El documento define un espacio vectorial como un conjunto de vectores con operaciones de suma y multiplicación por escalares que satisfacen 10 axiomas. Los espacios vectoriales incluyen conjuntos como R2, R3, rectas, planos y funciones. Se proveen ejemplos como el espacio vectorial trivial {0}, los puntos sobre una recta y=mx, y subespacios vectoriales como una recta en R3.

1. Definición de Espacios Vectoriales y
sus propiedades
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto dos operaciones
básicas llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas siguientes:
Antes de dar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben
mencionarse dos cosas. Primero, mientras que puede ayudar pensar en R2 o en R3 al manejar un
espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos
cómodos espacios. Segundo, la definición anterior da una definición de un espacio vectorial real.
La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igual de
sencillo definir un espacio vectorial complejo usando números complejos en lugar de reales. Este
trabajo aborda principalmente los espacios vectoriales reales.
I.- Si x € V y y € V, entonces x + y € V. (Cerradura bajo la suma).
II.- Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z). (Ley asociativa de la suma de vectores).
III.- Existe un vector 0 € V tal que para todo x € V, x + 0 = 0 + x = x. (El 0 se llama vector cero o
idéntico aditivo).
IV.- Si x € V, existe un vector –x en V tal que x+(-x) = 0. (El vector –x se llama inversoaditivo de x).
V.- Si x y y están en V, entonces x + y = y + x. (Ley conmutativa de la suma de vectores).
VI.- Si x € V y α es un escalar, entonces αx € V. (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar).
VII.- Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy. (Primera ley distributiva).
VIII.- Si x € V y α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx. (Segunda ley distributiva).
IX.- Si x € V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x. (Ley asociativa de la multiplicación por
escalares).
X.- Para cada vector x € V, 1x) x.
Cabe destacar también, que los vectores pueden ser (además de flechas o magnitudes físicas)
planos, rectas, polinomios, matrices, funciones, o cualquier conjunto de entes matemáticos que
puedan ajustarse a los axiomas anteriores.
El espacio vectorial trivial
Sea V= {0}. Es decir, V consiste sólo en el número 0. Cómo 0+0 = 0*1=0+(0+0)=0, se ve que V es
un espacio vectorial. Este es llamado el espacio vectorial trivial. Si V= {1}, entonces este no es un
espacio vectorial, ya que no contiene al vector 0, y además 1+1= 2, que no pertenece a V.
Los puntos sobre la recta y=mx son un espacio vectorial.
Sea V= {(x, y): y =mx, donde m es un número real fijo y x es un numero real arbitrario}. Es decir, V
consiste en todos los puntos que

2. están sobre la recta y = mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es
un espacio vectorial:
Suponga que x = (x1, y1) y y = (x2, y2) están en V. Entonces y1 = mx1, y2 = mx2, y x+y = (x1, y1) +
(x2, y2) = (x1, mx1) + (x1, mx2) = (x1 + x2, mx1 + mx2) =(x1 + x2, m(x1 + x2)) € V, que es un
espacio vectorial.
Subes-pació Vectorial y Propiedades
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en si un espacio
vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se
dice que H es un subes pació de V. Se puede decir que el subes pació H hereda las operaciones
del espacio vectorial “padre” V.
Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subes pació de V si se cumplen las
reglas siguientes:
1.- El vector 0 pertenece a H.
2.- Si x y y son vectores de H, su suma x + y pertenece también a H.
3.- Si x pertenece a V y α es un escalar arbitrario, entonces αx pertenece a H.
Las demás operaciones se dice que son heredadas y que basta con sólo demostrar las reglas
anteriores para que un subconjunto sea un subes pació.
El subes pació vectorial trivial
Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste en el vector 0 es un subes
pació, ya que 0 + 0 = 0, y α0 = 0. Esto se llama subes pació trivial. Otro subes pació que también
se puede considerar trivial es un espacio vectorial completo, es decir, para cada espacio vectorial
V, V es un subes pació de si mismo.
El subes pació vectorial propio
Un subes pació vectorial propio es cualquier subes pació vectorial que no es ni el vector cero, ni el
espacio V. Un ejemplo podría ser la recta y=mx en R2. Como se demostró en un ejemplo anterior,
esta recta es un espacio vectorial en si, ya que contiene al vector cero (esto es, el punto (0, 0)) y
las propiedades de cerradura de suma y multiplicación también se cumplen.
En el espacio R3, sea h = {(x, y, z): x= at, y=bt y z= ct; a, b, c, t reales}. Entonces H consiste en los
vectores en R3 que están sobre una recta que pasa por el origen. Para ver que H es un subes
pació de R3, sea x= (at1, bt1, ct1) € H y y= (at2, bt2, ct2) € H. Entonces
x+y = (a(t1+t2), b(t1+ t2), c(t1+ t2)) € H
y αx = (a(αt1), b(αt1), c(αt1)) € H.
Así H es un subes pació de R3.
Otro subes pació dentro de R3 podría ser cualquier plano que pasa por el origen, esto sería
análogo al ejemplo de la recta que pasa por el origen, ya que ambos contienen al vector 0 y en
ambos se cumple la propiedades de suma y multiplicación por un escalar.

3. La intersección entre dos subespecies también es un subes pació
SeanH1 y H2 dos subespecies de un espacio vectorial V. Entonces H1∩H2 es un subes pació de
V.
Observe que H1∩H2 es no vacío porque contiene al menos al vector 0. Sea x1 € H1∩H2 y x2 €
H1∩H2 . Entonces como H1 y H2 son subespecies, x1 + x2 € H1 y x1 + x2 € H2. Esto significa
que x1 + x2 € H1∩H2. De manera similar, αx1 € H1∩H2. Por lo tanto se cumple los dos axiomas de
cerradura y H1∩H2 es un subes pació.
Ejemplo:
En R3 sea H1 = {(x, y, z): 2x- y- z = 0} y H2 = {(x, y, z): x+ 2y+ 3z = 0}. Entonces H1 y H2 consisten
en vectores que están sobre planos que pasan por el origen y son subespecies de R3. H1∩H2 es
la intersección de los dos planos descritos, y esto se calcula:
x+ 2y+ 3z = 0
2x- y- z =0