Este documento describe cómo resolver una ecuación diferencial no homogénea mediante el cambio de variables. Explica que se deben acomodar los términos con x de un lado de la igualdad y los términos con y del otro lado, y luego factorizar. Después de realizar estos pasos, la ecuación puede integrarse para obtener la solución Y-5ln |y+3| = x- 5ln |x+4| +c.

1. Cambio de variables

2. Este método es usado en caso de que la ecuación dada no sea homogénea.Resolvamos la siguiente ecuación:(xy-2x+4y-8)dy = (xy+3x-y-3x)dxPodemos observar que no es una ecuación homogénea. Entonces usamos el cambio de variable que consiste en acomodar la ecuación con las x de un lado y las “y” del otro lado de la igualdad.Pero en este caso hay términos con las dos variables, entonces debemos desarrollar.

3. (xy-2x+4y-8)dy = (xy+3x-y-3x)dxTomamos los terminos subrayados y factorizamos.[x(y-2)+4(y-2)]dy = [x(y+3)-(y+3)]dxDe este modo quedan 2 binomios de cada lado de la igualdad, uno con variable “x” y otro con “y”.(x+4)(y-2)dy = (x-1)(y+3)dxAhora podemos acomodar “x” de un lado de la igualdad y “y” del otro.

4. (y-2)/(y+3)dy = (x-1)/(x+4)dxAhora integramos. (y-2)/(y+3)dy (x-1)/(x+4)dx 1- [5/(y+3)]dy 1-[5/(x+4)]dxLa respuesta del ejercicio es:Y-5ln |y+3| = x- 5ln |x+4| +c

5. Hecho por:Héctor Antonio Cuevas HernándezB – 21210310090