El documento aborda los campos electromagnéticos y sus aplicaciones en ingeniería eléctrica, centrándose en las fuerzas magnéticas, materiales magnéticos, y conceptos de inductancia. Se explican diversas ecuaciones y principios relacionados con la fuerza sobre partículas y elementos de corriente en campos magnéticos, así como la importancia de los materiales magnéticos y las condiciones de frontera en circuitos. También se incluye un resumen de ecuaciones relevantes y ejercicios prácticos para solidificar el aprendizaje.

1. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 9
FUERZAS MAGNÉTICAS, MATERIALES
E INDUCTANCIA
Ingeniería Eléctrica – Electrónica y de Comunicaciones
Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Nov 2009 – Ene 2010
Santo Domingo, RD

2. TABLA DE CONTENIDO
1. FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS
2. MATERIALES MAGNÉTICOS
3. MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD
4. CONDICIONES DE FRONTERA MAGNÉTICAS
5. RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS
6. ENERGÍA POTENCIAL
7. INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA

3. FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS MAGNÉTICOS
Preliminar
La fuerza que ejerce un campo magnético sobre partículas cargadas se
relaciona con dispositivos eléctricos, tales como: amperímetros, voltímetros,
galvanómetros, ciclotrones, plasmas, motores y generadores magneto-
hidrodinámicos, entre otros.
Y ahora, a comprenderla …
1
Fuerzas debida a Campos Magnéticos
La fuerza debida a campos magnéticos puede experimentarse en al menos tres
formas, estas son:
1.Partícula cargada en movimiento en un campo.
2.Elemento de corriente en un campo B externo.
3.Entre dos elementos de corriente.

4. FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS
MAGNÉTICOS (CONT.)
1. Fuerza sobre una partícula cargada
De la definición de Fuerza Eléctrica,
recordamos que:
Se ha comprobado que la fuerza
magnética experimentada por una carga
Q en movimiento con una velocidad v
en un campo magnético B es:
De manera que Fm es perpendicular a v y
a B. En resumen, Fe es independiente de
la velocidad de la carga y puede realizar
trabajo sobre ésta última, y alterar su
energía cinética. Fm es lo contrario.
2
En el caso de una carga Q en
movimiento en presencia de
campos, eléctrico y magnético, la
fuerza total sobre la carga es:
BvF ×= Qm
( )BvEF
BvEFFF
×+=
×+=+=
Q
QQme
Fuerza de Lorentz→ relaciona F
mecánica y F eléctrica
( )BvE
v
F ×+== Q
dt
d
m
EF Qe =

5. 3
D9.1
Una carga puntual Q = 18 nC tiene
una velocidad de 5x106 m/s en la
dirección av=0.60ax+0.75ay+0.30az.
Calcular la magnitud de la fuerza que
ejerce el campo sobre la carga :
a.B=-3ax+4ay+6az mT
b.E=-3ax+4ay+6az kV/m
c.B y E actuando en conjunto.
Ejercicio para realizar en
el salón.
Respuestas:
a)660 μN
b)140 μN
c)670 μN
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS
MAGNÉTICOS (CONT.)

6. FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS
MAGNÉTICOS (CONT.)
2. Fuerza sobre un elemento de corriente
La fuerza diferencial ejercida sobre un elemento diferencial de carga, se expresa:
Oportunamente recordamos:
Con esta combinación de ecuaciones, obtenemos:
Alternativamente,
4
BvF ×= dQd m
dvdSId JKL
vJ
==
= vρ Densidad Corriente de Convección
Relación Elementos de Corriente
vvL dQdvId == vρ
dQvdQ
dtdt
dQ
I ===
L
LL
d
dd

7. FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS
MAGNÉTICOS (CONT.)
2. Fuerza sobre un elemento de corriente (Cont.)
Debido a que un elemento de corriente de convección dQv es equivalente a un
elemento de corriente de conducción, la fuerza sobre un elemento de corriente
en un campo magnético B se encuentra a partir de:
En un campo magnético uniforme, se verifica que:
La magnitud de la fuerza se expresa:
Conclusión: El campo magnético B es la fuerza por unidad de elemento de
corriente.
5
BLF ×= Idd m
∫ ∫ ∫ ×=×=×=
L S v
m dvdSId BJBKBLF En estas ecuaciones, el campo B es
externo al elemento de corriente IdL.
BLF ×= Im
θsinBILFm =

8. 6
D9.2
El campo B=-2ax+3ay+4az mT está presente en el
espacio libre. Encontrar el vector fuerza que se ejerce
sobre un segmento de alambre recto por el que
circulan 12A en la dirección aAB, dados A(1,1,1) y:
a.B(2,1,1)
b.B(3,5,6)
Ejercicio para realizar en
el salón.
Respuestas:
a)-48ay+36az mN
b)12ax-216ay+168az mN
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS
MAGNÉTICOS (CONT.)

9. FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS
MAGNÉTICOS (CONT.)
3. Fuerza entre dos elementos de corriente
Consideremos los elementos de corriente I1dL1 e I2dL2. De acuerdo con la Ley de
Biot-Savart, ambos elementos de corriente producen campos magnéticos. Por
tanto, la fuerza sobre el primer elemento de corriente debida al campo dB2 será:
Pero según la Ley de Biot-Savart,
En consecuencia,
A partir de esta ecuación, la fuerza F1
sobre la espira de corriente1 debida a
la espira de corriente 2 será:
7
( ) 2111 ddIdd BLF ×=
2
21
R220
2
4π
dIμ
d 21
R
aL
B
×
=
( )
( )
2
21
R22110
1
4π
dIdIμ
dd 21
R
aLL
F
××
=
( )
∫ ∫
××
=
1 2
21
2
21
R21210
1
dd
4π
IIμ
L L
R
aLL
F

10. 8
D9.4
Dos elementos diferenciales de corriente, I1∆L1=3x10-6
ay
A.m en P1(1,0,0) e I2∆L2=3x10-6
(-0.5ax+0.4ay+0.3az) A.m
en P2(2,2,2), están ubicados en el espacio libre. Encontrar
el vector fuerza que se ejerce sobre:
a.I2∆L2 por I1∆L1.
b.I1∆L1 por I2∆L2.
Ejercicio para realizar en el
salón.
Respuestas:
a)(-1.333ax+0.333ay-2.67az)10-20
N
b)(4.67ax+0.667az)10-20
N
FUERZAS DEBIDAS A CAMPOS
MAGNÉTICOS (CONT.)

11. 9
MATERIALES MAGNÉTICOS
Leer en casa Sección 9.5 sobre
materiales magnéticos:
Diamagnéticos
Paramagnéticos
Ferromagnéticos
Antiferromagnéticos
Ferrimagnéticos
Superparamagnéticos
¿Material de Examen? … → No

12. Preliminar
Las cargas que se relacionan con los
electrones orbitales, con el espín del
electrón y con el espín del núcleo se
conoce como Cargas Ligadas.
La corriente que producen las
cargas ligadas se denomina
corriente ligada o corriente
amperiana.
Una corriente ligada Ib que circula a
lo largo de una trayectoria que
encierra un diferencial de área dS,
establece un momento dipolar m,
esto es:
m=IbdS [A.m2
]
10
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD
Magnetización
Si existen n dipolos magnéticos por
unidad de volumen, el momento
dipolar total corresponde a la suma
vectorial, o sea:
Y se define la magnetización M
como el momento dipolar
magnético por unidad de volumen,
esto es:
[A/m]
∑=
=
vnΔ
1i
iTotal mm
∑=
→
=
vnΔ
1i
i
0Δv Δv
1
lim mM

13. Magnetización (Cont.)
Considerando un pequeño volumen
∆v, se tiene:
Sustituyendo los términos que
definen el momento dipolar, se
tiene:
Por tanto,
De la Ley Circuital de Ampere, la
corriente expresada como función
de ITotal es:
11
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)
LSLS dddvddnIdI bb ⋅=⋅=
Esta expresión es válida si ocurre un
efecto de alineamiento en los dipolos
magnéticos cuando se aplica un
campo magnético.
LM ddIb ⋅=
∫ ⋅= LM dIb
∫ ⋅= L
B
d
μ
I
0
T

14. Magnetización (Cont.)
Adicionalmente, expresamos que:
IT = Ib + I
Despejando la corriente libre y
sustituyendo las otras dos, se
verifica que:
Por tanto,
12
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)
Corriente Libre encerrada
por la trayectoria cerrada.
De las 3, ésta es la que aparece en las
Ecuaciones de Maxwell.
∫ ⋅





−= LM
B
d
μ
I
0
Esta expresión sigue siendo la Ley de Ampere
M
B
H −=
0μ
De esta ecuación, se deduce que la
magnetización M =0 en el espacio libre, o
sea : B=μ0H

15. Magnetización (Cont.)
Normalmente, la ecuación :
se expresa en la forma
Para las distintas densidades de corriente, se verifica que:
Y aplicando el Teorema de Stokes, se tiene:
13
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)
M
B
H −=
0μ
( )MHB += 0μ
∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=
SSS
SJSJSJ dIdIdI TTbb
JHJ
B
JM =×∇=×∇=×∇ T
0
b
μ

16. Permeabilidad
B, H y M se pueden simplificar para medios lineales e isotrópicos, ya que:
Donde xm es la suceptibilidad magnética.
De manera que,
Donde, es la permeabilidad relativa, por tanto: ; y
14
MAGNETIZACIÓN Y PERMEABILIDAD (CONT.)
HM mx=
( ) ( )mm xx +=+= 100 HHHB µµ
mr x+=1µ rµµµ 0=
HB µ=

17. Condiciones de Frontera Magnéticas
Sean dos materiales isotrópicos,
homogéneos y lineales con
permeabilidades μ1 y μ2, como se
muestra en la figura:
15
CONDICIONES DE FRONTERA MAGNÉTICAS
Aplicando la Ley de Gauss a una
pequeña superficie cilíndrica, se
tiene:
de donde,
entonces,
también,
∫ =⋅
S
0dSB
12 NN BB =
1
2
1
2 NN HH
µ
µ
=
1
2
1
1
2
1
2
1
22 N
m
m
NmN M
x
x
HxM
µ
µ
µ
µ
==
La componente normal
de B es continua, y H
es discontinua por el
cociente (μ1/μ2).

18. Condiciones de Frontera Magnéticas
(Cont.)
Si ahora aplicamos la Ley Circuital de
Ampere,
en una trayectoria cerrada en un plano
normal a la superficie de frontera.
Tomando el recorrido a favor de las
manecillas del reloj [y despreciando la
altura], se verifica que:
también,
16
CONDICIONES DE FRONTERA
MAGNÉTICAS (CONT.)
Por otro lado,
NTT
NTT
KHH
LKLHLH
=−
∆=∆−∆
21
21
N
TT
K
BB
=−
2
2
1
1
µµ
NmT
m
m
T KxM
x
x
M 21
1
2
2 −=
Recuerde que K es una corriente superficial cuya
componente normal al plano se denota por KN.
∫ ⋅= LH dI
HM mx=

19. 17
D9.8
Sea la permitividad de 5 μH/m en la región A
donde x<0 y de 20 μH/m en la región B donde x>0.
Si existe una densidad de corriente superficial
K=150ay -200az A/m en x=0 y si HA= 300ax-
400ay+500az A/m, encontrar:
a.| HTA|
b.|HNA|
c.|HTB|
d.|HNB|
Ejercicio para realizar en
el salón.
Respuestas:
a)640 A/m
b)300 A/m
c)695 A/m
d)75 A/m
CONDICIONES DE FRONTERA
MAGNÉTICAS (CONT.)

20. 18
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS
RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS
CIRCUITO RESISTIVO CIRCUITO MAGNÉTICO
V−∇=E ( )0Vm =−∇= JH
Potencial electrostático
y su relación con el
campo eléctrico.
Potencial magnético
escalar y su relación con
el campo magnético.
∫ ⋅−=
A
B
AB dV LE
Diferencia de Potencial
Eléctrico.
∫ ⋅−=
A
B
ABm, dV LH
Diferencia de Potencial
Magnético (fmm).

21. 19
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS
RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
CIRCUITO RESISTIVO CIRCUITO MAGNÉTICO
∫ ⋅=
S
dI SJ
Corriente Total Flujo Magnético Total
EJ σ=Ley de Ohm en forma
puntual para campo
eléctrico.
Ley de Ohm en forma
uniforme en circuitos
eléctricos.
Ley de Ohm en forma
puntual para campo
magnético.
Ley de Ohm en forma
uniforme en circuitos
magnéticos.
∫ ⋅=Φ
S
dSB
IRV =
HB µ=
ℜ= ΦVm

22. 20
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS
RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
CIRCUITO RESISTIVO CIRCUITO MAGNÉTICO
σS
d
R =
Resistencia Total
(Caso Uniforme)
Reluctancia
(Caso Uniforme)
∫ ⋅= LE dfem
S
d
µ
=ℜ
Voltaje Trayectoria
cerrada
∫ ⋅= LH dI
Corriente Trayectoria
cerrada. En una bobina
de N vueltas, el término
de la izquierda es NI.

23. 21
Notas:
1.Las ecuaciones presentadas en la
tabla resumen aplican en materiales
isotrópicos, homogéneos y lineales.
2.Las ecuaciones correspondientes al
circuito magnético no aplican en
materiales ferromagnéticos.
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS
RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)

24. 22
Ejercicio
Considere un toroide de 300 vueltas
con núcleo de aire y sección
transversal igual a 12 cm2
, un radio
de 12 cm y una corriente en la
bobina de 5 A. Recuerde que el
campo magnético está presente
en el interior del toroide; determine
sabiendo que Vm = 1500
A.vueltas.
Solución
1. Suponiendo que el campo es
uniforme, se calcula la reluctancia
como se indica a continuación,
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS
RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
φH
( )
( )( )
bWVueltasA /105.0
1012104
12.02
S
d
9
47
⋅×=ℜ
××
==ℜ −−
π
π
µ
Por tanto,
Como,
y como entonces,
b
b
W
WVueltasA
VueltasA
6
9
m
103
/.105.0
.1500V
Φ
×=Φ
×
=
ℜ
=
T3
4
6
105.2
1012
103
S
Φ
B −
−
×=
×
×
==
μ
B
H =
mVueltasA /.44.1989
104
102.5
H 7-
-3
=
×
×
=
π

