1. |1|
Razón de cambio
Definición
La razón de cambio se define como el cociente de la variación o cambio de la variable
dependiente y (la función en estudio) entre la variación de la variable independiente x.
 Variación o cambio de y  2 1y y y  
 Variación o cambio de x  2 1x x x  
 Razón de cambio de y respecto de x  2 1
2 1
y yy
m
x x x

 
 
El símbolo  es la letra griega delta mayúscula y se usa en ciencias para indicar el
cambio o variación de una variable.
Donde  1 1x ,y y  2 2x ,y son pares ordenados de números hallados partir de la
relación de y respecto de x.
En una tabla se vería de la siguiente forma:
Variable independiente  x Variable dependiente  y
1x 1y
2x 2y
Ejemplo:
Determinar la razón de cambio para los valores que se muestran en la siguiente tabla:
x y
1x 2  1y 6
2x 5 2y 9
 
2 1
2 1
y y 9 6
m m
x x 5
3
m
72
 
   
  


2. |2|
Interpretación geométrica
Cuando en diferentes pares ordenados de números la razón de cambio permanece
constante, esta representa la inclinación o pendiente de la recta obtenida graficando los
pares ordenados del problema. Veamos el siguiente ejemplo:
x y
-10 -2
-6 0
-2 2
2 4
6 6
10 8
Al graficar estos pares ordenados en un sistema de ejes cartesianos obtenemos la
siguiente línea recta:

3. |3|
Si calculamos la razón de cambio para los distintos pares ordenados obtendremos:
 (-10,-2) y (-6,0) 
 
 
0 2
m
6 1
1
m
0 2
2
4
 
  


 
 (-6,0) y (-2,2) 
 
2 0
m
2 6
2
4
1
m
2

 
 


 (-2,2) y (2,4) 
 
4 2
m
2 2
2
4
1
m
2

   
 
 (2,4) y (6,6) 
1
m
2
6 4
m
6 2
2
4

  

 (6,6) y (10,8) 
8 6
m
10 6
2
4
1
m
2

   

Los cálculos anteriores muestran que la razón de cambio permanece constante cuando
todos los partes ordenados son puntos que pertenecen a una misma línea recta.
La razón de cambio es la inclinación o pendiente de la recta que
pasa por los puntos considerados.
En la gráfica de la imagen también se puede ver que la razón de cambio se puede
calcular haciendo el cociente entre el desplazamiento o cambio vertical  y y el
desplazamiento o cambio horizontal  x entre dos puntos conocidos de la recta.
Por ejemplo la razón de cambio para los pares (2,4) y (6,6):
y
pendiente m
1
2
2
m
x 4

 

 
Esta razón de cambio se interpreta diciendo que la variable y aumenta una unidad por
cada dos unidades que aumenta la variable x.

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La razón de cambio también puede ser negativa como se puede ver en el siguiente
ejemplo:
Tomamos los pares ordenados marcados con un punto negro: (-2,4) y (2,-8). Calculamos
la pendiente de la recta o razón de cambio de y respecto de x:
 
cambio vertical y
m
cambio horizontal x
8 4
m
2 2
m 3
12
4

 

 
 



 

Esta razón de cambio se interpreta diciendo que la variable y disminuye 3 unidades por
cada unidad que aumenta la variable x.

5. |5|
Casos especiales
1) La razón de cambio es nula
Veamos la siguiente gráfica:
Vemos que la recta es horizontal. Es decir, que la inclinación o pendiente de la recta es
cero.
Tomemos dos pares ordenados pertenecientes a la recta: (2,2) y (6,2). Al calcular la
razón de cambio obtenemos:
2 1
2 1
y y 2 2 0
m m m
6 4
0
x x 2
 
    



Vemos que el desplazamiento vertical entre los dos puntos es cero, por lo tanto la
pendiente se anula.
Cuando la razón de cambio es nula siempre se obtiene una recta horizontal (paralela al
eje x). La interpretación de esta situación es que la variable y permanece constante (en
el ejemplo y=2) para cualquier valor que asuma la variable x.

6. |6|
2) Recta vertical
Cuando tenemos una recta vertical se dice que la pendiente no está definida o no
existe ya que no podemos calcular el cociente entre el desplazamiento vertical y el
horizontal.
En este caso se dice que la recta es vertical o que tiene una inclinación de 90°
(perpendicular al eje x o paralela al eje y). Veamos el siguiente ejemplo:
Tomamos los pares ordenados marcados: (4,2) y (4,4). Calculamos la razón de cambio:
2 1
2 1
y y 4 2
m m
x x 4 04
2 
   
 
  (no existe)
En este caso decimos que la razón de cambio no se halla definida y que la variable x
permanece constante (en el ejemplo x=4) para cualquier valor de la variable y.

7. |7|
Expresiones verbales para la razón de cambio
La razón de cambio entre dos variables también se puede expresar con palabras que
indiquen el cambio de y respecto del cambio de x. Veamos algunos ejemplos:
1) La variable y aumenta 5 unidades por cada dos unidades que aumenta la variable
x:
 Cambio de y  y 5 
 Cambio de x  x 2 
 Razón de cambio 
y 5
m m 2.5
x 2

   

2) La variable y disminuye 3 unidades por cada una unidad que aumenta la variable
x:
 Cambio de y  y 3  
 Cambio de x  x 1 
 Razón de cambio 
y 3
m m 3
x 1
 
    

Relaciones lineales
Una relación lineal de la variable y respecto de la variable x es aquella que se puede
expresar mediante la siguiente ecuación donde m y b son dos números reales cualquiera:
y mx b 
Todas las ecuaciones de la forma y = mx + b se representan mediante una línea recta.
 El valor de m es la razón de cambio de y respecto de x:
y
m
x



 El valor de b es el punto de corte de la recta con el eje y.

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Veamos un par de ejemplos:
1) Grafiquemos por medio de tabla la relación y = 2x – 1. Elegimos para la variable x
los valores de -3 a 3. Calculamos los valores de y remplazando en la formula la x
por los valores elegidos y resolviendo.
x y 2x 1 
-3
 y 2 1 73   
-2
 y 2 1 52   
-1
 y 2 1 31   
0
  12 10y   
1
 y 2 11 1  
2
 y 2 12 3  
3
 y 2 13 5  
Si ubicamos los pares ordenados en un sistema de ejes cartesianos obtenemos:

9. |9|
2) Graficar la relación
3
y x 1
2
   . En este caso podemos probar tomando para x
valores de -2 a 2.
Para graficar una recta solo necesitamos dos puntos, se eligen mas valores para
tener una mejor gráfica y contemplar valores positivos y negativos.
x 3
y x 1
2
  
-2
 2 4
3
y 1
2
   
-1
 1 2.5
3
y 1
2
   
0
 0
3
y 1
2
1   
1
 1 0.
3
2
5y 1   
2
 2 2
3
y 1
2
   
Se verifica el valor de la pendiente eligiendo los pares ordenados (-2,4) y (0,1) para
calcular los cambios o desplazamientos:
 Vertical  2 1y y y 1 y 34        
 Horizontal   2 1x x x 0 2 x 2      
 Pendiente o razón de cambio 
3
m
y
m
2x

   


10. |10|
Ahora graficamos los pares ordenados obtenidos en la tabla: