Este documento trata sobre las ecuaciones de Poisson y Laplace, que se derivan de la ley de Gauss. Explica cómo estas ecuaciones se aplican en diferentes sistemas de coordenadas y presenta el teorema de unicidad, que establece que existe una única solución para estas ecuaciones si se satisfacen las condiciones de frontera. También describe el procedimiento general para resolver estas ecuaciones y presenta tres ejemplos ilustrativos.

1. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
TEMA 7
ECUACIONES DE POISSON Y DE LAPLACE
Ingeniería Eléctrica – Electrónica y de Comunicaciones
Prof. Máximo Domínguez
Ciclo Nov 2009 – Ene 2010
Santo Domingo, RD

2. TABLA DE CONTENIDO
1. ECUACIONES DE POISSON Y DE LAPLACE
2. TEOREMA DE UNICIDAD
3. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DE
POISSON O DE LAPLACE
4. EJEMPLOS

3. ECUACIONES DE POISSON Y
DE LAPLACE
Preliminar
Las ecuaciones de Poisson y de
Laplace se deducen a partir de la
Ley de Gauss.
Ley de Gauss en forma puntual:
Por otro lado, recordamos que:
Sustituyendo se tiene:
Reduciendo y despejando:
1
En una región sin carga, se verifica
una distribución volumétrica ρv=0.
Este caso especial se convierte en:
Donde es el Laplaciano de V.
vρ=∇D
V
ε
−∇=
=
E
ED
( ) ( ) vρVεε =∇−∇=∇=∇ ED
ε
ρv
V −=∇2
Ecuación de Poisson
Medio Homogéneo
02
=∇ V
Ecuación de Laplace
Medio Homogéneo
2
∇

4. Ecuación Laplace
En Coordenadas Rectangulares:
En Coordenadas Cilíndricas:
En Coordenadas Esféricas:
2
Ecuación Poisson
En estos mismos sistemas de
coordenadas, la Ecuación de
Poisson puede obtenerse
reemplazando el cero por :
ECUACIONES DE POISSON Y
DE LAPLACE (CONT.)
02
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
V
y
V
x
V
0
11
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
z
VVV
φρρ
ρ
ρρ
0
sin
1
sin
sin
11
2
2
222
2
2
=
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
φθφ
θ
θθ
V
r
V
rr
V
r
rr
ε
ρv
−

5. 3
D7.1
Calcular los valores numéricos de V y ρv en el
punto P en el espacio libre si:
(a)En el punto P(1,2,3), el potencial es
(b)En el punto el potencial es
Ejercicio para realizar en
el salón.
Respuestas:
a)12V, -106.2 pC/m3
b)22.5V, 0
ECUACIONES DE POISSON Y
DE LAPLACE (CONT.)
1
4
2
+
=
x
yz
V






=== 2z,
3
π
φ3,ρP
φρ 2cos5 2
=V

6. TEOREMA DE UNICIDAD
No importa el método que
utilicemos para determinar la
Ecuación de Laplace, cualquier
solución que satisfaga las
condiciones de frontera será única.
Este es el Teorema de Unicidad, y se
aplica a cualquier solución de la
Ecuación de Poisson o de Laplace en
una región o superficie cerrada.
Prueba por Contradicción
Supongamos las siguientes
soluciones de la Ecuación de
Laplace, y supongamos que las
mismas satisfacen las condiciones de
frontera:
4
Por tanto, en la frontera se cumple
que:
Evaluando su diferencia:
Que también obedece:
Siendo Vd=0 en la frontera.
00 2
2
1
2
=∇=∇ VV
21 VV =
12 VVVd −=
01
2
2
22
=∇−∇=∇ VVVd
Sigue