25. 23
Ejercicio (Cont.)
Considere un toroide de 300 vueltas
con núcleo de aire y sección
transversal igual a 12 cm2
, un radio
de 12 cm y una corriente en la
bobina de 5 A. Recuerde que el
campo magnético está presente
en el interior del toroide; determine
sabiendo que Vm = 1500
A.vueltas.
Otra Solución
2. Otra forma sería aplicando la Ley
de Ampere, esto es:
RESUMEN ECUACIONES CIRCUITOS
RESISTIVOS Y MAGNÉTICOS (CONT.)
φH
mAH
H
r
NI
H
NIrH
/44.1989
12.02
5300
2
2
=
×
×
=
=
=
φ
φ
φ
φ
π
π
π

26. 24
Energía Potencial
En el campo eléctrico, teníamos la
expresión:
En el campo magnético, se verifica
que:
Como , entonces :
ENERGÍA POTENCIAL
( )∫ ⋅=
v
E dv
2
1
W ED
( )∫ ⋅=
v
H dv
2
1
W HB
HB μ=
( ) ( ) ∫∫∫ 





=⋅=⋅=
vvv
H dv
μ2
1
dvμ
2
1
dv
2
1
W
2
2 B
HHB

27. 25
Inductancia
La inductancia L del inductor de una sola espira es la razón del flujo magnético
Ф a través de la espira a la corriente I de la espira, esto es:
[Henrys, H]
El eslabonamiento de flujo NФ se define como el producto del número de vueltas
N y el flujo Ф que forma un eslabón. De manera que, si el inductor tiene N
vueltas, entonces :
En el caso uniforme se verifica,
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA
I
d
I
Φ
L
∫∫ ⋅
==
SB
I
dN
I
NΦ
L
∫∫ ⋅
==
SB
I
NBS
I
NΦ
L ==
πρ
µ
2
SN
L
2
=

28. 26
Inductancia (Cont.)
Para un bobina toroidal de N vueltas, se tiene:
Y para un coaxial, la inductancia por unidad de longitud es, [H/m]
Desde el punto de vista energético,
Para un alambre largo recto de radio a y distribución de corriente uniforme, la
inductancia, la inductancia es,
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)
πρ2
SNμ
L
2
0
=
a
b
ln
2
dμ
L 0
π
=
( )∫ ⋅==
v
22
H
dv
I
1
I
2W
L JA
8π
μ
L =

29. 27
Inductancia (Cont.)
La razón de voltaje generada en un circuito por la razón de cambio de corriente
en otro circuito se conoce como : Inductancia Mutua M,
También se expresa en términos de eslabonamiento de flujo, en la forma:
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)






=
dt
dI
V
M
2
1
1
122
2112
I
N
MM
Φ
==

30. 28
D9.12
Calcular la autoinductancia de:
a.3.5 m de cable coaxial con a=0.8 mm y b=4mm,
relleno con un material en el que μr=50.
b.Una bobina toroidal de 500 vueltas, envuelta en
fibra de vidrio que tenga una sección transversal
cuadrada de 2.5 x 2.5 cm y radio interior de 2 cm.
c.Un solenoide que tenga 500 vueltas alrededor de
un núcleo cilíndrico de 2 cm de radio en el que
μr=50 para 0<ρ<0.5 cm y μr=1 para 0.5 < ρ<2 cm.
La longitud del solenoide es de 50 cm.
Ejercicio para realizar en
el salón.
Respuestas:
a)56.3 μH
b)1.01 mH
c)3.2 mH
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)

31. 29
D9.13
Un solenoide de 50 cm de largo y 2 cm de diámetro
tiene 1500 vueltas. El núcleo cilíndrico tiene un
diámetro de 2 cm y una permitividad relativa de 75.
Esta bobina es coaxial con un segundo solenoide,
también de 50 cm de longitud, pero con un
diámetro de 3 cm y 1200 vueltas. Calcular :
a.L para el solenoide interior.
b.L para el solenoide exterior.
c.El valor de M entre los dos solenoides.
Ejercicio para realizar en
el salón.
Respuestas:
a)133.2 mH
b)86.7 mH
c)106.6 mH
INDUCTANCIA E INDUCTANCIA MUTUA (CONT.)

32. GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN