El documento describe el método de coeficientes indeterminados para hallar soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales. Explica cómo probar soluciones de la forma polinómica para ecuaciones con coeficientes constantes. Luego, presenta ejemplos de aplicar el método para encontrar soluciones particulares y generales.

1. Ecuaciones Dif. Metodo de Coeficientes Indeterminados Es un método para hallar una solución particular de la ecuación lineal completa , que consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular. No pueden darse reglas en el caso de ecuaciones lineales con coeficientes variables, pero sí en el caso de coeficientes constantes y el 2º miembro h(x) de la ecuación de algunos tipos especiales.

2. Hallar una solución particular de y"+2y'=4x+8 Si se actúa como en el caso anterior, se probaría una solución particular, de la forma yp= Ax+B. Resulta: L[yp] = 0 + 2A que no puede identificarse con 4x+8. Esto es debido a que, al no existir término en y en el primer miembro de la ecuación, cuando se aplica el operador L a un polinomio Pm(x) de grado m se obtiene otro polinomio de grado m-1. Por tanto para obtener un polinomio de 1er grado, habrá de probarse un polinomio de 2º grado, con cualquier término independiente (p.ej.: 0). Por ello se probará una ypde la forma: yp= Ax2+Bx = x(Ax+B) Sustituyendo en la ecuación diferencial: L[yp] = 4x + 8 ⇒ 2A + 2 (2Ax + B) = 4x + 8 ∀ x ∈ ℜ Por tanto: Luego: 4A=4 A=1 2A+2B=8 B=3 Luego yp= X2+3x Ejercicio

3. Hallar la solución general de: y"-3y'-4y =6e2x Ecuación característica de la correspondiente homogénea: r2 -3r -4 = 0 : Raíces: r1 = 4 r2 = -1 Solución general de la homogénea: yH= c1 e4x + c2 e-x Puesto que las derivadas de e2x son múltiplos de e2x, parece lógico probar como solución particular yp= A e2x. Sustituyendo en la ecuación diferencial: L[yp] = 6e2x ⇒ (4A – 6A -4A) e2x = 6e2x ∀ x ∈ ℜ Por tanto: A = -1 e ypx=−e2 Luego la solución general es: C1e4x +C2e-x-e-2 Ejercicio

4. Si se fuera a resolver la ecuación lineal no homogénea: empleando la reducción de orden, se tendría que elegir entre dos soluciones: que corresponden a dos soluciones de la ecuación homogénea relacionada, la cual es una ecuación de Cauchy-Euler. Cada una de las elecciones anteriores debería conducir a una ecuación lineal de primer orden no separable que requiere ser resuelta. Sin embargo, existe una forma más sencilla de resolver la ecuación (1), en la que se combinan las dos sustituciones (2) de la manera siguiente: Ecuaciones Dif. Por Variacion de Parametros

5. Aquí se reemplaza y por dos funciones desconocidas u y v. Para la ecuación , en primer lugar, se deben calcular y para sustituir en (1). Según la regla del producto se obtiene: Al calcular la siguiente derivada se requiere aplicar cuatro veces la regla del producto. No obstane, en esta parte se puede aprovechar el hecho de que hemos reemplazado una función desconocida por dos: puede haber algo de flexibilidad en la elección de funciones u y v que satisfagan la ecuación dada. En particular, suponga que buscan soluciones u y v, para las cuales cancelamos algunos de los términos que aparecen en (4) unos con otros. Dicha cancelación simplificará el proceso. El enfoque correcto (esto es, el que sabemos que funciona bien), es el que consiste en buscar u y v, tales que los términos y que aparecen en (4) se cancelen unos con otros:

6. Entonces podemos calcular directamente de El resultado, según la regla del producto, es: Cuando se sustituye este resultado y(3) en la ecuación dada (1), se llega a: En el cual se cancela un número de términos, y sólo nos queda: Así, para que u y v satisfagan (1), sus derivadas deben satisfacer (6). Además, se ha supuesto que estas derivadas satisfacen la ecuación (5). Así tenemos los dos requisitos: que son precisamente dos ecuaciones lineales (algebraicas, no diferenciales) con dos incógnitas y . Resolver el sistema de ecuaciones para y en términos de x es relativamente fácil; luego, u y v se obtienen por integración. Si se multiplica la ecuación (5) por x y se suma el resultado a (6), tenemos: y entonces: Ahora se puede sustituir el resultado anterior en (5) o bien en (6) para producir . El resultado es :

7. y entonces: Omitimos las constantes de integración puesto que sólo se necesita una solución. Por último, volviendo a (3), tenemos: Y tenemos así una solución de la ecuación (1). La solución completa de la ecuación es: En cuya expresión se ha sumado la solución de la ecuación homogénea relacionada como es usual. Sin embargo, es posible alguna simplificación. Se pueden combinar dos términos y escribir: donde se ha reemplazado por la constante arbitraria A más simple.