7. TEOREMA DE UNICIDAD (CONT.)
Con base en el Teorema de la
Divergencia:
Sea ,
Ahora, reemplazemos A en la
siguiente identidad vectorial:
Pero, ya verificamos que:
De manera que:
Sustituyendo en el Teorema de la
Divergencia, se tiene:
5
∫ ∫ ⋅=⋅∇
v s
ddv SAA
dd VV ∇=A
( ) ddd
2
ddd VVVVVV ∇⋅∇+∇=∇⋅∇=⋅∇ A
02
=∇ dV
dd VV ∇⋅∇=⋅∇ A
∫ ∫ ⋅∇=∇⋅∇
v s
dddd dVVdvVV S
Como Vd=0 en la frontera, se
deduce que el miembro
derecho de la ecuación
tiende a cero. De manera
que:
Puesto que la integración
siempre es positiva,
entonces:
∫ =∇
v
2
d 0dvV
Sigue
0Vd =∇

8. TEOREMA DE UNICIDAD (CONT.)
Por tanto, como Vd=V2-V1=Constante en todas partes en v.
6
De acuerdo con el Teorema de la Unicidad, si se puede determinar que una solución
de la ecuación de Laplace satisface las condiciones de frontera, esa solución es la
única.
También se demuestra que
aplica a la Ecuación de Poisson.

9. 7
D7.2
Considérense dos campos de potencial :
(a)¿Es ?
(b)¿Es ?
(c)¿Es V1=0 en y=0?
(d)¿Es V2=0 en y=0?
(e)¿Es V1=π en y= π?
(f) ¿Es V2=π en y= π?
(g)¿Son V1 y V2 idénticos?
(h)¿Porqué el Teorema de Unicidad no se satisface?
Ejercicio para realizar en el salón.
Respuestas:
a)Sí
b)Sí
c)Sí
d)Sí
e)Sí
f)Sí
g)No
h)Las condiciones de frontera no se dan en
una superficie cerrada.
TEOREMA DE UNICIDAD (CONT.)
sinyeyVyV x
21 +== y
01
2
=∇ V
02
2
=∇ V

10. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER
LA ECUACIÓN DE POISSON O DE LAPLACE
Procedimiento Solución Problemas
de Frontera:
1.Se resuelve la Ecuación de Laplace
(si ρv=0) o la de Poisson (si ρv≠0),
mediante:
a.Integración directa cuando V es
una función de una variable.
b.Separación de variables cuando V
es una función de más de una
variable. La solución aún no es
única en este punto, pero se expresa
bajo la forma de las constantes de
integración desconocidas por
determinar.
8
2. Se aplican las condiciones en la
frontera para determinar la
solución única de V.
3. Habiendo obtenido V, se hallan
E, y D mediante:
4. Si se desea, se calcula la carga Q
inducida en un conductor
mediante:
donde ρs=Dn
EDE εyV =−∇=
∫=
s
sdSQ ρ

11. EJEMPLOS
Ejemplo 1.
Las componentes portadoras de
corriente de un equipo eléctrico
de alto voltaje deben enfriarse
para eliminar el calor por
pérdidas óhmicas. Un medio de
bombeo se basa en que cargas de
un campo eléctrico transmitan
fuerza al fluido enfriador. Un
modelo de este tipo de bombeo,
llamado electrohidrodinámico, se
presenta en la siguiente figura.
La región entre los electrodos
contiene una carga uniforme ρ0, la
cual se genera en el electrodo
izquierdo y se acumula en el
electrodo derecho. Calcular la
presión de la bomba si ρ0=25
mC/m3
y V0=22kV. 9

12. EJEMPLOS (CONT.)
Ejemplo 2.
Supóngase que V es sólo función de
en coordenadas cilíndricas. Para
variar, se considerará primero el
problema físico; resulta evidente que
las superficies equipotenciales están
dadas por = constante. Estos son
planos radiales. Las condiciones de
frontera serán V=0 en =0 y V=V0 en
=, que dan lugar al problema
físico detallado en la siguiente
figura.
10
φ
φ
φ
φ

13. EJEMPLOS (CONT.)
Ejemplo 3.
Dos conos conductores θ=π/10 y
θ=π/6 de extensión infinita están
separados por un espacio
infinitesimal en r=0. Si V(θ=π/10)=0
y V(θ=π/6)=50 Voltios, halle V y E
entre los conos.
11

14. GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN