Este documento trata sobre la derivada de una función y sus aplicaciones. Presenta la definición de derivada como el límite de la pendiente de una curva y explica cómo se puede usar la derivada para determinar puntos críticos, extremos y puntos de inflexión de una función. También incluye reglas para derivar funciones algebraicas, exponenciales y logarítmicas.

1. 1
Unidad 1 - Tema :
LA DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN Y SUS
APLICACIONES

2. 2
Competencias:
. Definir la derivada de una función.
. Interpretar geométricamente la derivada de
una función.
. Determinar los puntos críticos de una función.
. Determinar los extremos absolutos de una
función continua en un intervalo cerrado.
. Describir el concepto de punto de inflexión de
una gráfica.
. Analizar la concavidad de una función a
través de su segunda derivada.
. Resolver problemas de máximos y mínimos de
una función en una variable.

3. 3
La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
curva a la pendiente de la recta que
mas se asemeja (ajusta) a la curva.
¿y cuál es esta recta?

4. 4
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

5. 5
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

6. 6
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

7. 7
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

8. 8
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

9. 9
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

10. 10
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

11. 11
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

12. 12
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

13. 13
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

14. 14
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

15. 15
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

16. 16
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

17. 17
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

18. 18
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

19. 19
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

20. 20
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

21. 21
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

22. 22
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

23. 23
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h

24. 24
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

25. 25
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

26. 26
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

27. 27
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h

28. 28
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
Tangente!!!

29. 29
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0

30. 30
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0

31. 31
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0

32. 32
La Pendiente de una Curva
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
x
y

33. 33
La Pendiente de una Curva
h
h
h
)f(x)f(x
limm 00
0
t
+


Es el límite de un cociente de
incrementos
x
)f(xx)f(x
limm 00
0
t



+

x
Si h = x

34. 34
Determina la ecuación de la recta tangente a la curva
que tiene por ecuación, en el punto de
abscisa
2
4 xy 
1x
y
x
Ejemplo

35. 35
Definición de Derivada
La derivada de una función f con
respecto a la variable x es la función
cuyo valor en x es:
siempre que el límite exista
h
f(x)h)f(x
lim´(x)f
0h
+


Nota 1: f es una función definida en un
intervalo abierto que incluye a x.

36. 36
Observación
La derivada de una función es un límite.
Nota 2: Para calcular ese límite se
requiere que la función esté definida en el
punto.
a-x
f(a)f(x)
lim
h
f(x)h)f(x
lim
ax0h


+


37. 37
REGLAS DE DERIVACIÓN
4. Si f es derivable y c constante, se tiene:
    xfcxcf 

3. Sea f(x) = xn, entonces:
  1
 n
nxxf
n
1. Sea f(x) = k, entonces:
  0 xf
k
D (c) = 0x
2. Sea f(x) = x, entonces:
  1 xf

38. 38
5. Si f y g son funciones derivables y a y b
son constantes se tiene que:
        xgxfxgxf +

+ 
6. Si f y g son funciones derivables, entonces
la derivada del producto es:
            xgxfxgxfxgxf +

*
Reglas de Derivación

39. 39
Reglas de Derivación
7. Si f y g son funciones derivables y no
es cero, entonces la derivada del cociente
es:
)(xg
)(
)()()()(
)(
)(
2
xg
xgxfxgxf
xg
xf 








8. Si y , entonces la regla
de la cadena se define por:
 n
xgxf )()( 
  )()()(
1
xgxgnxf
n
 
n

40. 40
Observación
Sea y = f(u) donde u = g(x)
Si todas las derivadas involucradas existen,
entonces otra forma de definir la REGLA DE LA
CADENA es:
dx
du
du
dy
dx
dy

xuy 

41. 41
La función exponecial y=ex y la función
logaritmo natural y= ln x
1 e
e
1
y = ex
y = ln x
x
y

42. 42
Definición:
Si x es cualquier número real, entonces
ln y = x si y sólo si ex = y
Teorema
Si p y q son números reales, entonces
i) ii) iii)qp
q
p
e
e
e 
qpqp
eee +
   pqqp
ee 

43. 43
Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)
x
xfxxf
1
)(;ln)( 
   
 xgexfexf xgxg
 )(;)(
   )(
)(
1
)(;ln)( xg
xg
xfxgxf 
xx
exfexf  )(;)(
Derivadas de funciones EXP y LOG