, la
matriz está bien condicionada, mientras que
se dice que la matriz está mal condicionada
cuando cond (A) >> 1 (> 100 para una
matriz pequeña).
81. CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• La norma de una matriz se define como:
– Norma Euclidiana:
– Norma p=1:
– Norma p=∞:
‖𝐴‖
2
1 1
n n
ije
i j
A a
11
1
max
n
j n ij
i
A a
1
1
max
n
i n ij
j
A a
82. CONDICIÓN DE UNA
MATRIZ
• La condición de una matriz es un factor de
magnificación del error relativo.
• Si la matriz tiende a ser singular, los
elementos de la matriz inversa se tornan
muy grandes (ya que el determinante tiende
a cero) y por ende la norma de la matriz
inversa es un número muy grande.
84. • Eliminación de Gauss.
• Método LU.
• Matriz triangular.
INVERSO DE UNA MATRIZ
Métodos
85. INVERSO DE UNA MATRIZ
Eliminación Gaussiana
• La técnica utilizada se basa, como en el
caso anterior, en realizar una serie de
combinaciones lineales sobre las diferentes
líneas de la matriz con el fin de hacer
aparecer en posiciones particulares valores
característicos del problema.
89. INVERSO DE UNA MATRIZ
• Por ende, la primera fila debe ser dividida
por el coeficiente a11, mientras que a cada
una de las demás, se le debe aplicar una
fórmula idéntica a la mencionada en el caso
de eliminación Gaussiana.