Campo electrico distribuciones continuas de carga clase 4

1. Campo eléctrico:
Distribuciones de
Carga
Clase 4 30/Septiembre/14

2. Calculo del campo eléctrico E
mediante la ley de Coulomb
 La figura siguiente muestra un elemento de carga 푑푞 = 휌푑푉
suficientemente pequeño para que podamos considerarle como una
carga puntual. El campo eléctrico 푑퐸 en un punto del campo debido a
este elemento de carga viene dado por la ley de Coulomb:
 En donde 푟 es un vector unitario que apunta desde el elemento a dicho
punto.
푑퐸 =
푘푑푞
푟2 푟

3. Calculo del campo eléctrico E mediante la
ley de Coulomb
 Un elemento de carga produce
푑푞 produce un campo 푑퐸 =
푘푑푞/푟2 푟 en el punto 푃. El campo
en 푃 debido a la carga total se
obtiene integrando esta
expresión para toda la
distribución de carga.
푑퐸 =
푘푑푞
푟2 푟
푃
푑푞 = 휌푑푉
푟

4. Calculo del campo electrico E
mediante la ley de Coulomb
 El campo total en 푃 se determina integrando esta expresión para la
distribución de la carga completa. Es decir,
퐸 =
푉
푘푑푞
푟2 푟
Campo electrico debido a una distribución continua de carga
 En donde 푑푞 = 휌푑푉. Si la carga esta distribuida sobre una superficie o línea,
utilizaremos 푑푞 = 휎푑퐴 ó 푑푞 = 휆푑퐿 e integramos para toda la superficie o
línea.

5. Problemas
 Problema 1
 Una barra de 14cm de largo esta cargada uniformemente y tiene una
carga total de −22휇퐶 . Determine la magnitud y dirección del campo
eléctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 36cm de su centro.

6. Problemas
 Solucion
 Datos
 푄푡표푡푎푙 푑푒 푙푎 푏푎푟푟푎 = −22휇퐶
 퐿표푛푔. 푏푎푟푟푎 = 14푐푚
14 푐푚
푑푥
29; 0 36; 0 43; 0
푥
푥
0

7. Problemas
 Solucion
Nos piden: 퐸푡표푡푎푙 푒푛 0 = ?
푑퐸푒푛 0 =
푘푒∙푑푞
푥2 푖 =
푘푒 휆∙푑푥
푥2 푖 donde
푄
퐿
= 휆
0.43푚 1
⟹ 퐸푡표푡푎푙 푒푛 0 = 푑퐸푒푛 0 = 푘푒 ∙ 휆 0.29푚
푥2 푑푥

8. Problemas
 Solucion
⟹ 퐸푡표푡푎푙 푒푛 0 = −푘푒 ∙
푄
푙표푛푔
∙
0.43푚
1
푥 0.29푚
⟹ 퐸푡표푡푎푙 푒푛 0 = −
8.99×109 22×10−6
0.14푚
1
0.43
−
1
0.29
∴ 퐸푡표푡푎푙 푒푛 0 = 1.6 × 106

9. Problemas
 Problema 2
 Tres cilindros plásticos sólidos tienen radio de 2.50 cm y longitud de 6cm.
Uno a) transporta carga con densidad uniforme de 15 푛퐶/푚2 por toda su
superficie. Otro b) conduce carga con la misma densidad uniforme solo su
cara lateral curva. El tercero c) tiene una carga de densidad uniforme de
500 푛퐶/푚3 en todo plástico. Encuentre la carga de cada cilindro.

10. Problemas
 Solución
6 푐푚 6 푐푚 6 푐푚
퐴 푅 퐵 퐶 퐴 = 2.50푐푚 푅퐵 = 2.50푐푚 푅퐶 = 2.50푐푚
휎퐴 = 15 푛퐶/푚2 휎퐵 = 15 푛퐶/푚2 휎퐶 = 500 푛퐶/푚2

11. Problemas
 Solución
 Nos piden 푄푡표푡푎푙 de cada cilindro = ?
 푄푡표푡푎푙 푑푒 퐴 = 휎 ∙ á푟푒푎 = 15 × 10−9 2휋 2.50 × 10−2 6 × 10−2 = 1.4 × 10−10퐶
 푄푡표푡푎푙 푑푒 퐵 = 휎 ∙ á푟푒푎 = 15 × 10−9 2휋 2.50 × 10−2 6 × 10−2 = 1.4 × 10−10퐶
 푄푡표푡푎푙 푑푒 퐶 = 휎 ∙ á푟푒푎 = 500 × 10−9 2휋 2.50 × 10−2 6 × 10−2 = 4.7 × 10−9퐶

12. Problemas
 Problema 3
 Ocho cubos plástico solidos, cada uno con 3cm por lado, se unen par formar
cada uno de los objetos siguientes mostrados en la figura 푎, 푏, 푐 푦 푑 .
 A) Si cada objeto transporta carga con densidad uniforme de 400 푛퐶/푚3 a
través de su volumen, ¿Cuál es la carga de cada objeto?
 B)Si a cada objeto se le da una carga con densidad uniforme de 15 푛퐶/푚2 en
todas las partes de la superficie expuesta, ¿Cuál es la carga en cada objeto?

13. Problemas
 Problema 3
푎 푏 푐 푑
3푐푚
3푐푚
3푐푚
3푐푚
3푐푚
3푐푚 3푐푚
3푐푚

14. Problemas
 Solución
 Inciso a
 Donde
푄
푉
= 400
푛퐶
푚3
 푄푡표푡푎푙 (푎) = 400 × 10−9 푣표푙푢푚푒푛
 푄푡표푡푎푙 (푎) = 400 × 10−9 0.06 × 0.06 × 0.06
 푄푡표푡푎푙 (푎) = 400 × 10−9 0.000216 = 86.4 × 10−12 = 86.4푝퐶

15. Problemas
 Solución
Como ambas figuras tienen las mismas
dimensiones y la misma densidad de
carga volumetrica se concluye que
 푄푡표푡푎푙 푑푒 푎 = 푄푡표푡푎푙 푑푒 푏=푄푡표푡푎푙 푑푒 푐=푄푡표푡푎푙 푑푒 푑

16. Problemas
 Solución
 Inciso b, figura a
 Donde σ = 15
푛퐶
푚2
 푄푡표푡푎푙 (푎) = 15 × 10−9 푎푟푒푎 푠푢푝푒푟푓푖푐푖푎푙
 푄푡표푡푎푙 (푎) = 15 × 10−9 6 푐푎푟푎푠 0.06 × 0.06
 푄푡표푡푎푙 (푎) = 15 × 10−9 0.0216 = 324 × 10−12

17. Problemas
 Solución
 Inciso b, figura b
 Donde σ = 15
푛퐶
푚2
 푄푡표푡푎푙 (푏) = 15 × 10−9 푎푟푒푎 푠푢푝푒푟푓푖푐푖푎푙
 푄푡표푡푎푙 (푏) = 15 × 10−9 34 푐푎푟푎푠 0.03 × 0.03
 푄푡표푡푎푙 (푏) = 15 × 10−9 0.036 = 459 × 10−12

18. Problemas
 Solución
 Inciso b, figura c
 Donde σ = 15
푛퐶
푚2
 푄푡표푡푎푙 (푐) = 15 × 10−9 푎푟푒푎 푠푢푝푒푟푓푖푐푖푎푙
 푄푡표푡푎푙 (푐) = 15 × 10−9 34 푐푎푟푎푠 0.03 × 0.03
 푄푡표푡푎푙 (푐) = 15 × 10−9 0.036 = 459 × 10−12

19. Problemas
 Solución
 Inciso b, figura d
 Donde σ = 15
푛퐶
푚2
 푄푡표푡푎푙 (푑) = 15 × 10−9 푎푟푒푎 푠푢푝푒푟푓푖푐푖푎푙
 푄푡표푡푎푙 (푑) = 15 × 10−9 32 푐푎푟푎푠 0.03 × 0.03
 푄푡표푡푎푙 (푑) = 15 × 10−9 0.036 = 432 × 10−12퐶

20. Carga de línea infinita
 Si la carga está distribuida con densidad uniforme 휌ℓ 퐶/푚 a lo largo de
una línea recta infinita que escogeremos como eje
푧, entonces el campo está dado por
퐸 =
휌ℓ
2휋휖0푟
푎푟
Coordenadas cilíndricas
 Este campo tiene simetría cilíndrica y es inversamente proporcional a la
primera potencia de la distancia desde la línea de carga. Para una
derivación de 퐸, como se muestra en la siguiente figura.

21. Carga de línea infinita
퐸
휌퐿
푥
푦
∞
−∞

22. Problemas
 Problema 0
 Sobre una línea descrita por 푥 = 2푚, 푦 = −4푚 se distribuyen uniformemente
una carga de densidad 휌ℓ = 20푛퐶/푚. Determine el campo eléctrico 퐸 en
−2, −1,4 푚.

23. Problemas
 Problema 0
푅′
푃(−2, −1,4)
휌ℓ
푃(2, −4, 푧)
푥
푦
푧

24. Problemas
 Solución
 Calculamos primero el vector dirección el cual es el siguiente:
 푎푟 = −2 − 2, −1 − −4 = −4,3,0 = −4i + 3j
 Debido a esto tenemos:
퐸 =
휌ℓ
2휋휖0푟
푎푟 =
20 × 10−9
2휋휖0(5)
−4푖 + 3푗
5

25. Problemas
 Solución
퐸 =
20 × 10−9
2휋 8,8541878176 × 10−12 (5)
−4푖 + 3푗
5
퐸 = −57.6푖 + 43.2푗 푉/푚

26. Problemas
 Problema 1
 Una carga lineal uniforme de densidad 휆 = 3.5푛퐶/푚 se distribuye desde 푥 =
0 푎 푥 = 5푚. (a) Cual es la carga total. Determinar el campo eléctrico que se
genera sobre el eje 푥 en 푏 푥 = 6, 푐 푥 + 9푚 푦 푑 푥 = 250푚. (e) Determinar el
campo en 푥 = 250푚 usando la aproximación de que se trata de una
carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido
exactamente. En (d).

27. Problemas
 Solución
 Podemos utilizar la definición de 휆 para encontrar la carga total de la
carga lineal y la expresión para el campo eléctrico en el eje de una carga
lineal finita para evaluar 퐸푥 en las localizaciones dadas a lo largo del eje 푥.
En la parte (d) se puede aplicar la ley de Coulomb para el campo
eléctrico debido a una carga puntual para aproximar el campo eléctrico
en x = 250 m

28. Problemas
 Solución
 Utilizamos la definición de una densidad de carga lineal para expresar la
carga en terminos de 휆, por lo tanto tenemos:

푄 = 휆퐿 ⇒ 푄 = 3.5푛퐶/푚 5푚 = 17.5푛퐶

29. Problemas
 Solución
 Expresamos el campo electrico en el eje 푥 de una carga lineal finita como:

퐸푥 푥0 =
푘푄
푥표 푥0 − 퐿

30. Problemas
 Solución Inciso b
 Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para 푥 = 6푚:

퐸푥 6푚 =
8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2 17.5푛퐶
6푚 6푚 − 5푚
퐸푥 (6푚) = 26.2푁/퐶

31. Problemas
 Solución Inciso c
 Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para 푥 = 6푚:

퐸푥 6푚 =
8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2 17.5푛퐶
9푚 9푚 − 5푚
퐸푥 (6푚) = 4.37푁/퐶

32. Problemas
 Solución Inciso d
 Substituimos y evaluamos en la ecuación anterior para 푥 = 250푚:

퐸푥 6푚 =
8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2 17.5푛퐶
250푚 250푚 − 5푚
퐸푥 (6푚) = 2.57푚푁/퐶

33. Problemas
 Solución Inciso e
 Utilizamos la ley de Coulomb para hallar el campo eléctrico debido a una
carga puntual por lo tanto tenemos la siguiente aseveración:
 Sustituimos valores y evaluamos 퐸푥(250푚)

퐸푥 푥 =
푘푄
푥2
퐸푥 250푚 =
8.99 × 109푁 ∙
푚2
퐶2 17.5푛퐶
250푚 2 = 2.52푚푁/퐶

34. Problemas
 Problema 2
 Una carga de 2.75휇퐶 esta unifomemente distribuida sobre un anillo de
radio 8.5cm. Determinar el campo eléctrico generado sobre el eje (a)
1.2cm, (b) 3.6cm y (c) 4m del centro del anillo. (d) Determinar el campo a
4m con la aproximación de que el anillo es una carga puntual en el origen
y comparar el resultado con el obtenido en el (c).

35. Problemas
 Solución
 La magnitud del campo electrico la cual esta dada por:
 퐸푥 푥 = 푘푄푥/ 푥2 + 푎2 3/2, donde 푄 es la carga del anillo y 푎 es el radio del
anillo. Nosotros usamos esta relación para encontrar el campo eléctrico en
el eje 푥 dada la distancia al anillo.
 Expresamos el campo electric del anillo como:
퐸푥 =
푘푄푥
푥2 + 푎2 3/2

36. Problemas
 Solución Inciso a
 De esta ultima expresion evaluamos para 퐸푥 푥 = 1.2cm
퐸푥 1.2푐푚 =
8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2 2.75휇퐶 1.2푐푚
1.2푐푚 2 + 8.5푐푚 2 3/2 = 4.69 × 105푁/퐶

37. Problemas
 Solución Inciso b
 De esta ultima expresion evaluamos para 퐸푥 푥 = 3.6cm
퐸푥 1.2푐푚 =
8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2 2.75휇퐶 3.6푐푚
3.6푐푚 2 + 8.5푐푚 2
3/2 = 1.13 × 106푁/퐶

38. Problemas
 Solución Inciso c
 De esta ultima expresion evaluamos para 퐸푥 푥 = 4m
퐸푥 4푚 =
8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2 2.75휇퐶 4푚
4푚 2 + 0.085푚 2
3/2 = 1.54 × 103푁/퐶

39. Problemas
 Solución Inciso d
 Usando la ley de coulomb para calcular el campo electrico tenemos:
퐸푥 =
푘푄
푥2
 Sustituimos y evaluamos en 푥 = 4푚
퐸푥 4푚 =
8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2 275휇퐶 4푚
4푚 2 = 1.55 × 103푁/퐶

40. Problemas
 Problema 3
 Una carga lineal uniforme se extiende desde 푥 = −2.5푐푚 푎 푥 = +2.5푐푚 y
posee una densidad de carga lineal 휆 =
6푛퐶
푚
. (a) Determinar la carga total.
Hallar el campo eléctrico generado sobre el eje 푦 en (b) 푦 = 4푐푚, 푐 푦 =
12푐푚 푦 푑 푦 = 4.5푐푚 (e)Determinar el campo en 푦 = 4.5푚 suponiendo que
la carga es puntual y comparar el resultado con el obtenido (d).

41. Problemas
 Nosotros podemos usar la definición de 휆 para encontrar la carga en un
segmento de carga lineal uniforme

42. Problemas
 Solución
퐸
푦
휃1 휃2
푦
푄 = 휆L
++++++++++++++++++++
++++
퐿/2 퐿/2

43. Problemas
 Si usamos la ecuación que nos describe la component 퐸푥 debida a un
segmento de carga lineal uniforme.
Por lo tanto tenemos
퐸푥 =
푘휆
푦
푐표푠휃2 − 푐표푠휃1
퐸푥 =
푘휆
푦
푐표푠휃 − 푐표푠 −휃 ⟹ 퐸푥 = 푐표푠휃 − 푐표푠휃 = 0

44. Problemas
 Si usamos la ecuación que nos describe la component 퐸푦 debida a un
segmento de carga lineal uniforme.
퐸푦 =
Por lo tanto tenemos
푘휆
푦
푠푒푛휃2 − 푠푒푛휃1
퐸푦 =
푘휆
푦
푠푒푛휃 − 푠푒푛 −휃 ⟹ 퐸푦 =
2푘휆
푦
푠푒푛휃

45. Problemas
 Sustituyendo la función 푠푒푛휃 en función de 퐿 e 푦 , de acuerdo a la figura
anterior tenemos lo siguiente
푠푒푛휃 =
Por lo tanto tenemos
퐶. 푂
퐻
=
1
2
퐿
1
2
퐿
2
+ 푦2
퐸푦 =
2푘휆
푦
1
2
퐿
1
2
퐿
2
+ 푦2

46. Problemas
 El vector E viene dado por:
퐸 = 퐸푥 푖 + 퐸푦 푗 =
2푘휆
푦
1
2
퐿
1
2
퐿
2
+ 푦2
푗

47. Problemas
 Solución Inciso a
 De acuerdo a la definición para la distribución de una carga sobre una
linea tenemos que:

푄 = 휆퐿 = 6푛퐶/푚 5푐푚 = 0.300푛퐶
 La densidad de carga la expresamos en terminus de 푄 en terminos de 휆 y
tenemos que:
퐸푦 =
2푘휆
푦
1
2
퐿
1
2
퐿
2
+ 푦2

48. Problemas
 Solución Inciso b
 Esto implica que podamos evaluar 퐸푦 푒푛 푦 = 4푐푚:
퐸푦 4푐푚 =
2 8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2
0.04푚
1
2
6푛퐶/푚 0.05푚
0.025푚 2 + 0.04푚 2
= 1.43푘푁/퐶

49. Problemas
 Solución Inciso c
 Esto implica que podamos evaluar 퐸푦 푒푛 푦 = 12푐푚:
퐸푦 12푐푚 =
2 8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2
0.12푚
1
2
6푛퐶/푚 0.05푚
0.025푚 2 + 0.12푚 2
= 183푘푁/퐶

50. Problemas
 Solución Inciso d
 Esto implica que podamos evaluar 퐸푦 푒푛 푦 = 12푐푚:
퐸푦 4.5푚 =
2 8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2
4.5푚
1
2
6푛퐶/푚 0.05푚
0.025푚 2 + 4.5푚 2
= 0.133푁/퐶

51. Problemas
 Solución Inciso e
 Usamos la ley de Coulomb para encontrar el campo electric
퐸푦 , tenemos que:
퐸푦 푦 =
푘푄
푦2

52. Problemas
 Solución Inciso e
 Sustituyendo y evaluando tenemos para 퐸푦 푒푛 푦 = 4.5푚:
퐸푦 4.5푚 =
푘푄
푦2 =
8.99 × 109푁 ∙ 푚2/퐶2 0.3푛퐶
(4.5푚)2 = 0.133N/C

53. Problemas 4
 Problema 4
 Un pedazo de poliestireno de masa 푚 tiene una carga neta de −푞 y flota
sobre el centro de una lámina de plástico horizontal muy larga, que tiene
una densidad de carga uniforme en su superficie. ¿Cuál es la carga por
unidad de área de la lámina de plástico?

54. Problemas 4
 Solución
 Sea la figura
 Nos piden:
푚 −푞
푐푎푟푔푎
á푟푒푎
= 휎 =?
푑
퐸
퐿á푚푖푛푎 푑푒 푝푙á푠푡푖푐표 푚푢푦 푙푎푟푔푎

55. Problemas 4
 Haciendo Diagrama de cuerpo libre
푞 ∙ 퐸
푚푔
퐹푙표푡푎

56. Problemas 4
 Solución
 Suponiendo que la carga flota a una distancia 푑; entonces
 Luego: 푞 ∙ 퐸 = 푚푔
 ⟹
푞∙푘푒∙푄
푑2 = 푚푔
 ⟹
푘푒∙푞∙휎∙á푟푒푎
푑2 =
푘푒∙푞∙휎∙푑2
푑2 = 푚 ∙ 푔
 ∴ 휎 =
푚푔
푘푒∙푞
푄
á푟푒푎
=
푄
푑2
푃표푙푖푒푠푡푖푟푒푛표
= 휎